数学建模-微分方程模型
数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析
实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。
二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。
其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。
（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。
数学建模-微分方程模型-饮酒驾车问题
和 x0 ，将体重 70kg 的某人在快速喝下 2 瓶啤酒之后一段时间内他血液中酒精含量的
测量值进行处理后，得到附录 1 所示的 y0 0 时的一组数据，并采用非线性最小二乘法 拟合算法对系数进行求解，得出参数如下。 x0 5193
=2.00796
=0.1855
同时可以看到，每瓶啤酒含酒精量为 2596.5mg。 所以，得出的血液中酒精含量关于时间的函数如下。
0.1855 t e 2.00756t ) 2860.78604(e y (t ) 0.1855( t 6) 2860.8028e 2.00756(t 6) 3800.7595e
0t 6 6 t 12
利用 matlab 对以上模型进行求解。 图 3 大李血液中酒精含量随时间变化图像
y (t ) ( y0 +5721.57208)e 0.1855t 5721.57208e 2.00796t
拟合效果如图。 图 1 函数的拟合效果
图 2 残差分析图
残差分析图
600 500 400 300 200 100 0 10 11 12 13 14 15 0.5 1.5 2.5 3.5 0.25 ‐100 ‐200 ‐300 ‐400 残差 0.75 4.5 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时刻为 t 时胃肠道中的酒精含量。
y (t ) 时刻为 t 时血液中的酒精含量。
胃肠道中的酒精进入血液的转移率与胃肠道中酒精量的比值。 血液中的酒精的排除率与血液中酒精量的比值。
五、模型的建立与求解
5.1 问题一 根据题目叙述，大李的实际情况符合快速饮酒的模型。为了确定函数中的系数 ，
数学建模微分方程模型练习题
微分方程模型练习题
1.速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与,
,v s ρ的关系
2.根据经验当一种新商品投入市场后，随着人们对它的拥有量的增加，其销售量()s t 成正比。
广告宣传可给销量添加一个增长速度，它与广告费()a t 成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为M ）。
建立一个销量()s t 的模型。
若广告宣传只进行有限时间τ，且广告费为常数a ，问()s t 如何变化？
3.如果两个种群都能独立生存，共处时又能相互提供食物，试建立种群依存模型并讨论平衡点的稳定性，解释稳定的意义。
4.某种群最高年龄为30岁，按间隔10岁将此种群分为三组并
以10年为一时段。
若020b b ==，13b =，016p =，112p =，
0(1000,1000,1000)T N =
求：（1）10年、20年、30年后该种群按年龄分布的种群量；
（2）此种群的固有增长率1λ及相应的稳定年龄分布；
（3）指出该种群的发展趋势。
微分方程建模(溶液浓度)
Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所 找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967
年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型
解决了这一问题。
原理
著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：
物质的放射性正比于现存物质的原子数。
设 t 时刻的原子数为N (t ) ，则有
dN dt N
测定结果与分析
画名 Emmaus的信徒们 洗足 钋210衰变原子数 镭226衰变原子数
8.5 12.6
0.82 0.26
读乐谱的妇人
弹曼陀林的妇人 做花边的人 欢笑的女孩
10.3
8.2 1.5 5.2
0.3
0.17 1.4 6.0
若第一幅画是真品， t t 0 300
y 0 y (t )e
衰减(放射性/污染物的净化) “边际的”(经济学)
应注意题目的 这些词: 改变/变化/增 加/减少
如何建立微分方程?
根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验
的规律等来建立微分方程模型。
微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法
不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
d x C 1V 1 d t C 2V 2 d t
dx C 1V 1 C 2V 2 dt x (0) x0
该模型还适用于 讨论气体的混合
以上两个简单例子的启示:
关键是建立一个 yˊ 、y、t 的方程.
可以表示为导数的最常见的量:
速率
增长(生物学/ 人口问题)
从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210 的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到 Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210 的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析常微分方程是运用微积分中的概念与理论研究变化率的方程。
它是数学建模中常用的方法之一，可用于描述各种实际问题，如经济增长、生物扩散、化学反应等。
本文将通过一个关于人群传染病的数学建模案例，分析常微分方程在实际问题中的应用。
假设地有一种传染病，病毒的传播速度与感染者的接触频率有关。
现在我们要研究传染病的传播速度以及控制措施对传染病传播的影响。
为此，我们可以建立如下的数学模型：设N(t)表示时间t时刻的总人口数，而I(t)表示感染者的人口数，S(t)表示易感者的人口数。
根据该模型，易感者的人数随时间的变化率可表示为：dS/dt = -βSI其中，β表示感染率，即感染者每接触到一个易感者，会使其发病的概率。
感染者的人数随时间的变化率可表示为：dI/dt = βSI - γI其中，γ表示恢复率，即感染者每天被治愈的人数。
总人口数随时间的变化率可以通过易感者和感染者的变化率求和得到：dN/dt = dS/dt + dI/dt通过对该方程进行求解，我们可以得到感染者和易感者的人数随时间变化的解析解。
进一步，我们可以通过调节β和γ来研究不同的传播速度和控制措施对传染病传播的影响。
例如，如果β较大，表示感染率较高，此时传染速度会加快，可能导致传染病扩散的速度加快。
反之，如果β较小，表示感染率较低，传染病传播的速度会减慢。
另外，如果γ较大，表示恢复率较高，此时感染者的人数会快速减少，传染病传播的速度会减慢。
相反，如果γ较小，传染病传播的速度会加快。
通过对这些参数的调节，我们可以研究不同的控制措施对传染病传播的影响。
例如，我们可以通过降低感染率β或增加恢复率γ来减缓传染病传播的速度，从而控制疫情的爆发。
在实际应用中，常微分方程数学建模方法可以用于预测传染病的传播趋势，评估各种干预措施的效果。
此外，还可以通过引入更多的变量和参数，建立更复杂的模型，以更好地解释实际问题。
总之，常微分方程是数学建模中常用的方法之一，可以用于描述各种实际问题，如传染病的传播、经济增长等。
数学建模 微分方程模型讲解
量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )
数学建模,第三章-微分方程模型
8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
数 学 建 模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到 处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学 得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt
数学建模微分方程模型
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
方程模型
例2. 解初值问题
x yd x ( x 2 1 ) d y 0
y( 0 ) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
数学建模－ 微分方程模型
关晓飞 同济大学数学科学学院
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
引例
一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点 若设曲线方程为 y f ( x) ， (1)
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解
根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：
dy 2x dx
规律。
解
dM 铀的衰变速度就是 M (t ) 对时间t的导数 dt
，
由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足 关系式： dM M (1) ( 0) 是衰变系数
dt
且初始条件 M t 0 M0 dM dt 分离变量得 M 对上式两端积分得：ln M t ln c 因此， M (t ) Cet 代入初始条件得
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为
dT 与 T m 成正比 dt
dT k (T m ), dt T ( 0) 60.
建立微分方程
数学语言
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
或
T m ce
kt
, t 0,
微分方程模型
r0
r0
x(t ) x0
x(t ) 0
人口将始终保持不变！ 人口将按指数规律减少直 至绝灭！
2 T ln r
人口倍增时间
Malthus模型预测美国人口
Malthus模型预测美国人口
Malthus模型预测的优缺点
优点 缺点 原因 短期预报比较 准确 不适合中长期预报 预报时假设人口增长率 r 为常数。没有考虑环 境对人口增长的制约作用。
机动
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结束
医学(流行病,传染病问题)模型,经济(商业销 售,财富分布,资本主义经济周期性危机)模 型,战争(正规战,游击战)模型等。 下面,我们给出如何利用方程知识建立 数学模型的几种方法。
机动
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结束
1.利用题目本身给出的或隐含的等量 关系建立微分方程模型。这就需要我们仔 细分析题目,明确题意,找出其中的等量关 系,建立数学模型。 2.从一些已知的基本定律或基本公式出 发建立微分方程模型.我们要熟悉一些常用 的基本定律,基本公式.例如力学中的牛顿第 二运动定律，电学中的基尔霍夫定律等.从 这些知识出发我们可以建立相应的微分方 程模型。
到t t时刻, 除去死亡的人外 , 活着的都变成了
r dr1 , r dr dr1 区间内的人, t t时刻年龄在
即p(r dr 1 , t dt) dr.这里dr 1 dt.
而在这段时间內死去的 人数为 r , t pr , t drdt, 它们之间的关系为 : pr , t dr pr dr 1 , t dt dr r , t p r , t drdt r , t pr , t drdt
数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域
数学建模实例ppt课件
B
的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。 建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化
并估计：
（1）湖水何时到达污染高峰；
（2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)
28
湖泊污染问题分析
设湖水在t时的污染程度为C(t)， X
即每立方米受污染的水中含有Cm3 A
的化学物质和(1-C)m3的清洁水。用
23
几何关系
dy tg y at
dx
x
即 x dy y at dx
24
如何消去时间t?
1、求导：
2、速度与路程的关系： x 得：
（这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型
25
追线模型：
x
d2y dx2
k
1 dy 2 dx
由已知，T (0) 37 , T (t) 29 , T (t 1) 27 可得微分方程的特解：
T (t) 16 4 t 21 3
由T (t) 29，代入解得 t 2.4094
因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。
图1 尸体的温度
下降曲线
4
建立微分方程的常用方法
1、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，
19
（1）问题分析与模型的建立
1、放射性衰变的这种性质还可描述为“放射性物 质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量 成比例”。而C14的比例数为每年八千分之一。
2、碳14年代测定可计算出生物体的死亡时间；所
以，我们问题实际上就是：“这人死去多久了？”
若设t为死后年数，y(t)为比例数，则y(t)=C14/C12
数学建模实验答案_微分方程模型
数学建模实验答案_微分⽅程模型实验07 微分⽅程模型（2学时）（第5章微分⽅程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt=-= 其中，i (t )是第t 天病⼈在总⼈数中所占的⽐例。
k 是每个病⼈每天有效接触的平均⼈数（⽇接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病⼈的⽐例。
1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最⼤值，并在曲线图上标注。
提⽰：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel 1）画曲线图⽤fplot 函数，调⽤格式如下： fplot(fun,lims)fun 必须为⼀个M ⽂件的函数名或对变量x 的可执⾏字符串。
若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。
若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。
本题可⽤fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最⼤值⽤求解边界约束条件下的⾮线性最⼩化函数fminbnd，调⽤格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为⼀个M⽂件的函数名或对变量x的可执⾏字符串。
返回⾃变量x在区间x1本题可⽤x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指⽰最⼤值坐标⽤线性绘图函数plot，调⽤格式如下：plot(x1,y1, '颜⾊线型数据点图标', x2,y2, '颜⾊线型数据点图标',…)本题可⽤hold on; %在上⾯的同⼀张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使⽤⽂本标注函数text，调⽤格式如下：格式1text(x,y,⽂本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注⽂本在图中添加的位置。
微分方程模型——数学建模真题解析
练习题： 1、在一所大学，某个教师每天从图书馆借出一本 书，而图书馆每周收回所借图书的10%。2年后， 这个教师手中有大约多少本图书馆的书？ 2、某学院的教育基金，最初投资P元，以后按利 率r的连续复利增长。另外，每年在基金开算的时 间，都要投入新的资本A/年求7年的累计资金数 量。 另外，如果每年在基金开算的时间，把其中20% 用于奖学金的发放，求7年后累计资金数量。 3、一场降雪开始于中午前的某个时刻，降雪量稳 定。某人从正午12点开始清扫人行道，他的铲雪 速度(m3/小时)和路面宽度都不变，到下午2点他 扫了1000米，到下午4点又清扫了500米。雪是什 么时间开始下的？另外，如果他在下午4点开始回 头清扫，什么时间回到开始清扫的地点？
2004C题 饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检 疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定， 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／ 百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是 小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或 等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等 于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合 新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒， 为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。
数学建模常用算法模型
数学模型的分类按模型的数学方法分：几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等按模型的特征分：静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线性模型和非线性模型等按模型的应用领域分：人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等.按建模的目的分：预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往往也和建模的目的对应按对模型结构的了解程度分：有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型.按比赛命题方向分：国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016美赛六个题目离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策数学建模十大算法1、蒙特卡罗算法该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo软件实现4、图论算法这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用7、网格算法和穷举法当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具8、一些连续离散化方法很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的9、数值分析算法如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用10、图象处理算法赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用Matlab进行处理算法简介1、灰色预测模型必掌握解决预测类型题目.由于属于灰箱模型,一般比赛期间不优先使用.满足两个条件可用：①数据样本点个数少,6-15个②数据呈现指数或曲线的形式2、微分方程预测高大上、备用微分方程预测是方程类模型中最常见的一种算法.近几年比赛都有体现,但其中的要求,不言而喻.学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系,但可以找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式推导转化为原始数据的关系.3、回归分析预测必掌握求一个因变量与若干自变量之间的关系,若自变量变化后,求因变量如何变化；样本点的个数有要求：①自变量之间协方差比较小,最好趋近于0,自变量间的相关性小；②样本点的个数n＞3k+1,k为自变量的个数；③因变量要符合正态分布4、马尔科夫预测备用类似的名词有,马尔科夫链、马尔科夫模型、,马氏链模型等一个序列之间没有信息的传递,前后没联系,数据与数据之间随机性强,相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系,预测后天温度高、中、低的概率,只能得到概率.思考马尔科夫和元胞自动机之间的关系5、时间序列预测必掌握与马尔科夫链预测互补,至少有2个点需要信息的传递,ARMA模型,周期模型,季节模型等6、小波分析预测高大上数据无规律,海量数据,将波进行分离,分离出周期数据、规律性数据；可以做时间序列做不出的数据,应用范围比较广7、神经网络预测备用大量的数据,不需要模型,只需要输入和输出,黑箱处理,建议作为检验的办法8、混沌序列预测高大上比较难掌握,数学功底要求高9、插值与拟合必掌握拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具,通俗意义上它们的区别在于:拟合是已知点列,从整体上靠近它们;插值是已知点列并且完全经过点列;逼近是已知曲线,或者点列,通过逼近使得构造的函数无限靠近它们.10、灰色关联分析法必掌握与灰色预测模型一样,比赛不能优先使用11、模糊综合评判备用评价一个对象优、良、中、差等层次评价,评价一个学校等,不能排序12、主成分分析必掌握评价多个对象的水平并排序,指标间关联性很强13、层次分析法AHP必掌握作决策,去哪旅游,通过指标,综合考虑作决策14、数据包络DEA分析法备用优化问题,对各省发展状况进行评判15、秩和比综合评价法高大上评价各个对象并排序,指标间关联性不强16、优劣解距离法TOPSIS法备用17、投影寻踪综合评价法高大上揉和多种算法,比如遗传算法、最优化理论等18、方差分析、协方差分析等备用方差分析：看几类数据之间有无差异,差异性影响,例如：元素对麦子的产量有无影响,差异量的多少；1992年,作物生长的施肥效果问题协方差分析：有几个因素,我们只考虑一个因素对问题的影响,忽略其他因素,但注意初始数据的量纲及初始情况.2006年,艾滋病疗法的评价及预测问题21、线性规划、整数规划、0-1规划必掌握有约束,确定的目标比较简单,必须掌握22、非线性规划与智能优化算法智能算法至少掌握1-2个,其他的了解即可非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索算法、神经网络、粒子群等23、多目标规划和目标规划柔性约束,目标含糊,超过备用24、动态规划备用25、复杂网络优化多因素交错复杂备用,编程好的使用要掌握离散数学中经典的知识点——图论.26、排队论与计算机仿真高大上排队论包括、元胞自动机对编程能来要求较高,一般需要证明其机理符合实际情况,不能作为单独使用这也是大部分队伍使用元胞自动机不获奖的最大原因.27、模糊规划范围约束28、灰色规划难29、图像处理备用MATLAB图像处理,针对特定类型的题目,一般和数值分析的算法有联系.例如2013年国赛B 题,2014网络赛B题.30支持向量机31多元分析1、聚类分析必掌握,参考192、主成分分析必掌握3、因子分析必掌握4、判别分析5、典型相关分析6、对应分析7、多维标度法8、偏最小二乘回归分析32、分类与判别主要包括以下几种方法,1、距离聚类系统聚类常用2、关联性聚类常用3、层次聚类4、密度聚类5、其他聚类6、贝叶斯判别统计判别方法7、费舍尔判别训练的样本比较多8、模糊识别分好类的数据点比较少33、关联与因果1、灰色关联分析方法样本点的个数比较少2、Sperman或kendall等级相关分析3、Person相关样本点的个数比较多4、Copula相关比较难,金融数学,概率密度5、典型相关分析因变量组Y1234,自变量组X1234,各自变量组相关性比较强,问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密6、标准化回归分析若干自变量,一个因变量,问哪一个自变量与因变量关系比较紧密7、生存分析事件史分析难数据里面有缺失的数据,哪些因素对因变量有影响8、格兰杰因果检验计量经济学,去年的X对今年的Y有没影响。
数学建模之微分方程模型
增长率递增的现象），但是随着人口数的 增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的 现象。再考虑到环境适应程度的制约，想 象人口的增长不可能超过某个度。
（2）对于其中常数增长率r 的估计可以使用 拟合或者参数估计的方法得到。
（3）在实际情况下，可以使用离散的近似 表达式 N(t) N0 (1 r)t 作为人口的预测表 达式。
人口模型
人口数量以及和次类似的动植物种群 的个体数量都是离散变量，不具有连续可 微性。但由于短时间内改变的是少数个体， 与整体数量相比，这种变化是很微小的。 基于此原因，为了成功应用数学工具，我 们通常假定大规模种群的个体数量是时间 的连续可微函数。此假设条件在非自然科 学的问题中常常用到。
指数增长模型（Malthus 人口模型）
（程2可）以注看意到到，NddN(tt
0 ，并且从最终的人口方
)
N m，以及
lim
t
N
(t)
N m，
（这人3说口）dd明 的2tN2人增口 长r(随速1着 度2N时 最/间 快Nm的 ，) 增 从0加 而表递 可明增以当地得N趋到 于人N2mN口时m。
曲线上的一个拐点。
（4） 模型中所涉及到的两个参数 r, Nm 的估
模型假设：
（1）人口的增长率r 是当前人口数的减函 数 r r(N) r(N)' 0 。
（2） r(N) r sN ，其中r 是人口的固有增长
率，而s 决定了所能容纳的最大人口量 Nm 。
当 N Nm 时，人口的增长速度将降为0，从而 可以得到 s r / N。m 这样可以得到
r(N) r(1 N / Nm ) 。
微分方程建模
的数学模型为
vR g， r
（6.3）
取 R 6400km，r R 600km，代入上式，得 v 7.6km/s，
即要把卫星送入离地面 600km 高的轨道，火箭 的末速度最低应为 7.6km/s。
2 火箭推进力及升空速度
火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组 成。燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一 个向前的推力。火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地 球自转与公转等的影响，使火箭升空后作曲线运动。为 使问题简化，假设
设地球半径为 R，质量为 M ；卫星轨道半径为r ，
卫星质量为 m 。
根据假设（2）和（3），卫星只受到地球的引力，
由牛顿万有引力定律可知其引力大小为
F
GMm r2
，
其中G 为引力常数。
（6.1）
为消去常数G ，把卫星放在地球表面，则由（6.1）
式得
mg
GMm R2
再代入（6.1）式，得
或 GM R2g，
由上式可得理想火箭的数学模型为
m(t) dv(t) (1 ) dm u，
dt
dt
及
解之得
v(0) 0，m(0) m0，
v(t) (1 )uln m0 .
m(t)
（6.10） （6.11）
由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛弃完时，便
只剩卫星质量m p，从而最终速度的数学模型为
（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法 自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的 微元之间的关系式来表达的。对于这类问题，我们不能 直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式， 而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自 变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取 极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取 积分的方法来建立微分方程。
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d k ( 20) dt
dM M dt
二、微分方程的解法
积分方法，分离变量法
可分离变量的微分方程
g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程. 4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
一、运用已知物理定律 建立微分方程模型时 应用已知物理定律， 可事半功倍
例1
铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地
有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量 不断的减少，这种现象称为衰变，由原子物理 学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的
含量M成正比，已知t＝0时刻铀的含量为 M 0 ，
求在衰变过程中铀的含量M（t）随时间t的变化
或
T m ce
kt
, t 0,
代入条件:T (0) 60 T (3) 50 1 16 求得c=42 ， k ln , 3 21 最后得 1 16
T(t)=18+42 e 3
ln
21
t
, t ≥0.
1 16 结果 ：T(10)=18+42 3 ln 21 10 =25.870， e
规律。
解
dM 铀的衰变速度就是 M (t ) 对时间t的导数 dt
，
由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足 关系式： dM M (1) ( 0) 是衰变系数
dt
且初始条件 M t 0 M0 dM dt 分离变量得 M 对上式两端积分得：ln M t ln c 因此， M (t ) Cet 代入初始条件得
t
C M0
M (t ) M 0e 所以有，
这就是铀的衰变规律。
一、运用已知物理定律 例2 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后
降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率 正比于T与周围介质的温度差. 分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温 分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似.
ln y x 2 C1
y Ce 为所求通解.
x2
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y f ( x , y ) 一阶: y x x0 y 0
过定点的积分曲线;
y f ( x , y , y ) 二阶: y y , y y 0 0 x x x x 0 0
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为
dT 与 T m 成正比 dt
dT k (T m ), dt T ( 0) 60.
建立微分方程
数学语言
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例2. 解初值问题
x yd x ( x 2 1 ) d y 0
y( 0 ) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 yC
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
(2)
(3)
2 y 2 xdx x C 对（1）式两端积分得：
又因曲线满足条件 y |x1 2 代入（3）得C＝1
因此，所求曲线的方程为
y x2 1.
回答什么是微分方程：
y ' 2x
建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程
y xy ,
x y 2y 3y e ,
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函 数, G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.
典型例题
dy 2 xy 的通解. 例1 求解微分方程 dx dy 解 分离变量 2 xdx , y dy 2 xdx , 两端积分 y
直接求 很困难
建立变量能满足 的微分方程
哪一类问题
？
在工程实际问题中 “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关 键词提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际 的” ,常涉及到导数.
常 用建 微立 分方 方法 程 运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法 应用分析法 机理分 析法
数学建模－ 微分方程模型
关晓飞 同济大学数学科学学院
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
引例
一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点 若设曲线方程为 y f ( x) ， (1)
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解
根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：
dy 2x dx
2
三、建立微分方程数学模型
1、简单的数学模型
2、复杂的数学模型
1、简单的数学模型
利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是： (1) 分析问题，设所求未知函数，建立微分方
程，确定初始条件；
(2) (3) 求出微分方程的通解； 根据初始条件确定通解中的任意常数，求
出微分方程相应的特解．
实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 ：y=y(t). 建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
二. 利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种不变 的特性，如封闭区域内的能量、货币量等. 利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建 立有关变量间的相互关系.
例1 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中
含有0.1% 的 CO2, 为了降低车间内空气中CO2 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含 0.03%的 CO2的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 CO2的百分比降低到多少?