双曲线参数方程ppt
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2、双曲线的参数方程
x a sec 所以M的轨迹方程是 (为参数) y b tan
x2 y2 消去参数后，得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b
2 2
y a A B' o B b
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M ( x, y)aຫໍສະໝຸດ yA o B
B'
•M
A' x
在OAA '中，x
| OA | b | OA ' | cos cos
b sec ,
b
在OBB '中，y | BB ' || OB | tan b tan .
•M
A' x
说明：
3 通常规定 [o,2 )且 ， 。 2 2
x a sec (为参数) y b tan
⑴ 这里参数
叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 2 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换.
sec 1 tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程
x2 y 2 如图，设M 为双曲线 2 2 1( a 0, b 0)任意一点，O为原点， 例 2、 a b 过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。 探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？ 解：双曲线的渐近线方程为：y b x. a y 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec ,btan）, b A 则直线MA的方程为：y b tan ( x a sec ). ① M x a b 将y= x代入①，解得点A的横坐标为 O a a B xA = （sec tan）. 2 a 同理可得，点B的横坐标为xB = （sec tan）. 2 b 设AOx= ,则tan . a xA xB sin2 = 所以MAOB的面积为 S MAOB =|OA||OB|sin2 cos cos a2(sec2 -tan2 ) a2 a2 b ab = sin2 = tan . 4cos2 2 2 a 2
椭圆双曲线抛物线的参数方程课件
y A
B O M N
φ
x
a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
y
P θ
x r cos 圆的参数方程: (为参数) y r sin θ的几何意义是 ∠AOP=θ
x a cos y b sin 是椭圆的参
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
AB (2 p( t t ), 2 p( t 2 t1 ))
2 2 2 1
因为 OA OB , 所以 OA OB 0, 即 (2 pt1t 2 )2 (2 p)2 t1t 2 0, 所以t1t 2 1...........(8)
因为 OM AB, 所以 OM OB 0, 即
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
抛物线的参数方程
y
M(x,y)
o
(
x
, ) 2 2
设抛物线的普通方程为 y 2 2 px ...........(5) 因为点M 在的终边上，根据三角函数的 y 定义可得 tan ..................................(6) x 2p x tan 2 由(5),(6)解出x , y，得到 ( 为参数） y 2p tan 这就是抛物线(5)(不包括顶点)的参数方程
2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第二讲 2.2 2.2.2 双曲线的参数方程
1．已知动点 M 和定点 A(5,0)，B(－5,0)．
x2 y2 － ＝1 (1)若||MA|－|MB||＝8，则 M 的轨迹方程是__________________ ； 16 9 x 2 y2 － ＝1(x＜0) (2)若|MA|－|MB|＝8，则 M 的轨迹方程是____________________ ； 16 2 9 2 栏 x y 目 － ＝1(x＞0) (3)若|MB|－|MA|＝8，则 M 的轨迹方程是____________________ ． 链 16 9
2 2
x＝2sec α， ∴参数方程为 (α 为参数)． y＝2tan α
变式 训练
x＝ 3tan θ， 1．已知双曲线的参数方程为 (θ 为参数)， y＝sec θ
则它的两条渐近线所成的锐角是________．
栏 目 链 接
答案：60°
题型2
第二讲 参数方程
2.2 圆锥曲线的参数方程
2.2.2 双曲线的参数方程
栏 目 链 接
1.理解双曲线参数方程的概念。
2.能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。
3.掌握参数方程化为普通方程的 几种基本方法。
栏 栏 目 目 链 链 接 接
4.利用双曲线的参数方程求确定最值和轨迹问题。
栏 目 链 接
栏 目 链 接
变式 训练
2．已知定点 A(0,4)和双曲线 x2－4y2＝16 上的动点 B， 点 P 分有向线段 AB 的比为 1∶3，则利用双曲线的参数方 程可求得点 P 的轨迹普通方程是_______________．
栏 目 链 接
答案：x2－4(y－3)2＝1
x2 y2 － ＝1 的参数方程为________. 16 9
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程
x＝sec θ，
解：把双曲线方程化为参数方程
(θ 为参
y＝tan θ
数)，
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18
设双曲线上点 Q(sec θ，tan θ)，则
|PQ|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝
2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，
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5
2．抛物线的参数方程
如图，抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为
x＝2pt2，
____y_＝__2_p_t ____t为参数，t＝tan1
α.
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6
温馨提示 t＝sin1 α(α 是以射线 OM 为终边的角)，即 参数 t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的 斜率的倒数．
第二讲 参数方程
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1
二、圆锥曲线的参数方程 第 2 课时 双曲线的参数方程和
抛物线的参数方程
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2
[学习目标] 1.了解抛物线和双曲线的参数方程，了 解抛物线参数方程中参数的几何意义(重点)． 2.利用抛 物线和双曲线的参数方程处理问题(重点、难点)．
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当 tan θ－1＝0，即 θ＝π4时，
|PQ|2 取最小值 3，此时有|PQ|＝ 3.
即 P、Q 两点间的最小距离为 3.
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19
[迁移探究] (变换条件)已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2－y2＝1 上一点 Q，求 P，Q 两点间 距离的最小值．
解：设 Q(sec θ，tan θ)， 由题意知|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. |O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
二.双曲线的参数方程
a2
(sec2
4 cos2
tan
2
)
sin
2
a2 tan a2 b ab .
2
2a 2
由此可见, 平行四边形 MAOB 的面积恒为定值, 与点
M 在双曲线上的位置无关.
双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | a asec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | tan b tan.
所以M的轨迹方程是
x
渐近线交于 A , B 两点. 探求平行四边形 MAOB 的面积,
由此可以发现什么结论?
解: 双曲线的渐近线方程为 y b x . 不妨设M为双曲 a
线右支上一点, 其坐标为(a sec, b tan ) , 则直线MA的方
程为 y b tan b (x a sec)
aA' •
B
A
B'
o
x
b
x b 1 b cotφ tan φ
y a 1 a cscφ sin φ
练习：
1、求双曲线
x
2
3 secα 的两个焦点坐标.
y 4 3 tanα
(2 15, 0)
2、双曲线{x 3sec y tan
(为参数)的渐近线方程为
__y____13
x
双曲线的参数方程课件
参数方程的等价变换
通过等价变换，可以保持双曲线的形状和性质不变，从而研究不同 参数方程之间的关系。
参数方程的非线性变换
通过非线性变换，可以将双曲线的参数方程转换为非线性形式，以 揭示更多的数学性质和变化规律。
参数方程与其他数学知识的结合
参数方程与解析几何
结合解析几何的知识，可以更深入地研究双曲线的几何性质和变化 规律。
双曲线参数方程的扩展
参数方程的扩展形式
扩展参数范围
将参数的范围从实数扩展到复数，可以引入更丰富的 数学性质和变化。
引入多个参数
通过引入多个参数，可以描述更复杂的双曲线形状和 变化。
参数的非线性关系
打破参数间的线性关系，可以研究更复杂的双曲线性 质和几何结构。
参数方程的变换
参数方程的坐标变换
通过坐标变换，可以将双曲线的参数方程转换为更易于理解和分 析的形式。
迹和变化规律。
02 参数方程的几何意义有助于理解双曲线的形状和 性质，以及在解决实际问题中的应用。
参数方程与直角坐标系的关系
参数方程是在直角坐标系中推导出来的，因此与直角坐标系有密切的联系。
通过参数方程，可以方便地表示双曲线上的点在直角坐标系中的坐标。
参数方程与直角坐标系的关系是相互依存的，参数方程提供了描述双曲 线运动的另一种方式，而直角坐标系则为参数方程提供了具体的数恒等式和双曲线的几何特性， 如焦点到曲线上任一点的距离之差为常数。
03
推导过程展示了参数方程与双曲线标准方程之间的 联系和转换。
参数方程的几何意 义
参数方程中的参数具有明确的几何意义，通常表 01
示双曲线上的点相对于某一基准点的角度或距离。
通过参数的变化，可以描述双曲线上点的运动轨 02
通过等价变换，可以保持双曲线的形状和性质不变，从而研究不同 参数方程之间的关系。
参数方程的非线性变换
通过非线性变换，可以将双曲线的参数方程转换为非线性形式，以 揭示更多的数学性质和变化规律。
参数方程与其他数学知识的结合
参数方程与解析几何
结合解析几何的知识，可以更深入地研究双曲线的几何性质和变化 规律。
双曲线参数方程的扩展
参数方程的扩展形式
扩展参数范围
将参数的范围从实数扩展到复数，可以引入更丰富的 数学性质和变化。
引入多个参数
通过引入多个参数，可以描述更复杂的双曲线形状和 变化。
参数的非线性关系
打破参数间的线性关系，可以研究更复杂的双曲线性 质和几何结构。
参数方程的变换
参数方程的坐标变换
通过坐标变换，可以将双曲线的参数方程转换为更易于理解和分 析的形式。
迹和变化规律。
02 参数方程的几何意义有助于理解双曲线的形状和 性质，以及在解决实际问题中的应用。
参数方程与直角坐标系的关系
参数方程是在直角坐标系中推导出来的，因此与直角坐标系有密切的联系。
通过参数方程，可以方便地表示双曲线上的点在直角坐标系中的坐标。
参数方程与直角坐标系的关系是相互依存的，参数方程提供了描述双曲 线运动的另一种方式，而直角坐标系则为参数方程提供了具体的数恒等式和双曲线的几何特性， 如焦点到曲线上任一点的距离之差为常数。
03
推导过程展示了参数方程与双曲线标准方程之间的 联系和转换。
参数方程的几何意 义
参数方程中的参数具有明确的几何意义，通常表 01
示双曲线上的点相对于某一基准点的角度或距离。
通过参数的变化，可以描述双曲线上点的运动轨 02
双曲线参数方程课件
双曲线的两个分支通过渐近线相连， 程的应用场景
在物理学中，双曲线参数方程可 以用于描述物体的运动轨迹，例
如行星的运动轨迹。
在工程学中，双曲线参数方程可 以用于设计各种机械零件和结构，
例如弹簧、拱桥等。
在数学教育中，双曲线参数方程 是平面解析几何的重要内容之一，
实例三：双曲线参数方程的实际应用
总结词
介绍双曲线参数方程在现实生活中的 应用。
详细描述
列举一些双曲线参数方程在科学、工 程、技术等领域的应用案例，如卫星 轨道、光学仪器设计等，说明双曲线 参数方程的实际价值。
01
双曲线参数方程的 扩展与展望
双曲线参数方程的变种
椭圆参数方程
椭圆参数方程是双曲线参数方程的一种变种，它描述了椭圆上的 点与原点的距离和角度关系。
证明结果
证明了双曲线的参数方程 可以表示双曲线的位置和 大小。
参数方程与普通方程的转换
转换方法
通过消去参数θ，将参数方程转换 为普通方程。
转换过程
利用三角函数的加法定理和减法定 理，消去参数θ，得到双曲线的普 通方程。
转换结果
证明了双曲线的参数方程和普通方 程是等价的，可以相互转换。
01
双曲线参数方程的 实例分析
实例一：特定双曲线的参数方程
总结词
通过具体双曲线的参数方程，展 示双曲线的几何特性。
详细描述
选取一个具体的双曲线，如x^2 y^2 = 1，通过参数方程的形式， 展示双曲线的标准方程、焦点位 置、离心率等几何特性。
实例二：参数变化对双曲线形状的影响
总结词
分析参数变化对双曲线形状的影响。
详细描述
通过改变双曲线参数方程中的参数，观察双曲线形状的变化，如焦点距离、开 口大小等，从而理解参数在双曲线形状中的作用。
第二讲-4双曲线的参数方程
因为OA ⊥ AA`, 所以OA ⋅ AA` = , 从而
a cos ϕ ( x − a cos ϕ ) − (a sin ϕ ) = . a 解得 x = .记 cos ϕ
cos ϕ = sec ϕ , 则x = a sec ϕ .
y
B` A
M
ϕ
O B
A `
x
因为点B`在角ϕ的终边上,由 y 图 − 三角函数定义有 tan ϕ = , b 即y = b tan ϕ . 所以, 点M的轨迹的参数方程为
S平行四边形MAOB =| OA | ⋅ | OB | sin α xA xB = ⋅ ⋅ sin α cos α cos α
y
A
M
O
x
练习: 练习
1.已知参数方程
1 x = t + t 是参数, 1 (t 是参数 t >0) y = t − t
化为普通方程,画出方程的曲线. 化为普通方程,画出方程的曲线. 画出方程的曲线
x2 y2 与椭圆类似， 与椭圆类似， 2 − 2 = 1双 a b
y
B` A
M
ϕ
O B
A `
x
例
图 − , 设M为 曲 如 双
y
x y 线 − = (a,b > ) 上 意 任 a b 一 , O 原 ,过 M 作 曲 点 为 点 点 双 线 渐 线 平 线分 与 两 近 的 行 , 别 两 近 交 A B两 .探 平 渐 线 于, 点 求 行 边 M B 的 积,由 四 形 AO 面 此 可 发 什 结 ? 以 现 么 论
A
M
O
B
x
同理可得点B的横坐标为 a b xB = (sec ϕ − tan ϕ ). 设∠AOx = α , 则 tan α = . a 所以, 平行四边形MAOB的面积为
a cos ϕ ( x − a cos ϕ ) − (a sin ϕ ) = . a 解得 x = .记 cos ϕ
cos ϕ = sec ϕ , 则x = a sec ϕ .
y
B` A
M
ϕ
O B
A `
x
因为点B`在角ϕ的终边上,由 y 图 − 三角函数定义有 tan ϕ = , b 即y = b tan ϕ . 所以, 点M的轨迹的参数方程为
S平行四边形MAOB =| OA | ⋅ | OB | sin α xA xB = ⋅ ⋅ sin α cos α cos α
y
A
M
O
x
练习: 练习
1.已知参数方程
1 x = t + t 是参数, 1 (t 是参数 t >0) y = t − t
化为普通方程,画出方程的曲线. 化为普通方程,画出方程的曲线. 画出方程的曲线
x2 y2 与椭圆类似， 与椭圆类似， 2 − 2 = 1双 a b
y
B` A
M
ϕ
O B
A `
x
例
图 − , 设M为 曲 如 双
y
x y 线 − = (a,b > ) 上 意 任 a b 一 , O 原 ,过 M 作 曲 点 为 点 点 双 线 渐 线 平 线分 与 两 近 的 行 , 别 两 近 交 A B两 .探 平 渐 线 于, 点 求 行 边 M B 的 积,由 四 形 AO 面 此 可 发 什 结 ? 以 现 么 论
A
M
O
B
x
同理可得点B的横坐标为 a b xB = (sec ϕ − tan ϕ ). 设∠AOx = α , 则 tan α = . a 所以, 平行四边形MAOB的面积为
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
[研一题] [ 例 3]
x＝4secθ， y＝3tan θ
如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线 (θ 为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双
曲线渐近线的最大距离．
[精讲详析]
本题考查椭圆及双曲线的参数方程， 解答本题需
要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条 件求出椭圆的参数方程求解即可． x2 y2 ∵16－ 9 ＝1，∴右焦点(5,0)，右顶点(4,0)．
设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长 线上， M 为线段 OP 且
x＝2t， 的中点， 抛物线的参数方程为 y＝2t2，
x0＝4t， 由中点坐标公式得 y0＝4t2，
1 2 变形为 y0＝4x0，即 x2＝4y. 表示的为抛物线．
[悟一法] 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需 要引入一个中间变量即参数(将 x，y 表示成关于参数的函数)，然 后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点 的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
p p F(2，0)，准线 x＝－2，设准线与 x 轴的交点为 A.由抛物线定义可 得|EM|＝|MF|，所以△MEF 是正三角形，在 Rt△EFA 中，|EF| p ＝2|FA|，即 3＋2＝2p，得 p＝2.
《双曲线几何性质》课件
生活中的双曲线应用
总结词
双曲线在日常生活中也有很多应用，如建筑设计、工程制造和艺术创作等。
详细描述
在建筑设计中，双曲线用于构建优美的曲线形状，如桥梁、建筑物的外观和内部结构。在工程制造中 ，双曲线用于制造各种零部件和工具，如机械零件、光学仪器等。在艺术创作中，双曲线用于创作优 美的图案和造型，如绘画、雕塑和音乐作品等。
双曲线的轴对称性
总结词
双曲线的轴对称性是指以通过双曲线中心的直线为对称轴，双曲线上的任意一 点关于该对称轴的对称点也在双曲线上。
详细描述
对于双曲线上的任意一点P，关于通过双曲线中心的直线（称为对称轴）的对称 点P'也在双曲线上。这种对称性使得双曲线在对称轴两侧保持一致的形状和方 向。
04
双曲线的面积与周长
这两个定点称为双曲线的焦点，焦点之间的距离称为焦距。
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ ，其中$a > 0$，$b > 0$，$c = sqrt{a^2 + b^2}$。
VS
焦点在y轴上
$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$ ，其中$a > 0$，$b > 0$，$c = sqrt{a^2 + b^2}$。
双曲线的面积
总结词
详细描述
总结词
详细描述
双曲线的面积可以通过特定 的公式进行计算，该公式基 于双曲线的参数方程和定义 域。
双曲线的面积计算公式为 (A = piab)，其中 (a) 和 (b) 分 别是双曲线的实半轴和虚半 轴长度。这个公式基于双曲 线的参数方程和定义域，通 过积分运算得出。
2.2 2~3双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
[答案] (1)(0，± 3)；(2)y＝x2. 4
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(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参
数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参 数的意义． (2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是 sec φ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec φ， 则焦点在y轴上．
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4．如图所示，O是直角坐标原点，A，B是 抛物线y2＝2px(p＞0)上异于顶点的两动
点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求
点M的轨迹方程．
返回
解： 根据条件， 设点 M， B 的坐标分别为(x， (2pt2， A， y)， 1 2pt1)，(2pt2，2pt2)(t1≠t2，且 t1· ≠0)，则 t2
返回
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则：(|F1P|· 2P|)2 |F ＝[(sec θ＋ 2)2＋tan2θ]· [(sec θ－ 2)2＋tan2θ] ＝(sec2 θ＋2 2sec θ＋2＋tan2θ)(sec2 θ－2 2sec θ＋2＋tan2θ) ＝( 2sec θ＋1)2( 2sec θ－1)2 ＝(2sec2 θ－1)2. 又|OP|2＝sec2 θ＋tan2θ＝2sec2 θ－1， 由此得|F1P|· 2P|＝|OP|2. |F
x＝btan φ， 数方程是 y＝asec φ.
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2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px
x＝2pt2， 的参数方程为 y＝2pt
t∈R.
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与 原点连线的斜率的倒数．
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[例 1]
x＝2 3tan (1)双曲线 y＝6sec α
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1．双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 2－ 2＝1 的参 a b
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(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参
数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参 数的意义． (2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是 sec φ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec φ， 则焦点在y轴上．
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4．如图所示，O是直角坐标原点，A，B是 抛物线y2＝2px(p＞0)上异于顶点的两动
点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求
点M的轨迹方程．
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解： 根据条件， 设点 M， B 的坐标分别为(x， (2pt2， A， y)， 1 2pt1)，(2pt2，2pt2)(t1≠t2，且 t1· ≠0)，则 t2
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则：(|F1P|· 2P|)2 |F ＝[(sec θ＋ 2)2＋tan2θ]· [(sec θ－ 2)2＋tan2θ] ＝(sec2 θ＋2 2sec θ＋2＋tan2θ)(sec2 θ－2 2sec θ＋2＋tan2θ) ＝( 2sec θ＋1)2( 2sec θ－1)2 ＝(2sec2 θ－1)2. 又|OP|2＝sec2 θ＋tan2θ＝2sec2 θ－1， 由此得|F1P|· 2P|＝|OP|2. |F
x＝btan φ， 数方程是 y＝asec φ.
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2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px
x＝2pt2， 的参数方程为 y＝2pt
t∈R.
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与 原点连线的斜率的倒数．
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[例 1]
x＝2 3tan (1)双曲线 y＝6sec α
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1．双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 2－ 2＝1 的参 a b
圆、椭圆、双曲线的参数方程23页PPT
圆、椭圆、双曲线的参数方程
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走
《直线与双曲线》课件
根据双曲线的定义和性质，可以得出点到焦点的距离公式。然后根据题目给出的条 件，将已知数值代入公式进行计算。
综合题类型及解题思路
类型三：与切线有关的问题
求切线方程，需要利用导数和切线的定义，结合几何意义进行求解。
首先求出双曲线在某一点的导数，这个导数表示该点切线的斜率。然后根据切线的定义和斜 率，写出切线方程。最后将已知数值代入切线方程进行求解。
直线与双曲线的交点
交点的求法
当直线的方程与双曲线的方程相等时 ，解出x和y的值即为交点坐标。
交点的性质
直线与双曲线的交点满足两个方程， 因此交点同时属于直线和双曲线。
01
直线与双曲线的位 置关系
直线与双曲线相切
切点定义
直线与双曲线在某一点相切，该 点称为切点。
切线性质
切线与双曲线的渐近线平行，且切 线斜率等于双曲线在该点的导数。
步骤
设直线方程为 $x = ty + m$，双曲线方程为 $x = rho cos theta, y = rho sin theta$，联立两个方程消去参数 $theta$ 和 $rho$。
应用
适用于求解与参数相关的直线与双曲线的交点问题。
01
直线与双曲线的综 合题解析
综合题类型及解题思路
类 各种轨迹问题，如行星运动轨迹等。
物理问题中的应用
光学和声学
在光学和声学中，光线和声波的 传播路径可以模拟为直线或双曲
线的形式。
力学
在力学中，直线与双曲线可以用 来描述物体运动轨迹和受力分析
。
电学
在电学中，电流的传导和电场的 分布可以用直线与双曲线的知识
来解释。
实际生活中的应用
《直线与双曲线》 ppt课件
综合题类型及解题思路
类型三：与切线有关的问题
求切线方程，需要利用导数和切线的定义，结合几何意义进行求解。
首先求出双曲线在某一点的导数，这个导数表示该点切线的斜率。然后根据切线的定义和斜 率，写出切线方程。最后将已知数值代入切线方程进行求解。
直线与双曲线的交点
交点的求法
当直线的方程与双曲线的方程相等时 ，解出x和y的值即为交点坐标。
交点的性质
直线与双曲线的交点满足两个方程， 因此交点同时属于直线和双曲线。
01
直线与双曲线的位 置关系
直线与双曲线相切
切点定义
直线与双曲线在某一点相切，该 点称为切点。
切线性质
切线与双曲线的渐近线平行，且切 线斜率等于双曲线在该点的导数。
步骤
设直线方程为 $x = ty + m$，双曲线方程为 $x = rho cos theta, y = rho sin theta$，联立两个方程消去参数 $theta$ 和 $rho$。
应用
适用于求解与参数相关的直线与双曲线的交点问题。
01
直线与双曲线的综 合题解析
综合题类型及解题思路
类 各种轨迹问题，如行星运动轨迹等。
物理问题中的应用
光学和声学
在光学和声学中，光线和声波的 传播路径可以模拟为直线或双曲
线的形式。
力学
在力学中，直线与双曲线可以用 来描述物体运动轨迹和受力分析
。
电学
在电学中，电流的传导和电场的 分布可以用直线与双曲线的知识
来解释。
实际生活中的应用
《直线与双曲线》 ppt课件
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
[悟一法] 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲 线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解 过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可 将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．
[通一类] 1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶 点．
证明：设双曲线为 x2－y2＝a2，取顶点 A(a,0)， 弦 B′B∥Ox，B(asecα，atan α)，则 B′(－asecα，atan α)． atan α atan α ∵kB′A＝ ，kBA＝ ， －asecα－a asecα－a ∴kB′A·BA＝－1. k ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点.
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为
x＝2pt2 y＝2pt
，t∈ R .
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点 连线的 斜率的倒数 ．
[小问题·大思维]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？ 提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点 M的离心角)，而不是OM的旋转角．
双曲线的几何性质课件
2
渐近线特点
渐近线具有与曲线相交的独特特点，可以使用它们来描述和绘制双曲线的形状。
3
渐近线的运用
渐近线对于双曲线的研究和应用具有重要意义，例如在建筑设计和曲线绘制中的 应用。
双曲线的参数方程
双曲线可以用参数方程表示，这种表示形式不仅简洁明了，而且更加灵活，适用于各种数学和物理问题的研究。
双曲线的几何性质实例
光学应用
建筑设计
双曲线在光学中有着广泛的应用， 如反射镜、折射器和光学透镜的 设计。
双曲线在建筑设计中用于创建独 特的曲线结构，例如拱形天花板 和拱门。
桥梁结构
双曲线被广泛应用于桥梁设计中， 能够提供更大的强度和稳定性。
焦点和直线
双曲线有两个焦点和一条与两个 焦点距离之差为常数的轴线。
参数方程
双曲线可以用参数方程表示，这 使得研究其运动和性质更加方便。
双曲线的离心率
双曲线的离心率是一个重要参数，它描述了曲线的形状和特征。离心率越大， 曲线形状越扁平；离心率越小，曲线形状越接近于直线。
双曲线的应用举例
天体运动
双曲线广泛应用于描述天体的轨道运动，如彗 星的轨道和宇宙飞船的航行轨迹。
金融市场
双曲线模型被广泛应用于金融市场的期权定价 和风险管理。
通信技术
双曲线在无线通信中起着重要作用，如GPS系统 中卫星的定位和测量。
物理学
双曲线在物理学中有着重要的应用，如电磁场 的辐射模式和夸克的弹性碰撞。
双曲线的渐近线
1
渐近线定义
渐近线是双曲线与其渐近线之间的关系。渐近线可以是直线，曲线，或者是一点。
双曲线的几何性质
通过本课件，我将为您介绍双曲线的定义、公式、基本图形、渐近线、离心 率、焦点和直线、参数方程以及应用举例。
2-2-2.双曲线的参数方程
证明 设
如图所示， α ，btan
a α，A cos
[思维启迪] 先用双曲线参数 方程表示点A、B、P的坐标， 再证kPA· kPB＝定值．
，btan
θ.
a Pcos
θ
∵AB 过原点 O， ∴A，B 的坐标关于原点对称， 于是有
a B －cos
，－btan θ
x a sec 所以M的轨迹方程是 (为参数) y b tan
x2 y2 消去参数后，得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b
2 2
y பைடு நூலகம் A B' o B b
答案：10或6
【变式2】
x＝ sec 双曲线 y＝ tan
φ， φ
(φ 为 参 数 ) 的 极 坐 标 方 程 为
________．
解
由sec2φ－tan2φ＝1得双曲线的普通方程为x2－y2＝1，
令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得双曲线的极坐标方程为 ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，即ρ2cos 2θ＝1. 答案 ρ2cos 2θ＝1
•M
A' x
说明：
3 通常规定 [o,2 )且 ， 。 2 2
x a sec (为参数) y b tan
⑴ 这里参数
叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 2 1与三角恒等式 2 a b 2 2
θ，从而：
btan α－tan θ btan α＋tan θ kPA· kPB＝ · 1 1 1 1 acos α－cos θ acos α＋cos θ
《二讲双曲线》课件
添加 标题
双曲线的图像：双曲线有两个分支，在平 面坐标系中呈现出“马蹄形”的形状。
添加 标题
参数方程与图像的关系：通过参数方程可 以绘制出双曲线的图像，而通过图像也可 以读取出双曲线的参数方程。
添加 标题
参数方程的应用：双曲线的参数方程在物理学、 工程学等领域有着广泛的应用，例如在研究天体 运动、电磁波传播等问题时常常会用到双曲线的 参数方程。
预习内容建议：回 顾双曲线的定义、 性质和图像
所需准备材料：笔 记本、笔、教材等
预习时间安排：建 议提前一周开始预 习
感谢观看
汇报人：PPT
图像特征：与双曲 线渐行渐远
双曲线的离心率
离心率的定义：离心率是双曲线的一个重要几何性质，它表示双曲线与焦点的距离与双曲线实 轴长度的比值。
离心率的取值范围：离心率的取值范围是大于1，表示双曲线与焦点的距离大于双曲线实轴长度。
离心率与双曲线形状的关系：离心率越大，双曲线的开口越宽，形状越扁平；离心率越小，双 曲线的开口越窄，形状越接近于椭圆。
双曲线的性质
双曲线是平面上的两条曲线，它们在两个不同的方向上弯曲。 双曲线的两个焦点位于其对称轴上，并且离原点的距离相等。 双曲线的渐近线是与双曲线无限接近的直线，它们与双曲线在同一直线上。 双曲线的离心率大于1，这是双曲线与椭圆和圆的区别之一。
双曲线的几何性质
双曲线的对称性
定义：双曲线关 于原点对称
双曲线的渐近线：双曲线与坐标轴的交点为渐近线，其斜率为b/a。
双曲线的离心率：离心率e是描述双曲线离散程度的参数，其值为c/a， 其中c为焦点到原点的距离。
双曲线的焦点位置：对于中心在原点的双曲线，其焦点位置为x轴正负 方向上，距离原点为c的点。
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二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
所以M的轨迹方程是
x
所以，xy=2p2tp2t,.(t为参数，t R)表示整条抛物线。
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
感谢您的阅读！ 为 了 便于学习和使用，本 文档下载后内容可随意修 改调整及打印 ， 欢 迎 下 载 ！
即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=
x y
.
思考：
怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p>0)的 参数方程？
y
o
x
例1：如图，O是直角坐标原点，A、B 是抛物线y2=2px (p>0)上异于顶点的两 动点，且OA⊥OB，OM ⊥AB并与AB 相交于点M，求点M的轨迹方程
作业： P34-35 Ex 3、4、5
x 2sec 1 y 3tan
x 5sec ２ y 7 tan
x 1 sec
３
3
y tan
练习三
求双曲线 方程
x
y
3 tan
sec
x
的渐近线
tan
解：将双曲线方程变为
3
y
sec
消去参数，得 y2 x2 1 9
所以渐近线方程为 y 1 x
3
例2、如图，设M
为双曲线
x2 a2
y2 b2
)
•
sin2
=
a2 2
•ห้องสมุดไป่ตู้
tan
a2 2
•
b a
ab . 2
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
练习四
1、已知圆O : x2 ( y 2)2 1上一点P与双曲线
x2 y2 1上一点Q，求P、Q两点距离的最小值
解：设双曲线上点的坐标为Q(sec , tan )
t
化为普通方程,画出方程的曲线.
2.参数方程
x y
a sec b tan
(是参数,
2
)
2
表示什么曲线?画出图形.
4.4.3 参数方程的应用(3) -----抛物线的参数方程
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
设M（x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点，
以射线OM为终边的角记作。
o 因为点M（x,y）在的终边上，根据三角函数定义可得
y
a sec b tan
(为参数)
消去参数后，得 x2 - y2 =1, a2 b2
这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为：
y
a
A B' • M
x
y
a b
sec tan
(为参数)
通常规定 [o,2 )且
，
3
。
b
22
说明：
1(a
0,b 0)任意一点，O为原点，
过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。
探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
a 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec,btan）,
y
则直线MA的方程为：y b tan b (x a sec).
o B A' x
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵se双c2曲线的1参t数an方2 程相可比以较由而方得程到，ax22所以by22双曲1与线三的角参恒数等方式程
的实质是三角代换.
双曲线焦点在x轴 双曲线焦点在y轴
练习一 写出下列双曲线的参数形式：
练习二 已知双曲线的参数形式，写出普通式：
将y=
b
a x代入①，解得点A的横坐标为
同设理A可aOx得=，,x点 则A =Bta2（的 ans横 ec坐b标.t为anxB =）a2（. sec tan）.
①
A
M
O B
x
a
所以MAOB的面积为
S
MAOB =|OA|•|OB|sin2 =
xA
cos
•
xB
cos
sin2
=
a2(sec2 -tan2 4cos2
先求圆心到双曲线上点的最小距离
OQ 2 sec2 (tan 2)2
tan2 1 tan2 4 tan 4 2(tan 1)2 3
当tan 1,即 或 5 时, OQ 3
44
m in
PQ 3 1 m in
C
练习:
x t1 t
1.已知参数方程 y t 1 (t 是参数, t >0)
y x
H tan.
x
解又如出设果x,抛设y得物t=到线ta抛普1n物通,线 方t 程 （(-为 不y包,20=括)2p顶(x0.点,+）)的,则参有数方程：xy=tta2an2pn2p
, .
(
为参数)
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数)
思考：参数t的几何意义是什么？
当t 0时，参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点（0，0）。
2、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
所以M的轨迹方程是
x
所以，xy=2p2tp2t,.(t为参数，t R)表示整条抛物线。
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
感谢您的阅读！ 为 了 便于学习和使用，本 文档下载后内容可随意修 改调整及打印 ， 欢 迎 下 载 ！
即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=
x y
.
思考：
怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p>0)的 参数方程？
y
o
x
例1：如图，O是直角坐标原点，A、B 是抛物线y2=2px (p>0)上异于顶点的两 动点，且OA⊥OB，OM ⊥AB并与AB 相交于点M，求点M的轨迹方程
作业： P34-35 Ex 3、4、5
x 2sec 1 y 3tan
x 5sec ２ y 7 tan
x 1 sec
３
3
y tan
练习三
求双曲线 方程
x
y
3 tan
sec
x
的渐近线
tan
解：将双曲线方程变为
3
y
sec
消去参数，得 y2 x2 1 9
所以渐近线方程为 y 1 x
3
例2、如图，设M
为双曲线
x2 a2
y2 b2
)
•
sin2
=
a2 2
•ห้องสมุดไป่ตู้
tan
a2 2
•
b a
ab . 2
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
练习四
1、已知圆O : x2 ( y 2)2 1上一点P与双曲线
x2 y2 1上一点Q，求P、Q两点距离的最小值
解：设双曲线上点的坐标为Q(sec , tan )
t
化为普通方程,画出方程的曲线.
2.参数方程
x y
a sec b tan
(是参数,
2
)
2
表示什么曲线?画出图形.
4.4.3 参数方程的应用(3) -----抛物线的参数方程
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
设M（x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点，
以射线OM为终边的角记作。
o 因为点M（x,y）在的终边上，根据三角函数定义可得
y
a sec b tan
(为参数)
消去参数后，得 x2 - y2 =1, a2 b2
这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为：
y
a
A B' • M
x
y
a b
sec tan
(为参数)
通常规定 [o,2 )且
，
3
。
b
22
说明：
1(a
0,b 0)任意一点，O为原点，
过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。
探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
a 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec,btan）,
y
则直线MA的方程为：y b tan b (x a sec).
o B A' x
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵se双c2曲线的1参t数an方2 程相可比以较由而方得程到，ax22所以by22双曲1与线三的角参恒数等方式程
的实质是三角代换.
双曲线焦点在x轴 双曲线焦点在y轴
练习一 写出下列双曲线的参数形式：
练习二 已知双曲线的参数形式，写出普通式：
将y=
b
a x代入①，解得点A的横坐标为
同设理A可aOx得=，,x点 则A =Bta2（的 ans横 ec坐b标.t为anxB =）a2（. sec tan）.
①
A
M
O B
x
a
所以MAOB的面积为
S
MAOB =|OA|•|OB|sin2 =
xA
cos
•
xB
cos
sin2
=
a2(sec2 -tan2 4cos2
先求圆心到双曲线上点的最小距离
OQ 2 sec2 (tan 2)2
tan2 1 tan2 4 tan 4 2(tan 1)2 3
当tan 1,即 或 5 时, OQ 3
44
m in
PQ 3 1 m in
C
练习:
x t1 t
1.已知参数方程 y t 1 (t 是参数, t >0)
y x
H tan.
x
解又如出设果x,抛设y得物t=到线ta抛普1n物通,线 方t 程 （(-为 不y包,20=括)2p顶(x0.点,+）)的,则参有数方程：xy=tta2an2pn2p
, .
(
为参数)
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数)
思考：参数t的几何意义是什么？
当t 0时，参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点（0，0）。