每周讲讲可导可微与连续的关系

可导、可微以及连续之间的关系 ●讲义内容：设函数()f x 在0x 的邻域内有定义，如果()f x 在0x 处可导，那么()f x 在0x 处必然连续.

★讲解：函数()f x 在0x 处可导，即存在()()000

lim x x f x f x x x →--，由于0x x →时，分母 00x x -→，故分子()()00lim 0x x f x f x →-=⎡⎤⎣

⎦，即函数()f x 在0x 处连续。但是，这个命 题的逆命题不成立，如()f x x =在0x =点处是连续但不可导的。另外，我们也可以从图形的角度区别可导与连续，可导指的是函数的图像是一条光滑的曲线，而连续是指函数的图像不间断。

●讲义内容：设函数()f x 在0x 的邻域内有定义，那么函数()f x 在0x 处可微与函数()f x 在0x 处可导是等价的，也就是说：可微必可导，可导必可微.进一步地，我们还可以得到()f x 在0x 处的微分()'0dy f x x =∆.

★讲解：若函数()f x 在0x 处可微，则(),0y A x o x x ∆=∆+∆∆→。 根据导数的定义，()()000lim lim x x A x o x y f x A x x

∆→∆→∆+∆∆'===∆∆，故可微必可导。 反之，若函数()f x 在0x 处可导，则0lim

x y x ∆→∆∆存在，不妨记0lim x y A x ∆→∆=∆，得 0lim 0x y A x ∆→∆⎛⎫-= ⎪∆⎝⎭，即0l i m 0x y A x x ∆→∆-∆⎛⎫= ⎪∆⎝⎭，由高阶无穷小的定义可知：

(),0y A x o x x ∆-∆=∆∆→，也即(),0y A x o x x ∆=∆+∆∆→，故可导必可微。 从该证明过程中也可以看出，函数()f x 在0x 处可微时，(),0y A x o x x ∆=∆+∆∆→，其中的()()00,A f x dy f x dx ''==。

讲解：简单解释一下上述定理的意义：

首先，可导的函数必连续，这几乎是高等数学中最基本的结论之一了。它在解题时可以给我们一些隐藏的条件，只要题目中告诉了函数是可导的，也就意味着函数连续。 另外，透过可导与可微的关系，我们可以弄清楚微分的几何意义

同时，由于可导与可微等价，而微分的计算也等价与导数的计算，因此，对一元函数来说，只要弄清了导数，也就弄清楚了微分。而导数无论从理解的角度还是从应用的角度都要比微

分方便很多，所以微积分将研究的重点放在了导数上。