二次根式复习课
初三二次根式复习课件
a
b
ab ( a 0 , b 0 )
a 1 a 2 a 3 ....... a n ( a 1 0 ,a 2 0 ,..... a n 0 )
乘法公式的推广：
a 1 a 2 a 3 ........ a n
a
;
a b
(a 0, b 0)
2. 二次根式的性质
1. a ≥0(a≥0)(双重非负性) 2．( a)2 ＝a(a≥0)； 3.
a (a 0) a ＝|a|＝ ； a (a 0)
2
4. ab＝ a· b(a≥0，b≥0)； 5. a a ＝ (a≥0，b>0)． b b
3.二次根式的运算:
①加减法：先化为最简二次根式，然后合并 同类二次根式； ② 乘法和积的算术平方根可互相转化:
作业布置：试卷
如图，实数在数轴上的位置， 化简 ：
a
2
a
b
2
(a b )
2
、
b
（2011山东）实数a在数轴上的位置如图所 示，则 ( a 4 ) ( a 1 1) 化简后为
2 2
0
5
a 10
a＋2 [2011· 州 ] 要使式 子 鄂 有意义， 则 a 的 取值范围 为 a _____．
[2011· 乌兰察布]
x＋1＋(y－2011) ＝0，则 x ＝____.
2
y
y
2x 3
3 2 x 1,
2x y
化简:
最简二次根式应满足的条件:
（1）被开方数中不含有能开得尽的因 数或因式． （2）根号内不含分母. （3）分母上没有根号.
二次根式复习课PPT课件ppt
A
B
-
2、如图，正方形花坛ABCD的面积为x-1,
那么它的边长是
。
A
D
B
C
-
3、如图，3×3的正方形网格中，请你只用无刻度的 直尺，画出一条长度为无理数的格点线段。
-
① (3)2 (3 2)2
②
125 45 1
5
③ 18• 3 9
④ (1 3 )2 2(3 1 )2(2 3 )2
(1)式子表达的意义不同 (2)a 的取值范围不同
-
请你来化简
( 2a)2 (a3)2
-
本领3: 会正确应用性质3、4
（1） 174174
（2） 17 17
44
（3） 1 7 4 1 7 4（4）
17 17 4 4
（5）17417 4 （6）174174
-
(2) (x 3 )5 ( x)x 3•5 x成 立的条件是_3_ __x_5 a ba•b(a0,b0)
3
-
1 若 （ a2） 22a，a则 的取值 范
2.化（ 简 2： 3） 2（ 32） 2 3化简 1 32： 42
-
(1) 2 12 1 48; 3
(2) 80.521255
-
学校决定在一块长为 54 米，宽为 6
米的长方形空地上种植草皮，问：
⑴ 铺满这块空地,需要购买多少平方米的 草皮? ⑵ 草坪的长是宽的多少倍?
a a(a0,b0) bb
-
（3）已知长方形的面积是 6 cm2,长是 3 cm， 则它的宽是___2___cm,周长为_(_2__3__2___2_)cm
a a(a0,b0) bb
a•ba(b a0,b0)
人教版初中数学八年级下册《二次根式复习课》PPT课件
┃ 知识归类
3．二次根式的运算
a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)；
a＝ b
a b (a≥0，
b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式 ，
再将
被开方数相同 的二次根式进行合并．
分母 开得尽方
课标（RJ）
考易点混攻辨略析: a2 与 a2的区别：(1)表示的意义不同. a2 表示非负实数 a 的
二次根式复习课
知识归类
┃知识归纳┃
1．二次根式的概念
一般地，形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式；
注意： a (a≥0)是非负数，即 a≥0.(双重非负性) [易错点] (1)二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有 意义； (2) 9是二次根式，虽然 9＝3，但 3 不是二次根式．因此二次 根式指的是某种式子的“外在形态”．
算术平方根的平方； a2表示实数 a 的平方的算术平方根．(2)运算 的顺序不同. a2 是先求非负实数 a 的算术平方根，然后再进行平 方运算；而 a2则是先求实数 a 的平方，再求 a2 的算术平方根．(3) 取值范围不同．在 a2 中，a 只能取非负实数，即 a≥0；而在 a2中， a 可以取一切实数．
课标（RJ）
考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一 二次根式的概念
课标（RJ）
┃ 知识归类
2．二次根式的性质
( a)2＝ a
(a≥0)
a a>0， ； a2＝a＝ 0 a＝0，
-a a<0.
化简二次根式时注意: ab＝ a· b (a≥0，b≥0)
ab＝
a b
(a≥0，b>0)
课标（RJ）
┃ ►考点考攻点略二 二次根式性质的运用
二次根式复习课教案---优质课
《二次根式复习课》一、教学背景二次根式属于浙教版初中数学八年级下教材中“数与代数”领域，它是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对七年级上册“实数”“代数式”等内容的延伸和补充。
本章的主要内容有二次根式的概念、性质、运算和应用。
我了解到近几年的中考，融入几何图形中的二次根式问题倍受命题者的青睐与关注，这类题往往背景鲜活，构思新颖，形式多变，给人耳目一新的感觉，它从注重考察同学们对二次根式的性质及计算发展到注重二次根式的蕴酿、构建、空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用二次根式的说理计算题，发展到基于二次根式应用进行探究的综合题，考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显. 这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求。
这节课通过解决几何图形中的问题，对二次根式进行复习，希望能给学生今后解题带来一定的启示与帮助。
二、教学目标1、知识与技能目标（1）理解二次根式的概念，二次根式的性质及运算法则，会运用勾股定理；（2）熟练运用二次根式的性质及运算法则解决简单的几何图形问题；2、过程与方法目标（1）经历应用二次根式的性质、运算法则以及勾股定理解决问题的过程，进一步发展学生的推理能力。
（2）在解决问题的过程中，让学生学会聆听、学会思考，同时发展学生归纳和概括能力。
3、情感、态度与价值观目标通过对几何图形问题的解决，培养学生勇于探索的精神，激发学生的学习兴趣和学习积极性。
三、教学重难点重点：利用二次根式的性质与运算法则和勾股定理解决简单的几何图形问题。
难点：利用数形结合的思想解决问题。
四、教学设计（一）创设情境情境一：中国象棋中的数学知识。
课堂预设：师：老师先调查一下我们班的同学，有多少人会下中国象棋？生（举手示意）师：同学们，能告诉老师棋子中“马”的走法吗？生：马走日的对角线。
师：很好，那同学们能根据如图“马”的位置，描述接下来它可以落下来的位置吗？ 生：有8种情况。
二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
人教版八年级下册数学《二次根式的乘除》说课教学复习课件巩固
，
3 6= 32 6= 54 ，
又∵52＜54，
∴ 52＜ 54 ，
∴
52＞ 54
两个负数比较大小，
绝对值大的反而小
,即 2 13＞-3 6.
探究新知
方法点拨
比较两个二次根式大小的方法：
(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，
当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
在本章中，
如果没有特
别说明，所
有的字母都
表示正数．
被开方数
根指数
二次根式相乘，________不变，________相乘.
语言表述：
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
注意：a,b都必须是非负数.
探究新知
考 点 1 简单的二次根式的乘法运算
计算:
（1） 3 5 ;
解: (1)
(2)
（2）
PA R T
01
学习目标
01
二次根式乘法法则知识点回顾
二次根式乘法法则
• = ≥ 0，b ≥ 0
注意公式成立条件
二次根式乘法法则变形
= • ≥ 0，b ≥ 0
01
探究与思考
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
4
9
4
22
9
32
=
=
4
16
16
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式
都是正数时，平方大的二次根式大．
(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的
近似值，再进行比较．
巩固练习
数学八年级下《二次根式》复习课件
2
先平方,后开方
想一想：
2.从取值范围来看 2 a≥0 a
a
2
≥0 时， 当a ____
a
2
a
2
a取任何实数
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
x1 1 ; x2
解:（1）由
x 1 0
x 2 0,
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
2 3 11 （2）
解：原式
2
11 2 3 .
2
2
11 12 1.
11 2 3 11 2 3
2
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。
?
练习：
1.计算： 1 3 2 （1） 9 45 3 2 ;
1 3
知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x
50
2 x( x y ) 2
x2 y2
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知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式 ①化成最简二次根式后
1 -2 3 （2）（ ） - 2 2 - 3 2 8
0
计算：
20 15 2011 （3） 3( 3 ) (1) 5
(4)
( 2 3)(2 2 1)
二次根式的化简求值
先化简，再求值。
(1)2(a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 其中：a 2 1
二次根式单元复习全面PPT课件
一个数的_算__术__平__方__根___也叫做二次根式。 如 3
注意：被开方数大于或等于零
判断下列各式哪些是二次根式？
a
6 3 7
x2 1
x2
a2 b2
第23页/共95页
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1.
当 x _≤__3__时， 3 x 有意义。
DP C
第41页/共95页
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
D PC
第42页/共95页
拓展1
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
第39页/共95页
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
x2 ( 2)2 x 2 x 2
(2)2x2 3 y 2
( 2x)2 ( 3y)2 2x 3y 2x 3y
第9页/共95页
练习．在实数范围内分解因式
（1） 3x2 15
（2） 2a2 4b2
第10页/共95页
达标检测
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
新沪科版八年级数学下册第16章《二次根式》精品课件
梳理四.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
a ba b (a 0 ,b 0 )
积的算术平方根，等于积中各因式的算 术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
（5）.既可表示开方运算,也可表示运算的 结果.
梳理二．二次根式的性质
（1）． a0 （ ａ 0）
（2）． ( a)2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
梳理三.代数式的定义
形如5，a,a b,ab, s , x2, 3, a(a≥ 0 )
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用本基运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘除、、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母接连起 来 的 式 子 ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
9 计 算 (1)： 0 2( 33)2 解：(1)0 2(33)2 1 0(3)2( 3)2 1027 17
10、式子 (a1)2 a1成立的条件
是（ D ）
A.a1
B.a1
C.a1 D.a1
11、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且 ac，那么 ca (acb)2
（3）.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是 将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.
（4）.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的 约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次
根式化成最简二次根式，再约分.
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已 知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
第1课时：《二次根式》知识点总结复习(学生版)
《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ． 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式m nm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。
1.已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12a b ++的值。
2.若7-3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
3.若172+的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a aa 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【例4】若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
二次根式的复习PPT课件(华师大版)
例2、计算
(1)3 5 2 15
(2) 40 45
(3)3 m6n5 5 m4n2 (m、、 为正数）
(4) 1 48 1
2
8
三、二次根式的乘除 1、积的算术平方根的性质
ab a b(a 0,b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
3、商的算术平方根的性质
而 2a b2 0
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 (a 2)2 b2 ( 2 2)2 22
4
练一练 :
1.如果最简根式 ba 3b 和 2b a 2
是同类二次根式，那么a、b的值分别是（ ） A．a=0，b=2 B．a=2，b=0 C．a=-1，b=1 D．a=1，b=-2
3 的整数部分 1 ，小数部分 3 1 。 15 的整数部分 3 ，小数部分 15 3。
2、化简： ( 15 3)2 ( 15 4)2
3、若a、b分别是 6 13 的整数部分和 小数部分2a-b的值是 13 。
拓展2
细心视察图形,认真分析,思考下列问题.
（1）你能求出哪些线段的长？
OA2=___S1=___ OA3=___S2=___
2.实数a在数轴上的位置如图所示,化简
a
a 1 (a 2)2 =
-1 0 1 2
.
3.若代数式 (2 a)2 (a 4)2 的值是常数2,
则a的取值范围是( )
A. a 2
C. 2 a 4
B. a 2
D. a 2或a 4
4、把 a 1 根号外的因式移到根号内得 a
（） 5、若化简 1 x x24
S4
…… …… A6
S5
OAn=___
中考数学总复习 第05讲 二次根式及其运算课件(考点精
考点2 二次根式的运算
【例2】 （1）（2012·黔东南州）下列等式一定成 立的是（ B ）
A. 9 4 5
B. 5 3 15
C. 9 3
D. 92 9
考点2 二次根式的运算
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
(3)(2012·南通) 计算： 48÷ 3－ 21× 12＋ 24 解 原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6.
求值问题“五招”
(1)巧用乘法公式；(2)巧用平方；(3)巧用配方； (4)巧用换元；(5)巧用倒数．
1.（2013·嘉兴）二次根式中 x 3 ，x的取值范围是 x≥3
2.（2011·杭州）下列各式中，正确的是（ B ）
A. 32 3
B. 32 3
C. 32 3
D. 32 3
3.（2012·金华）一个正方形的面积为15，估计它的边
(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零；
两个防范
(1)求 a2时，一定要注意确定 a 的大小，应注意利用等式 a2＝|a|，当问题中已知条件不能直接判定 a 的大小时就要分 类讨论；
(2)一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探 求思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接影响求 解过程的附加条件．要特别注意，问题中的条件没有主次之分， 都必须认真对待．
请完成考点跟踪突破
（3）（2012·安顺）计算 12 3 3 3 .
考点3 二次根式混合运算
【例 3】 计算：(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解 原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
16章二次根式复习(9课时)
数学活动二 要求学生根据二次根式加 学生自己先独立思考 教 师 讲 解 二 次 根 新知应用 减乘除混合运算的顺序计 做题 式加减乘除混合 2′ 算例 2 小组讨论运算步骤 运算时注意事项
5
教师巡视，指导潜能生 数学活动三 学生思考本节学会了哪些 学生思考总结 课堂小结 知识，有什么收获？ 3′ 学生小结，教师补 充
数学活动四 达标测试 10′
学生自己做题 教师巡视，指导潜能生 学生板演，共同矫 正
6
x 4且x 2
1 25
9 3 25 5
5 125
2 2 2 2 D、 x y x y x y
x ( y 0) 是二次根式，化为最简二次根式是（ y
B、
）
A、
x ( y 0) y
xy ( y 0)
C、
xy ( y 0) y
2
八
第 2周 主题 授课人
1、选择题： （1）化简 A 5
年级
数学
（学科）训练单
总课时第 9 节 设计人 刘金霞 授课时间 3.13
第 4 课时 16、二次根式复习 课 型
问题解决课
52 的结果是（
C 士5 D
） 25 ） D
B -5
（2）代数式
x4 x2
中，x 的取值范围是（
A x 4 B x2 C x 4且x 2 （3）下列各运算，正确的是（ ） A、 2 5 3 5 6 5 C、 5 125 （4）如果 B、 9
(1)按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 4
(2)针对上述各式反映的规律，写出 n(n 为任意自然数，且 n≥2)表示的等式并进行验证．
浙教版数学八年级下册第一章二次根式复习课件
2.化简
的结果是… … … … … …( B )
(A) (B)
(C)
(D)
3.
的结果是… … … … … …( B )
(A) 3 (B) (C)
(D)
4.已知x<2,则化简
的结果 …( D )
(A) x-2 (B) x+2 (C) –x-2 (D) 2-x
5.要使式子
有意义,字母x的取值必须满
足…… ……………………………… …… ( B )
等腰三角形?求这时点P的坐标.
15.在平面直角坐标系中，
y
四边形OABC是等腰梯形， BC//OA,OA=10,AB=4,∠COA=45°，
C
B
点P为x轴正半轴上由O向A运动的一个动点，点P不 与点O、A重合。
(1)求点B的坐标和直线AB的解析式;
解:过点B作BF⊥OA于F. ∵AB=4, ∠COA=∠BAO=45 °,
B
即OA= ,OB= ,
D
OA
x
∴坐标原点O到直线AB的距离
y
C
15.在平面直角坐标系中，
四边形OABC是等腰梯形， BC//OA,OA=10,AB=4,∠COA=45°，
O
B Ax
点P为x轴正半轴上由O向A运动的一个动 点，点P不与点O、A重合。
(1)求点B的坐标和直线AB的解析式;
(2)点P运动到什么位置时,△OCP为
O
y
C
B
P1 P2 P3 A x
16.如图,正方形ABFG与正方形BCDE的面积
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
(完整版)二次根式复习教案.doc
二次根式复习课第一课时一、学习目标：1、能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简.2、能够比较熟练进行二次根式的运算.3、会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题.二、学习重、难点重点：二次根式的性质的应用，二次根式的运算，二次根式的应用. 难点：二次根式性质的应用三、知识回顾1. 下列各式是二次根式的有（）个5 , 3 , 2 7 , 3 , a2， m3A.2B.3 C 。
4 D.52、x 1有意义，则 x 的范围。
x3、若2a 1 2 1 2a ，则 a 。
4、写出一个24 的同类二次根式。
( 6) 2 =______ （）0.4 = （）56 = 5、（1） 2 14（ 4 ）2 3 2 （ 5 ）49m2= （ 6 ）9c 33 2 2000g 3 22001______________四、典型例题例 1：能使等式x x 成立的 x 的取值范围是（）x 2 x 2A. x 2B. x 0C.x>2D. x 2例 2：当 1≤ x≤ 5 时，2x 1x 5 _____________ 。
例 3：已知 xy<0, 化简二次根式 xy） － 2的正确结果为（xA 、 yB 、 －yC 、－ yD 、－ －y例 4：计算（ 1） 31 2755 （2） 9a × a1 ÷ 1 a 33 5153a2a（3） 2 3 32－ 1 233 1 3 1 （4）( 3 + 2 ) + ( － 2) + － 8（5）先化简再求值： a21 a22a 1，期中 a2 1a1a1第二课时一、学习目标：1、能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简.2、能够比较熟练进行二次根式的运算.3、会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题.二、学习重、难点重点：二次根式的性质的应用，二次根式的运算，二次根式的应用. 难点：二次根式性质的应用一、选择：1．下列选项中，对任意实数 a 都有意义的二次根式是( )A ． a－ 1B ． 1－ a C． (1－ a)2 D．1 1－ a2．下列式子中正确的是（）A. 5 2 7B. a2 b2 a bC. a x b x a b xD. 6 83 4 3 2 23．已知 x、 y 为实数， y＝ x－ 2＋2－ x ＋ 4，则 y x的值等于（）A ． 8 B． 4 C． 6 D． 164．下列根式中，是最简二次根式的是（）A. 0.2bB. 12a 12bC. x2 y2D. 5ab25．等式x 3 x 3成立的条件是（）x 5 x 5A 、 x≠ 5 B、 x≥ 3 C、 x≥ 3 且 x≠ 5 D 、 x>56．若 a<0，则化简a3得（）A 、a a B、a a C、a a D、a a7．若a 1 , b 5 , 则（）5 5A 、 a、 b 互为相反数B、 a、 b 互为倒数C、 ab=5 D、 a=b9．若(a 1) 2 a 2 1 2a ，则|1 a | | a | ( )A、1 2a B 、 1 C 、 1 D 、以上答案都不对二、填空：、10a+4 + a+2b－ 2 =0 ， ab=11、若最二次根式 3 4a2 1与26a2 1 是同二次根式， a ______ 。
专题05 二次根式(课件)-备战2023年中考数学一轮复习课件(全国通用)
【考点】二次根式的乘除法 【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可． 【解答】解：原式 9 3 ． 故答案为：3．
知识点4 ：二次根式的化简与运算
典型例题
【例18】（2022•青岛）计算 ( 27 12) 1 的结果是（
）
3
A． 3 3
B．1
C． 5
D．3
【考点】二次根式的混合运算
【解答】解：( 27 12) 1 27 1 12 1 9 4＝3－2＝1，
典型例题
【例21】（3分）（2021•天津6/25）估计 17 的值在（ ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【考点】估算无理数的大小． 【分析】本题需先根据 17 的整数部分是多少，即可求出它的范围． 【解答】解：∵ 17 4.12 ， ∴ 17 的值在4和5之间． 故选：C． 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，在解题时确定无理数的整数部分即 可解决问题．
（2）若 b3 a ，则b叫做a的立方根．
知识点1 ：数的乘方与开方
典型例题
【例1】（2022•宜宾）4的平方根是（ ）
A．2
B．－2
C．16D．±2
【考点】平方根 【解答】解：∵(±2)2＝4， ∴4的平方根是±2， 故选：D． 【点评】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根 的定义，本题属于基础题型．
中考数学一轮复习
05 二次根式
中考命题说明
考点
课标要求
考查角度
了解平方根、算术平方根、
会用平方运算求百以内整数的平方根，会
立方根的概念，会用根号
乘方与
用立方运算求百以内整数（对应的负整数）
1
表示数的平方根、算术平
第16章《 二次根式》单元复习课件
同类二次根式的定义： 几个二次根式化成最简二次 根式以后，如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次 根式.
⑴ 同类二次根式的判断，一般首先需 要把所需判断的二次根式化成最简二次根 式，再观察被开方数是否相同.若相同， 则是同类二次根式，否则不是.
⑵ 几个二次根式是不是同类二次根式， 只与被开方数和根指数有关，而与根号外 的因式或因数无关.
⑶ 只有同类二次根式才可以合并，不 是同类二次根式的不能合并. ⑷ 合并同类二次根式时，将同类二次 根式的系数相加减，根指数与被开方数 （式）保持不变.
二次根式加减运算的一般步骤
⑴ 将每个二次根式化为最简二次根式； ⑵ 找出其中同类二次根式； ⑶ 合并同类二次根式. 1、在运算过程中要注意，根号外的因 式就是这个二次根式的系数，如果系数 是带分数，还要化成假分数. 2、二次根式化为最简二次根式后，被 开方数不同的二次根式不能合并，但是 绝不能丢弃，它们也是结果的一部分.
( )
求下列各式的值：
4 2 ⑴ ( 300)² ⑵ 3 9 ⑶ (－ 2.7)² ⑷ (－2 5)²
⑴ 可直接运用性质 1 ，⑵ ⑶ ⑷ 先利用积的乘方性质 (ab)² ＝ a² b²进行 变形，然后再计算.
( )
解： ⑴ ( 300)² ＝300
⑵
( ) ( )
3 4 9
2
＝3² ×
4 9
2
1.从形式上看，二次根式必须含有 9 ＝3 “ ”如： ，等号左边是二 次根式，右边不是二次根式.
a (a≥o)的式子叫做二次根 形如＿＿ 式。在二次根式 a中，字母 a 必须满 a≥0 足＿＿＿，即被开方数必须是非负数 .
2. 被开方数 a 可以是一个数，也可 以是一个含有字母的式子，但前提是 a≥0.
二次根式复习课
二次根式复习课教案目标1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．教案重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算．难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．教案过程设计一、复习1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化．3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：二、例题例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：分析：(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．x≥-2且x≠0．解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以例3分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．解因为1-a＞0，3-a≥0，所以a＜1，|a-2|＝2-a．(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．解注意：所以在化简过程中，例6分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，三、课堂练习1．选择题：A．a≤2B．a≥2C．a≠2D．a＜2A．x+2 B．-x-2C．-x+2D．x-2A．2x B．2aC．-2xD．-2a2．填空题：4．计算：四、小结1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．五、作业1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？2．把下列各式化成最简二次根式：。
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次根式复习课
教学目标
1. 理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子;
2. 熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.
教学重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算.
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子. 、复习
1.请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的
条件.
指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简 二次根式.
2.二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来.
指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的.把两个二次根式相
计算结果要把分母有理化.
(l) a0);
4.在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
⑴（掐尸二与a =（拓尸（»0）! （可屈 二虚* 血7b=V^Ca>0, b>0）； ⑶卜彩5 b 〉0）与*胡（6
7
例如，化简分，可以用?神方法: ⑴直接约分咅-等=你
先写成分式形式，即■^1低= 除，
\/a
,再运用二次根式的除法袪则进行计算，计算,
3.在二次根式的化简或计算中,
还常用到以下两个二次根式的关系式:
⑵分母有理化存務 5 ⑶看作二次根式的除法=夢 攵倚不一定能化成茁几 当矗耐，如曲)2二护珂Qr (丽)・4^=(耐,此时，V?
■陆？；％<0叭 ■炉叫旋巴但后无意义，所以何此
时5只去(疑
2.
二、例题 例1x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义:
C 1)V3 - X +、如-2 ；
(2) [ ；
⑶伍Sr 3X
分析:
(1) 题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义; (2) 题中，式子的分母不能为零，即:^不能取使1-歹=0的值； (3) 题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义；
(4) 题的分子是二次根式，分母是含 x 的单项式，因此x 的取值必须使二次根式 有意义，
同时使分母的值不等于零.
例记知g n 为实埶且满时亜乎1二求尬％的值.
分析；先根据己知条件求岀m 与n 的值，冉求多顶式6m Jn 的值.二次根式VnF
环厂尹能义的条件分别是』-9》0及9-nO(L 从申来得nKHL 从而确定m 的值 解因为n 2
-
9>0 9-n 2
>0且n-3工0所以n 2
=9且门工3所以
-9 + Jg "口* +4 4 2
n = -3, m = 7 = — = -Ti
-0 J
小结
1．本节课复习的五个基本问题是 “二次根式 ”这一章的主要基础知识，同学们 要深刻
理解并牢固掌握．
fi-3
6m-3n = 6X(-|)-3(-3) = 5.
2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式
有意义的条件（或题中的隐含条件），即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．
3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．
平行四边形
王雪梅
【教学目标】
1、通过对几种平行四边形的回顾与思考，梳理所学的知识，系统地复习平行四
边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法，三角形的中位线定理等;
2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过
程中，逐渐建立知识体系;
3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功 的体验，
形成科学的学习习惯。
【教学重点】
1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。
2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形、三角形的中位线定理的知识体系及
应用方法。
【教学难点】 平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。
【教学过程】
、以题代纲，梳理知识 （一）开门见山，直奔主题
同学们，今天我们一起来复习《平行四边形》的相关知识，先请同学们迅速 地完成下面几道练习题 （二）诊断练习
角线AC 和BD 相交于点0:
矩形
(5)
AB = BC ，四边形ABCD 是平行四边形 OA = OC = OB = OD ，AC 丄 BD 菱形 正方形
2、菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米,
则菱形的边长为丄厘米。
1、根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出,
在四边形
ABCD 中，对
(1) AB = CD,AD = BC
（平行四边形
4、若正方形ABCD的对角线长10厘米，那么它的面积是_5匚平方厘米。
5、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，轴对称图形有：矩形、菱形、正方形，中心对称图形的有: 平行四边形、矩形、菱形、正方形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是:
（三）归纳整理，形成体系
1、性质判定，列表归纳
2、基础练习:
（1）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ C ）
3、顺次连结矩形ABCD各边中点所成的四边形是菱形。
A.对角线相等（距、
正）B.对角线平分一组对角（菱、正）
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直（菱、
正）
矩形、菱形、正方形
(2)正方形具有，矩形也具有的性质是(
A )
A. 对角线相等且互相平分
B. 对角线相等且互相垂直
C.对角线互相垂直且互相平分
D.对角线互相垂直平分且 相等
(3)如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定
都是中心对称图形，A 、B 、C 都是平行四边形
(4)矩形具有，而菱形不一定具有的性质是( B )
问：菱形的对角线一定不相等吗？错，因为正方形也是菱形。
(5)
正方形具有而矩形不具有的特征是(
D )
A.内角为360°
问：那么正方形具有而菱形不具有的特征是什么？对角线相等
能得到哪些新的平行四边形？为什么?
A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.平行四边形
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C. 对边平行且相等
D.内角和为360°
B.四个角都是直角
C.两组对边分别相等
D. 对角线平分对角
一题多变，培养应变能力 已
知： 如图1，□ ABCD 的对角线AC 、BD 交于点0,
EF 过点0与AB 、CD 分别交于点E 、F .
求证: A --------------- E - L
—氓--_ f
'/
J = F
变式1. OE=OF .
证明：•••
在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么?
1-1
变式2.在图1中，如果过点
1-2
0再作GH , 分别交AD 、BC 于G 、H ，你又
D
D
变式2 2-2-2 2-3
变式4.在图1中，若改为过A 作AH 丄BC ,垂足为H , AD 于G ,连结GC ,贝U 四边形AHCG 是什么四边形？为什么？
A ____________ G ，
/ 、丄”
Ct ； -- ---------------------
B H C
变式4
变式5.在图1中，若GH 丄BD , GH 分别交AD 、BC 于G 、H ，则四边形
BGDH 是什么四边形？为什么?
变式5
（二）课堂小结，领悟思想方法
条件和结论互换，往往会有意想不到的收获。
也只有这样，才能做到举一反三, 提咼应变能力。
善于总结，领悟方法。
数学题目本身蕴含着许多数学思想方法，只要你善于总结，就能真正掌握、 提炼出其中的数学方法，才能不断提高自己分析问题、解决问题的能力。
变式3.在图1中，若EF 与AB 、CD 的延长线分别交于点 E 、F ,这时仍有
OE=OF 吗？你还能构造出几个新的平行四边形
?
连结HO 并延长交
.一题多变，举一反三。
经常在解题之后进行反思
改变命题的条件，或将命题的结论延伸，或将。