二项分布中p~2的矩估计与极大似然估计
二项分布的矩估计量和最大似然估计量
二项分布的矩估计量和最大似然估计量
二项分布的矩估计量和最大似然估计量是对于二项分布参数的估计方法。
矩估计量是通过对随机变量的矩进行估计来得到参数的估计值。
对于二项分布，它有两个参数：试验次数n和成功概率p。
设随机变量X服从二项分布B(n,p)，则X的矩估计量可以通过样本
观测值的矩来计算。
例如对于二项分布的第一矩（均值）E(X) = np，可以通过样本均值的估计值来估计参数p。
最大似然估计量是基于样本数据的概率分布模型来计算参数。
对于二项分布，最大似然估计量通过最大化给定样本的似然函数来找到参数的估计值。
似然函数是样本中观测值的联合概率密度函数（或质量函数）关于参数的函数。
对于二项分布，似然函数可以表示为L(p) = (n choose x) * p^x * (1-p)^(n-x)，其中n是试验次数，x是成功的观测值次数。
最大似然估计量就是找到
能使似然函数取得最大值的参数值。
总结起来，矩估计量是通过样本观测值的矩计算参数的估计值，而最大似然估计量是通过最大化给定样本的似然函数来计算参数的估计值。
两种方法在实际应用中经常被使用，具体选择哪种方法取决于具体情况和假设的合理性。
参数估计公式最大似然估计矩估计
参数估计公式最大似然估计矩估计参数估计是概率统计中的一个重要问题，它是通过样本数据对总体参数进行估计。
参数估计的方法有很多种，其中最常用的是最大似然估计和矩估计。
本文将介绍和比较这两种参数估计方法。
一、最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过最大化样本数据的似然函数来估计参数值。
似然函数是关于参数的函数，表示在给定参数下观测到样本数据的概率。
最大似然估计的目标是选择使观测到样本数据的概率最大的参数值。
在最大似然估计中，假设总体分布的形式已知，参数是未知的。
通过观测到的样本数据，可以计算出似然函数的具体形式，并通过对似然函数进行求导等方法，求出使得似然函数取得最大值时的参数值。
最大似然估计的优点是在大样本情况下具有较好的渐进性质，即当样本大小趋于无穷时，最大似然估计的估计值将趋于真实参数值。
然而，最大似然估计的缺点是对于小样本情况下，估计结果可能不够准确，且对于非典型样本分布，可能会出现估计值不存在或者不唯一的情况。
二、矩估计矩估计是另一种常用的参数估计方法，它通过样本数据的矩（原点矩或者中心矩）与总体矩的对应关系，来估计参数的值。
矩估计的基本思想是使用样本的矩来逼近总体的矩，从而得到参数的估计值。
在矩估计中，假设总体分布的形式已知，参数是未知的。
通过观测到的样本数据，可以计算出样本的矩和总体的矩，并通过将样本的矩与总体的矩进行匹配，从而得到参数的估计值。
矩估计的优点是在小样本情况下估计结果相对较好，且计算简单，不需要求解似然函数，特别适用于非典型样本分布。
然而，矩估计的缺点是在大样本情况下，估计结果可能不够准确，且对于非典型样本分布，可能会出现估计值不存在或者不唯一的情况。
三、比较与应用最大似然估计和矩估计在参数估计中都有各自的优缺点，因此在实际问题中需要根据具体情况进行选择。
通常来说，最大似然估计更加常用，特别适用于大样本情况下和典型样本分布。
而矩估计更适合于小样本情况下和非典型样本分布。
矩估计和极大似然估计
矩估计和极大似然估计
统计学研究中估计参数是最基本的技术。
它是推断未知参数值的重要方法，它可以应用于任何分布，而无论它是均衡的还是不均衡的。
本文将介绍两种最常用的而且最有效的估计方法，即矩估计和极大似然估计。
矩估计是一种无偏估计。
它用平均方差作为估计的标准，以期获得无偏估计量。
它的思想是找到一组参数，使得它与观测数据的总平方和达到最小。
最小二乘法把参数的估计量分解为一系列不受体系误差影响的估计量，以便更加准确地估计。
极大似然估计也是无偏估计，但它是通过最大似然函数来求参数估计量的。
这个函数的思想是，根据观测数据，计算出参数的估计量，使得似然性最大。
极大似然估计就是使用给定观测数据和某个参数模型，来求出使这个参数模型似然函数最大的参数估计量。
矩估计和极大似然估计都有许多优点，如无偏性、处理简单，可以使用不同的统计模型以及可以计算准确率等等。
然而，它们也有一定的弊端。
矩估计假设数据服从正态分布，而实际数据常常不会服从正态分布，这时估计值可能会出现误差。
极大似然估计也存在类似的问题，因为它依赖于正确假设分布模型，它在模型类别选择和设定参数上可能会出现错误。
总的来说，矩估计和极大似然估计是统计学中重要的估计参数技术，它们都具有优点和缺点，但由于它们的效率和准确性，它们仍然是统计学的基础。
在选择估计方法时，应考虑到参数类别、数据分布
和分析技术，以选择最适宜的估计方法。
一文读懂矩估计、极大似然估计和贝叶斯估计
一文读懂矩估计、极大似然估计和贝叶斯估计概率论和数理统计是机器学习重要的数学基础。
概率论的核心是已知分布求概率，数理统计则是已知样本估整体。
概率论和数理统计是互逆的过程。
概率论可以看成是由因推果，数理统计则是由果溯因。
数理统计最常见的问题包括参数估计，假设检验和回归分析。
所谓参数估计，就是已知随机变量服从某个分布规律，但是概率分布函数的有些参数未知，那么可以通过随机变量的采样样本来估计相应参数。
参数估计最主要的方法包括矩估计法，极大似然估计法，以及贝叶斯估计法。
机器学习中常常使用的是极大似然估计法和贝叶斯估计法。
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一，矩估计法矩估计的基本思想是用样本的k阶矩作为总体的k阶矩的估计量，从而解出未知参数。
例如服从正态分布，但和参数未知。
对采样N次，得到试估计参数和解：用样本的一阶距估计总体的一阶距，用样本的二阶中心距估计总体的二阶中心距。
可以得到：对的估计是有偏的，无偏估计是二，极大似然估计法极大似然估计法简称MLE(Maximum Likelihood Estimation).极大似然估计法先代入参数值计算观测样本发生的概率，得到似然函数，然后对似然函数求极大值，得到对应的参数，即为极大似然估计参数。
对于离散随机变量X，N次采样得到样本结果为，则极大似然估计法的公式为：对于连续随机变量X，如果其概率密度函数为，其中为待求参数向量。
那么N次采样得到样本结果为的概率正比于如下似然函数为了便于计算方便，可以构造对数似然函数为对数似然函数取极大值时，有求解该方程可以得到的极大似然估计。
例如服从正态分布，但和参数未知。
对采样n次，得到试估计参数和解：正态分布的概率密度函数为对应的对数似然函数为对数似然函数取极大值时，有解得三，贝叶斯估计法贝叶斯估计也叫做最大后验概率估计法, 简称MAP(Maximum A Posterior)。
概率论与数理统计第七章-1矩估计法和极大似然估计法
数理统计
例5
设总体 X ~N( μ , σ 2) , μ , σ 2 未知 . x1 ,
, xn
是来自 X 的样本值 , 试求 μ , σ 2的最大似然估计量 . 解 X 的概率密度为
数理统计
定义 用样本原点矩估计相应的总体原点矩 ,
用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的 连续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 . 矩估计法的具体做法如下 设总体的分布函数中含有k个未知参数 θ1 , θ2 , 那么它的前k阶矩 μ1 , μ2 ,
, θk ,
, μk , 一般
l xi P{ X xi ;1 , 2 , , k } l E ( X l ) l 1 hl (1 , 2 , , k ) x l p ( x; , , , )dx 1 2 k
数理统计
点估计问题的一般提法 设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式为已
知, 是待估参数 . X 1 , X 2 ,, X n 是 X 的一个样 本, x1 , x2 ,, xn 为相应的一个样本值 .
点估计问题就是要构造 一个适当的统计量 ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n ), 用它的观察值 ˆ ( x1 , x2 ,, xn ) 来估计未知参数 . ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n )称为 的估计量. 通称估计, ˆ. ˆ ( x1 , x2 ,, xn )称为 的估计值. 简记为
先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一起外 出打猎 . 一只野兔从前方窜过 .
数理统计
只听一声枪响，野兔应声倒下 . 如果要你推测，是谁打中的呢？
数理统计
你可能会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概 率一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎 人射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了极大似然估计 法的基本思想 .
指数分布的矩估计和极大似然估计
指数分布的矩估计和极大似然估计指数分布是概率统计中一个重要的分布类型，它被广泛用于时间，距离，速率等方面的计算。
在实际应用中，我们需要对指数分布的参数进行估计，以便更好地对数据进行分析和预测。
本文将针对指数分布的矩估计和极大似然估计进行介绍。
一、矩估计矩估计是一种基于数据的估计方法。
首先，我们通过实际观测数据计算出样本的一阶矩和二阶矩，然后将其代入概率分布函数，得到参数估计值。
对于指数分布而言，其概率密度函数为：f(x|θ) = θe^-θx其中，θ为指数分布的参数。
我们可以通过计算样本的一阶矩和二阶矩来估计θ的值。
样本的一阶矩为：E(X) = 1/θ样本的二阶矩为：E(X^2) = 2/θ^2将计算出的一阶矩和二阶矩代入上述概率密度函数中，得到θ的矩估计值为：θ = 1/（2E(X^2) - E(X)^2）二、极大似然估计极大似然估计是一种基于概率的估计方法。
它假设已知观测数据的分布类型，通过最大化似然函数来估计参数值。
对于指数分布而言，其似然函数为：L(θ|x) = ∏ i=1^n θe^-θxi其中，n为样本个数，x1，x2，...，xn为样本数据。
我们可以通过计算该似然函数的对数，将乘积转换为求和。
即：ln(L(θ|x)) = nln(θ) - θ∑ xi通过求导，令导数等于0，求出使似然函数最大的θ，即为θ的极大似然估计值：θ = n/∑ xi三、矩估计和极大似然估计的比较矩估计和极大似然估计都是常见的参数估计方法。
它们的区别在于矩估计基于统计量而极大似然估计基于似然函数。
从估计结果的准确性和稳定性来看，极大似然估计更加优越，因为它是最大化整个概率函数，利用了全部的数据信息。
而矩估计则只是利用了一阶和二阶矩作为参数的估计依据，忽略了其他高阶矩的信息。
但是，在样本容量较小的情况下，矩估计可能更为可靠，因为极大似然估计会受到极端值和样本大小的影响，而矩估计则更加稳定。
因此，在不同的数据分析和预测应用中，需要根据实际情况选择适合的参数估计方法。
(2021年整理)概率论与数理统计(经管类)综合试题1-5_(课程代码_4183)
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Ⅱ、综合测试题概率论与数理统计(经管类）综合试题一（课程代码 4183）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列选项正确的是 （ B ）.A 。
AB A B +=+ B.()A B B A B +-=-C 。
（A-B ）+B =A D. AB AB =2。
设()0,()0P A P B >>，则下列各式中正确的是 （ D )。
A 。
P (A -B )=P （A )-P (B ） B.P （AB ）=P （A )P (B ）C. P (A +B )=P （A ）+P （B ）D. P (A +B )=P （A ）+P （B )-P (AB )3。
同时抛掷3枚硬币,则至多有1枚硬币正面向上的概率是 （ D )。
A. 18B. 16C. 14D. 124.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 （ B ）。
A.1120 B. 160 C. 15 D. 125。
设随机事件A ，B 满足B A ⊂，则下列选项正确的是 ( A ）。
参数估计-矩法和极大似然法
它首先是由德国数学家高斯在 1821年提出的 . 然而,这个方法常 归功于英国统计学家费歇 .
Gauss
Fisher
费歇在1922年重新发现了这 一方法，并首先研究了这种方法 的一些性质 .
最大似然法的基本思想
先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一起外 出打猎 . 一只野兔从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 如果要你推测，是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
你就会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概率 一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎人 射中的 .
这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的 基本思想 .
最大似然估计原理：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本 的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为 f
(x1,x2,… ,xn ; ) .
当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：
L( ) f (x1, x2 ,…, xn; )
这里 x1, x2 ,…, xn 是样本的观察值 .
似然函数：
L( ) f (x1,x2,…, xn; )
L( )看作参数 的函数，它可作为 将以多大可
能产生样本值 x1, x2,… ,xn 的一种度量 .
i 1
i 1
对p求导并令其为0，
d ln L( p) dp
1 p
n i 1
xi
1 1 p
(n
n i 1
xi )=0
得
pˆ
1 n
n i 1
xi
x
即为 p 的最大似然估计值 .
从而 p 的最大似然估计量为
pˆ ( X1,
1n , X n ) n i1 X i X
求最大似然估计(MLE)的一般步骤是：
概率 第七章矩估计极大似然估计ppt课件
§1 点估计
这是包含 k 个未知参数 ， ， 的联立方 1 k
2 ， ， k A 1 1 1， A ， 2 ， ， k 2 2 1 2 ， ， k k k 1， A
ˆ， ˆ, 从中解出方程组的解 ,记为 ， 1 k即
这种对未知参数进行定 值估计的问题就是点 计问题
第七章 参数估计
注意：
§1 点估计
⑴估计量与估计值有着本 质的不同：
估 计 量 是 统 计它 量是 ，随 因机 而 （ 变 一 量 维
而估计值则是一维或多 维数组． 或多维 ； ）
⑵ 在不引起混淆的情况下 ，我们统称估计 与估计值为未知参数 的估计．
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§2 估计量的评选标准 §3 区间估计
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退 出
第七章 参数估计
§1 点估计 •点估计 •矩估计法 •极大似然估计法
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退 出
第七章 参数估计
一、点估计问题
§1 点估计
设总体 X 的分布函数 F ( x ; ) 的形式为已 是待 估参数。 X , ,X 是 X 的一个 x , 样 ,x 是 本相 ， 1 n 1 n 应的样本值。
第七章 参数估计
§1 点估计
矩法求估计量的步骤：
2 ) 令 A ( A ); 1 1 2 2
1 ) 求 EX ( EX ); 1 2
2
3) 解上 面方 程（组）， 得 ˆ ˆ ( X , , X ) 1 1 1 n ˆ ˆ ( X ,, X )). ( 2 2 1 n
则 ( , , ), l 1 , 2 , , k . 1 其中 A X 令 A ,l 1 , , k , n
矩估计和极大似然估计PPT课件
已知常数, 参数θ 看成自变量, 得到似然 函数 L(θ )；
(3). 求似然函数 L(θ) 的最大值点 (常常转化 为求ln L(θ)的最大值点) ，即θ的MLE;
(4). 在最大值点的表达式中，代入样本值， 就得参数 θ 的极大似然估计。
第30页/共45页
i1
i
X )2
即
n 1S2. n
第13页/共45页
如：正态总体N(, 2) 中和2的矩估计为
ˆ X ,
ˆ 2
1 n
n
（X i
i 1
X )2.
第14页/共45页
设总体 X 的分布函数中含 k 个未知参数
1,2 ,k .
步骤一：记总体X的m阶原点矩 E(Xm)为am ,
m =1,2,…,k. 一般地, am (m=1, 2,…, K) 是总体分布
Xn，要去估计未知参数θ 。
一种直观的想法是：哪个参数(多个参数 时是哪组参数) 使得现在的出现的可能性 (概 率) 最大，哪个参数(或哪组参数)就作为参数 的估计。这就是 极大似然估计原理。 如果
L(ˆ) max L( ).
θ 可能变化空间,
称为参数空间。
称 ˆ为θ 的极大似然估计 (MLE)。
若θ 是向量，上述似然方程需用似然方程组
代替 。
ln ln
L(1,2
1 L(1,2
,,k ,,k
) )
0, 0,
2
ln
L(1,2
,,k
)
0
k
● 用上述方法求参数的极大似然估计有时行不
通，这时要用极大似然原理来求 。
第32页/共45页
例2：某机器生产的金属杆用于汽车刹车系统，
矩估计和极大似然估计的求解步骤
2 1
(n
1)
2 0.975
(4)
0.484,
2
(n 1)
2 0.025
(4)
11.143
2
2
由样本值得：S 2 0.01425 , 代入数据计算区间上、下限，
得 2的置信度为95%的置信区间为：(0.0051,0.1178)。
总结：
2已知,的置信区间
(X Z , X Z )
小节：推导置信区间的步骤
（1）寻求一个含有待估参数θ（而不含其他任 何未知参数）的统计量U ，且其分布已知.
（2）对事先给定的置信度1-α，确定分位点. （3）解不等式，求得待估参数θ的置信区间.
例1: 设总体X~N(µ，52)，随机抽取容量为16的样
__
本，求得 x 65 , 试 求µ的置信度为95%的置信
使得 P ˆ1 ˆ2 1 (1)
成立，则称随机区间 ˆ1,ˆ2 为参数的置信度
为1－ 的置信区间。 1－ 称为置信度。
说明:
1、（1）式的含义是指总体参数θ 以1- 的概率
包含在 ˆ1,ˆ2 内，而不被包含的概率仅为。若取 =0.05, (1)式是指θ 以95的概率包含在 ˆ1,ˆ2 内,不
2
2
2 n 1 y
2
例3:求课本P124例2 中 2的置信度为95%的置信区间。 解： 2的置信度为1-α 的置信区间为：
n
2
2
1S 2 n 1
，n
2 1
1S n
2
2
1
对给定的α=1-0.95=0.05，查表知
求矩估计量和最大似然估计量例题
求矩估计量和最大似然估计量例题一、设从某正态分布总体中随机抽取样本X1, X2, ..., Xn，其样本均值为X拔，样本方差为S2。
则该正态分布总体的矩估计量μ为？A. X拔的平方B. X拔C. S2D. 1/S2（答案：B）二、对于参数为λ的泊松分布，若从该总体中随机抽取样本X1, X2, ..., Xn，其样本均值为3，则λ的矩估计量为？A. 1/3B. 2/3C. 3D. 9（答案：C）三、设总体X的分布函数为F(x;θ)，其中θ为未知参数。
现从该总体中随机抽取样本X1, X2, ..., Xn，若θ的矩估计量满足E(X)=θ，且样本均值为5，则θ的矩估计量为？A. 1/5B. 5C. 25D. 无法确定（答案：B）四、对于参数为p的二项分布B(n,p)，若从该总体中随机抽取样本X1, X2, ..., Xn，且样本中成功的次数为k，则p的最大似然估计量为？A. k/nB. n/kC. kD. n（答案：A）五、设总体X的密度函数为f(x;θ)=θx(θ-1)，其中0<x<1，θ>0为未知参数。
现从该总体中随机抽取样本X1, X2, ..., Xn，则θ的最大似然估计量为？A. -1/n求和(ln Xi)B. 1/n求和(ln Xi)C. n/求和(ln Xi)D. 求和(Xi)/n（答案：C）六、对于均匀分布U(a,b)，若从该总体中随机抽取样本X1, X2, ..., Xn，且样本最小值为Xmin，样本最大值为Xmax，则(b-a)的最大似然估计量为？A. (Xmax-Xmin)/nB. Xmax-XminC. n*(Xmax-Xmin)D. (Xmax+Xmin)/2（答案：B）七、设总体X的密度函数为f(x;μ,σ2)=(1/2πσ)*exp[-(x-μ)2/2σ2]，其中μ和σ2均为未知参数。
现从该总体中随机抽取样本X1, X2, ..., Xn，则μ的最大似然估计量为？A. 样本均值B. 样本方差C. 样本中位数D. 样本极差（答案：A）八、对于参数为λ的指数分布，若从该总体中随机抽取样本X1, X2, ..., Xn，且样本均值为1/λ拔，则λ的最大似然估计量为？A. 1/λ拔B. λ拔C. 1/n*求和(1/Xi)D. n/求和(Xi)（答案：D，但注意这里题目中的“样本均值为1/λ拔”表述有误，应为“样本均值的倒数为λ拔的估计”，因此严格来说没有正确答案，但按题意最接近的是D，如果修正题目，则D应为“1/样本均值”）。
概率统计习题2
第三章 数字特征一、选择题1。
随机变量X 服从二项分布)2.0,10(B ,则（ ) A ．==DX EX 2 B ．==DX EX 6.1 C ．=EX 2，=DX 6.1 D ．=EX 6.1，=DX 22。
X 可取无穷多个值 ,2,1,0，其概率分布为普阿松分布)3(P ，则（ ) A ．DX EX ==3 B ．DX EX ==31 C ．EX =3，DX =31 D ．EX =31，DX =913. 随机向量),(Y X 有25,36==DY DX ，协方差12=XY σ，则)()(=-Y X DA ．1B ．37C ．61D ．854。
设X ～B （10, 31), 则=)X (E )X (D （ ）A 。
31B 。
32 C.1D.310 5．已知随机变量X 的分布函数为F （x)=⎩⎨⎧>--.0;0x e 1x 2其它则X 的均值和方差分别为（ )A.E （X ）=2， D （X)=4B 。
E （X ）=4， D(x ）=2C 。
E （X)=41,D （X)=21 D.E （X ）=21， D （X ）=41 6则E （XY ）=( ) A ．91- B ．0C ．91 D ．31 7．已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（ ) A ．-2 B ．0 C ．21D ．28．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ~B （6，21)，则E(X-Y)=（ ）A ．25- B ．21 C ．2D ．5 9．设二维随机变量（X ,Y ）的协方差Cov(X ，Y ）=61，且D （X )=4，D （Y ）=9,则X 与Y 的相关系数XY ρ为( ）A ．2161B ．361 C ．61 D ．1二、填空题1. 设X 服从二项分布),(p n B ,则=-)12(X D2。
总体X 服从)2,2(2N ，则=2EX3．设二维随机变量),(Y X 的分布律为则=)(XY E4．设随机变量X，则)(2X E = 5。
矩估计和极大似然估计
=θ2+(θ+μ)2
注意到 令 θ μ X , 2 θ M 2 . DX = E ( X2 )－( EX )2=θ2
2 1 ˆ M2 (Xi X ) , n i 1 ˆ X M . μ n
2
14
第二节
极大似然估计
第七章
极大似然估计
15
极大似然估计法: 定义7.1 设 是
1, 第i次取到不合格品； Xi i 1, 2, , n. 0, 第i次取到合格品.
解 因 p=EX, 故 p 的矩估计量为
1 ˆ X X i f n ( A) p n i 1
(即出现不合格产品的频率).
9
n
例5
设总体X ~ U [a, b], a, b未知；X 1 , , X n
1100
可用两种方法：矩法估计 和极大似然估计.
28
1 x e , x0 X : p( x; ) ( 0) 0 , other
1）矩法估计
令 X
1 EX x e dx 0 则可得 的矩法估计量为：ˆ X .
x
1 n A1 X i X n i 1
1 ˆ 则 x (0 75 1 90 6 1) 1.22 250
ˆ 1.22。 所以 X 估计 下面我们通过几个例子说明利用矩估计法求 未知参数的过程。
6
例2
22
令
即
所以参数
的极大似然估计量为
23
例3
解
设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X 的一个样本,
，求参数λ的极大似然估计值。
似然函数为:
矩估计和极大似然估计-PPT文档资料
当总体标准差0已知，区间应该是
x 1 . 9 6
0
, x 1 . 9 6 n n
0
例7.2.4 在例7.2.1 测量问题中，总体来自N (,2 ) ， 假如有 9 个观测数据 x1， x2， …，x9 (1). 当2 (即仪器精度) 未知时， 钻石重量 的区间估计是 s s x 2 . 3 1 , x 2 . 3 1 9 9 (2). 假如已经知道测量仪器的精度0 ， 则钻石重量 的区间估计应该用
样本统计量± “抽样误差” 来构造。
抽样误差与置信水平有关，一般默认置信水平 0.95
例7.2.1 某人得到了一块钻石(精确重量是未知参数)， 他用一台标准差为 的秤测量了n 次，得到数据 x1， x2， …，xn 他应该如何去估计 ？ (1). 采用点估计的想法，…… (2). 采用区间估计， 应该是在某个范围内，而且
7 . 5 3 t ( 1 1 ) 2 . 2 0 1 4 . 7 8 0 . 0 2 5 3 . 4 6 4 1 1 2
因此可以构造出一个区间 (31.4,41.0) □
s
历史数据表明，科学家研究工作的黄金时期是31岁半 到41岁间。这个年龄段他们将有可能做出重要工作。 这个结论的可靠程度是 95% 。
科学发现 日心说 望远镜、天文学基本定律 科学家 哥白尼 伽利略 时间 1543 1600 年龄 40 43
动力学、万有引力、微积分
电的本质 燃烧即氧化
牛顿
富兰克林 拉瓦锡
1665
1746 1774
23
40 31
地球的演变
进化论 光的电磁特性 放射性 量子力学
莱尔
达尔文 麦克思韦 居里 普朗克
二项分布的极大似然估计量
二项分布的极大似然估计量
在统计学中，二项分布是一种离散概率分布，用于描述在n次独立重复试验中成功次数的概率分布情况。
极大似然估计是一种统计学方法，用于从给定的观测数据中估计出概率分布的参数值。
对于二项分布的极大似然估计量，我们首先需要明确二项分布的参数。
二项分布有两个参数：n代表试验次数，p代表每次试验成功的概率。
我们的目标是通过观测数据来估计出这两个参数的值。
假设我们进行了n次独立重复试验，并观测到成功次数为k。
我们可以利用极大似然估计来估计参数p的值。
通过最大化似然函数，我们寻找使得观测数据出现的概率最大的参数值。
对于二项分布，似然函数可以写为L(p) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)是组合数。
为了找到极大似然估计量，我们需要对似然函数取对数，并对参数p 求导数，令导数等于零，解出参数的估计值。
具体来说，我们对似然函数取对数，得到ln(L(p)) = ln(C(n,k)) + k * ln(p) + (n-k) * ln(1-p)。
然后对参数p求导数，得到d(ln(L(p)))/dp = k/p -
(n-k)/(1-p) = 0。
通过求解这个方程，我们可以得到参数p的极大似然估计量。
最后，我们可以使用估计出的参数值来描述二项分布的特征。
需要注意的是，二项分布的极大似然估计量是一个估计值，可能存在一定的误差。
在实际应用中，我们需要考虑样本大小、估计的置信区间等因素，以评估估计结果的准确性。
希望以上解释对您有所帮助，如有任何进一步的问题，请随时提问。
二项分布的最大似然估计量
二项分布的最大似然估计量二项分布的最大似然估计量，听起来是不是有点晦涩难懂？别担心，咱们今天就用最简单的方式来聊聊这玩意儿。
想象一下你在一个派对上，想知道大家喜欢什么饮料。
你问了一圈，结果有些人说喜欢可乐，有些人说喜欢果汁。
现在，你想统计一下，实际上有多少人更爱可乐呢？这个时候，二项分布就派上用场了，简直就像是统计学的超级英雄！嘿，听起来是不是挺酷？二项分布嘛，简单来说，就是你在固定的次数里进行实验，比如扔硬币或者问人，结果只有两种可能：成功或者失败。
在我们的饮料派对上，成功就是“喜欢可乐”，失败就是“喜欢果汁”。
现在，最大似然估计量，听名字就感觉很有力量吧！其实它的意思就是找出一个参数，让你的数据看起来最合理。
就好比你想让大家都觉得你挑的音乐最好听，你就得把那些最受欢迎的歌单展示出来。
假设你问了100个人，结果有60个人说喜欢可乐，40个人喜欢果汁。
嘿，你是不是已经找到了一个好参数呢？这时候，最大似然估计量就告诉你，“哎，哥们儿，60%的人喜欢可乐哦。
”这个60%就成了你的最佳估计！简单明了，不复杂吧？想象一下，如果这个派对上有1000个人，你想知道喜欢可乐的人的比例。
你抽样调查了100个人，结果发现有70个人选择了可乐。
你的估计就是70%。
再加上统计学的小魔法，随着样本量的增大，你的估计会越来越接近真实的比例。
这就像你越多次听同一首歌，就越能记住歌词一样。
不过，老话说得好，“无风不起浪”，如果你抽到的样本不够代表性，估计就可能失真。
假如你只问了那些站在饮料旁边的人，那你的结果就可能偏向喜欢可乐的人。
反之，如果你随机问了所有人，那你的估计就会更准确，真是“万事开头难”，但只要方法得当，最终就能事半功倍。
如何用这个估计量来分析呢？很简单，你只需要把成功的次数除以总次数。
比如，继续之前的例子，如果有70个人喜欢可乐，那你就把70除以100，得出0.7，也就是70%的概率。
这玩意儿可以帮你预测下一次派对，或许会有更多的人喜欢可乐哦！这就引出了另一个有趣的点，二项分布的特性。
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计 的不变 原则 可知 ，户２的极 大似 然估计 是 ｚ （ｐＪ＿） ： 下 面 讨 论 Ｐ ｚ的 无偏 性 ，就 是 要 求 出 Ｅ（ ）。
的 命 中次 数 ，则 ｘ ～ Ｂ（１Ｏ，户）。由推 论 １可 知 ，ｐ 的 矩 估 计 值
．
Ｋｅｙ Ｗ ｏｒｄｓ： ｂｉｎｏｍｉａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ｕｎｋｎｏｗｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ；ｍ ｏｍ ｅｎｔ ｅｓｔｉｍ ａｔｉｏｎ； Ｍ ａｘｉｍ ｕｍ Ｌｉｋｅｌｉ— ｈｏｏｄ Ｅｓｔｉｍ ａｔｉｏｎ
在 总 体 服 从 二 项 分 布 Ｂ（ｎ，声）的情 形 下 ，关 于 未 知 参 数 Ｐ的 矩 估 计 和极 大 似 然 估 计 文 献 ［１］、Ｅ２３均 已给 出 ，并 且 Ｐ的 矩 估 计 值 和 极 大 似 然 估 计 值 相 等 。本 文 讨 论 Ｐ 的 矩 估 计 和 极 大 似 然 估 计 ，并 讨 论 估 计 量 的性 质 。
Ｍ ｏｍｅｎｔ Ｅｓｔｉｍ ａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｍ ａｘｉｍ ｕｍ Ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ Ｅｓｔｉｍ ａｔｉｏｎ ｉｎ Ｐ。ｉｎ ｔｈｅ Ｂｉｎｏｍ ｉａｌ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
ＺＨＡＮＧ Ｊｉａｎ
（Ｔａｎｇｓｈａｎ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｔａｎｇｓｈａｎ ０６３０００ ，ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔ ｅｓｔｉｍ ａｔｉｏｎ ａｎｄ ｍａｘｉｍ ｕｍ ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ｅｓｔｉｍ ａｔｉｏｎ ｏｆ ｐａｒａｍ ｅ— ｔｅｒ Ｐ ｉｎ ｔｈｅ ｂｉｎｏｍ ｉａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ａｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｔｈｅ ｎｏｎ—ｄｅｖｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍ ａｔｉｏｎｓ．
第 ２４卷 第 ３期 ２０１１年 Ｏ５月
唐 山 学 院 学 报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔａｎｇｓｈａｎ Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｖ ｏ１．２４ ＮＯ．３ Ｍ ａｙ．２０１１
二 项 分 布 中 ｐ２的 矩 估 计 与 极 大 似 然 估 计
张 健
（唐 山 学 院 基 础教 学 部 ，河 北 唐 山 ０６３０００）
摘 要 ：基 于二项 分布 Ｂ（ｎ， ）总体 ，给 出 了未 知参数 Ｐ。的矩 估 计和 极大 似 然估 计 ，并讨论 了估 计量 的 无 偏 性 。 关 键 词 ：二 项 分 布 ；未 知 参 数 ；矩 估 计 ；极 大 似 然 估 计 中 图 分 类 号 ：Ｏ２１２．１ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１６７２—３４９Ｘ（２０１１）０３—００１８—０２
１ 主 要 结 论
１．１ 矩 估 计 假 设 总 体 ｘ 服 从 二 项 分 布 Ｂ（ ，声），即 Ｐ（Ｘ ＝ ）＝ Ｃ：Ｐ‘（１一 声） 。 ｋ一 ０，１，２，… ，
这 里 ｎ已 知 ，Ｐ未 知且 ０＜ Ｐ＜ ｌ，取 自总 体 的 样 本 容 量 为 ｍ
的 样 本 （Ｘ。，Ｘ ，… ， ）。令 Ｖ ＝
Ｅ（Ｘ２）一 Ｖａｔ（Ｘ）＋ （ （Ｘ）） ，因 此 Ｅ（Ｘ ）一 ｎｐ（１一 ）＋
（ｎｐ）。＝ ｎｐ＋ （ 一 ）Ｐ。一 Ｅ（Ｘ）＋ ｎ（ｎ～ １）Ｐ ，从 此 得 到
曼
一
， 用 样 本 矩 代 替 ， 得 户ｚ 的 矩 估
计 。 Ｖ２一
＂（，ｌ— １）。
下 面证 明 是 Ｐ 的 无偏 估 计 量 。
。
第 ３期
张 健 ：二 项 分 布 中 Ｐ 的矩 估 计 与极 大 似 然 估 计
· １９ ·
＝
， 由定 理 得 证 。
＝ 丝 ＋ ｐ２ 。 研
１．２ 极 大 似 然 估 计 总 体 Ｘ～ Ｂ（ｎ，ｐ），ｌｒ／已 知 ，Ｐ未 知 且 ０＜ ＜ １，取 自总 体
的样本为（ｘ。，ｘ。，…，Ｘ ），令 ＝土∑ 一Ｖ ，则有下面 埘
为 样 本 的 一 、二 阶 原 点 矩 ，则 有 如 下 定 理 。
定 理 ｌ 的 矩 估 计量 是
，且 为 无 偏 估计 。
证 明 因 Ｘ ～ Ｂ（ｎ，户），则 期 望 Ｅ（Ｘ）＝ ｎｐ，方 差 ＂Ｃａｒ（Ｘ）＝ ｎｐ（１一 户）。又 Ｖａｒ（Ｘ）一 Ｅ（Ｘ ）一 （Ｅ（Ｘ）） ，则
的 定理 。
推论 ２
是 Ｐ 的 一个 渐 近无 偏 估 计 。
证明 由定理２可知Ｅ（掣 ）≠ｐｚ，所以 是ｐ２的
有偏 估 计 量 ，但 ｌｉｍＥ（ ）一 ｌｉｒ ａ（鲤 ＋ 户ｚ）： 户ｚ，因 此 它 是
。
棚
定 理 ２ 的极 大 似 然 估 计 是 。
的一 个 渐 近无 偏 估 计 量 。
因 一 客ｘ 一去Ｅｃ喜ｘ ＝ ·ｍ·印＝ ，
而 Ｅ（Ｘ 。）一 Ｖａｔ（Ｘ．）＋ （Ｅ（Ｘ ）） ，
则 Ｅ（Ｖｚ）＝ Ｅ（ ｘ， ）
一 （
）
＝ 去 （ ｒ（ｘ ）＋（Ｅ（ｘ。）） ）
一 ，Ｈ ∑ （ ｒ（ｘ）＋（Ｅ（ｘ）） ）
一 亩。ｍ·（ｎｐ（１一户）＋（印） ）
＝ ｎｐ ＋ ｎｐ 一 Ｐ 。
因此，Ｅ（五 ）＝ Ｅ（ 三 ）一 —Ｅ—（Ｖ ２ ）＝－ Ｅ （Ｖ，）一
Ｌ 一 ｊ，
ｔ 一 １
（ 一 １ ）
一 。
推 论 Ｉ 当 ＝ １时 ， 的无 偏 估 计 是
。
证 明 因 ｍ 一 １，那 么 Ｖ 一 Ｘ。，Ｖ２一 Ｘｌ ，此 时
收 稿 日期 ：２０１１—０３—２９ 基 金项 目 ：河 北 省 教 育科 学 研 究 “十 一 五 ”规划 课 ￣［ｉ（０８０２０２８２） 作者 简 介 ：张 健 （１９６６一 ），男 ，副 教 授 ，主要 从 事 概 率 论 与 数 理 统 计 的教 学 与 研 究 工 作
２ 实 例
证明 由文献［１］可知，户的极大似然估计是户 ，＝吾。 体育课上为测定某男大学生的投篮球命 中率，教师让 他
因 Ｐ＞ ０，函 数 （户）一 Ｐ 是具 有 单 值 反 函数 的 ，由极 大似 然 估 投 篮 １Ｏ次 ，结 果 有 ５次 命 中 。令 Ｘ 表 示 在 １Ｏ次 投 篮 中 该学 生