数学建模-微分方程模型
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过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例2. 解初值问题
x yd x ( x 2 1 ) d y 0
y( 0 ) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
ln y x 2 C1
y Ce 为所求通解.
x2
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y f ( x , y ) 一阶: y x x0 y 0
过定点的积分曲线;
y f ( x , y , y ) 二阶: y y , y y 0 0 x x x x 0 0
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函 数, G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.
典型例题
dy 2 xy 的通解. 例1 求解微分方程 dx dy 解 分离变量 2 xdx , y dy 2 xdx , 两端积分 y
直接求 很困难
建立变量能满足 的微分方程
哪一类问题
？
在工程实际问题中 “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关 键词提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际 的” ,常涉及到导数.
常 用建 微立 分方 方法 程 运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法 应用分析法 机理分 析法
规律。
解
dM 铀的衰变速度就是 M (t ) 对时间t的导数 dt
，
由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足 关系式： dM M (1) ( 0) 是衰变系数
dt
且初始条件 M t 0 M0 dM dt 分离变量得 M 对上式两端积分得：ln M t ln c 因此， M (t ) Cet 代入初始条件得
t
C M0
M (t ) M 0e 所以有，
这就是铀的衰变规律。
一、运用已知物理定律 例2 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后
降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率 正比于T与周围介质的温度差. 分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温 分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似.
2
三、建立微分方程数学模型
1、简单的数学模型
2、复杂的数学模型
1、简单的数学模型
利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是： (1) 分析问题，设所求未知函数，建立微分方
程，确定初始条件；
(2) (3) 求出微分方程的通解； 根据初始条件确定通解中的任意常数，求
出微分方程相应的特解．
实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 ：y=y(t). 建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程
(2)
(3)
2 y 2 xdx x C 对（1）式两端积分得：
又因曲线满足条件 y |x1 2 代入（3）得C＝1
因此，所求曲线的方程为
y x2 1.
回答什么是微分方程：
y ' 2x
建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程
y xy ,
x y 2y 3y e ,
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
二. 利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种不变 的特性，如封闭区域内的能量、货币量等. 利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建 立有关变量间的相互关系.
例1 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中
含有0.1% 的 CO2, 为了降低车间内空气中CO2 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含 0.03%的 CO2的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 CO2的百分比降低到多少?
数学建模－ 微分方程模型
关晓飞 同济大学数学科学学院
一、什么是微分方程？
最最简单的例子ຫໍສະໝຸດ Baidu
引例
一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点 若设曲线方程为 y f ( x) ， (1)
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解
根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：
dy 2x dx
或
T m ce
kt
, t 0,
代入条件:T (0) 60 T (3) 50 1 16 求得c=42 ， k ln , 3 21 最后得 1 16
T(t)=18+42 e 3
ln
21
t
, t ≥0.
1 16 结果 ：T(10)=18+42 3 ln 21 10 =25.870， e
d k ( 20) dt
dM M dt
二、微分方程的解法
积分方法，分离变量法
可分离变量的微分方程
g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程. 4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为
dT 与 T m 成正比 dt
dT k (T m ), dt T ( 0) 60.
建立微分方程
数学语言
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
一、运用已知物理定律 建立微分方程模型时 应用已知物理定律， 可事半功倍
例1
铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地
有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量 不断的减少，这种现象称为衰变，由原子物理 学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的
含量M成正比，已知t＝0时刻铀的含量为 M 0 ，
求在衰变过程中铀的含量M（t）随时间t的变化
例2. 解初值问题
x yd x ( x 2 1 ) d y 0
y( 0 ) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
ln y x 2 C1
y Ce 为所求通解.
x2
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y f ( x , y ) 一阶: y x x0 y 0
过定点的积分曲线;
y f ( x , y , y ) 二阶: y y , y y 0 0 x x x x 0 0
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函 数, G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.
典型例题
dy 2 xy 的通解. 例1 求解微分方程 dx dy 解 分离变量 2 xdx , y dy 2 xdx , 两端积分 y
直接求 很困难
建立变量能满足 的微分方程
哪一类问题
？
在工程实际问题中 “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关 键词提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际 的” ,常涉及到导数.
常 用建 微立 分方 方法 程 运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法 应用分析法 机理分 析法
规律。
解
dM 铀的衰变速度就是 M (t ) 对时间t的导数 dt
，
由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足 关系式： dM M (1) ( 0) 是衰变系数
dt
且初始条件 M t 0 M0 dM dt 分离变量得 M 对上式两端积分得：ln M t ln c 因此， M (t ) Cet 代入初始条件得
t
C M0
M (t ) M 0e 所以有，
这就是铀的衰变规律。
一、运用已知物理定律 例2 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后
降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率 正比于T与周围介质的温度差. 分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温 分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似.
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三、建立微分方程数学模型
1、简单的数学模型
2、复杂的数学模型
1、简单的数学模型
利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是： (1) 分析问题，设所求未知函数，建立微分方
程，确定初始条件；
(2) (3) 求出微分方程的通解； 根据初始条件确定通解中的任意常数，求
出微分方程相应的特解．
实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 ：y=y(t). 建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程
(2)
(3)
2 y 2 xdx x C 对（1）式两端积分得：
又因曲线满足条件 y |x1 2 代入（3）得C＝1
因此，所求曲线的方程为
y x2 1.
回答什么是微分方程：
y ' 2x
建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程
y xy ,
x y 2y 3y e ,
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
二. 利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种不变 的特性，如封闭区域内的能量、货币量等. 利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建 立有关变量间的相互关系.
例1 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中
含有0.1% 的 CO2, 为了降低车间内空气中CO2 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含 0.03%的 CO2的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 CO2的百分比降低到多少?
数学建模－ 微分方程模型
关晓飞 同济大学数学科学学院
一、什么是微分方程？
最最简单的例子ຫໍສະໝຸດ Baidu
引例
一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点 若设曲线方程为 y f ( x) ， (1)
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解
根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：
dy 2x dx
或
T m ce
kt
, t 0,
代入条件:T (0) 60 T (3) 50 1 16 求得c=42 ， k ln , 3 21 最后得 1 16
T(t)=18+42 e 3
ln
21
t
, t ≥0.
1 16 结果 ：T(10)=18+42 3 ln 21 10 =25.870， e
d k ( 20) dt
dM M dt
二、微分方程的解法
积分方法，分离变量法
可分离变量的微分方程
g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程. 4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为
dT 与 T m 成正比 dt
dT k (T m ), dt T ( 0) 60.
建立微分方程
数学语言
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
一、运用已知物理定律 建立微分方程模型时 应用已知物理定律， 可事半功倍
例1
铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地
有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量 不断的减少，这种现象称为衰变，由原子物理 学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的
含量M成正比，已知t＝0时刻铀的含量为 M 0 ，
求在衰变过程中铀的含量M（t）随时间t的变化