圆周运动中临界问题

圆周运动中的临界问题教学目的:会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题 教学重点:掌握解决圆周运动的两种典型的临界问题 教学难点:会分析判断临界时的速度或受力特征 教学内容一、 有关概念1、向心加速度的概念2、向心力的意义 （由一个力或几个力提供的效果力） 二、内容1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题（1）如图4－2－2和图4－2－3所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：v 0图4－2－2 图4－2－3①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg =m Rv 2v 临界=Rg ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力； ③不能过最高点的条件：v ＜v 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）.（2）如图4－2－4的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况： ①当v =0时，F N =mg （F N 为支持力）；②当0＜v ＜Rg 时，F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，F N 为支持力； ③当v =Rg 时，F N =0； ④当v ＞Rg 时，F N 为拉力，F N 随v 的增大而增大.v杆图42 4图4－2－5若是图4－2－5的小球在轨道的最高点时，如果v ≥Rg ，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力.例1 长L ＝0.5m ，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O 点，上端连接着一个质量m ＝2kg 的小球A ，A 绕O 点做圆周运动（同图5），在A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：①当A 的速率v 1＝1m ／s 时 ②当A 的速率v 2＝4m ／s 时 解析： V 0=gL ＝10×0.5 m ／s ＝ 5 m ／s 小球的速度大于 5 m ／s 时受拉力，小于 5 m ／s 时受压力。

解法一：①当v 1＝1m ／s ＜ 5 m ／s 时，小球受向下的重力mg 和向上的支持力Na图 4由牛顿第二定律 mg －N ＝mv 2LN ＝mg －m v 2L ＝16N即杆受小球的压力16N 。

②当v 2＝4m ／s ＞ 5 m ／s 时，小球受向下的重力mg 和向下的拉力F ，由牛顿第二定律 mg ＋F ＝m v 2LF ＝m v 2L－mg ＝44N即杆受小球的拉力44N 。

解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。

我们可不去做具体的判断而假设一个方向。

如设杆竖直向下拉小球A ，则小球的受力就是上面解法中的②的情形。

由牛顿第二定律 mg ＋F ＝m v 2L得 F ＝m （v 2L－g ）当v 1＝1m ／s 时，F 1＝－16N F 1为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小球受力应向上，为支持力。

则杆应受压力。

当v 2＝4m ／s 时，F 2＝44N 。

F 2为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。

则杆也应受拉力。

例2 如图4所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，有一长l ＝0.4m 的细绳，一端固定在O 点，另一端拴一质量为m ＝0.2 kg 的小球，使之在斜面上作圆周运动，求：(1)小球通过最高点A 时最小速度；(2)如细绳受到9.8N 的拉力就会断裂，求小球通过最低点B 时的最大速度.2、在水平面内作圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。

这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。

例3 如图9所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L 的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O 处，另一端拴着一个质量为m 的小物体（物体可看质点），物体以速率v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。

⑴当v ＝16gL 时，求绳对物体的拉力； ⑵当v ＝32gL 时，求绳对物体的拉力。

解析：设小球刚好对锥面没有压力时的速率为0υ，则有)2(30sin 3020分l mmgtcm υ= 解得gl 630=υ （1）当)2(03.16331)2(30sin 30cos )2(30sin 30cos 30sin ,6120分解得分分有时m g m g T m g N T l m N T gl ≈+==+=-<=υυυ（2）当023υυ>=gl 时，小球离开锥面，设绳与轴线夹角为ϕ，则图9N)2(2)2(30sin sin )2(cos 2分解得分分mg T l mT mg T ===υϕϕ例4 如图6所示，两绳系一质量为m ＝0.1kg 的小球，上面绳长L ＝2m ，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°， 问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为 3 rad ／s 时，上、下两绳拉力分别为多大？解析：①当角速度ω很小时，AC 和BC 与轴的夹角都很小，BC 并不张紧。

当ω逐渐增大到30°时，BC但BC 绳中的张力仍然为零。

设这时的角速度为ω1，则有：T AC cos30°＝mgT AC sin30°＝m ω12Lsin30°将已知条件代入上式解得 ω1＝2.4 rad ／s ②当角速度ω继续增大时T AC 减小，T BC 增大。

设角速度达到ω2时，T AC ＝0（这又是一个临界状态），则有： T BC cos45°＝mgT BC sin45°＝m ω22Lsin30°将已知条件代入上式解得 ω2＝3.16 rad ／s所以 当ω满足 2.4 rad ／s ≤ω≤3.16 rad ／s ，AC 、BC 两绳始终张紧。

本题所给条件 ω＝3 rad ／s ，此时两绳拉力T AC 、T BC 都存在。

T AC sin30°＋T BC sin45°＝m ω2Lsin30° T AC cos30°＋T BC cos45°＝mg将数据代入上面两式解得 T AC ＝0.27N ， T BC ＝1.09N 注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。

如果ω＜2.4 rad ／s 时，T BC ＝0，AC 与轴的夹角小于30°。

如果ω＞3.16rad ／s 时，T AC ＝0，BC 与轴的夹角大于45°。

例5 如图7所示，细绳一端系着质量M ＝0.6kg 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m ＝0.3kg 的物体，M 的中与圆孔距离为0.2m ，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N 。

现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m 会处于静止状态？（g ＝10m ／s 2） [ 先以m ＝0为题引入，由浅入深 ]解析：要使m 静止，M 也应与平面相对静止。

而M 与平面静止时有两个临界状态：当ω为所求范围最小值时，M 有向着圆心 运动的趋势，水平面对M 的静摩擦力的方向 背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N 。

此时，对M 运用牛顿第二定律。

有 T －f m ＝M ω12r 且 T ＝mg解得 ω1＝2.9 rad ／s当ω为所求范围最大值时，M 有背离圆心运动的趋势，水平面对M 的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力2N 。

再对M 运用牛顿第二定律 有 T ＋f m ＝M ω22r 解得 ω2＝6.5 rad ／s 所以，题中所求ω的范围是： 2.9 rad ／s ＜ω＜6.5 rad ／s例6 如图8所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。

物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。

求：⑴当转盘角速度ω1＝μg2r时，细绳的拉力T 1。

C图 6图 7 图 8⑵当转盘角速度ω2＝3μg2r时，细绳的拉力T 2。

解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为，则，解得。

（1）因为，所以物体所需向心力小于物体与盘间的最大摩擦力，则物与盘间还未到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即。

（2）因为，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力，由牛顿的第二定律得：，解得。

3、连接体的临界问题例1、如图所示，匀速转动的水平圆盘上，放有质量均为m 的小物体A 、B ， A 、B 间用细线沿半径方向相连，它们到转轴距离分别为R A =20cm ，R B =30cm 。

A 、B 与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求： (1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度ω0； (2)当A 开始滑动时，圆盘的角速度ω； (3)当即将滑动时，烧断细线，A 、B 状态如何?答案： (1)当细线上开始出现张力时，表明B 与盘间的静摩擦力已达到最大，设此时圆盘角速度为ω0，则是kmg=mr B ω02解得： B 0r /kg =ω =3.7rad/s(2)当A 开始滑动时，表明A 与盘的静摩擦力也已达到最大，设此时盘转动角速度为ω，线上拉力为F T 则，对A ：F fAm -F T =mr A ω2对B ：F fBm +F T =mr B ω2又：F fAm =F fBm =kmg 解得ω=4rad/s 。

(3)烧断细线，A 与盘间的静摩擦力减小，继续随盘做半径为r A =20cm 的圆周运动，而B 由于F fBm 不足以提供必要的向心力而做离心运动。

答案：(1) 3.7rad/s (2) 4rad/s (3)A 做圆周运动，B 做离心运动分析：1、利用极限分析法的“放大”思想分析临界状态。

认清临界情景和条件，建立临界关系是解决此类问题的关键。

2、圆周运动中的连接体加速度一般不同，所以，解决这类连接体的动力学问题时一般用隔离法。

但也可用整体法来求解。

三、巩固练习1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m ／s 时，车对桥的压力为车重的34 。

如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为 （ ）A 、15 m ／sB 、20 m ／sC 、25 m ／sD 、30m ／s2、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A 、B 两个小物块。

A 的质量为，离轴心，B 的质量为，离轴心，A、B与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求（1）当圆盘转动的角速度为多少时，细线上开始出现张力？（2）欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（）解析：（1）较小时，A、B均由静摩擦力充当向心力，增大，可知，它们受到的静摩擦力也增大，而，所以A受到的静摩擦力先达到最大值。