固体物理(第16课)紧束缚近似

[ 2 V ( r Rm )] i ( r Rm ) Ei i ( r Rm ) 2m
第m个原子的原子势场 与 i对应的能级 忽略了晶体中其他诸原 子的影响.
2
晶体为N个原子组成的布喇菲晶格，电子Baidu Nhomakorabea成N 度简并的系统。能量为Ei的N度简并态i(r-Rm).
由于其他诸原子的微扰，不完全真正孤立，简并态消除， 而形成N个不同能级构成的能带。(示意图) 取上述N个简并态的线性组合
E(k) Ei J 0
J ( R )e
s Rs
ikRs
将上述六个近邻Rs代入就可得到：
E(k) Ei J 0 2 J I (cos k x a cos k y a cos k z a )
kz
X 立方晶格 布里渊区 2/a kx
点：k=(0,0,0) E()=Ei-J0-6J1
n m n m 0 s s 0
ik( Rn Rm ) ikRs
ikRs
令 r Rm J ( Rs )

* i (
( Rn Rm ))[U ( ) V ( )] i ( )d
式中 Rs=Rn-Rm，为原子的相对位置。 上式为晶体中作共有化运动的电子的能量本征值，与其 对应的波函数为：
1 k ( r ) N
e
n 1
N
ik Rn
i ( r Rn )
ik ( Rn Rs )
E J Ek i ss
J SS J SN
ˆ i ( r Rs ) H i ( r Rs )d V * ˆ ( r R )d i ( r Rs ) H i n
2 2 N 2 2 ˆ H U (r ) V ( r Rn ) 2m 2m n 1 2 2 V ( r Rn ) V ( r Rm ) 2m mn ˆ 2 2 V ( r Rn ) H0 2m 令 ˆ V (r R ) H m mn
ζ ：捷塔
被积函数中 ( Rs )和i ( )表示相距为Rs的 两个原子的s态波函数,当它们有一定重叠时, 积分值才不为0,当Rs 0时,波函数重叠最大, 对此用 J 0 i ( ) [U ( ) V ( )]d
2
其次Rs意味着6个近邻原子
(a,0,0),(0,a,0),(0,0,a), (-a,0,0),(0,-a,0),(0,0,-a), 对于S态，波函数是球对称的，因而J(Rs)仅取决于原子 间距Rs，而与Rs的方向无关。因此， J(Rs)对六个Rs有相 同的值，以Jl表示。 这样，能量函数可写成：
三种电子运动模型
空晶格模型(自由电子模型)：电势为常数。 近自由电子模型：周期晶格，微扰理论，零级近似，简 并微扰。 紧束缚近似模型：原子间距大，晶格势变化显著，在原 子附近电子受自身原子的束缚；较紧，不易产生共有化 运动，近原子区，电子的行为同孤立原子中的电子行为 相似，晶体波函数接近于孤立原子的波函数。
1 (r ) k N E k Ei
s
e
n 1
N
ik Rn
i ( r Rn )
J ( R )e
s s 0
ikRs ikRs
Ei J 0
J ( R )e
s
3. 说明
( r )是布洛赫波函数 (1) k 1 k (r ) N
6.3 紧束缚近似
若电子所处原子势场的作用比其它原子势场作用大得
多，或晶体中原子间距较大时，就不能用近自由电子近 似。 这时电子的共有化运动状态和原子的束缚态之间有直 接关系，这就是紧束缚近似。
6.3.1 原子波函数线性组合
第m个孤立原子位矢 Rm=m1a1+m2a2+m3a3 附近运动电子的束缚态为 i(r-Rm)，该波函数满 足方程:
ik r N
e
n 1
ik Rn
i ( r Rn )
1 N ik ( r Rn ) ik r (r ) e e i ( r Rn ) e uk N n 1 N 1 ik ( r Rm Rn ) (r R ) uk e i ( r Rm Rn ) m N n 1 1 N ik ( r Rl ) e i ( r Rl ) uk ( r ) N l 1
对上式乘以*i(r-Rm)并积分，经过变换后得到
( Ei E )an
解出 am Ce
J (R
n
Rm )am 0
1 N
i 2k Rm
令C
6.3.2 能带结构
将am代入方程得到：
E Ei
i i
J ( R R )e E J ( R R )e E J J ( R )e
* V
与s近邻的n
e
J sn
6.3.4一个简单的例子
简立方中，孤立原子S态s所形成的能带。考查积分项
J ( Rs ) i* ( ( Rn Rm ))[U ( ) V ( )]i ( )d

(r Rm )i ( r Rn )dr 0
* i * i
e
i ( k Gh )( Rn Rs )
e
e
iGh ( Rn Rs )
随k变化，它们构成了与 ( 3) E k Ei相联系的能带 能带的宽度取决于 J sn
示意图
零级近似：
0 0 0 ˆ H 0 k ( r ) E k k ( r ) 0 Ek Ei 0 孤立原子 k ( r ) i ( r Rn )
微扰计算
在紧束缚近似条件下，原子间距比i态的轨道大 得多，不同格点的I重叠很小。可以近似认为：
(r R
* i
m [( Ei
m
)i ( r Rn )dr mn
将上述方程合并得到下列方程：
a
m
E ) U ( r ) V ( r Rm )] i ( r Rm ) 0
l l l k 1 b1 2 b2 3 b3 N1 N2 N3 Ni Ni 其中 li 2 2
在第一布里渊区有N个值不同的 值,对应这些准连续函数取值的 波矢k, E(k)构成一个准连续的能 带.
N为晶体中的原 子数或布喇菲晶 格的原胞数
V为晶体的体积
2. 微扰计算结果
例 半导体的能带模型
能带和能级 原子能级：电子分层绕核运动，各层轨道上运动 的电子具有一定能量，这些能量不连续，只能取 某些固定数值，称为能级。
n=3
Si +14
n=2 n=1
孤立原子能级和能带示意图
返回
对应原子的各不同量子态，固体中产生一系列的能带， 越低的能带越窄，越高的能带越宽。 原因：能量最低的带对应于最内层的电子，它们的电 子轨道很小，在不同原子间很少重叠，因此，能带较 窄，能量较高的外层电子轨道，在不同原子间有较多 的重叠，从而形成较宽的带。
作
业
1 用紧束缚近似模型计算最近邻近似下，一维晶格 的s态电子能带，画出E(k)和波矢k的关系。证明只有 在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无 关。

a (r R
m i m
m)
作为晶体中电子共有化状态的波函数，把原子间的相互 影响作为周期势场的微扰项. 于是晶体中电子的薛定鄂方程为： 2 2 [ U ( r )] E 2m
U (r)
V (r R ) U (r R )
n l
ˆ H k ( r ) E k k ( r )
X点： k=(0,0,/a) E(X)=Ei -J0-2J1
R
ky
R点： k=(/a, /a, /a) E(R)=Ei -J0+6J1
因为J1大于0， 点和R点分别对应于带底和带顶。
J0
12J1
近邻原子重叠越多，能带就越宽
Ek
Ei-J0+6J1 Ei-J0-2J1
X

Ei -J0-6J1 R
E ( 2) E k k Gh E J Ek i ss
与s近邻的n E J Ek i ss Gh
e
ik ( Rn Rs )
J sn J sn J sn
E i J ss
Ek
与s近邻的n ik ( Rn Rs ) 与s近邻的n