高中数学复习系列柯西不等式

高中数学复习系列---不等式（柯西不等式）

【柯西不等式的主要内容】 1. 柯西主要贡献简介：

柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则 当且仅当 时, 等号成立. 变式10.

若,,,a b c d R ∈，则||2

222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；

变式20. 若,,,a b c d R ∈

；

变式30

.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：

3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，

,i i a b R

∈(=i 1,2,…,n )，

则： .当且仅当 时, 等号成立. (若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).

变式10.

设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>=L 则：∑∑∑≥

=i i n

i i

i

b a b a 212

)( .当且仅当 时, 等号成立. 变式20

. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>=L 则：∑∑∑≥=i

i i n

i i i b a a b a 2

1)(. 当且仅当n b b b ===Λ21时,等号成立.

如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！ ☆ 柯西不等式的应用：

例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值

例2 在实数集内 解方程222

94

862439

x y z x y y ⎧++=⎪

⎨⎪-+-=⎩

例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC V 外接圆 的半径，

例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：12

2=+b a 。

例5 (证明不等式)设,121+>>>>n n a a a a K 求证:01

1111

113221>-+-++-+-++a a a a a a a a n n n Λ

【同步训练】

1.已知12,,,n a a a R +

∈L ，求证：

222212121

()n n a a a a a a n

+++≤+++L L

2.已知,,,a b c d 是不全相等的正数，求证：2

2

2

2

a b c d ab bc cd da +++>+++

3.已知222231,x y z x y z ++=++求的最小值.

4.设12n ,x ,x R ,x +∈L 12n x x 1,x +++=L 且 求证：222

1212x 1

1x 111

n n x x x x n +++≥

++++L

5.已知实数,,,,a b c d e 满足8a b c d e ++++=, 2

2

2

2

2

16,a b c d e ++++= 求e 的取值范围.

6.已知,,,x y z R +∈ 且1,x y z ++= 求证：149

36x y z

++≥

7.已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 222

3

3

3

3

a b c a b c ++++≥

8.若n 是不小于2的正整数，试证：411111172342122

n n <-+-++-<-L 。

参考答案:

一般形式的柯西不等式： 设n 为大于1的自然数，,i i

a b R ∈(=i 1,2,…,n )，则：2

1

1

2

1

2

)(∑∑∑===≥n

i i i n i i n

i i

b a b a ，

其中等号当且仅当

n

n a b a b a b ===Λ22

11时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ). 等号成立当且仅当)1(n i a b i i ≤≤=λ 柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的 不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便 地解决一些中学数学中的有关问题。 例1 解：由柯西不等式得，有 (

)()2

222

111236236b c d

b c d ⎛⎫

++++≥++ ⎪⎝⎭

即()2

2

2

2

236b c d b c d ++≥++ 由条件可得， ()2

2

53a a -≥-

解得，12a ≤≤

==

时等号成立， 代入11

1,,36b c d ===时， max 2a = 21

1,,33

b c d ===时 min 1a =

例2解：由柯西不等式，得

(

)()()()222

222286248624x y z x y y ⎡⎤++-++-≥-+-⎣

⎦

①

Q (

)()

()2

2

222

28624x y z

⎡⎤++-++-⎣⎦()2964364144394

=⨯++⨯=

又()22

862439x y y -+-=. (

)()()()222222286248624x y z x y z ⎡⎤++-++-=-+-⎣

⎦

即不等式①中只有等号成立.

从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

8624x y z

==

-- 它与862439x y y -+-=联立，可得613x =- 926y = 18

13

z =-

例3证明：由柯西不等式得，

+=≤记S 为ABC V 的面积，则

2242abc abc

ax by cz S R R

++===g

≤

=≤

故不等式成立。

例4 证明：由柯西不等式，得()[]()[]

11111222222=-+-+≤-+-b b a a a b b a