圆周运动中临界问题

圆周运动中的临界问题

教学目的:会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题 教学重点:掌握解决圆周运动的两种典型的临界问题 教学难点:会分析判断临界时的速度或受力特征 教学内容

一、 有关概念

1、向心加速度的概念

2、向心力的意义 （由一个力或几个力提供的效果力） 二、内容

1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题

（1）如图4－2－2和图4－2－3所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：

v 0

图4－2－2 图4－2－3

①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg =m R

v 2

v 临界=Rg ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力； ③不能过最高点的条件：v ＜v 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）.

（2）如图4－2－4的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况： ①当v =0时，F N =mg （F N 为支持力）；

②当0＜v ＜Rg 时，F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，F N 为支持力； ③当v =Rg 时，F N =0； ④当v ＞Rg 时，F N 为拉力，F N 随v 的增大而增大.

v

杆

图42 4

图4－2－5

若是图4－2－5的小球在轨道的最高点时，如果v ≥Rg ，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力.

例1 长L ＝0.5m ，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O 点，上端连接着一个质量m ＝2kg 的小球A ，A 绕O 点做圆周运动（同图5），在A 通过最高点，试讨论在下列两种情况

下杆的受力：

①当A 的速率v 1＝1m ／s 时 ②当A 的速率v 2＝4m ／s 时 解析： V 0=gL ＝10×0.5 m ／s ＝ 5 m ／s 小球的速度大于 5 m ／s 时受拉力，

小于 5 m ／s 时受压力。 解法一：①当v 1＝1m ／s ＜ 5 m ／s 时，小球受向下的重力mg 和

向上的支持力N

a

图 4

由牛顿第二定律 mg －N ＝m

v 2

L

N ＝mg －m v 2

L ＝16N

即杆受小球的压力16N 。

②当v 2＝4m ／s ＞ 5 m ／s 时，小球受向下的

重力mg 和向下的拉力F ，由牛顿第二定律 mg ＋F ＝m v 2

L

F ＝m v 2

L

－mg ＝44N

即杆受小球的拉力44N 。

解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。我

们可不去做具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球A ，则小球的受力就是上面解法中的②的情形。 由牛顿第二定律 mg ＋F ＝m v 2

L

得 F ＝m （v 2

L

－g ）

当v 1＝1m ／s 时，F 1＝－16N F 1为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小球受力应向上，

为支持力。则杆应受压力。

当v 2＝4m ／s 时，F 2＝44N 。 F 2为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小球受力就是向

下的，是拉力。则杆也应受拉力。

例2 如图4所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，有一长l ＝0.4m 的细绳，一端固定在O 点，另一端拴一质量为m ＝0.2 kg 的小球，使之在斜面上作圆周运动，求：(1)小球通过最高点A 时最小速度；(2)如细绳受到9.8N 的拉力就会断裂，求小球通过最低点B 时的最大速度.

2、在水平面内作圆周运动的临界问题

在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。

例3 如图9所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L 的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O 处，另一端拴着一个质量为m 的小物体（物体可看质点），物体以速率v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。

⑴当v ＝1

6

gL 时，求绳对物体的拉力； ⑵当v ＝3

2

gL 时，求绳对物体的拉力。

解析：设小球刚好对锥面没有压力时的速率为0υ，则有

)2(30sin 3020

分

l m

mgtcm υ= 解得gl 6

3

0=

υ （1）当

)

2(03.16

3

31)2(30

sin 30cos )2(30sin 30cos 30sin ,612

0分解得

分分有时

m g m g T m g N T l m N T gl ≈+=

=+=-<=

υυυ（2）当02

3

υυ>=

gl 时，小球离开锥面，设绳与轴线夹角为ϕ，则

图

9

N

)2(2)2(30

sin sin )2(cos 2

分解得分分

mg T l m

T mg T ===υϕϕ

例4 如图6所示，两绳系一质量为m ＝0.1kg 的小球，上面绳

长L ＝2m ，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°， 问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为 3 rad ／s 时，上、下两绳拉力分别为多大？

解析：①当角速度ω很小时，AC 和BC 与轴的夹角都很小，BC 并不张紧。当ω逐渐增大到30°时，BC

但BC 绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为ω1，则有：

T AC cos30°＝mg

T AC sin30°＝m ω12Lsin30°

将已知条件代入上式解得 ω1＝2.4 rad ／s ②当角速度ω继续增大时T AC 减小，T BC 增大。设角速度达到ω2时，T AC ＝0

（这又是一个临界状态），则有： T BC cos45°＝mg

T BC sin45°＝m ω22Lsin30°

将已知条件代入上式解得 ω2＝3.16 rad ／s

所以 当ω满足 2.4 rad ／s ≤ω≤3.16 rad ／s ，AC 、BC 两绳始终张紧。 本题所给条件 ω＝3 rad ／s ，此时两绳拉力T AC 、T BC 都存在。

T AC sin30°＋T BC sin45°＝m ω2Lsin30° T AC cos30°＋T BC cos45°＝mg

将数据代入上面两式解得 T AC ＝0.27N ， T BC ＝1.09N 注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。

如果ω＜2.4 rad ／s 时，T BC ＝0，AC 与轴的夹角小于30°。 如果ω＞3.16rad ／s 时，T AC ＝0，BC 与轴的夹角大于45°。

例5 如图7所示，细绳一端系着质量M ＝0.6kg 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m ＝0.3kg 的物体，M 的中与圆孔距离为0.2m ，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N 。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m 会处于静止状态？（g ＝10m ／s 2） [ 先以m ＝0为题引入，由浅入深 ]

解析：要使m 静止，M 也应与平面相对静止。而M 与平面静止时有两个临界状态：

当ω为所求范围最小值时，M 有向着圆心 运动的趋势，水平面对M 的静摩擦力的方向 背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N 。 此时，对M 运用牛顿第二定律。

有 T －f m ＝M ω12r 且 T ＝mg

解得 ω1＝2.9 rad ／s

当ω为所求范围最大值时，M 有背离圆心运动的趋势，水平面对M 的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力2N 。

再对M 运用牛顿第二定律 有 T ＋f m ＝M ω22r 解得 ω2＝6.5 rad ／s 所以，题中所求ω的范围是： 2.9 rad ／s ＜ω＜6.5 rad ／s

例6 如图8所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。求：

⑴当转盘角速度ω1＝μg

2r

时，细绳的拉力T 1。

C

图 6

图 7 图 8