不动点理论在数列中的应用

不动点理论在数列中的应用

四川省宜宾市南溪第一中学校 潘昌明

摘要：理解度量空间下的不动点原理，同时研究其在递推数列中的应用，获得数学思维的提升，展望高考压轴题新方向。

关键字：不动点原理；连续函数；递推数列；通项公式；不等式。

Fixed point theory in the sequence of application

Abstract : Understand metric space under the fixed point principle, and

study its application in recursion sequence, the promotion prospects, mathematical thinking problem new direction launchs entrance.

Key words : Fixed point principle;Continuous function; Recursion sequence;The general formula; Inequality.

1预备知识

1.1 定义 设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在数)10<<αα（，使得对所有X y x ∈,，成立

()()y x d Ty Tx d ,,α≤，

（()y x d ,表示实数直线R 上任何两点y x ,之间的距离） 则称T 是压缩映射。

压缩映射从几何角度来说，就是点x 和y 经T 映射后，它们的像的距离缩短了，不超过()y x d ,的)10<<αα（倍。 1.2 定理及其证明

定理 1 设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么在X 内必

X x ∈∃，使得x Tx =。

证明：设0x 是X 中的任意一点，令01Tx x =，...0212===x T Tx x ，

n n n Tx Tx x ==-1，…..

以下证明点列{}n x 是X 中的柯西点列

事实上，()()()111,,,--+≤=m m m m m m x x d Tx Tx d x x d α

而()()()()01212211,.....,,,x x d x x d Tx Tx d x x d m m m m m m m αααα≤≤≤=----- 由三点不等式知，当m n >时，

()()()()n n m m m m n m x x d x x d x x d x x d ,.....,,,1211-++++++≤

(

)

()()10101

1

,11,.....x x d x x d m

n m

n m m α

ααα

α

α--=+++≤--+

10<<αΘ 11<-∴-m n α

故：()()()m n x x d x x d m

n m >-≤

10,1,αα 所以当+∞→m 时，()0,→n m x x d 即{}n x 是X 中的柯西点列

由X 的完备性，则,X x ∈∃使得)(+∞→→m x x m 则：()()()()()x x d x x d Tx x d x x d Tx x d m m m m ,,,,,1-+≤+≤α 当+∞→m 时，上式右端趋于0，故()0,=Tx x d ，即x Tx = 故：X x ∈∃，使得x Tx =.

从以上的证明可以看出，由于T 映射下的点列是柯西点列，而柯西点列是收敛的数列，所以不论X 怎么变化，始终X x ∈∃，使得x Tx =成立。于是就有下面的

２ 问题的提出

定义：方程()x x f =的根称为函数()x f 的不动点。

设R D f →:，其中D 是R 的一个区间，数列{}n a 满足D a ∈1，

()()21≥=-n a f a n n ，若f 是连续的且{}n a 收敛于r ，则

()()r f a f a f a r n n n n n n =⎪⎭

⎫

⎝⎛===-∞→-∞→∞→11lim lim lim

这样数列{}n a 的收敛问题就和函数()x f 的不动点紧密联系起来。然而数列

{}n a 可以看作是定义在自然数集合上的特殊函数，则()1-=n n a f a 可借助于递推

数列()n f 的不动点将某些递推关系式所确定的数列化为熟知的等差、等比或降为阶数较低的递推数列。

３ 递推数列的通项公式

３.１ 一阶线性递推数列

设一阶线性递推数列由递归方程)0(1≠+=-p q pa a n n 给出

当0=q 时，)2(1≥=-n pa a n n （1） 若首项01≠a ，则（１）等价于以1a 为首项，p 为公比的等比数列。 当0≠q 时，)2(1≥+=-n q pa a n n （2） 设()q px x f +=，则（2）由递推数列()1-=n n a f a ，只需把（2）转化为（1）的情形

设λ+=n n b a 得： （λ为待定系数）

()q b p b n n ++=+-λλ1，即)(1q p pb b n n +-+=-λλ

为要使}{n b 满足（1），故：0=+-q p λλ，则p

q

-=1λ 即λ是函数()q px x f +=的不动点。于是有

定理２ 若λ是函数())1,0(≠+=p q px x f 的不动点，则一阶递推数列（2）等价于()λλ-=--1n n a p a （3）

由定理２易知（2）所确定的数列的通项公式为())2(11≥+-=-n p a a n n λλ 例１：已知数列{}n a 满足，11=a ，()22311≥+=--n a a n n n ，求{}n a 的通项公式。 解：由1123--+=n n n a a 得：

3

1

332311+•=--n n n n a a ，