二次函数中点的存在性问题

二次函数中的存在性问题
1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由．
3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）．
（1）求直线AC及抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积；
（3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线的顶点及对称轴；
（3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．
1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，
2．与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在
3．一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D
4．的坐标；若不存在，请说明理由．
解答：
解：对于抛物线y=﹣x2+x﹣3，
令y=0，得到﹣x2+x﹣3=0，
解得：x=1或x=4，
∴B（1，0），A（4，0），
令x=0，得到y=﹣3，即C（0，﹣3），
设直线AC解析式为y=kx+b，
将A与C坐标代入得：，
解得：k=，b=﹣3，
∴直线AC解析式为y=x﹣3，
设平行于直线AC，且与抛物线只有一个交点的直线方程为y=x+m，
此时直线与抛物线交于点D，使得△ACD的面积最大，
与二次函数解析式联立消去y得：﹣x2+x﹣3=x+m，
整理得：3x2﹣12x+4m+12=0，
∴△=144﹣12（4m+12）=0，
解得：m=0，
∴此时直线方程为y=x，点D坐标为（2，）．
2．（2008•宁波校级自主招生）已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．
（1）求直线和抛物线解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由．
解答：解：（1）∵直线y=kx+4过A（1，m），B（4，8）两点，
∴，解得，∴y=x+4，
把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式，得，，
∴y=﹣x2+6x；
∴S△OCD=2S△OAB=12，×6×h=12，解得h=4，
由﹣x2+6x=4，得x=3±，
∴D（3+，4）或（3﹣，4）．
3．（2014春•昌平区期末）已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过
点A和点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积
最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．
解答：
解：（1）把x=0代入y=x﹣3得y=﹣3，则C点坐标为（0，﹣3），
把y=0代入y=x﹣3得x﹣3=0，解得x=4，则A点坐标为（4，0），
把A（4，0），C（0，﹣3）代入y=﹣x2+mx+n得，
解得，
所以二次函数解析式为y=﹣x2+x﹣3；
（2）存在．
过D点作直线AC的平行线y=kx+b，当直线y=kx+b与抛物线只有一个公共点时，点D到AC的距离最大，此时△ACD的面积最大，
∵直线AC的解析式为y=x﹣3，
∴k=，即y=x+b，
由直线y=x+b和抛物线y=﹣x2+x﹣3组成方程组得，消去y得到3x2﹣
12x+4b+12=0，
∴△=122﹣4×3×（4b+12）=0，解得b=0，
∴3x2﹣12x+12=0，解得x1=x2=2，
把x=2，b=0代入y=x+b得y=，
∴D点坐标为（2，）．
4．（2010•孝感模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）．
（1）求直线AC及抛物线的解析式；
（3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解答：解：（1）∵点C（2，3）在直线y=kx+1上，
∴2k+1=3．
解得k=1．
∴直线AC的解析式为y=x+1．
∵点A在x轴上，
∴A（﹣1，0）．
∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A、C，
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
可得抛物线的对称轴为x=1，B（3，0）．
∴E（1，2）．
根据题意，知点A旋转到点B处，直线l过点B、E．
设直线l的解析式为y=mx+n．
将B、E的坐标代入y=mx+n中，
联立可得m=﹣1，n=3．
∴直线l的解析式为y=﹣x+3．
∴P（0，3）．
过点E作ED⊥x轴于点D．
∴S△PAE=S△PAB﹣S△EAB=AB•PO﹣AB•ED=×4×（3﹣2）=2．
（3）存在，点F的坐标分别为（3﹣，0），（3+，0），（﹣1﹣，0）（﹣1+，0）．
5．（2013秋•红安县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A
在B的左侧），交y轴于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出点B的坐标，令x=0求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；
（3）根据轴对称确定最短路线问题，直线BC与对称轴的交点即为使线段AQ+CQ最小的点Q，然后利用直线解析式求解即可；
（4）过点P作PD∥y轴与BC相交于点D，根据抛物线解析式与直线BC的解析式表示出PD，再根据S△PBC=S△PCD+S△PBD列式整理，然后利用二次函数最值问题解答．
解答：
解：（1）令y=0，则﹣x2+x+2=0，
整理得，x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
所以，点B的坐标为（3，0），
令x=0，则y=2，
所以，点C的坐标为（0，2），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则，
解得，
所以，直线BC的解析式为y=﹣x+2；
（2）∵y=﹣x2+x+2，
=﹣（x2﹣2x+1）+2+，
=﹣（x﹣1）2+，
∴顶点坐标为（1，），
（3）由轴对称确定最短路线问题，直线BC与对称轴的交点即为使线段AQ+CQ最小的点，
x=1时，y=﹣×1+2=，
所以，存在Q（1，），使线段AQ+CQ最小；
（4）如图，过点P作PD∥y轴与BC相交于点D，
则PD=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，
所以，S△PBC=S△PCD+S△PBD，
=×（﹣x2+2x）×3，
=﹣x2+3x，
=﹣（x﹣）2+，
所以，当x=时，△PBC的面积最大为，
此时，y=﹣×（）2+×+2=，
所以，存在P（，），使S△PBC最大=．
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与x轴的交点坐标的求解，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求法，轴对称确定最短路线问题，二次函数的最值问题．。