双曲线参数方程ppt

所以，xy=2p2tp2t,.(t为参数，t R)表示整条抛物线。
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
y x
H tan.
x
解又如出设果x,抛设y得物t=到线ta抛普1n物通,线 方t 程 （(-为 不y包,20=括)2p顶(x0.点,+）)的,则参有数方程：xy=tta2an2pn2p
, .
(
为参数)
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数)
思考：参数t的几何意义是什么？
当t 0时，参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点（0，0）。
1(a
0,b 0)任意一点，O为原点，
过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。
探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
a 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec,btan）,
y
则直线MA的方程为：y b tan b (x a sec).
先求圆心到双曲线上点的最小距离
OQ 2 sec2 (tan 2)2
tan2 1 tan2 4 tan 4 2(tan 1)2 3
当tan 1,即 或 5 时, OQ 3
44
m in
PQ 3 1 m in
C
练习:
x t1 t
1.已知参数方程 y t 1 (t 是参数, t >0)
t
化为普通方程,画出方程的曲线.
2.参数方程
x y
a sec b tan
(是参数,
2
)
2
表示什么曲线?画出图形.
4.4.3 参数方程的应用(3) -----抛物线的参数方程
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
设M（x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点，
以射线OM为终边的角记作。
o 因为点M（x,y）在的终边上，根据三角函数定义可得
即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=
x y
.
思考：
怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p>0)的 参数方程？
y
o
x
例1：如图，O是直角坐标原点，A、B 是抛物线y2=2px (p>0)上异于顶点的两 动点，且OA⊥OB，OM ⊥AB并与AB 相交于点M，求点M的轨迹方程
作业： P34-35 Ex 3、4、5
将y=
b
a x代入①，解得点A的横坐标为
同设理A可aOx得=，,x点 则A =Bta2（的 ans横 ec坐b标.t为anxB =）a2（. sec tan）.
①
A
M
O B
x
a
所以MAOB的面积为
S
MAOB =|OA|•|OB|sin2 =
xA
cos
•
xB
cos
sin2
=
a2(sec2 -tan2 4cos2
x 2sec 1 y 3tan
x 5sec ２ y 7 tan
x 1 sec
３
3
y tan
练习三
求双曲线 方程
x
y
3 tan
sec
x
的渐近线
tan
解：将双曲线方程变为
3
y
sec
消去参数，得 y2 x2 1 9
所以渐近线方程为 y 1 x
3
例2、如图，设M
为双曲线
x2 a2
y2 b2
)
•
sin2
=
a2 2
•
tan
a2 2
•
b a
ab . 2
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
练习四
1、已知圆O : x2 ( y 2)2 1上一点P与双曲线
x2 y2 1上一点Q，求P、Q两点距离的最小值
解：设双曲线上点的坐标为Q(sec , tan )
o B A' x
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵se双c2曲线的1参t数an方2 程相可比以较由而方得程到，ax22所以by22双曲1与线三的角参恒数等方式程
的实质是三角代换.
双曲线焦点在x轴 双曲线焦点在y轴
练习一 写出下列双曲线的参数形式：
练习二 已知双曲线的参数形式，写出普通式：
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y
a sec b tan
(为参数)
消去参数后，得 x2 - y2 =1, a2 b2
这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为：
y
a
A B' • M
x
பைடு நூலகம்
y
a b
sec tan
(为参数)
通常规定 [o,2 )且
，
3
。
b
22
说明：
二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
所以M的轨迹方程是
x