2020年10月山东师大附中(2018级)2021届高三质量检测数学试题及答案
2021届师范大学附属中学高三第三次月考数学试题(解析版)
2021届师范大学附属中学高三第三次月考数学试题（解析版）2021届山东师范大学附属中学高三第三次月考数学试题一、单选题1．已知集合，，若（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据一元二次不等式求得集合A，从而可求得.【详解】由得，，又，，故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，集合间的交集运算，属于基础题.2．已知命题“”，则命题（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：因为命题“”的否定为：，因此命题“”的否定为：，选A.【考点】命题的否定3．为了得函数的图象，只需把函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】A【解析】将函数的图象按图像变换规律逐步变到函数的图象．【详解】不妨设函数的图象沿横轴所在直线平移个单位后得到函数的图象．于是，函数平移个单位后得到函数，，即，所以有，，取，．答案为A．【点睛】由函数的图像经过变换得到的图像，在具体问题中，可先平移后伸缩变换，也可以先伸缩后平移变换，但要注意水平方向上的伸缩和平移变换都是针对x值而言，故先伸缩后平移时要把x前面的系数变为1．4．已知数列满足且，则（）A．-3B．3C．D．【答案】B【解析】由已知可得数列是以2为公差的等差数列，再，代入可得选项.【详解】,∴数列是以2为公差的等差数列，，，，，故选：B.【点睛】本题考查等差数列的定义，等差数列的项的关系，属于基础题.5．函数是增函数的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据对数函数的单调性和命题的充分条件、必要条件的判断可得选项.【详解】∵时，是增函数，∴函数是增函数的一个充分不必要条件是的一个子集，又，故选：D.【点睛】本题考查对数函数的单调性和命题的充分必要条件的定义和判断，属于基础.6．函数的零点所在区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据零点存在原理求出每个区间端点的函数值即可选出正确答案.【详解】，，，，，由.故选：C【点睛】本题考查了零点存在原理，考查了数学运算能力.7．若，，，则的最小值为（）A．9B．8C．7D．6【答案】A 【解析】由对数的运算性质可得，再构造出，根据基本不等式可得最小值.【详解】∵，∴，∴，，当且仅当“”时取等号，∴的最小值为9.故选：A.【点睛】本题考查对数的运算性质和基本不等式的运用，关键在于“1”的巧妙运用，构造出基本不等式所需的形式，属于中档题.8．已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对函数求导函数，由已知条件得其导函数在上有零点，建立不等式组可得范围.【详解】,由于函数在上有极值点，所以在上有零点。
《精编》山东省曲阜师大附中高三数学10月教学质量检查试题 理 新人教A版.doc
山东省曲阜师大附中2021—2021学年度第一学期10月份教学质量检查高三数学试题〔理〕第一卷 选择题一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．集合1|lg ,1010A y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭，{2,1,1,2}B =--，全集R U =，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A ．{1,1}A B =- B ．[]1,1)(-=B A C UC ．(2,2)AB =-D ．[]2,2)(-=B A C U2．a ，b 都是实数，那么“22a b >〞是“a b >〞的〔 〕 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．“y x lg lg >〞是“yx1010>〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．集合},,032|{},,0{2Z x x x x N a M ∈<--==假设∅≠N M ，那么a 的值为〔 〕A ．1B ．2C ．1或2D ．不为零的任意实数 5．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点， 那么点C 到平面A 1DM 的距离为〔 〕A ．a 36B ．a 66 C ．a 22 D ．a 21 6．,3log 21log ,5log 21,3log 2log ,10a a a a a z y x a -==+=<<那么〔 〕 A ．z y x >> B ．x y z >> C ．z x y >> D ．y x z >>7．函数,log )31()(2x x x f -=实数c b a ,,满足),0(0)()()(c b a c f b f a f <<<<⋅⋅假设实数0x 为方程0)(=x f 的一个解，那么以下不等式中，不可能．．．成立的是〔 〕 A ．0x <a B ．0x >b C ．0x <c D ．0x >c8．偶函数()y f x =对任意实数x 都有(1)()f x f x +=-，且在[0,1]上单调递减，那么〔 〕A ．777()()()235f f f <<B ．777()()()523f f f <<C ．777()()()325f f f <<D ．777()()()532f f f <<9．函数)(x f 在[)∞+，0增函数，|)(|)(x f x g -=，假设),1()(lg g x g >那么x 的取值范围是〔 〕A ．〔0，10〕B ．〔10，+∞〕C ．〔101，10〕 D ．〔0，101〕∪〔10，+∞〕 10．)1,10,0(0lg lg ≠≠>>=+b a b a b a 且，那么函数x a x f =)(与函数=)(x gx b log -的图象可能是〔 〕11．函数,1)1ln()(-+-=x x x f 那么〔 〕 A ．没有零点 B ．有唯一零点C ．有两个零点,,21x x 并且21,0121<<<<-x xD ．有两个零点,,21x x 并且3121<+<x x12．二次函数)(x f 满足)()4(x f x f -=+，且,3)0(,1)2(==f f 假设)(x f 在[]m ,0上有最小值1，最大值3，那么实数m 的取值范围是〔 〕 A ． []4,2 B ．(]2,0 C ． ()+∞,0 D ．[)+∞,2第二卷 非选择题二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分)13．)1lg()(2-=x x f 的单调递减区间是 ．14．假设圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同点到直线0:=+by ax l 的距离为,22那么直线l 的斜率的取值区间为 ．15．函数23()log (2)f x x ax a =-+，对任意1x >，当0x ∆<时，恒有)()(x f x x f >∆-，那么实数a 的取值范围是 ．16．函数 ()f x 的定义域为R ，且对任意Z x ∈，都有()(1)(1)f x f x f x =-++，假设(1)6f -=，(1)7f =，那么 (2012)(2012)f f +-= ．三、解答题〔本大题共6小题，共74分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕 17．(本小题总分值12分〕集合}72{≥-≤=x x x A 或，集合}16)21(8|{<<=xx B ，集合}121|{-≤≤+=m x m x C ．〔I 〕求B A ；〔II 〕假设A C A = ，求实数m 的取值范围．18．(本小题总分值12分〕定义域为[]1,1-的奇函数)(x f 满足)2()(-=x f x f ，且当)1,0(∈x 时，x x f =2)(〔I 〕求)(x f 在[]1,1-上的解析式；〔II 〕求函数)(x f 的值域．19．(本小题总分值12分〕某化工厂生产某种产品，每件产品的生产本钱是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x 元〔107≤≤x 〕时，一年的产量为2)11(x -万件．但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a )31(≤≤a ．假设该企业所生产的产品全部销售，〔I 〕求该企业一年的利润)(x L 与出厂价x 的函数关系式；〔II 〕当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润． 20．〔本小题总分值12分〕函数2()ln x f x a x x a =+-〔0a >且1a ≠〕．〔I 〕当1a >时，求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 〔II 〕假设函数()1y f x t =--有三个零点，求t 的值．21．(本小题总分值12分〕各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和n S 满足),2)(1(6,11++=>n n n a a S S 且.*N n ∈〔I 〕求数列}{n a 的通项公式； 〔II 〕设数列n b n n T a b n记满足,1)12(}{=-为数列}{n b 的前n 项和，求证：).3(log 122+<+n n a T22．〔本小题总分值14分〕椭圆22221(0),x y a b a b+=>>过点A 〔a ，0〕，B (0，b )的直线倾斜角为56π，原点到该直〔I 〕求椭圆的方程；〔II 〕斜率小于零的直线过点D 〔1，0〕与椭圆交于M ，N 两点，假设2,MD DN =求直线MN 的方程；〔III 〕是否存在实数k ，使直线2y kx =+交椭圆于P 、Q 两点，以PQ 为直径的圆过点D 〔1，0〕？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请说明理由。
山东师范大学附属中学2020年高二10月月考数学试题及解析
山东师大附中2019级数学2020～2021学年度10月学业质量检测题本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页,满分为150分,考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其它笔.第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知向量(3,6,7),(4,,)a b m n ==分别是直线12,l l 的方向向量,若12//l l ,则（ ) A.8,28m n == B.4,28m m == C.288,3m n == D.284,3m n ==【答案】C 【试题解析】由题意,得//a b ,由此可求出答案.【详细解答】【解析】：∵12//l l ,且(3,6,7),(4,,)a b m n ==分别是直线12,l l 的方向向量, ∴//a b ,∴3674m n==, ∴288,3m n ==,故选:C .本题主要考查向量共线的坐标表示,属于基础题.2.已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m=-=--=,若,,a b c共面,则实数m的值为（)A.607B.14C.12D.627【答案】B【试题解析】由题意可知c xa yb=+,利用向量相等,列方程组求实数m的值.【详细解答】若,,a b c共面,则c xa yb=+,即()()()()7,5,2,1,41,1,22,,42m x y x y x y x y=-+--=--+-,所以27542x yx yx y m-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩,解得:12,17,14x y m===.故选:B本题考查空间向量共面,重点考查共面的公式,计算能力,属于基础题型.3.在四棱锥P ABCD-中,底面ABCD是正方形,E是PD的中点,若,,PA a PB b PC c===,则BE=（)A.111222a b c-+ B.131222a b c--C.131222a b c-+ D.113222a b c-+【答案】C【试题解析】根据向量加减法,和空间向量基本定理直接求解即可.【详细解答】()()()11112222BE PE PB PD PB PB BD PB BD PB BA BC PB =-=-=+-=-=+- ()11312222PA PB PC PB PB PA PB PC =-+--=-+ 131222a b c -+=. 故选:C本题主要考查向量在几何中的应用以及向量共线定理,空间向量基本定理,属于基础题. 4.若向量(,4,5),(1,2,2)a x b =--=-,且a 与b 的夹角的余弦值为6-,则实数x 的值为（ ) A.3- B.11C.3D.3-或11【答案】A 【试题解析】根据公式cos ,a b a b a b⋅<>=,计算结果.【详细解答】根据公式2cos ,616a b a b a bx ⋅<>===-+, =且2x < 解得:11x =（舍)或3x =-. 故选:A本题考查根据空间向量夹角公式求参数,重点考查计算能力,属于基础题型,本题的易错点是容易忽略在解方程是注意2x <这个条件.5.在长方体1111ABCD A B C D-中,12,1,1AB BCAA ===,则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ) A10B.10C.5D.5【答案】D 【试题解析】根据垂直关系,作111C M B D ⊥,1C BM ∠为所求角,直角三角形1C MB 中求111sin C MC BM C B∠=. 【详细解答】如图,作111C M B D ⊥,交11B D 于点M ,连接MB , 因1BB ⊥平面1111D C B A ,所以11BB C M ⊥,又因为111C M B D ⊥,且1111BB B D B ⋂=,所以1C M ⊥平面11BB D D ,即1C BM ∠为所求角,221112BC =+=,2211125B D =+=所以1125C M ⨯=⨯,所以1255C M =11125105sin 52C M C BM C B ∠===.故选:D本题考查线面角的几何求法,重点考查垂直关系,属于基础题型.6.四棱锥P ABCD -中,(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-,则这个四棱锥的高为（ ) A.55B.15C.25D.255【答案】A 【试题解析】求出平面ABCD 的法向量n ,计算法向量n 与AP 的夹角得出AP 与平面ABCD 的夹角,从而可求出P 到平面ABCD 的距离.【详细解答】【解析】：设平面ABCD 的法向量为(n x =,y ,)z ,则n AB n AD⎧⊥⎨⊥⎩,∴23020x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩,令1x =可得2y =,0z =,即(1n =,2,0),cos ,||||5n AP n AP n AP ∴<>==,设AP 与平面ABCD 所成角为α,则sinα,于是P 到平面ABCD 的距离为||sin AP α,即四棱锥P ABCD -. 故选:A .本题考查了空间向量在立体几何中的应用,属于基础题.7.已知向量(1,22)(2,11)a b ==-,,,,则向量b 在向量a 上的投影向量为（ )A.244,,999⎛⎫--- ⎪⎝⎭B.244,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭C.211,,333⎛⎫-⎪⎝⎭ D.211,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B 【试题解析】首先求出向量b 在向量a 上的投影,从而求出投影向量,【详细解答】【解析】：因为(1,22)(2,11)a b ==-,,,,所以2121212a b =-⨯+⨯+⨯=, 所以向量b 在向量a 上的投影为2232a b a==+ 设向量b 在向量a 上的投影向量为m ,则()0m a λλ=>且23m =, 所以(),2,2m λλλ=,所以22222443λλλ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,解得29λ=所以244,,999m ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选:B本题考查平面向量数量积的坐标表示,属于基础题. 8.三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,11AA AB AC ===,AB AC ⊥,N 是BC 的中点,点P 在11A B 上,且满足111A P AB λ=,当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时,λ的值为( )A.12B.22C.3 D.25【答案】A 【试题解析】建立空间直角坐标系,利用向量的夹角公式,求出直线PN 与平面ABC 所成的角,即可求得结论.【详细解答】如图,以AB ,AC ,1AA 分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系A xyz -,则(,P λ0,1),11,,122PN λ⎛⎫=--⎪⎝⎭,平面ABC 的一个法向量为(0,n =0,1) 设直线PN 与平面ABC 所成的角为θsin (PN n PN nθλ⋅∴==⋅-, ∴当12λ=时,(sin )max θ=,此时角θ最大. 故选A .本题考查了向量法求线面角的求法,考查了函数最值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.下列命题中不正确的是（ ) A.a b a b -=+是,a b 共线的充要条件 B.若,C AB D 共线,则//AB CDC.,,A B C 三点不共线,对空间任意一点O ,若311488OP OA OB OC =++,则,,,P A B C 四点共面D.若,,,P A B C 为空间四点,且有PA PB PC λμ=+(,PB PC 不共线),则1λμ+=是,,A B C 三点共线的充分不必要条件【答案】ABD 【试题解析】由向量的共线性质,可判定A 不正确；由向量的共线与点共线的关系,可判定B 不正确；由空间向量的基本定理可判定C 正确；由向量的共线定理,可判定D 不正确. 【详细解答】由a b a b -=+,可得向量,a b 的方向相反,此时向量,a b 共线, 反之,当向量,a b 同向时,不能得到a b a b -=+,所以A 不正确； 若,C AB D 共线,则//AB CD 或,,,A B C D 四点共线,所以B 不正确；由,,A B C 三点不共线,对空间任意一点O ,若311488OP OA OB OC =++, 因为3111488++=,可得,,,P A B C 四点共面,故C 正确； 若,,,P A B C 为空间四点,且有PA PB PC λμ=+(,PB PC 不共线), 当1λμ+=时,即1μλ=-,可得()PA PC PB PC λ-=+,即CA CB λ=, 所以,,A B C 三点共线,反之也成立,即1λμ+=是,,A B C 三点共线的充要条件, 所以D 不正确. 故选:ABD本题主要考查了以向量的基本定理及向量共线的性质的判定为背景的命题的真假判定,其中解答解答中熟记平面向量的共线定理和平面向量的基本定理,以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查推理与论证能力.10.已知空间三点(1,0,1),(1,2,2),(3,0,4)A B C ---,则下列说法正确的是（ ) A.3AB AC ⋅= B.//AB AC C.23BC =D.3cos ,65AB AC <>=【答案】AC 【试题解析】由坐标求出,,AB AC BC ,即可依次计算判断每个选项正误. 【详细解答】(1,0,1),(1,2,2),(3,0,4)A B C ---,()()()0,2,1,2,0,3,2,2,2AB AC BC ∴==-=--, ()0220133AB AC ⋅=⨯-+⨯+⨯=,故A 正确；不存在实数λ,使得AB AC λ=,故,AB AC 不共线,故B 错误；(BC =-=故C 正确；cos ,5AB AC AB AC AB AC⋅<==⋅>=故D 错误.故选:AC.本题考查空间向量的相关计算,属于基础题.11.在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,2SA SB SC SD ====,则以下结论正确的有（ ) A.0SA SB SC SD +++= B.0SA SB SC SD +--= C.0SA SB SC SD -+-= D.SA SB SC SD ⋅=⋅【答案】CD 【试题解析】如图,连接AC 和BD 交于O ,连接SO ,由题可知OA ,OB ,OS 两两垂直,则以OA ,OB ,OS 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,利用坐标计算即可判断.【详细解答】如图,连接AC 和BD 交于O ,连接SO ,由题可知OA ,OB ,OS 两两垂直,则以OA ,OB ,OS 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,,底面ABCD 是边长为1的正方形,2SA SB SC SD ====,22OA OB OC OD ====,22214222SO ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭, 则222214,0,,,0,,0,0,22222A B C D S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,214214,0,,0,SA SB ⎛⎫⎛∴=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭,214214,0,,0,,2222SC SD ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()0,0,214SA SB SC SD ∴+++=-,故A 错误；()2,2,0SA SB SC SD +--=,故B 错误；()0,0,00SA SB SC SD -+-==,故C 正确；22141470022222SA SB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯+⨯+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 2214147002SC SD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯+⨯-+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即SA SB SC SD ⋅=⋅,故D 正确. 故选:CD.本题考查空间向量的计算,属于基础题.12.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点P 在线段1B C 上运动,则 （ )A.直线1BD ⊥平面11AC DB.三棱锥11P AC D -的体积为定值C.异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是[]45,90︒︒D.直线1C P 与平面11AC D 6【答案】ABD 【试题解析】利用线面垂直的性质判定可判定选项A,对三棱锥11P AC D -转化顶点可判定选项B,找到异面成角的最小值的情况即可判断选项C,转化直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,进而判断选项D【详细解答】对于选项A,连接11B D ,由正方体可得1111AC B D ⊥,且1BB ⊥平面1111D C B A ,则111BB A C ⊥,所以11A C ⊥平面11BD B ,故111AC BD ⊥；同理,连接1AD ,易证得11A D BD ⊥,则1BD ⊥平面11AC D ,故A 正确；对于选项B,1111P A C D C A PD V V --=,因为点P 在线段1B C 上运动,所以1112A DP S A D AB =⋅,面积为定值,且1C 到平面11A PD 的距离即为1C 到平面11A B CD 的距离,也为定值,故体积为定值,故B 正确；对于选项C,当点P 与线段1B C 的端点重合时,AP 与1A D 所成角取得最小值为60︒,故C 错误； 对于选项D,因为直线1BD ⊥平面11AC D ,所以若直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值最大,则直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,则P 运动到1B C 中点处,即所成角为11C BD ∠,设棱长为1,在11Rt D C B 中,1111cos 3C B C BD BD ∠===,故D 正确 故选:ABD本题考查线面垂直的判定,考查异面成角,线面成角,考查棱锥体积,考查转化思想和空间想象能力第Ⅱ卷三、填空题（本题共4个小题,每小题5分,共20分.)13.若(2,1,2),(6,3,2)a b →→=-=-,且()a b a λ→→→+⊥,则实数λ=______________. 【答案】919-【试题解析】利用已知条件求出a b λ→→+,然后()=0a b a λ→→→+⋅,求出λ即可. 【详细解答】(2,1,2),(6,3,2)a b →→=-=-,∴()=2+6,13,22a b λλλλ+--+,()a b a λ→→→+⊥,()=0a b a λ→→→∴+⋅,即()()()()2+6+1312220λλλ⨯--⨯-++⨯=2,解得:λ=919-. 故答案为:919-本题考查空间向量的数量积的应用,向量的坐标运算,考查计算能力,属于基础题.14.已知正四面体ABCD 的棱长为1,点E 、F 分别是BC ,AD 的中点,则AE AF ⋅的值为_____. 【答案】14【试题解析】由正四面体的定义知,正四面体相对的棱互相垂直,从而可得出0AF BE ⋅=,进而得出14AE AF AB AF ⋅=⋅=. 【详细解答】如图,四面体ABCD 是正四面体,∴四面体的每个面都是正三角形,且相对的棱相互垂直,且棱长为1,又点E 、F 分别是BC ,AD 的中点,∴12AF AD =,0AF BE ⋅= ∴()1cos34AE AF AB BE AF AB AF BE AF AB AF π⋅=+⋅=⋅+⋅==. 故答案为:14. 本题考查了正四面体的定义,正四面体的相对的棱互相垂直,向量垂直的充要条件,向量加法的几何意义,向量数量积的运算及计算公式,考查了计算和推理能力,属于基础题. 15.四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,且1,3PD AB ==,G是ABC 的重心,则直线PG 与DB 所成的角α的余弦值为____________,PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为______________.【答案】 (1).223(2).13【试题解析】由重心的性质可求得BG 的长,从而得DG 的长,在Rt PDG 中,由tan tan PDPGD DGα=∠=即可得解；由PD ⊥底面ABCD ,知PGD θ∠=,结合第一空的结果即可得解. 【详细解答】【解析】：G 是ABC 的重心,21213223232BG BD ∴=⨯=⨯⨯=,22DG BD BG ∴=-=,PD ⊥底面ABCD ,PD BD ∴⊥,在Rt PDG 中,tan tan 22PD PGD DG α=∠==, 22cos α∴=, ∴直线PG 与DB 所成的角α的余弦值为223.PD ⊥底面ABCD ,PGD ∴∠即为PG 与底面ABCD 所成的角θ,由上可知,θα=, 1sin sin 3θα∴==, PG ∴与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为13.故答案为22；13. 本题考查线面角的求法,理解线面角的定义以便找出线面角的平面角是解题的关键,考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.16.点P是棱长为4的正四面体表面上的动点,MN是该四面体内切球的一条直径,则PM PN⋅的最大值是_______________.【答案】16 3【试题解析】作出图形,计算出正四面体ABCD内切球O的半径,由此可求得AO,由空间向量数量积的运算性质得出223PM PN PO⋅=-,进而可知当点P为正四面体的顶点时,PM PN⋅取得最大值,即可得解.【详细解答】如下图所示:正四面体ABCD的棱长为4,其内切球球心为点O,连接AO并延长交底面BCD于点E, 则E为正BCD的中心,且AE⊥平面BCD,连接BE并延长交CD于点F,则F为CD的中点,且BF CD⊥,2223 BF BC CF=-=2433BE BF==,AE平面BCD,BE⊂平面BCD,AE BE∴⊥,则2246 3AE AB BE=-=,BCD的面积为1432BCDS CD BF=⋅=△∴正四面体ABCD 的体积为11623A BCD BCD V S AE -=⋅=△,设球O 的半径为R ,则1443A BCD O BCD O ACD O ABD O ABC O BCD BCD V V V V V V S R ------=+++==⨯⋅△,364A BCD BCD V R S -∴==△,6AO AE OE ∴=-=,PM PO OM =+,PN PO ON PO OM =+=-,()()22223PM PN PO OM PO OM PO OM PO ∴⋅=+⋅-=-=-,当点P 位于正四面体ABCD 的顶点时,PO 取最大值, 因此,222221663333PM PN PO AO ⋅=-≤-=-=. 故答案为:163. 本题考查空间向量数量积的最值的计算,同时也考查了正四面体内切球半径的计算,考查计算能力,属于较难题.四、解答题（本题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.如图,已知1111ABCD A B C D -是四棱柱,底面ABCD 是正方形,132AA AB ==，,且1160C CB C CD ︒∠=∠=,设1,,CD C a b B CC c ===.（1)试用,,a b c 表示1AC ； （2)已知O 为对角线1A C 的中点,求CO 的长.【答案】（1)1AC a b c =---；（2. 【试题解析】（1)由11AC A A AD DC =++可表示出来； （2)由1||CO =. 【详细解答】（1)11AC A A AD DC =++1AA BC CD =-+-1CC CB CD c b a a b c =---=---=---；（2)由题意知||2,||2,||3a b c ===,110,233,23322a b a c a b ⋅=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=,111()22CO CA a b c ==++,∴1||4CO =()=,===.本题考查空间向量的线性运算,考查利用向量计算长度,属于基础题. 18.已知空间三点(0,2,3),(2,1,6),(1,1,5)A B C --. （1)若点D 在直线AC 上,且BD AC ⊥,求点D 的坐标； （2)求以,BA BC 为邻边的平行四边形的面积.【答案】（1)11,,422⎛⎫⎪⎝⎭；（2)【试题解析】（1)由点D 在直线AC 上,可设AD AC λ=,利用0BD AC ⋅=可求出λ,进而得出点D 的坐标；（2)由,BA BC 求出,,BA BC BA BC ⋅,进而求出sin B =,即可利用面积公式求解. 【详细解答】【解析】：（1)(1,3,2)AC =-,点D 在直线AC 上, 设(1,3,2)AD AC λλ==-,(1,3,2),(1,3,2)(,23,32)O OD OD O A A λλλλλ-=-=+-=-+, (,23,32)(2,1,6)(2,13,23)BD OD OB λλλλλλ=-=-+--=+--,(1,3,2)(2,13,23)239461470AC BD λλλλλλλ⋅=-⋅+--=+-++-=-=, ∴12λ=,11(,,4)22OD =,11(,,4)22D ∴. （2)(2,1,3),(3,2,1)BA BC =-=--,∴222221(3)14,3(BA BC =++-==+=∴231(2)(3)(1)7BA BC ⋅=⨯+⨯-+-⨯-=,∴1cos cos ,214BA BC BA BC BA BCB ⋅=<===>,sin 2B =,S ==所以以,BA BC 为邻边得平行四边形的面积为本题考查空间向量的相关计算,属于基础题.19.如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为正方形,2PD DC ==,,E F 分别是,AB PB 的中点.（1)求证:EF CD ⊥；（2)求PC 与平面DEF 所成角的正弦值. 【答案】（1)证明见解析；（2)3. 【试题解析】（1)以D 为 原点,以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴,如图建立空间直角坐标系,证明0EF CD ⋅=即可；（2)求出平面DEF 的法向量,利用sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅==即可求出.【详细解答】（1)证明:以D 为 原点,以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴,如图建立空间直角坐标系,(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,0),(0,02),(2,1,0),(1,1,1)A B C D P E F (1,0,1),(0,2,0)EF CD =-=-,100(2)100EF CD ⋅=-⨯+⨯-+⨯=,所以EF CD ⊥,所以EF CD ⊥.（2)(2,1,0),(1,1,1),(0,2,2)DE DF PC ===-, 设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =,则00DE n DF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩,200x y x y z +=⎧⎨++=⎩,2y x z x=-⎧⎨=⎩,令1x =,则(1,2,1)n =-. 设PC 与平面DEF 所成角为θ,()()()()2222220122213sin cos ,86022121PC n PC n PC nθ⨯+⨯-+-⨯⋅=====⨯++-⨯+-+, 所以PC 与平面DEF 所成角的正弦值为32. 本题考查向量法证明线线垂直,考查线面角的向量求法,属于基础题. 20.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,2ABC π∠=,D 是棱AC 的中点,且11AB BC BB ===.（1)求证: 1//AB 平面1BC D ； （2)求直线1AB 到平面1BC D 的距离. 【答案】（1)证明见解析；（2)33. 【试题解析】（1)以B 为原点,以BC ,BA ,1BB 所在的直线分别为x ,y ,z 轴,求出平面1BCD 的法向量,通过数量积推出1AB n ⊥,得到1AB //平面1BC D .（2)通过直线上任一点到平面的距离都相等,(0,1,0)BA =,设直线1AB 到平面1BC D 的距离为d ,利用空间向量的数量积转化求解即可.【详细解答】（1)证明:以B 为原点,以BC ,BA ,1BB 所在的直线分别为x ,y ,z 轴, 如图建立空间直角坐标系,1111(0,0,0),(1,0,1),(,,0),(0,1,0),(0,0,1)22B C D A B ,1111(1.0,1),(,,0),(0,1,1)22BC BD AB ===-,设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =,则1·0·0BC n BD n ⎧=⎨=⎩,011022x z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,z xy x =-⎧⎨=-⎩, 令1x =,则(1,1,1)n =--,101(1)(1)1(1)0AB n =⨯+-⨯-+⨯-=,所以1AB n ⊥,因为1AB ⊂/平面1BC D ,所以1AB //平面1BC D .（2)【解析】：因为1AB //平面1BC D ,所以直线上任一点到平面的距离都相等,(0,1,0)BA =,设直线1AB 到平面1BC D 的距离为d ,则||3||3BA n d n ===, 所以直线1AB 到平面1BC D 的距离为33. 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用,向量法的应用,直线到平面距离的求法,考查空间想象能力以及计算能力,属于中档题.21.如图,四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面,点P 在圆柱OQ 的底面圆周上,G 是DP 的中点,圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =,圆柱的侧面积为83π,120AOP ︒∠=.（1)求点G 到直线BC 的距离；（2)求平面PAG 与平面BAG 的夹角的余弦值.【答案】（17；（215【试题解析】（1)取AP 中点E ,证明//GE BC ,BE BC ⊥,于是点G 到直线BC 的距离等于线段BE 的长；（2)证明AG ⊥平面PBD ,则PGB ∠为所求二面角的平面角,在直角三角形PBG 中计算cos PGB ∠即可.【详细解答】【解析】：（1)取AP 的中点E ,连接BE ,GE ,G 是PD 的中点,E 是AP 得中点,//GE AD ∴,又//BC AD ,//GE BC ∴,G ∴到直线BC 的距离等于E 到直线BC 的距离,BC ⊥平面ABP ,BE ⊂平面ABP ,BE BC ∴⊥,即E 到直线BC 的距离等于线段BE 的长,120AOP ∠=︒,2OA OP OB ===,2PB ∴=,AP =PE ∴=AB 是圆O 的直径,AP PB ∴⊥,BE ∴∴点G 到直线BC.（2)设圆柱高为h ,则圆柱的侧面积为:22h π⨯⨯=,解得h =即AD =又AP =AD AP ∴=,AG PD ∴⊥,AD ⊥平面APB ,PB ⊂平面APB , AD PB ∴⊥,AB 是圆O 的直径,AP PB ⊥,又AD AP A =,PB ∴⊥平面PAD ,PB AG ∴⊥,又PD PB P =, AG ∴⊥平面PBD ,PGB ∴∠为平面PAG 与平面BAG 所成二面角的平面角,由PB ⊥平面PAD 可得PB PD ⊥,在直角三角形PBG 中,2PB=,12PG PD ===BG ∴==cos PGPGB BG ∴∠==.所以平面PAG 与平面BAG .本题考查了线面平行与垂直的判定,考查空间距离与空间角的计算,属于中档题.22.如图（1)所示,在Rt ABC 中,90︒∠=C ,3,6BC AC ==,,D E 分别是,AC AB 上的点,且//,2DE BC DE =,将ADE 沿DE 折起到1A DE △的位置,使1A C CD ⊥,如图（2)所示.（1)求证:1A C ⊥平面BCDE ；（2)若M 是1A D 的中点,求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3)线段BC （不包括端点)上是否存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由.【答案】（1)证明见解析；（2)4π；（3)不存在,答案见解析. 【试题解析】(1)证明1A C 垂直平面BCDE 内两条相交直线即可；(2)建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,求出平面1A BE 的法向量n ,利用向量夹角公式,即可得CM 与平面1A BE 所成角.(3)假设存在P 点,设点P 的坐标为(0,,0)(03)m m <<,求出平面1A DP 法向量1n ,假设平面ADP 与平面1A BE 垂直,则10n n ⋅=,得出t 的值,从而得出结论.【详细解答】（1)CD DE ⊥,1A D DE ⊥,1,A D CD 是平面1A CD 内的两条相交直线, ∴DE ⊥平面1A CD ,又1AC ⊂平面1A CD , ∴1A C DE ⊥,又1A C CD ⊥,,DE CD 是平面BCDE 内的两条相交直线,1A C ∴⊥平面BCDE .（2)如图建系C xyz -,则(2,0,0)D -,(0,0,23)A ,(0,3,0)B ,(2,2,0)E -,∴1(0,3,23)A B =-,()2,1,0BE =--,设平面1A BE 的一个法向量为(,,)n x y z =则100A B n BE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ∴323020y z x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩ ∴32z yyx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴取2y =,得(1,2,3)n =-,又∵(3)M -,∴(3)CM =-,CM n θ<>=,CM 与平面1A BE 所成角α∴cos2||||14CM nCM nθ⋅====⋅+,cos cosαθ==∴CM与平面1A BE所成角的大小45︒.（3)设点P的坐标为(0,,0)(03)m m<<,1(2,,0)D mDPA==,设平面1A DP的法向量为1111(,,)n x y z=,则111DA nDP n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,11112020xx my⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,11112z xy xm⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,令1x,则1(3,23,)n m m=--.要使平面1A DP与平面1A BE垂直,需1(1)2(()0n n m⋅=-+⨯--=,解得2m=-,不满足条件.所以不存在这样的点P.本题考查线面垂直,考查线面角,考查面面垂直,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.既有传统方法,又有向量知识的运用,要加以体会,是中档题.。
山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题(解析版)
山东名校考试联盟2024年10月高三年级阶段性检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3全卷满分150分．考试用时120分钟．．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知()(){}23230,02x A x x x B x x +=∈−−==∈≤ − Q R∣，则A B = （ ）A. {}2B. {C. {}2D. ∅【答案】D 【解析】【分析】解方程与不等式求得集合,A B ，进而可求A B ∩.【详解】由2(2)(3)0x x −−=，可得2x =或x =，又Q x ∈，所以2x =，所以{2}A =；由302x x +≤−，可得(3)(2)020x x x +−≤ −≠，解得32x −≤<，所以{|32}Bx x =−≤<， 所以{2}{|32}A B x x =−≤<=∅ . 故选：D.2. 幂函数()23f x x =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的判定方法，得到函数()f x 为偶函数，再由幂函数的性质，结合选项，即可求解.【详解】由函数()23f x x ==，可得函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()f x f x −===，所以函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，又由幂函数的性质得，当0x ≥时，函数()f x 单调递增， 结合选项，选项B 符合题意. 故选：B.3. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ ，空气的温度是0C θ，那么min t 后物体的温度θ（单位：C ）可由公式)01010ktθθθθ−=+−⋅求得，其中k 是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有65C 的物体，放到15C 的空气中冷却，1min 后物体的温度是35C ，已知lg20.3≈，则k 的值大约为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出等式()3515651510k−=+−⋅，化简后即可求解.【详解】由题意知015C θ= ，165C θ=， 代入公式()01010ktθθθθ−=+−⋅，可得()3515651510k−=+−⋅，则2105k−=，两边同时取对数得2lg10lg 5k−=， 即lg2lg 50.30.70.4k −=−≈−=−，则0.4k =，故C 正确. 是故选：C.4. 如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5m 长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为1m 的正方形，已知该组合体的体积为32m 3，则其表面积为（ ）A. (22m +B. (23m +C. (22m +D. (23m +【答案】B 【解析】【分析】由题意先利用棱锥体积公式求出正四棱锥的高，然后再求出其斜面上的高，即可求解. 【详解】由题意知该组合体由长方体和正四棱锥组成，且该组合体的体积为32m 3， 长方体的体积为31110.5m 2××=，则正四棱锥体积为3211m 326−=， 所以正四棱锥的高为1316m 112×=×，2112×， 所以组合体的表面积为()(210.541143m ××+×=+，故B 正确.故选：B.5. 若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根，则1221x x x x +的最小值为（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】【分析】由题意及韦达定理可得122x x m +=+，12x x m =，从而得()2221212211222m mx x x x x x x x m+−++==，再结合基本不等式即可求解.【详解】由若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根， 所以122x x m +=+，12x x m =，则mm >0所以()()222212121212211212222x x x x m mx x x x x x x x x x m+−+−++===2244226m m m m m ++==++≥+=，当且仅当2m =时取等号，故C 正确. 故选：C.6. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且21nn S n T =+，则35=a b （ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C 【解析】【分析】分别设出为n S 和n T 的二次形式，由此求得35,a b ，即可化简后得到结果. 【详解】由等差数列{aa nn }和等比数列{bb nn }的前n 项和分别为n S 和n T ，所以可设()21n S kn n =+，n T kn =，0k ≠， 所以可得33255421101154a S S k k b T T k k−−===−−，故C 正确. 故选：C.7. 若2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1∞−− B. (),1−∞C. ()1,−+∞D. ()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】求导，利用导数，分0a =，0a >，0a <三种情况讨论可求实数a 的取值范围.【详解】由()222exax x f x +−=，可得()222(22)e (22)e (22)4(2)(2)(e e e)x x x x xax ax x ax a x ax x f x +−+−−+−+−−−′===， 若0a =，当2x <时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意，若0a ≠时，令()0f x ′=，可得(2)(2)0ax x −−−=，可得2x =或2x a=−， 若0a >时，则20a−<，当22x a −<<时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意， 若0a <时，则20a−>，由二次函数的(2)(2)y ax x =−−−图象可知， 要使2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点， 需22a−<，解得1a <−， 所以实数a 的取值范围是(,1)∞−−. 故选：A.8. 已知函数()()6sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A. 3,32B. 3,32C. 93,2D. 93,2【答案】D 【解析】【分析】化简得23()sin 24f x x ω=−，由题意可得2π2π3π3ω<≤，求解即可. 详解】()()()66224224sin cos 1sin cos sin sin ?cos cos 1f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=+−=+−+−()242242222sin sin ?cos cos 1sin cos 3sin ?cos 1x x x x x x x x ωωωωωωωω−+−=+−−22222313sin cos 13sin cos sin 24x x x x x ωωωωω=−−=−=− ，因为π0,3x ∈，2π20,3x ωω ∈ ， 【由函数()()66sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，可得2π2π3π3ω<≤，解得932ω<≤，所以ω的取值范围是9(3,]2.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若3n n S a n =+，则（ ） A. 112a =B. 数列{}1n a −为等比数列C. 312nn a =−D. 3332nn S n =−⋅+【答案】BCD 【解析】【分析】当1n =时，1131S a =+，解得112a =−；根据3n n S a n =+，可得当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−，从而得13122n n a a −=−，即()13112n n a a −−=−；根据B 可求得312nn a−=−；从而可求出333?2nn S n =−+.【详解】A ：当1n =时，1131S a =+，解得112a =−，故A 错误； B ：因为3n n S a n =+，当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−， 将两式相减可得1331n n n a a a −=−+，即13122n n a a −=−， 则()13112n n a a −−=−，因112a =−，则1312a −=−，数列{}1n a −为首项为32−，公比为32的等比数列，故B 正确；C ：由B 可得13331?222n n n a −−=−=−，所以312nn a =− ，故C 正确；D ：3333?2nn n S a n n =+=−+，故D 正确.故选：BCD.10. 已知幂函数()()293m f x m x =−的图象过点1,n m−，则（ ）A. 23m =−B. ()f x 为偶函数C. n =D. 不等式()()13f a f a +>−的解集为(),1−∞ 【答案】ABC 【解析】【分析】利用幂函数的定义结合过点1,n m−，可求,m n 判断AC ；进而可得函数的奇偶性判断B ；解不等式可求解集判断D.【详解】因为函数()()293m f x mx =−为幂函数，所以2931m −=，解得23m =±，当23m =时，幂函数()23f x x =的图象不可能过点3,2n − ，故23m ≠，当23m =−，幂函数()23f x x −=的图象过点2,3n，则2332n =，解得32()32n ==，故AC 正确； ()23f x x −=的定义域为{|0}x x ≠，且()2233()()f x x xf x −−−=−==，故()f x 为偶函数，故B 正确；函数()23f x x−=在(0,)+∞上单调递减，由()()13f a f a +>−，可得()()|1||3|f a f a +>−，所以1310a a a +<− +≠，解得1a <且1a ≠−，故D 错误.故选：ABC.11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=，若()2g x +的图象关于直线2x =−对称，且()()()111f x f x f x −++=+−，则（ ）A. ()g x 是偶函数B. ()f x 是奇函数C. 3为()y f x =的一个周期D.20251()0i g i ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】由()2g x +的图象关于直线2x =−对称，则可得()g x 关于xx =0对称，可对A 判断；由gg (xx )=ff ′(xx )，从而可得ff (xx )关于()0,1对称，可对B 判断；由ff (xx )关于()0,1对称，可得()()()113f x f x f x −+++=，故()()()213f x f x f x −+−+=，从而得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，可对C 判断；由()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，可对D 判断.【详解】A ：因为()2g x +的图象关于直线2x =−对称，故将()2g x +的图象向右平移2个单位后变为()g x 的图象，此时()g x 关于xx =0对称，所以()g x 是偶函数，故A 正确；B ：因为()g x 是偶函数，所以ff (xx )关于()0,c 对称且c 为常数，当xx =0时，()()()1110f f f −+=+，又因为()()112f f c −+=，()0f c =，所以1c =，所以ff (xx )关于()0,1对称，故B 错误； C ：因为ff (xx )关于()0,1对称，所以()()2f x f x −=−+，所以()()()()1113f x f x f x f x −++=+−=−，所以()()()113f x f x f x −+++=①，故()()()213f x f x f x −+−+=②，则①②两式相减得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，所以3是()y f x =的一个周期，故C 正确； D ：因为()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，且()g x 的周期为3，又因为20256753=×，所以()202510i g i ==∑，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：B 中因为()g x 是偶函数，所以可得ff (xx )关于()0,c 对称，从而可求出1c =；D 中可有()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，从而可知()g x 中连续3项之和为零.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数()ln f x x x =，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是 _____.【答案】10x y −−=【解析】【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出斜率，求出切点坐标，代入点斜式方程，即可得出答案.【详解】因为()ln 1f x x ′=+，所以()11f ′=. 根据导数的几何意义可知，曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率()11k f ′==. 又()10f =，所以，切线方程为1y x =−，即10x y −−=. 故答案为：10x y −−=. 13. 已知0a >且1a ≠，函数()2,1,1x x x f x a x ≥= <，若关于x 的方程()()2560f x f x −+=恰有3个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(]2,3 【解析】【分析】当1x ≥时，()2xf x =，方程()()2560fx f x −+=有2个不相等实数解，则当1x <时，()x f x a =，此时方程()()2560f x f x −+=只有1个实数解，对a 分类讨论，由()x f x a =的值域求实数a 的取值范围. 【详解】方程()()2560fx f x −+=，即()2f x =或()3f x =， 当1x ≥时，()2xf x =，由()2f x =解得1x =，由()3f x =解得2log 3x =； 当1x <时，()xf x a =，此时方程()()2560fx f x −+=只有1个实数解， 若01a <<，则()xf x a =在(),1∞−上单调递减，()(),f x a ∞∈+，的此时()2f x =和()3f x =都有解，不合题意，若1a >，则()xf x a =在(),1∞−上单调递增，()()0,f x a ∈，则23a <≤.所以实数a 的取值范围是(]2,3. 故答案为：(]2,314. 已知三棱锥A BCD −的四个顶点都在球O 的球面上，若AB CD =O 的半径为，则三棱锥A BCD −体积的最大值为__________．【答案】 【解析】【分析】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，CD ⊥平面ABN ，三棱锥A BCD −体积的最大值，求解即可. 【详解】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,OM AB ON CD ⊥⊥，由题意可得1,2OM ON ==，当,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，最大面积为1(12)2×+， 设C 到平面ABN 的距离为d ，由题意可得D 到平面ABN 的距离也为d ，当CD ⊥平面ABN 时，d 取最大值12CD =所以三棱锥A BCD −体积的最大值为112233ABN S d ××=×=故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15. 已知函数()2π2sin 4f x x x=+．（1）求()f x 在π0,2上的单调递增区间；（2）已知ABC 的内角,,A B C 的对边长分别是,,a b c，若π1212C f−，2c =，求ABC 面积的最大值． 【答案】（1）5π[0,]12（2）2 【解析】【分析】（1）化简π()12sin(2)3f x x =+−，利用πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，可求单调区间；（2）由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥，可求ab 的最大值，进而可求ABC 面积的最大值. 【小问1详解】()2π1cos 2π22sin 21sin 242x f x x x x x x−+=+=×−=+−πππ12(sin 2cos cos2sin 12sin(2)333x x x =+−=+−， 由πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，得π5πππ,Z 1212k x k k −+≤≤+∈， 又π0,2∈ x ，所以函数()f x 在π0,2上的单调递增区间为5π[0,]12；【小问2详解】由π1212C f−=−，得ππ12sin[2()]12123C +×−−，所以πsin()2C −，所以cos C =，因为0πC <<，所以π6C =，又2c =，在ABC中，由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥−，所以4(2ab ≤=，当且仅当a b ==时取等号，所以111sin 4(22222ABC S ab C =≤×+×=+所以ABC 面积的最大值为2． 16. 已知函数()()ln R mf x x m x=+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x −−+≤.【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数()()e e xg x xf x x =−−+，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得()0g x ≤，从而得证.【小问1详解】因为()ln mf x x x=+的定义域为()0,∞+， 所以()221m x mf x x x x −′=−=，当0m ≤时，()0f x ′>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0m >时，令()0f x ′=，得x m =， 当()0,x m ∈时，()()0,f x f x ′<单调递减， 当(),x m ∈+∞时，()()0,f x f x ′>单调递增， 综上，当0m ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，()f x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增. 【小问2详解】当1m =时，()1ln f x x x=+， 令()()e e ln e e 1xxg x xf x x x x x =−−+=−−++，则()ln e xg x x =−′， 令()()ln e xh x g x x ′==−，则()1e xh x x=′−，因为1x ≥，所以11,e e 1x x≤≥>， 所以当1x ≥时，()h x ′1e 0xx=−<恒成立，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，即()ln e x g x x =−′在[)1,+∞上单调递减，所以()()1e 0g x g ′≤−′=<， 所以()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即()e e 0xxf x x −−+≤. 【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<． （2）()f x a >恒成立()min f x a ⇔>；()f x a <恒成立()max f x a ⇔<．（3）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔−> ；()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔−< ； （4）1x M ∀∈，2x N ∀∈，()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>．17. 已知函数()33x x af x a+=−．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）当0a <时，函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −− ，求a 的取值范围．【答案】（1）1或1−（2）(,3−∞−− 【解析】【分析】（1）由ff (xx )为奇函数，可得()()0f x f x +−=，从而可求解； （2）当0a <时，可得()y f x =是单调增函数，从而可得即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，参数分离可得23313x x xa +=−，利用换元法设13xt =−，可得23a t t =+−，且1t <，再结合对勾函数性质从而可求解.【小问1详解】由()32133x xx a af x a a+==+−−，所以()22?31131?3x x x a a f x a a −−=+=+−−， 因为ff (xx )为定义域上的奇函数，所以()()0f x f x +−=， 即22?311031?3xx xa a a a +++=−−，化简得·3131?3x xx a a a a +=−−−， 则22222·3?3?33?3?30x x x x x x a a a a a a a −+−+−−+=，则得21a =， 所以aa =−1或1a =. 【小问2详解】当0a <时，()32133x x xa af x a a+==+−−，所以()y f x =是单调增函数， 由函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −−， 所以()3133m m m a f m a +==−−,()3133n n n a f n a +==−−，即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，则得23313x x xa +=−，设130xt =−<，则22332313x xxa t t +==+−−，0t <，根据对勾函数性质可得23y t t=+−在()上单调递减，(,−∞上单调递增，其中23y t t=+−在(),0−∞上的值域为(,3 −∞− ，当t =时取最大值，综上可得3a <−，所以a 的取值范围为(),3−∞−−. 18. 已知函数()()28ln 1exf x axbx =+++．（1）若()f x ′在R 上单调递减，求a 的最大值； （2）证明：曲线()y f x ′=是中心对称图形； （3）若()8ln2f x ，求a 的取值范围． 【答案】（1）1− （2）证明见解析 （3）(],1−∞−【解析】【分析】（1）对ff (xx )求导得()8e 21e x x f x ax b =+++′，令()8e 21exxg x ax b =+++，再结合基本不等式从而可得()8201e 2ex x g x a =++′≤+，即可求解. （2）由()()28f x f x b ′′−+=+，从而曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，即可求解. （3）分情况讨论求出0a <，4b =−，然后再利用导数讨论1a ≤−，10a −<<情况下，从而可求出a 的取值范围是(],1−∞−. 【小问1详解】由函数()()28ln 1e xf x ax bx =+++，所以()8e 21exxf x ax b =+++′， 令()8e 21e xxg x ax b =+++，因若ff ′(xx )在RR 上单调递减，则()()28e 822011e e 2exxxx g x a a =+=+++′≤+恒成立，因为1e 224e x x ++≥=，当且仅当xx =0时取等号， 则821e 2e x x −≥−++，所以821e 2ex x a ≤−++，即22a ≤−，得1a ≤−. 故a 的最大值为1−. 【小问2详解】证明：由（1）知()8e 21e x x f x ax b =+++′，则()8e 21exxf x ax b −−−=−++′， 则()()8e 8e 8e 8222281e 1e 1e 1ex x x x x x xf x f x ax b ax b b b −−−+=−++++=++=+′+′+++， 所以曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，是中心对称图形.【小问3详解】当aa >0时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾，所以0a ≤；为当0a =，0b ≥时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 当0a =，0b <时，则当x →−∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 所以0a <.当4b >−，则当402b x a +<<−时，()8e 24201exxf x ax b ax b =++>++>+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 当4b <−，则当402b x a +−<<时，()8e 24201ex x f x ax b ax b =++<++<+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 因此4b =−，所以()8e 241exxf x ax =+−+′， 当1a ≤−，由（1）可知ff ′(xx )在RR 上单调递减，又()00f ′=，所以当0x ≤时，()0f x ′≥，ff (xx )在区间(],0−∞上单调递增； 当xx >0时，()0f x ′<，ff (xx )在区间(0,+∞）上单调递减； 此时()()08ln 2f x f ≤=，符合题意； 当10a −<<，则当0ln 1x <<−时，()()()228e 82201e 1e xxxg x a a =+>+′>++，此时()()()00f x g x g >′==，则()()08ln 2f x f >=，不合题意. 综上所述：a 的取值范围是(],1−∞−.【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19. 若存在1,1,2,2,,,n n 的一个排列n A ，满足每两个相同的正整数()1,2,,k k n = 之间恰有k 个正整数，则称数列n A 为“有趣数列”，称这样的n 为“有趣数”．例如，数列7:4,6,1,7,1,4,3,5,6,2,3,7,2,5A 为“有趣数列”，7为“有趣数”．（1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由； ①2:1,2,1,2A ；②3:3,1,2,1,3,2A ． （2）请写出“有趣数列”4A 的所有可能情形；（3）从1,2,,4n 中任取两个数i 和()j i j <，记i 和j 均为“有趣数”的概率为n P ，证明：14n P <． 【答案】（1）①不是；②是（2）4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4 （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据“有趣数列”定义逐项判断即可求解.（2）分当两个1中间为2，当两个1中间为3，当两个1中间为4，共3种情况从而可找到符合题意的“有趣数列”，即可求解.（3）先设“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，从而可得()21111n n n k k k k k k a a a k k === +++=∑∑∑，可求得()1314nk k n n a =−=∑，再分情况讨论当()*43,42n m m m =−−∈N ，()*41n m m =−∈N ，()*4nm m ∈N 时符合“有趣数列”的情况，从而可得224C 1C 4nn nP =<，即可求解.【小问1详解】①2:1,2,1,2A 中两个2之间间隔数只有一个，故不是“有趣数列”， ②3:3,1,2,1,3,2A 中两个1之间间隔数有1个，两个2之间间隔数有2个， 两个3之间间隔数有3个，故是“有趣数列”.小问2详解】当两个1中间为2，不妨设1,2,1右边两个2中间可能为1,3或1,4， 则4A 可能为4,3,1,2,1,3,2,4或4,3,1,2,1,4,2,3，不符合题意； 当两个1中间为3，两个2中间可能为3,4或4,3，则4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4，符合题意；【当两个1中间为4，不妨设1,4,1右边两个2中间可能为3,4或4,3， 则4A 可能为1,4,1,2,3,4,2,3或1,4,1,2,4,3,2,3，不符合题意； 综上所述：“有趣数列”4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4. 【小问3详解】将“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项， 由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项， 于是()21111n nn k kk k k k a aa k k === +++=∑∑∑，则()()13221222nk k n n n n a =+++=∑，即()1314nk k n n a =−=∑，又因为1nk k a =∑为整数，故必有()314n n −为整数，当()*43,42n m m m =−−∈N时，()314n n −不可能为整数，不符合题意； 当()*41n m m =−∈N时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”41m A −为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,21,43,,21,42,m m m m m −−−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43m m m m m m −−−−+− ，符合题意； 当()*4nm m ∈N 时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”4m A 为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,4,43,,21,42,m m m m m m −−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43,21,4m m m m m m m m −−−−+−− ，符合题意；这里44,,2m m − 是指将44m −一直到2m 的偶数按从大到小的顺序进行排列，23,,1m − 是指将23m −一直到1的奇数按从大到小的顺序进行排列，故1,2,,4n 中的“有趣数列”为3,4,7,8,,41,4n n − 共2n 个，则所求概率为()224C 211C 2414nn nn P n −==<−. 【点睛】方法点睛：本题主要是根据“有趣数列”定义，理解并应用，对于（3）中主要巧妙设出“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项，从而求出()1314nk k n n a =−=∑，从而可求解.。
山东师范大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
山东师范大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数， 若(0,2]x ∀∈使得不等式(2)()0g x ah x -≥恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．(,-∞B ．(,-∞C ．(0,D ．)+∞ 2． 如图，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论：① //BD 平面11D CB ；② BD AC ⊥1；③ ⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．3． 集合{}{}2|ln 0,|9A x x B x x =≥=<,则AB =（ ）A ．()1,3B ．[)1,3C ．[]1,+∞D ．[],3e 4． 执行如图所示的程序框图，则输出结果S=（ ）A ．15B ．25C ．50D ．1005． 已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64 6． 等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47． 已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．28． 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）9． 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为1S 、2S 、3S ，则（ ）A ．123S S S <<B ．123S S S >>C ．213S S S <<D ．213S S S >> 10．已知平面向量(12)=，a ，(32)=-，b ，若k +a b 与a 垂直，则实数k 值为（ ） A ．15- B ．119 C ．11 D ．19【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力． 11．已知在平面直角坐标系xOy 中，点),0(n A -，),0(n B （0>n ）.命题p ：若存在点P 在圆1)1()3(22=-++y x 上，使得2π=∠APB ，则31≤≤n ；命题：函数x xx f 3log 4)(-=在区间 )4,3(内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）A ．)(q p ⌝∧B ．q p ∧C ．q p ∧⌝)(D ．q p ∨⌝)( 12．设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若6()mx y +展开式中33x y 的系数为160-，则m =__________．【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想． 14．不等式()2110ax a x +++≥恒成立，则实数的值是__________.15．已知数列{a n }满足a n+1=e+a n （n ∈N *，e=2.71828）且a 3=4e ，则a 2015= ．16．已知1,3x x ==是函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在32x = 处的导数302f ⎛⎫'<⎪⎝⎭，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________． 三、解答题（本大共6小题，共70分。
2020届山东省山东师范大学附中高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2020届山东省山东师范大学附中高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={x|y=lg （x ﹣2）}，则A∩（∁R B ）=（ ） A ．（2，4） B ．（﹣2，4） C ．（﹣2，2） D ．（﹣2，2] 【答案】D【解析】先求得集合B,再进行补集和交集的运算即可． 【详解】 B ={x |x ＞2}； ∴∁R B ={x |x ≤2}；∴A ∩（∁R B ）=（﹣2，2]． 故选：D ． 【点睛】本题考查描述法表示集合，交集和补集的运算．2．已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xx xx x xf x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xx y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数。
故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.3．已知2sin cos αα-=tan α=( )A.-2B.1-2C.2±D.12±【答案】A【解析】由2sin cos αα-=224tan 4tan 151tan ααα-+=+，即可求解.【详解】由题意知2sin cos αα-=222(2sin cos )4sin 4sin cos cos 5αααααα-=-+=，可得2222224sin 4sin cos cos 4tan 4tan 15cos sin 1tan ααααααααα-+-+==++， 即2tan 4tan 40αα++=，解得tan 2α=-， 故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数基本关系式的应用，其中解答中根据三角函数的基本关系式，得到关于tan α的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．函数 f （x ）=lnx+2x-6的零点x 0所在区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】C【解析】判断函数是连续增函数，利用函数的领导品牌定理，从而得到函数f （x ）=lnx+2x-6的零点所在的区间． 【详解】∵连续函数f （x ）=lnx+2x-6是增函数，∴f （2）=ln2+4-6=ln2-2＜0，f （3）=ln3＞0， ∴f （2）•f （3）＜0，故函数f （x ）=lnx+2x-6的零点所在的区间为（2，3）， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 5．已知1275a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1357b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25log 7c =，则a b c 、、的大小关系是（ ） A.b a c << B.c b a <<C.c a b <<D.b c a <<【答案】C【解析】由幂函数的运算知道1275a -⎛⎫= ⎪⎝⎭1257=<1,135 7b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,构造函数5()7x y = 是减函数，故a b <， 由运算公式得到25log 7c =0< ，故c 是最小的值，故c a b <<。
山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考数学试题
山东师大附中2019级数学2020年10月学业质量检测题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅰ卷两部分,共4页,满分为150分,考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3．第Ⅰ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其它笔.第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知向量),,4(),7,6,3(n m b a ==分别是直线21,l l 的方向向量,若21//l l ,则( ) A.28,8==n mB.28,4==m mC.328,8==n mD.328,4==n m 2.已知),5,7(),2,1,1(),4,1,2(m c b a =--=-=,若c b a ，，共面,则实数m 的值为( ) A.760B. 14C.12D.7623.在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是正方形,E 是PD 的中点,若c PC b PB a PA ===,,,则=BE ( )A.c b a 212121+- B.c b a 212321--C.212321+- D.232121+- 4.若向量)2,2,1(),5,4,(-=--=x ,且与的夹角的余弦值为62-,则实数x 的值为( ) A.3- B.11 C.3 D.113或-5.在长方体1111D C B A ABCD -中,1,1,21===AA BC AB ,则1BC 与平面D D BB 11所成角的正弦值为( )A.105 B. 1010 C.55 D.510 6.四棱锥ABCD P -中,)4,1,3(),0,1,2(),3,1,2(-=-=-=,则这个四棱锥的高为( )A.55 B.51 C.52D.552 7.已知向量)11,2()22,1(，，-==,则向量b 在向量a 上的投影向量为( )A.)94,94,92(---B.)94,94,92(C.)31,31,32(-D.)31,31,32(-- 8.在直三棱柱111C B A ABC -中,11===AC AB AA ,AC AB ⊥,N 是BC 的中点,点P 在11B A 上,且满足111B A P A λ=,则直线PN 与平面ABC 所成角θ取最大值时,实数λ的值为( )A.552 B.23 C.22 D.21 二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分） 9.下列命题中不正确的是( )=,共线的充要条件 B.若,共线,则CD AB //C.C B A ,,三点不共线,对空间任意一点O ,若OC OB OA OP 818143++=,则C B A P ,,,四点共面 D.若C B A P ,,,为空间四点,且有PC PB PA μλ+=),(不共线PC PB ,则1=+μλ是C B A ,,三点共线的充分不必要条件10.已知空间三点)4,0,3(),2,2,1(),1,0,1(---C B A ,则下列说法正确的是（ )A.3=⋅AC ABB.AC AB //C.32=BCD.563,cos =AC AB 11.在四棱锥ABCD S -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,2====SD SC SB SA ,则以下 结论正确的有（ )A.0=+++SD SC SB SAB.0=--+SD SC SB SAC. 0=-+-SD SC SB SAD.SD SC SB SA ⋅=⋅12.如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,点P 在线段C B 1（包括端点）上运动,则（ ) A.直线⊥1BD 平面D C A 11 B.三棱锥D C A P 11-的体积为定值 C.异面直线AP 与D A 1所成角的取值范围是]2,4[ππ D.直线P C 1与平面D C A 11所成角的正弦值的最大值为36 第Ⅱ卷三、填空题（本题共4个小题,每小题5分,共20分.）13.若)2,3,6(),2,1,2(-=-=b a ,且a b a ⊥+)(λ,则实数=λ .14.已知正四面体ABCD 的棱长为1,点F E ,分别是AD BC ,的中点,=⋅AF AE . 15.四棱锥ABCD P -中,⊥PD 底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,且3,1==AB PD ,G 是ABC ∆的重心,则直线PG 与DB 所成的角α的余弦值为 ,PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为 . （第一个空3分,第二个空2分）16.点P 是棱长为4的正四面体表面上的动点,MN 是该四面体内切球的一条直径,则PN PM ⋅的最大值是 .四、解答题（本题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）如图,已知1111D C B A ABCD -是四棱柱,底面ABCD 是正方形,231==AB AA ，,且︒=∠=∠6011CD C CB C ,设c CC b CB a CD ===1,,.(1)试用c b a ,,表示C A 1；(2)已知O 为对角线C A 1的中点,求CO 的长.18.（12分）已知空间三点)5,1,1(),6,1,2(),3,2,0(--C B A ．(1)若点D 在直线AC 上,且AC BD ⊥,求点D 的坐标； (2)求以BC BA ,为邻边的平行四边形的面积．19.（12分）如图,在四棱锥ABCD P -中,⊥PD 底面ABCD ,底面ABCD 为正方形,2==DC PD ,F E ,分别是PB AB ,的中点. (1)求证：CD EF ⊥；(2)求PC 与平面DEF 所成角的正弦值.20.（12分）如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,2π=∠ABC ,D 是棱AC的中点,且11===BB BC AB .(1)求证: //1AB 平面D BC 1；(2)求直线1AB 到平面D BC 1的距离.21.(12分)如图,四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面,点P 在圆柱OQ 的底面圆周上,G 是DP 的中点,圆柱OQ 的底面圆的半径2=OA ,圆柱的侧面积为π38,︒=∠120AOP .(1)求点G 到直线BC 的距离；(2)求平面PAG 与平面BAG 的夹角的余弦值.22.(12分)如图(1)所示,在ABC ∆Rt 中,︒=∠90C ,6,3==AC BC ,E D ,分别是AB AC ,上的点,且2,//=DE BC DE ,将ADE ∆沿DE 折起到DE A 1∆的位置,使CD C A ⊥1,如图（2）所示.(1)求证：⊥C A 1平面BCDE ；(2)若M 是D A 1的中点,求CM 与平面BE A 1所成角的大小；(3)线段BC （不包括端点）上是否存在点P ,使平面DP A 1与平面BE A 1垂直？说明理由.山东师大附中2019级数学2020年10月学业质量检测题答案 一、单项选择题1. C2.B3.C4.A5.D6.A7.B8.D 二、多项选择题9. ABD 10.AC 11.CD 12.ABD 三、填空题 13. 199-14.41 15.322 31 16.316四、解答题 17. 解：（1）c b a a b c CD CB CC CD BC AA DC AD A A C A ---=---=---=-+-=++=1111（2）由题意知32132,32132,0,3,2,2=⨯⨯=⋅=⨯⨯=⋅=⋅===b a c a b a c b a .)(21211c b a CA CO ++==)32320322(41)222(41)(412222222⨯+⨯++++⨯=⋅+⋅+⋅+++=++=c b c a b a c b a c b a CO 229429==. 18.解：（1）)2,3,1(-=AC)2,3,1(-==λλAC AD ,)23,32,()2,3,1(),2,3,1(λλλλλ+-=-+=-=-OA OD OA OD , )32,31,2()6,1,2()23,32,(--+=--+-=-=λλλλλλOB OD BD , 071464932)32,31,2()2,3,1(=-=-++-+=--+⋅-=⋅λλλλλλλBD AC ,21=λ,)4,21,21(),4,21,21(D OD =.（2）14)1()2(3,14)3(12),1,2,3(),3,1,2(222222=-+-+==-++=--=-=BC BA BC BA 7)1()3()2(132=-⨯-+-⨯+⨯=⋅BC BA ,2114147,cos cos =⨯===BCBA BC BA B ,23sin =B , 37231414=⨯⨯=S , 所以以BC BA ,为邻边得平行四边形的面积为37.19.（1）证明：以D 为 原点,以DP DC DA ,,所在的直线分别为z y x ,,轴,如图建立空间直角坐标系,)1,1,1(),0,1,2(),02,0(),0,0,0(),0,2,0(),0,2,2(),0,0,2(F E P D C B A)0,2,0(),1,0,1(-=-=CD EF ,001)2(001=⨯+-⨯+⨯-=⋅CD EF ,所以CD EF ⊥,所以CD EF ⊥.（2）)2,2,0(),1,1,1(),0,1,2(-===PC DF DE ,设平面DEF 的法向量为),,(z y x n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n DF n DE ,⎩⎨⎧=++=+002z y x y x ,⎩⎨⎧=-=x z x y 2,令1=x ,则)1,2,1(-=n . 设PC 与平面DEF 所成角为θ,236861)2(1)2(201)2()2(210,cos sin 222222=⨯=+-+⨯-++⨯-+-⨯+⨯=⋅==nPC n PC n PC θ所以PC 与平面DEF 所成角的正弦值为23. 20.（1）证明：以B 为 原点,以1,,BB BA BC 所在的直线分别为z y x ,,轴,如图建立空间直角坐标系,),1,0,0(),0,1,0(),0,21,21(),1,0,1(),0,0,0(11B A D C B)1,1,0()0,21,21(),1,0.1(11-===AB BD BC ，,设平面D BC 1的法向量为),,(z y x n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001n BD n BC ,⎪⎩⎪⎨⎧=+=+021210y x z x ,⎩⎨⎧-=-=x y x z ,令1=x ,则)1,1,1(--=n .0)1(1)1()1(101=-⨯+-⨯-+⨯=⋅n AB ,所以n AB ⊥1,因为⊄1AB 平面D BC 1,所以//1AB 平面D BC 1.（2）解,因为//1AB 平面D BC 1,所以直线上任一点到平面的距离都相等,)0,1,0(=BA ,设直线1AB 到平面D BC 1的距离为d ,则3331==⋅=nn BA d , 所以直线1AB 到平面D BC 1的距离为33. 21.（1）解：以P 为 原点,以AP 的延长线为x 轴,以PB 所在的直线为y 轴,如图建立空间直角坐标系,设圆柱的高为h ,则由侧面积得ππ3822=⨯h ,则32=h , 由︒=∠120AOP ,得2,32==BP AP .)3,0,3(),32,0,32(),32,2,0(),0,2,0(),0,0,32(),0,0,0(---G D C B A P ,)32,0,0(),3,2,3(=--=BC BG ,直线BC 的单位方向向量为)1,0,0(=u ,设点G 到直线BC 的距离为d ,则3,103)2()3(2222=⋅=+-+-=u BG BG7310)(22=-=⋅-=u BG BG d ,所以点G 到直线BC 的距离为7. （2）平面PAG 的法向量为)0,1,0(1=n ,)0,2,32(--=BA ,设平面BAG 的法向量为),,(z y x n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00,⎪⎩⎪⎨⎧=+--=--03230232z y x y x ,⎩⎨⎧-=-=x z x y 3,令1=x ,则)1,3,1(--=. 设平面PAG 与平面BAG 的夹角θ,则51553)1()3(1010)1(0)3(110cos cos 222222==-+-+⨯++-⨯+-⨯+⨯===θ, 所以平面PAG 与平面BAG 的夹角的余弦值为515. 22.（1）证明：BCDEC A BCDE CD BC C CD BC C A CD C A BC DE BC C A DE DC A C A DC A DE DC A DC D A D D A DC DC DE DA DE 平面平面平面平面平面⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⊥⊥11111111111,//, （2）解：以C 为 原点,以DC 的延长线为x 轴,以1,CA CB 所在的直线分别为z y ,轴,如图建立空间直角坐标系,)3,0,1(),0,2,2(),0,0,2(),0,3,0(),32,0,0(),0,0,0(1---M E D B A C ,)32,2,2(),32,3,0(),3,0,1(11--=-=-=E A B A CM ,设平面BE A 1的法向量为),,(z y x =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011A A ,⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-032220323z y x z y ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==y x y z 2123,令2=y ,则)3,2,1(-=. 设CM 与平面BE A 1的夹角θ,则2282432)1(3)1(332)1()1(sin222222=⨯=++-⨯++-⨯+⨯+-⨯-===θ因为]2,0[πθ∈,所以4πθ=,所以CM与平面BEA1所成角为4π.（3）解：设点P的坐标为)3)(0,,0(<<mm,)0,,2(),32,0,2(1mDPDA==,设平面DPA1的法向量为),,(1111zyxn=,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅111nDPnDA,⎩⎨⎧=+=+23221111myxzx,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=1111231xmyxz,令mx31=,则),32,3(1mmn--=.要使平面DPA1与平面BEA1垂直,需)(3)32(23)1(1=-⨯+-⨯+⨯-=⋅mmn,解得2-=m,不满足条件.所以不存在这样的点P.11。
山师附中2018级高考模拟数学参考答案
题号
9
10
11
12
答案
BCD
ABD
AB
ACD
三、填空题：本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分．
13. 12； 14. cos(2x ) （答案不唯一）； 15. 2 ； 3
17. （1）由题意得 b2 bc a2 c2 ，
16. [3 , 3 ] 42
由余弦定理
a2
b2
c2
2bc cos
（方法二）设 G(x) x 1 x e x ln x ，
则 G(x) ln ex ln x x ex 1 ln(x ex ) x ex 1 ，
令 x ex t （ t 0 ），即证明 ln t t 10 ，
令(t) ln t t 1 ，(t) 1 1 1 t ，
A 1,
0, 0,
B
1, 0,1,
M
0,
3 2
,
1 2
,
D
1,
0,
0
,
AB
Hale Waihona Puke 0,0,1,
AM
1,
3, 2
1 2
，
设平面 ABM 的的一个法向量为 m x, y, z ．
则有
mAB z 0 m AM x
3 2
y
1 2
z
0
2x
z
3y 0
,
取 y 2 ，则 m
3,2,0 ， m
2021 年普通高等学校招生全国统一（模拟）考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分．在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的．
新高考山东师范大学附属中学2023届高三上学期10月学情诊断考试数学试卷及答案
3.9.山东省山东师范大学附属中学2020级2022-2023学年10月学情诊断考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合A ={x |2≤x <4}，集合B =x |x 2-3x +2≥0 ，则A ∩∁R B =()A.{x |1<x <4}B.{x |1<x <2}C.{x |2≤x <4}D.∅2.“sin α=0”是“cos α=1”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知随机变量ξ服从正态分布N 2,σ2 ，且P ξ<4 =0.7，则P 0<ξ<2 =()A 0.1B . 0.2C . 0.3D . 0.44.在某款计算器上计算log a b 时，需依次按下“log ”，“(”，“a ”，“，”、“b ”，“)”6个键.某同学使用该计算器计算log a b(a >1,b >1)时，误将“log ”，“(”，“b ”，“，”“a ”，“)”这6键依次按下，所得到的值是正确结果的19倍，则()A.2a =bB.a 2b =1C.a 3=bD.a 3=b 25.函数f (x )=e ln |x |e x +e -x的图像大致为()A. B. C. D.6.已知关于x 的不等式ax 2+bx +1>0的解集为(-∞,m )∪1m ,+∞ ，其中m <0，则b a +2b的最小值为()A.-2B.2C.22D.37.已知函数f x 的定义域为R ，且f x +1 +f x -1 =2，f x +2 为偶函数，若f 0 =0，则110k =1f k =()A.109B.110C.111D.1128.已知a =5，b =15(ln4-ln3)，c =16(ln5-ln4)，则()A.a <c <bB.c <b <aC.b <a <cD.a <b <c二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
2021届山东师范大学附属中学高三上学期第二次月考(10月)数学试题(解析版)
【答案】BC
【解析】结合三角函数的性质，对四个命题逐个判断真假，即可得出答案.
【详解】
对于A，0小于 ，但0不是锐角，故A错误；
对于B，令 ，定义域为 ，且 ，即 ，所以函数 是偶函数，故B正确；
对于C，由 ，可得 ，则 ，解得 ，所以 ，故C正确；
对于D，在 中，若 ，则 ，所以 ， ，即C为锐角，而无法判断 是否为锐角，故不能判断 的形状，故D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.
三、填空题
13．欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于第______象限．
【答案】二
【解析】e2i＝cos2+isin2，根据2∈ ，即可判断出．
(1)当 时， ，所以 ，即 (舍)；
(2)当 时， 成立；
(3)当 时， ，则 或
，解得 或 ；
综上所述， .
故答案为:4; .
【点睛】
本题考查了基本不等式，考查了函数最值的求解，考查了分类的数学思想.求函数的最值时，可以结合函数的单调性求解，可以结合函数的图像进行求解，可以结合导数求解，也可以结合基本不等式求解.运用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.
【详解】
e2i＝cos2+isin2，
∵2∈ ，
∴cos2∈（﹣1，0），sin2∈（0，1），
∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．
故答案为：二
【点睛】
本题考查了复数的欧拉公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2018届山东省师范大学附属中学高三第十一次模拟数学(理)试题Word版含答案
2018届山东省师范大学附属中学高三第十一次模拟数学（理）试题本试卷共6页，共23题（含选考题），全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数()12i i a bi +=+, a R ∈, b R ∈, a b += A ．3- B ．1- C ．1 D ．32．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点()()20P a a a ≠，，则tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A ．7- B ．17-C ．17D ．7 3．已知单位向量1e →、2e →的夹角为3π，122a e e →→→=-，则a →在1e →方向上的投影为 A ．12- B ．12 C ．32- D ．324．袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“笫一次摸得红球”为事件A , “摸得的两球同色”为事件B ,则概率()|=P B AA ．14B ．12C ．13D ．345．给出下列四个结论：①命题“()20,1,3x x x ∀∈>”的否定是“()20,1,3x x x ∃∈≤”； ②“若3πθ=，则1cos 2θ=”的否命题是“若3πθ≠，则1cos 2θ=”； ③若“p q ∧”或“p q ∨”是真命题，则命题,p q 一真一假；④“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在()0,+∞上为减函数”的充要条件.其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（单位：立方升），则图中的x 为A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4 7．设点P 是椭圆22195x y +=上在第一象限内的一点，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，128||||3PF PF -=，则以P 为圆心，以2||PF 为半径的圆的标准方程为 A ．2255()(2)33x y -+-= B ．2255(2)()33x y -+-= C ．22525()(2)39x y -+-= D ．22525(2)()39x y -+-= 8．执行如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是(,15)x -，则x 的值为A ．27B ．81C ．243D ．7299．已知曲线1:sin C y x =，215:cos()26C y x π=-，则下列说法正确的是A ．把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移3π，得到曲线2C(第6题图)俯视图侧视图正视图1135.4xB ．把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移23π，得到曲线2C C ．把1C 向右平移3π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2C D ．把1C 向右平移6π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2C 10．点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，2AB BC ==，2AC =，若球的表面积为254π，则四面体ABCD 体积的最大值为A ．12B ．34C ．23D ．1 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为1l 、2l ， 经过右焦点F 的直线分别交1l 、2l 于A 、B 两点，若OA ，AB ，OB 成等差数列，且AF 与FB 反向，则该双曲线的离心率为A ．52B ．3C ．5D ． 5212．设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数t ，使得()0f t <。
山东师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试(11月)数学试题
6. 向量 a,b 满足 a = 1, 3 , b = 1, a + b = 3, 则 b 在 a 方向上的投影为
A. −1
B. − 1
1
C.
D. 1
2
2
( ) 7. 已知函数 f= ( x) lg x2 +1 + x ，若等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且
f (a1 − 1) =−10, f (a2020 − 1) =10，则 S2020 = （ ）
3
墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现有 A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在 A、B 材料上再结晶各做了 50 次试验，得到如下 等高条形图．
A 材料 B 材料 成功 不成功 合计
合计
（1）由上面等高条形图,填写 2×2 列联表,判断是否有 99%的把握认为试验成功与材料有
C. 函数 y = f (x) 在 (− π , 0) 上单调递增 2
D. 对任意 m ∈ R ，都有 f ( m ) = f (m) ，且 f (m) ≥ 0
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 若 a = 1+ bi ，其中 a、b 都是实数， i 是虚数单位，则 a + bi = ________． 1+ i
（2）若 cn = anbn ，求数列 {cn} 的前 n 项和Tn .
19. 如图，在三棱锥 P − ABC 中， ∆ABC 是边长为 4 的正三角形，
PA ⊥ PC ， PA = PC ， PB = 4 .
（1）证明：平面 PAC ⊥ 平面 ABC ；
（2）点 M 在棱 PC 上，且 MC = 2PM ，求二面角 M − AB − C 的大小．
山东省师大附中2021届高三数学上学期10月阶段性检测试题
山东省师大附中2021届高三数学上学期10月阶段性检测试题本试卷共5页，共150分，考试时间120分钟一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.l ．已知集合{}A=1,3a ，{}B=,a b ，若1AB=3⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则A ∪B=A ．11,3⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．11,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,3b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2．若实数x ＞y ，则 A ．log 0.5x ＞log 0.5yB ．x y ＞C ．x 2＞xyD ．2x ＞2y3．设随机变量X~N(μ，7)，若P(X ＜2)=P(X ＞4)，则 A ．μ=3，DX=7B ．μ=6，DX=7C ．μ=3，DX=7D ．μ=6，DX=74．设x ∈R ，则“｜x +1｜＜2”是“lg x ＜0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．设x ＞y ＞0，x +y =1，若，1()ya x=，1()log xyb xy =，1log yc x =，则实数a ，b ，c 的大小关系是 A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a6．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则下列命题中真命题是A ．若l ⊥β，则α⊥βB ．若l ⊥m ，则α⊥βC ．若α⊥β，则l ⊥mD ．若α∥β，l ∥m7．函数()()33lg xxf x x -=+⋅的图象大致为8．已知一组数据点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，…，(x 7，y 7)，用最小二乘法得到其线性回归方程为24y x=-+，若数据x1，x2，x3，…x7的平均数为1，则71iiy==∑A．2 B．11 C．12 D．149．用平面α截一个球，所得的截面面积为π，若α到该球球心的距离为1，则球的体积为A．83πB．823πC．82πD．323π10．在y=3x，y=log3x，y=x2，1yx=四个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使1212()()()22x x f x f xf++＞恒成立的函数个数是A．0 B．1 C．2 D．3二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分。
2021届山东省实验中学2018级高三下学期10月一诊考试数学试卷参考答案
5
5
5
故 (x x)( y y) (2) (8) (1) (6) 19 28 47 i 1
5
5
(x x)2 4 11 4 10, ( y y)2 64 36 9 81 64 254 ……………………4 分
i 1
i 1
则
n
bˆ
xi
i 1 n
x yi y xi x 2
VDCA中 CD AD , DAC = DCA=30o ， 所以 CD 1.……………………………………………………………………5 分 以 C 为原点，以 CB ， CA ， CP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标
系. C(0,0,0) , B(1,0,0) , A(0, 3,0) ， D( ,0) ， P(0,0, a) ，
③当 a＝－1 时,f(x)在(0,＋∞)上单调递减；
④当 a<－1 时,f(x)在0，－a1和(1,＋∞)上单调递减,在－1a，1上单调递增.……10 分
1
2021届山东省实验中学2018级高三下学期10月一诊考试数学试卷
19.解：依题意： x 1 2 3 4 5 3, y 8 10 13 25 24 16 ……………………2 分
21.解（1）已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为 1 ,每次试验间相互独立
4
，
所以，一只小白鼠第一天出现
Z
症状的概率为
p1
1 4
第二1 4
3 4
3 16
3 2021届山东省实验中学2018级高三下学期10月一诊考试数学试卷
22. …………2 分
4 2021届山东省实验中学2018级高三下学期10月一诊考试数学试卷
山东师大附中2018级数学2020年10月学业质量检测题及答案
13．欧拉公式 eix cos x i sin x （ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，被誉为
“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知， e2i 表示的复数在复平面中位于第
14．已知 (0, ) ，若 cos( ) 4 ，则 sin
A． (, ) 2
B．
(
,
)
2
C． (, ) 4
D． ( , ) 4
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
9．下列命题中真命题为
A．小于 的角一定是锐角
2 B．函数 y | sin x | cos 2x 是偶函数
16 （1）写出从药物释放开始， y 与 x 之间的函数关系式．
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室学习，
3
那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？ 19．（12 分）
已知 a ， b ， c 分别为△ABC 内角 A ， B ， C 的对边，若△ABC 同时满足下列四个条件中
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
4．若函数 f (x) a x1 3 (a 0, a 1) 的图象经过定点 P ，且点 P 在角 的终边上，则 tan
的值等于 ( )
A． 2
1
B．
2
C． 2
D． 1 2
5．当强度为 x 的声音对应的等级为
f
(x)
分贝时，有
f
2020-2021学年山东师范大学附属中学高一10月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年山东师范大学附属中学高一10月月考数学试题一、单选题1．如果集合{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}2,4,8A =，{}1,3,4,7B =，那么()U C A B ⋃=（ ） A ．{}4 B ．{}1,3,4,5,6,7 C ．{}1,3,7 D ．{}2,8【答案】B 【分析】首先求UA ，再求()U A B .【详解】因为集合{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}2,4,8A =， 所以{}1,3,5,6,7UA =,{}1,3,4,7B =，所以(){}1,3,4,5,6,7UA B =.故选：B【点睛】本题考查集合的交并补集，属于基础题型. 2．设集合{}04A x x =≤<，{}1B x x =>，则A B =（ ）A ．{}0x x ≥ B ．{}04x x <<C ．{}04x x ≤<D ．{}14x x <<【答案】D【分析】根据交集的定义直接计算AB .【详解】因为集合{}04A x x =≤<，{}1B x x =>， 所以{}14A B x x ⋂=<<. 故选：D【点睛】本题考查集合的交集，属于基础题型.3．设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩，则32f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．0 B ．1C ．12D ．32-【答案】A 【分析】先求32f ⎛⎫⎪⎝⎭，再求32f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】3321122f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()3121102f f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题型. 4．命题“x R ∀∈，211x +≥”的否定形式是（ ）A ．0x R ∃∈，2011x +≤B ．x R ∀∈，211x +≤C ．0x R ∃∈，2011x +<D ．x R ∀∈，211x +<【答案】C【分析】根据全称命题的否定形式，直接求解.【详解】全称命题“x R ∀∈，211x +≥”的否定是“0x R ∃∈，2011x +<”.故选：C【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题型.5．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如下图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）.A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc >【答案】C【分析】将赵爽弦图中的直角三角形的两直角边长度取作,a b ，分别求出正方形的面积，以及四个直角三角形的面积，即可得出结果.【详解】将赵爽弦图中的直角三角形的两直角边长度取作,a b ，斜边为222()c c a b =+， 则外围的正方形的面积为2c ，即22a b +； 四个阴影部分面积之和刚好为2ab ，对任意的正实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立.故选：C.【点睛】本题主要考查基本不等式的推导，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 6．已知集合{}2430,A x x x x R =-+=∈，{}05,B x x x N =<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B【分析】首先解出集合,A B ，再根据条件A C B ⊆⊆，求集合C 的个数. 【详解】由题意可知{}1,3A =，{}1,2,3,4B =， 若满足条件A C B ⊆⊆，则{}{}{}{}1,3,1,3,2,1,3,4,1,2,3,4C =共4个集合. 故选：B【点睛】本题考查子集，子集个数，属于基础题型. 7．已知条件：:0p x >或3x <-，条件2:56q x x ->，则q 是p 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先判断两个命题中集合的包含关系，再判断充分必要条件. 【详解】2256560x x x x ->⇔-+<，解得：23x << ， 所以设{0A x x =>或3}x <-，{}23B x x =<<，因为B A ≠⊂，所以q 是p 的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查充分必要条件，重点考查命题是集合形式时，如何判断充分必要条件，属于基础题型.8．若正实数x ，y 满足282x y xy +=-，则2x y +的最小值为（ ）A ．425B ．3C ．265D ．4【答案】D【分析】正实数x ，y 满足2280x y xy ++-=，利用基本不等式的性质可得222()802x y x y +++-，设20x y t +=>，即可求出2x y +的最小值． 【详解】解：正实数x ，y 满足2280x y xy ++-=，222()802x y x y +∴++-， 设20x y t +=>， 21804t t ∴+-，24320t t ∴+-，即(8)(4)0t t +-，4t ∴，故2x y +的最小值为4， 故选：D ．【点睛】本题考查了不等式的解法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、多选题9．下列()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）A ．()f x x =，()g x =B ．()1f x =，()()01g x x =-C ．()2f xx=，()()2xg x =D ．()293x f x x -=+，()3g x x =-【答案】AC【分析】将所给表达式化简，判断定义域和化简后表达式是否相同即可【详解】对A ，()g x x ==，故()f x 与()g x 是同一函数；对B ，()()()0111g x x x =-=≠，故()f x 与()g x 不是同一函数；对C ，()()210f x x x==>，()()()210xg x x ==>，故()f x 与()g x 是同一函数；对D ，()()29333x f x x x x -==-≠-+，故()f x 与()g x 不是同一函数；故AC 正确 故选：AC【点睛】本题考查同一函数的判断，抓住函数定义域和化简后表达式相同是解题关键，属于基础题10．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中的真命题是（ ） A ．若22ac bc >，则a b > B ．若0bc ad -≥，0bd >，则a b c db d++≤ C ．若0a b <<，则b aa b> D ．若a b >，11a b>，则0a >，0b < 【答案】ABD【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．【详解】解：对于A ：若22ac bc >，则20c >，所以a b >，故A 正确； 对于B ：若0bc ad -≥，0bd >，则0bc ad bd -≥，化为c ad b ≥，可得a b c d b d++≤，故B 正确；对于C ：若0a b <<，所以220a b >>，0ab >，则220b a b a a b ab --=<，故b a a b<，故C 错误； 对于D ：若a b >，11a b>，则110b aa b ab --=>，所以0ab <，所以0a >，0b <，故D 正确； 故选：ABD【点睛】本题考查了不等式的基本性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）A ．1ab ≤B 2≤C ．222a b +≥D ．112a b+≥ 【答案】ABCD【分析】A.由2a b +=≥ B.由()22=++≤+a b a b 判断；C.由()2222a b a b ab +=+-判断；D.由()111111122⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b 判断.【详解】因为0a >，0b >，2a b +=，所以2a b +=≥1≤，故A 正确；因为()224=++≤+=a b a b 2，故B 正确；因为()2222422+=+-≥-=a b a b ab ，故C 正确；因为()11111111122222⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b ，故D 正确. 故选：ABCD【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 12．下列说法正确的是（ ）A ．函数()22f x x x =-，则()()()321f f f >->B ．把函数22y x x =-的图象向左平移1个单位，向上平移1个单位，得到的函数解析式为2yxC ．函数()22f x x x =-（1x >或1x ≤-）的值域为()1,-+∞D ．若函数()22f x x x =-（1x >或1x ≤-）的图象与y m =有两个交点，则实数m的取值范围是3m ≥ 【答案】BCD【分析】根据二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()22f x x x =-，开口向上，对称轴的方程为1x =，因为21310-->->，所以()()()231f f f ->>，所以不正确；对于B 中，函数222(1)1y x x x =-=--的图象向左平移1个单位，向上平移1个单位， 可得2222[(1)1]1y x x x x =-=+--=，所以是正确的； 对于C 中，由函数()222(1)1f x x x x =-=--，当1x >时，()(1)1f x f >=-；当1x ≤-时，()(1)3f x f ≥-=， 所以函数()f x 的值域为()1,-+∞，所以是正确的；对于D 中，由函数()22f x x x =-在(,1]-∞-上单调递减，在(1,)+∞递增，且当1x >时，()1f x >-；当1x ≤-时，()(1)3f x f ≥-=，要使得函数()f x 的图象与y m =有两个交点，可得3m ≥，所以是正确的. 故选：BCD【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，逐项进行判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.三、填空题13．已知函数()123f x x +=-，则()f x =_________. 【答案】25x -【分析】根据换元法，令1t x =+得1x t =-，代入题中条件，即可得出结果. 【详解】令1t x =+，则1x t =-，代入()123f x x +=-可得()()21325f t t t =--=-，所以()25f x x =-.故答案为：25x -.【点睛】方法点睛：本题考查换元法求函数解析式，属于基础题. 已知()()f g x 的解析式求()f x ，常用换元法求解析式，一般步骤为： （1）先令()t x g =，用t 表示x ，即得到t 关于x 的表达式；（2）将（1）中所得表达式代入所给函数，化简整理，得到()f t ，根据相等函数的概念，即可得出结果.14．如果关于x 的不等式210ax bx ++<的解集为12x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭，则-a b 等于_______ 【答案】5- 【分析】由题可得12-和13是方程210ax bx ++=的两个根，利用韦达定理即可求得,a b ，即可求出-a b .【详解】由题可得12-和13是方程210ax bx ++=的两个根，且0a <， 112311123b a a⎧-+=-⎪⎪∴⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得6,1a b =-=-， 5a b ∴-=-.故答案为：5-.【点睛】本题考查已知一元二次不等式的解集求参数，属于基础题.15．某种品牌的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车车速km/h x 有如下关系：21118180s x x =+，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为_______km/h 【答案】80【分析】利用函数关系式，根据在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40m ，建立不等关系，解不等式即可求得结论． 【详解】因为这种车的刹车距离不小于40m ， 所以2114018801x x +≥， 移项、整理、化简得不等式21072000x x +-≥． 即()()80900x x -+≥ ， 因为0x > 所以可得80x ≥．这辆汽车刹车前的车速至少为80km/h ． 故答案为：80【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查解不等式，属于基础题．16．已知集合{}P x y x R ==∈，0,3x a Q xx R x a -⎧⎫=≤∈⎨⎬-+⎩⎭，若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[)3,4 【分析】由题判断PQ ，再由端点值建立不等式即可求解【详解】化简得{}{}13P x y x R x x ==∈=≤≤，{}0,33x a Q x x R x a x a x a -⎧⎫=≤∈=-<≤⎨⎬-+⎩⎭，由“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件得PQ ，故满足313a a -<⎧⎨≥⎩，解得[)3,4a ∈，故答案为：[)3,4【点睛】本题考查由命题的充分不必要条件求解参数取值范围，属于基础题四、解答题17．已知函数()f x =A ，()21g x x =-+的值域为B ，设全集U =R （1）求A ，B ； （2）求()U A C B ⋂【答案】（1）{}12A x x =-≤<；{}1B y y =≤；（2）(){}12U A C B x x ⋂=<<. 【分析】（1）根据函数()f x 的特征求函数的定义域A ，再利用二次函数的形式直接求值域B ；（2）根据（1）的结果直接求()U A C B ⋂. 【详解】（1）由题意得：10420x x +≥⎧⎨->⎩，解得12x -≤<，所以函数()f x 的定义域{}12A x x =-≤<.. 因为对任意x ∈R ，20x ≥，所以211x -+≤， 所以函数()g x 的值域{}1B y y =≤；.. （2）由（1）知{}1B x x =≤， 所以{}1U C B x x =>， 所以(){}12U A C B x x ⋂=<<.【点睛】本题考查具体函数的定义域和值域，以及集合的交并补集的运算，属于基础题型.18．（1）解关于x 的不等式2230x x -->； （2）解关于x 的不等式101xx -≥+ （3）若命题“x R ∃∈，2330x bx ++<”为真，求b 的取值范围 【答案】（1）{1.5x x >或}1x <-；（2）{}11x x -<≤；（3）()(),66,-∞-+∞.【分析】（1）（2）直接由一元二次不等式的解法求解即可； （3）对命题分析可知，对应>0∆，解不等式可求b 的取值范围【详解】（1）2230x x -->，所以()()2310x x -+>，解得32x >或1x <- 所以不等式()2220x a x a +-->的解集为{1.5x x >或}1x <-；（2）不等式101xx -≥+，所以()()110x x -+≤且1x ≠-，解得11x -<≤， 所以不等式101xx -≥+的解集为{}11x x -<≤； （3）“x R ∃∈，2330x bx ++<”命题为真，即不等式2330x bx ++<有解， 所以24330b ∆=-⨯⨯>，解得6b >或6b <- 所以b 的取值范围为()(),66,-∞-+∞【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，由命题为真求解参数取值范围，属于基础题 19．（1）设03x <<，求()23x x -的最大值（2）当3x >时，求223x x -的最小值【答案】（1）92；（2）24. 【分析】（1）由基本不等式得()232322x x x x +-⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，化简即可求解；（2）将223x x -变形为()()223123183x x x -+-+-，再化简结合基本不等式即可求解【详解】（1）03x <<，30x ∴->，()23923222x x x x +-⎛⎫∴-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当3x x =-，即32x =时，等号成立 {}3032x x ∈<<，()()2303x x x ∴-<<的最大值为92； （2）3x >，30x ∴->()()222312318233x x x x x -+-+∴=--()1823123x x =-++-1224≥= 当且仅当()18233x x -=-，即6x =时，上式等号成立，223x x ∴-的最小值为24. 【点睛】本题考查由基本不等式求积的最大值与和的最小值，熟练使用形如b a b a a+≥+≥ 20．已知函数()22f x x x =+（1）求()1f ，()2f 的值；（2）设1a b >>，试比较()f a ，f b 的大小，并说明理由；（3）若不等式()()21211f x x m x -≥-++-对一切x 恒成立，求实数m 的最大值 【答案】（1）()13f =，()25f =；（2）()()f a f b >，答案见解析；（3）1-.【分析】（1）代值即可求解；（2）采用作差法得()()()2f a f b a b a b ab ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭，分析正负即可判断； （3）将条件化简得2430x x m -+-≥对一切x 恒成立，即0∆≤恒成立，解不等式即可【详解】（1）因为()22f x x x =+，所以()221131f =+=，()222252f =+=； （2）()()f a f b >，理由如下：.()()2222f a f b a b a b ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭()2a b a b ab ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 因为1a b >>，则2a b +>，1ab >，所以22ab <，即20a b ab +->，0a b ->， 所以()20a b a b ab ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即()()f a f b >； （3）因为函数()22f x x x =+，则不等式可化为()()22212111x x m x x -+≥-++--， 化简可得2430x x m -+-≥对一切x 恒成立，所以()24430m ∆=-⨯-≤，解得1m ≤- 所以m 的取值范围为(],1-∞-.所以实数m 的最大值为1-.【点睛】本题考查函数值的求解，作差法比较大小，由不等式恒成立求解参数取值范围，属于中档题21．已知二次函数()2f x x bx c =-++（b ，c 为常数），其图象的对称轴为直线1x =，且方程()14f x x =+有两个相等的实数根 （1）求函数()f x 的解析式；（2）已知函数()f x 的最大值为d ，解关于x 的不等式：()20x a d x a -++≤ 【答案】（1）()22f x x x =-+；（2）答案不唯一，具体见解析. 【分析】（1）由对称轴可求出2b =，再由方程()14f x x =+有两个相等的实数根，利用0∆=求出0c ，即得解析式；（2）求出最大值1d =，可得不等式为()()10x a x --≤，讨论a 的范围可解出不等式.【详解】（1）二次函数()2f x x bx c =-++的对称轴为直线1x =， 12b ∴=，即2b =. 方程()14f x x =+有两个相等的实数根， ∴一元二次方程2104x x c -++-=有两个相等的实数根， 11404c ⎛⎫∴∆=+-= ⎪⎝⎭，0c ∴=. ()22f x x x ∴=-+；（2）()()max 11f x f ==，1d ∴=，()20x a d x a ∴-++≤，即()210x a x a -++≤，()()10x a x ∴--≤，当1a >时，解得1x a ≤≤.当1a =时，解得1x =，当1a <时，解得1a x ≤≤，综上，当1a >时，不等式的解集是{}1x x a ≤≤，当1a =时，不等式的解集是{}1x x =，当1a <时，不等式的解集是{}1x a x ≤≤.【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，考查含参一元二次不等式的求解，属于基础题.22．为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且()210100,040100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，有市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部售完（1）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数解析式（利润=销售额-成本）；（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）()210600250,040100009200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【分析】（1）根据题中条件，分040x <<，40x ≥两种情况，由条件条件，即可得出利润关于年产量的解析式；（2）根据（1）的结果，分别求出040x <<，40x ≥对应的函数最值，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）因为投入成本()210100,040100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩， 由题意，当040x <<时，()()270010100250W x x x x =-+-210600250x x =-+-；当40x ≥时，()100007007019450250W x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭100009200x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，. ()210600250,040100009200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）若040x <<，()()210308750W x x =--+，当30x =时，()max 8750W x =万元若40x ≥，()10000920092009000W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=，即100x =时，()max 9000W x =万元. ∴2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【点睛】方法点睛：本题主要考查分段函数模型的应用，考查利用基本不等式与二次函数的性质求最值，属于常考题型.函数模型的问题，一般分为利用给定函数模型解决实际问题，和建立拟合函数模型解决实际问题，考查函数与方程的思想，以及学生的计算能力.。