第一轮复习自己整理绝对经典立体几何文科第一轮

立体几何题型总结（2015版文科）

重要定理：

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.

直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 两个平面垂直性质判定：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.

两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.

推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.

证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ， 因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.

一：夹角问题

① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.

② 直线的倾斜角、到

的角、与

的夹角的取值范围依次是

．

异面直线所成角：范围：]90,0(︒︒

（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线构成三角形；解三角形求出角。(常ab

c b a 2cos 2

22-+=θ)

用

到

余

弦

定

理

（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； (3)向量法。转化为向量的夹角AC

AB AC AB ⋅⋅=

θcos

(计算结果可能是其补角) 直线与平面所成的角

θαα＝时，∥或0b o

b ⊂

斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平

面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；

向量法：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l n

θϕ⋅==

的求法

二面角l αβ--的平面角，

（1）定义法：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。

P αβθ

M A B O

θ

c

b

a

（2）三垂线法：（三垂线定理法：A ∈α作或证AB ⊥β于B ，作BO ⊥棱于O ，连AO ，则AO ⊥棱l ，∴∠AOB 为所求。） 向量法：设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212

cos n n n n θ⋅=

．

二、空间距离问题

两异面直线间的距离

方法一：转化为线面距离。如图，m 和n 为两条异面直线，α⊂n 且α//m ，则异面直m 和n 之间的距离可转化为直线m 与平面α之间的距离。

方法二：高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算,直接计算公垂线段的长度。

点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解；

向量法：点到直线距离：在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n n

PA ⋅=PA 〈PA 〉=

点到平面的距离

方法一：几何法。步骤1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。

步骤2：计算线段PO 的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)

等体积法步骤：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ；③由V=3

1

S ·h ，求出h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离. 方法二：坐标法。

>⋅<⋅=AP n AP d cos n

AP n ⋅=

线面距、面面距均可转化为点面距

三、平行与垂直问题

证明直线与平面的平行：（1）转化为线线平行；（2）转化为面面平行. 证明平面与平面平行：（1）转化为线面平行；（2）转化为线面垂直.

证明线线垂直：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； 方法（2）：用线面垂直实现。 方法（3）：三垂线定理及其逆定理。

m l m l ⊥⇒⎭

⎬⎫⊂⊥ααPO l OA l PA l αα⊥⎫⎪

⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭

证明线面垂直：（1）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（2）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（3）

n m

α

θ

α

P O

A

n

O

A

P

α

转化为该直线垂直于另一个平行平面；（4）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

方法（1）：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。

αα⊥⇒⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎬⎫

⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC

l ,αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m , 面面垂直：

方法一：用线面垂直实现。

βαβα⊥⇒⎭

⎬⎫

⊂⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。

题型一：空间几何体的结构、三视图、旋转体、斜二测法

了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。能用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画某建筑物的视图与直观图。

例1.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

例 2.由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ．

正视图 左视图

例3.已知一个正四面体，其三视图均为边长为2的正方形，则这个正四面体的外接球的体积为 ．

例10：如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为( )

E

F D I

A H G B

C E

F D A

B

C

侧视

图1

图2

B

E

A ．

B

E

B ．

B

E

C ．

B

E

D ．

俯视图

l

β

α

m

l

β

α