数值分析计算方法复习(典型例题)解析
数值分析习题解答
解：(1) 由Lagrange 插值公式00112233()()()()()L x f l x f l x f l x f l x =⋅+⋅+⋅+⋅其中()()()()()()()()()()123001020311112233122x x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭===----⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭()()()()()()()()()()()()02311012131111221112112x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x ⎛⎫+-- ⎪---⎛⎫⎝⎭===+-- ⎪---⎛⎫⎝⎭⋅-⋅- ⎪⎝⎭()()()()()()()()()()()0132202123118113113222x x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ---+-+-===----⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭可得()231()12L x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)同理，利用Lagrange 插值公式可得231()2L x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭方法二：由于题设有4 个条件（4个点），故只能确定一个至多3次的多项式，所以不妨设()()312L x x x Ax B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （又120f f ==⇒1x 和2x 为()3L x 的根）又由()()33312112L L ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ⇒()()()3312211122A B A B ⎧⎛⎫---+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩⇒10A B =⎧⎨=⎩ 所以()231122L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证明：(1)由于(),i jij l xδ=，故()()0nkn ii i L x x l x ==∑，当j x x =时，有(),0,1,,kn j j L x x j n ==，()n L x 即为kx 的插值多项式.由唯一性，可得()0nk ki i i x l x x ==∑，0,1,,k n =.(2)利用Newton 插值多项式()()[]()[]()()0010001,,,n n n N x f x f x x x x f x x x x x x -=+-++--，()*()()()()()()10010n n x x x x f x l x x x x x --==--差商表()f x一阶 二阶N 阶0x11x011x x-2x()()01011x x x x --n x0 0 0()()()010101n x x x x x x ---代入()*，有()()()()()()()01001010101n n n x x x x x x x x N x x x x x x x x x ----=+++---- ()0l x 为n 次代数多项式，由插值多项式的唯一性，得()()0n l x N x =解：作()f x 以,,a a b ε+为节点的Lagrange 插值多项式，有()()22()f x L x R x =+其中：()()()()()()()()()()()()()()()()()()2x a x b x a x a x a x b L x fa f a fb a b a b b a b a εεεεεεε-+---+--=+++--+---+()()()()()()23!f R x x a x a x b ξε'''=--+- a b ξ<<令0ξ→()()()()()226f R x R x x a x b ξ'''→=--又()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()22222x a x a x a x a L x b x f a f a f a f a b a b a b a b a x a x a f b b a b a b x x b a b x x a x a f a f a f b P x b a b a b a εεεεεεεεεεε⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦-+---=-+-+-+--+-+-+--++--+-+----'→++=---故当0→ε时，公式()()()x R x P x f +=成立. 2.4解：设()f x 的插值多项式为： ()00n n p x a a x a x =+++则20010200210112212012n n n n nnn n n f a a x a x a x f a a x a x a x f a a x a x ax ⎧=++++⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩ 添加一个方程后，得：00001001011101()n n n n nn nn n n p x a a x a x f a a x a x f a a x a x f a a x ax ⎧=+++⎪=+++⎪⎪=+++⎨⎪⎪⎪=+++⎩线性方程组有非零解()01,,,Tn a a - ，因而行列式000()1101nn n nnnp x xx f x x f x x =或者001100010111()011n nnn n n nnn nnx x xx x x f x x p x x x f x x ⋅+=记01()j i i j nC x x ≤<≤-=-∏ ，得0011()1nn n nx f x p x Cfx = .2.5略 2.6解：73()1f x x x =++ ，有(7)()17!f ξ= ， (8)017017()[3,3,,3][2,2,,2]08!f f f η===2.7证明：1.1()f x a x=- .利用数学归纳法证明： （1） 当1n = 时，有001[]f x a x =-显然成立； （2） 假设n k = 时，有01011[,,,]()()()k k f x x x a x a x a x =--- 成立，则当1n k =+ 时，有：11010111011011001011101001110[,,,][,,,][,,,,]11()()()()()()()()()()()()()()()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k f x x x f x x x f x x x x x x a x a x a x a x a x a x x x a x a x a x a x a x a x x x x x a x a x a x a x x x +++++++++++-=--------=--------=------=-0111()()()()k k a x a x a x a x +=----也成立 综上（1）（2），故原等式成立 所以01011[,,,]()()()n n f x x x a x a x a x =---2.由01011[,,,]()()()n n f x x x a x a x a x =---可得：01011[,,,,]()()()()n n f x x x x a x a x a x a x =----因为()()[]()[]()()()()001000100,,,[,,,]n n n n f x f x f x x x x f x x xx x x f x x x x x x x -=+-++--+--故有0000101()()11()()()()()n x x x x x x a x a x a x a x a x a x a x ---=+++-------2.8 2.9 证明：（1）0n = 时，结论显然成立. 假设结论对0n ≥ 成立，即0(1)nnk ki n n i k k f C f +-=∆=-∑ 下面考虑 1n i f +∆()111001111101111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()n n n n i i i innkkk knn i k n n i kk k nn kkk k nn i k n n i kk k n n kk k k n i nn i k n n i k k k k k k n i n n n i f f f f C f C f C f C f f C f C f f C C f ++++-+-==+--++-++-==+-++++-++-==-++++∆=∆∆=∆-∆=---=---=+-+-=+-+∑∑∑∑∑∑111111111110(1)(1)(1)(1)nn nk n ik nk k n n i n n i k i k n k k n n i k k C f f C f f C f +-=++++++-=++++-=+-=+-+-=-∑∑∑即结论对也成立.由数学归纳法可得原等式成立. （2）。
数值分析例题和知识点总结
数值分析例题和知识点总结数值分析是一门研究如何用计算机求解数学问题数值解的学科，它在科学计算、工程技术、金融经济等领域都有着广泛的应用。
为了更好地理解和掌握数值分析的知识，下面将通过一些例题来对常见的知识点进行总结。
一、误差分析误差是数值分析中一个非常重要的概念。
误差分为绝对误差、相对误差和有效数字。
绝对误差：设某量的准确值为$x$，近似值为$x^＄，则绝对误差为$｜x x^｜＄。
相对误差：相对误差是绝对误差与准确值的比值，即$＼frac{｜xx^｜｝｛｜x|｝＄。
有效数字：若近似值$x^＄的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到$x^＄的第一位非零数字共有$n$位，则称$x^＄有$n$位有效数字。
例如，＄＼pi$的近似值为 314，准确值约为 31415926，绝对误差为$｜31415926 314| ＝ 00015926$，相对误差为$＼frac{00015926}｛31415926} ＼approx 0000507$，314 有 3 位有效数字。
二、插值法插值法是数值分析中的一种基本方法，用于通过已知的数据点来构造一个函数。
1、拉格朗日插值已知$n ＋ 1$个互异节点$（x_0, y_0)，（x_1, y_1)，＼cdots, （x_n, y_n)＄，拉格朗日插值多项式为：＄L_n(x) ＝＼sum_{i ＝ 0}＾n y_i l_i(x)＄其中，＄l_i(x) ＝＼frac{＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x x_j)｝｛＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x_i x_j)｝＄例如，已知点$（1, 2)＄，＄（2, 3)＄，＄（3, 5)＄，求插值多项式。
设$L_2(x) ＝ y_0 l_0(x) ＋ y_1 l_1(x) ＋ y_2 l_2(x)＄＄l_0(x) ＝＼frac{（x 2)（x 3)｝｛（1 2)（1 3)｝＝＼frac{1}｛2}（x 2)（x 3)＄＄l_1(x) ＝＼frac{（x 1)（x 3)｝｛（2 1)（2 3)｝＝（x 1)（x 3)＄＄l_2(x) ＝＼frac{（x 1)（x 2)｝｛（3 1)（3 2)｝＝＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2)＄则$L_2(x) ＝ 2 ＼times ＼frac{1}｛2}（x 2)（x 3) ＋ 3 ＼times （x1)（x 3) ＋ 5 ＼times ＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2)＄2、牛顿插值牛顿插值多项式为：＄N_n(x) ＝ fx_0 ＋ fx_0, x_1(x x_0) ＋ fx_0, x_1, x_2(x x_0)（xx_1) ＋＼cdots ＋ fx_0, x_1, ＼cdots, x_n(x x_0)（x x_1) ＼cdots （xx_{n 1}）＄其中，均差$fx_0, x_1, ＼cdots, x_k ＝＼frac{fx_1, x_2, ＼cdots, x_k fx_0, x_1, ＼cdots, x_{k 1}｝｛x_k x_0}＄三、数值积分数值积分用于计算定积分的近似值。
数值分析习题与解析
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯ 有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯ 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯ 有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯ 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯ 有效数字： 因为π＝3.14159265...=0.314159265 (10)22 3.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
典型例题与习题
a
2
b f ( x)dx (b a) f ( a b ) f () (b a)3
a
2
24
9/16
Ex2.复合左矩形求积公式旳求积误差
b a
n1
f ( x)dx h
j0
f (a
h2 jh)
2
n j1
f ( j )
设被积函数在积分区间上旳一阶导数连续,由连续函数
介值定理
1
n
n j 1
N 1
[
n0
f
(
xn
)
4
f
(
xn1/
2
)
f ( xn1 )]
其中, h = (b – a )/N, xn= a + n h ( n = 0,1,2,···, N)
13/16
Ex8.将线性常系数非齐次高阶常微分方程初值问题:
y(n) + a1 y(n-1) + a2 y(n-2) +·······+ an y = f( x, y, ····, y(n-1))
Gm
(h)
4m
Gm
1
(
h 2
)
Gm
1
(h)
4m 1
f ( x) Gm (h) O(h2(m1) )
练习：二阶中心差商旳外推公式？
6/16
常微分方程初值问题 1. Euler措施
y f ( x, y) x x0
y(
x0
)
y0
y0 yn1
y( x0 ), yn
xn1 xn h hf ( xn , yn ),(n
16/16
N 1
试证明用Euler公式计算成果为 y(b) f (tn )h
数值计算典型例题与习题2
Ex5. 设A=(aij)n×n 为可逆下三角矩阵，证明 A-1 仍为下三角矩阵。
证明: 设
a 11 a 21 A a n1 a 22 an2 a nn
当i > j 时, aij 的代数余子式 Aij = 0,故A 的伴随矩阵
A11 A * 12 A A1 n A21 A22 A2 n An 1 An 2 Ann
( I AX 0 ) 1
k
时
1
lim X k A
证明：由Xk+1=Xk(2I – A Xk )，得 I – AXk+1 = I – A Xk(2I – A Xk )= (I – A Xk )2 于是 I – AXk =(I – A Xk -1)2 =(I – A Xk -2)2×2 = ···· ··· ···
的特征值
2 h2 1 A
1 1 2h 1
2
1 2 2h
15/16
ex16:设A是n阶可逆矩阵,有A的一个近似逆B,令 R=I –AB如果 || R ||≤ q <1 ，试证明 (1) A–1 = B ( I + R + R2 + …… )； (2)任意给定n阶矩阵X0,由迭代格式 Xk+1 = Xk R + B ( k = 0，1，2，…… ) 产生的矩阵序列{ Xk }收敛到矩阵A-1；
1 a 11
所以,
A2 = A2T
5/16
Ex3.设 n 阶矩阵 A 的各阶顺序主子式不为零,记各
阶顺序主子式对应的矩阵为Ak,(k = 1,2,·,n)。设 · · Ak 1 Lk 1U k 1 (k > 1 ) L1=1,U1 = a11
数值分析复习题参考答案
x1 )
h
2
x 0 x x1 6
4
所以， R x
h 10
2
8
解得， h 0 . 000383
4. 习题(第二章) 7
5. 习题(第二章) 9
6. 习题(第二章) 11
7. 习题(第二章) 13
8. 习题(第二章) 14
9. 习题(第二章) 20
10. 习题(第四章) 1
2
, k 0 ,1, 2 2 3 2a 3x
3
此时， ( x )
2x a 3x
, '( x) 2a
所以， ' ( 3 a )
2 3
3(
3
a)
3
0 1, 所以该迭代公式收敛。
21. 习题(第七章) 13
本题没有给出精度要求， 但x3与x2之间的差为 已经很小了，足以满足 精度。
[ f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 )]
( 3 ) 基于 Taylor 展开法：
y ( x n 1 ) y ( x n h ) y ( x n ) y ' ( x n ) h
h
2
2
y ''( xn )
取 y ( x n 1 ) y ( x n ) y ' ( x n ) h ，即 y n 1 y n hf ( x n , y n )
k 个点的值
求解隐式：先用欧拉公 求解多步法：单步法开
式求得一个初步的近似 表头，然后预报
修正 校正 修正。
( 其实只要给出公式会用
就行！！ )
数值分析例题1-9
)
1.675 0.3271y 0.03125y 2 0.01302y3
于是有
例2-4 x0 , x1 ,
x* f 1 (0) L3 (0) 1.675
5
证明 (xi x)2 li(x) 0,其中li(x)是关于点 i0
, x5 的插值基函数。
证明
5
5
(xi x)2li(x) (xi2 2xi x x2 )li(x)
设待求插值函数为
H3 ( x) N2 ( x) k( x 0)( x 1)( x 2)
令
H
3
(1)
f (1) 3, 即 4 k 3, 求得 k 1。进而有
H3 ( x) N2 ( x) ( x 0)( x 1)( x 2)
x3 1
例如 设 f(x) 为定义在 [ 27.7，30] 上的函数，在节点 xi(i 1,2,3 ) 上的值如下
En nEn1
(n 1,2,),易得 En （1）n n!E0 ,这说明
I 0 有误差 E0 , I n 就是 E0 的 n! 倍误差。它表明计算公式（A）是数
值不稳定的。
当初值取为I9 0.0684 I 9 （计算方法见书式（3.2））时
法二： （B）
I9
0.0684
I
n1
1 n
(1
xdx 88 135
解：设s1(x) a0 a1x,，0 (x) =1,1(x) =x,故
4
(0 (x),0 (x) ) = i 8 i0
4
(0 (x),1(x) ) =(1(x),0 (x) ) = i xi =22 i0
4
(1(x),1(x) ) = i xi2 =74 i0
4
数值分析计算方法试题集及答案
数值分析复习试题第一章 绪论 一. 填空题 1.*x 为精确值x 的近似值;()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-:***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差.3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6位和 7 1.73≈（三位有效数字）-211.73 10 2≤⨯。
4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字,则12x x 的相对误差限为 0.0055 .5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0。
01 。
6、 已知近似值 2.4560A x=是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0。
0000204 。
7、 递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取01.41y ≈作计算，则计算到10y 时，误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 。
8、 精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。
9、 若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2＊10—5。
吉林省考研数学复习资料数值分析常见算法解析
吉林省考研数学复习资料数值分析常见算法解析数值分析是应用数学的一个分支，它研究如何用数学方法来求解实际问题中的数值计算。
在吉林省考研数学考试中，数值分析是一个重要的考点，掌握常见的数值分析算法对于备考人员来说非常关键。
本文将对吉林省考研数学复习资料中数值分析部分的常见算法进行解析。
1. 插值算法插值算法是数值分析中常用的一种方法，它用于根据已知数据点的函数值，通过差值多项式来估计未知数据点的函数值。
常见的插值算法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法。
拉格朗日插值法是由法国数学家拉格朗日提出的一种插值算法。
它的基本思想是通过已知数据点构造一个多项式，使得这个多项式经过给定的数据点，并且在其他数据点上取得相应的函数值。
这个多项式称为拉格朗日插值多项式。
牛顿插值法是由英国数学家牛顿提出的一种插值算法。
它的基本思想是通过已知数据点的差商构造一个插值多项式，然后利用插值多项式的性质来计算未知数据点的函数值。
埃尔米特插值法是在拉格朗日插值法的基础上发展起来的一种插值算法。
它的特点是除了要求插值多项式经过给定的数据点外，还要求插值多项式的导数在给定的数据点处取得给定的值。
2. 数值积分算法数值积分是求解定积分的一种数值计算方法，它通过将定积分转化为对函数的数值近似求和。
常见的数值积分算法包括梯形公式、辛普森公式和龙贝格公式。
梯形公式是一种基于线性插值的数值积分算法。
它的基本思想是将定积分的区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上用一条线段来近似表示被积函数，最后将所有小区间上的线段的长度加起来，得到近似的定积分值。
辛普森公式是一种基于二次插值的数值积分算法。
它的基本思想是将定积分的区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上用一个二次多项式来近似表示被积函数，最后将所有小区间上的二次多项式相应的积分值加起来，得到近似的定积分值。
龙贝格公式是一种基于复合求和的数值积分算法。
它的基本思想是将定积分的区间分割成若干个小区间，并在每个小区间上应用梯形法则进行数值积分，然后通过逐步加密小区间的方法，逐步提高数值积分的精度，直到满足给定的误差要求。
数值分析复习
插值余项
R3(x) f (x) P3(x)
f
(4) (
4!
)
(
x
x0
)2
(x
x1)2
,
x [x0,x1]
混合型Hermite插值
例2.9, 题2.8, 题2.10
分段插值 ( 如何确定其解析式, 光滑性, 误差估计? )
1) 分段线性插值
2) 分段3次Hermite插值
题2.11, 题2.12
例4.7, 题4.8
3) Newton迭代与开方法 例4.8, 题4.7
简化Newton迭代法 弦截法 Newton下山法
1) 简化Newton迭代法
xk 1 xk
f (xk ) f (x0 )
(k 0,1, 2,L )
例4.9
2) 弦截法
xk 1
xk
f
(
xk
f )
( xk f
) (
xk
1
数值计算中应注意的几个原则
避免相近数相减 ; 避免小除数, 大乘数 ; 避免大数吃小数 ; 采用数值稳定的算法 ; 减少运算次数.
题1.7
Chap 2 插值法与最小二乘法
多项式插值 Lagrange插值公式 Newton插值公式 Hermite插值
插值余项
分段插值 三次样条函数
n 次多项式插值问题：
Review
Chap 1 数值计算中的误差
误差 误差限 有效数字 用微分计算函数值误差 计算方法的数值稳定性
误差 误差限 有效数字
设 x是准确值，x是 x的近似值
1) 定义 1.1： 称 e(x) x x 为 x 的绝对误差(简称误差)。
2) 定义 1.2：若 | x x | ，则称 是 x 的误差限。
数值分析复习题答案
数值分析复习题答案数值分析复习题答案数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科。
在实际问题中，我们经常需要通过数值计算方法来求解数学模型，这就需要我们掌握数值分析的基本概念和方法。
下面是一些数值分析复习题的答案，希望能对你的复习有所帮助。
一、差分法与数值微分1. 差分法是一种数值计算方法，通过计算函数在一点的导数来近似计算函数在该点的值。
常用的差分法有前向差分法、后向差分法和中心差分法。
2. 前向差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h，其中h为步长。
3. 后向差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h))/h，其中h为步长。
4. 中心差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)，其中h为步长。
5. 数值微分是使用差分法来近似计算函数的导数。
通过选取合适的步长，可以使数值微分的误差最小化。
二、插值法与数值积分1. 插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。
常用的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
2. 拉格朗日插值法通过构造一个多项式来逼近已知数据点，然后利用该多项式来估计未知数据点的值。
3. 牛顿插值法是利用差商的概念来构造一个多项式，然后利用该多项式来估计未知数据点的值。
4. 数值积分是一种通过数值计算来近似计算函数的定积分。
常用的数值积分方法有梯形法则和辛普森法则。
5. 梯形法则通过将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上使用梯形面积来近似计算积分。
6. 辛普森法则是在梯形法则的基础上进一步改进的方法，它使用抛物线来逼近函数的曲线，从而提高了积分的精度。
三、数值方程求解1. 数值方程求解是通过数值计算方法来求解非线性方程或线性方程组的方法。
2. 常用的数值方程求解方法有二分法、牛顿法和高斯消元法。
3. 二分法是一种通过不断缩小区间范围来逼近方程的根的方法。
数值分析应用例题和知识点总结
数值分析应用例题和知识点总结数值分析是数学的一个重要分支，它主要研究如何用数值方法求解数学问题，包括数值逼近、数值微分和积分、线性方程组的求解、非线性方程的求解、插值与拟合等。
以下将通过一些具体的例题来展示数值分析的应用，并对相关知识点进行总结。
一、数值逼近数值逼近是用简单的函数（如多项式、分段多项式等）来近似地表示复杂的函数。
例题：给定函数＄f(x) ＝＼sin(x)＄，在区间＄0, ＼pi$ 上，用一次多项式（直线）来逼近它。
解：设逼近的一次多项式为＄p(x) ＝ ax ＋ b$。
在区间两端点，即＄x ＝ 0$ 时，＄p(0) ＝ b$，且＄f(0) ＝ 0$；＄x ＝＼pi$ 时，＄p(＼pi) ＝ a\pi ＋ b$，＄f(＼pi) ＝ 0$。
由此可得到方程组：＼＼begin{cases}b ＝ 0 ＼＼a\pi ＋ b ＝ 0＼end{cases}＼解得＄a ＝ 0$，＄b ＝ 0$，所以逼近的一次多项式为＄p(x) ＝ 0$，显然这个结果不太理想。
知识点总结：1、数值逼近的方法有很多，如泰勒展开、拉格朗日插值、牛顿插值等。
2、误差是衡量逼近效果的重要指标，包括截断误差和舍入误差。
二、数值微分数值微分是通过已知的函数值来近似计算函数的导数。
例题：已知函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 附近的三个点＄x_0 ＝09$，＄x_1 ＝ 1$，＄x_2 ＝ 11$ 处的函数值分别为＄081$，＄1$，＄121$，用中心差分公式求＄f'（1)＄的近似值。
解：中心差分公式为＄f'（x) ＼approx ＼frac{f(x ＋ h) f(x h)｝｛2h}＄，取＄h ＝ 01$，则：＼f'（1) ＼approx ＼frac{f(11) f(09)｝｛02} ＝＼frac{121 081}｛02}＝ 2＼而＄f'（x) ＝ 2x$，＄f'（1) ＝ 2$，可见近似效果较好。
数值分析例题详解
1. 用矩阵的直接三角分解法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7173530103421101002014321x x x x解：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡443433242322434241323121020111113010342110100201u u u u u ul l l l l l 由矩阵的乘法可以求出⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10101211011111434241323121l l l l l l ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡21210102010201443433242322u u u u u u 解下三角方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7173510101211014321y y y y 可得 4,6,3,54321====y y y y 。
再解上三角方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡463521************x x x x 可得 1,1,2,21234====x x x x 。
2. 设有迭代格式 ),2,1(,)1()( =+=-k g Bx x k k其中⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=05.0215.005.0215.00B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=5.015.0g试证明该迭代格式收敛，并取T x)0,0,0()0(=，计算)(k x证明：（1）设λ为B 的特征值，则0=-I B λ，即05.0215.05.0215.03==-----λλλλ，故 03,2,1=λ。
所以10)(<=B ρ，从而迭代法收敛。
（2）由T x)0,0,0()0(=计算可得TT T T xx x x )0,1,0(,)0,1,0(,)2/5.0,5.0,2/5.0(,)5.0,1,5.0()4()3()2()1(==-=--=3. 给定线性方程组⎩⎨⎧=+-=+23122121x x x x 问用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求解是否收敛？ 解：所给线性方程组的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡1321 （1）雅可比迭代矩阵J 的特征方程为6,6,06,032212-===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλλλλ 因为 16)(>=J ρ，故雅可比迭代法发散。
数值分析习题与答案知识讲解
数值分析习题与答案第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值分析复习题及答案
数值分析复习题及答案(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数值分析复习题一、选择题1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=- 二、填空1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。
4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么1______x =。
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6
626
复化 Simpson 公式
h
ba 2n
,
xj
a
jh
( j 0,1,,2n)
x2 j2
x2 j1
x2 j
I( f )
n j 1
h 3
[
f
(
x2
j2
)
4
f
(
x2
) j 1
f (x2 j )]
Sn( f )
n j 1
h 3
[
f
(
x2
j
2
)
4
f
(
x2
j 1
)
f ( x2 j )]
b a
则迭代格式为
xk 1
2
x3 k
1
取初值 x0 0
x1
2
x3 0
1
1
x2
2
x3 1
1
3
x3
2
x3 2
1
55
由此可见，这种迭代格式是发散的
(2) 如果将原方程化为等价方程 x 3 x 1 2
仍取初值
x0 0 x1 3
x0 1 3 2
1 0.7937 2
x2 3
x1 1 3 1.7937 0.9644
h(1 f (xn1, y(xn1)) f (xn , y(xn )) 1 f (xn1, y(xn1)))
y(xn1) ( y(xn ) y(xn1))
h(1 y(xn1) y(xn ) 1 y(xn1))
y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn )
计算方法复习
Final Exam Review
典型概念例题
零 绪论
误 差 及 算 法
误差 算法
分类 度量 传播
舍入 截断
绝对 相对 有效数字 一元函数
n元函数
一 插值与逼近
工具
插值法 多项式插值
分段多项式 插值
差商 差分 插值基函数 存在唯一性 误差估计 插值公式 Hermite插值 分段线性
分段三次Hermite插值
2/8 0.9896158
T8
h 2
f
(a)
2
7 k 1
f (xk )
f (b)
3/8 0.9767267 4/8 0.9588510
1 82
f
(0)
7
2 k 1
f k 8
f
(1)
5/8 0.9361556 6/8 0.9088516
=0.9456909
7/8 0.8771925 1 0.8414709
h4 24
y(4) (xn ) O(h5)
y(xn )
[ y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn )
h4 24
y(4) (xn ) O(h5)]
h1[ y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
>0,当x0∈[x*- , x*+ ]时, 迭代法产生的序列 {xk}[x*- , x*+ ]且收敛于x*.
例4 用一般迭代法求x3-x-1=0的正实根x*
解 将方程变形成等价形式：x 3 x 1
则迭代函数为: g( x) 3 x 1
g( x)
1
2
3( x 1) 3
容易得到: g’(x)在包含x*的某邻域U(x*) 内连续， 且|g’(x*)|<1
因此f(x)=0在(2, )内仅有一个根x*
将方程化为等价方程：x＝2＋lnx
g(x) 2 ln x | g( x) || 1 | 0.5 x ∈(2, 4) x
因此， x0(2, ), xk+1＝2＋lnxk产生的序列 xk 收敛于x*
取初值x0＝3.0,计算结果如下：
k xi 0 3.000000000 5 3.145702209 10 3.146191628
f (x)dx Af ( ) Bf (0) Cf () 2
代数精确度尽可能高，并确定上述公式的代数精 确度。是否为高斯型求积公式.
解
f x 1
2
dx 4 A B C
2
令:
f x x
2
xdx 0 A C 2
f x x2
2 2
x2dx
16 3
A
2
C
2
f x x3 2 x3dx 0 A 3 C 3 2
因此迭代格式 xk1 3 xk 1 在x*附近收敛
例5 用一般迭代法求方程x-lnx＝2在区间(2, )内的根， 要求|xk-xk-1|/|xk|<=10-8
解 令f(x)=x-lnx-2 f(2)<0, f(4)>0,故方程在(2,4)内至少有一个根
又 f ( x) 1 1 0 x ∈(2, ) x
定理3 设线性方程组x=Bx+g有惟一解，那么逐次逼 近法对任意初始向量x０收敛的充分必要条件是
迭代矩阵B的谱半径 ( B ) <1
证明
x* Bx* g
xk1 Bxk g
xk1 x* B(xk x*) Bk1(x0 x*).
因此
lim(
k
xk
1
x* )
0
lim
k
Bk 1
0
同积分的准确值I(f)=0.9460831比较,复化梯形法 的结果T8=0.9456909只有两位有效数字, 而复化
Simpson法的结果S4=0.9460832却有六位有效数字.
三 线性方程组
直接法
Gauss消去法 矩阵三角分解法 追赶法 向量和矩阵范数 矩阵条件数
三 线性方程组
迭代法
基本概念 雅可比迭代
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn )
h4 24
y(4) (xn ) O(h5)
y(xn1) y(xn h)
y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn )
h4 24
y(4) (xn ) O(h5)
f (xn1, y(xn1)) y(xn1) y(xn h)
Jacobi 迭代
x1
k
1
x2k
1
a 2
x(k) 2
1 2
x(k) 3
b1 2
x1 k
2x3(k) b2
x3k
1
x1k ax2(k )
b3
(2) 线性方程组
2 a 1 2 0 0 0 a 1
1 1
1 a
2 1
1 1
1 a
0 1
0 0
0 0
2 0
Gauss-Seidel迭代矩阵:
2
三次样条插值
预备知识
范数 内积 正交多项式
函数逼近
最佳一致逼近 最佳平方逼近 最小二乘拟合
函数逼近方法 三角函数逼近
帕德逼近
例1 观测物体过原点的直线运动,得到所示数据, 求运动方程.
时间t/s 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0
距离s/m 0 10 30 50 80 110
解 作直线模型: at+s=0
另一种迭代格式
xk 1
xk (1 lnxk ) xk 1
0 3.000000000 1 3.147918433
2 3.146193441 3 3.146193221
五 常微分方程数值解
重要概念
数值解法
重要构造方法 单步法
局部截断误差
方法精度 差分构造 积分构造 泰勒展式构造
线性多步法
方程组与高阶方程
所以代数精确度为5次.
因为代数精确度为2×3=5次,是高斯型求积公式.
标准Simpson公式:
1
1
4
1
I ( f ) f (t)dt S( f ) 2[ f (1) f (0) f (1)]
1
6
6
6
x abbat 22
b
I ( f ) a f (x)dx
S( f ) (b a)[(1 f (a) 4 f (b a) 1 f (b))]
1 3.098612289 6 3.146037143 11 3.146192714
2 3.130954362 7 3.146143611 12 3.146193060
3 3.141337866 8 3.146177452 13 3.146193169
4 3.144648781 9 3.146188209 14 3.146193204
牛顿迭代法 插值型迭代
弦截法 抛物线法
§2 单个方程的迭代法
一、不动点迭代
f (x) = 0 等价变换 x = g (x)
f (x) 的 根
g (x) 的不动点
f(x)=0化为等价方程x=g(x) 的方式是不唯一的,有的收 敛,有的发散 For example：2x3-x-1=0
(1) 如果将原方程化为等价方程 x 2x3 1
f (x)dx
h[ f (a) 4 n
3
j 1
n1
f ( x2 j1) 2
j 1
f ( x2 j )
f (b)]
例1 对于函数 f (x) sin x 试用数据表计算积分
x
I
(
f
)
1sin
0 x
x
dx
x f (x)
0
1
解 将区间[0,1]划分为8等分,应用复 1/8 0.9973978