专题 向量的综合应用

)如图,在同一个平面内,向量OA,
OB,
OC
的模分别为1,1,
2
,
OA与
OC
的夹角为α,
tan
α=7,
OB
与
OC
的夹角为45°.若OC=m
OA
+
n
OB
(m,n∈R),则
m+n=
.
答案 3
例2.(17江苏
)如图,在同一个平面内,向量OA,
OB,
OC
的模分别为1,1,
2
,
OA与
OC
的夹角为α,
tan
α=7,
450 , 则
m
?
n
A. 3 1
B. 3 1
C. 3 1 2
D. 3 1 A
2
答案：D B
M
450
C
变式2（湖南高考题）.
如图，OM / / AB，点P在射线OM，线段OB
及AB的延长线围成的区域（不含边界）内运动，
uuur 且OP
uuur xOA
uuur yOB，则当x=-
1 2
时，y
------------------------
专题 向量的综合应用
一 知识框架
加减
向 运算 数乘
量
的 初
数量积
等
运
共线定理
算 定理
基本定理
模
基底运算
选 择
夹角
坐标运算
二 课前演练
1.(17山东）已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,
则λ= -3 .
2.(15四川)设四边形ABCD为平行四边形,|
AB
|=6,
|
AD
|
=4.若点M,N满足
BM
=3MC
,
DN =2NC ,
则
AM
•
NM
=
(
答案) ：C
A.20
B.15
C.9
D.6
三 典题精讲
例1
(教材P 108
.4改编题).
已知ABC的外接圆的圆心为O，
uuur uuur AB=5,AC=6,求 AO • BC
C
答案： 11
O
2
A
B
三 典例精讲
变式1.(17北京)已知点P在圆x2+y2=1上,点A (-3,0),
O为坐标原点, 则AO• A·P 的最大值为
.
答案：12
变式2.（17课标2，12改编）
已知ABC是边长为2的等边三角形， uuur uuur uuur
P是平面ABC内一点，则PA • (PB PC)
的最小值为（
A.-2.
B.- 3 2
）
A
C.- 4 3
D.-1
B
答案：B
P
D
C
例2.(17江苏
4
法一：运用向量的几何意义，借助数形结合求解
如图，取AC中点O，连接DO,OM,则知：
uuuur B，D，O三点共线，故BM
uuur BO
uuuur OM
uuur = BO
1
uuur AP,
平方
P
2
uuuur |BM |2
uuur =（BO
1
uuur AP）2
2
9+
1
uuur +BO
•
uuur AP
rr
rr
rr
若（c-2a）•（2b-3c）=0，则|b-c|的最大值
为 ------------------
答案：2 1
五 小结
加减
向 运算 数乘
量
的 初
数量积
等
运
共线定理
算 定理
基本定理ຫໍສະໝຸດ Baidu
模
基底运算
选 择
夹角
坐标运算
B. 2
C. 5
D.2
答案：A
四 课堂验收：
1. 已知G为ABC的重心，点P是GBC内一点， uuur uuur uuur
若AP AB AC，则 的取值范围（ ）
A.(1 ,1) 2
A
B.(1, 3） 2
C.( 2 ,1) 3
D.(1, 2)
B
G P
C 答案：C
验收2：
rrr
r
rrr
已知向量a,b,c满足|a|= 2，|b|=a • b 3,
4
A DO M
=9+ 1 +3cos 49
C
4
4B
法二：运用坐标法求解
建系如图，A(2，0)，B(-1，3)，C(-1，- 3),P(2 cos，sin )
M (1 cos ，sin - 3 ),即uBuMuur =（3 cos ，sin -3 3 ）
2
2
2
2
uuuur |BM |2
=（3
cos
）2
+（sin
-3
3）2
B
Y
4
4
= 1（37+6 cos -6 3 sin）
4
= 1[37+12co（s + ）]
4
3
A
X
P
49
C
M
4
变式. (17课标Ⅲ)
在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为
圆心且与BD相切的圆上，若
AP =λ
AB
+μ AD
,
则λ+μ的最大值为 (
)
A.3
OB
与
OC
的夹角为45°.若OC=m
OA
+
n
OB
(m,n∈R),则
m+n=
.
分析法一：
m n
2
sin 450 sin sin(1350 )
m+n
2.
sin 450 sin sin(1350 )
A1
例2.(17江苏
)如图,在同一个平面内,向量OA,
OB,
OC
的模分别为1,1,
2
,
OA与
P
B
M
O
图2
A 答案：（1 ， 3） 22
例3. (16四川) 在平面内,定点A,B,C,D满足：
|
DA
|=|
DB
|=|
DC
|,
DA
·DB
= DB ·DC
=DC ·DA=-2,
动点P,M满足|AP
|=1,
PM
=MC
,则|BM
|2的最大值
是(
43
A. 4
)
49
B. 4
答案：B
C. 37 6 3
4
D. 37 2 33
OC
的夹角为α,
tan
α=7,
OB
与
OC
的夹角为45°.若OC=m
OA
+
n
OB
(m,n∈R),则
m+n=
.
分析法二：两边取数量积 uuur uuur uuur OC mOA nOB
分析法三：建系即可 分析法四：投影
变式1. 若正三角形ABC内一点M，满足
uuuur CM
uuur mCA
uuur nCB, MCA