每日一讲 期中复习 双直角模型 教师版

每日一讲期中复习几何之双直角三角形模型

双直角三角形模型是在解三角形中最常见的模型，模型的特点为：有一条直角边为公共边，另外一条直角边共线。但在不同的背景下会有不同的变化，需要从中看出模型的本质。

模型讲解

【思考】请正确作出右边的图形的辅助线

1、如图，在直角坐标系中，直线64

3+-

=x y 与坐标轴分别交于A 、B 两点，AB 中点为P ，则点P 到直线x y -=的最短距离PQ 的长度为 ．

【解答】A(8,0)、B(0,6)，则P(4,3)

当PQ ⊥OQ 时，PQ 最小，做PM ∥OB ，则M(4，-4)

∴PM=7

∴PQ=2

27

2、如图，在△ABC ，AC=3，BC=4，∠ACB=90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转．

（1）当AC 平分∠A ´CB ´时，BD 的长为 ．

一般类型：将两个直角三角形组合，一条直角

边为公共边，其中βα∠∠和的三角函数值为已

知。

（2）连接AA ´，当△AA ´C 为等边三角形时，BD 的长为 ．

【解答】（1）∠DCF=45°，设DF=CF=x

△DFB ∽△ACB

则BF=

x 34，BD=x 3

5 434=+x x ,7

12=x ∴BD=720 （2）方法同上，BD=13

12316-

3、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．

（1）若AD=2，求AB ；

（2）若AB+CD=2+2，求AB ．

【解答】解：（1）过D 点作DE ⊥AB ，过点B 作BF ⊥CD ，

∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，

∴∠ADC=360°﹣∠A ﹣∠C ﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，

∴∠BDF=∠ADC ﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，

△ADE 与△BCF 为等腰直角三角形，

∵AD=2，

∴AE=DE==，

∵∠ABC=105°，

∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，

∴BE===，

∴AB=；

（2）设DE=x，则AE=x，BE===，

∴BD==2x，

∵∠BDF=60°，

∴∠DBF=30°，

∴DF==x，

∴BF===，

∴CF=，

∵AB=AE+BE=，

CD=DF+CF=x，

AB+CD=2+2，

∴AB=+1

4、如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．

（1）若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？

（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）

【解答】解：（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，如图所示．∵∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°，∠CAF=30°，

∴∠ECB=30°，∠ACF=60°，

∴∠BCA=90°，

∵BC=12，AB=36×=24，

∴AB=2BC，

∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，

∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°，

∴∠BDC=∠BCD=30°，

∴BD=BC=12，

∴时间t==小时=20分钟，

∴轮船照此速度与航向航向，上午11：00到达海岸线．

（2）∵BD=BC，BE⊥CD，

∴DE=EC，

在RT△BEC中，∵BC=12海里，∠BCE=30°，

∴BE=6海里，EC=6≈10.2海里，

∴CD=20.4海里，

∵20海里＜20.4海里＜21.5海里，

∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．

5、学习了勾股定理的逆定理，我们知道：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形．类似地，我们定义：对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满

足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形．

（1）根据“勾股三角形”的定义，请你直接判断命题：“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题？（2）已知某一勾股三角形的三个内角的度数从小到大依次为x°、y°和z°，且xy=2160，求x+y的值；（3）如图，△ABC内接于⊙O，AB=，AC=1+，BC=2，⊙O的直径BE交AC于点D．

①求证：△ABC是勾股三角形；

②求DE的长．

【解答】解：（1）∵对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形，

∴无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；

（2）由题意可得：，

解得：x+y=102；

（3）①证明：过B作BH⊥AC于H，设AH=x，

Rt△ABH中，BH=，

Rt△CBH中，（）2+（1+﹣x）2=4，

解得：x=，

所以，AH=BH=，HC=1，

∴∠A=∠ABH=45°，

∴tan∠HBC===，

∴∠HBC=30°，

∴∠BCH=60°，∠B=75°，

∴452+602=752

∴△ABC是勾股三角形；