-2014——2017竞赛中的解析几何问题-解析几何试题集萃

+ = > > + = 2014——2017 全国高中数学联赛各地预赛中的解析几何试题集萃

（2017 天津）3.将曲线 y = log 2 x 沿 x 轴正方向移动 1 个单位，再沿 y 轴负方向移动 2 个单位，得到曲线C ，则与C 关于直线 x + y = 0 对称的曲线的方程为

.

（2017 天津）9.设 F 是椭圆 x a 2 y 2 b 2

1(a b 0) 的左焦点， A 是该椭圆上位于第一象限

的一点.过 A 作圆 x 2 + y 2 = b 2 的切线，切点为 P ，则| AF | - | AP |= .

（2017 天津）13.设直线l 1 : y =

3x , l 2 : y = - 3x , 点 A 和点 B 分别在直线l 1 和l 2 上运动，

且OA ⋅ OB = -2 .

（1） 求线段 AB 的中点M 的轨迹.

（2） 设点 P (-2, 0) 关于直线 AB 的对称点为Q ，证明：直线MQ 过定点.

（2017 河北）2.已知 x , y ∈ R , 2x 2 + 3y 2 ≤ 12 ，则| x + 2 y | 的最大值为

.

（2017 河北）5.双曲线C : x 2 - y 2 = 2 的右焦点为 F ， P 为其左支上任意一点，点 A 的坐标为(-1,1) ，则∆AFP 周长的最小值为

.

x 2 （2017 河北）13.设椭圆 y 2

1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C .曲线C 的两条 5 4

切线 PA , PB 的交点为 P ，且与C 分别切于 A , B 两点，求 PA ⋅ PB 的最小值.

（2017 山西）5.直线 y = kx - 2 交抛物线 y 2 = 8x 于 A , B 两但，若线段 AB 中点的横坐标为 2，则线段 AB 的长度为

.

x 2 y 2 （ 2017 辽宁） 9. 已知 F 1, F 2 分别为椭圆 Γ : a 2 + b

2 = 1(a > b > 0) 的左、 右焦点，

| F 1F 2 |= 2, A 为Γ 的右顶点，直线l 过点 A 且垂直于 x 轴，P 为直线l 上一动点，若∠F 1PF 2

的最大值为 ，则此时点

P 的坐标为 .

4

x 2 2

（2017 辽宁）13.已知椭圆C :

+ y 4

= 1 的上顶点为M ，下顶点为 N ， T (t , 2) （ t ≠ 0 ）

为直线 y = 2 上一点，过点T 的直线TM 、TN 分别与椭圆C 交于 E , F 两点.若∆TMN 的面

2

6 - = 2

b 0 1 1 2

积是∆TEF 的面积的k 倍.问：当t 为何值时， k 为最大值?

（2017 年山东）11.实数 x , y ∈(1, +∞) ，且 xy - 2x - y +1 = 0 ，求 3

x 2 + y 2 的最小值.

2

1 （2017 年山东）13.已知椭圆经过点 P (

, ) ，离心率为 2 2 2

，动点 M (2, t )(t > 0) . （1） 求椭圆的标准方程；

（2） 求以OM 为直径且被直线3x - 4 y - 5 = 0 解得的弦长为 2 的圆的方程.

（3） 设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点 N ，证明线

段ON 的长为定值，并求出这个定值.

（2017 年福建）6．已知 P 为双曲线C ： x 4 y 2

12

1上一点， F 1 、 F 2

为双曲线C 的左、

右焦点， M 、 I 分别为△PF 1F 2 的重心、内心，若M I ⊥ x 轴，则△PF 1F 2 内切圆的半径为

。

x 2 （2017 年福建）12．已知椭圆C ：

a + y 2

= 1（ a > > ）过点 P (-2 ，1) ，且离心率为 b 2

过点 P 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 A 、 B 两点（ A 、 B 与点 P 不重合）。求证：

直线 AB 过定点，并求该定点的坐标。

（2017 江西）4.若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离心率为 . （2017 湖北）9.过抛物线 y 2 = 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于M , N 两点， E (m , 0) 为 x 轴

上一点，ME , NE 的延长线分别交抛物线于点 P , Q .若MN , PQ 的斜率 k 1, k 2 满足k 1 = 3k 2 ， 则实数m 的值为

.

（2017 湖北）12.过抛物线 y 2 = 2x 的焦点 F 的直线l 交抛物线 A , B 两点，抛物线在 A , B 两 点处的切线交于点 E . （I ）求证： EF ⊥ AB . （2）设 AF =

FB ，当 ∈[ , ] ，求∆ABE 的面积 S 的最小值. 3 2

x 2 y 2

（2017 四川）4.已知 F 1, F 2 是椭圆 E : a 2 + b

2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点，该椭圆上存在

两点 A , B ，使得 F 1 A = 3F 2 B ,则该椭圆的离心率的取值范围为

.

2

（2017 四川）9.若 P (x , y ) 是双曲线 x - y

= 1上的点，则| x - 8 4

（2017 四川）15.如图，点 A 与点 A ' 在 x 轴上，且关于 y 轴对称，过点 A ' 垂直于 x 轴的直

2

2 2 2 y | 的最小值为

.

。