高中数学复习系列柯西不等式
(完整版)高中数学：柯西不等式
(完整版)高中数学：柯西不等式柯西不等式是十九世纪三十年代德国数学家柯西的一项重要贡献，它是组合数学中的重要理论，也是非线性规划中常用的工具。
柯西不等式是关于凸集的一种重要结构性性质，它可以被应用于最大值与最小值、优化以及多元函数定理的证明。
柯西不等式是通过一种特殊的方式来研究凸集内部结构的，这种方式叫做“凸组合”，它指的是将凸集分割成几部分，每一部分都是对凸集的一种模拟，两个凸组合直接组合在一起可以构成一个新的凸集。
柯西不等式的英文全称为“Carathéodory’s ConvexCousin Theorem”，它是开始于1909年提出的，是关于凸组合的数学定理，它的英文解释为“如果凸组合的所有子集的每一个子组合都存在相应的点中，那么它们包含的点总数也至少有相应的数量”。
柯西不等式可以用来证明给定凸多面体 $V_1,V_2,V_3,\ldots,V_n$ 中任意 $m$ 个多面体组合在一起构成的凸组合多面体 $K$ 的点数至少为 $m$。
柯西不等式的应用不仅仅是理论上的，它也广泛地被用于工程上，总结一下它在工程上可以用来做什么：1、共轭梯度下降法：共轭梯度下降法是一种求解最优化问题的数值方法，用柯西不等式可以得到一个凸集的边界，从而得到一个最优解；2、统计学：柯西不等式可以用来处理多元函数，进而可以用来应用到多重相关性分析方面，从而推出统计学中的相关概率论；3、V-S型模型：柯西不等式可以用来优化可变结构模型中的V型凸组合，从而得到更具有效性的可变结构模型；4、路径规划：柯西不等式可以通过函数将多余的点过滤掉，从而得到更优的路径规划结果。
以上就是柯西不等式的内容，由于它的重要性，它已经广泛地被应用到多个学科领域，有助于构建凸组合分割、优化以及路径规划等问题。
综上所述，柯西不等式是一个重要的数学定理，它在研究凸集内部结构，求解最优化问题和构建凸组合分割、优化以及路径规划等问题中皆有广泛的应用，也是高中数学中的一项重要知识点。
(完整版)高中数学-公式-柯西不等式(最新整理)
第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则.22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法一：（比较法）=….=22222()()()a b c d ac bd ++-+2()0ad bc -≥证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++. （要点：展开→配方）222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+证法三：（向量法）设向量，，则，(,)m a b = (,)n c d = ||m = ||n = ∵ ，且，则. ∴ …..m n ac bd ∙=+ ||||cos ,m n m n m n =<> A A A ||||||m n m n ≤ A A 证法四：（函数法）设，则22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++≥0恒成立.22()()()f x ax c bx d =-+-∴ ≤0，即…..22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++③二维形式的柯西不等式的一些变式：或 .||ac bd ≥+||||ac bd ≥+ac bd ≥+④ 提出定理2：设是两个向量，则.,αβ ||||||αβαβ≤A 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线）β ,αβ⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d .≥ 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式→ 讨论：其几何意义？（构造三角形）2. 教学三角不等式：①出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈≥分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？112233,,,,,x y x y x y R ∈3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学过程：22222()()()a b c d ac bd ++≥+≥3. 如何利用二维柯西不等式求函数?y =+要点：利用变式.||ac bd +≤二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =+ 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→ 变式：→ 推广：y =+,,,,,)y a b c d e f R +=+∈② 练习：已知，求的最小值.321x y +=22x y + 解答要点：（凑配法）.2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+= 2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若，，求证：.,x y R +∈2x y +=112x y+≥分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：…2222111111()(]22x y x y x y +=++=++≥讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知、，求证：.a b R +∈11()()4a b a b++≥3. 练习：① 已知，且，则的最小值.,,,x y a b R +∈1a b x y+=x y + 要点：…. → 其它证法()a b x y x y x y +=++=② 若，且，求的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）,,x y z R +∈1x y z ++=222x y z ++变式：若，且的最大值.,,x y z R+∈1x y z ++=+第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？ 答案：；22222()()()a b c d ac bd ++≥+2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？||||||αβαβ≤ A ② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设，则1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++ 讨论：什么时候取等号？（当且仅当时取等号，假设）1212n n a a a b b b === 0i b ≠联想：设，，，则有，可联想到一1122n n B a b a b a b =+++22212n A a a a =++ 22212n C b b b =+++ 20B AC -≥些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点：令 ，则2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+.2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（又，从而结合二次函数的图像可知，222120n a a a ++⋅⋅⋅+>≤0[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++ A 22212()n b b b +++ 即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：. （讨论如何证明）222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+ 2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知，求的最小值.321x y z ++=222x y z ++ 分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若，且，求的最小值.,,x y z R +∈1111x y z++=23y z x ++③ 出示例2：若>>，求证：.a b c c a c b b a -≥-+-411 要点：21111()([()()]((11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=----② 提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:···;···.···是，···的任一排12a a ≤≤n a ≤12b b ≤≤n b ≤12,,c c n c 12,b b ,n b 列,则有···+ (同序和)1122a b a b ++n n a b +···+ (乱序和)1122a c a c ≥+n n a c+···+ (反序和)121n n a b a b -≥+1n a b 当且仅当···=或···=时，反序和等于同序和.12a a ==n a 12b b ==n b （要点：理解其思想，记住其形式）2. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设是n 个互不相同的正整数，求证：12,,,n a a a ⋅⋅⋅.32122211112323n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+ 分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？证明过程：设是的一个排列，且，则.12,,,n b b b ⋅⋅⋅12,,,n a a a ⋅⋅⋅12n b b b <<⋅⋅⋅<121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥ 又，由排序不等式，得222111123n>>>⋅⋅⋅> (332)2112222222323n n a a b b a b a b n n+++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥ 小结：分析目标，构造有序排列.② 练习：已知为正数，求证：.,,a b c 3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++ 解答要点：由对称性，假设，则，a b c ≤≤222a b c ≤≤于是 ，， 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++222222a a b b c c a b b c c a ++≥++两式相加即得.。
(完整版)高中历史-公式-柯西不等式
(完整版)高中历史-公式-柯西不等式介绍柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是代数学和数学分析中的一项基本不等式。
它是由法国数学家奥古斯特·柯西（Augustin-Louis Cauchy）发现的，是描述内积空间性质的重要定理之一。
在高中数学中，柯西不等式经常被用于解决一元二次方程组、线性方程组、向量的运算和证明等问题。
公式表达柯西不等式可以用以下数学公式来表达：对于实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有|∑(ai×bi)| ≤ √(∑(ai^2) × ∑(bi^2))其中，∑代表对所有i从1到n的求和。
这个公式的意义在于，两个向量的内积的绝对值小于等于它们的模的乘积。
证明思路证明柯西不等式的思路可以简化为以下几步：1. 将公式化简为一个关于t的一元二次方程。
2. 判断该方程的判别式是否小于等于0，如果是，则该方程无解，柯西不等式成立。
3. 如果判别式大于0，根据求解一元二次方程的公式可以得到两个解t1和t2。
4. 对求得的两个解进行讨论：- 如果t1和t2均在0到1之间，则柯西不等式成立。
- 如果t1和t2不全在0到1之间，则柯西不等式不成立。
应用示例柯西不等式可以在以下应用中发挥重要作用：1. 解决线性方程组：通过将线性方程组中的系数视为向量，使用柯西不等式可以对方程组求解。
2. 证明不等式：柯西不等式的证明思路可以应用于其他数学不等式的证明过程中，例如均值不等式、三角不等式等。
3. 向量运算：柯西不等式可以用于向量的模、向量夹角及向量的投影等问题的计算中。
小结柯西不等式是高中数学中常用的重要不等式之一，可以用于解决线性方程组、证明不等式和进行向量运算。
它的公式表达简洁清晰，证明思路相对简单。
熟练掌握柯西不等式的应用可以提高数学解题的能力，同时也有助于深入理解代数学和数学分析的相关知识。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式讲义含解析新人教A选修4_5_
一二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d为非负实数)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．[注意] 柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.3．二维形式的三角不等式(1)定理3：x21＋y21＋x22＋y22≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立．(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有(x1－x3)2＋(y1－y3)2＋(x2－x3)2＋(y2－y3)2≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．[例1] 已知θ为锐角，a ，b ∈R ＋，求证：a2cos2θ＋b2sin2θ≥(a ＋b )2.[思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin 2θ＋cos 2θ”，然后用柯西不等式证明．[证明] ∵a2cos2θ＋b2sin2θ＝⎝⎛⎭⎪⎫a2cos2θ＋b2sin2θ(cos 2θ＋sin 2θ)≥⎝⎛⎭⎪⎫a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ2＝(a ＋b )2，∴(a ＋b )2≤a2cos2θ＋b2sin2θ.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造成柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数．求证：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a1b1＋a2b2≥(a 1＋a 2)2.证明：∵(a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎪⎫a1b1＋a2b2＝[(a1b1)2＋(a2b2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a1b12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2b22 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a1b1·a1b1＋a2b2·a2b22＝(a 1＋a 2)2. ∴原不等式成立． 2．设a ，b ，c 为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥ 2(a ＋b ＋c )． 证明：由柯西不等式，得 a2＋b2·12＋12≥a ＋b ， 即2·a2＋b2≥a ＋b . 同理：2·b2＋c2≥b ＋c ， 2·a2＋c2≥a ＋c ， 将上面三个同向不等式相加得：2()a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥2(a ＋b ＋c ) ∴ a2＋b2＋ b2＋c2＋a2＋c2≥ 2(a ＋b ＋c )． 3．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a22－a ＋b22－b ≥2.证明：根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫a22－a ＋b22－b＝[(2－a)2＋(2－b)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a ·a2－a ＋2－b ·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4.∴a22－a ＋b22－b ≥4(2－a)＋(2－b)＝2. ∴原不等式成立.[例2] 求函数y ＝3sin α＋4cos α的最大值．[思路点拨] 函数的解析式是两部分的和，若能化为ac ＋bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值．[解] 由柯西不等式得(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin 2α＋cos 2α)＝25， ∴3sin α＋4cos α≤5.当且仅当sin α3＝cos α4>0即sin α＝35，cos α＝45时取等号，即函数的最大值为5.利用柯西不等式求最值的注意点(1)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以利用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．4．已知2x 2＋y 2＝1，求2x ＋y 的最大值．解：∵2x ＋y ＝2×2x ＋1×y ≤(2)2＋12×(2x)2＋y2＝3×2x2＋y2＝3，当且仅当x ＝y ＝33时取等号． ∴2x ＋y 的最大值为 3.5．求函数y ＝x2－2x ＋3＋x2－6x ＋14的最小值． 解：y ＝(x －1)2＋2＋(3－x)2＋5，y 2＝(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2×[(x －1)2＋2][(3－x)2＋5]≥(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2×[(x －1)(3－x )＋10]＝[(x －1)＋(3－x )]2＋(7＋210)＝11＋210.当且仅当x －13－x ＝25，即x ＝32＋52＋5时等号成立．此时y min ＝11＋210＝10＋1.1．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的大小关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥QD ．P ＞Q解析：选A 设m ＝(a x ，b y )，n ＝(a ，b)， 则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m ||n |＝(ax)2＋(by)2·(a)2＋(b)2＝ax2＋by2·a ＋b ＝ ax2＋by2， ∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2，即P ≤Q .2．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，2 5 ] B ．[－210，210 ]C ．[－10，10 ]D ．(－5，5)解析：选A (a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2， ∵a 2＋b 2＝10， ∴(a －b )2≤20. ∴－25≤a －b ≤2 5.3．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536D.3625解析：选B (2x 2＋3y 2)[(3)2＋(2)2]≥(6x ＋6y )2＝[6(x ＋y )]2＝6， 当且仅当x ＝35，y ＝25时取等号，即2x 2＋3y 2≥65.故2x 2＋3y 2的最小值为65.4．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3D ．5解析：选B 根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x)2＝5，当且仅当x ＝265时取等号．5．设xy >0，则⎝⎛⎭⎪⎫x2＋4y2⎝ ⎛⎭⎪⎫y2＋1x2的最小值为________．解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y2≥x ·1x ＋2y ·y 2＝9，当且仅当xy ＝2时取等号． 答案：96．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为________，此时b ＝________. 解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a |·|b |， ∴|a ·b |≤(－2)2＋12＋22×6＝18， 当且仅当存在实数k ， 使a ＝kb 时，等号成立． ∴－18≤a ·b ≤18， ∴a ·b 的最小值为－18， 此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)． 答案：－18 (4，－2，－4)7．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________． 解析：由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11，当且仅当x ＝411，y ＝311时取等号，故P ＝2x ＋y 的最大值为11. 答案：118．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝2.求证：1x ＋1y ≥2.证明：1x ＋1y ＝12(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝12[ (x)2＋(y)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2 ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫x · 1x ＋y ·1y 2＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xy＝y x ，x ＋y ＝2时等号成立，此时x ＝1，y ＝1.所以1x ＋1y≥2.9．若x 2＋4y 2＝5，求x ＋y 的最大值及此时x ，y 的值． 解：由柯西不等式得[x 2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122≥(x ＋y )2，即(x ＋y )2≤5×54＝254，x ＋y ≤52.当且仅当x 1＝2y12，即x ＝4y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4y2＝5，x ＝4y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－12(舍去)．∴x ＋y 的最大值为52，此时x ＝2，y ＝12.10．求函数f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin2x 的最大值，并求出相应的x 的值． 解：设m ＝(3,4)，n ＝(cos x ，1＋sin2x)， 则f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin2x ＝|m ·n |≤|m |·|n |＝cos2x ＋1＋sin2x ·32＋42 ＝52，当且仅当m ∥n 时，上式取“＝”．此时，3 1＋sin2x－4cos x＝0.解得sin x＝75，cos x＝325.故当sin x＝75，cos x＝325时．f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x取最大值5 2.。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
高中数学柯西不等式知识点
高中数学柯西不等式知识点高中数学中的柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一项重要的不等式定理，它在代数和几何中有着广泛的应用。
柯西不等式是由法国数学家Augustin-Louis Cauchy和德国数学家Hermann Amandus Schwarz在19世纪提出的，其形式为：对于任意实数或复数序列a₁, a₂, ..., aₙ和b₁, b₂, ..., bₙ，有：|a₁b₁+ a₂b₂+ ... + aₙbₙ| ≤√(a₁²+ a₂²+ ... + aₙ²) √(b ₁²+ b₂²+ ... + bₙ²)这个不等式可以用来比较向量的内积和向量的长度，它在线性代数、几何学、概率论、信号处理等领域具有广泛的应用。
柯西不等式的证明可以使用多种方法，其中最常见的是使用向量的内积和长度的性质进行推导。
以下是柯西不等式的一种证明方法：设向量u = (a₁, a₂, ..., aₙ)和v = (b₁, b₂, ..., bₙ)，考虑它们的内积(u·v)²：(u·v)²= (a₁b₁+ a₂b₂+ ... + aₙbₙ)²根据内积的性质，(u·v)²≤||u||²||v||²，其中||u||和||v||分别表示向量u和v的长度。
所以，有(u·v)²≤(a₁²+ a₂²+ ... + aₙ²)(b₁²+ b₂²+ ... + b ₙ²)再对上式两边取平方根，即可得到柯西不等式的形式：|a₁b₁+ a₂b₂+ ... + aₙbₙ| ≤√(a₁²+ a₂²+ ... + aₙ²) √(b ₁²+ b₂²+ ... + bₙ²)柯西不等式在数学中有着广泛的应用，一些常见的应用领域包括：1. 向量几何：柯西不等式可用于证明向量之间的夹角关系，以及证明向量的正交性。
高中数学_柯西不等式题库
³++ （3）改变结构：）改变结构：例3、若a >b >c 求证：求证：c a c b b a -³-+-411（4）添项：）添项：例4：+ÎR c b a ,,求证：23³+++++b a c a c b c b a【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a，则b a ；此时________________。
答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a£× ∴18£×b a ∴1818£×£-b ab a ×之最小值为-1818，此时，此时)4,2,4(2--=-=a b 【2】 设a = (1 (1，，0，- 2) 2)，，b = (x (x，，y ，z)z)，若，若x 2 + y 2= (x (x，，y ，z) ∴ a ．b = x - 2z 由柯西不等式由柯西不等式[1[122+ 0 + (- 2)22](x 22+ y 22+ z 22) ³ (x + 0 - 2z)22Þ 5 ´ 16 ³ (x - 2z)2Þ - 45£ x £ 45Þ - 45£a ．b £ 45，故a ．b 的最大值为45【3】(1,2,3)a = ，(,,)b x y z =，已知56b = ，则(1)a b × 的最大值为多少？的最大值为多少？(2)(2)(2)此时此时b =？Ans Ans：：(1) 28(1) 28：：(2) (2,4,6) 【4】设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。
的最小值。
Ans Ans Ans：：121【5】. . 设设x ，y ，z Î R R，且满足，且满足x 22+ y 22+ z 22= 5 5，则，则x + 2y + 3z 之最大值为之最大值为解(x + 2y + 3z)22 £ (x 22 + y 22 + z 22)(122 + 222 + 322) = 5 5．．14 = 70∴ x + 2y + 3z 最大值为70【6】 设x ，y ，z Î R R，若，若x 2 + y 2 + z 2= 4 4，则，则x - 2y + 2z 之最小值为之最小值为 时，时，(x (x (x，，y ，z) =解(x - 2y + 2z)2 £ (x 2 + y 2 + z 2)[12 + ( - 2) 2 + 22] = 4 4．．9 = 36∴ x - 2y + 2z 最小值为最小值为 - 6 柯西不等式教学题库大全基本方法基本方法 （1）巧拆）巧拆常数常数：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。
(完整版)高中化学-公式-柯西不等式
(完整版)高中化学-公式-柯西不等式高中化学-公式-柯西不等式1. 柯西不等式的基本概念柯西不等式，又称柯西-施瓦茨不等式，是数学中的一种重要不等式，用于描述向量空间中两个向量之间内积（或点乘）的上界。
2. 柯西不等式的表达式柯西不等式的表达式为：a·b ≤ ||a|| × ||b||其中，a和b为向量，||a||表示向量a的长度（模），||b||表示向量b的长度（模），a·b表示向量a和b的内积。
3. 柯西不等式的含义柯西不等式通过比较向量的长度和内积的关系，给出了向量之间的关系限制。
当向量a和b夹角为锐角时，a·b的值越大，则向量a和向量b的夹角越小；当向量a和b夹角为钝角时，a·b的值越大，则向量a和向量b的夹角越大。
4. 柯西不等式的推导为了推导柯西不等式，我们可以从向量的内积的定义入手，即：a·b = ||a|| × ||b|| × cosθ其中，θ表示向量a和向量b的夹角。
根据三角函数的性质，cosθ的值介于-1和1之间，所以：-||a|| × ||b|| ≤ a·b ≤ ||a|| × ||b||这就得到了柯西不等式的推导过程。
5. 柯西不等式的应用柯西不等式在数学和物理等领域都有广泛的应用。
在向量空间中，柯西不等式可用于推导其他重要不等式，如三角不等式、内积的性质等。
在物理学中，柯西不等式可用于推导能量不等式、功不等式等重要关系。
6. 总结柯西不等式作为数学中的重要不等式，可以帮助我们理解向量之间的关系限制。
通过比较向量的长度和内积的关系，柯西不等式给出了向量夹角大小的限制。
在实际应用中，柯西不等式有助于推导其他重要不等式和建立重要物理关系。
以上是对柯西不等式的介绍和应用的完整版文档。
柯西不等式高中总结
柯西不等式高中总结1. 什么是柯西不等式？柯西不等式是数学中一种常用的不等式，由法国数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy）所提出。
它是向量空间中的一种基本不等式，也可以用于数列、积分等的证明过程。
2. 柯西不等式表达形式柯西不等式有两种常见的表达形式： - 点积形式：对于两个向量（或者可以看作是序列）A和B，其点积（内积）满足如下不等式：(a1b1+a2b2+...+a n b n)2≤(a12+a22+...+a n2)(b12+b22+...+b n2)- 积分形式：对于两个函数f(x)和g(x)，定义在[a, b]上，其乘积的积分满足如下不等式：(∫fba (x)g(x)dx)2≤∫f2ba(x)dx⋅∫g2ba(x)dx3. 柯西不等式的证明与应用柯西不等式可以通过多种方式进行证明，常见的证明方法有几何法、代数法和积分法等。
3.1 几何法证明几何法证明柯西不等式可以通过利用向量的内积和几何意义进行推导。
可以将向量视为平面上的两条有向线段，然后通过几何分析来证明不等式的成立。
3.2 代数法证明代数法证明柯西不等式可以通过代数运算和推导来完成。
常见的代数证明方法包括完全平方展开、二次函数的性质等。
3.3 积分法证明积分法证明柯西不等式是一种常见的证明方法，适用于证明函数乘积积分形式的不等式。
可以通过对乘积函数进行适当的变形和积分运算，来证明不等式的成立。
柯西不等式在数学中具有广泛的应用，下面列举了一些常见的应用场景：•绝对值不等式的证明：通过构造合适的向量或者函数，可以证明一些绝对值不等式，如：|ab|≤√a2+b2•向量投影的性质：利用柯西不等式可以证明向量的投影满足一些特定的性质，如：|a·b|b||≤|a|•函数平方可积性：可以利用柯西不等式证明一些函数平方可积的性质，如：∫f2ba(x)dx<∞•等式成立性的判定：柯西不等式的等式成立条件为两个向量（或函数）之间存在线性关系，可以通过柯西不等式来判定等式的成立性。
高中数学柯西不等式
高中数学柯西不等式在整个高中数学课程中，柯西不等式是一个重要的话题，它涉及到大量的数学知识，同时又能够深入探讨数学思想。
本文将详细介绍柯西不等式及其相关知识点，以便对此有更深入的理解和认识。
首先，值得注意的是柯西不等式的定义，即柯西不等式是一种数学不等式，用于描述一组数的取值的范围。
根据定义，柯西不等式的主要目的是限定一组数在一定范围内取值，以保证函数的正确性。
此外，它还可以用于描述变量之间的关系，从而帮助数学家们推导出更复杂的公式。
接下来将着重介绍几种常见的柯西不等式，包括小于等于不等式、大于等于不等式、负号不等式和两边不等式等。
其中，小于等于不等式表示在范围内的数据均小于等于某一数；大于等于不等式表示在范围内的数据均大于等于某一数；负号不等式表示在范围内的数据均小于等于某一数或大于等于某一数；两边不等式表示在范围内的数据均大于某一数，或小于某一数。
柯西不等式可以用来解决各种数学问题，最常见的就是找出一组数据的取值范围。
例如，假设在一个三角形中，角A的边长为a，角B的边长为b，角C的边长为c，则可以用柯西不等式求出三角形中每一边的取值范围，从而确定三角形是否合理。
此外，柯西不等式还可以用于解决其他各种数学问题，例如求函数的极值，求多元函数的极值等。
为了更好地解决这些问题，除了柯西不等式之外，数学家们还引入了一系列其他的不等式，例如傅立叶不等式、黎曼不等式等。
最后，要特别提醒的是，在解决数学问题时，柯西不等式的应用仍然是一个重要的话题，需要学生加以重视。
通过科学的思考和扎实的计算，能够帮助学生更好地理解柯西不等式的概念，并有效地运用它们解决数学问题。
总而言之，柯西不等式是高中数学中重要的一个概念，它能够帮助学生更好地理解数学思想，并有效地应用到实际问题中去，而且还可以推导出更加具体的公式。
高中数学知识点：柯西不等式
高中数学知识点：柯西不等式
一、一般形式
((ai))((bi)) aibi)
等号成立条件：a1:b1=a2|||，=(a1，a2，…，an)，=(b1，b2，...，bn)(nN，n2)
要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。等号成立条件：为零向量，或=(R)。
向量形式的证明
要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
高中数学柯西不等式公式
高中数学柯西不等式公式
柯西不等式公式是高中数学中重要的数学工具，被广泛用于解决数学问题。
柯西不等式公式的数学表示形式为：
对于任意的 a₁, a₂, b₁, b₂∈ R，柯西不等式公式可以表示为：
(a₁b₁ + a₂b₂)² ≤ (a₁² + a₂²)(b₁² + b₂²)
其中，a₁, a₂分别为向量 A = (a₁, a₂) 的分量，b₁, b₂分别为向量 B = (b₁, b₂) 的分量，符号"≤" 表示小于等于。
从几何上来看，柯西不等式公式表示了两个向量点乘的平方不大于它们各自长度平方的乘积。
柯西不等式公式的重要性在于它为我们提供了判断两个向量之间的关系的数学工具。
当两个向量的点积的平方小于等于它们各自长度平方的乘积时，即(a₁b₁ + a₂b₂)² ≤ (a₁² + a₂²)(b₁² + b₂²)
我们可以得出结论，向量 A 与向量 B 之间满足柯西不等式，这样的结论在数学证明中常常被使用。
柯西不等式公式的应用非常广泛，例如在几何中，可以用来证明三角形的边长关系；在代数中，可以用来证明不等式问题。
它还与内积空间和内积范数有着密切的关系，是这些概念的基础。
总之，柯西不等式公式是高中数学中重要的数学工具，用于判断两个向量之间的关系。
了解和掌握柯西不等式公式的用法，有助于解决各种数学问题，并拓展数学思维。
柯西不等式高中公式
柯西不等式高中公式柯西不等式是数学中的一种重要的不等式，它由法国数学家Augustin Louis Cauchy于1821年提出。
柯西不等式在初等数学中具有广泛的应用，特别在高中数学课程中经常用到。
本文将介绍柯西不等式的公式及其应用。
柯西不等式的公式表达为：(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2其中，a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn为任意实数。
这个公式说明了一个重要的性质：两个向量的内积的平方，不会超过这两个向量长度的乘积。
更具体地说，左边的乘积是两个向量的模的平方之和，而右边的乘积是这两个向量的内积的平方。
柯西不等式的证明也很简单。
我们可以通过向量的几何性质来理解柯西不等式，假设有两个向量a和b，它们之间的夹角为θ。
我们可以将向量a和b进行单位化，即将其长度除以模来得到单位向量A和B。
假设A和B的坐标分别为(a1/||a||, a2/||a||, ..., an/||a||)和(b1/||b||, b2/||b||, ..., bn/||b||)。
根据两个向量的定义，它们的内积为：a·b = ||a|| ||b|| cos(θ)而向量A和B的长度为1，所以：A·B = (a1/||a||)(b1/||b||) + (a2/||a||)(b2/||b||) + ... +(an/||a||)(bn/||b||) = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)/(||a|| ||b||)根据三角函数的性质，cos(θ)的取值范围是[-1, 1]。
所以，a·b的取值范围也是[-||a|| ||b||, ||a|| ||b||]。
平方后即得：(a·b)^2 ≤ (||a|| ||b||)^2由于a·b是一个实数，所以(a·b)^2 ≥ 0。
柯西不等式的公式
柯西不等式的公式柯西不等式可是数学中的一个厉害家伙！它的公式看起来有点复杂，但用起来那是相当给力。
柯西不等式的一般形式是：(a₁² + a₂² +... + an²)(b₁² + b₂² +... + bn²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂ +... + anbn)²。
当且仅当 a₁/b₁ = a₂/b₂ =... = an/bn 时，等号成立。
咱们来举个例子感受一下它的威力。
比如说，有个班级组织跑步比赛，小明、小红、小刚、小花他们的跑步速度分别是 a₁、a₂、a₃、a₄，而他们跑步的时间分别是b₁、b₂、b₃、b₄。
那根据柯西不等式，就能算出他们在一定条件下的总路程的范围。
我还记得之前给学生们讲柯西不等式的时候，有个小调皮鬼一直嚷嚷着说这公式太难记，根本用不上。
我就笑着跟他说：“你可别小瞧它，等你以后解决一些复杂的数学问题，就知道它的妙处啦！” 然后我给他出了一道题：已知 a₁ = 3，a₂ = 4，b₁ = 2，b₂ = 1，让他算算是不是满足柯西不等式。
这小家伙一开始还抓耳挠腮的，后来在我的引导下，一步步算出结果，发现果然符合柯西不等式，那表情，从一开始的怀疑瞬间变成了惊喜和佩服。
柯西不等式在几何上也有很棒的解释。
想象一下有两个向量，一个是 (a₁, a₂,..., an) ，另一个是 (b₁, b₂,..., bn) ，那么柯西不等式就表示这两个向量的内积的绝对值不会超过它们长度的乘积。
这就好像两个小伙伴在比谁走的路程远，但是受到各自的速度和时间限制一样。
在物理中，柯西不等式也有用武之地。
比如在研究力和位移的关系时，不同方向的力和对应的位移，它们之间的关系就可以通过柯西不等式来分析。
而且在实际生活中，柯西不等式也能帮我们解决一些问题呢。
比如规划资源分配，计算最优方案等等。
总之，柯西不等式这个公式虽然看起来有点让人头疼，但只要深入理解，多做练习，就能发现它就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多数学难题的大门，让我们在数学的世界里畅游无阻。
柯西不等式6个基本公式和例题
柯西不等式6个基本公式和例题柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，主要用于研究向量空间中的内积和范数。
在不等式的形式上，柯西不等式可以表示为：\[ \left| \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right|^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \]其中 \(a_i\) 和 \(b_i\) 分别为向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 的分量。
下面是柯西不等式的六个基本公式和相应的例题：1. \textbf{基本公式1：} 如果 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 是向量空间中的任意两个向量，那么柯西不等式可以表示为：\[ \left| \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \right|^2 \leq \left\| \mathbf{a} \right\|^2 \cdot\left\| \mathbf{b} \right\|^2 \]其中 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) 表示 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 的内积，\(\left\| \mathbf{a} \right\|\) 表示 \(\mathbf{a}\) 的范数。
\textbf{例题1：} 给定向量 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)和 \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)，求 \(\left| \mathbf{a} \cdot\mathbf{b} \right|^2\) 和 \(\left\| \mathbf{a} \right\|^2 \cdot \left\| \mathbf{b} \right\|^2\)。
高考数学柯西不等式知识点总结
高考数学柯西不等式知识点总结柯西不等式和排序不等式是两个非常重要的不等式，它们在高等数学中的应用很普遍。
下面店铺给大家带来高考数学柯西不等式知识点，希望对你有帮助。
高考数学柯西不等式知识点(一)所谓柯西不等式是指:设ai，bi∈R(i=1，2…，n，)，则(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)，等号当且仅当==…=时成立。
柯西不等式证法:柯西不等式的一般证法有以下几种：(1)柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai，bi，则有(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.我们令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)则我们知道恒有f(x) ≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.于是移项得到结论。
(2)用向量来证.m=(a1，a2......an) n=(b1，b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX.因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)这就证明了不等式.柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法.柯西不等式应用:可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。
巧拆常数：例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)分析：∵a 、b 、c 均为正数∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又 9=(1+1+1)(1+1+1)证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。
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高中数学复习系列---不等式（柯西不等式）【柯西不等式的主要内容】 1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则 当且仅当 时, 等号成立. 变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i i a b R∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当 时, 等号成立. (若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).变式10.设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>=L 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( .当且仅当 时, 等号成立. 变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>=L 则：∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(. 当且仅当n b b b ===Λ21时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！ ☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内 解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC V 外接圆 的半径，例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
例5 (证明不等式)设,121+>>>>n n a a a a K 求证:011111113221>-+-++-+-++a a a a a a a a n n n Λ【同步训练】1.已知12,,,n a a a R +∈L ，求证：222212121()n n a a a a a a n+++≤+++L L2.已知,,,a b c d 是不全相等的正数，求证：2222a b c d ab bc cd da +++>+++3.已知222231,x y z x y z ++=++求的最小值.4.设12n ,x ,x R ,x +∈L 12n x x 1,x +++=L 且 求证：2221212x 11x 111n n x x x x n +++≥++++L5.已知实数,,,,a b c d e 满足8a b c d e ++++=, 2222216,a b c d e ++++= 求e 的取值范围.6.已知,,,x y z R +∈ 且1,x y z ++= 求证：14936x y z++≥7.已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 2223333a b c a b c ++++≥8.若n 是不小于2的正整数，试证：411111172342122n n <-+-++-<-L 。
参考答案:一般形式的柯西不等式： 设n 为大于1的自然数，,i ia b R ∈(=i 1,2,…,n )，则：211212)(∑∑∑===≥ni i i n i i ni ib a b a ，其中等号当且仅当nn a b a b a b ===Λ2211时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ). 等号成立当且仅当)1(n i a b i i ≤≤=λ 柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的 不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便 地解决一些中学数学中的有关问题。
例1 解：由柯西不等式得，有 ()()2222111236236b c db c d ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭即()2222236b c d b c d ++≥++ 由条件可得， ()2253a a -≥-解得，12a ≤≤==时等号成立， 代入111,,36b c d ===时， max 2a = 211,,33b c d ===时 min 1a =例2解：由柯西不等式，得()()()()222222286248624x y z x y y ⎡⎤++-++-≥-+-⎣⎦①Q ()()()2222228624x y z⎡⎤++-++-⎣⎦()2964364144394=⨯++⨯=又()22862439x y y -+-=. ()()()()222222286248624x y z x y z ⎡⎤++-++-=-+-⎣⎦即不等式①中只有等号成立.从而由柯西不等式中等号成立的条件，得8624x y z==-- 它与862439x y y -+-=联立，可得613x =- 926y = 1813z =-例3证明：由柯西不等式得，+=≤记S 为ABC V 的面积，则2242abc abcax by cz S R R++===g≤=≤故不等式成立。
例4 证明：由柯西不等式，得()[]()[]11111222222=-+-+≤-+-b b a a a b b a当且仅当a b ab2211-=-时，上式取等号， ,1122b a ab -•-=∴ ()(),112222b ab a --=于是 122=+b a 。
例5 分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：(),11111322111>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-•-++n n n a a a a a a a a Λ证明：为了运用柯西不等式，我们将11+-n a a 写成()()()1322111++-++-+-=-n n n a a a a a a a a Λ于是()()()[].111121322113221>≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-•-++-+-++n a a a a a a a a a a a a n n n n ΛΛ 即(),1111111111132211322111++++->-++-+-∴>⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-•-n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ΛΛ故.011111113221>-+-++-+-++a a a a a a a a n n n Λ我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。
练习1．证：22222221212(111)()(111)n n a a a a a a ++++++≥⋅+⋅++⋅L L L ∴ 22221212()()n n n a a a a a a +++≥+++L L∴222212121()n na a a a a a n+++≤+++L L 2、2222222222222222222:()() (),,,,()() a a c d b c d a ab bc cd da a b c da b c d b c d aa b c d ab bc cd da b c d ab bc cd da++++++≥+++∴===∴+++>++++++>+++Q 证明是不全相等的正数不成立即3．2222222222222:()(123)(23)1114113,,12314714114x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++++≥++=∴++≥=====++解当且仅当即时取最小值4、2221212221212122n n 2212:(1)()111 (1x 11)(11x )1x ()1n nn n x x x n x x x x x x x x x x x x +⋅++++++=++++++⋅+++++≥+++=+++=L L L L L 证明 5．22222222222222: 4(a ) (1111)() (a b c d)4(16)(8),6446416165160,05b c d a b c d e e e e ee e e +++=++++++≥+++-≥--≥-+∴-≥≤≤Q 解即即故6．2222:149149()()3611,,,,49632.x y z x y z x y zx y z x y z ++=++++≥======证法一用柯西不等式当且仅当即时等号成立:149149()()()494914()()()144612361112,3,,,,632x y z x y z x y z x y z x y zy x z x z yx y x z y zy x z x x y z ++=++++++++=++++++≥+++======证法二代入法当且仅当即时等号成立7．证明：利用柯西不等式()23131312222222222ab ca ab bc c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭[]222333222a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()2333a b c a b c =++++ ()1a b c ++=Q又因为 222a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c ++ 得：()()2223a b c a b c++≤++()()()22223332223a b c a b c a b c ++≤++•++Q故2223333a b c a b c ++++≥9、证明：证明：1111111111111(1)2()2342122342242n n n n-+-++-=+++++-+++-L L L 111122n n n=+++++L所以求证式等价于411171222n n n <+++<++L 由柯西不等式有2111()[(1)(2)2]122n n n n n n n++++++++>++L L 于是：2111241122(1)(2)273n n n n n n n n+++>=≥++++++++L L又由柯西不等式有111122n n n +++<++L2<==。