百师联盟2020届高三5月月考(全国卷Ⅰ) 数学(文) (含答案)
2020届百师联盟高三练习题五(全国Ⅰ卷)数学(文)试题(解析版)
2020届百师联盟高三练习题五（全国Ⅰ卷）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|13}P x x =<<，集合{|ln(2)}Q x y x ==-，则()P Q ⋂=R ð（ ）． A ．{|23}x x ≤< B ．{|13}x x <<C ．{|12}x x <≤D ．{|12}x x <<【答案】C【解析】根据对数真数为正实数化简集合Q 的表示，根据补集的定义、交集的定义进行求解即可. 【详解】20x ->，得2x >，则{|2}Q x x =>，所以{|2}Q x x =≤R ð，即(){|12}P Q x x ⋂=<≤R ð． 故选：C 【点睛】本题考查了集合补集和交集的运算，考查了对数型函数的定义域，考查了数学运算能力. 2．在递增等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则7S =（ ）． A ．1272B ．212C ．632D ．638【答案】A【解析】根据等比数列的下标性质，通过解方程，结合等比数列的通项公式求出等比数列的公比，最后利用等比数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】{}n a 是等比数列，所以有21544a a a a =⋅=⋅，245a a +=，因为{}n a 是递增等比数列，解得21a =，44a =，所以2424a q a ==，得2q =或2q =-（舍），112a =，所以()717112712a q S q -==-． 故选：A 【点睛】本题考查了等比数列的下标，考查了等比数列前n 项和公式，考查了等比数列基本量计算，考查了数学运算能力.3．已知函数22,1()21,1x x f x x x x ⎧≤=⎨+->⎩，则满足不等式()21(1)f a f a -≥-的实数a的取值范围为（ ）． A ．[1,2]-B ．[2,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞UD ．(,1][2,)-∞-+∞U【答案】B【解析】先判断函数的单调性，再根据单调性进行求解即可. 【详解】因为函数()f x 在(,1]-∞和(1,)+∞上均单调递增，且122=，212112+⨯-=，所以函数()f x 在R 上单调递增，若()21(1)f a f a -≥-，即211a a -≥-，解得21a -≤≤．故选：B 【点睛】本题考查了分段函数的单调性，考查了指数函数和二次函数的单调性，考查了数学运算能力.4．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，且满足(2)1f =，则不等式2(3)10x f x ++<的解集为（ ）．A ．(,2)(1,)-∞--+∞UB ．(1,2)C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．(2,1)--【答案】D【解析】根据奇函数的性质先判断奇函数的单调性，再根据单调性和奇函数的性质进行求解即可. 【详解】由奇函数图象性质知()f x 的图象在R 上单调递增，(2)(2)1f f -=-=-， 则()2310f x x ++<，即()231(2)f x x f +<-=-，所以232x x +<-，解得(2,1)x ∈--．故选：D本题考查了奇函数的性质，考查了利用单调性求解不等式解集问题，考查了数学运算能力.5．已知点F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，点P 是该双曲线渐近线上一点，若POF V 是等边三角形（其中O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）．A B ．2C ．3D 【答案】B【解析】根据等边三角形的性质，结合双曲线渐近线方程、离心率公式、,,a b c 之间的关系进行求解即可. 【详解】由P 在渐近线上且POF V 是等边三角形，其中一条渐近线的斜率tan 60ba=︒=所以离心率2e ==． 故选：B 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，考查了等边三角形的性质，考查了数学运算能力. 6．希尔伯特在1900年提出了孪生素数猜想，其内容是：在自然数集中，孪生素数对有无穷多个．其中孪生素数就是指相差2的素数对，即若p 和2p +均是素数，素数对(,2)p p +称为孪生素数．从15以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）． A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】C【解析】先求出15以内的素数，然后再确定素数对，最后根据古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】依题意，15以内的素数有2，3，5，7，11，13，共有6个，由列举可知．从中选取两个共包含15个基本事件，而孪生素数有(3,5)，(5,7)，(11,13)三对，包含3个基本事件，所以概率为31155=．【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了古典概型计算公式，考查了数学运算能力.7．图1中茎叶图是某班英语测试中学号为1至15号同学的成绩，学生成绩的编号依次为1a ，2a ，3a ，…，15a ，则运行图2的程序框图，输出结果为（ ）．A ．121B ．119C ．10D ．5【答案】C【解析】通过执行程序框图识别框图的功能，再根据茎叶图统计出相应分数的人的个数即可. 【详解】由程序框图可知该框图的功能是统计分数不小于120分的人数．通过茎叶图可知分数不小于120分的人数为10. 故选：C 【点睛】本题考查了程序框图的功能，考查了茎叶图的应用，属于中档题.8．在如图的正方体ABCD A B C D ''''-中，3AB =，点M 是侧面BCC B ''内的动点，满足AM BD '⊥，设AM 与平面BCC B ''所成角为θ，则tan θ的最大值为（ ）．A．22B．2C．43D．34【答案】B【解析】结合正方体的性质，根据线面垂直的判定定理，可以证明出BD'⊥平面ACB'，这样可以根据题意确定M的轨迹，利用线面角的定义，结合正切函数的性质进行求解即可.【详解】如图，连结AB'，B C'，AC，易证得BD'⊥平面ACB'，因为AM BD'⊥所以AM⊂平面ACB'，又因为M∈平面BCC B''，所以M在B C'上移动．如图AB⊥平面BCC B''，所以AMBθ=∠，在Rt AMB△中，tanABBMθ=，当BM最小时，tanθ最大．即当BM B C'⊥时，BM最小，值为322，所以maxtan2322θ==．故选：B【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了线面角的最值问题，考查了数学运算能力.9．已知向量mr和向量nr满足||2||2m n==r r，且||||m n m n-=+r r r r，则向量mr与2m n-r r 的夹角为（）．A．34πB．2πC．3πD．4π【答案】D【解析】根据平面向量模的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为||||m n m n-=+r r r r，所以有22()()m n m n-=+r r r r，所以化简得：m n ⊥r r，|2|m n -===r r(2)cos |||2|2m m n m m n θ⋅-===⋅-r r rr r r，所以θ=4π． 故选：D 【点睛】本题考查了平面向量夹角公式的应用，考查了平面向量模的运算性质，考查了数量积的运算性质，考查了数学运算能力. 10．定义运算a b ad bc c d=-，若sin sin cos cos αβαβ=，sin α=，,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则β=（ ）． A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】B【解析】根据题中定义，化简sin sin cos cos αβαβ=，根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式，可以求出sin β的值，最后确定β的值. 【详解】由题sin sin sin cos cos sin sin()cos cos αβαβαβαβαβ=-=-=，因为α，β均为锐角，所以22ππαβ-<-<，所以cos()αβ-=．又sin α，所以cos 5α=， sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---5105102⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4πβ=． 故选：B 【点睛】本题考查了两角差的正弦公式的应用，考查了新定义阅读能力，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.11．已知函数223,1()2,1x x x x f x x ⎧+-≤=⎨>⎩，则函数(())y f f x =图象与直线4y =的交点个数为（ ）． A ．5 B ．6C ．4D ．3【答案】D【解析】画出函数()y f x =的图象，问题转化为方程(())4f f x =的根的个数，运用换元法，结合函数图象，分类讨论进行求解即可. 【详解】如图为函数()y f x =的图象，函数(())y f f x =图象与直线4y =的交点个数即为方程(())4f f x =的根的个数，令()t f x =，则()4f t =．即寻找直线y t =与()y f x =图象的交点个数．当1t >时，24t =，得2t =，与()y f x =的图象1个交点；当1t ≤时，2234t t +-=，解得122t =--或1221t =-+>（舍），当122t =--时，41220-<--<，y t =与()y f x =图象的2个交点．综上所述，直线y t =与()y f x =图象一共4个交点．即满足题意的交点个数为3个． 故选：D【点睛】本题考查了两个函数图象交点个数问题，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力. 12．如图在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，2D π∠=，4AB =，2AD CD ==，将该图形沿对角线AC 折成图中的三棱锥B ACD -，且23BD =体积为（ ）．A ．323πB ．163πC ．83π D ．833π 【答案】A【解析】根据勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理可以证明出BC ⊥平面ACD ．如图将三棱锥B ACD -补成三棱柱BEF CDA -，这样利用勾股定理和球的体积公式进行求解即可. 【详解】在梯形ABCD 中，易得22AC BC ==，BC AC ⊥．在三棱锥B ACD -中，因为23BD =，所以222BD BC CD =+，所以BC CD ⊥，则知BC ⊥平面ACD ．如图将三棱锥B ACD -补成三棱柱BEF CDA -，即寻找三棱柱的外接球，因为上下底面均为直角三角形，所以分别取斜边中点M ，N ，连结MN ，取MN 中点O ，则点O 即为外接球球心，AO 即为外接球半径，则222r OA OM MA ==+=，所以343233V r ππ==．故选：A【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了三棱锥外接球体积问题，考查了割补法的运用，考查了数学运算能力.二、填空题13．如图为制作某款木制品过程中的产量x 吨与相应的消耗木材y 吨的统计数据，经计算得到y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.85yx =+，由于某些原因m 处的数据看不清楚了，则根据运算可得m =__________．【答案】5.5【解析】根据线性回归方程过样本中心点，结合平均数的定义、线性回归方程进行求解即可. 【详解】由题可知3456942x +++==，又知线性回归方程必过样本中心点(),x y ，将92x =代入ˆ0.70.85yx =+，得4y =，即2.2 3.5 4.844m+++=，解得 5.5m =． 故答案为：5.5 【点睛】本题考查了线性回归方程的性质，考查了平均数的定义，考查了数学运算能力.14．在复平面内，复数z 满足：||||6z z -++=，则复数z 对应的点的轨迹方程是__________．【答案】22197y x +=【解析】设z 对应点(,)P x y ，根据复数模的计算公式，结合椭圆的定义进行求解即可. 【详解】设z 对应点(,)P x y ，则||||z z -++=6=，设点A ，(0,B ，则||||6||PA PB AB +=>，所以点P 在以A ，B 为焦点的椭圆上，轨迹方程为22197y x +=．故答案为：22197y x +=【点睛】本题考查了复数模的计算公式，考查了椭圆的定义，考查了数学运算能力. 15．已知数列{}n a 中，11a =，12(1)n n a a n n +-=+，则n a =__________．【答案】23n-【解析】运用累和法，结合裂项相消法进行求解即可. 【详解】由题当2n ≥时，12112(1)1n n a a n n n n -⎛⎫-==- ⎪--⎝⎭，则()()()()()1112233221n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=+-+-+-+-+-…111111111112121322312n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…121213n n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭．故答案为：23n- 【点睛】本题考查了数列累和法，考查了裂项相消法，考查了数学运算能力.16．已知点F 是抛物线216y x =的焦点，直线l 经过点F 与抛物线交于A ，D 两点，与圆22(4)16x y -+=交于B ，C 两点（如图所示），则||||AB CD ⋅=__________．【答案】16【解析】设点()11,A x y ，()22,D x y ，根据圆的性质，结合抛物线的定义，可以求出||||AB CD ⋅的表达式，设直线l 的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系进行求解即可. 【详解】设点()11,A x y ，()22,D x y ，抛物线焦点(4,0)F ，圆22(4)16x y -+=的圆心为F ，则1||||||||4AB AF BF AF x =-=-=，2||||||||4CD DF CF DF x =-=-=． 所以12||||AB CD x x ⋅=．由题可知直线l 的斜率不为0，所以设直线方程为4x ty =+，与抛物线方程联立得216640y ty --=，即1264y y =-,221212161616y y x x =⋅=，所以||||16AB CD ⋅=． 故答案为：16 【点睛】本题考查了抛物线的定义和圆的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数的应用，考查了数学运算能力.三、解答题17．如图在四边形ABCD 中，21sin ACD ∠=，3D π∠=，7AC =．（1）求CD ；（2）若1BC =，34BCD π∠=，求ABC V 的面积． 【答案】（1）3CD =（2）2264【解析】（1）运用正弦定理，结合余弦定理进行求解即可； （2）运用两角差的正弦公式，结合三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）在ACD V 中，由正弦定理得，sin sin AD ACACD D=∠∠，所以217723AD ==．设CD x =，由余弦定理得2222cos 3AC AD CD AD CD π=+-⋅，即2230x x --=，解得3x =或1-（舍）．所以3CD =． （2）由题27cos ACD ∠=， 所以227221(23)14sin sin()227BCA BCD ACD +∠=∠-∠=⨯+⨯=， 所以11(23)14226sin 722ABC S S AC BC BCA ++==⨯⋅⋅∠=⨯⨯=． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查了两角差的正弦公式的应用，考查了数学运算能力.18．在四棱锥P ABCD -中，AD ∥BC ，AD ⊥平面PAB ，423AD BC ==，6AB =，PA PC =，点E 是AB 边上靠近B 点的三等分点．（1）证明：CD ⊥平面PCE ；（2）若PCE V 的面积为63P 到底面ABCD 的距离． 【答案】（1）见解析（2）33【解析】（1）取AD 中点F ，连结CF ，根据平行线的性质，结合勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理和性质定理、全等三角形的性质进行证明即可； （2）利用三棱锥的等积性和体积公式进行求解即可. 【详解】（1）因为AD BC ∥，AD ⊥平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，所以AD AB ⊥，BC AB ⊥，2DAP π∠=．因为6AB =，E 是AB 边上靠近B 点的三等分点，所以4AE =，2BE =． 在Rt EBC V 中，4CE =，在Rt ADE V 中，8DE =． 取AD 中点F ，连结CF ，在Rt CDF V 中，43CD =，所以222CD CE DE +=，即CD CE ⊥． 由题可知CD AD =，PA PC =，所以PAD PCD △≌△，即2DAP DCP π∠=∠=，所以DC PC ⊥，又知PC EC C ⋂=， 所以CD ⊥平面PCE ．（2）由（1）知CD ⊥平面PCE ．所以三棱锥D PCE -的底面为PCE V ，高为43CD =，在底面梯形ABCD 中，连接DE ，CDE △的面积为：CDE S S =△梯形(2343)643423283ABCD ADE BCE S S +⨯⨯⨯--=--=△△又知D PCE P CDE V V --=，所以1133PCE CDE S CD S h ⨯⨯=⨯⨯△△ 解得33h =．所以点P 到底面ABCD 的距离为33．【点睛】本题考查了线面垂直的证明，考查了点到面距离的求法，考查了棱锥体积公式的应用，考查了数学推理论证能力和数学运算能力.19．某学校计划从甲，乙两位同学中选一人去参加省数学会举办的数学竞赛，以下是甲，乙两位同学在10次测试中的数学竞赛成绩的茎叶图．（1）从甲的成绩中任取一个数据(90)x x ≥，从乙的成绩中任取一个数据(87)y y ≤，求满足条件||5x y -≥的概率；（2）分别计算甲乙两位同学成绩的平均值和方差，根据结果决定选谁去合适． 【答案】（1）12（2）甲同学参加比赛．见解析【解析】（1）根据茎叶图求出抽取两个数据的基本事件的结果，再求出满足||5x y -≥的情况的个数，最后根据古典概型的计算公式进行求解即可；（2）根据茎叶图，结合平均数和方差的计算公式，求出甲乙两位同学成绩的均值和方差，最后从均值和方差两个角度进行选择即可. 【详解】（1）抽取两个数据的基本事件有(90,85)，(90,86)，(90,87)，(91,85)，(91,86)，(91,87)，共6种结果，满足||5x y -≥的有(90,85)，(91,85)，(91,86)，共3个．所以概率为3162=． （2）x 甲88=，x 乙88=，S 甲222221(8688)(8788)(8988)(9188)310⎡⎤=-+-+-++-=⎣⎦…， S 乙222221(8588)(8588)(8588)(9388)410⎡⎤=-+-+-++-=⎣⎦…． 从平均数看，甲乙两名同学的成绩相同；从方差看，甲同学的成绩的方差较小，因此甲同学的成绩更稳定，从成绩的稳定性考虑，应选甲同学参加比赛． 【点睛】本题考查了古典概型计算公式，考查了平均数和方差的计算公式，考查了平均数和方差的性质，考查了数学运算能力.20．已知点1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是该椭圆上一点，若当123F PF π∠=时，12PF F △（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，是否存在过左焦点1F 的直线l ，与椭圆交于A ，B 两点，使得AOB V 的面积为1213？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）存在，直线l 方程为10x +=或10x ++=．【解析】（1）根据椭圆焦点三角形的性质，结合222a b c =+，进行求解即可； （2）设出直线l 的方程，与椭圆的方程联立，根据弦长公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【详解】（1）由题可知当点P 在短轴端点时，12PF F △面积最大，值为bc =，此时123F PF π∠=，16OPF π∠=，所以b =②，又知222a b c =+③，由上述3个式子解得2a =，1c =，b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）存在，由（1）1(1,0)F -，由题意可知直线l 与x 轴不重合，所以设:1l x my =-， 与椭圆方程联立得()2234690m y my +--=， 则>0∆，122634m y y m +=+，122934y y m =-+，则12234y y m -==+，212112213AOBS OF y y =⨯⋅-==△，解得m =即直线l 方程为10x +=或10x +=． 【点睛】本题考查了椭圆焦点三角形的性质，考查了已知椭圆弦长求直线方程问题，考查了数学运算能力.21．已知函数()ln (3)2()f x x x k x k k =+-+-∈Z ． （1）当1k =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若当1x >时，总有()0f x >，求k 的最大值． 【答案】（1）320x y --=（2）最大值为5．【解析】（1）对函数进行求导，根据导数的几何意义进行求解即可；（2）对不等式进行常变量分离，构造新函数，求导，判断新函数的单调性，最后利用新函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）当1k =时，()ln 21f x x x x =+-，()ln 3f x x '=+， 则可知(1)1f =，(1)3f '=所以切线方程为13(1)y x -=-，化简可得切线方程为320x y --=；（2）由题当1x >时，()0f x >恒成立，即ln (3)20x x k x k +-+->在1x >时恒成立， 即ln 321x x x k x +-<-在1x >时恒成立，令ln 32()1x x x g x x +-=-，则2ln 2()(1)'--=-x x g x x ， 令()ln 2h x x x =--，则11()10x h x x x'-=-=>在1x >时恒成立． 所以()h x 在(1,)+∞上单调递增，又知(3)1ln30h =-<，(4)2ln 40h =->， 所以在(1,)+∞上存在唯一实数0(3,4)x ∈，满足0()0h x =，即00ln 2 x x =-， 当()01,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>． 所以函数()g x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增． 即()()000000min 0000232ln 32()2(5,6)11x x x x x x g x g x x x x -+-+-====+∈--．由ln 321x x x k x +-<-在1x >时恒成立，所以02k x <+，又知k ∈Z ，所以整数k 的最大值为5． 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，考查了构造函数利用导数研究不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.22．已知极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数），曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 为曲线C 上一点，求使PAB △面积取得最大值时的P 点坐标．【答案】（1）10x y +-=；2214x y +=．（2）P ⎛ ⎝⎭【解析】（1）利用加减相元法把直线l 的参数方程化为普通方程，根据极坐标方程与直角方程互化公式把曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程；（2）由题知线段AB 的长度为定值，若使PAB △面积取得最大值，只需点P 到直线l 的距离最大．根据椭圆的参数方程表示点P 的坐标，根据点到直线距离，结合辅助角公式进行求解即可. 【详解】（1）直线l 的参数方程消参，得普通方程为10x y +-=；将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 的极坐标方程22413sin ρθ=+， 得曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=．（2）由题知线段AB 的长度为定值，若使PAB △面积取得最大值，只需点P 到直线l 的距离最大．因为点P 在曲线C 上，所以设(2cos ,sin )P θθ， 则点P 到直线l 的距离为2d +==≤，其中sin ϕ=cos ϕ=．当且仅当sin()1θϕ+=-时，等号成立．此时sin θ=，cos θ=，即55P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程，考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了椭圆方程参数方程的应用，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力. 23．已知函数()|22||1|f x x x =+--．（1）在如图所示的坐标系中作出()f x 的图象，并结合图象写出不等式()3f x ≥的解集；（2）若函数2()()3g x f x m m =--的图象恒在x 轴的上方，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析，2(,6],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）21m -<<-【解析】（1）根据绝对值的性质把函数()f x 的解析式化简成分段函数的形式，在直角坐标系内画出函数图象，根据图象求出不等式解集即可；（2）问题转化为()0>g x 恒成立，再转化为2()3f x m m >+恒成立，根据函数()f x 的最小值进行求解即可. 【详解】（1）3,1()31,113,1x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩结合图象可知，当1x ≤-时，33x --≥，6x ≤-；当11x -<<时，313x +≥，解得2,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 当1x ≥时，33x +≥成立．综上，不等式()3f x ≥的解集为2(,6],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．（2）若函数2()()3g x f x m m =--的图象恒在x 轴的上方，则()0>g x 恒成立，即2()3f x m m >+恒成立，只需2min ()3f x m m >+．由（1）中图象可知min ()(1)2f x f =-=-． 所以232m m +<-，解得21m -<<-． 【点睛】本题考查了含绝对值函数的图象和最值，考查了已知不等式恒成立求参数问题，考查了数学运算能力.。
2020届 百师联盟 全国高三模拟考(一)全国Ⅰ卷数学(文)试题(解析版)
2020届百师联盟全国高三模拟考（一）全国Ⅰ卷数学（文）试题一、单选题1．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．B ．2C ．4D ．3【答案】A【解析】由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模． 【详解】44(1)22,1(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+ 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 2．已知集合{}20,2131x A x B x x x +⎧⎫=≤=-≤⎨⎬-⎩⎭则()R C A B ⋂（ ）A ．[]1,2B ．()[),21,2-∞-UC ．()[],21,2-∞-⋃D ．(]1,2【答案】C【解析】解不等式确定集合,A B 中的元素，再由集合的运算法则计算． 【详解】由201x x +≤-得(2)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，∴21x -?，即[2,1)A =-，又{|2}(,2]B x x =≤=-∞，∴(,2)[1,)R A =-∞-+∞U ð，()(,2)[1,2]R A B =-∞-I U ð． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握集合运算的定义是解题基础． 3．已知命题:p []02,2x ∃∈-，2430x x -+≥，则p ⌝为（ ） A ．[]02,2x ∃∉-，2430x x -+<B ．[]02,2x ∀∉-，2430x x -+<C ．[]2,2x ∀∈-，2430x x -+< D ．[]2,2x ∀∈-，2430x x -+≥【答案】C【解析】根据特称命题的否定是全称命题可得出答案. 【详解】由于特称命题的否定是全称命题，故命题:p []02,2x ∃∈-，2430x x -+≥的否定是：:p ⌝[]2,2x ∀∈-，2430x x -+<.故选：C. 【点睛】本题考查特称命题的否定，意在考查学生的推断能力，属于基础题. 4．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】先求出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值， 5sin sin 1246ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由两角和的正弦公式计算即可. 【详解】Q α为锐角，3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴4sin 45απ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，∴51sin sin cos 1246424ααααπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，考查两角和的正弦公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.5．“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．6．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的渐近线与圆()22314x y +-=相切，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B ．2 C 23D 6【答案】C【解析】先根据双曲线的方程求得双曲线的渐近线，再利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a 和b 的关系，代入221be a=+.【详解】渐近线方程为0bx ay -=，2232ar a b ==+，2213b a ∴=，222313b e a ∴=+=.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 7．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85- 【答案】C【解析】根据正负相关的概念判断． 【详解】由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：C ． 【点睛】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．8．函数32sin ()xx xg x e-=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】确定函数的奇偶性排除，再求一些特殊的函数值，根据其正负排除一些选项．【详解】由32sin()()xx xf x f xe-+-==-，知()f x为奇函数，排除D；12sin1(1)0fe-=<，排除C；322732sin3822fe-⎛⎫=>⎪⎝⎭，排除A．故选：B【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过确定函数的奇偶性、单调性等性质，特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等由排除法得出正确选项．9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．83B．163C．43D．8【答案】A【解析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，1822233V=⨯⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D【解析】()()4f x f x =+说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值． 【详解】由()()4f x f x =+知函数()f x 的周期为4，又()f x 是奇函数，(2)(2)f f =-，又(2)(2)f f -=-，∴(2)0f =，∴()()()()()()201820192301011f f f f f f +=+=+-=-=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础．11．已知集合{}{}3,*,2,*nM x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ） A ．1194 B ．1695 C ．311 D ．1095【答案】D【解析】确定{}n c 中前35项里两个数列中的项数，数列{2}n 中第35项为70，这时可通过比较确定{3}n 中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和． 【详解】35n =时，23570,370,3n n ⨯=<≤，所以数列{}n c 的前35项和中，{}3n有三项3，9，27，{}2n 有32项，所以123353231 (3927322210952)c c c c ⨯++++=+++⨯+⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前n 项和公式是解题基础．解题关键是确定数列{}n c 的前35项中有多少项是{2}n 中的，又有多少项是{3}n 中的．12．已知函数()()0xe f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，0x ex a->在()0,∞+上恒成立.即x e x a >，即函数xe y a=的图象在直线y x =上方，先求出两者相切时a 的值，然后根据a 变化时，函数xey a=的变化趋势，从而得a 的范围．【详解】由题0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即xe x a>，xe y a=的图象永远在y x =的上方，设xe y a =与y x =的切点()00,x y ，则01x x e ae xa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a e =，易知a 越小，xey a=图象越靠上，所以0a e <<.故选：B ． 【点睛】本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．二、填空题13．已知a =ra r 在b r ，则a r 与b r的夹角为_________.【答案】6π 【解析】由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值，从而得角的大小． 【详解】a r 在b r方向上的投影为cos ,cos ,2a a b a b <>=∴<>==r r r r r ，即夹角为6π. 故答案为：6π． 【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握向量投影的定义是解题关键．14．抛物线2:2C x py =（0p >）的焦点到准线的距离为4，则抛物线的准线方程为___________. 【答案】2y =-【解析】根据题意先求出p 的值，然后再写出准线方程即可. 【详解】焦点到准线的距离为4p =，准线方程为22py =-=-. 故答案为：2y =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查对基本知识的理解和掌握，属于基础题.15．已知ABC ∆内角、、A B C 的对边分别为,4,a b c a b ABC ==∆、、外接圆的面积为4π，则ABC ∆的面积为_________.【答案】【解析】由外接圆面积，求出外接圆半径，然后由正弦定理可求得三角形的内角,A B ，从而有C ，于是可得三角形边长，可得面积． 【详解】设外接圆半径为r ，则24,2S r r =π=π=，由正弦定理24sin sin a b r A B ===，得sin ,sin 12A B ==，,,,326A B C πππ∴===∴2c =，a =12S ac ==．故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的内角，然后可得边长，从而得面积，掌握正弦定理是解题关键．16．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA PB PC 、、两两垂直，1,4PB PA PA PC =++=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积的最小值为________.【答案】14π【解析】设PA x =，可表示出,PB PC ，由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得外接球表面积． 【详解】设PA x =则1,4PC x PC x =+=-，由,,PA PB PC 两两垂直知三棱锥P ABC -的三条棱,,PA PB PC 的棱长的平方和等于其外接球的直径的平方．记外接球半径为r ，∴2r ==当1x =时，2min min 2,=41422r r S ⎛⎫==π=π ⎪ ⎪⎝⎭表． 故答案为：14π． 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于这三条侧棱的平方和．三、解答题17．已知{}n a 为各项均为整数的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若3a 为213a 和13a 的等比中项，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T. 【答案】（1）21n a n =-；（2）221nn + 【解析】（1）利用已知条件列出方程组，求出1a 和d 的值，进而写出通项公式即可； （2）()()1221121212121n n n b a a n n n n +===--+-+，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）由题得()23213177137492a a a a a S ⎧=⋅⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或1073a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为数列{}n a 为各项均为整数，所以112a d =⎧⎨=⎩，即21n a n =-； （2）令()()1221121212121n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以111111112113355721212121n n T n n n n =-+-+-+-=-=-+++. 【点睛】本题考查等差等比数列的性质，考查等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，2ABC π∠=，PE ⊥面ABCD ，3AD AE =，22AB BC AE ===，3PC =.（1）在线段PD 上是否存在点F ，使//CF 面PAB ，说明理由； （2）求三棱锥C PAE -的体积.【答案】（1）存在，理由见解析；（2）23. 【解析】（1）取ED 中点Q ，分别连接CQ ，QF ，CF ，易得//AB CQ ，//QF AP ，然后可证面//CQF 面PAB ，即//CF 面PAB ；（2）过E 作//EG AB 交BC 于G ，分别求出EC ，PE 的长度，在梯形ABCD 中，作EH BC ⊥于H ，再求出EH 的长度，利用等体积法C PAE P ACE V V --=计算得解.【详解】（1）当F 为PD 上靠近D 点的三等分点时，满足//CF 面PAB ， 证明如下，取ED 中点Q ，分别连接CQ ，QF ，CF ，//AD BC Q ，3AD AE =，2BC =，2AE =，AQ BC ∴=，即易得//AB CQ ，AB Ì面PAB ，CQ ⊄面PAB ， 所以//CQ 面PAB ，同理可得//QF AP ，AP ⊂面PAB ，QF Ë面PAB ， 所以//QF 面PAB ，又CQ QF Q ⋂=，CQ ，QF ⊂面CQF ，所以面//CQF 面PAB ，又CF ⊂面CQF ，所以//CF 面PAB ； （2）过E 作//EH AB 交BC 于H ，PE ⊥Q 面ABCD ，2ABC π∠=，EH BC ∴⊥在Rt PEC ∆中，225EC EH HC +=222PE PC EC +=， 所以11121223323C PAE P ACE ACE V V S PE --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的证法，考查利用等体积法求三棱锥体积，考查空间想象能力和运算能力，属于常考题.19．某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表： 运动达人 非运动达人 总计 男 35 60 女 26 总计100（1）（i ）将22⨯列联表补充完整；（ii ）据此列联表判断，能否有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？ （2）从样本中的运动达人中抽取7人参加“幸运抽奖”活动，通过抽奖共产生2位幸运用户，求这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率. 附：()20P K k ≥0.050 0.0100.001()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）（i ）列联表见解析；（ii ）没有；（2）1021. 【解析】（1）（i ）根据题意补全22⨯列联表； （ii ）代入数据计算2K ，对照临界值做出判断即可；（2）由分层抽样方法，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值. 【详解】 （1）（i ）（ii ）由22⨯列联表得()2210035261425 5.229 6.63560404951K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”； （2）由列联表知从运动达人中抽取的男用户人数为735549⨯=，女用户人数为714249⨯=， 男用户编号a ，b ，c ，d ，e ，女用户编号m ，n ，则抽取的两位幸运用户有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a m ，(),a n ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b m ，(),b n ，(),c d ，(),c e ，(),c m ，(),c n ，(),d e ，(),d m ，(),d n ，(),e m ，(),e n ，(),m n ，共21种，其中男女各一位的有10种，概率为1021，所以这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率为1021. 【点睛】本题考查独立性检验及其计算，考查分层抽样，考查古典概率，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，左、右焦点为12F F 、，点P 为C 上任意一点，若1PF 的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l 过点2F 与C 交于P Q 、两点，在x 轴上是否存在定点A ，使22PAF QAF ∠=∠成立，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；详见解析【解析】（1）由椭圆的性质得3,1a c a c +=-=，解得,a c 后可得b ，从而得椭圆方程； （2）设()()()1122,,,,,0P x y Q x y A n ，当直线l 斜率存在时，设为()1y k x =-，代入椭圆方程，整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入AP AQ k k +＝0由恒成立问题可求得n ．验证l 斜率不存在时也适合即得． 【详解】解：（1）由题易知1max 1min31PF a c PF a c ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩解得21a c =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 方程为22143x y +=（2）设()()()1122,,,,,0P x y Q x y A n当直线l 斜率存在时，设为()1y k x =-与椭圆方程联立得()22224384120kx k x k +-+-=，显然>0∆所以221212228412,4343k k x x x x k k -+=⋅=++ 因为22,0AP AQ PAF QAF k k ∠=∠∴+=()()()()()()1221121212110k x x n k x x n y yx n x n x n x n --+--∴+==---- 化简()()()222121222281824682120,0434343n k k n nk x x n x x n k k k --+-+++=∴-+=+++ 解得6240n -=即4n =所以此时存在定点()4,0A 满足题意 当直线l 斜率不存在时，()4,0A 显然也满足综上所述，存在定点()4,0A ，使22PAF QAF ∠=∠成立 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题，解题方法是设而不求的思想方法．设而不求思想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，只要涉及交点坐标，一般就用此法． 21．已知函数1()ln 1a f x x x+=-+，a R ∈. （1）当2a =-时，求函数()f x 在点()2,(2)f 处的切线方程； （2）若当0x >，()3f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）1ln 214y x =++；（2）(],1e -∞--. 【解析】（1）先求导，然后根据导数的几何意义求出切线斜率，最后由点斜式写出切线方程即可；（2）0x >，()3f x ≥，即只需min ()3f x ≥，对a 进行分类讨论， 求()f x 的最小值，解不等式求出范围即可. 【详解】（1）当2a =-时，1()ln 1f x x x=++，21()x f x x -'=，1(2)4f '∴=，()32ln 22f =+，所以切线方程为1ln 214y x =++；（2）当0x >，()3f x ≥，即只需min ()3f x ≥，()21'()1x a f x x ++=+，当1a ≥-时，即10a --≤，()0f x '>，()f x ∴在()0,∞+上增，无最小值，舍去， 当1a <-时，即10a -->，()0f x '>，得1x a >--，()0f x '<，得01x a <<--， 此时()f x 在()1,1a ---上减，在()1a --+∞,上增，即()()min ()12ln 13f x f a a =--=+--≥，解得1a e ≤--， 综上(],1a e ∈-∞--. 【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线12:12x t l y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求MA MB +的值. 【答案】（1）()2211x y -+=（21 【解析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把M 点极坐标化为直角坐标，直线l 的参数方程是过定点M 的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线C 的方程，利用参数t 的几何意义求解． 【详解】解：（1）2:cos C ρθ=，则22cos ρρθ=，∴222x y x +=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即()2211x y -+=（2）点1,2M π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()0,1M ，易知M l ∈.设,A B 对应参数分别为12,t t将12:1x t l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩与22:20C x y x +-=联立得)21212110,1,1t t t t t t +++=∴+=⋅=120,0t t ∴<<12121MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题． 23．已知函数()12f x x x =--+. （1）求不等式()2f x ≤的解集A ；（2）若不等式2()2f x x x m ≤+-对x A ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）114m ≤-【解析】（1）按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；（2）不等式转化为2321m x x x ≤++--，求出2()321g x x x x =++--在3[,)2-+∞上的最小值即可，利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值． 【详解】解：（1）1122x x x ≥⎧⎨---≤⎩或21122x x x -<<⎧⎨---≤⎩或2122x x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩解得1x ≥或312x -≤<或无解 综上不等式的解集为3,2A ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭． （2）3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，2()2f x x x m ≤+-，即2132x x x m -≤++- 所以只需2321m x x x ≤++--在3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时恒成立即可 令22223,1()321341,12x x x g x x x x x x x ⎧++≥⎪=++--=⎨++-≤<⎪⎩， 由解析式得()g x 在3[,)2-+∞上是增函数，∴当32x =-时，min 11()4g x =- 即114m ≤-【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，解决绝对值不等式的问题，分类讨论是常用方法．掌握分类讨论思想是解题关键．。
2020年5月百师联盟高三全国冲刺考(全国I卷)数学(文)试题
y2 b2
1a
b
0 的左、右焦点为 F1 ，F2 ，焦距为 2，过 F2 的直线 l 交椭圆 C 于
A，
B 两点，若 △AF1B 的周长为 4 3 ，则椭圆 C 的离心率为__________．
15.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn n2 2n ，现将该数列按如下规律排成个数阵（第 n 行有 2n1 项），记
在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．已知某不规则几何体与某棱锥满足“幂势同”，该三棱锥三视图如
图所示（三视图均为边长为 4 的正方形），则该不规则几何体的体积为（ ）
A. 8 3
B. 32 3
10.函数
f
x
5x
2sin x2 1
x
的部分图象大致为（
C. 128 3
）
A.
B.
D. 64 3
C.
D.
则满足条件的整数 m 的个数为（ ）
A. 9
B. 10
C. 2
D. 12
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
x y 2 0
13.已知
x
，
y
满足约束条件
x y 3 0 2x y 2 0
，则
z
x
y 1
的取值范围为__________．
14.已知椭圆
C
：
x a
2 2
B. a 0 ， b 0
D. a 0 ， b 0
）
A. 3
B. 1
C. 2
D. 2
8.在
2 ABC
中，
AC
4 AD
，
3
P
为
BD
上一点，若
2020年百校联盟高考(文科)数学(5月份)模拟试卷(全国Ⅰ卷) (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（文科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}2．已知i为虚数单位，复数z=51+2i+i的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．已知向量a→=（﹣2，m），b→=（1，2），a→•（2a→+b→）=112．则实数m的值为（）A．﹣1B．−12C．12D．14．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为（）A．15B．25C．35D．345．2020年前为了支授期北省对新冠病毒肺炎的治疗，某市卫健要考在要本市委派医疗队的人员时，有六个人员尚未确定，这大个人分别是呼吸科主治医师甲，呼吸科主治医师乙，护士丙、护士丁，影像民师小李和传料医小周．综合考虑各种因素：（1）甲和乙至少要参加一个；（2）如果丙不能参加或丁不能参加，则甲也不能参加；（3）如果丙不能参加，那么小周也不能参加；（4）只有小李参加，乙之才能参加．卫健委最终定不让小李参加医疗队，由此可以推出（）A ．无法确定小周是否参加医庁队B ．甲没参加医疗队C ．无法确定两名护护士是否参医疗队D ．乙参加了医疗队6．已知函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ） A ．[136，83) B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83] 7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ke ﹣x +2sin x ，则a =f(log 234)，b =f(log 445)，c =f(log 889)的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√229．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2)B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√210．函数f （x ）＝2+k sin x 在（0，2）处的切线l 也是函数y ＝x 3﹣x 2﹣3x ﹣1图象的一条切线，则k ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣211．若0≤α≤β≤π4，sin α+cos α＝a ，sin β+cos β＝b ，则以下结论正确的个数是（ ） ①ab ≥1；②ab ≤2；③2a ﹣b 的最大值为√2；④2a ﹣b 的最大值为2√2−1． A ．0 B ．1C ．2D ．312．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分别与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，则直线l 的斜率为（ ）A．√24B．√22C．√33D．√32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2020年2月17开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上20：05～20：50时间通过班群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，b cos C＝（2a﹣c）cos B，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．三．解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和S n，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a2n−n}的前n项和T n大于2020的最小自然数n．18．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量BA→的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图的面积为√34，求四棱锥P'﹣ABCD的体积．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有A，B两款车型，根据以这往这两种租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年67年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计A型B型总计（2）司机师傅小李准备在一辆开了4年的A型车和一辆开了4年的B型车中选择、为了尽最大可能实现3年内（含3年）不换车，试通过计算说明，他应如何选择．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：p（K2≥k0）0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.82820．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与过其右焦点F（1，0）的直线交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为−3 4．（1）求C的方程；（2）设椭圆的左顶点为M，k MA，k MB如分别表示直线MA，MB的斜率，求证k MA+k MB= 43k OD．21．已知函数f（x）＝xlnx，函数g（x）＝kx﹣cos x在点(−π2，g(−π2))处的切线平行于x轴．（1）求函数f（x）的极值；（2）讨论函数F（x）＝g（x）﹣f（x）的零点的个数．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=13（x +1）2． （1）求f （x ）+|f （x ）﹣9|的最小值M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足了f （a ）+f （b ）+f （c ）＝M ，求证：a +b +c ≤6．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}【分析】先解出关于集合A，B的不等式，求出A的补集，从而求出其补集与B的交集．解：因为∁U A＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|2x≤2}＝{x|x≤1}，∴（∁U A）∩B＝{x|﹣1≤x≤1}；故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A，B是解决本题的关键．2．已知i为虚数单位，复数z=51+2i+i的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵z=51+2i+i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)+i=1−2i+i=1−i，∴z=1+i，故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知向量a→=（﹣2，m），b→=（1，2），a→•（2a→+b→）=112．则实数m的值为（）A．﹣1B．−12C．12D．1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出2a→+b→，再根据数量积的坐标运算法则表示出a→•（2a→+b→），从而得到关于m的方程，解之即可．解：∵a→=（﹣2，m），b→=（1，2），∴2a→+b→=(−3，2m+2)，∴a→•（2a→+b→）＝6+m（2m+2）=112，即m2+m+14=0，解得m=−12，故选：B．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为（）A．15B．25C．35D．34【分析】由图可知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，设为A，B，C，其余三项设为a，b，c，从中任选两项，利用列举法能求出这两项来自影响稍弱区的概率．解：某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．由图可知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，设为A，B，C，其余三项设为a，b，c，从中任选两项的结果为15种，分别为：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），（a，b），（a，c），（b，c），这2项来自影响稍弱区的结果为：（A，B），（A，C），（B，C），共3种，∴这两项来自影响稍弱区的概率为P=315=15．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．2020年前为了支授期北省对新冠病毒肺炎的治疗，某市卫健要考在要本市委派医疗队的人员时，有六个人员尚未确定，这大个人分别是呼吸科主治医师甲，呼吸科主治医师乙，护士丙、护士丁，影像民师小李和传料医小周．综合考虑各种因素： （1）甲和乙至少要参加一个；（2）如果丙不能参加或丁不能参加，则甲也不能参加； （3）如果丙不能参加，那么小周也不能参加； （4）只有小李参加，乙之才能参加．卫健委最终定不让小李参加医疗队，由此可以推出（ ） A ．无法确定小周是否参加医庁队B ．甲没参加医疗队C ．无法确定两名护护士是否参医疗队D ．乙参加了医疗队【分析】根据小李不参加，代入（4）得到乙不能参加，再依题意代入（1），进而推得甲丙丁都参加，即可得到答案解：因为小李不参加，故由（4）可得乙不参加，则根据（1）甲必须参加， 而根据（2）甲参加，则丙和丁都参加， 但是无法确认小周是否参加， 故选：A ．【点评】本题考查学生合情推理的能力，小李不参加是突破口，依次代入条件判断，属于中档题．6．已知函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ） A ．[136，83)B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83]【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2ωπ+π6∈[9π2，11π2），由此可得结果．解：∵函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数为 y ＝sin （ωx +π6）在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值； ωx +π6∈[π6，2ωπ+π6]，∴2ωπ+π6∈[9π2，11π2），则正实数ω∈[136，83），故选：A ．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ke ﹣x +2sin x ，则a =f(log 234)，b =f(log 445)，c =f(log 889)的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （0）＝e 0﹣ke 0+2sin0＝1﹣k ＝0，解可得k 的值，即可得函数的解析式，求出函数的导数，分析可得函数f （x ）为R 上的增函数，由对数的运算性质可得log 234＜log 445＜log 889，结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，f （x ）为定义在R 上的奇函数，则f （0）＝e 0﹣ke 0+2sin0＝1﹣k ＝0，解可得k ＝1，即f （x ）＝e x ﹣e ﹣x +2sin x ，其导数f ′（x ）＝e x +e ﹣x +2cos x ≥2√e x ×e −x +2cos x ＝2+2cos x ≥0，则函数f （x ）为R上的增函数，又由log 445=log 2√45=log 2√5，log 889=log 2√893=log 2√93，则有log 234＜log 445＜log 889，又由函数f （x ）为R 上的增函数， 则a ＜b ＜c ； 故选：B ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意利用导数分析函数的单调性，属于基础题．8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√22【分析】设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ，则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角，由此能求出异面直线OC 与PD 所成角的余弦值．解：设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ， 则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∴∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角， 在△PDE 中，PE ＝PO =√2r ，DE ＝r ， ∴cos ∠PDE =r 22r=√24． 故选：B ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 9．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2)B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√2【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF 2|的值．解：由题意，F 1（﹣2，0），则抛物线方程为y 2＝8x ． 计算可得|PF 1|=√2，|PF 2|＝2a −√2=4√2−√2=3√2． 过Q 作QM ⊥直线l 与M ，由抛物线的定义知，|QF 2|＝|QM |． ∵|F 1F 2||PF 2|=|MQ||PQ|，∴3√2=3√2−|MQ|，解得：|MQ |＝12（3﹣2√2）． ∴|QF 2|＝|MQ |＝12（3﹣2√2）． 故选：A ．【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．函数f（x）＝2+k sin x在（0，2）处的切线l也是函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的一条切线，则k＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】分别求得f（x）＝2+k sin x和y＝x3﹣x2﹣3x﹣1的导数，可得f（x）在（0，2）处的切线的斜率和方程，再设l与函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的相切的切点为（m，n），可得k，m，n的方程组，解方程可得所求值．解：函数f（x）＝2+k sin x的导数为f′（x）＝k cos x，y＝x3﹣x2﹣3x﹣1的导数为y′＝3x2﹣2x﹣3，可得f（x）＝2+k sin x在（0，2）处的切线的斜率为k，切线的方程为y＝kx+2，设l与函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的相切的切点为（m，n），可得k＝3m2﹣2m﹣3，n＝m3﹣m2﹣3m﹣1＝km+2，解得m＝﹣1，n＝0，k＝2．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11．若0≤α≤β≤π4，sinα+cosα＝a，sinβ+cosβ＝b，则以下结论正确的个数是（）①ab≥1；②ab≤2；③2a﹣b的最大值为√2；④2a﹣b的最大值为2√2−1．A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和不等式的性质的应用求出a和b的范围，进一步利用线性规划的知识求出结论．解：a ＝sin α+cos α=√2sin(α+π4)，b ＝sin β+cos β=√2sin(β+π4)， 由于0≤α≤β≤π4，所以π4≤α+π4≤β+π4≤π2，所以sin(α+π4)≤sin(β+π4)， 所以1≤a ≤b ≤√2． 则：1≤ab ≤2． 故①②正确．由1≤a ≤b ≤√2，构造平面区域如图所示： 令2a ﹣b ＝t ，可得b ＝2a ﹣t ． 由{b =√2a =√2，可得A （√2，√2）， 当直线b ＝2a ﹣t 经过点A 时，t 取得最大值t ＝2√2−√2=√2．故③正确． 故选：D ．【点评】本题考查了三角函数的关系式的变换、正弦型函数的性质的应用、线性规划应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分别与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，则直线l 的斜率为（ ） A ．√24B ．√22C ．√33D ．√32【分析】由题意可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，运用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论．解：由MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，由|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，|NF 2|﹣|NF 1|＝2a ，两式相减可得|NF 1|﹣|MF 1|＝|MN |＝4a ，即有m ＝2√2a ，设H 为MN 的中点，在直角三角形HF 1F 2中，可得4c 2＝4a 2+（2a +2√2a ﹣2a ）2，化为c 2＝3a 2，即c =√3a ， 因为|HF 2|=12|MN |＝2a ，所以|HF 1|=√|F 1F 2|2−|HF 2|2=2√c 2−a 2，所以直线l 的斜率为|HF 2||HF 1|=2√c 2−a 2=√22， 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2020年2月17开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上20：05～20：50时间通过班群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是 1118．【分析】求出符合条件的区间范围，根据长度比即可求解结论．解：由题意可得：该学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，其时间长度为90分钟，等待直播的时间不超过30分钟的，需在19：35至20：30分之间的任意时刻加入，区间长度为55；由测度比为长度比．可得所求概率为：5590=1118．故答案为：1118．【点评】本题主要考查几何概型的长度比，属于基础题目．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称，则f （2x ﹣2）≥f （0）的解集为 [1，2] ．【分析】先求出a 的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及f （2x ﹣2）≥f （0），求出x 的范围．解：∵函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称，∴a ＝1，f （x ）=(12)|x−1|∈（0，1]，则由f （2x ﹣2）≥f （0）=12，结合图象可得 0≤2x ﹣2≤2，求得 1≤x ≤2， 故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题． 15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 周长为5，b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，则∠B ＝π3，若b ＝2，则△ABC 的面积为√312．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sin A ≠0，可得cos B =12，结合范围B ∈（0，π），可求B =π3，进而根据余弦定理可求ac 的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，∴由正弦定理可得：sin B cos C ＝（2sin A ﹣sin C ）cos B ，可得sin B cos C +cos B sin C ＝2sin A cos B ， ∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，∵sin （B +C ）＝sin （π﹣A ）＝sin A ，且sin A ≠0，∴可得cos B =12， ∵B ∈（0，π）， ∴B =π3，又∵b ＝2，a +c ＝3， ∴a 2+c 2﹣2ac cos B ＝b 2， ∴（a +c ）2﹣3ac ＝4， ∴ac =53，∴S △ABC =12ac sin B =5√312．故答案为：π3，5√312．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm ，高为18cm （底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm 的圆铁棒l （粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为1849π16cm 2．【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长h 构成直角三角形求出容器内水面的高度h ，再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积． 解：如图所示，六棱柱笔筒的边长为6cm ，高为18cm ，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长h 构成直角三角形， 所以2√85=√122+h 2，解得h ＝14， 所以容器内水面的高度为14cm ，设球的半径为R ，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为r =√62−32=3√3，球心到截面圆的距离为R ﹣4，所以R 2＝（R ﹣4）2+(3√3)2，解得R =438； 所以球的表面积为4π×(438)2=1849π16（cm 2）． 故答案为：1849π16．【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题． 三．解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，S 3＝15，a 1，a 4，a 13成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a 2n −n }的前n 项和T n 大于2020的最小自然数n ．【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），由题设条件列出d 的方程，解出d ，a 1，求出通项公式； （2）由（1）求得a2n −n ，再使用分组求和求出T n ，研究其单调性，求出满足T n 大于2020的最小自然数n ．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则S 3＝3a 1+3×22d =15， ∴a 1+d ＝5，a 4＝5+2d ，a 13＝5+11d ， ∵a 1，a 4，a 13成等比数列，∴（5+2d ）2＝（5﹣d ）（5+11d ），解得d ＝0（舍）或d ＝2， 故a 1＝5﹣d ＝3．所以a n ＝3+（n ﹣1）×2＝2n +1； （2）根据（1）知a2n −n=2（2n ﹣n ）+1＝2n +1﹣（2n ﹣1），∴T n ＝（22+23+…+2n +1）﹣[1+3+…+（2n ﹣1）]=4(1−2n)1−2−(1+2n−1)n 2=2n +2﹣n 2﹣4．∵2n ﹣n ＞0， ∴a2n −n=2（2n ﹣n ）+1＞0，∴T n 单调递增，又∵T9＜2020，T10＞2020，所以T n大于2020的最小自然数n为10．【点评】本题主要考查等差数列基本量的运算及数列的分组求和，还有前n项和的单调性，属于中档题．18．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量BA→的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图的面积为√34，求四棱锥P'﹣ABCD的体积．【分析】（1）由平面图形可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，则AB⊥平面P′AD，得AB⊥P′D．再由已知在可得AE⊥P′D．由直线与平面垂直的判定可得P′D⊥平面ABE；（2）P′﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，求出△P′AD的面积，得到∠P′AD＝120°或60°．再由（1）可知，平面ABCD⊥平面P′AD，得P′在平面ABCD内的射影落在直线AD上，求得P′到平面ABCD的距离，由棱锥体积公式可得四棱锥P′﹣ABCD 的体积．【解答】（1）证明：由平面图形可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，又P′A∩AD＝A，∴AB⊥平面P′AD，则AB⊥P′D．∵E为P'D的中点，P′A＝AD，∴AE⊥P′D．∵AE∩AB＝A，∴P′D⊥平面ABE；（2）解：∵P′﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，∴S△P′AD=12×1×1×sin∠P′AD=12sin∠P′AD=√34，∴sin∠P′AD=√32，即∠P′AD＝120°或60°．由（1）可知，平面ABCD⊥平面P′AD，∴P′在平面ABCD内的射影落在直线AD上，得点P′到平面ABCD的距离d=1×sin∠P′AD=√32．∴四棱锥P′﹣ABCD的体积V P′−ABCD=13×√32×12×(12+1)×1=√38．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有A，B两款车型，根据以这往这两种租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年67年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计A型B型总计（2）司机师傅小李准备在一辆开了4年的A型车和一辆开了4年的B型车中选择、为了尽最大可能实现3年内（含3年）不换车，试通过计算说明，他应如何选择．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：p（K2≥k0）0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）记事件A 1，A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内（含3年）换车，分别计算出P （A 1）和P （A 2）的值，再比较即可． 解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计 A 型 30 70 100 B 型 50 50 100 总计80120200由列联表可知：K 2=200×(50×70−30×50)2100×100×80×120≈8.33＞6.635，所以有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关；（2）记事件A 1，A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内（含3年）换车，由表知P （A 1）=10100+20100+45100=0.75，P （A 2）=15100+35100+40100=0.90， 因为P （A 1）＜P （A 2），所以小李应选择A 型出租车．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目． 20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与过其右焦点F （1，0）的直线交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，且直线l 与直线OD 的斜率之积为−34． （1）求C 的方程；（2）设椭圆的左顶点为M ，k MA ，k MB 如分别表示直线MA ，MB 的斜率，求证k MA +k MB =43k OD． 【分析】（1）设A ，B 的坐标，代入椭圆中，两式相减可得直线AB ，OD 的斜率之积，由题意可得a ，b 的关系，再由右焦点的坐标及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，求出椭圆的方程；（2）由（1）可得M 的坐标，将直线l 的方程代入椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，进而求出直线AM ，BM 的斜率之和，再由直线AB ，OD 的斜率之积可证得k AM +k BM =43k OD ． 解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0），将点A ，B 坐标代入椭圆的方程{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减(x 1−x 2)(x 1+x 2)a 2+(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2=0，所以k AB =y 1−y 2x 1−x 2=−b 2a 2⋅x 1+x 2y 1+y 2， 因为D 为AB 的中点，所以k OD =y 1+y2x 1+x 2，所以k AB •k OD =−b 2a2=−34，所以b 2a =34，又a 2﹣b 2＝1，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1；（2）由（1）可得左顶点M （﹣2，0），由题意设直线AB 的方程：x ＝my +1， 联立直线与椭圆的方程：{x =my +1x 24+y 23=1整理可得：（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0，所以y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2， 所以k AM +k BM =y1x 1+2+y2x 2+2=y 1(my 2+3)+y 2(my 1+3)(my 1+3)(my 2+3)=2my 1y 2+3(y 1+y 2)m 2y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=2m⋅−94+3m 2+3(−6m 4+3m2)m 2⋅−94+3m 2+3m(−6m 4+3m2)+9=−m ，因为k AB •k OD =−1m•k OD =−34，所以m =−43k OD ， 所以k AM +k BM =43k OD ．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．21．已知函数f （x ）＝xlnx ，函数g （x ）＝kx ﹣cos x 在点(−π2，g(−π2))处的切线平行于x 轴．（1）求函数f （x ）的极值；（2）讨论函数F （x ）＝g （x ）﹣f （x ）的零点的个数．【分析】（1）利用函数f （x ）的导数判断函数的单调性，然后求出函数的极值； （2）因为F （x ）＝x ﹣cos x ﹣xlnx ，F '（x ）＝sin x ﹣lnx ，设h （x ）＝sin x ﹣lnx ，分类讨论：（i ）当x ∈（e ，+∞）时，h （x ）＝F '（x ）≤0，则F （x ）单调递减，此时可得F （x ）在（e ，32π）上存在唯一零点，也即在（e ，+∞）上存在唯一零点；（ii ）当x ∈（π2，e ]时，h '（x ）＝cos x −1x＜0，则F '（x ）在（π2，e ]单调递减，此时F （x ）在（π2，e ]上恒大于0，无零点；（iii ）当x ∈（0，1）时，h '（x ）＝cos x −1x ＜0，所以F '（x ）在（0，1）上单调递减，此时F （x ）在（1e，π2]上存在唯一零点，即F （x ）在（0，π2]上存在唯一零点．解：（1）因为函数f （x ）＝xlnx 的定义域为（0，+∞）， 所以f '（x ）＝lnx +1，令f '（x ）＜0，即lnx +1＜0，解得0＜x ＜1e， 所以f （x ）的单调递减区间为（0，1e ），令f '（x ）＞0，即lnx +1＞0，解得x ＞1e， 所以f （x ）的单调递增区间为（1e ，+∞），综上，f （x ）的极小值为f （1e）=−1e，无极大值；（2）由g '（x ）＝k +sin x ，得g '（−π2）＝k ﹣1＝0，故k ＝1，所以g （x ）＝x ﹣cos x ， 因为F （x ）＝x ﹣cos x ﹣xlnx ，F '（x ）＝sin x ﹣lnx ， 设h （x ）＝sin x ﹣lnx ，（i ）当x ∈（e ，+∞）时，h （x ）＝F '（x ）≤0，则F （x ）单调递减， 又F （e ）＝﹣cos e ＞0，F （32π）=32π（1﹣ln 32π）＜0，故F （x ）在（e ，32π）上存在唯一零点，也即在（e ，+∞）上存在唯一零点；（ii ）当x ∈（π2，e ]时，h '（x ）＝cos x −1x＜0，则F '（x ）在（π2，e ]单调递减，因为F '（e ）＝sin e ﹣lne ＝sin e ﹣1＜0，F '（π2）＝1﹣ln π2＞0，所以存在x 0∈（π2，e ]，使得F '（x 0）＝0，且在（π2，x 0）上F '（x ）＞0，在（x 0，e ]上F '（x ）＜0，所以F （x 0）为F （x ）在（π2，e ]上的最大值，又因为F （e ）＝﹣cos e ＞0，F （π2）=π2（1﹣ln π2）＞0，所以F （x ）在（π2，e ]上恒大于0，无零点；（iii ）当x ∈（0，1）时，h '（x ）＝cos x −1x ＜0，所以F '（x ）在（0，1）上单调递减， 当x ∈[1，π2]时，h '（x ）＝cos x −1x=xcosx−1x， 设t （x ）＝x cos x ﹣1，所以t '（x ）＝cos x ﹣x sin x ≤cos x ﹣sin x ＜0， 所以t （x ）在[1，π2]上单调递减，所以t （x ）＜t （1）＝cos1﹣1＜0，即h '（x ）＜0， 所以F '（x ）在（0，π2]上单调递减，因为F '（π2）＝1﹣ln π2＞0，所以F （x ）在（0，π2]上单调递增，因为F （π2）=π2（1﹣ln π2）＞0，F （1e ）=2e −cos 1e ＜2e −cos π6=2e −√32=4−√3e 2e＜0，所以F （x ）在（1e，π2]上存在唯一零点，即F （x ）在（0，π2]上存在唯一零点， 综上，F （x ）有且仅有2个零点．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及单调性，考查分析问题解决问题的能力． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果． （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），整理得y 2+1=21+k ，又x +1=4k 1+k2，两式相除得：k =x+1y+2，代入x +1=4k 1+k2，得到（x +1）2+y 2＝4（y ≠﹣2）．（2）曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x ﹣y ﹣4＝0．设圆心C 1（﹣1，0）到直线l 的距离为d ， 则|AB |=2√4−d 2=2√3，解得d ＝1． 所以：|PD |=√|PC 1|2−1， 当|PC 1|最小时，|PD |最小，由于|PC 1|的最小值为圆心C 1到直线C 2的距离． 根据|PC 1|=|−1+0−4|2=5√22， 所以|PD|min =√252−1=√462．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=13（x +1）2． （1）求f （x ）+|f （x ）﹣9|的最小值M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足了f （a ）+f （b ）+f （c ）＝M ，求证：a +b +c ≤6． 【分析】（1）由f （x ）≥0，可得f （x ）+|f （x ）﹣9|＝|f （x ）|+|f （x ）﹣9|，由绝对值不等式的性质，可得所求最小值M ；（2）由条件可得（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2＝27，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证．解：（1）由f（x）=13（x+1）2≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|≥|f（x）﹣f（x）+9|＝9，当0≤f（x）≤9时，取得等号，则最小值M＝9；（2）证明：由a，b，c＞0，f（a）+f（b）+f（c）＝9，可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，由柯西不等式可得（12+12+12）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，当且仅当a+1＝b+1＝c+1，即a＝b＝c时，取得等号，则a+b+c+3≤√3[(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2]=√3×27=9，即a+b+c≤6．【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020年5月百师联盟2020届高三毕业班月考(五)(全国卷I)数学(理)试题及答案解析
绝密★启用前百师联盟2020届高三毕业班下学期月考(五)(全国卷I)数学(理)试题2020年5月注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟,满分150分一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P＝{x|1<x<3},集合Q＝{x|y＝ln(x－2)},则P∩(RðQ)＝A.{x|2≤x<3}B.{x|1<x<3}C.{x|1<x≤2}D.{x|1<x<2}2.高一2班有45名学生,学号为01－45,为弘扬中国古诗词文化,现采用随机数表法从该班抽取7名同学参加校园诗词朗诵大赛,从随机数表第5行第15个数开始向右数,如图为随机数表的第5行和第6行,则抽取的第7个同学的学号是A.26B.35C.20D.433.已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞,0]上单调递增,且满足f(2)＝1,则不等式f(x2＋3x)＋1<0的解集为A.(－∞,－2)∪(－1,＋∞)B.(1,2)C.(－∞,1)∪(2,＋∞)D.(－2,－1)4.已知点F是双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点,点P是该双曲线渐近线上一点,若△POF 是等边三角形(其中O 为坐标原点),则双曲线C 的离心率为 A.3 B.2 C.3 D.2335.希尔伯特在1900年提出了孪生素数猜想,其内容是：在自然数集中,孪生素数对有无穷多个其中孪生素数就是指相差2的素数对,即若p 和p ＋2均是素数,素数对(p,p ＋2)称为孪生素数。
2020届百师联盟高三5月月考(全国卷I)理科数学试卷及答案
2020届百师联盟高三5月月考（全国卷I）数学（理）试卷★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟,满分150分一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P＝{x|1<x<3},集合Q＝{x|y＝ln(x－2)},则P∩(RðQ)＝A.{x|2≤x<3}B.{x|1<x<3}C.{x|1<x≤2}D.{x|1<x<2}2.高一2班有45名学生,学号为01－45,为弘扬中国古诗词文化,现采用随机数表法从该班抽取7名同学参加校园诗词朗诵大赛,从随机数表第5行第15个数开始向右数,如图为随机数表的第5行和第6行,则抽取的第7个同学的学号是A.26B.35C.20D.433.已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞,0]上单调递增,且满足f(2)＝1,则不等式f(x2＋3x)＋1<0的解集为A.(－∞,－2)∪(－1,＋∞)B.(1,2)C.(－∞,1)∪(2,＋∞)D.(－2,－1)4.已知点F是双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点,点P是该双曲线渐近线上一点,若△POF是等边三角形(其中O为坐标原点),则双曲线C的离心率为。
2020年全国I卷百师联盟高三数学(文)试卷二附答案解析
百师联盟2020年全国I 卷高三数学（文）试卷二一、单选题 1．已知集合{}|23Mx x =-<<，{}131|x N x +=>，则M N =I （ ）A ．(1,3)-B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(2,1)(3,)--⋃+∞ 2．复数201912zi i=+-(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ） A ．25 B ．25i C ．45-D ．45i -3．已知函数3()2(1)1f x x xf '=+-，则(1)f '=（ ）A ．32B ．3C ．-3D ．32-4．如图所示，某出租司机9月上旬和10月上旬的日收入(单位：元).设9月上旬和10月上旬收入的中位数分别为1x ，2x ，9月上旬和10月上旬收入的方差分别为21S ，22S ，则下列说法正确的是（ ）A ．12x x <，2212S S < B ．12x x >，2212S S >C ．12x x >，2212S S < D ．12x x <，2212S S >5．已知函数31,3()(1),3x e x f x f x x -⎧+≥=⎨+<⎩则(ln 2)f =（ ）A ．2B ．3C ．21e+ D ．221e + 6．如图是某四棱锥的三视图(每个小正方形的面积均为1)，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．43C ．8D ．47．已知a =r ，2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r rr r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．48．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，且12a =，1n n b a =+，若数列{}n b 也是等比数列，则n S =（ ）A ．2nB ．31n -C ．2nD ．31n -9．下列三个命题中，真命题的个数为（ ） ①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02x x ≤-；②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件； ③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题；A ．3B ．2C ．1D ．010．若51sin 86πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 24πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1718 B ．1718-C ．1819D ．1819-11．已知点P 为抛物线24C y x =：上一点，且5PF =，以点P 为圆心的圆经过点F 且与y 轴交于A B，两点，则AB =（ ）A ．B ．4C ．6D ．812．已知A BCD -是球O 的内接三棱锥，球O 的半径为2，且4AC =，2BD =，3ACD ACB π∠=∠=，则点A 到平面BCD 的距离为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．3二、填空题13．已知圆22:(1)(2)9P x y -+-=，动直线l 过原点，则圆P 被直线l 截得的最短弦的长度为_________.14．古神话中的茅山道士会“穿墙术”，在二次根式中的一些带分数的等式也具有“穿墙术”.如…，按照以上规律猜想，若具有“穿墙术”，则n =_________(*n N ∈).15．若将函数sin (0)6y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位长度后与函数cos y x ω=图像重合，则ω的最小值为_________.16．已知函数2()33g x x =+和32()34f x mx x =-+，若方程()()f x g x =存在唯一的实根0x ，且00x >，则实数m 的取值范围为_________.三、解答题 17．已知等差数列{}n a 中，49a=，公差0d ≠，且满足2722a a a 、、成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和nT.18．某快递公司有两种发放薪水的方案：方案一：底薪1800元，设每月送快递x 单，提成(单位：元)为05130008300600600x x y x x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩．，，．，，，， 方案二：底薪2000元，设每月送快递x 单，提成(单位：元)为0514*******x x y x x ≤≤⎧=⎨>⎩．，，．，， 以下该公司某职工小甲在2019年9月份(30天)送快递的数据，（1）从小甲日送快递单数大于15的六天中抽取两天，求这两天他送的快递单数恰好都为16单的概率.（2）请你利用所学的统计学知识为小甲9月份选择合适的发放薪水的方案，并说明理由.19．如图在三棱锥A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，底面BCD V 为正三角形，2AB BC ==，点E 为BD 中点，点F 为线段AD 上一动点.（1）求证：平面CEF ⊥平面ABD ；（2）当//AB 平面CEF 时，求三棱锥F CDE -的体积.20．已知ABC V 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()20a c cosB bcosC --=.(1)求角B 的大小；(2)若2,b a c =+= 求ABC V 的面积S .21．已知函数()2(1)ln 1f x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小值； （2）证明：当0x >时，1()1(1)f x x x x ⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭.22．已知函数2()2(1)xf x xe a x =-+.（1）若()f x 在1x =时取得极小值，求()f x 的解析式； （2）当10a e≤<时，判断函数()f x 在(,1)-∞上的零点个数.解析百师联盟2020年全国I 卷高三数学（文）试卷二一、单选题 1．已知集合{}|23Mx x =-<<，{}131|x N x +=>，则M N =I （ ）A ．(1,3)-B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(2,1)(3,)--⋃+∞ 【答案】A【解析】求出集合N ，即求MN ⋂.{}|23M x x =-<<Q ，{}{}1|1|31x x N x x +=>=>-.()1,3M N ∴⋂=-.故选：A .【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2．复数201912zi i=+-(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ） A ．25 B ．25i C ．45-D ．45i -【答案】C【解析】根据复数的除法法则和5044332019i i i i ⨯+===-，把z 化为(),z a bi a b R =+∈的形式，即求复数z的虚部. 【详解】504432224(2)(2)555i i i z i i i i ⨯+++=+=-=--+Q ，∴虚部为45-.故选：C .【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.3．已知函数3()2(1)1f x x xf '=+-，则(1)f '=（ ）A ．32B ．3C ．-3D ．32-【答案】C【解析】求出'()f x ，令1x =，即得'(1)f .3'()2(1)1f x x xf =+-Q ，()'2'()321f x x f ∴=+，()''(1)321f f ∴=+，()'13f ∴=-.故选：C .【点睛】本题考查求导数值，属于基础题.4．如图所示，某出租司机9月上旬和10月上旬的日收入(单位：元).设9月上旬和10月上旬收入的中位数分别为1x ，2x ，9月上旬和10月上旬收入的方差分别为21S ，22S ，则下列说法正确的是（ ）A ．12x x <，2212S S < B ．12x x >，2212S S >C ．12x x >，2212S S < D ．12x x <，2212S S >【答案】D【解析】根据茎叶图可求出12,x x ，根据两组数据的分散程度可得21S 与22S 的大小. 【详解】 由茎叶图可得1212134136143144135,143.5,22x x x x ++====∴<， 又9月上旬的数据比10月上旬的数据分散，2212S S ∴>. 故选：D . 【点睛】本题考查茎叶图，属于基础题.5．已知函数31,3()(1),3x e x f x f x x -⎧+≥=⎨+<⎩则(ln 2)f =（ ）A ．2B ．3C ．21e+ D ．221e+ 【答案】B【解析】把ln 2x =代入()f x 的解析式中，比较ln21+与3的大小，依此进行，即得(ln 2)f 的值.【详解】31,3()(1),3x e x f x f x x -⎧+≥=⎨+<⎩Q ,()()()()3ln33ln3ln21ln22ln23ln23f f f f e e +-∴=+=+=+===.故选：B . 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.6．如图是某四棱锥的三视图(每个小正方形的面积均为1)，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．43C ．8D ．4【答案】A【解析】由三视图可知，该四棱锥是底面边长为2，高为2的四棱锥，根据体积公式可求. 【详解】由三视图可知，该四棱锥是底面边长为2，高为2的四棱锥，即如图所示四棱锥P ABCD -.118222333V Sh ∴==⨯⨯⨯=.故选：A . 【点睛】本题考查空间几何体的三视图，属于基础题.7．已知a =r ，2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r r r r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．4【答案】D【解析】根据向量垂直，数量积为0，求出a b r r g ，即求向量a r 在向量b r方向上的投影a b b⋅r rr .【详解】()(2),()(2)0b a a b b a a b -⊥+∴-+=r r r r r r r r Q g ，即2220b a a b -+=r r r rg .2,8a b a b ==∴=r r r r Q g ，所以a r 在b r方向上的投影为4a b b⋅=r rr .故选：D . 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题. 8．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，且12a =，1n n b a =+，若数列{}n b 也是等比数列，则n S =（ ）A ．2nB ．31n -C ．2nD ．31n -【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，写出,n n a b .由数列{}n b 是等比数列，得2213b b b =，求出q ，即求n S .【详解】 设等比数列{}n a 的公比为q ，112,2n n a a q -=∴=Q ，121n n b q -∴=+，13b ∴=，221b q =+，2321b q =+，{}n b Q 也是等比数列， 2213b b b ∴=，即()()2221321q q +=+解得1q =，2,2n n a S n ∴=∴=. 故选：C . 【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题. 9．下列三个命题中，真命题的个数为（ ） ①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02x x ≤-；②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件； ③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题；A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】对三个命题逐一判断即可. 【详解】 ①中p ⌝：()1x ∀∈+∞，，02xx ≤-或2x =，所以①为假命题； ②为真命题；③中逆命题为：若a b >，则22ac bc >，若c 为0，则③错误，即③为假命题.故选：C . 【点睛】本题考查命题的真假，属于基础题. 10．若51sin 86πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 24πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1718 B ．1718-C ．1819D ．1819-【答案】A【解析】根据诱导公式得31sin 86πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据二倍角的余弦公式求解即可． 【详解】 解：∵531sin sin 886ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴3cos 24πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2312sin 8πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭117123618=-⨯=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式，属于基础题．11．已知点P 为抛物线24C y x =：上一点，且5PF =，以点P 为圆心的圆经过点F 且与y 轴交于A B，两点，则AB =（ ）A ．B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】设点(),P a b .由抛物线的定义可得：1PF a =+，求出,a b .由题意圆的半径为5，可求AB .【详解】设点(),P a b .抛物线24C y x =：的焦点()10F ，，准线方程为1x =-. 由抛物线的定义可得：15PF a =+=，4a ∴=，4b ∴=±，所以圆心P 到y 轴的距离为4，圆P 的半径为5，6AB ∴==.故选：C . 【点睛】本题考查抛物线的定义和圆的弦长，属于基础题.12．已知A BCD -是球O 的内接三棱锥，球O 的半径为2，且4AC =，2BD =，3ACD ACB π∠=∠=，则点A 到平面BCD 的距离为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．3【答案】B【解析】由题意可得AC 为直径，则AC 中点即为球心O ，可得2ADCABC π∠=∠=.由3ACD ACB π∠=∠=，可得BCD V 为正三角形. 取BCD V 中心H ，则OHHC ⊥.在Rt OCH V 中求出OH ，即可求点A 到平面BCD 的距离.【详解】由题意知A B C D ，，，四点都在球面上，且AC 为直径，AC ∴中点即为球心O ，如图所示2ADC ABC π∴∠=∠=，4AC =Q ，3ACD ACB π∠=∠=，2BC CD ∴==，又2BD =Q ，BCD ∴△为正三角形.取BCD V 中心H ，连接,OH HC . 则OH⊥面BCD ，OH HC ∴⊥.可求得3CH=，2OC =Q ，3OH ∴=. 又因为AC 中点为O ，所以点A 到面BCD 的距离为点O 到面BCD 的距离的2倍，. 故选：B . 【点睛】本题考查点面距，属于中档题.二、填空题13．已知圆22:(1)(2)9P x y -+-=，动直线l 过原点，则圆P 被直线l 截得的最短弦的长度为_________. 【答案】4【解析】设原点为O ，当动直线l OP ⊥时，圆P 被直线l 截得的弦长最短,即求最短弦长.【详解】设原点为O ，当动直线lOP ⊥时，圆心P 到直线l 的距离最远，此时圆P 被直线l 截得的弦长最短.112l OP k k ∴=-=-，直线l 的方程为12y x =-，即20x y +=.圆心()1,2P到直线l 的距离d ==所以最短弦弦长为4=.故答案为：4. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.14．古神话中的茅山道士会“穿墙术”，在二次根式中的一些带分数的等式也具有“穿墙术”.如…，按照以上规律猜想，若具有“穿墙术”，则n =_________(*n N ∈). 【答案】624【解析】按照规律可知具有“穿墙术”的等式应为=，可求n 值. 【详解】==，==== L按照规律可知具有“穿墙术”的等式应为=，若2251624n =-=. 故答案为：624. 【点睛】本题考查合情推理，属于基础题.15．若将函数sin (0)6y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位长度后与函数cos y x ω=图像重合，则ω的最小值为_________. 【答案】2【解析】函数平移后为sin 66y x πωπω⎛⎫=++⎪⎝⎭与函数cos y x ω=图像重合，根据诱导公式可得2662k πωπππ+=+，k Z ∈，即求ω的最小值.【详解】ω最小时，函数的周期T 最大，所以6T π>.函数平移后为sin co 66y x s x πωπωω⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以2662k πωπππ+=+，k Z ∈，所以2minω=.故答案为：2. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，属于基础题.16．已知函数2()33g x x =+和32()34f x mx x =-+，若方程()()f x g x =存在唯一的实根0x ，且00x >，则实数m 的取值范围为_________.【答案】(,-∞- 【解析】令()()()3261hx f x g x mx x =-=-+，由题意函数()h x 有唯一的正零点.求()'h x ，分0m >和0m <两种情况讨论：当0m >时，需()h x 的极大值小于0；当0m <时，需()h x 的极小值大于0，即得实数m 的取值范围. 【详解】 令()()()3261hx f x g x mx x =-=-+，由题意函数()h x 有唯一的正零点.()'243123h x mx x mx x m ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()'0h x =，得0x =或4x m =.当0m >时，40m>，由()'0h x >，得0x <或4x m >；由()'0h x <，得40x m <<.∴函数()h x 在()0-∞，和4,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，40,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()h x ∴的极大值为()01h =.若函数()hx 有唯一的正零点，只需极大值()00h <，无解.当0m <时，40m<，由()'0h x >，得40x m <<；由()'0h x <，得4x m <或0x >.∴函数()h x 在4,m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0+∞，上单调递减，4,0m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()h x ∴的极小值为24321h m m ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 若函数()hx 有唯一的正零点，只需极小值40h m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即23210m ->，解得m <-m >0m <Q ，m ∴<-.综上，当m <-()()h x f x =有唯一的正根.故答案为：(,-∞-. 【点睛】本题考查利用导数研究方程的根，属于较难的题目.三、解答题 17．已知等差数列{}n a 中，49a=，公差0d ≠，且满足2722a a a 、、成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和nT.【答案】（1）21n a n =+；（2）21222n n T n n +++-=.【解析】（1）由2722a a a 、、成等比数列，得27222a a a =，求出d ，即可求出n a ； （2）写出n b ，n T ，分组求和即得. 【详解】（1）2a Q ，7a ，22a 成等比数列，27222a a a ∴=，()()()29392918d d d ∴+=-+，解得2d =或0d =(舍)，()4421n a a n d n ∴=+-=+，即数列{}n a 的通项公式21n a n =+.（2）由（1）知2=212n n nn b a n =+++， 则()()1235721222n nn T +=++++++++L L()()21322121221222nn n n n n ++=+=++-⨯-+-所以数列{}n b 的前n 项和21222n n T n n +++-=.【点睛】本题考查数列的通项公式和数列求和，属于基础题. 18．某快递公司有两种发放薪水的方案：方案一：底薪1800元，设每月送快递x 单，提成(单位：元)为05130008300600600x x y x x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩．，，．，，，， 方案二：底薪2000元，设每月送快递x 单，提成(单位：元)为0514*******x x y x x ≤≤⎧=⎨>⎩．，，．，， 以下该公司某职工小甲在2019年9月份(30天)送快递的数据，（1）从小甲日送快递单数大于15的六天中抽取两天，求这两天他送的快递单数恰好都为16单的概率. （2）请你利用所学的统计学知识为小甲9月份选择合适的发放薪水的方案，并说明理由. 【答案】（1）23；（2）选择方案二，理由见解析. 【解析】（1）列举法求出“从小甲日送快递单数大于15的六天中抽取两天”的所有抽取方式，求出“这两天他送的快递单数恰好都为16单”包含的抽取方式，根据古典概型的概率计算公式即求概率； （2）求出小甲的月送单量，代入两种方案求他的薪水，选择薪水较高的方案. 【详解】（1）小甲日送快递单数为16的有5天，依次编号为a b c d e ，，，，，单数为18的有1天，编号为f ，从中抽取两天，()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e ,,,,,,,,,,,()(),,c f d e ,,()(),,d f e f ,共15种抽取方式.他送的快递单数恰好都为16单共有10种情况， 所以这两天他送的快递单数恰好都为16单的概率为102153=. （2）月送单量114135141215316518420x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=， 方案一：薪水11800420082136y =+⨯=．元， 方案二：薪水22000420092378y =+⨯=．元，因为21y y >，所以选择方案二. 【点睛】本题考查古典概型和分段函数的实际应用，属于基础题.19．如图在三棱锥A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，底面BCD V 为正三角形，2AB BC ==，点E 为BD 中点，点F 为线段AD 上一动点.（1）求证：平面CEF ⊥平面ABD ；（2）当//AB 平面CEF 时，求三棱锥F CDE -的体积.【答案】（1）答案见解析；（2.【解析】（1）证明CE AB ⊥，CE BD ⊥，可证CE ⊥面ABD ，又CE ⊂面CEF ，即证面CEF ⊥面ABD ；（2）根据//AB 平面CEF ，得//AB EF .由AB ⊥底面BCD ，得EF ⊥面BCD ，求出EF ，即求三棱锥F CDE -的体积.【详解】（1）证明：AB ⊥Q 面BCD ，CE ⊂面BCD ，CE AB ∴⊥.BCD QV 为正三角形，2BC CD ==，点E 为BD 中点，CE BD ∴⊥，又AB BD B =I，CE ∴⊥面ABD ，又CE ⊂面CEF ，∴面CEF ⊥面ABD .（2）//AB Q面CEF ，面ABD ⋂面CEF EF =，//AB EF ∴.又点E 为BD 中点，//EF AB ∴，112EFAB ==. AB ⊥Q 面BCD ，EF ∴⊥面BCD ，21112222ECD BCD S S ∴==⨯⨯=V V ，1113326F CDE ECD V S EF -∴=⨯⨯=⨯=V . 【点睛】本题考查面面垂直，考查求几何体的体积，属于中档题. 20．已知ABC V 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()20a c cosB bcosC --=.(1)求角B 的大小；(2)若2,b a c =+= 求ABC V 的面积S .【答案】(1)3B π=(2)3【解析】（1）用正弦定理将已知等式化为角，再利用两角和的正弦公式，即可求得角B 的三角函数值，进而求解；（2）由余弦定理求出ac ，即可求出面积. 【详解】 解:(1)Q 由()20a c cosB bcosC --=可得:()2sinA sinC cosB sinBcosC -=. 2sinAcosB sinBcosC cosBsinC ∴=+可得:()2sinAcosB sinB C sinA =+=()0,,0A sinA π∈>Q .∴可得12cosB =又由(0,)B π∈得3B π=又由(0,)B π∈得3B π=.(2)由余弦定理及已知得()222223b a c accosB a c ac =+-=+-84123,3ac ac ∴=-∴=123S acsinB ∴==. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形以及求面积，属于中档题. 21．已知函数()2(1)ln 1f x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小值； （2）证明：当0x >时，1()1(1)f x x x x ⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭.【答案】（1）1；（2）答案见解析. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()'22ln 2f x x x=-+.判断函数()f x 的单调性，即可求函数()f x 的最小值；（2）令()()()()111112ln ,0h x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----=-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只需证()0h x ≤.令()12ln x x x xφ=+-，求出()'x φ，判断()x φ的符号，即可证明()0h x ≤.【详解】 （1）定义域为()0,∞+，()'22ln 2f x x x =-+. 令()22ln 2gx x x =-+，则()'2220g x x x=+>， ()'f x ∴在()0,∞+上单调递增，且()'10f =，由()'0f x >解得1x >，由()'0f x <解得01x <<.所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()min 11f x f ==.（2）证明：令()()()()111112ln ,0h x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----=-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只需证()0hx ≤.令()12ln x x x x φ=+-，()()2'210x x xφ-∴=-≤，()x φ∴在()0,∞+上单调递减， 又知()10φ=，∴当01x <<时，()>0x φ；当1x >时，()<0x φ.∴当01x <<时，()()()1<0h x x x φ=-；当1x >时，()()()1<0h x x x φ=-；当=1x 时，()0hx =.综上,()0hx ≤，即1()1(1)f x x x x⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，利用导数证明不等式，属于较难的题目. 22．已知函数2()2(1)xf x xe a x =-+.（1）若()f x 在1x =时取得极小值，求()f x 的解析式； （2）当10a e≤<时，判断函数()f x 在(,1)-∞上的零点个数. 【答案】（1）2()2(1)x f x xe e x =-+；（2）一个零点.【解析】（1）由()f x 在1x =时取得极小值，得()'10f =，求出a e =，再进行检验；（2）()()()'21x f x x e a =+-，令()'0f x =，得1x =-或ln x a =.分0a =和10a e<<两种情况讨论函数()f x 在(,1)-∞上的零点个数. 【详解】（1）定义域为R ，()()()'21x f x x e a =+-.()f x Q 在1x =时取得极小值，所以()'10f =，解得a e =.()()()21x f x x e e ∴'=+-.由()'0f x >，得1x <-或1x >；()'0f x <，得11x -<<.()f x ∴在()11-，上单调递减，在(),1-∞-，()1+∞，上单调递增， ()f x ∴在1x =时取得极小值.a e ∴=，2()2(1)x f x xe e x ∴=-+.（2）由()()()'210x f x x e a =+-=，解得1x =-或ln x a =.当0a =时，()2x f x xe =，令()0f x =得0x =， 当0x <时，()0f x <；当0x >时，()0f x >，此时()f x 在()1-∞，上有且只有一个零点； 当10a e<<时，ln 1a <-， 由()'0f x >，得ln x a <或1x >-；()'0f x <，得ln 1a x <<-，()f x ∴在()ln a -∞，，()11-，上单调递增，在()ln ,1a -上单调递减，又()1120f e --=-<，()1240f e a =->，()()2ln ln 0f a a a a =--<，此时()f x 在()1-∞，上有且只有一个零点. 综上所述，当10a e≤<时，()f x 在()1-∞，上有一个零点. 【点睛】本题考查利用导数求函数的解析式，考查利用导数研究函数的零点，属于难题.。
2020年5月百师联盟2020届高三毕业班月考(五)(全国卷I)数学(文)试题及答案解析
绝密★启用前百师联盟2020届高三毕业班下学期月考(五)(全国卷I)数学(文)试题2020年5月注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟,满分150分一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P ＝{x|1<x<3},集合Q ＝{x|y ＝ln(x －2)},则P ∩(R ðQ)＝A.{x|2≤x<3}B.{x|1<x<3}C.{x|1<x ≤2}D.{x|1<x<2}2.在递增等比数列{a n }中,S n 是其前n 项和,若a 2＋a 4＝5,a 1·a 5＝4,则S 7＝ A.1272 B.212 C.632 D.6383.已知函数f(x)＝221211x x x x x ≤+-⎪>⎧⎪⎨⎩，，,则满足不等式f(1－a 2)≥f(a －1)的实数a 的取值范围为 A.[－1,2] B.[－2,1] C.(－∞,－2]∪[1,＋∞) D.(－∞,－1]∪[2,＋∞)4.已知定义在R 上的奇函数f(x)在(－∞,0]上单调递增,且满足f(2)＝1,则不等式f(x 2＋3x)＋1<0的解集为A.(－∞,－2)∪(－1,＋∞)B.(1,2)C.(－∞,1)∪(2,＋∞)D.(－2,－1)5.已知点F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点,点P 是该双曲线渐近线上一点,若△POF 是等边三角形(其中O 为坐标原点),则双曲线C 的离心率为A.3B.2C.3D.23 36.希尔伯特在1900年提出了孪生素数猜想,其内容是：在自然数集中,孪生素数对有无穷多个其中孪生素数就是指相差2的素数对,即若p和p＋2均是素数,素数对(p,p＋2)称为孪生素数。
2020届百师联盟高三练习题一(全国卷Ⅱ)数学(文)试题(解析版)
2020届百师联盟高三练习题一（全国卷Ⅱ）数学（文）试题一、单选题1．在复平面内，O 为坐标原点，点(3,4)Z -，点Z 关于原点的对称点为Z '，向量OZ 'u u u u r所对应的复数为z ，则||z =（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】先求得点(3,4)Z -关于原点的对称点，再利用复数的几何意义，得到向量OZ 'u u u u r，进而得到复数z ，再利用求模公式求解. 【详解】因为点(3,4)Z -关于原点的对称点为(3,4)Z '-，所以向量(3,4)OZ '=-u u u r，复数34z i =-+，则||5z ==. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查复数的几何意义和模的运算，还考查了数形结合的方法，属于基础题. 2．集合{}2|230A x x x =--≤，{|21}B x x =-<<，则A B =I （ ） A ．{|21}x x -<<- B ．{|11}x x -<„ C ．3|2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭„D ．{|21}x x -<< 【答案】B【解析】先化简集合{}2|230A x x x =--≤，为3|12A x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭剟，再根据{|21}B x x =-<<求解.【详解】因为3|12A x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭剟，{|21}B x x =-<<， 所以{|11}A B x x =-<I „. 故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．若x、y满足约束条件20,220,330,x yx yx y-+⎧⎪+-⎨⎪--≤⎩……，则23z x y=-的最大值为（）A．2 B．2-C．6-D．172 -【答案】A【解析】根据x、y满足约束条件20,220,330,x yx yx y-+⎧⎪+-⎨⎪--≤⎩……，画出可行域，将目标函数23z x y=-，转化为233zy x=-，平移直线23y x=，找到直线在y轴上截距最小时的最优点，此时目标函数取得最大值.【详解】由x、y满足约束条件20,220,330,x yx yx y-+⎧⎪+-⎨⎪--≤⎩……，画出可行域如图所示阴影部分，将目标函数23z x y=-，转化为233zy x=-，平移直线23y x=，当直线在y轴上截距最小时，经过点(1,0)A，此时目标函数取得最大值，所以z的最大值为2.故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.4．已知tan3α=-，则22sin1cos21αα-+的值等于（）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】D【解析】先利用商数关系和平方关系，将22sin 1cos21αα-+，转化为()222222sin 1sin cos 1tan 1cos 212cos 2αααααα--==-+，再由tan 3α=-求解. 【详解】因为tan 3α=-，所以()222222sin 1sin cos 1tan 14cos212cos 2αααααα--==-=+. 故选：D 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．若a 、b 、c 均为正数，且2728a b c ==，则（ ） A ．112a b c-= B ．112b c a-= C ．112c a b-= D ．112c b a-= 【答案】D【解析】先设2728a b c k ===，转化为对数形式，有1log 3k a =，1log 7k b=，1log 28k c=，再根据选项通过对数运算求解. 【详解】设，2728a b c k ===，则1log 3k a =，1log 7k b =，1log 28k c =， 所以112log 28log 7log 42log 2k k k k c b a-=-===. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查指数与对数的转化以及对数的运算法则，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．等差数列{}n a 中，若24111310a a a a +++=，则81015a a -的值是（ ） A ．2 B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】利用等差数列的性质，由24111310a a a a +++=，得到2135a a +=，再将81015a a -，转化为()678915a a a a +++，再通过等差数列的性质求解.【详解】因为24111310a a a a +++=， 所以2135a a +=， 所以()81081011555a a a a -=- ()6789101015a a a a a a =++++- ()()6789213112255a a a a a a =+++=⨯+=. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．已知向量(2,1)a =-r ，(1,3)b =-r ，则2a b -r r 在向量a b +r r方向上的投影等于（ ）A．-B．C ．0D【答案】B【解析】先由向量(2,1)a =-r ，(1,3)b =-r，得到2a b -r r ，a b +r r的坐标，再根据向量投影公式，代入(2)()||a b a b a b -⋅++r r r rr r 求解. 【详解】已知向量(2,1)a =-r ，(1,3)b =-r，所以2(5,5)a b -=-r r ，(1,2)a b +=r r，所以向量2a b -r r 在向量a b +r r方向上的投影等于(2)()||a b a ba b-⋅+===+r r r rr r故选：B．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．已知圆222:(1)(0)C x y r r+-=>，设:0p r<<q：圆C上至多有2个点到直线30x y++=，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由圆C的圆心为(0,1)，得到其到直线30x y++=的距离为利用“,r d”法，分析当0r<<r=r<<r=，r>时，圆C上的点到直线30x y++=的个数，再根据逻辑条件的定义求解.【详解】圆C的圆心为(0,1)，其到直线30x y++=的距离为当0r<<；当r=；r<<时，圆上有2；当r=时，圆上有3；当r>，圆上有4．若圆C上至多有2个点到直线30x y++=的距离为2，则0r<<所以p是q的充要条件．故选：C．【点睛】本题主要考查逻辑条件以及直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.9．已知定义在R上的函数()f x满足：()()f x f x-=，当120x x<<时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，2log 5.6a =-，0.32b =，20.3c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小顺序为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a <<【答案】B【解析】根据()()f x f x -=，得到()f x 是R 上的偶函数，再根据120x x <<，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，得到()f x 在(0,)+∞上是增函数．再根据22log 5.6log 42a =-<-=-，0.3122<<，200.31<<，利用单调性求解.【详解】由()()f x f x -=知，()f x 是R 上的偶函数， 又120x x <<，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦， 得()f x 在(0,)+∞上是增函数，在(,0)-∞上是减函数． 因为22log 5.6log 42a =-<-=-， 所以()()22log 5.6log 5.6(2)f f f -=>， 因为0.3122<<，200.31<<， 所以()()()0.322log 5.620.3f f f ->>，即()()()f c f b f a <<. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用，还考查了理解辨析运算求解的能力，属于中档题.10．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例．作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线如图1．它来源于斐波那契数列（ Fibonacci sequence ），又称为黄金分割数列．根据该作图规则有程序如图2，此时若输入数值11a =，输出i 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】先验证11a =，211a a ==，121a S a ==，|0.618|0.3820.01S -=>，再根据21i i i a a a ++=+，1i i =+，1ii a S a +=，依次进行验证，直至|0.618|0.01S -≤终止时对应的值即为所求. 【详解】已知11a =，211a a ==，此时121a S a ==，|0.618|0.3820.01S -=>， 3212a a a =+=，112i =+=，此时230.5a S a ==，|0.618|0.1180.01S -=>， 4323a a a =+=，213i =+=，此时340.667a S a =≈，|0.618|0.0490.01S -=>， 5435a a a =+=，314i =+=，此时4530.65a S a ===，|0.618|0.0180.01S -=>， 6548a a a ++=，415i =+=，此时5650.6258a S a ===，|0.618|0.0070.01S -=<， 所以当5i =时，|0.618|0.0070.01S -=<.故选：D ． 【点睛】本题主要考查程序框图的应用，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.11．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，离心率为12，点P 为第一象限内椭圆上一点，三角形12PF F 其内切圆的E 的方程为（ ） A ．2214y x +=B ．2213y x +=C ．22134x y +=D ．22143x y +=【答案】D【解析】利用椭圆的定义及等面积法，得到()12121211(22))22PF F S PF PF F F r a c r a c =++⋅=+⋅=+=△，再结合12c e a ==求解. 【详解】因为()12121211(22))22PF F S PF PF F F r a c r a c =++⋅=+⋅=+△， 又因为12c e a ==，所以2a c =，=1c =，所以2a =，b = 所以E 的方程为22143x y +=．故选：D ． 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()cos(2)f x x ωϕ=+（0>ω，且*ω∈N ，0ϕπ<<）的图像上，直线6x π=是函数()f x 的图像的一条对称轴．若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，则ϕ=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】根据点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭和6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，可得62484T πππ-=≥，则有2ω…，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，可得362T ππ-„，则有3ω„，从而23ω剟，又*ω∈N ，所以2ω=或3，然后根据0ϕπ<<讨论求解. 【详解】 由题意知，62484T πππ-=≥，即12428ππω⨯„，解得2ω…， 又因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，所以362T ππ-„，即12226ππω⨯…，解得3ω„． 所以23ω剟，又*ω∈N ，所以2ω=或3 当2ω=时，cos 4024πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭得，()3k k πϕπ=+∈Z ， 又0ϕπ<<，所以3πϕ=，此时，直线6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴．且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，所以，3πϕ=．当3ω=时，cos 6024πϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭得，,()4k k πϕπ=+∈Z ，又0ϕπ<<，所以4πϕ=，此时，cos 61642ππ⎛⎫⨯+=-≠± ⎪⎝⎭，所以直线6x π=不是函数()f x 的图象的一条对称轴．所以2ω=，3πϕ=.故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．已知()f x 是偶函数，当0x …时，2()2f x x x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为___________． 【答案】410x y ++=【解析】先利用()f x 是偶函数，当0x …时，2()2f x x x =+，求得0x <时的解析式，再利用导数的几何意义求函数切线方程. 【详解】设0x <，则0x ->，因为22()()()2()2(0)f x f x x x x x x =-=-+-=-<，()22f x x '=-，所以(1)2(1)24k f '=-=⨯--=-，又2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=，所以切线方程为34(1)y x -=-+， 即410x y ++=． 故答案为：410x y ++= 【点睛】本题主要考查奇偶性的应用和导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．已知(,2)a m =r ，(1,3)b =r，若(2)-r r a b ∥(2)a b +r r ，则||a =r _________．【解析】根据(,2)a m =r ，(1,3)b =r，得到2(21,1)a b m -=-r r ，2(2,8)a b m +=+r r ，再根据(2)(2)a b a b -+r r r r∥，得到8(21)(2)0m m --+=求解.【详解】已知(,2)a m =r ，(1,3)b =r，所以2(21,1)a b m -=-r r ，2(2,8)a b m +=+r r，因为(2)(2)a b a b -+r r r r ∥，所以8(21)(2)0m m --+=，解得23m =．所以2,23a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，所以||a ==r ．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足1(2)()f x f x +=-，21,01,()log ,12,x x f x x x -+⎧=⎨<⎩剟„函数()()g x f x kx =-在区间[2,6]-上有5个零点，则k 的取值范围是________． 【答案】11,64⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由1(2)()f x f x +=-，转化为得11(4)()1(2)()f x f x f x f x +=-=-=+-，得到函数()f x 的最小正周期为4．再将函数()()g x f x kx =-在区间[2,6]-有5个零点，转化为函数()y f x =的图象与直线y kx =的图象有5个不同的交点，作出()y f x =的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 由1(2)()f x f x +=-， 得11(4)()1(2)()f x f x f x f x +=-=-=+-， 所以函数()f x 的最小正周期为4．因为21,01,()log ,12,x x f x x x -+⎧=⎨<⎩剟„，则()[0,1]f x ∈，因为函数()()g x f x kx =-在区间[2,6]-有5个零点，所以函数()y f x =的图象与直线y kx =的图有5个不同的交点， 作出()y f x =的图象，如图所示：当直线y kx =过点(4,1)时，14k =；当直线y kx =过点(6,1)时，16k =； 由图象知：在区间[2,6]-上函数()()g x f x kx =-有5个零点，则11,64k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．故答案为： 11,64⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查函数与方程，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题. 16．已知函数321()2xf x e x x =--与31()(0)2g x x ax x =-+<的图像上存在关于原点的对称点，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[21,)e -+∞【解析】先求得与()y g x =的图象关于原点对称的函数31()(0)2h x x ax x =-+>，再根据函数()y f x =与()y g x =的图象上存在关于原点的对称点，转化为()y f x =与()y h x =的图象有交点，即211,022x e a x x x x =+->有解．再令21()2x e f x x x x =+-，求其值域即可. 【详解】设()y h x =的图象与()y g x =的图象关于原点对称，由31()(0)2g x x ax x =-+<，得31()(0)2h x x ax x =-+>， 因为函数()y f x =与()y g x =的图象上存在关于原点的对称点， 即()y f x =与()y h x =的图象有交点， 即32311,022xe x x x ax x --=-+>有解， 即211,022x e a x x x x =+->有解． 令21()2x e f x x x x =+-，则22()1(1)1x x x e x e e f x x x x x ⎛⎫⋅-'=+-=-+ ⎪⎝⎭， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以()f x 有最小值1(1)2f e =-，所以1122a e -…， 即21a e -…． 故a 的取值范围为[21,)e -+∞． 故答案为：[21,)e -+∞ 【点睛】本题主要考查函数的对称性和导数与函数有解问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．为认真贯彻落实党中央国务院决策部署，坚持“房子是用来住的，不是用来炒的”定位，坚持调控政策的连续性和稳定性，进一步稳定某省市商品住房市场，该市人民政府办公厅出台了相关文件来控制房价，并取得了一定效果，下表是2019年2月至6月以来该市某城区的房价均值数据：已知：5119.505i i y y ===∑．51188.40i i i x y ==∑（1）若变量x 、y 具有线性相关关系，求房价均价y （千元/平方米）关于月份x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）根据线性回归方程预测该市某城区7月份的房价．（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-==--∑∑） 【答案】（1）ˆ0.1610.14yx =-+（2）9.02千元/平方米． 【解析】（1）根据表格中的数据，可求得x ，9.50t =，51i ii x y =∑，nx y ，521ii x=∑，2nx ，进而求得1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-==--∑∑，写出回归方程.（2）利用（1）所求得的线性回归方程，将7x =，代入ˆ0.1610.14yx =-+求解. 【详解】（1）由表格中的数据，可得2345645x ++++==，因为9.50y =，所以9.50t =，51188.40i ii x y==∑，190nx y =，52190i i x ==∑，280nx =，所以515221188.40190 1.60ˆ0.16908010i ii ii x y nx ybxnx ==---====---∑∑，ˆˆ9.50(0.16)410.14ay bx =-=--⨯=， 所以线性回归方程为ˆ0.1610.14yx =-+． （2）利用（1）所求得的线性回归方程，可预测7月份的房价ˆ0.16710.149.02y =-⨯+=（千元/平方米）．所以该市某城区7月份的房价为9.02千元/平方米． 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．如图所示，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，PD AD AB ==，60BAD ∠=︒，1CD BC ==，120BCD ∠=︒．（1）求证：PB AC ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的表面积． 【答案】（1）见解析（2）33315372244+++【解析】（1）取BD 中点O ，连结AO ，CO ，根据AD AB =，60DAB ∠=︒和BCD V 为等腰三角形，得到A 、O 、C 三点共线，AC BD ⊥，再根据PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得到PD AC ⊥，然后利用线面垂直的判定定理证明.（2）由（1）知，3BD AB AD PD ====，6PB PA ==，2PC =，再根据PAD PDC PAB PCB ABCD S S S S S S =++++△△△△表求解.【详解】 （1）如图，取BD 中点O ，连结AO ，CO ， 因为AD AB =，60DAB ∠=︒，所以ABD △为正三角形，所以AO BD ⊥． 又因为BCD V 为等腰三角形，所以CO BD ⊥， 所以A 、O 、C 三点共线，所以AC BD ⊥． 又PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以PD AC ⊥，PD BD D ⋂=， 所以AC ⊥平PBD ，PB ⊂平面PBD ， 所以AC PB ⊥．（2）由（1）知，BD AB AD PD ====，PB PA ==2PC =，1cos 4PCB ∠==-，sin PCB ∠=，所以121244PBC S =⨯⨯⨯=△， PAD PDC PAB PCB ABCD S S S S S S =++++△△△△表211111222442=+++⨯+⨯112⨯⨯32=+++++32=+++． 【点睛】本题主要考查线面垂直和线线垂直的转化和几何体表面积的求法，还考查了转化回归的思想和推理论证，运算求解的能力，属于中档题.19．设a 为实数，给出命题0:[0,1]p x ∃∈，01112x a -⎛⎫+< ⎪⎝⎭；命题q ：函数()22()log 1f x x ax =++的值域为R ．（1）若()()p q ⌝∧⌝为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若p q ∨为真，p q ∧为假，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）32,2⎛⎤- ⎥⎝⎦（2）3(,2],22⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【解析】先化简命题：0:[0,1]p x ∃∈，01112x a -⎛⎫+< ⎪⎝⎭，则1112xa -⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，[0,1]x ∈有解，设11()12xg x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求其最小值即可.命题q ：函数()22()log 1f x x ax =++的值域为R ．则只需真数2()1h x x ax =++取遍一切正实数，则由24110a ∆=-⨯⨯…求解.（1）若()()p q ⌝∧⌝为真，则),()(p q ⌝⌝都为真求解.（2）若p q ∨为真，p q ∧为假，则p 、q 一真一假，分p 真q 假和p 假q 真，两种情况分类求解. 【详解】设11()12xg x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()g x 在[0,1]上时增函数，故当[0,1]x ∈时，()g x 的最小值为3(0)2g =， 若p 为真，则32a >； 因为函数()22()log 1f x x ax =++的值域为R ，则只需真数2()1h x x ax =++取遍一切正实数，所以24110a ∆=-⨯⨯…，所以2a …或2a -„． 若q 命题为真命题，则(,2][2,)a ∈-∞-+∞U ．（1）若()()p q ⌝∧⌝为真，则实数a 满足3,322222,a a a ⎧⎪⇒-<⎨⎪-<<⎩„„， 即实数a 的取值范围为32,2⎛⎤- ⎥⎝⎦；（2）若p q ∨为真，p q ∧为假，则p 、q 一真一假．若p 真q 假，则实数a 满足3,322222,a a a ⎧>⎪⇒<<⎨⎪-<<⎩；若p 假q 真，则实数a 满足3,2222,a a a a ⎧≤⎪⇒-⎨⎪≥≤-⎩或…； 综上所述，实数a 的取值范围为3(,2],22⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查复合命题的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.20．定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=且(1)()f x f x +=-．当(0,1)x ∈时，3()31xx f x =+．（1）求()f x 在[1,1]-上的解析式；（2）当m 为何值时，关于x 的方程()2f x m =在区间[1,3]上有实数解．【答案】（1）3,01,31()0,0,1,1,1,10.31xxx x f x x x ⎧<<⎪+⎪⎪==-⎨⎪⎪--<<+⎪⎩（2）3113,{0},8448m ⎛⎫⎛⎫∈--⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】（1）根据()()0f x f x -+=知函数()f x 为奇函数，当0x =时，由(0)(0)f f -=-，得到(0)f ，由(1)()f x f x +=-，变形得到(2)()f x f x +=，即()f x 为最小正周期为2的周期函数，则(1)(12)(1)f f f -=-+=，得到(1)(1)0f f -==．当10x -<<时由()()f x f x =--求解．（2）根据()f x 是周期为2的周期函数，将方程()2f x m =在[1,3]上有实数解转化为方程()2f x m =在[1,1]-上有实数解．再求()f x 的值域即可. 【详解】（1）由()()0f x f x -+=知函数()f x 为奇函数， 当0x =时，由(0)(0)f f -=-， 所以(0)0f =，又(1)()f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=， 所以()f x 为周期函数，最小正周期为2，所以(1)(12)(1)f f f -=-+=，所以(1)(1)0f f -==．设10x -<<，则01x <-<，31()()3131x x xf x f x --=--=-=-++． 综上，3,01,31()0,0,1,1,1,10.31xxx x f x x x ⎧<<⎪+⎪⎪==-⎨⎪⎪--<<+⎪⎩ （2）因为()f x 是周期为2的周期函数， 所以关于方程()2f x m =在[1,3]上有实数解， 即为()2f x m =在[1,1]-上有实数解．当(0,1)x ∈时，33111()1313131x x x x xf x +-===-+++为增函数， 13(0)()(1)24f f x f =<<=， 当(1,0)x -时，31(),42f x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 当{1,0,1}x ∈-时，()0f x =， 所以3113(),{0},4224f x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以31132,{0},4224m ⎛⎫⎛⎫∈--⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3113,{0},8448m ⎛⎫⎛⎫∈--⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查奇偶性和周期性的应用以及方程有解问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．临近开学季，某大学城附近的一款“网红”书包销售火爆，其成本是每件15元．经多数商家销售经验，这款书包在未来1个月（按30天计算）的日销售量s （个）与时间t （天）的关系如下表所示：未来1个月内，前15天每天的价格1y （元/个）与时间t （天）的函数关系式为1125(115)4y t t =+剟（且t 为整数），后15天每天的价格2y （元/个）与时间t （天）的函数关系式为2130(1630)2y t t =-+剟（且t 为整数）． （1）认真分析表格中的数据，用所学过的一次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据s （个）与t （天）的关系式；（2）试预测未来1个月中哪一天的日销售利润最大，最大利润是多少？（3）在实际销售的第1周（7天），商家决定每销售1件商品就捐赠m 元利润(01)m <<给该城区养老院．商家通过销售记录发现，这周中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t （天）的增大而增大，求m 的取值范围．【答案】（1）()*4200130,s t t t N =-+∈剟（2）第5天时的销售利润最大，最大值2025元．（3）(0.75,1)m ∈【解析】（1）若选一次函数，则设为s kt b =+，代(1,196)，(4,184)求解，再代入其他点验证是否符合题意，若选反比例函数，则设为ks t=，代(1,196)，(4,184)求解，再代入其他点验证是否符合题意.（2）设日销售利润为w 元，根据（1）的结果，分当115t 剟，1630t 剟时，讨论求解.（3）建立函数模型21(4200)2515(410)20002004w t t m t m t m ⎛⎫=-+-+--=-+++- ⎪⎝⎭，根据每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t （天）的增大而增大，因为17t 剟，则由二次函数的性质，对称轴应25 6.5t m =+>求解.【详解】（1）若选一次函数，则设为s kt b =+，代(1,196)，(4,184)，得196,1844,k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得4,200,k b =-⎧⎨=⎩所以4200s t =-+，代(7,172)入4200s t =-+中，符合题意； 若选反比例函数，则设为k s t=，代(1,196)，(4,184)， 得196,1184,4k k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得196,736,k k =⎧⎨=⎩，不合题意． 所以，s 与t 的函数关系式为()*4200130,s t t t N =-+∈剟（2）设日销售利润为w 元，当115t 剟时， 21(4200)2515(5)20254w t t t ⎛⎫=-++-=--+ ⎪⎝⎭， 所以当5t =时，有最大值2025元．当1630t 剟时，21(4200)30152(40)2002w t t t ⎛⎫=-+-+-=-- ⎪⎝⎭， 因当1630t 剟时，w 随t 的增大而减小，故当16t =时，w 有最大值952元． 综上所述，第5天时的销售利润最大，最大值2025元．（3）21(4200)2515(410)20002004w t t m t m t m ⎛⎫=-+-+--=-+++- ⎪⎝⎭， 对称轴为25t m =+，因为17t 剟，且t 为整数，w 随t 的增大而增大，开口向下， 所以25 6.5m +>，所以0.75m >，故0.751m <<．所以(0.75,1)m ∈．【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数和反比例函数的实际应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.22．已知函数21()()ln 22f x x a b x =+++，a 、b ∈R ．（1）当0a =，1b =时，求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值；（2）设1b =，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()2152f x x >． 【答案】（1）52．（2）见解析 【解析】（1）当0a =，1b =时，函数21()ln 2,(0)2f x x x x =++>，求导1()0f x x x'=+>，得到()f x 在[1,2]上单调递增求解． （2）当1b =时，211()x ax f x x a x x='++=++，根据函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，有12x x a +=-，121=x x ，根据12x x <，且1>0x ，20x >，得到21>x ，221a x x =--，代入()()2222111ln 22x a x f x x x +++=，得到 ()21f x x 22221ln 22x x x x =++，再令1()ln 2(1)2g x x x x x=++>，用导数法求其最小值即可. 【详解】（1）当0a =时，1b =时，函数21()ln 2,(0)2f x x x x =++>，则1()0f x x x '=+>． ()f x 在[1,2]上单调递增，所以min 5()(1)2f x f ==． （2）当1b =时，211()x ax f x x a x x='++=++， 函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，所以1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，所以12x x a +=-，121=x x ，因为12x x <，且1>0x ，20x >，所以21>x ，221a x x =--，()()22222221221ln 212ln 212x a x f x x x x x x x +++==++ 令1()ln 2(1)2g x x x x x x =++>，则21()ln 302g x x x'=-++>， 所以()g x 在(1,)+∞单调递增， 所以5()(1)2g x g >=， 即()2152f x x >． 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，极值和最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.。
2020年全国I卷百师联盟高三数学(文)试卷四附答案解析
百师联盟2020年全国I 卷高三数学（文）试卷四一、单选题 1．已知复数53izi=+，则z =（ ） A ．1322i -+ B ．1322i -- C ．1322i + D ．1322i - 2．保险公司新推出A ，B ，C三款不同的储蓄型保险，已知购买这三款保险的人数分别为600、400、300，公司为增加投保人数，现采用分层抽样的方法抽取26人进行红包奖励，则从购买C 款保险的人中抽取的人数为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．123．若用列举法表示集合26(,)|3x y A x y x y +=⎧⎧⎫=⎨⎨⎬-=⎩⎭⎩，则下列表示正确的是（ ）A ．{3,0}x y ==B ．{(3,0)}C ．{3,0}D ．{0,3}4．新高考改革后，某校2000名学生参加物理学考，该校学生物理成绩的频率分布直方图如图所示，若规定分数达到90分以上为A 级，则该校学生物理成绩达到A 级的人数是（ ）A ．600B ．300C ．60D ．305．已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为3π的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．π B ．2π C ．6π D ．12π6．已知凸四边形ABCD 的面积为S ，点P 是四边形内部任意一点，若点P 到四条边AB ，BC ，CD ，DA 的距离分别为1d ，2d ，3d ，4d ，且满足1234AB BC CD DAk ====，利用分割法可得12342234Sd d d d k+++=；类比以上性质，体积为V 的三棱锥P ABC -，点Q 是三棱锥内部任意一点，Q 到平面PAB ，PBC ，PAC ，ABC 的距离分别为1D ，2D ，3D ，4D ，若1234PAB PBC PAC ABCS S S S K ====△△△△，则1234234D D D D +++=（ ）A ．V KB ．2V KC ．3V KD ．4V K7．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，C 的上顶点A 在圆22(2)(1)4x y -+-=上，若1223F AF π∠=，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．2212x y +=B ．22143x y +=C ．2214x y +=D ．2213x y +=8．如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（ ）A ．612π+B ．1036π+C ．536π+D ．618π+9．执行如图所示的程序框图，则输出的a =（ ）A ．32-B ．13-C ．2D ．2-10．已知函数2*()sincos[1,],666xxxf x x a a πππ=+∈-∈N ，若函数()f x 图象与直线1y =至少有2个交点，则a 的最小值为（ ）A ．7B ．9C ．11D ．1211．函数2()(1)2(0,0)f x a x bx a b =++->>在点(1,(1))P f 处的切线斜率为4，则8a b ab+的最小值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．12．已知数列{}n a 满足1*43,N n n a n -=⨯∈，现将该数列按如图规律排成一个数阵（如图所示第i 行有i个数），设n S 为该数阵的前n 项和，则满足2020n S >时，n 的最小值为（ ）A ．20B ．21C ．26D ．27二、填空题13．已知向量(3,2)a m =-r ，(1,1)b =-r ，若//a b r r，则|2|a b -=r r _________.14．哥德巴赫在1742年写给欧拉的信中提出了著名的哥德巴赫猜想，其内容是“任一大于2的偶数都可写成两个质数之和”，如1037=+.在大于10且小于30的所有质数中，随机选取两个不同的数，其和等于40的概率为__________.15．已知点P 是双曲线222:1(1)x C y a a -=>上的动点，点M 为圆22:1O x y +=上的动点，且0OM PM ⋅=u u u u r u u u u r，若||PM C 的离心率为________.16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()2xf x x =⋅.则方程()|lg |0f x x -=的根的个数为_________.三、解答题17．在四边形ABCD 中，3BC=，1CD =，2C A =，cos 3A =.（1）求BCD V 的面积； （2）若1cos 3ABD ∠=，求AB 的长.18．如图在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，2ADC π∠=，4PA AD CD ===，2AB =，E 为侧棱PD 中点.（1）设F 为棱CD 上的动点，试确定点F 的位置，使得平面//AEF 平面PBC ，并写出证明过程； （2）求点B 到平面PCD 的距离.19．已知函数()ln 1()f x a x x a =-+∈R（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，对任意的()1212,(0,1],x x x x ∈<，都有()()1212114f x f x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，求实数a的取值范围.调性，根据函数单调性求参数的取值范围，涉及分类讨论以及转化与化归思想. 20．出版商为了解某科普书一个季度的销售量y （单位：千本）和利润x（单位：元/本）之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到如下的10组数据.根据上述数据画出如图所示的散点图：（1）根据图中所示的散点图判断y ax b =+和ln y c x d =+哪个更适宜作为销售量y 关于利润x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需要说明理由）（2）根据（1）中的判断结果及参考数据，求出y 关于x 的回归方程； （3）根据回归方程预测当每本书的利润为10.5元时的季销售量. 参考公式及参考数据：①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋅⋅⋅，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的公式分别为()()()121ˆˆˆ,niii nii u u v v u u u νβαβ==--==--∑∑. ②参考数据：)()iix y y --()()iiu u y y --表中1011ln ,10i i i i u x u u ===∑.另：ln10.5 2.35≈.计算时，所有的小数都精确到0.01.21．在平面直角坐标系xOy 中，不恒在坐标轴上的点(,)(0)P x y x …到y 轴的距离比它到点(1,0)F 的距离小1，直线l 与曲线C 相切于点M ，与直线1x =-交于点N . （1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）证明：以MN 为直径的圆恒过定点.22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线,:,x C y θθθθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）(3,0)M ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +的值.23．已知函数()|21||25|f x x x =++-.（1）求不等式()10f x …的解集； （2）a ，b 均为正实数，若41a b+为函数()f x 的最小值，求实数2+a b 的取值范围.解析百师联盟2020年全国I 卷高三数学（文）试卷四一、单选题 1．已知复数53izi=+，则z =（ ） A ．1322i -+ B ．1322i -- C ．1322i + D ．1322i - 【答案】D【解析】根据复数运算法则求出1322z i =+，即可得到其共轭复数. 【详解】因为55(3)133(3)(3)22i i i z i i i i -===+++-，所以1322z i =-. 故选：D【点睛】此题考查复数的基本运算和复数概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则，根据法则准确计算. 2．保险公司新推出A ，B ，C三款不同的储蓄型保险，已知购买这三款保险的人数分别为600、400、300，公司为增加投保人数，现采用分层抽样的方法抽取26人进行红包奖励，则从购买C 款保险的人中抽取的人数为（ ） A ．6 B ．8C ．10D ．12【答案】A【解析】根据分层抽样方式计算抽样比即可得到从购买C 款保险的人中抽取的人数. 【详解】由分层抽样得购买C 款保险的人中抽取的人数为300266600400300⨯=++.故选：A 【点睛】此题考查分层抽样，关键在于根据题意准确识别抽样比，计算样本中抽出的样本个数.3．若用列举法表示集合26(,)|3x y A x y x y +=⎧⎧⎫=⎨⎨⎬-=⎩⎭⎩，则下列表示正确的是（ ）A ．{3,0}x y ==B ．{(3,0)}C ．{3,0}D ．{0,3}【答案】B【解析】解方程组得30x y =⎧⎨=⎩，即可得到集合. 【详解】 由263x y x y +=⎧⎨-=⎩解得30x y =⎧⎨=⎩所以{(3,0)}A =.故选：B 【点睛】此题考查集合概念理解，关键在于准确识别描述法表示的集合，根据题意求解方程组，准确表示成所求形式. 4．新高考改革后，某校2000名学生参加物理学考，该校学生物理成绩的频率分布直方图如图所示，若规定分数达到90分以上为A 级，则该校学生物理成绩达到A 级的人数是（ ）A ．600B ．300C ．60D ．30【答案】B【解析】根据频率分布直方图计算出获得A 级的频率，根据总人数即可得到获得A 级的人数. 【详解】根据频率分布直方图得，该校学生获得A 级的频率是0.015(10090)0.15⨯-=，所以该校学生物理成绩达到A 级的人数是20000.15300⨯=.故选：B 【点睛】此题考查频率分布直方图，根据直方图求解指定组的频率，结合总人数计算频数，关键在于熟练掌握频率分布直方图相关数据的计算方法.5．已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为3π的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．π B ．2πC ．6πD ．12π【答案】D【解析】根据圆锥侧面展开图求得底面圆半径和母线长，根据侧面积公式即可求得侧面积. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则圆锥的侧面展开图的弧长为2r π， 则由23l r ππ⋅=，所以6l r =，圆锥的表面积是14π，即2614r r r πππ+⋅=， 解得22r =，所以侧面积2612S r ππ==.故选：D 【点睛】此题考查圆锥表面积相关计算，根据表面积求解底面圆半径和圆锥母线长，关键在于熟练掌握扇形相关计算. 6．已知凸四边形ABCD 的面积为S ，点P 是四边形内部任意一点，若点P 到四条边AB ，BC ，CD ，DA 的距离分别为1d ，2d ，3d ，4d ，且满足1234AB BC CD DAk ====，利用分割法可得12342234Sd d d d k+++=；类比以上性质，体积为V 的三棱锥P ABC -，点Q 是三棱锥内部任意一点，Q 到平面PAB ，PBC ，PAC ，ABC 的距离分别为1D ，2D ，3D ，4D ，若1234PAB PBC PAC ABCS S S S K ====△△△△，则1234234D D D D +++=（ ） A ．VKB ．2V KC ．3V KD ．4V K【答案】C【解析】对三棱锥进行切割，根据三棱锥的体积公式，利用等体积法即可得解. 根据三棱锥的体积公式13Vsh =，得123411113333PAB PBC PAC ABC S D S D S D S D V +++=△△△△，即12343PAB PBC PAC ABC S D S D S D S D V +++=△△△△，所以12343234VD D D D K+++=.故选：C 【点睛】此题考查类比推理，根据平面四边形面积关系类比空间几何体体积关系，关键在于熟练掌握体积公式，准确推导.7．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，C 的上顶点A 在圆22(2)(1)4x y -+-=上，若1223F AF π∠=，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．2212x y +=B ．22143x y +=C ．2214x y +=D ．2213x y +=【答案】C【解析】求出A 点坐标，结合1223F AF π∠=求解椭圆的基本量即可得到标准方程. 圆的方程中令0x =得1y =，所以1b =，所以1223F AF π∠=，13F AO π∠=，在直角1AFO △中解得2a =，即椭圆C 的标准方程为2214xy +=.故选：C 【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，关键在于根据题意准确进行基本量的运算，关键在于熟练掌握椭圆的几何特征.8．如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（ ）A ．612π+B ．1036π+C ．536π+D ．618π+【答案】B【解析】根据三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，利用柱体表面积公式求解. 【详解】由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，353334461036S πππ=⨯+⨯+⨯++=+.故选：B 【点睛】此题考查根据三视图求几何体的表面积，关键在于准确识别三视图的特征，还原几何体，利用表面积公式求解.9．执行如图所示的程序框图，则输出的a =（ ）A ．32-B ．13-C ．2D ．2-【答案】A【解析】根据循环程序框图，一次循环后，可知本题循环程序是求一个以3为周期的数列：2，13-，32-，2，13-，32-…，所以当2019i =时，输出结果，根据周期性，即可得出结果. 【详解】解：根据程序框图，执行程序得：2,1a i ==，否，11,2213a i =-=-=+，否， 13,31213a i =-=-=-+，否， 12,4312a i =-==-+，否， 11,5213a i =-=-=+，否，13,61213a i =-=-=-+，否， L可知本题循环程序是一个以3为周期的数列：2，13-，32-，2，13-，32-…， 当2019i =时，输出结果，则20193673÷=，即循环673个周期， 所以输出结果为32-． 故选：A. 【点睛】本题考查由循环程序框图计算输出结果，理解循环结构框图是关键. 10．已知函数2*()sincos[1,],6662xxxf x x a a πππ=+∈-∈N ，若函数()f x 图象与直线1y =至少有2个交点，则a 的最小值为（ ）A ．7B ．9C ．11D ．12【答案】A【解析】化简函数()sin 33f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数性质，结合图象求解.【详解】函数21()sincos sin cos sin 6632232333xxxx x f x x πππππππ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期为263T ππ==，又()f x 图象与直线1y =至少有2个交点，即函数()f x 在[1,]a -上至少存在两个最大值，如图(1)7.54Ta T --+=…， 6.5a …， 所以正整数a 的最小值为7.故选：A 【点睛】此题考查函数零点与方程的根相关问题，关键在于准确化简三角函数，根据函数性质结合图象求解. 11．函数2()(1)2(0,0)f x a x bx a b =++->>在点(1,(1))P f 处的切线斜率为4，则8a b ab+的最小值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．【答案】B【解析】根据切线斜率为4，利用导函数求得22a b +=，利用基本不等式即可求解最值. 【详解】()2(1)f x a x b '=++，(1)224f a b '=++=，所以22a b +=.则8811811161(2)10109222a b a b a b ab b a b a b a ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+=++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 当且仅当13a =，43b =时，等号成立.故选：B 【点睛】此题考查基本不等式求最值，根据导数的几何意义结合切线斜率为4得到22a b +=，关键在于熟练掌握基本不等式求最值的基本方法，需要注意考虑等号成立的条件.12．已知数列{}n a 满足1*43,N n n a n -=⨯∈，现将该数列按如图规律排成一个数阵（如图所示第i 行有i个数），设n S 为该数阵的前n 项和，则满足2020n S >时，n 的最小值为（ ）A ．20B ．21C ．26D ．27【答案】B【解析】根据等比数列求和公式可得第n 行的和232n n T =⨯-，分析前六行所有项之和及第六行第6个数即可得解.【详解】由题可知第n 行的和4(13)23213nn n T -==⨯--，前5行共1234515++++=个数，前5行所有项的和为()()2515(232)232232S =⨯-+⨯-++⨯-L ()252333102020=⨯+++-<L ，不满足题意，前6行共12345621+++++=个数，前6行所有项的和为()()2621(232)232232S =⨯-+⨯-++⨯-L ()2623331221722020=⨯+++-=>L ，满足题意，而第6行第6个数为543972⨯=，21729722020-<，所以满足2020n S >时，n 的最小值为21. 故选：B 【点睛】此题考查数列新定义问题，关键在于熟练掌握等比数列求和公式的应用，根据题意分析临界情况求解.二、填空题13．已知向量(3,2)a m =-r ，(1,1)b =-r ，若//a b r r，则|2|a b -=r r _________.【答案】【解析】根据向量平行求得1m =，求出2(3,3)a b -=-r r，即可得到模长. 【详解】由向量//a b r r可得32m -=-，所以1m =，则22(2,2)(1,1)(3,3)a b -=⨯---=-r r ，即|2|a b -=r r故答案为：【点睛】此题考查向量平行的坐标表示，根据向量平行求参数的取值，根据向量的坐标表示求解模长，关键在于熟练掌握向量的基本运算.14．哥德巴赫在1742年写给欧拉的信中提出了著名的哥德巴赫猜想，其内容是“任一大于2的偶数都可写成两个质数之和”，如1037=+.在大于10且小于30的所有质数中，随机选取两个不同的数，其和等于40的概率为__________.【答案】215【解析】大于10且小于30的所有质数为11，13，17，19，23，29，列举出所有满足题意的情况，根据古典概型求解. 【详解】大于10且小于30的所有质数为11，13，17，19，23，29， 通过列举可知任选两个数{}{}{}{}{}{}{}11,13,11,17,11,19,11,23,11,29,13,17,13,19,{}{}{}{}{}{}{}{}13,23,13,29,17,19,17,23,17,29,19,23,19,29,23,29有15种选法，其中112940+=，172340+=，所以和等于40的概率为215. 故答案为：215【点睛】此题考查求古典概型，关键在于准确找出大于10小于30的所有质数，利用列举法得出基本事件总数，利用古典概型求解.15．已知点P 是双曲线222:1(1)x C y a a -=>上的动点，点M 为圆22:1O x y +=上的动点，且0OM PM ⋅=u u u u r u u u u r，若||PM C 的离心率为________.【解析】根据垂直关系可得222||||||OM PM OP +=，结合双曲线的几何意义可得||OP 取最小值a ，根据几何关系求解离心率.【详解】由题，222||||||OM PM OP +=，且||1OM =，若||PM 取最小值，则||OP 取最小值， 由双曲线的性质可知，当点P 为双曲线实轴的端点时，||OP 取最小值a ，此时2221a +=，得2a =，可得c =所以双曲线C .【点睛】此题考查求双曲线的离心率，关键在于熟练掌握双曲线的几何性质，利用垂直关系转化求解.16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()2xf x x =⋅.则方程()|lg |0f x x -=的根的个数为_________.【答案】100【解析】根据已知条件判断函数的周期，结合函数解析式作出函数图象，数形结合求解. 【详解】因为()(2)f x f x =-，所以函数()f x 的对称轴为1x =，又因为()f x 是偶函数，所以()()(2)f x f x f x =-=-，即函数()f x 的周期为2， 方程()|lg |0f x x -=的根的个数即为函数()y f x =和|lg |y x =图象交点的个数，如图所示为函数()y f x =和|lg |y x =图象，令lg 2x =，得100x =，两函数图象在每个区间[1,]n n -上都有一个交点，1,2,,100n =L .所以方程()|lg |0f x x -=共有100个根.故答案为：100 【点睛】此题考查求解方程的根的个数，关键在于准确识别函数的周期，结合基本初等函数的基本性质作出函数图象，涉及数形结合思想.三、解答题17．在四边形ABCD 中，3BC=，1CD =，2C A =，cos 3A =.（1）求BCD V 的面积； （2）若1cos 3ABD ∠=，求AB 的长.【答案】（1（2）AB =【解析】（1）根据2C A =，求得sin sin 2C A ==（2）结合（1）利用余弦定理求得BD =sin sin()3ADB ABD A ∠=∠+∠=可得：ADB A ∠=∠即可得解.【详解】（1）因为cos A =sin 3A =，所以sin sin 22sin cos 3C A A A ===，所以11sin 31223BCDS BC CD C =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=△（2）21cos cos22cos 13CA A ==-=-，由余弦定理2222cos 12BD BC CD BC CD C =+-⋅⋅=，所以BD =因为1cos 3ABD ∠=，所以sin 3ABD ∠=，所以sin sin()sin cos cos sin ADB ABD A ABD A ABD A ∠=∠+∠=∠⋅+∠⋅=则可知ADB A ∠=∠，所以AB BD ==【点睛】此题考查利用余弦定理求解三角形，根据面积公式求解面积，关键在于熟练掌握相关定理公式，根据图形关系求解.18．如图在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，2ADC π∠=，4PA AD CD ===，2AB =，E 为侧棱PD 中点.（1）设F 为棱CD 上的动点，试确定点F 的位置，使得平面//AEF 平面PBC ，并写出证明过程； （2）求点B 到平面PCD 的距离.【答案】（1）当F 为CD 中点时，满足平面//AEF 平面PBC ；证明见解析（2）【解析】（1）当F 为CD 中点时，通过证明//AF CB ，//EF CP 得证平面//AEF 平面PBC ； （2）由等体积法可得P BCD B PCD V V --=，即可求得点到平面距离. 【详解】（1）当F 为CD 中点时，满足平面//AEF 平面PBC ，在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，122CFCD ==，2AB =，所以CF AB =，//CF AB ， 即四边形ABCF 为平行四边形，所以//AF CB ，即//AF 平面PCB ，在DCP V 中，因为E 、F 分别为PD 、CD 中点，所以//EF CP ，即//EF 平面PCB . 又因为EF AF F =I，EF ⊂平面AEF ，AF ⊂平面AEF ， 所以平面//AEF 平面PBC .（2）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为2ADC π∠=，所以CD AD ⊥因为AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，AD PA A ⋂=. 所以CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥ 所以PCD V 为直角三角形.因为PA AD ⊥，所以PD =，12PCD S CD PD =⨯⨯=△ 在梯形ABCD 中，14482BCDS =⨯⨯=△. 由等体积法可得P BCD B PCD V V --=，所以1133BCD PCD S PA S d ⨯⨯=⨯⨯△△，解得d =所以点B 到平面PCD的距离为.【点睛】此题考查面面平行的证明和计算点到平面距离，关键在于熟练掌握面面平行的证明方法和利用等体积法求点到平面距离的基本方法. 19．已知函数()ln 1()f x a x x a =-+∈R（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，对任意的()1212,(0,1],x x x x ∈<，都有()()1212114f x f x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，求实数a的取值范围.【答案】（1）当0a …时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()f x 的单调增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞（2）[3,0)-【解析】（1）求出导函数，对a 进行分类讨论即可得函数的单调区间； （2）将问题转化为()()121244f x f x x x -<-，令4()()g x f x x=-，函数()g x 在(0,1]上单调递增，求参数的取值范围.（1）定义域为(0,)+∞，()1a a xf x x x'-=-=， 当0a „时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，由()0f x '<解得x a >，由()0f x '>解得0x a <<， 即()f x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减.综上所述，当0a „时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞，无增区间； 当0a >时，()f x 的单调增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞（2）()()1212114f x f x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，即()()121244f x f x x x -<-，令4()()g x f x x=-，则可知函数()g x 在(0,1]上单调递增， 所以2244()()10a g x f x x x x''=+=-+…在(0,1]上恒成立， 即4a x x-…在(0,1]上恒成立，只需max 4a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭…，而函数4y x x =-在(0,1]单调递增，所以max4143a x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭…， 综上所述，实数a 的取值范围为[3,0)-. 【点睛】此题考查导数的应用，利用导函数讨论函数的单调性，根据函数单调性求参数的取值范围，涉及分类讨论以及转化与化归思想.20．出版商为了解某科普书一个季度的销售量y （单位：千本）和利润x（单位：元/本）之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到如下的10组数据.根据上述数据画出如图所示的散点图：（1）根据图中所示的散点图判断y ax b =+和ln y c x d =+哪个更适宜作为销售量y 关于利润x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需要说明理由）（2）根据（1）中的判断结果及参考数据，求出y 关于x 的回归方程； （3）根据回归方程预测当每本书的利润为10.5元时的季销售量. 参考公式及参考数据：①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋅⋅⋅，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的公式分别为()()()121ˆˆˆ,niii nii u u v v u u u νβαβ==--==--∑∑. ②参考数据：)()iix y y --()()iiu u y y --表中1011ln ,10i i i i u x u u ===∑.另：ln10.5 2.35≈.计算时，所有的小数都精确到0.01. 【答案】（1）ln y c x d =+更适宜（2）ˆ24.4510.20ln yx =-（3）0.48千本 【解析】（1）根据散点图可得）ln y c x d =+更适宜；（2）令ln u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程，根据参考数据计算ˆd ，ˆc ，即可得到y 关于x的回归方程；（3）由（2）将10.5x =代入回归方程即可得解. 【详解】（1）ln y c x d =+更适宜作为销售量y 关于利润x 的回归方程类型；（2）令ln u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于()()()101102127.54ˆ10.202.70iii i i u u yy du u ==---===--∑∑，ˆˆ 6.610.20 1.7524.45cy d u =-⋅=+⨯=， 所以y 关于u 的线性回归方程为ˆ24.4510.20yu =-， 即y 关于x 的回归方程为ˆ24.4510.20ln yx =-. （3）由（2）将10.5x =代入回归方程得ˆ24.4510.20ln10.524.4510.20 2.350.48y=-=-⨯≈. 所以根据回归方程预测当每本书的利润为10.5元时的季销售量为0.48千本. 【点睛】此题考查求非线性回归方程，将模型进行转化通过线性回归模型求解，根据回归方程进行预测，关键在于熟练掌握基本计算方法.21．在平面直角坐标系xOy 中，不恒在坐标轴上的点(,)(0)P x y x …到y 轴的距离比它到点(1,0)F 的距离小1，直线l 与曲线C 相切于点M ，与直线1x =-交于点N . （1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）证明：以MN 为直径的圆恒过定点. 【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【解析】（1）抛物线定义可知，点P 的轨迹为以点F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线；（2）分直线斜率不存在和存在两种情况讨论，联立直线与抛物线方程，根据位置关系，表示出点的坐标，利用圆上点Q 满足0QM QN ⋅=u u u u r u u u r建立等量关系即可得证. 【详解】（1）由题可知，点P 到点(1,0)F 的距离等于它到直线1x =-的距离，由抛物线定义可知，点P 的轨迹为以点F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线， 即轨迹C 的方程为24y x =.（2）当直线l 斜率不存在时，若直线l 与曲线C 相切，则:0l x =，与直线1x =-无交点，舍去； 当直线l 斜率存在时，设:(0)l y kx b k =+≠，联立24,y x y kx b⎧=⎨=+⎩得2440ky y b -+=，因为直线l 与抛物线相切，所以16160kb ∆=-=，得1b k =，所以直线l 的方程为1y kx k =+，令1x =-，得1y k k =-+，即11,N k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.设切点()00,M x y ，则200440ky y k -+=，解得212,M k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设(,)Q m n 为MN 为直径的圆上异于M 、N 的任一点，则有0QM QN ⋅=u u u u r u u u r .即2121(1)QM QN m m n k n k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=---+--+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ()()32221320m n k k m m n k -+-=++-+=，若当2220,10,0m m n m n ⎧++-=⎪-=⎨⎪=⎩时，即1m =，0n =，圆恒过点(1,0)Q .综上所述，以MN 为直径的圆恒过定点(1,0)Q .【点睛】此题考查求曲线轨迹方程和证明轨迹过定点，涉及直线与抛物线的位置关系，利用圆上的点的几何特征建立等量关系解决问题.22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线,:,x C y θθθθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）(3,0)M ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +的值. 【答案】（1）30x y +-=；2216x y +=（2【解析】（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的转化关系即可得到直线的直角坐标方程，将曲线C 两式平方相加得到C 的普通方程；（2）写出直线的参数方程，将参数方程代入圆的方程利用12121212121111||||t t t t MA MB t t t t t t +-+=+==，结合韦达定理求解. （1）将曲线C两式平方22222213sin 3cos cos ,13cos 3sin cos ,x y θθθθθθθθ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩ 相加得22:16C x y +=，:cos sin 30l ρθρθ+-=，所以直线l 的直角坐标方程为30x y +-=.（2）由题可知点M 在直线l 上，则直线l的参数坐标方程为322x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线的参数方程带入22:16C x y +=得270t --=，12t t +=127t t =-，12121212121111||||t t t t MA MB t t t t t t +-+=+====【点睛】 此题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，利用直线的参数方程的几何意义解决与线段有关的问题.23．已知函数()|21||25|f x x x =++-.（1）求不等式()10f x „的解集； （2）a ，b 均为正实数，若41a b +为函数()f x 的最小值，求实数2+a b 的取值范围. 【答案】（1）37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）1⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）利用零点分段讨论求解不等式；（2）根据绝对值三角不等式求出()f x 的最小值为6，即416a b +=，结合基本不等式求解最值得到取值范围. 【详解】（1）()|21||25|f x x x =++-1,24410x x ⎧-⎪⎨⎪-⎩„„或15,22610x ⎧-<<⎪⎨⎪⎩„或5,24410x x ⎧⎪⎨⎪-⎩…„解得3722x -≤≤.所以解集为37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）()|21||25||21(25)|6f x x x x x =++-+--=…. 所以416a b +=，1411812(2)6(616663b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…当且仅当a =时等号成立.所以2+a b 的范围为13⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】 此题考查解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式求最小值，利用基本不等式求取值范围，需要注意考虑最值等号成立的条件.。
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百师联盟2020届高三月考五 全国卷I
文科数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P ＝{x|1<x<3}，集合Q ＝{x|y ＝ln(x －2)}，则P ∩(R ðQ)＝
A.{x|2≤x<3}
B.{x|1<x<3}
C.{x|1<x ≤2}
D.{x|1<x<2}
2.在递增等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 2＋a 4＝5，a 1·a 5＝4，则S 7＝ A.1272 B.212 C.632 D.638
3.已知函数f(x)＝221211
x x x x x ≤+-⎪>⎧⎪⎨⎩，，，则满足不等式f(1－a 2)≥f(a －1)的实数a 的取值范围为 A.[－1，2] B.[－2，1] C.(－∞，－2]∪[1，＋∞) D.(－∞，－1]∪[2，＋∞)
4.已知定义在R 上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，且满足f(2)＝1，则不等式f(x 2＋3x)＋1<0的解集为
A.(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
B.(1，2)
C.(－∞，1)∪(2，＋∞)
D.(－2，－1)
5.已知点F 是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点，点P 是该双曲线渐近线上一点，若△POF 是等边三角形(其中O 为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为 3 B.2 C.3 23 6.希尔伯特在1900年提出了孪生素数猜想，其内容是：在自然数集中，孪生素数对有无穷多个其中孪生素数就是指相差2的素数对，即若p 和p ＋2均是素数，素数对(p ，p ＋2)称为孪生素数。
从15以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为
A.1 3
B.
1
4
C.
1
5
D.
1
6
7.图1中茎叶图是某班英语测试中学号为1至15号同学的成绩，学生成绩的编号依次为a1，a2，a3，…，a15，运行图
2的程序框图，则输出的结果为
A.121
B.119
C.10
D.5
8.在如图3的正方体ABCD－A'B'C'D'中，AB＝3，点M是侧面BCC'B'内的动点，满足AM⊥BD'，设AM与平面BCC'B'所成角为θ，则tanθ的最大值为
2
2 C.
4
3
D.
3
4
9.已知向量m和向量n满足|m|＝2|n|＝2，且|m－n|＝|m＋n|，则向量m与m－2n的夹角为A.
3
4
π
B.
2
π
C.
3
π
D.
4
π
10.定义运算
a b
c d
＝ad－bc，若
sin sin
cos cos
αβ
αβ
10
sinα
5
α，β∈(0，
2
π
)，则β＝
A.
6
π
B.
4
π
C.
3
π
D.
3
4
π
11.已知函数f(x)＝
2231
21
x
x x x
x
+-
⎪
≤
>
⎧⎪
⎨
⎩
，
，
，则函数y＝f(f(x))图象与直线y＝4的交点个数为
A.5
B.6
C.4
D.3
12.如图4在梯形ABCD 中，AB//CD ，D ＝2π，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将该图形沿对角线AC 折成图中的三棱锥B －ACD ，且BD ＝23，则此三棱锥外接球的体积为
A.323
π B.163π C.83π D.833π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图为制作某款木制品过程中的产量x 吨与相应的消耗木材y 吨的统计数据，经计算得到y 关于x 的线性回归方程$y ＝0.7x ＋0.85，由于某些原因m 处的数据看不清楚了，则根据运算可得m ＝ 。
14.在复平面内，复数z 满足|z －
2i|＋|z ＋2i|＝6，则复数z 对应的点的轨迹方程是 。
15.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝()
21n n +，则a n ＝ 。
16.已知点F 是抛物线y 2＝16x 的焦点，直线l 经过点F 与抛物线交于A ，D 两点，与圆(x －4)2＋y 2＝16交于B ，C 两点(如图6所示)，则|AB|·|CD|＝ 。
三解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为。
必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：60分。
17.(12分)
17.(12分)如图7在四边形ABCD 中，sin ∠ACD ＝217，∠D ＝3
π，AC ＝7。
(1)求CD ；
(2)若BC ＝1，∠BCD ＝34
π，求△ABC 的面积。
18.(12分)在四棱锥P －ABCD 中，AD//BC ，AD ⊥平面PAB ，AD ＝2BC ＝43，AB ＝6，PA ＝PC ，点E 是AB 边上靠近B 点的三等分点。
(1)证明：CD ⊥平面PCE ；
(2)若△PCE 的面积为63，求点P 到底面ABCD 的距离。
19.(12分)某学校计划从甲，乙两位同学中选一人去参加省数学会举办的数学竞赛，以下是甲，乙两位同学在10次测试中的数学竞赛成绩的茎叶图。
(1)从甲的成绩中任取一个数据x(x ≥90)，从乙的成绩中任取一个数据y(y ≤87)，求满足条件|x －y|≥5的概率；
(2)分别计算甲乙两位同学成绩的均值和方差，根据结果决定选谁去合适。
20.(12分)已知点F 1、F 2是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 是该椭圆上一点，若当∠F 1PF 2＝3
π时，△PF 1F 23。
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设O 为坐标原点，是否存在过左焦点F 1的直线l ，与椭圆交于A ，B 两点，使得△OAB 的面积为1213
?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。
21.(12分)已知函数f(x)＝xlnx ＋(3－k)x ＋k －2(k ∈Z)。
(1)当k ＝1时，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x>1时，总有f(x)>0，求k的最大值。
(二)选考题：10分。
请考生在第22，23题中任选一题
．．．．作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时请写清题号。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
已知极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程
为)
2 1
2
2
2
x t
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，(t是参数)，曲线C的极坐标方程为2
2
4
13sin
ρ
θ
=
+。
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，点P为曲线C上一点，求使△PAB面积取得最大值时的P点坐标。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|2x＋2|－|x－1|。
(1)在如图10所示的坐标系中作出f(x)的图象，并结合图象写出不等式f(x)≥3的解集；
(2)若函数g(x)＝f(x)－m2－3m的图象恒在x轴的上方，求实数m的取值范围。