2.3.3-2.3.4平面与平面垂直的性质[优质PPT]
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2.3.3-4线面垂直面面垂直的性质课件
∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
C
平面PAC∩平面ABC＝AC,
BC 平面ABC
A
O
B
∴BC⊥平面PAC
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了 一种证明线面垂直的方法
2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
练习1. 两个平面互相垂直,下列命题正确 的是 ( ) A. 一个平面内的已知直线必垂直于另一
一符个号平表面示的：有哪些位
l
b
置关系?
Ⅱ.概括结论
bbbll 面bb面垂 直该命题正确线吗？面垂直
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l下列命题
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β
（ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β
（× ）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此
3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解 决空间图形问题的重要思想方法。
P
作业：
1：如图：已知PA⊥平面ABC，
平面PAB⊥平面PBC，求证： A
C
BC⊥平面PAB
2.如图：以正方形ABCD的对角线AC为 B
折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求
BD与平面ABC所成的角。
D
D
折成
A
O
CA
2.3.3-2.3.4直线与平面、 平面与平面垂直的性质
数学必修Ⅱ人教新课标A版2-3-4平面与平面垂直的性质定理课件(42张)
求点到面的距离 [例 2] 已知△ABC，AC＝BC＝1，AB＝ 2，又已知 S 是△ ABC 所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝ 5，点 P 是 SC 的中点， 求点 P 到平面 ABC 的距离． [解] 法一：如图所示，连接 PA，PB.易知 △SAC，△ACB 是直角三角形， 所以 SA⊥AC，BC⊥AC. 取 AB，AC 的中点 E，F，连接 PF，EF， PE，则 EF∥BC，PF∥SA. 所以 EF⊥AC，PF⊥AC.
[解] 证明：(1)过点 A 作 AM⊥DE 于 点 M，则 AM⊥平面 BCDE，
∴AM⊥BC.又 AD＝AE， ∴M 是 DE 的中点．取 BC 的中点 N， 连接 MN，AN，则 MN⊥BC. 又 AM⊥BC，AM∩MN＝M，∴BC⊥平面 AMN，∴AN⊥ BC. 又∵N 是 BC 的中点，∴AB＝AC.
[类题通法] 解决折叠问题的策略 (1)抓住折叠前后的变量与不变量．一般情况下，在折线同 侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会 发生变化，这是解决这类问题的关键． (2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的 变化情况．注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的 长度，角度的变化情况．
[活学活用] (广东高考)如图①，四边形 ABCD 为矩形，PD⊥平面 ABCD，AB ＝1，BC＝PC＝2，作如图②折叠：折痕 EF∥DC，其中点 E，F 分别在线段 PD，PC 上，沿 EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记 为 M，并且 MF⊥CF.
在 Rt△AEP 中，AP＝12SC＝ 25，AE＝12AB＝ 22，
所以 PE＝ AP2－AE2＝ 54－12＝ 23，
即点
P
到平面
ABC
的距离为
平面与平面垂直的性质PPT教学课件
(2)连结BE并延长交PC于H. ∵E是△PBC的垂心,∴PC⊥BH. 又已知AE是平面PBC的垂线,∴PC⊥AE. ∴PC⊥平面ABE. ∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面ABC.∴PA⊥AB. ∴AB⊥平面PAC. ∴AB⊥AC.即△ABC是直角三角形.
规律技巧:(1)已知两个平面垂直时,过其中一个平面内的一点 作交线的垂线,则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直 于另一个平面,于是面面垂直转化为线面垂直,由此得到结 论:两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也 垂直于第三个平面.
α(如图所示)
∵b⊥α,∴b⊥a′,又∵a⊥b,∴a∥a′,
∵a α,a′ α,∴a∥α.
错因分析:在错解中,应用平面几何中的定理“同垂直于一条 直线的两条直线平行”,得a∥a′导致错误,该定理要求涉及 的三条直线都在同一平面内,而现在仅有a和a′在平面β内, 直线b不能保证也在平面β内,因而不能满足使用定理的条 件,从而给出了错误的证明.
又AE⊥PB,且PB∩BC=B, ∴AE⊥平面PBC,
∵PC 面PBC,
∴AE⊥PC,又PC⊥AF,AE∩AF=A, ∴PC⊥平面AEF,∴PC⊥EF.
题型二 线面关系定理的综合应用 例2:已知:如下图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面
ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足. (1)求证:PA⊥平面ABC; (2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.
求证:AB⊥BC.
证明:如右图,作AE⊥SB于E, ∵平面SAB⊥平面SBC, ∴AE⊥平面SBC, ∴AE⊥BC, ∵SA⊥平面ABC, ∴SA⊥BC又SA∩AE=A, ∴BC⊥平面SAB, ∴AB⊥BC.
11.如图,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD为等 腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分别是棱 AD,AA1的中点.
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符号表示:
CD AB
AB
C
AB CD
A B C D B
A BD
2.3.4平面与平面垂直的性质PPT名师 课件
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关键点： ①线在平面内.
②线垂直于交线. C
A BD
作用： ①它能判定线面垂直.
② 它能在一个平面内作与这个平面垂
直的垂线.
面面垂直
线面垂直
（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
2.3.4平面与平面垂直的性质PPT名师 课件
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思考4 设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过点P作平
面 的垂线a，直线a与平面 具有什么位置关系?
直线a在平面 内
α aP
β
α a
P
β
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A
D
E
β
C
B
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思考3 ,C D ， AB, ABCD,
垂足为B，那么直线AB与平面β的位置关系如何？
为什么？
垂直
Eβ
D
α
B
A
C
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证明:在平面 内作BE⊥CD,
垂足为B.
则∠ABE就是二面角 CD
的平面角.
∵ , ∴AB⊥BE.
Eβ D
又由题意知AB⊥CD, 且BE CD=B
∴AB⊥ .
α
B
A
C
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数学必修Ⅱ人教新课标A版2-3-4平面与平面垂直的性质定理课件(60张)
【规律总结】 1.平面与平面垂直的性质定理的三个作用 (1)证明直线与平面垂直. (2)证明直线与直线平行. (3)作平面的垂线.
2.应用性质定理证线面垂直的关键 一找，二证，即在其中一个平面内找到一条直线，然 后证明所找直线与交线垂直.
【补偿训练】如图，四棱锥P-ABCD的 底面是AB=2，BC= 2 的矩形，侧面 PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面 ABCD. (1)证明侧面PAB⊥侧面PBC. (2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
AB AC 3
故 S△AEF ( 2)即2 4，
【备选训练】1.设l是直线，α，β是两个不同的 平面 ( ) A.若l∥α，l∥β，则α∥β B.若l∥α，l⊥β，则α⊥β C.若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D.若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【解析】选B.如图，
，l∥α，l∥β，
且α与β相交，故A错误；由于l∥α，故在α内存在
直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，
2.3.4 平面与平面垂直的性质
【自主预习】 主题：平面与平面垂直的性质定理 如图长方体ABCD-A′B′C′D′，在平面DCC′D′中， 作直线l⊥DC.你能得出什么结论？
用文字语言描述：在平面DCC′D′内，若直线l垂直于 交线DC，则直线l垂直于平面ABCD.
⇓
交线
a⊂α
垂直
【深度思考】 结合教材P72例4你认为应如何利用性质定理解题？ 第一步：_找__到__两__垂__直__平__面__及__交__线__. 第二步：_找__到__一__个__平__面__内__垂__直__于__交__线__的__直__线__. 第三步：_运__用__性__质__定__理__作__答__.
所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则
2-3-4 平面与平面垂直的性质(共63张PPT)
正四棱锥中，AB⊂面SAB，CD⊂面SCD，AB∥CD. 但面SAB与面SCD不平行，而是相交． 命题④为真命题，因为过直线n作平面γ和平面α相交， 设交线为a，则a∥n. ∵m、n为异面直线，m⊂α，n⊂β，∴m、a为相交直线， ∵m∥β，a∥β，∴α∥β.故选D.
本节学习重点和难点：面面垂直性质定理的应用．
③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β ④若m、n是异面直线，
m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β
A．①②
B．①③
C．③④
D．①④
[答案] D [解析] 命题①为真命题，垂直于同一条直线的两个 不重合平面必平行． 命题②为假命题，例如正方体交于同一点的相邻三个 面． 命题③为假命题，例如(如图)．
[解析] 证法1：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线 于A，作PB垂直β与γ的交线于B，则PA⊥α，PB⊥β，∵l＝ α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB，∵PA与PB相交，又PA⊂γ，PB⊂γ， ∴l⊥γ.
证法2：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直 线 n 垂 直 于 β 与 γ 的 交 线 ， ∵ α⊥γ ， β⊥γ ， ∴ m⊥γ ， n⊥γ ， ∴ m∥n ， 又 n⊂β ， ∴ m∥β ， 又 m⊂α ， α∩β ＝ l ， ∴ m∥l ， ∴l⊥γ.
总结评述：证法一、证法二都是利用“两平面垂直 时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一 个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的 直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．
证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第 一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平 面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是证法三的关 键．
BC⊂α
∴BD⊥BC，在Rt△BDC中，DC＝
2.3.4__平面与平面垂直的性质 PPT资料共63页
解：①∵n∥α,∴过n的一个平面α′与α的交线n′ 平行于n,又∵m⊥α,∴m⊥n′,而n′∥n,∴m⊥n. ②∵α∥β,β∥γ,∴α∥γ,又∵m⊥α,∴m⊥γ. ③m∥α,m∥β，则α与β可能平行，也可能相交. ④α⊥γ,β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交. 答案:①②
2.已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（ B ）.
面 的垂线a，直线a与平面 具有什么位置关系?
直线a在平面 内
α aP
β
α a
P
β
两个平面垂直，则过某个平面内一点 垂直于另一个平面的直线在该平面内.
思考 已知平面， l，直线a∥，
al，试判断直线a与的位置关系. 垂直
α
b
a
l
β
例 1如 图 ， 已 知 平 面 ， ， ， 直 线 a 满 足 a , a ， 试 判 断 直 线 a 与 平 面 的 位 置 关 系 .
(1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE⊥平面BEC.
【证明】(1)取DE中点N，连接MN，AN.
在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点， 所以MN∥CD，且MN= 1 CD.
2
由已知AB∥CD，AB= 1 CD，
2
所以MN∥AB,且MN=AB,
所以四边形ABMN为平行
四边形.所以BM∥AN.
故BC⊥平面PAB
C B
1.平面与平面垂直的性质定理：
面面垂直
线面垂直
C
2.面面垂直的性质推论：
A
B
D
α
P a
β
a
α
ba l
βA
a∥α
l
β
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线面垂直、面面垂直的性质定理公开课教学课件
β
a
l
α
A
问题4：面面垂直性质定理用途? 面面垂直线面垂直 问题5：什么情况下用?
符号语言：
a
l
a
a l
已知面面垂直时.
平面与平面垂直的性质定理： 问题6：体现了什么数学思想? 转化
三、例题讲解 例1：PA⊥平面ABC，面PAB⊥面PBC，求证：BC⊥AB
P 问题7：要证BC垂直于AB，要会选择，选择BC垂直于AB，还是AB垂直于
已知：
, A ,C B D ,C A D .求B 证： CD
发展条件 α
转化结论
C
B
D
E
β
A
证明：
在平面β内过D作直线 DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面角
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D 所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言?
a ,b a//b
简述： 如何证明？
线面垂直
线线平行
知识探究： 问题2:面α与面β垂直，线L在面α内，线L与面β的关系有哪几种？（讨论一下）
α L
β 平行
问题3：怎样才能垂直？
α L
β 相交
α
L β
线在面内
思考3: 如何找地面的垂线？
注:若l ,b
则l b.
l
A
αb
2.直线与平面垂直的判定定理？ 直线与面内的两条相交直线都垂直，则该线与面垂直
图形表示
a
m
数学必修Ⅱ人教新课标A版2-3-4平面与平面垂直的性质定理课件(16张)
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂
线，则这两个平面垂直。
符号表示：
b
bb
平面与平面垂直的性质定理
Ⅰ两.个观平察面实垂验直,则一个平
面观内察两垂垂直直于平交面线中的,一直线
与个另平面一内个的平直面线垂与直另.
l
一符个号平表面示的：有哪些位
b
置关系?
Ⅱ.概括结论
bb
那么垂线a与平面α 具有什么样的位置关系?
α
A
反证法证明点B在两个 平面的交线上
β
B B’
注意：过一点只能作一 条直线垂直于已知平面.
例4.如图，已知α⊥β，a⊥β，a，试判
断直线a与平面α的位置关系，并说明理由.
α
b
a
l
β
A
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面 垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直。
C1 B1
D1 A1
C
D
B
A
直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
a
b
a
b
a
//
b
若a ，b ，求证： a b
证明： 若a不平行于b
（1）a与b相交 （2）a与b异面
a
b’
b
o
练习1： 课本71 练习 1,2
提出问题：
1、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直。
AB .
练习1 课本73 练习1,2
解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法
利用性质定理的关键是：在一个平面内做交线的垂线
2.3.4平面与平面垂直的性质PPT教学课件
复习回顾：
（１）利用定义 ［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］
（２）利用判定定理［线面垂直 面面垂直］
A
B
线面垂直
面面垂直
线线垂直
面面垂直的判定
α
β
E
F
思考2 如图，长方体中，α⊥β, (1)α里的直线都和β垂直吗？
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
与AD垂直
不一定
思考3 垂足为B，那么直线AB与平面β的位置关系如何？ 为什么？
［总结提炼］
☆ 已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内
☆ 解题过程中应注意充分领悟、应用
☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手
☆ 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的
线面垂直
面面垂直
线线垂直
面面垂直
线面垂直
线线垂直
α
β
a
A
B
线线垂直
线面垂直
a
b
α
β
l
γ
n
m
A
如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面.
结论
α
β
γ
l
判断线面垂直的两种方法： ①线线垂直→线面垂直； ②面面垂直→线面垂直.
如图：
两个平面垂直应用举例
例题1 如图4，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线 DE与平面VBC有什么关系？试说明理由．
结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（ ）.
α
β
A
b
a
l
分析：作出图形.
（１）利用定义 ［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］
（２）利用判定定理［线面垂直 面面垂直］
A
B
线面垂直
面面垂直
线线垂直
面面垂直的判定
α
β
E
F
思考2 如图，长方体中，α⊥β, (1)α里的直线都和β垂直吗？
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
与AD垂直
不一定
思考3 垂足为B，那么直线AB与平面β的位置关系如何？ 为什么？
［总结提炼］
☆ 已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内
☆ 解题过程中应注意充分领悟、应用
☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手
☆ 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的
线面垂直
面面垂直
线线垂直
面面垂直
线面垂直
线线垂直
α
β
a
A
B
线线垂直
线面垂直
a
b
α
β
l
γ
n
m
A
如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面.
结论
α
β
γ
l
判断线面垂直的两种方法： ①线线垂直→线面垂直； ②面面垂直→线面垂直.
如图：
两个平面垂直应用举例
例题1 如图4，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线 DE与平面VBC有什么关系？试说明理由．
结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（ ）.
α
β
A
b
a
l
分析：作出图形.
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2.3.3直线与平面垂直的性质
复习回顾
1. 直线和平面垂直的定义如何？
如果一条直线和一个平面相交,并且
和这个平面内的任意一条直线都垂直,则
称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫 做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点
叫做垂足.
有定义可得：
若l , b
则l b.
l
bA
α
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都
如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那 么直线a，b的位置关系如何？
l
a
b
相交
l
ab
平行
b
l
a
异面
一、线面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明：
假设 a与b不平行.
记直线b和α的交点为o,
a
则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α.
α
α
β
2.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面 A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线 A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂 直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？
C1
D1
B1
A1
C
D
B A
3. 设 ,CD ，AB ,AB CD,
垂足为B，那么直线AB与平面的位置关系如何？为 什么？
∴过点o的两条直线 b和
b’都垂直平面α , 这不可能!
∴a∥b .
b b’ o
巩固练习
1.判断下列命题是否正确：正确的是：①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
2.若a,b表示直线, 表示平面，下列命题
正确的是 (3)(4) 。
(1 )a ,a b,则 b/ / (2)a/ /,a b,则 b
(3 )a//,b ,则 b a (4 )a ,b ,则 b a
巩固练习
3 请在下面的横线上填上适当的条 件,使结论成立。
am,an
bm,bn
，
①
,则 a∥b
①m与n相交 ②m与n异面 ③m与n不平行
4 如图，已知 l,CA
（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
P
D A E
B
C
对于三个平面、、，如果，，β，
= l ，那么直线l与平面 的位置关系如何？为什么？
β 解答：在内分别
l
作平面的垂线a、b，
α
则a l,b l, a与
a
b
b必相交. 所以l⊥
1.知识小结
小结
几个结论和性质的应用
2.思想方法
面面垂直
线面垂直或线线垂直
作业
畅想网络
Imagination Network
感谢观看！
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垂直，则该直线与此平面垂直。
图形表示
符号表示
m ,n
a
m
On
m nO
a
a m,a n
线线垂直 线面垂直
新知探究
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱
AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的 位置关系如何？它们彼此之间具有什么
位置关系？ C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
思考2
于点A，CB 于点B，a,aAB,
求证：a / / l .
C β
B
α
l
Aa
2.3.4 平面与平面垂直的性质
复习1
两个平面相互垂直
三个平面两两垂直
α
l β
α
β
l γ
复习2 两个平面垂直的判定
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 垂线，那么这两个平面互相垂直．
α
l β
1.黑板所在平面与地面所在平面垂直， 在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在， 怎样画线？
β
质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直.
β
a l
A α
a
l
a
a l
面面垂直线面垂直
若α⊥β，过平面α内一点A作平面β
的垂线a，那么垂线a与平面α具有什么样
的位置关系?
α A
反证法证明点B 在两个平面的交
线上
β
B
B’
注意：过一点只能
作一条直线垂直于
已知平面.
结论 如果两个平面互相垂直，那么经过
一个平面内一点且垂直于另一个平面 的直线，必在这个平面内.
α A
B β
例1.如图，已知α⊥β，a⊥β， a，试判断直线a与平面α的位置关
系，并说明理由.
α
b
a
l
β
A
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2， BC 2,侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面 ABCD.
复习回顾
1. 直线和平面垂直的定义如何？
如果一条直线和一个平面相交,并且
和这个平面内的任意一条直线都垂直,则
称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫 做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点
叫做垂足.
有定义可得：
若l , b
则l b.
l
bA
α
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都
如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那 么直线a，b的位置关系如何？
l
a
b
相交
l
ab
平行
b
l
a
异面
一、线面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明：
假设 a与b不平行.
记直线b和α的交点为o,
a
则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α.
α
α
β
2.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面 A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线 A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂 直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？
C1
D1
B1
A1
C
D
B A
3. 设 ,CD ，AB ,AB CD,
垂足为B，那么直线AB与平面的位置关系如何？为 什么？
∴过点o的两条直线 b和
b’都垂直平面α , 这不可能!
∴a∥b .
b b’ o
巩固练习
1.判断下列命题是否正确：正确的是：①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
2.若a,b表示直线, 表示平面，下列命题
正确的是 (3)(4) 。
(1 )a ,a b,则 b/ / (2)a/ /,a b,则 b
(3 )a//,b ,则 b a (4 )a ,b ,则 b a
巩固练习
3 请在下面的横线上填上适当的条 件,使结论成立。
am,an
bm,bn
，
①
,则 a∥b
①m与n相交 ②m与n异面 ③m与n不平行
4 如图，已知 l,CA
（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
P
D A E
B
C
对于三个平面、、，如果，，β，
= l ，那么直线l与平面 的位置关系如何？为什么？
β 解答：在内分别
l
作平面的垂线a、b，
α
则a l,b l, a与
a
b
b必相交. 所以l⊥
1.知识小结
小结
几个结论和性质的应用
2.思想方法
面面垂直
线面垂直或线线垂直
作业
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垂直，则该直线与此平面垂直。
图形表示
符号表示
m ,n
a
m
On
m nO
a
a m,a n
线线垂直 线面垂直
新知探究
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱
AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的 位置关系如何？它们彼此之间具有什么
位置关系？ C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
思考2
于点A，CB 于点B，a,aAB,
求证：a / / l .
C β
B
α
l
Aa
2.3.4 平面与平面垂直的性质
复习1
两个平面相互垂直
三个平面两两垂直
α
l β
α
β
l γ
复习2 两个平面垂直的判定
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 垂线，那么这两个平面互相垂直．
α
l β
1.黑板所在平面与地面所在平面垂直， 在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在， 怎样画线？
β
质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直.
β
a l
A α
a
l
a
a l
面面垂直线面垂直
若α⊥β，过平面α内一点A作平面β
的垂线a，那么垂线a与平面α具有什么样
的位置关系?
α A
反证法证明点B 在两个平面的交
线上
β
B
B’
注意：过一点只能
作一条直线垂直于
已知平面.
结论 如果两个平面互相垂直，那么经过
一个平面内一点且垂直于另一个平面 的直线，必在这个平面内.
α A
B β
例1.如图，已知α⊥β，a⊥β， a，试判断直线a与平面α的位置关
系，并说明理由.
α
b
a
l
β
A
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2， BC 2,侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面 ABCD.