应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇第八章习题解答
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E S (AA D) BB D,即BB E D.
15
第八章 因子分析
因
BB
m1
lm 1
(
p lp
m1lm1,,
p
l
p
)
m1
0
0
p
p
故 2j tr(BB BB) tr(BB BB)
解 : m 2的因子模型的主成分解为:
0.8757 0.1802
A(
1l1,
2
l2
)
0.8312
0.4048,
0.7111 0.6950
7
第八章 因子分析
D
0.2007 0 0
0 0.1452
0
0.0100131
则m 2的正交因子模型为
X1 0.8757F1 0.1802F2 1 X 2 0.8312F1 0.4048F2 2 X 3 0.7111F1 0.6950F2 3
应用多元统计分析
第八章习题解答
第八章 因子分析
2
第八章 因子分析
a121
2 1
1
a221
2 2
1
a321
2 3
1
a11a21 0.63
a11a31 0.45
a21 a31
0.63 0.45
7 5
, a21
7 5
a31
a31
7 5
a31
0.35,
a321
0.35 5 7
0.25
a31a21 0.35
(Im AD1A)1 AD1A (1)
13
第八章 因子分析
8-4 证明公因子个数为m的主成分解，其误差平
方和Q(m)满足以下不等式
pp
p
Q(m)
2 ij
2j ,
i1 j1
j m1
其中E＝S-(AA′+D)=(εij),A,D是因子模型的主成分估
计.
解：设样本协差阵S
p
m
p
S ilili ilili ilili
D A
I
mA
p m
记B22•1 Im AD1 A, B11•2 D AA,
利用附录中分块求逆的二个公式(4.1)和(4.2)有：
11
第八章 因子分析
B 1
D A
I
A
m
1
B11 B 21
B12 B 22
D 1
D
1A
B1 22•1
AD
1
B 来自百度文库 22•1
AD
1
D
1A
B1 22•1
B 1 22•1
00..13455
1
0.7279 1
00..651292171
0
0.0979 0
00..102742171
6
第八章 因子分析
33
故 Q(1)
2 ij
2
(0.09792
0.17272
0.24112 )
i1 j 1
0.1951
(2)取公因子个数m 2时,求因子模型的主成分解,
并计算误差平方和Q(2).
9
第八章 因子分析
或者利用习题8-4的结果:
pp
p
p
p
Q(m)
2 ij
2j
(
2 i
)2
2j ,
i1 j1
j m1
i1
j m1
Q(1)
(22
32 )
[(
2 1
)
2
(
2 2
)2
(
2 3
)2 ]
0.67952 0.36722 [0.23312 0.30912 0.49432 ]
0.5966 0.3943 0.2023
a31 0.5, a21 0.7, a11 0.9,
2 1
1
a121
1
0.81
0.19,
2 2
1
a221
0.51,
2 3
1
a321
0.75
3
第八章 因子分析
故 m 1的正交因子模型为
X1 0.9F1 1 X 2 0.7F1 2 X 3 0.5F1 3
特殊因子ε＝(ε1, ε2,…,εp)'的协差阵D为：
(D AA)1 D 1 D 1 A(I m AD 1 A)1 AD 1 (2) A(D AA)1 (I m AD 1 A)1 AD 1 (3) I m A(D AA)1 A (I m AD 1 A)1
由第三式和第二式即得 Im (Im AD1A)1 A(D AA)1 A
E2
R
( AA
D)
1
0.63 1
00..13455 ( AA D)
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第八章 因子分析
AA
D
1
0.8008 1
00..341099775
E2
0
0.1708 0
00.0.00440735
故
33
Q(2)
2 ij
2 (0.17082
0.04752
0.04032 )
i1 j1
0.06611
Q(2)
32
[(
2 1
)2
(
2 2
)2
(
2 3
)
2
]
0.36722 [0.20072 0.14522 0.011312 ]
0.1348 0.06149 0.07331 (3) 试求误差平方和Q(m)＜0.1的主成分解. 因Q(2)=0.07331＜0.1，故m=2的主成分解满足要求.
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第八章 因子分析
8-3 验证下列矩阵关系式(A为p×m阵) (1) (I AD1A)1 AD1A I (I AD1A)1;
(2) ( AA D)1 D1 D1A(I AD1A)1 A1D1;
(3) A( AA D)1 (Im AD1A)1 AD1.
解：利用分块矩阵求逆公式求以下分块矩阵的逆：
B
(1)取公因子个数m 1时,求因子模型的主成分解,
并计算误差平方和Q(1).
解 : m 1的因子模型的主成分解为:
A(
1 l1 )
000...887731511721,
D
0.2331 0 0
0 0.3091
0
0.400943
5
第八章 因子分析
记 E1 R (AA D)
1
0.63 1
B 1 11•2
AB111•2
Im
B 1 11•2
A
AB111•2
A
由逆矩阵的对应块相等，即得：
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第八章 因子分析
B 1 11•2
D 1
D1 AB221•1 AD 1
B11
AB111•2
B 1 22•1
AD
1
B 21
Im
AB111•2 A
B 1 22•1
B 22
把B22·1和B11·2式代入以上各式，可得：
0.19 0 0
D
0 0
0.51 0
0.075
4
第八章 因子分析
8 2 已知8 1中R的特征值和特征向量为
1 1.9633 l1 (0.6250,0.5932,0.5075), 2 0.6795 l2 (0.2186,0.4911,0.8432), 3 0.3672 l3 (0.7494,0.6379,0.1772).
i 1
i 1
i m 1
其中1 2 p 0
为S的特征值，li为相应的标准特征向量。 14
第八章 因子分析
设A,D是因子模型的主成分估计,即
A 1l1 mlm ,
若记 B l m1 m1 p lp , 有
S (A | B) BA AA BB
则 D diag(BB)
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第八章 因子分析
因
BB
m1
lm 1
(
p lp
m1lm1,,
p
l
p
)
m1
0
0
p
p
故 2j tr(BB BB) tr(BB BB)
解 : m 2的因子模型的主成分解为:
0.8757 0.1802
A(
1l1,
2
l2
)
0.8312
0.4048,
0.7111 0.6950
7
第八章 因子分析
D
0.2007 0 0
0 0.1452
0
0.0100131
则m 2的正交因子模型为
X1 0.8757F1 0.1802F2 1 X 2 0.8312F1 0.4048F2 2 X 3 0.7111F1 0.6950F2 3
应用多元统计分析
第八章习题解答
第八章 因子分析
2
第八章 因子分析
a121
2 1
1
a221
2 2
1
a321
2 3
1
a11a21 0.63
a11a31 0.45
a21 a31
0.63 0.45
7 5
, a21
7 5
a31
a31
7 5
a31
0.35,
a321
0.35 5 7
0.25
a31a21 0.35
(Im AD1A)1 AD1A (1)
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第八章 因子分析
8-4 证明公因子个数为m的主成分解，其误差平
方和Q(m)满足以下不等式
pp
p
Q(m)
2 ij
2j ,
i1 j1
j m1
其中E＝S-(AA′+D)=(εij),A,D是因子模型的主成分估
计.
解：设样本协差阵S
p
m
p
S ilili ilili ilili
D A
I
mA
p m
记B22•1 Im AD1 A, B11•2 D AA,
利用附录中分块求逆的二个公式(4.1)和(4.2)有：
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第八章 因子分析
B 1
D A
I
A
m
1
B11 B 21
B12 B 22
D 1
D
1A
B1 22•1
AD
1
B 来自百度文库 22•1
AD
1
D
1A
B1 22•1
B 1 22•1
00..13455
1
0.7279 1
00..651292171
0
0.0979 0
00..102742171
6
第八章 因子分析
33
故 Q(1)
2 ij
2
(0.09792
0.17272
0.24112 )
i1 j 1
0.1951
(2)取公因子个数m 2时,求因子模型的主成分解,
并计算误差平方和Q(2).
9
第八章 因子分析
或者利用习题8-4的结果:
pp
p
p
p
Q(m)
2 ij
2j
(
2 i
)2
2j ,
i1 j1
j m1
i1
j m1
Q(1)
(22
32 )
[(
2 1
)
2
(
2 2
)2
(
2 3
)2 ]
0.67952 0.36722 [0.23312 0.30912 0.49432 ]
0.5966 0.3943 0.2023
a31 0.5, a21 0.7, a11 0.9,
2 1
1
a121
1
0.81
0.19,
2 2
1
a221
0.51,
2 3
1
a321
0.75
3
第八章 因子分析
故 m 1的正交因子模型为
X1 0.9F1 1 X 2 0.7F1 2 X 3 0.5F1 3
特殊因子ε＝(ε1, ε2,…,εp)'的协差阵D为：
(D AA)1 D 1 D 1 A(I m AD 1 A)1 AD 1 (2) A(D AA)1 (I m AD 1 A)1 AD 1 (3) I m A(D AA)1 A (I m AD 1 A)1
由第三式和第二式即得 Im (Im AD1A)1 A(D AA)1 A
E2
R
( AA
D)
1
0.63 1
00..13455 ( AA D)
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第八章 因子分析
AA
D
1
0.8008 1
00..341099775
E2
0
0.1708 0
00.0.00440735
故
33
Q(2)
2 ij
2 (0.17082
0.04752
0.04032 )
i1 j1
0.06611
Q(2)
32
[(
2 1
)2
(
2 2
)2
(
2 3
)
2
]
0.36722 [0.20072 0.14522 0.011312 ]
0.1348 0.06149 0.07331 (3) 试求误差平方和Q(m)＜0.1的主成分解. 因Q(2)=0.07331＜0.1，故m=2的主成分解满足要求.
10
第八章 因子分析
8-3 验证下列矩阵关系式(A为p×m阵) (1) (I AD1A)1 AD1A I (I AD1A)1;
(2) ( AA D)1 D1 D1A(I AD1A)1 A1D1;
(3) A( AA D)1 (Im AD1A)1 AD1.
解：利用分块矩阵求逆公式求以下分块矩阵的逆：
B
(1)取公因子个数m 1时,求因子模型的主成分解,
并计算误差平方和Q(1).
解 : m 1的因子模型的主成分解为:
A(
1 l1 )
000...887731511721,
D
0.2331 0 0
0 0.3091
0
0.400943
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第八章 因子分析
记 E1 R (AA D)
1
0.63 1
B 1 11•2
AB111•2
Im
B 1 11•2
A
AB111•2
A
由逆矩阵的对应块相等，即得：
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第八章 因子分析
B 1 11•2
D 1
D1 AB221•1 AD 1
B11
AB111•2
B 1 22•1
AD
1
B 21
Im
AB111•2 A
B 1 22•1
B 22
把B22·1和B11·2式代入以上各式，可得：
0.19 0 0
D
0 0
0.51 0
0.075
4
第八章 因子分析
8 2 已知8 1中R的特征值和特征向量为
1 1.9633 l1 (0.6250,0.5932,0.5075), 2 0.6795 l2 (0.2186,0.4911,0.8432), 3 0.3672 l3 (0.7494,0.6379,0.1772).
i 1
i 1
i m 1
其中1 2 p 0
为S的特征值，li为相应的标准特征向量。 14
第八章 因子分析
设A,D是因子模型的主成分估计,即
A 1l1 mlm ,
若记 B l m1 m1 p lp , 有
S (A | B) BA AA BB
则 D diag(BB)