专题向量的综合应用

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25 向量的综合应用

25 向量的综合应用改编：周海军一、知识要点高考中，以平面向量的数量积为工具，考察其综合应用，往往和函数、三角函数、不等式、解析几何等知识联系，以突出对向量的工具性的考察．二、课前预习1．定义θs i n ||||||⋅⋅=⨯b a b a ，其中θ为b a ,的夹角，若6,5||,2||-=⋅==b a b a ，则=⨯||b a ．2．若三点)0)(,0(),0,(),2,2(≠ab b C a B A 共线，则=+b a 11 ．3．在ABC ∆中，若对任意的实数m ，有||||AC BC m BA ≥-，则ABC ∆的形状为．4．在ABC ∆中，1,2,1200===∠AC AB BAC ，D 是边BC 上一点，BD DC 2=，则=⋅BC AD ．5．已知点O 为ABC ∆的外心，且2||,4||==B A AC ，则=⋅BC AO ．6．已知向量)0,1(),sin ,(cos ),sin ,(cos -===c b a ββαα．（1）求向量c b +长度的最大值；（2）设4πα=，且)(c b a +⊥，求βcos 的值．三、典例剖析例1．①在面积为2的ABC ∆中，F E ,分别是AC AB ,的中点，点P 在直线EF 上，则2BC PB PC +⋅的最小值是．②在A B C ∆中，过中线AD 中点E 任作一直线分别交AC AB ,于N M ,两点，设)0(,≠==xy AC y AN AB x AM ，则y x +4的最小值为．③已知0||2||≠=b a ，且关于x 的函数x b a x a x x f ⋅++=23||2131)(在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为．例2．已知点P 是圆122=+y x 上的一个动点，过点P 作x PQ ⊥轴于点Q ，设OQ OP OM +=．（1）求点M 的轨迹方程；（2）求向量OP 与OM 最大夹角的余弦值．例3．设函数b a x f ⋅=)(，其中向量R x x x b x a ∈==),2sin 3,(cos ),1,cos 2(．（1）若0)(=x f 且)0,2(π-∈x ，求x 2tan ；（2）设ABC ∆的三边c b a ,,依次成等比数列，求)(B f 的取值范围．四、作业反馈1．已知向量a 与b 的夹角为0120，且2||=a ，5||=b ，则=⋅-a b a )2( ．2．在直角坐标系中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,(cos -x Q ，其中],0[π∈x ，若向量OP 与OQ 垂直，则=x ．3．在ABC ∆中，030=∠A ，232BC AC AB =⋅，则ABC ∆中最大内角为．4．在ABC ∆中，O 为中线AM 上的一个动点，若2=AM ，则)(OC OB OA +⋅的最小值为．5．已知P N O ,,在ABC ∆所在平面内，||||||OC OB OA ==，0=++NC NB NA ，且PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则点P N O ,,依次是三角形的．（填序号）（1）重心外心垂心（2）重心外心内心（3）外心重心垂心（4）外心重心内心6．已知ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且02=++AC AB OA ，||||AB OA =，则=⋅CB CA ．7．给定的两个长度为1的平面向量OA 和OB ，他们的夹角为090，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈,，则xy 的范围是．8．在ABC Rt ∆中，斜边AB 长为1，E 为AB 的中点，AB CD ⊥，求)()(CE CA CD CA ⋅⋅⋅的最大值．9．平面内有向量)1,2(),1,5(),7,1(===OP OB OA ，点X 为直线OP 上的一动点．（1）当XB XA ⋅取最小值时，求OX 的坐标；（2）当点X 满足（1）的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值．10．已知)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ，O 为坐标原点．（1）若AB OC //，求αtan 的值；（2）若BC AC ⊥，求α2sin 的值；（3）若13||=+OC OA ，且),0(πα∈，求OC OB ,的夹角．11．G 是OAB ∆的重心，Q P ,分别是边OB OA ,上的动点，且Q G P ,,三点共线．（1）设OB y OQ OA x OP ==,，证明：yx 11+是定值；（2）记OAB ∆与OPQ ∆的面积为T S ,，求S T 的取值范围．。

专题5.4 平面向量的综合应用(重难点突破)(解析版)

专题5.4 平面向量的综合应用一、考情分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.二、经验分享考点一向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题。

考点二向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体。

考点三向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题。

三、题型分析重难点题型突破1 平行与垂直例1、.已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________. 【答案】22【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =. 故答案为：22．【变式训练1-1】、（山东省德州一中2018-2019学年期中）若，且，则实数的值是（）A ．-1B ．0C ．1D ．-2【答案】D 【解析】由得，，∴，故．【变式训练1-2】、（河北省示范性高中2019届联考）已知向量a ，b 满足2(1,2)a b m +=，(1,)b m =，且a 在b 25，则实数m =（） A 5B ．5±C ．2 D ．2±【答案】D【解析】向量a ，b 满足()21,2a b m +=，()1,b m =，所以0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22m a b ⋅=，()2225cos 152m b a m θ=+=，所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±.重难点题型突破2 平面向量与三角形例2、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】C【解析】由原等式，得OP ―→－OA ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，即AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，根据平行四边形法则，知AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.【变式训练2-1】、在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是________三角形．( ) A . 等边 B . 等腰 C . 直角 D . 等腰直角【答案】C .【解析】由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|，故△ABC 一定是直角三角形．【变式训练2-2】、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 内心B . 外心C . 重心D . 垂心【答案】C .【解析】由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD(D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，∴点P 的轨迹必过△ABC 的重心．【变式训练2-3】、如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O . 若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是___________．【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3ABAC= 重难点题型突破3 平面向量与三角函数结合例3．（河北省保定市2018-2019学年期末调研）过ABC ∆内一点M 任作一条直线，再分别过顶点,,A B C 作l 的垂线，垂足分别为,,D E F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的（）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心【答案】B【解析】因为过ABC ∆内一点M 任作一条直线，可将此直线特殊为过点A ，则0AD =，有0BE CF +=. 如图：则有直线AM 经过BC 的中点，同理可得直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点，所以点M 是ABC ∆的重心，故选B 。

含有向量的综合应用题

含有向量的综合应用题在数学和物理学中，向量是一种常见且重要的概念。

它不仅仅是一种数值，更是一个有方向和大小的量。

向量的应用广泛，可以用于解决各种实际问题。

本文将通过几个综合应用题，来探讨向量在实际问题中的运用。

问题一：风的影响某船沿着河流平行岸边行驶，船速为v米/秒。

当船行驶到一特定地点时，风使船受到了风压的侧向作用，导致船的速度相对于水流有一个斜角α。

已知风的速度为u米/秒，水流速度为w米/秒，请问船的速度v是多少？解析：为了解决这个问题，我们可以利用向量的方法。

以正北方向为y轴正方向，正东方向为x轴正方向，建立一个坐标系。

设船的速度v的向量表示为V，风速向量u表示为U，水流速度向量w表示为W。

由题目可知，船的速度相对于水流速度的角度为α，即向量V和向量W 之间的夹角为α。

由于船的速度受到了风的影响，船的速度与风速的向量和向量的和为零。

根据向量的性质，可以得到以下方程组：Vx + Ux = 0Vy + Wy = 0其中Vx，Vy分别表示向量V在x轴和y轴上的分量，Ux，Wy分别表示向量U和向量W在x轴和y轴上的分量。

又根据勾股定理可得：|V|^2 = Vx^2 + Vy^2|U|^2 = Ux^2 + Uy^2|W|^2 = Wx^2 + Wy^2利用向量的内积和模的定义，可以得到：Vx = -UxVy = -WyVx^2 + Vy^2 = (Ux + Wx)^2 + (Uy + Wy)^2将上述方程带入，再利用三角函数的关系，即可求得v的数值。

问题二：力的合成一个力的向量可以表示为F1 = 3i + 4j，另一个力的向量表示为F2 = 2i - 6j，若力F1和力F2的夹角为θ，求力的合成F。

解析：要求两个力的合成，可以使用向量的加法。

力F1和力F2的合成向量F可以表示为F = F1 + F2。

根据向量的加法运算，可以得到：F = (3i + 4j) + (2i - 6j)化简得：F = 5i - 2j力的合成F是一个向量，其中i和j分别表示x轴和y轴方向上的分量。

2022年高考数学总复习：平面向量的综合应用

第 1 页共 18 页 2022年高考数学总复习：平面向量的综合应用1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理 a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b ≠0垂直问题数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ，b 为非零向量夹角问题数量积的定义 cos θ＝a ·b |a ||b |(θ为向量a ，b 的夹角)，其中a ，b 为非零向量长度问题数量积的定义 |a |＝a 2＝x 2＋y 2，其中a ＝(x ，y )，a 为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题．2．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．3．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．4．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．知识拓展。

空间向量的应用综合练习题

空间向量的应用综合练习题空间向量是解决空间几何问题的重要工具，具有广泛的应用。

本文将为大家提供一些空间向量的应用综合练习题，帮助大家熟悉空间向量的使用方法。

1. 设A(1, 2, 3)，B(4, -1, 2)，C(-1, 3, 5)为空间中的三个点，求向量AB和向量BC的和。

解答：首先计算向量AB，AB = (4-1, -1-2, 2-3) = (3, -3, -1)；然后计算向量BC，BC = (-1-4, 3-(-1), 5-2) = (-5, 4, 3)；最后计算向量AB和向量BC的和，(3, -3, -1) + (-5, 4, 3) = (-2, 1, 2)。

2. 已知空间中一点A(1, 2, 3)和向量a(2, -1, 3)，求点A向量a的倍数为4时的点的坐标。

解答：点A向量a的倍数为4时，乘以4，得到坐标为(8, -4, 12)的点。

3. 已知向量a(-2, 1, 3)，向量b(4, -1, -2)，求向量a和向量b的点积以及它们的夹角。

解答：向量a和向量b的点积为a·b = (-2)(4) + (1)(-1) + (3)(-2) = -8 - 1 - 6 = -15。

向量a和向量b的模分别为|a| = √((-2)² + 1² + 3²) = √4 + 1 + 9 = √14，|b| = √(4² + (-1)² + (-2)²) = √16 + 1 + 4 = √21。

根据点积公式，可以计算出它们的夹角cosθ = (a·b) / (|a||b|) = -15 / (√14 * √21) ≈ -0.782，从而夹角θ ≈ arccos(-0.782) ≈ 139.2°。

4. 已知向量a(3, 2, -1)和向量b(-1, 1, 4)，求向量a和向量b的叉积以及它们的模。

解答：向量a和向量b的叉积为a × b = (2)(4) - (-1)(1), (-1)(-1) - (3)(4), (3)(1) - (2)(-1) = (11, -13, 7)。

平面向量的综合应用(高一)

平面向量的综合应用
知识
向量的概念
零向量、单位向量、共线向量、相等向量
解决
网
图形
络
共线向量定理
平面
加法、减法数乘向量
平面向量基本定理
的平行和比例
向量
问题的
初
向量
坐标表示
两向量的夹角公式
解决步图形应
的垂用
两向量数量积
向量垂直的充要条件直和角度,
两点的距离公式
长度问题
【复习巩固】
(1)已知 a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中 x∈(0，
π)．若|a·b|＝|a||b|，则 tanx 的值等于( A )
A．1
B．－1
C. 3
D.
2 2
【解析】由题知， sin2x ＝ 2sin2x ，即 2sinxcosx＝2sin2x，
∴cosx＝sinx，x∈(0，π)，∴tanx＝1.
uur
uur
(3)作用于原点的两u个ur 力它们平衡，需加力 F3 ＝
F1
＝(1,1)，F2 ＝(2,3)，为使 (－3，－4)．
(4)若 a，b，c 均为单位向量，且 a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，
则|a＋b－c|的最大值为( B )
A. 2－1
B．1
C. 2
D．2
【解析】由(a－c)·(b－c)≤0，a·b＝0，
2.用向量解决三角函数或函数问题其核心是利用向量为载体，通过向量坐标运算得到函数解析式，再通过所学的三角函数或函数知识解决问题。
3．几点注意事项 (1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合． (2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补． (3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积 a·b＝0，尽量用坐标运算．

向量的综合的应用与概率

向量的综合应用举例与概率1. 设平面内的向量)7,1(=OA , )1,5(=OB , )1,2(=OM ，点P 是直线OM 上的一个动点，求当PB PA ⋅取最小值时，OP 的坐标及∠APB 的余弦值．2. 已知向量→a =（2，2），向量→b 与向量→a 的夹角为43π，且→a ·→b =－2，（1）求向量→b ；（2）若)2cos2,(cos ,)0,1(2C A c t b t =⊥=→→→→且，其中A 、C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|→b +→c |的取值范围.3. 设x , y ∈R ，i 、j 为直角坐标系内x 、y 轴正方向上的单位向量，若a =x i +（y+2）j ，b =x i +(y－2) j 且a 2+b 2=16.（1）求点M （x, y ）的轨迹C 的方程；（2）过定点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OB OA OP +=，是否存在直线l 使四边形OAPB 为正方形？若存在，求出l 的方程，若不存在说明理由.1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ).A ．至少有1个白球；都是白球B ．至少有1个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；恰有2个白球D ．至少有一个白球；都是红球 2.如果事件A ，B 互斥，那么( ).A ．A ＋B 是必然事件 B ．B A 是必然事件C ．A 与B 一定互斥D ．A 与B 一定不互斥 3.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为X ，Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( ).A ．61 B ．365 C ．121 D ．214.向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3S ”的概率为．5.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率是0.28．若红球有21个，则黑球有个．6.一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率7.现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1) 求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．8.设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2 ＝0．若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．。

课题向量的综合应用

《平面向量的综合应用》教案一、教学目标:（1）知识目标：向量在代数和几何中的应用。

（2）能力目标：逐步培养学生观察、分析、综合的能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生分析问题和解决问题的能力（3）德育目标：培养学生发现意识，用变化、联系的观点处理数学的问题，激发学生学习兴趣。

二、教学重点：结合向量的几何意义及运算法则解决代数、几何中的问题。

三、教学难点：利用向量的坐标表示，将解析几何中的形转化为数的关系，是解析几何新的解题思想。

突破难点的关健：如何利用向量解决综合问题四、教学方法：采用启发、诱导、类比、归纳思维训练的教学方法五、教学过程：一引入：介绍向量的特点发及它在高考中的重要地位向量作为一种既有大小又有方向的量，既具备数的特性，又具备形的特性，向量融数与形于一体，具有代数与几何的“双重身份”，因而成为联系数和形的有力纽带，也成为处理数学问题的有力工具。

2009年高考三角与平面向量知识仍是考查的热点，约占25分左右，选择题、填空题、解答题都可能会出现。

平面向量还是以基本概念、基本运算为基础，但要重视它的工具性作用，向量与各部分知识的交汇仍将是高考命题的方向。

因此，向量与三角、向量与函数、向量与解析几何、向量与数列等的综合必须有针对性地加强训练。

二讲授新课一代数中的应用1 三角中的应用例一：已知OA =(2cos x ,sin x ),OB =(cos(x -π/3),x - sin x ),函数()f x =OA *OB (1)求()f x 的解析式、最小正周期、单调递减区间及函数图象的对称轴方程。

（2）求当()f x 取最大值时，cos ےAOB 的值。

2 函数中的应用例二：已知向量a =（x , m ）b =(1-x ,x )，其中m ε R ，若()f x =a *b（1）当m=3时，解不等式()f x <x(2) 如果()f x 在（-2,+∞）上单调递减，求实数m 的取值范围。

初中数学知识归纳向量的应用与解题方法

初中数学知识归纳向量的应用与解题方法初中数学知识归纳：向量的应用与解题方法在初中数学学习中，向量是一个重要而广泛运用的概念。

尤其在几何学和力学中，向量的应用更是十分常见。

本文将归纳向量的应用以及解题方法，让读者能更好地掌握这一内容。

一、向量的基本概念在数学中，向量是同时具有大小和方向的量，用箭头表示，比如AB。

向量由起点和终点组成，起点为向量的起始位置，终点为向量的结束位置，可以通过有向线段表示。

向量的大小可通过表示其长度的模来量化，记作|AB|。

向量的方向通常用与向量同方向的单位向量表示。

二、向量的表示与运算1. 向量的表示：向量可以使用坐标表示或分量表示。

坐标表示使用点的坐标差表示向量，如AB=(x2-x1, y2-y1)，其中(x1, y1)为起点，(x2, y2)为终点。

分量表示使用水平和垂直的分量表示向量，如AB=(a, b)，其中a为水平分量，b为垂直分量。

2. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。

向量的加法采用平行四边形法则，将向量首尾相连，以首尾相接的第二个向量为准，从第一个向量的起点开始到第二个向量的终点为所求向量的起点和终点。

3. 向量的数量积：向量的数量积又称为点积，记作A·B=|A||B|cosθ，其中θ为两向量夹角的余弦值，|A|、|B|分别表示向量的模。

数量积的结果是一个标量而不是向量，表示两个向量的相似程度。

三、向量的应用领域1. 几何学中的应用：向量在几何学中广泛应用于图形的平移、旋转和对称变换等方面。

通过对向量进行平移运算，可以将一个图形沿特定的方向平行地移动一段距离。

旋转运算则是围绕某一点将图形按照一定角度旋转。

对称变换是指以某条直线、点或者平面为对称轴，将一个图形按照一定方式进行翻转或镜像。

2. 力学中的应用：向量在力学中的应用比较多，特别是在描述力的作用和物体平衡问题上。

例如，当多个力作用于一个物体上时，可以通过合力的概念来求得物体所受合力的大小和方向。

向量的主要应用

向量的主要应用(1)向量是数学中证明几何问题的有效工具之一，根据平面向量的基本定理，任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合。

这样在证明几何问题时，可先把已知和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易地得出结论。

一般地，利用实数与向量的积可证明共线，平行等问题；利用向量的数量积可解决长度，角度等问题(2)向量的坐标表示把点与数联系了起来，进而可以把曲线与方程联系起来，这样就可以用代数方程研究几何问题，同时也可以用向量来研究某些代数问题(3)向量的数量积体现了向量的长度与三角函数间的关系，把向量的数量积应用到三角形中，能解决三角形的边角之间的有关问题(4)向量是从一些物理量中抽象出来的，它与物理学中的力学，运动学等有着密切的关系，用向量解决有关物理问题，可以先根据题意把物理量用有向线段表示出来，再转化为数学中的向量运算，求解向量在几何中的应用一般地，用向量研究平面几何问题的步骤是：(1) 寻找平面几何与向量之间的联系，用向量表示几何问题中涉及的几何问题，将平面几何问题转化为向量问题(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离，夹角等问题(3) 把运算结果“翻译”成几何语言向量的方法可运用于证明有关直线平行，垂直，线段的相等及点共线等问题，其基本方法有：(1) 要证明线段AB=CD ，可转化为证明AB CD =，或AB CD =(2) 要证明线段//AB CD ，只要证明存在一实数0λ≠，使AB CD λ=成立，且四个点不共线即可(3) 要证明线段AB CD ⊥，只要证明它们的数量积0AB CD ⋅=即可(4) 要证明A,B,C 三点共线，只要证明存在一实数0λ≠，是AB AC λ=成立；或设,,OA a OB b OC c ===，只要证明存在一个实数t ，使()1c ta t b =+-向量在物理中的应用(1) 向量与力向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的，用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上(2) 向量与速度，加速度与位移速度，加速度与位移的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，而运动的叠加用到了向量的合成(3) 物理上力做的功的实质就是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积向量在几何中的应用1. 平行四边形ABCD 中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC 的长C2. 已知点O 为ABC 所在平面内一点，222222OA BC CA OB OC AB +=+=+，证明：点O是ABC 的垂心3. 已知：AD,BE,CF 是ABC 的三条高，DG BE ⊥于G ，DH CF ⊥于H ，如图，求证：//HG EFAE F O H GBD C小结：用向量知识解决平面几何问题中证明线段相等或平行的问题，一般是转化为相应向量相等或平行来解决，如下：(1) 如果A,B,C 三点共线，欲证AB=BC ，则只需证AB BC =即可(2) 如果线段AB,CD 不平行，而要证它们相等，则需证明22AB BC =或证AB CD =向量在物理学中的应用1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学角度解释这种现象吗？向量在解析几何中的应用1. 求通过点()1,2A -且平行于向量()3,2a =的直线方程小结：向量知识在解析几何中的应用，主要涉及直线中平行，垂直和求直线方程的问题，解题中一般是利用求轨迹方程的方法，先在直线上设一动点(),P x y ，再根据条件(平行或垂直)建立x,y 的关系向量在不等式中的应用1. 利用向量方法解答下列问题(1) 设a,b 为不相等的正数，求证：()()()2442233a ba b a b ++>+(2) 对于x R ∈，试求函数y =小结：解答类似本题的题目时，在于恰当的构造向量，利用向量的不等式,m n m n a b a b ≥⋅-≤-。

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《平面向量的综合应用》课件ppt

C.－38
D.－14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，所以P→B＝(1－x，－y)， P→A＋P→C＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)，故(P→A＋P→C)·P→B＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2x－342＋2y－122－58，所以当 x＝34，y＝12时，平面向量与复数
§5.4 平面向量的综合应用[培优课]
题型一平面向量在几何中的应用
例 1 (1)如图，在△ABC 中，cos∠BAC＝14，点 D 在线段 BC 上，且 BD ＝3DC，AD＝ 215，则△ABC 的面积的最大值为____1_5__.
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为 BD＝3DC，A→D＝14A→B＋34A→C，又 AD＝ 215，cos∠BAC＝14，所以A→D2＝14A→B＋34A→C2＝116c2＋196b2＋38bccos∠BAC ＝116c2＋196b2＋332bc，
试用
a，b
表示D→E为__32_b_－__12_a_，若A→B⊥D→E，则∠ACB
π 的最大值为___6___．
D→E＝C→E－C→D＝32b－12a， A→B＝C→B－C→A＝b－a，由A→B⊥D→E得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b，所以 cos∠ACB＝|aa|·|bb|＝34b|2a＋||ba| 2≥24|3a||a|b|||b|＝ 23，
又145＝116c2＋196b2＋332bc＝41c2＋43b2＋332bc≥2×14c×43b＋332bc＝1352bc，当且仅当c＝3b时，等号成立. 所以 bc≤8，又 sin∠BAC＝ 415，所以 S△ABC＝12bcsin∠BAC≤12×8× 415＝ 15.

向量综合应用

向量的综合应用一、相关知识要点1、数量积的定义：θcos ||||⋅=⋅其中，o a ≠，o b ≠ θ是a 与b 的夹角，范围是πθ≤≤02、),(11y x =，),(22y x = 向量垂直的充要条件：⊥a b ⇔=⋅b a 002121=+⇔y y x x向量a 与非零向量b 共线的充要条件：//a b ⇔a b λ=1221y x y x =⇔3、向量的模：2121||y x +== 二、主要应用途径平面向量是高中数学近几年新增的内容，以向量为背景，一些传统的中学数学内容和问题就有了新的内涵，积极探索向量在数学中各方面的应用，不仅可深入了解数学教科书中新增内容和传统内容的内部联系，构建合理的数学知识结构；而且有利于拓展想象力，激发创新活力。

显现出向量作为一个工具在数学中的重要性由于向量集数、形于一体，也就是它既有代数的运算性质，又有几何的图形特征，因而许多代数、几何中的问题都可以转化为向量来处理，它不仅能解决数学学科本身的问题，跨学科应用也是它的一个特点。

主要包括以下几个方面：1、向量知识与三角知识的整合2、向量知识与几何知识的整合3、向量知识与函数知识的整合三、典型例题分析1、向量知识与三角知识的整合例1．设函数f(x)= ⋅, 其中向量=(2cosx,1)，=(cosx,3sin2x)，x ∈R.若将函数f(x)按向量=(m ，n) (|m|<2π)平移后得到函数y= 2sin2x 的图象，求分析：先通过向量的数量积建立函数关系式，再利用向量平移公式建立方程，求出m 、n解：依题设得：f(x)= ⋅= 2cos 2x+3sin2x=2sin(2x+6π) + 1，将函数f(x)的图象按向量=(m ，n)平移后得到函数。

y=2sin ［2 (x-m) +6π］+1 +n 的图象，即是函数 y=2sin2x 的图象. （由向量的关系转化为三角函数）∵ |m|<2π ∴m=12π ，n= - 1. 向量与三角函数结合，显得十分和谐、贴切。

向量的综合应用——专题培优、能力提升复习讲义

向量的综合应用——专题培优、能力提升
复习讲义
一、向量基础知识回顾
1. 向量的定义：向量是有方向和大小的量，用箭头表示。

2. 向量的表示方法：常见的表示方法有点表示法、坐标表示法和分解表示法。

3. 向量的运算：向量的加法、减法、数量乘法和点乘法。

二、向量的专题培优
1. 向量的模：向量的模是向量的长度，可以用勾股定理计算。

2. 向量的方向角：向量的方向角是与正坐标轴的夹角，可以用三角函数计算。

3. 向量的投影：向量的投影是指向量在某一方向上的分量，可以用点乘法计算。

三、向量的能力提升复
1. 向量的相等性：向量相等的条件是大小相等且方向相同。

2. 向量的平行性：向量平行的条件是方向相同或相反。

3. 向量的垂直性：向量垂直的条件是它们的点乘积为零。

四、综合应用练
1. 通过练题加深对向量基础知识的理解。

2. 进行向量的模、方向角、投影、相等性、平行性和垂直性的练。

3. 解答练题过程中要注意运用向量的运算法则和相关公式。

五、总结与归纳
1. 复向量基础知识是理解向量综合应用的前提。

2. 向量的综合应用需要灵活运用向量的运算法则和相关公式。

3. 通过练题巩固向量的应用技巧，提高应试能力。

六、附录
1. 相关公式和定理的整理。

2. 常见的向量综合应用题库。

高中数学A版必修第二册专题一平面向量的综合应用-课件

3
3
m， ∠AOB 内，且∠AOC＝30°，所以设 C
3
m ，m>0，由O→C＝xO→A＋yO→B(x，y∈R)，可得 m，
3
m ＝
m＝x，
x＝m，
x(1，0)＋y(0，3)．由向量的坐标运算可得
3m＝3y，即 3
y＝
93m，所以yx＝
m 3 ＝3
m
9
3.故选 C.
专题1 平面向量的综合应用
刷难关
k－λ＝0，
k＝1， k＝－1，
所以
解得
或
又因为λ>0，所以 k＝1.
λk－1＝0， λ＝1， λ＝－1，
专题1 平面向量的综合应用
刷难关
13 ，
16．已知向量 a＝( 3，－1)，b＝ 2 2 .
(1)求与 a 平行的单位向量 c； (2)设 x＝a＋(t2＋3)b，y＝－k·ta＋b，若存在 t∈[0，2]，使得 x⊥y 成立，求 k 的取值范围．
3
3
2
2
1 cos∠DAB＝－，所以∠DAB＝120°.故选 C.
2
专题1 平面向量的综合应用
刷难关
8．在边长为 1 的正方形 ABCD 中，M 为边 BC 的中点，点 E 在线段 AB 上运动，则E→C·E→M的取值范围是
(C)
1 ，2
A. 2
3 0， B. 2
13 ，
C. 2 2
D．[0，1]
1 |C→D|的取值范围为__(_2_，__1__]．
解析
如图．∵E 为 Rt△ABC 中斜边 AB 的中点，AB＝2，∴CE＝1.∵C→D·C→E＝1，即|C→D|·|C→E|·cos∠ECD＝1，

(第31讲)向量的综合应用

题目第五章平面向量向量的综合应用高考要求(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念(2)掌握向量的加法和减法(3)掌握实数与向量的积理解两个向量共线的充要条件(4)了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式并且能熟练运用掌握平移公式知识点归纳1向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质2重要定理、公式：(1)平面向量基本定理：21,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e aλλ+= (2)两个向量平行的充要条件：a ∥b ⇔a＝λb ⇔01221=-y x y x(3)两个向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a²b ＝O ⇔2121=+y y x x(4)线段的定比分点公式：设点P 分有向线段12P P所成的比为λ，即1P P ＝λ2PP，则OP ＝λ+111O P ＋λ+112O P(线段的定比分点的向量公式)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21（1O P ＋2O P ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x(5)平移公式：设点),(y x P 按向量),(k h a =平移后得到点),(y x P '''，则O P ' ＝OP +a 或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x ，曲线)(x f y =按向量),(k h a =平移后所得的曲线的函数解析式为：)(h x f k y -=- (6)正、余弦定理正弦定理：.2sin sin sin R Cc Bb Aa ===余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=⇔bc ac b A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔ca ba c B 2cos 222-+=C ab b a ccos 2222-+=⇔abcb a C 2cos 222-+=3两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a︱·︱b ︱cos θ其中︱b ︱cos θ=||a ba ⋅ 称为向量b 在a 方向上的投影4向量的夹角：已知两个非零向量a与b ，作O A =a , OB =b ,则∠AOB=θ（01800≤≤θ）叫做向量a与b 的夹角cos θ=cos ,a ba b a b∙<>=∙题型讲解例1 已知a 、b 是两个非零向量，当a+t b （t ∈R ）的模取最小值时，（1）求t 的值；（2）求证：b ⊥（a+t b ）分析：利用|a +t b |2=（a +t b ）2进行转换，可讨论有关|a +t b |的最小值问题，若能计算得b ²（a +t b ）=0，则证得了b ⊥（a+t b ）（1）解：设a与b 的夹角为θ，则|a +t b |2=（a +t b ）2=|a |2+t 2|b |2+2a²（t b ）=|a 2+t 2|b 2+2t |a |b |cos θ=|b |2（t +||||a b cos θ）2+|a |2sin 2θ，所以当t =－||||a b cos θ=－2||||cos ||θ a b b =－2⋅ a b |b |时，|a +t b |有最小值（2）证明：因为b ²（a +t b ）=b ²（a －2⋅ a b|b |²b ）=a ²b －a ²b =0，所以b ⊥（a⊥t b ）点评：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带来了很大的方便对|a +t b |的变形，有两种基本的思考方法：一是通过|a +t b |2=（a+t b ）2进行向量的数量积运算；二是设a、b 的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形读者可尝试用后一方法解答本题例2 已知OA =a ，OB =b ，a²b =|a －b |=2，当△AOB 面积取最大值时，求a与b 的夹角解：因为|a －b |2=4，所以a 2－2a ²b +b 2=4所以|a |2+|b |2=4+2a²b =8，S △AOB =21OA ²OB sin θ=21|a ||b|θ2cos 1-=21=21≤213，（当且仅当|a|=|b |=2时取等号）所以当|a|=|b |=2时，△AOB 的面积取最大值，这时，cos θ=⋅ a b |a ||b |=222⨯=21，所以θ=60°例3 如图，四边形MNPQ 是⊙C 的内接梯形，C 是圆心，C 在MN 上，向量CM 与P N 的夹角为120°，Q C ²Q M=2 （1）求⊙C 的方程；（2）求以M 、N 为焦点且过点P 、Q 的椭圆的方程分析：需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以C 为原点，MN 所在直线为x 轴，求⊙C 的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需求a 、b 即可解：（1）以MN 所在直线为x 轴，C 为原点，建立直角坐标系xOy ∵CM 与P N的夹角为120°，故∠QCM =60°于是△QCM 为正三角形，∠CQM =60°又Q C ²Q M =2，即|Q C ||Q M |cos ∠CQM =2，于是r =|Q C|=2故⊙C 的方程为x 2+y 2=4（2）依题意2c =4，2a =|QN |+|QM |，而|QN |=2224-=23，|QM |=2，于是a =3+1，b 2=a 2－c 2=23∴所求椭圆的方程为3242+x+322y=1评述：平面向量在解析几何中的应用越来越广，复习时应引起重视例 4已知平面向量11),(,22a b =-= 若存在不同时为零的实数k 和t,使 2(3),,.x a t b y ka tb x y =+-=-+⊥ 且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围解：（1）2,0.[(3)]()0.x y x y a t b ka tb ⊥∴⋅=+-⋅-+=即222210,4,1,4(3)0,(3).4a b a b k t t k t t ⋅===∴-+-==- 即（2）由f (t )>0,得21(3)0,(0.4t t t t t ->+->即t t -<<>则或例 5 已知A （－1,0），B （1,0）两点，C 点在直线032=-x 上，且,AC AB C A C B ⋅⋅ ,BA BC ⋅成等差数列,记θ为C A C B 与的夹角, 求tan θ解：设235(,),5124c y A C A B C A C B y B A B C ⋅=∴⋅=+⋅=-则又∵三者,AC AB C A C B ⋅⋅，BA BC ⋅ 成等差数列)23,23(23,43,422522±∴±=∴=∴=+∴c y yy当351(,,(,(,)222222c C A C B =--=-- 时︒<<︒∴=900,72cos θθ，23tan =∴θ同理23tan ,)23,23(=-θ时c例6 已知△OFQ 的面积为26，且O F FQ m ⋅=，（Ⅰ）若646<<m 时，求向量O F 与F Q的夹角θ的取值范围;（Ⅱ）设||O F c =，m =（146-）c 2时，若以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q ，当|O Q|取得最小值时，求此双曲线的方程解：（Ⅰ）由已知，得1||||s i n (62||||c o s O F F Q O F F Q m πθθ⎧⋅-=⎪⎨⎪⋅=⎩所以 tan θ=m64，∵646<<m∴1< tan θ<4，则4arctan 4<<θπ（Ⅱ）以为原点，O F所在直线为x 轴建立直角坐标系，设所求的双曲线方程为：12222=-by ax ，（a >0，b>0）， Q 点的坐标为（x 1，y 1），则11(,)FQ x c y =-，∵△OFQ的面积11||2O F y ⋅=∴y 1=c64，又由2111(,0)(,)()1)4O F FQ c x c y x c c c ⋅=-=-=-，所以 c x 461=，|O Q|=128396222121≥+=+c cy x ，当且仅当c=4时，|O Q|最小，此时Q 的坐标为（)6,6由此可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-16,1662222b a b a解之得224,12a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故所求的方程为112422=-y x例7 将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=ky y h x x 代入2x y -=，得到 kh hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有⎩⎨⎧-=-=2121y y x x由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k hx h x由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x解得)49,21(.49-==a k 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y xx 代入2x y -=得：22+--=x x y解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一学生练习1||||a b a b ==±是的A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件2若向量()1,1a = ，()1,1b =- ，()1,2c =- ，则c =A 1322a b -+B 32b -C 12b -D 3122a b -+3若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥ ，则向量a 与b 的夹角为A 30°B 60°C 120°D 150°4将抛物线742++=x x y 的图象按向量a平移，使其顶点与坐标原点重合，则a=（） A （2，3） B （－2，－3）C （－2，3）D （2，－3）5在△ABC中，已知||4,||1,ABC AB AC S AB AC ∆===⋅则的值为A －2B 2C ±4D ±26已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB共线的单位向量是A(1010e =-B()(,10101010=--或C (6,2)e =-D (6,2)(6,2)e =-或7设点P 分有向线段12P P 所成的比为43，则点P 1分2P P 所成的比为A 73-B 47-C 37-D 74-8已知(1,2),(3,2),3a b ka b a b ==-+-与垂直时k 值为A 17B 18C 19D 209已知函数2)32cos(++-=πx y 按向量a平移所得图象的解析式为)(x f y =，当)(x f y =为奇函数时，向量a可以是A )2,6(--πB )2,12(--πC )2,6(πD )2,12(π-10O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(),[0,),||||A B A CO P O A A B A C λλ=++∈+∞则P 的轨迹一定通过△ABC 的A 外心B 内心C 重心D 垂心 11如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠；②60=∠BAC ；③三棱锥D —ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直其中正确的是A ①②B ②③C ③④D ①④12下列四个命题，其中正确的个数有①对于实数m 和向量,,()a b m a b m a m b -=-恒有②对于实数m, n 和向量,()a m n a ma na -=-恒有③若(),m a m b m R a b =∈=则有 ④若(,,0),m a na m n R a m n =∈≠=则有A 1个B 2个C 3个D 4个13 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()O A O B O C +的最小值是14已知向量a ，b 满足|a| = 2，|b | = 3，两向量的夹角为60°，则||a b a b+=-15将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为16把一个函数图像按向量(,2)3a π=- 平移后，得到的图象的表达式为2)6sin(-+=πx y ，则原函数的解析式为17在△ABC 中，(0)BD D C λλ=> ，求证：AB ACAD +=18 设向量(3,1),(1,2)O A O B ==-，向量O C 垂直于向量OB ，向量BC 平行于O A ，试求,O D O A O C O D +=时的坐标17证明（一）：由11,,BD D C D C BD BC BD D C BC BD λλλλ+===+∴=得，中国现代教育网百万资源库，天天在更新！中国现代教育网百万资源库，天天在更新！于是1B D B C λλ=+ ，11D C B C λ=+ ，又,BD AD AB D C AC AD BD D C λ=-=-= 及，()AD AB AC AD λ∴-=- 即(1),1AB AC AD AB AC AD λλλλ++=+∴=+证明（二）：∵(0)BD D C λλ=> ， ∴()AD AB AC AD λ-=- ∵0λ>， ∴(1),1AB AC AD AB AC AD λλλλ++=+∴=+ 18解：设(,),,0,20O C x y O C O B O C O B y x =⊥∴⋅=-=① 又//,(1,2)3(2)(1)0BC O A BC x y y x =+---+= 即 73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x(14,7),(11,O C O D O C O A ∴==-= 于是课前后备注。

1.5 专题研究空间向量应用的综合问题

不妨设 z2＝2，则 y2＝1，x2＝1，n2＝(1，1，2). ∵二面角 P－A2C2－D2 为 150°，
∴－ 23＝－|cos〈n1，n2〉|＝－|n|n11·||nn22| |＝－
6 （t－1）2＋（3－t）2＋4·
， 6
∴t＝1 或 3，∴B2P＝1.
第6页
探究1
(1)在建立空标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标.
第15页
∴以点 O 为坐标原点，OC，OH，OE 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.
∵AB＝1，BE＝2， ∴A(－1，1，0)，B(－1，0，0)，C(1，0，0)，G(2，0， 3)，
则nn11· ·PA→→A2C2＝2＝0，0，∴2－x12＋x1（－12－y1＋t）2zz11＝＝00.，
不妨设 z1＝2，则 x1＝t－1，y1＝3－t，∴n1＝(t－1，3－t，2). 设平面 A2C2D2 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
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则nn22· ·AA→→22CD22＝＝00，，∴－－22xy22－＋2z2y＝2＋0.2z2＝0，
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(2)求图 2 中的二面角 B－CG－A 的大小.
【解析】 (2)如图，分别取 BC，AC 的中点为 O，H，连接 OE，OH，则 OH∥AB， ∴OH⊥BC.
∵四边形 BFGC 为菱形，且∠FBC＝60°， ∴OE⊥BC. 又∵AB⊥平面 BCGE，OE⊂平面 BCGE， ∴AB⊥OE. ∵BC⊂平面 ABC，AB⊂平面 ABC，AB∩BC＝B， ∴OE⊥平面 ABC，
∴A→C＝(2，4，0)，A→P＝(0，0，2)，D→E＝(2，－1，0).
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∵A→C·D→E＝2×2＋4×(－1)＋0×0＝0，A→P·D→E＝0×2＋0×(－1)＋2×0＝

高一数学向量的综合应用人教实验版(A)知识精讲

高一数学向量的综合应用人教实验版（A ）【本讲教育信息】一. 教学内容：向量的综合应用二. 重点、难点： 1. ba b a ⋅⋅=θcos2. 222b b a a b a +⋅+=+3. b a ,同向时，b a b a ⋅=⋅4. b a ⋅反向时，b a b a ⋅-=⋅5. b a b a ⋅≤⋅6. 222222b a b a b a +=-++【典型例题】[例1] 四边形ABCD 满足0=⋅+⋅+⋅+⋅AB DA DA CD CD BC BC AB ，判断ABCD 的形状。

解：由已知：0)()(=+⋅+DA BC CD AB0)()(=+++⋅+BA CB DC BC CD AB 0)]([)(=+-⋅+CD AB CD AB0)(2=+-CD AB ∴0=+CD AB ∴DC AB =同理AD BC =∴ABCD[例2] 四边形ABCD 中，AB DA DA CD CD BC BC AB ⋅=⋅=⋅=⋅，判断四边形ABCD 的形状。

解：CD BC BC AB ⋅=⋅∴0)(=⋅-BC CD AB 若0=-CD AB ∴CD AB =与四边形ABCD 不符 ∴BC CD AB ⊥-)(∵DA CD AB DA ⋅=⋅同理：DA CD AB ⊥-)(∴DA BC // 同理CD AB //DA BC λ=∴0)(=-⋅∴DA BC AB 0)1(=⋅-DA AB λ 0=⋅∴DA AB DA AB ⊥∴∴ 矩形ABCD[例3] O 为ABC ∆内一点，求2++OC OB OA 22的最小值。

解：令22OC OB OA S ++=2a AB =，b AC =，t AO =++=22OB OA S 2OC 222)()(t b t a t -+-+=][32)3(3)(23222222b a b a b a t b a t b a t ⋅-+++-=+++-=∴3b a t +=时，])([31222min b a b a S -++= ∴ O 为ABC ∆重心[例4] b a ,为非0，t+最小，并证明此时)(b t a b +⊥=+=∴2bb a t ⋅-==+此时，0)(2=⋅-⋅=⋅+⋅=+⋅b a b a b t b a b t a b ∴)(b t a b +⊥[例3,3==，b a ,夹角为︒30，λ为何值时，)(b a λ+与)(b a +λ夹角为锐角解：b a λ+与b a +λ方向相同 ∴1=λ∵)(b a λ+与)(a b λ+夹角为锐角 ∴)()(b a b a +⋅+λλ>0，且1≠λ0)1()(222>⋅⋅+++b a b a λλ029)1(122>⋅++λλ ∴03832>++λλ∴),374()374,(+∞+-⋃---∞∈λ ∴),1()1,374()374,(+∞⋃+-⋃+--∞∈λ[例6] A （4，0），B （0，4），C （ααsin 3,cos 3）（1）)0,(πα-∈=，求α；（2）若0=⋅BC AC ，求αααtan 12sin sin 22++的值。

向量的综合应用

向量的综合应用引言：向量作为数学中的重要概念，不仅在理论研究中有着广泛的应用，同时也被广泛运用于各个领域的实践中。

本文将从几个方面介绍向量的综合应用，包括向量的几何意义、向量与力的关系以及向量在导航系统中的应用等。

第一部分：向量的几何意义1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。

在空间中，向量通常有三个分量：x、y和z。

2. 向量的运算向量的几何运算包括加法、减法、数量乘法以及向量的数量积和向量积等。

3. 向量的平行和垂直关系两个向量平行的充要条件是它们的方向相同或者相反；两个向量垂直的充要条件是它们的数量积为零。

第二部分：向量与力的关系1. 力的概念和性质力是物体之间相互作用的产物，具有大小和方向。

力的作用可以改变物体的状态或者形状。

2. 向量描述力的特点根据牛顿第二定律，力可以用向量表示，即力的大小和方向有明确关系。

通过向量的运算，可以得到多个力合成后的结果。

3. 向量力的分解对于一个斜向上施加的力，可以通过向量的分解，将它拆分为与斜面平行和垂直的两个力，从而更好地理解力的作用。

第三部分：向量在导航系统中的应用1. GPS定位原理GPS定位系统通过卫星发射的信号，计算出接收器与卫星之间的距离，并利用向量的几何关系，确定接收器所在的具体位置。

2. 导航中的向量分析导航系统中，通过对当前位置和目标位置的向量进行分析，可以计算出最短路径，并指导行进方向，提高导航的准确性和效率。

3. 向量导航在现实生活中的应用向量导航不仅在汽车导航系统中得到广泛应用，同时也在航空、航海和无人机等领域中发挥着重要的作用，为人们提供方便和安全。

结论：通过上述内容，我们可以看到向量在几何、力学和导航系统等领域的广泛应用。

向量的综合应用不仅丰富了数学理论研究，同时也为我们日常生活中的各个方面提供了便利和解决问题的方法。

因此，理解和掌握向量的概念和运算是非常重要的。

向量的综合运用

向量的综合运用“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．透析近几年的高考试题，命题热点主要集中在：1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等几何问题。

．6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大.向量基本知识的综合（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值．命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．向量与解析几何的综合（江西卷13）直角坐标平面上三点(1,2)(3,2)(9,7)A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅= ．22（2006年陕西卷）如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --三动点D 、E 、M 满足 ,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈ （I ）求动直线DE 斜率的变化范围；（II ）求动点M 的轨迹方程。