有理函数及三角函数有理式的积分
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例20
f (x) x4 x3 x x3 1 1
x 1
x 1
多项式的积分问题已解决, 故本节重点讨论真分式的 积分法. 为此需注意以下几个问题:
1.由代数学知, 任何多项式
在实Q数m (范x围) 内总能分
解成一次因式和二次质因式的乘积, 即
Qm (x) b0 (x a)k L (x b)s (x2 px q) L (x2 rx t) 其中 b0 , a,L , b, p, q,L为常, r数, t; k…, s‚ α ,…, β为正整
)
1 2
d (1 x2 ) (1 x2 )2
dx (1 x2 )2
ln 1 x2
1 2(1 x2 )
dx (1 x2 )2
而 dx (1 x2 )2
x tan t
cos2 tdt 1 (1 cos 2t)dt 2
1 2
t
1 4
sin
2t
C
1 2
arctan
x
x 2(1
x2
)
C
则
2x3 x (1 x2
数,且 k L s 2 L 2 m; p2 4q 0,L , r2 4t 0.
1
2.任何一个真分式 分式之和.
P均n 可(x唯) 一地分解为若干个部分 Qm (x)
例21
求
x2
2x 1 5x
6
dx
解
因
2x 1 x2 5x 6
2x 1 (x 3)(x 2)
设
2x 1 x2 5x
dx
4x2 20x 31
解
原式
(2x
dx 5)2
6
1 2
d (2x 5) (2x 5)2 ( 6)2
1 arctan 2x 5 C
26
6
3
例23
求
2x3 x 1 (1 x2 )2
dx
解
设
2x3 x (1 x2 )2
1
Ax B 1 x2
Cx (1
D x2 )2
1 u2 1－u2
1 (1 u)du 1 ln u u2 C
2u
2
4
1 ln tan x 1 tan2 x C
2
24 2
7
通分 ( Ax B)(1 x2 ) (Cx D)
(1 x2 )2
比较等式两端x同次幂的系数,得
A 2
A 2
B 0
A
C
1
B 0 C 1
B D 1
D 1
4
于是,
2x3 x (1 x2 )2
1
dx
2x
[ 1
x
2
x 1 (1 x2 )2
]dx
d (1 x2 1 x2
,
tan
x
2u 1 u2
,
便可使计算得以简化。
或令 u tan x 亦可。
例24 求
dx
sin x tan x
6
解
设
u
tan
x ，则有 2
sin
x
2u 1 u2
,
tan
x
1
2u u2
,
dx
2du 1 u2
2du
dx
sin x tan x
1 u2 2u ＋ 2u
1 u2 du Baidu Nhomakorabeau
6
A x3
B
通分
x2
A(x 2) B(x 3) x2 5x 6
比较等式两端x同次幂的系数,得
A B 2 2A 3B
1
A B
5 3
2
则
x
2
2x 1 5x
5
dx
5 dx x3
3 dx x2
5ln x 3 3ln x 2 C
(x 3)5
ln
C
x 2)3
例22 求
1 )2
dx
ln
1
x
2
1 2
[11xx2
arctan x] C
5
二.三角函数有理式的积分 当被积函数为三角函数有理式时，有时采用“万能代换” 更加有利于不定积分的计算。
特别地，当被积函数中的正、余弦函数的角变量为x
或2x时，通常
设
u
tan
x ，则有 2
sin
x
2u 1 u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
f (x) x4 x3 x x3 1 1
x 1
x 1
多项式的积分问题已解决, 故本节重点讨论真分式的 积分法. 为此需注意以下几个问题:
1.由代数学知, 任何多项式
在实Q数m (范x围) 内总能分
解成一次因式和二次质因式的乘积, 即
Qm (x) b0 (x a)k L (x b)s (x2 px q) L (x2 rx t) 其中 b0 , a,L , b, p, q,L为常, r数, t; k…, s‚ α ,…, β为正整
)
1 2
d (1 x2 ) (1 x2 )2
dx (1 x2 )2
ln 1 x2
1 2(1 x2 )
dx (1 x2 )2
而 dx (1 x2 )2
x tan t
cos2 tdt 1 (1 cos 2t)dt 2
1 2
t
1 4
sin
2t
C
1 2
arctan
x
x 2(1
x2
)
C
则
2x3 x (1 x2
数,且 k L s 2 L 2 m; p2 4q 0,L , r2 4t 0.
1
2.任何一个真分式 分式之和.
P均n 可(x唯) 一地分解为若干个部分 Qm (x)
例21
求
x2
2x 1 5x
6
dx
解
因
2x 1 x2 5x 6
2x 1 (x 3)(x 2)
设
2x 1 x2 5x
dx
4x2 20x 31
解
原式
(2x
dx 5)2
6
1 2
d (2x 5) (2x 5)2 ( 6)2
1 arctan 2x 5 C
26
6
3
例23
求
2x3 x 1 (1 x2 )2
dx
解
设
2x3 x (1 x2 )2
1
Ax B 1 x2
Cx (1
D x2 )2
1 u2 1－u2
1 (1 u)du 1 ln u u2 C
2u
2
4
1 ln tan x 1 tan2 x C
2
24 2
7
通分 ( Ax B)(1 x2 ) (Cx D)
(1 x2 )2
比较等式两端x同次幂的系数,得
A 2
A 2
B 0
A
C
1
B 0 C 1
B D 1
D 1
4
于是,
2x3 x (1 x2 )2
1
dx
2x
[ 1
x
2
x 1 (1 x2 )2
]dx
d (1 x2 1 x2
,
tan
x
2u 1 u2
,
便可使计算得以简化。
或令 u tan x 亦可。
例24 求
dx
sin x tan x
6
解
设
u
tan
x ，则有 2
sin
x
2u 1 u2
,
tan
x
1
2u u2
,
dx
2du 1 u2
2du
dx
sin x tan x
1 u2 2u ＋ 2u
1 u2 du Baidu Nhomakorabeau
6
A x3
B
通分
x2
A(x 2) B(x 3) x2 5x 6
比较等式两端x同次幂的系数,得
A B 2 2A 3B
1
A B
5 3
2
则
x
2
2x 1 5x
5
dx
5 dx x3
3 dx x2
5ln x 3 3ln x 2 C
(x 3)5
ln
C
x 2)3
例22 求
1 )2
dx
ln
1
x
2
1 2
[11xx2
arctan x] C
5
二.三角函数有理式的积分 当被积函数为三角函数有理式时，有时采用“万能代换” 更加有利于不定积分的计算。
特别地，当被积函数中的正、余弦函数的角变量为x
或2x时，通常
设
u
tan
x ，则有 2
sin
x
2u 1 u2
,
cos
x
1 1
u2 u2