动态电路时域分析

uC (t ) 40e
i(t ) e
5104 t
5104 2105
40e1 14.7V
e 0.37mA
1
e
5104 2105
（2） RL电路的零输入响应
RL电路的零输入响应是指电感元件放电过程。图3-7所示电 路中，开关S闭合前电路已经达到稳态。若在时开关S闭合， 电路的初始值 iL (0 ) I 0 。根据KVL，得：
由于 U S 是 iL 的稳态值，同样可记为 iL ( )，故式（3-15）中 R 的可表示为
iL iL ()(1 e
R t L
) iL ()(1 e ) （3-16）

t
电感上的零状态响应电流、电压曲线如图3-13所示。 iC（uC） US US/R iL
6 uC () 15V 10V 3 6
3 6 RC 103 5 106 s 1102 s 3 6
uC (t ) 10(1 e100t )V
duC iC (t ) C 5 106 1000e 100t A 5e 100t mA dt
uC (t ) 10(1 e100t ) 5 100t i(t ) A (1 e )mA 3 3 6 10 6 10 3
（2）RL电路的零来自百度文库态响应
iL (0 ) 0A ， t 0 时开关S闭合，根据KVL，得 如图3-12，
uR uL US
将 uR RiL
uC (t ) u（ ） (1 e ) C
t
（3-14）
【例3.3】图3-11所示，已知uC (0 ) 0V ， t 0 时开关S闭 合。求
t 0时的 uC (t ) 、 iC (t )及 i ( t )。
3KΩ
i
6KΩ
iC uC
图3-11 例3.3图
解： 因为 uC (0 ) 0V ，故有
RC
（3-8）
将式3-8代入式3-6、3-7，可表示为
t u U e 0 C t iC U 0 e R
iC（uC） U0 0.368US 0 uC t iC iC(0+) 图3-5 RC电路的零输入响应波形
τ
【例3.2】如图3-6所示，已知开关S原处于位置1，电路达到
du iC =C dt
（3-3）
当电容两端加电压时，便产生了电场，电场能的大小为
wC 0
t
1 2 pdt C u du Cu （3-4） 0 2
u
理想电容元件能实现电场能和电能进行相互转换，是一种储 能元件，且能量的储存和释放是可逆的。
1.3换路定则与初始值 在换路的瞬间，电容元件的电压不能跃变；电感元件的
uC (0 ) 0V
u u Us
R C
图3-9 RC电路的零状态响应
duC 将 uR iRC，iC C 代入上式得 dt
duC RC uC U s dt
当电路的初始值 uC (0 ) 0V 时，电容上的响应电压为
uC Us (1 e
电容上的响应电流为

RC=20 10 1000 10 =2 10 s
3 -12 -5
uC (t ) U0e

t

40e

t 2105
40e
5104 t
V
uC (t ) 40e i(t ) R 40
5104 t
e
5104 t
mA
将 t 20s 20 105 s 分别代入uC (t )，i ( t ) ，得
uC U 0 e

t RC
（3-6）
电容上的电流为
t duC U 0 RC iC C e dt R
（3-7）
零输入响应时，电容上的电流、电压曲线如图3-5所示。时间 常数 的大小直接影响及的衰减快慢。 越大，衰减的越慢， 暂态时间就越长。 RC称为时间常数，以 表示，单位为秒（s），即
（3）一阶电路的零输入响应 一阶电路的零输入响应是指储能元件储存的初始能量对电阻
t
释放的过程。换路后电路中的电压和电流都是按指数规律 e
衰减 ，一阶RC电路、RL电路的零输入响应都具有以下一般
形式：
f (t ) f (0 )e
f (0 ) -响应的初始值

t

（3-11）

-换路后电路的时间常数 RC
【例3.1】 如图3-3（a）所示电路中，
U 100，R1 60，R2 100 ，开关S原处于位置1，电
路达到稳态。试求S由位置1转接到位置2时，电路中的 R1、R2和C
电压和电流的初始值。
（a）换路前电路
（b）换路后等效电路 图3-3 例3.1图
解： 选定有关电压和电流的参考方向如图3-3所示。由于电 容在直流稳定状态下相当于开路，所以首先求换路前电容
如果是二阶或高阶微分方程，则相应的电路就分别称为二阶
电路或高阶电路。一阶电路是工程中最常见和最简单的动态 电路。
1.1电感元件 1. 电感元件的图形、文字符号 实际的电感元件通常是由导线绕成线圈而成，故实际电感器
件被称为电感线圈。电感线圈是根据电磁感应原理制成的器
件，具有限流、滤波、励磁、调谐等作用。图3-1（a）所示 为常见电感器件，图3-1（b）所示为电感器件的图形符号。
电流不能跃变，这一规律称为换路定则。那么换路定则可以
表示为
uC (0 ) uC (0 ) iL (0 ) iL (0 )
（3-5）
换路定则是分析电路暂态过程的一个重要依据。可根据
定则来确定换路瞬间电路的电压和电流值，即暂态过程的初 始值。
求初始值的一般步骤：
（1）由换路前电路（稳态）求和； （2）由换路定则得和； （3）画出时的等效电路：相当于电压源；相当于电流源； 电压源或电流源的方向与原电路假定的电容电压、电感电流 的参考方向相同。由此时的等效电路进而求得其他元件的初 始值。
iC (0 ) iR2 (0 ) 1A
对 R1 则有
iR1 (0 ) 0A
uR1 (0 ) 0V
拓展视野 一阶电路的响应
1．一阶电路的零输入响应 一阶线性电路中，若仅有储能元件的初始储能所激 发的响应，称为一阶电路的零输入响应。 （1） RC电路的零输入响应 在图3-4所示的电路中，开关S在位置1时，电源对电容C 充电且已达到稳态，此时的电容电压 uC (0 ) U0 。若在时 把开关S从位置1扳到位置2，电路输入信号为零，进入过渡
（3-1）
电流流过电感便产生了磁场，磁场能的大小为
w 0
L
t
pdt uidt Lidi1 Li2 0 0 2
t
i
（3-2）
理想电感元件是一种储能元件，且能量的储存和释放是可逆的。
1.2电容元件 1. 电容元件的图形、文字符号
图3-2（a）所示为常见电容元件器件，图3-2（b）所示为
uR uL 0
将 uR RiL ，uL L
diL 代入上式可得 dt
L diL iL 0 R dt
当电路的初始值 iL (0 ) I 0 时，电感上的响应电流为
iL I 0e
电感上的响应电压为
R t L
US e R
R t L
（3-9）
（3-10）
diL uL L I 0 Re dt
L R
R为换路后的电路对于储能元件C或L两端的戴维南等效电阻。
2. 一阶电路的零状态响应 一阶电路的零状态响应是指电路换路瞬间储能元件中的初始 储能为零，电路中仅有因外加电源作用而产生的响应。 （1） RC电路的零状态响应
RC电路的零状态响应，是指电容的充电过程。图3-9所示，
开关S原处于断开状态，电容的初始状态为零，即 。 t0 在 时开关S闭合，电路接通直流电源，电源将向电容 充电。根据KVL，可得
的电压
uC (0 ) U 100V
t 0 时的等效电路如图3-3（b）所示，根据换路定
则得
uC (0 ) uC (0 ) 100V
根据KVL得
uR2 (0 ) uC (0 ) 0
所以
uR2 (0 ) uC (0 ) 100V
iR2 (0 ) uR2 (0 ) R2 100 1A 100
越大，充电时间越长；反之，充电时间越短。
1 u （ 1 e ）US 0.632US ，即电容电压增至稳 当时 t ， C
态值的0.632倍。当时，电容电压增至稳态值的0.95 0.997倍，
通常认为此时电路已进入稳态。

uC t 时 的稳态值可记
为
uC ( ) 3-12可写为 ，式
动态电路时域分析
学习目标
1. 理解动态元件（电感元件、电容元件） 性质、作用； 2. 掌握换路概念、换路定则和三要素法 分析一阶线性电路的方法； 3. 能运用换路定则分析一阶动态线性电 路变化规律及应用。
课题一 动态元件与换路
在含有电容、电感等储能元件的电路中，能量的积累和 释放都需要一定的时间。储能不可能跃变，需要有一个过渡 过程。 描述动态电路的数学模型通常是线性常微分方程。如果 电路方程是一阶微分方程，则相应的电路就称为一阶电路。
过程。
1 + US -
S 2
R
i + C uC
i R uR
V UO
S
C
uC(0)
（a）电路图
（b）换路瞬间等效电路
图3-4 RC电路的零输入响应
根据KVL，可得
uR uC 0
duC 将uR iRC，iC C 代入上式得 dt
RC
duC uC 0 dt
当电路的初始值 uC (0 ) uC (0 ) U0 时，电容上 的响应电压为
t RC
)（ t 0）
（3-12）
t duC U S RC （ t 0 ）（3-13） iC C e dt R
零状态响应时，电容上的响应电流、电压曲线如图3-10所示。
iC（uC） US
US R
uC
iC 0
图3-10 电容上的响应电流、电压曲线
t
由上述分析可知：电容元件接通电源后的充电过程中，电压从零值按指数 规律上升并趋于稳态值；电路中的电流也是从零跃变到最大值后按指数规 律衰减趋于零值。
电感器件的电路图形符号。
C
（a） 图3-2 电容元件及其图形符号
（b）
电容就是用来衡量电容器储存电荷多少的物理量，以C 表示，其定义式为
q C u
电容的单位为法拉(F)。此外，常用单位还有微法( μF )、 皮法( pF )等，它们之间的换算关系为
1F 106 F=1012 pF
2. 电容元件的特性 在关联参考方向下，电容两端的电压与电流的关系为
diL ，uL L 代入上式得 dt
US L diL iL R dt R
iL uL
图3-12 RL电路的零状态响应
当电路的初始值iL (0 ) 0A时
t R t US U S L i (1 e ) (1 e ) L R R t （3-15） R t di u L L U e L U e L S S dt
L
（a） 图3-1 常用电感线圈及其图形符号
（b）
电感是指单位电流流经电感线圈所产生的磁链。其
定义式为
L I
电感的单位为亨利，简称亨（H）。此外，常用电感的单 位还有毫亨（mH）和微亨（ H ）。
2. 电感元件的特性
在电压和电流关联参考方向下，电感元件上的电压和电流的 关系为
u
L
eL d L di dt dt
R t L
L -RL电路的时间常数，单位是秒（s）。 R
它的大小同样反映了RL电路衰减快慢程度。
电感上零输入响应时的电流、电压的曲线如图3-8所示。
iL(uL)
iL(0+)
uR R Is
0.368I0 0
iL τ uL t
uL
I0R
图3-7 RL电路
图3-8 电感上零输入响应电流、电压的曲线
稳态， US 100V，R1 60，R2 40 ，R 20KΩ，C 1000pF 。试求S由位置1转接到位置2经过20 s 时的电压和电流i各为 多少？
R1 US R2
1 S 2 C uC
i R
图3-6 例3.2图
解：
US 100 uC (0 ) uC (0 ) R2 40V=40V R1 R2 60 40