初中数学压轴题讲解：动点,面积与最值问题
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出AP长的最大值和最小值。
动点与面积问题
定方向： 规则图形面积直接利用面积公式
不规则图形面积分解为规则图形再表示
定目标： 确定待求条件
面积最值问题解析
定解法： 题目中有角度或者三角函数值。（解直角三角形）
题目中只有长度。（相似）
定最值： 根据函数解析式和范围求最值。
典例精讲
压轴题研究1——面积最值（动点）
CD xgcos 60° 1 x ， 2
∴ AD 12 1 x ，而 PD xgsin 60° 3 x ，
2
2
∴
S△ APD
1 2
PDgAD
1g 2
3 2
xg12
1 2
x
（0<x<24）
3 (x2 24x) 3 (x 12)2 18 3 ．
8
8
∴PC 等于 12 时， △APD 的面积最大，最大面积是18 3 ．
典例精讲
● 如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边 BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最 小值是()
解题技巧：P轨迹是以F为圆心，CF为半径的圆
典例精讲
● 如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上 一动点，将梯形沿直线PQ折叠，A的对应点A'。当CA'的长度最小时，CQ的 长为（ ）
解题技巧：定角对定直线，直径所对的圆周角为90°，做辅助圆
典例精讲
● 如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,AB=5,BC=3,AC=4,P是AB边上的动点(不与点B 重合),将△BCP沿CP所在的直线翻折,得到△B'CP,连接B'A,则B'A长度的最 小值是___.
解题技巧：B'轨迹是以C为圆心，CB'为半径的圆
解题技巧：A'轨迹是以P为圆心，PA为半径的圆
典例精讲
●如图,把△EFP放置在菱形ABCD中,使得顶点E. F. P分别在线段AB、AD、 AC上,已知EP=FP=6,EF=63√,∠BAD=60∘，且AB>6.
● (1)求∠EPF的度数； ● (2)若AP=10，求AE+AF的值； ●(3)若△EFP的三个顶点E. F. P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写
典例练习
压轴题研究1——面积最值（动点）
练习：如图：等腰梯形ABCD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在 边AD，BC上运动，MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB。求当AE等于多少时，四边 形MEFN面积的最大值
答案
S矩形MEFN
ME EF
4 3
x(7
2x)
8 x 3
7 2 4
1
2
x
典例精讲
● 如图为反比例函数
y1 x
在第一象限的图象,点A为此图象上的一动点,过点
A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴,垂足分别为B,C.则四边形OBAC周长的最小值为
()
典例精讲
● 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(1−a,0),C(1+a,0)(a>0),点 P在以D(4,4)为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足∠BPC=90∘,则a的最 大值是()
典例精讲
● 如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的 中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为______．
解题技巧：将军饮马的第一种情况
典例精讲
●如图所示,已知A( 1 ,y1),B(2,y2)为反比例函数 y 1 图象上的两点,动
点
ຫໍສະໝຸດ BaiduP(x
,
49 6
．
当 x＝ 7 时，面积的最大值为 49 ．
4
6
典例精讲
压轴题研究1——面积最值（动点）
例2：如图，RT△ABC，∠BAC=90°，∠C=60°，BC=24点P是BC边上的 动点（点P与点B,C不重合），过动点P作PD∥BA,交AC于点D试问：当 PC等于多少时，△APD的面积最大？最大面积是多少？
例1：正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上 运动时，保持AM和MN垂直， （1）证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN； （2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动 到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（1）定方向：梯形（规则图形）面积问题； （2）定目标：下底AB=4，高BC=4，缺上底CN（待求 条件） （3）定解法：本题没有明显的角度或三角函数值，加 之前一个问题证明了相似。所以本题是利用相似三角形 对应边的比建立方程来表示CN的长。 （4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。
0)在
x
轴
正
2
半轴上运动,
当
线段
A
P
与
线
段
BP之差x 达到最
大
时
,点P
的坐
标是( )
解题技巧：PA-PB等于AB时，因为三角形三边关系
典例精讲
知识点
周长固定：x+y=1 求面积最大?
S = xy = x(1- x) = x -x2
面积固定：xy=1
求周长最大?
S= xy= x 1 x
=
x 2
分析：（1）定方向：直角三角形（规则图形）面积问题； （2）定目标：△ADP的底PD，高AD都不知道（待求条件） （3）定解法：本题有明显的角度或三角函数值。 （4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。
典例精讲
压轴题研究1——面积最值（动点）
解 ： 设 PC x ， ∵ PD∥BA ， BAC 90° ， ∴ PDC 90°，又∵ C 60°，∴ AC 24gcos 60°12 ，
动点与最值问题
将军饮马： 将军饮马三种情况，两定一动，两动一定，双定双动
另有PPT讲解
三边关系： 两边之和大于第三边，两边只差小于第三边
动点最值问题解析
三点共线
配方法： 纯代数的最值问题用配方，利用二次函数的性质
几何问题，一般以面积周长有关
辅助圆： 动点围绕某一定点旋转，以定点为圆心，
动点到定点长为半径做圆 其他辅助圆做法，另有PPT详解
典例精讲 （2）Q Rt△ABM ∽Rt△MCN ，
AB BM ， 4 x ， MC CN 4 x CN
CN x2 4x 4
压轴题研究1——面积最值（动点）
y
S梯形ABCN
1
2
x2 4x 4
4g4
（0<x<4）
1 x2 2x 8 1 (x 2)2 10
2
2
当 x 2 时， y 取最大值，最大值为 10．
动点与面积问题
定方向： 规则图形面积直接利用面积公式
不规则图形面积分解为规则图形再表示
定目标： 确定待求条件
面积最值问题解析
定解法： 题目中有角度或者三角函数值。（解直角三角形）
题目中只有长度。（相似）
定最值： 根据函数解析式和范围求最值。
典例精讲
压轴题研究1——面积最值（动点）
CD xgcos 60° 1 x ， 2
∴ AD 12 1 x ，而 PD xgsin 60° 3 x ，
2
2
∴
S△ APD
1 2
PDgAD
1g 2
3 2
xg12
1 2
x
（0<x<24）
3 (x2 24x) 3 (x 12)2 18 3 ．
8
8
∴PC 等于 12 时， △APD 的面积最大，最大面积是18 3 ．
典例精讲
● 如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边 BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最 小值是()
解题技巧：P轨迹是以F为圆心，CF为半径的圆
典例精讲
● 如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上 一动点，将梯形沿直线PQ折叠，A的对应点A'。当CA'的长度最小时，CQ的 长为（ ）
解题技巧：定角对定直线，直径所对的圆周角为90°，做辅助圆
典例精讲
● 如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,AB=5,BC=3,AC=4,P是AB边上的动点(不与点B 重合),将△BCP沿CP所在的直线翻折,得到△B'CP,连接B'A,则B'A长度的最 小值是___.
解题技巧：B'轨迹是以C为圆心，CB'为半径的圆
解题技巧：A'轨迹是以P为圆心，PA为半径的圆
典例精讲
●如图,把△EFP放置在菱形ABCD中,使得顶点E. F. P分别在线段AB、AD、 AC上,已知EP=FP=6,EF=63√,∠BAD=60∘，且AB>6.
● (1)求∠EPF的度数； ● (2)若AP=10，求AE+AF的值； ●(3)若△EFP的三个顶点E. F. P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写
典例练习
压轴题研究1——面积最值（动点）
练习：如图：等腰梯形ABCD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在 边AD，BC上运动，MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB。求当AE等于多少时，四边 形MEFN面积的最大值
答案
S矩形MEFN
ME EF
4 3
x(7
2x)
8 x 3
7 2 4
1
2
x
典例精讲
● 如图为反比例函数
y1 x
在第一象限的图象,点A为此图象上的一动点,过点
A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴,垂足分别为B,C.则四边形OBAC周长的最小值为
()
典例精讲
● 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(1−a,0),C(1+a,0)(a>0),点 P在以D(4,4)为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足∠BPC=90∘,则a的最 大值是()
典例精讲
● 如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的 中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为______．
解题技巧：将军饮马的第一种情况
典例精讲
●如图所示,已知A( 1 ,y1),B(2,y2)为反比例函数 y 1 图象上的两点,动
点
ຫໍສະໝຸດ BaiduP(x
,
49 6
．
当 x＝ 7 时，面积的最大值为 49 ．
4
6
典例精讲
压轴题研究1——面积最值（动点）
例2：如图，RT△ABC，∠BAC=90°，∠C=60°，BC=24点P是BC边上的 动点（点P与点B,C不重合），过动点P作PD∥BA,交AC于点D试问：当 PC等于多少时，△APD的面积最大？最大面积是多少？
例1：正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上 运动时，保持AM和MN垂直， （1）证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN； （2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动 到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（1）定方向：梯形（规则图形）面积问题； （2）定目标：下底AB=4，高BC=4，缺上底CN（待求 条件） （3）定解法：本题没有明显的角度或三角函数值，加 之前一个问题证明了相似。所以本题是利用相似三角形 对应边的比建立方程来表示CN的长。 （4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。
0)在
x
轴
正
2
半轴上运动,
当
线段
A
P
与
线
段
BP之差x 达到最
大
时
,点P
的坐
标是( )
解题技巧：PA-PB等于AB时，因为三角形三边关系
典例精讲
知识点
周长固定：x+y=1 求面积最大?
S = xy = x(1- x) = x -x2
面积固定：xy=1
求周长最大?
S= xy= x 1 x
=
x 2
分析：（1）定方向：直角三角形（规则图形）面积问题； （2）定目标：△ADP的底PD，高AD都不知道（待求条件） （3）定解法：本题有明显的角度或三角函数值。 （4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。
典例精讲
压轴题研究1——面积最值（动点）
解 ： 设 PC x ， ∵ PD∥BA ， BAC 90° ， ∴ PDC 90°，又∵ C 60°，∴ AC 24gcos 60°12 ，
动点与最值问题
将军饮马： 将军饮马三种情况，两定一动，两动一定，双定双动
另有PPT讲解
三边关系： 两边之和大于第三边，两边只差小于第三边
动点最值问题解析
三点共线
配方法： 纯代数的最值问题用配方，利用二次函数的性质
几何问题，一般以面积周长有关
辅助圆： 动点围绕某一定点旋转，以定点为圆心，
动点到定点长为半径做圆 其他辅助圆做法，另有PPT详解
典例精讲 （2）Q Rt△ABM ∽Rt△MCN ，
AB BM ， 4 x ， MC CN 4 x CN
CN x2 4x 4
压轴题研究1——面积最值（动点）
y
S梯形ABCN
1
2
x2 4x 4
4g4
（0<x<4）
1 x2 2x 8 1 (x 2)2 10
2
2
当 x 2 时， y 取最大值，最大值为 10．