固体物理 第5章

a a i kx i k x k a k a y at z 2 2 cos E s A 4J e e cos 2 2
k ya kza k xa E A 8Jcos cos cos 2 2 2
at s
k k y kz 0 时， 由余弦函数的性质，用观察法即可断定， 当 x
a kx k y i k x k y ia k a kz a z 2 2 cos e cos e 2 2 E sat A 2J a k x k y i k x k y ia k a kz a z 2 2 cos e cos e 2 2
于是
e
ikna
1
n
因此得
所以
kna 2s 1nπ
2s 1 k π a
s 0,1,2...
（2）
x π π ikna icos x a icos x π e cos a a a
即
e
得
ikna
i


2π
2 2 1 b mω 2 2 π 8m ω b 2 2 b x cos x dx 3 4b b 2 2b π


第二禁带宽度为
i x 1 a2 E g2 2 V2 2 V x e a dx a a 2 4π
1 mω 2 2 b x2 e 4b b 2
x na α x na ik α x na 1 1 ikx ikna e e dx e e e Na α Na a n
10 b 4 1010 m 5.6 一矩形晶格，原胞边长 a 2 10 m ，
（1）画出倒格子图； （2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和 第二布里渊区； （3）画出自由电子的费密面。(设每个原胞有两个电子。） 0 a ai 2 A i 解：(1) 因为 0 b bj 4 A j
1 b 1 2 2 2 m ω b x dx 4b b 2


mω 2 1 3 b x x 8b 3 b
1 mω 2 b 2 6
2
b
5.3 用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带
宽度。 解： 在布里渊区边界上，电子的能量出现禁带，禁带宽度的表示 式为
x
此处
1 α x x e α at
μij δk ,k k
i
1 α x na e e aα a
2π n i k x na a
dx
Φ jk
若只取一项，则
x 0
1 α x na e ikna e Nα n
o 2N g ( k ) * 16 N ( A) 2 A
当每个原胞有两个电子时，晶体电子的总数为
2N
kF
0
2 g k 2kdk 16NkF
所以
1 kF 8
这就是费米圆的
半径，据此做出
1/ 2
0.2 A
将上述8组坐标代入能带的表示式，得
ik Rn at E k Es A J e n

a i ia 2 2 e k x k y k z e k x k y k z a a i i e 2 k k k e 2 k k k x y z x y z at Es A J a ia i e 2 k x k y k z e 2 k x k y k z a a e i 2 k k k e i 2 k k k x y z x y z
o
1
2 1011 m 1
ky
费米圆如图所示。
o
kF
wk.baidu.comkx
5.7 有一平面正六角形晶格，六角形两个平行对边的间距为 a （见图），试画出此晶体的第一、第二、第三布里渊区。若 每个原胞有2个电子试画出其费米圆周。 解： 如图所示，平面六角晶格 是一个复式格子。 取六角形的中心为坐标原点，
y
E g 2 Vn
i nx 1 a2 Vn V x e a dx a a 2 2π
其中 Vn 是周期势场V(x)付里叶级数的系数，该系数可由式
求得。第一禁带宽度为
1 E g1 2 V1 2 V x e a a 2
a 2
i
2π x a
dx
i x 1 b mω 2 2 2 2 b x e a dx 4b b 2
并求能带宽度。 用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点 解： 的相互作用时，其能带的表示式为
ik Rn at E k Es A J e , Rn 是最近邻格矢 n


对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（0，0，0）， 则8个
最近邻格点的坐标为
a a a , , 2 2 2


当na b x na b 当n - 1a b x na b
且 a 4b, ω 是常数。 试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。 V(x) 解：
x O a 2a 3a 如图所示，由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均
即可，于是得
1 a2 1 2b V V x dx V x dx a a 2 4b 2b
b
2


π i x b
dx
1 b mω 2 2 π 2 2 b x cos 4b b 2 b


mω 2 b 2 x dx 2 π
5.4 用紧束缚方法导出体心立方晶体s态电子的能带
k ya kz a kxa at E k E s A 8J cos 2 cos 2 cos 2
Bi 的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区(如上图)，这
是布里渊区的广延图。如采用简约形式，将第二区移入第一区，
其结果如图所示。
ky
kx
（3） 设晶体共有N个原胞，计入自旋后，在简约布里渊区中
便有2N个状态。简约布里渊区的面积
* * 1 o 2 A a b ( A) 8
*
而状态密度
n
3 kna 2s nπ 2
所以
3 2s 2π k a
s 0,1,2...
（3）
ψk x a
令
l
f x a la f x l 1a
l


l l 1
l
得 ψk x a
第五章 能带理论
5.1 一维周期场，电子的波函数 ψk x 应当满足布洛赫定理。
若晶格常数为 a ，电子的波函数为
x （1） ψ k x sin π; a x （2） ψ k x icos π; a
（3） ψ k x
l
f x la
原胞也如图中画出。
每个原胞中包含有两个原子。
a2
a1
a
o
x
基矢 a1 , a2 可由下式给出
在二维晶格下，取 a3 k ，可得到倒格基矢
3 3 ai aj 2 2 3 3 a2 ai aj 2 2 a1
所以
2π 3 1 b1 i j a 3 3 2π 3 1 b2 i j a 3 3


ikna f x l a ψk x e ψk x
由上知
可知
e
ikna
1
kna 2s π
2s 所以 k π na
s 0,1,2...
n 1,2...
5.2
电子在周期场中得势能
1 2 2 2 mω b x na V x 2 0
1 ik Rl at at ψ k, r e α k Rl N Rl



一维晶体情况下，晶格常数 a ，Rl na
所以
1 ikna at ψ k, x e α x na N n
1 α x x e α at

又
得
ψ k, x

1 ikna α x na e e Nα n
（2） 按正交化平面波方法，三维晶体电子的波函数为
M 1 i k k i r r e μijΦ j,k ki j 1 NΩ 1 i k k i r Rl at μij δk r R e dτ j l ,k k i ΩΩ
2π 2π 3 3 a2 a3 b1 a i a j Ω Ω 2 2 2π 2π 3 3 a3 a1 b2 a i a j Ω Ω 2 2
3 3 2 给出。 由 Ω Ω a1 a2 a3 a 其中 2
倒格子基矢为
1 * a o i 2A * 1 b o j 4A
* * 以 a ,b
为基矢构成的倒格子
B3
A3

ky
B2 A2
b
B1 A1
a
如图6-11所示,图中“。”
o
代表倒格点。由图可见， 矩形晶格的倒格子也是
A4 B4
kx
矩形格子。 第一区
第二区
（2） 取任意倒格点o作为原点，由原点至其最近邻 Ai 、次近邻
x


1 ik Rl at Φ jk e j r Rl N l


，Ω
对于一维晶体情况下，晶格常数
a ，Rl na
a
M 1 i k k i x x e μijΦ j,k ki j 1 Na 1 i k k i x na at μij δk ,k k x na e dx j i a a

（ f 为某一确定的函数）
试求电子在这些状态的波矢。
ir Rn 解： 由式 ψ k r Rn e ψ k r


可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足
ψk x a e ikna ψk x
由此得
（1）
π π sin x a sin x π a a π π n ikna 1 sin x e sin x a a
1 α x e , α为正的常数。 电子基态波函数为 x α at
（1）试写出该晶体的紧束缚近似波函数；
（2）证明上面写出的紧束缚近似波函数具有布洛赫波函数
的性质；
（3）对比说明孤立原子的电子和晶体中的电子的波函数及
能量的特征。 解： （1）按紧束缚近似，三维晶体电子的波函数为
能带中的能量取最小值
Emin E0 A 8J
当 k x 1 a , k y 1 a , kz 1 a 时， 能量取最大值
Emax E0 A 8J
因而能带的宽度为
ΔE Emax Emin 16J
5.5由N格原子组成的三维晶体（简单晶格),其孤立原子中的