分式方程典型易错点及典型例题分析

分式方程典型易错点及典型例题分析

一、错用分式的基本性质

例1化简

错解：原式

分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.

正解：原式

二、错在颠倒运算顺序

例2计算

错解：原式

分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.

正解：原式

三、错在约分

例1 当为何值时，分式有意义？

[错解]原式.

由得.

∴时，分式有意义.

[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.

[正解]由得且.

∴当且，分式有意义.

四、错在以偏概全

例2 为何值时，分式有意义？

[错解]当，得.

∴当，原分式有意义.

[解析]上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.

[正解] ，得，

由，得.

∴当且时，原分式有意义.

五、错在计算去分母

例3 计算.

[错解]原式

=.

[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.

[正解]原式

.

六、错在只考虑分子没有顾及分母

例4 当为何值时，分式的值为零.

[错解]由，得.

∴当或时，原分式的值为零.

[解析]当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.

[正解]由由，得.

由，得且.

∴当时，原分式的值为零.

典例分析

类型一：分式及其基本性质

1．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）

A. B. C. D.

2．若分式的值等于零，则x＝_______；

3．求分式的最简公分母。

【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（）

A．－1B．0C．1D．±１

（2）当x________时，分式没有意义．

【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（）

A．B．C．

D．

类型二：分式的运算技巧

(一) 通分约分

4．化简分式:

【变式1】顺次相加法计算：

【变式2】整体通分法计算：

（二）裂项或拆项或分组运算

5．巧用裂项法

计算：

【变式1】分组通分法

计算：

【变式2】巧用拆项法计算：

类型三：条件分式求值的常用技巧

6．参数法已知，求的值．

【变式1】整体代入法已知，求的值.

【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法．

已知：，求的值．

【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．

已知：，求的值．类型四:解分式方程的方法

解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的

方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧．

（一）与异分母相关的分式方程

7．解方程=

【变式1】换元法 解方程：

32121---=-x x x （二）与同分母相关的分式方程

8．解方程3

323-+=-x x x 【变式1】解方程87178=----x x x 【变式2】解方程125552=-+-x

x x 类型五：分式（方程）的应用

9．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？

【变式1】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A 地同时出发到B ．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？

【变式2】 A 、B 两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B 后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A 地，求甲车原来的速度和乙车的速度．

【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a

±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bd a d a c ac

÷=•= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项

5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn

7.负指数幂: a -p =1

p a a 0

=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

(a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2