复系数一元二次方程求根公式教学浅议

复系数一元二次方程求根公式教学浅议

文／哈瀛东

在初中《代数》课本中，运用配方法推导了实系数一元二次方程ａｘ＋ｂｘ＋ｃ＝0在Δ＝ｂ－4ａｃ≥0时的求根公式

①

在高中《代数》下册“复数”一章中，运用配方法推导出实系数一元二次方程ａｘ＋ｂｘ＋ｃ＝0在Δ＝ｂ－4ａｃ＜0时的求根公式

②

之后，结束了中学数学对一元二次方程求根公式的研究．由于中学数学未研究复系数一元二次方程的求根公式，学生在复数集中解一元二次方程方面未形成完整的知识框架；在解与复系数一元二次方程的根有关的问题时，往往用复数相等的定义解复系数一元二次方程，运算繁冗．教学中，学生也常常提出“实系数一元二次方程求根公式能否向复系数一元二次方程推广”，“是否存在复系数一元二次方程求根公式”等疑问．在多年的教学实践中，笔者认识到，在结束实系数一元二次方程求根公式的研究后，趁热打铁，安排一二个课时，以练习课的形式，引导学生推导复系数一元二次方程求根公式，明确实系数与复系数这两类一元二次方程求根公式的内在联系，在复数运算的复习中，使学生形成完整的认知结构，加深实数集扩展到复数集的合理性的理解，提高对实数集与复数集之间的辩证关系的认识．既有利于中学数学教学，又有利于学生智力的发展和创新能力的培养．

在具体教学时，笔者是这样安排的．

一、创设情境，激发求知欲

笔者对复数运算法则及实系数一元二次方程求根公式进行简单复习之后，让学生做练习：

1．求证：任一复数ｚ的平方根都可表示成±ｕ（ｕ∈Ｃ）的形式．

解：设ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），其平方根为

（其中ｎ＝0，1），

即

或

＝－

∴命题成立．

2．解方程：ｘ＋（2－ｉ）ｘ＋1－ｉ＝0．

解：设ｘ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），代入方程并整理，得

ａ－ｂ＋2ａ＋ｂ＋1＋（2ａｂ－ａ＋2ｂ－1）ｉ＝0．

由复数相等的定义，得

面对此二元二次方程组，学生束手无策，欲进无路，欲退不愿，企盼教师指点迷津．

二、适时点拨，引导学生探求新公式

在学生心有余而力不足，思维受阻之际，笔者向学生指出：在一般情况下，用复数相等的定义解复系数一元二次方程，运算量大，不易操作；复系数一元二次方程也有求根公式，仿照实系数一元二次方程求根公式的推导方法以及练习题1的结论，很容易推出复系数一元二次方程ａｘ＋ｂｘ＋ｃ＝0的求根公式，有了求根公式，解题2的方程就易如反掌了!

寥寥数语，激起学生强烈的求知欲望与探索，纷纷投入复系数一元二次方程ａｘ＋ｂｘ＋ｃ＝0的求根公式的推导中去．

对方程ａｘ＋ｂｘ＋ｃ＝0配方，得

（ｘ＋（ｂ／2ａ））＝（ｂ－4ａｃ）／（2ａ）．

设Δ＝ｂ－4ａｃ的平方根为±ｕ（ｕ∈Ｃ），则

ｘ＋（ｂ／2ａ）＝±（ｕ／2ａ），

ｘ＝（－ｂ±ｕ）／2ａ．

用此结论，学生很容易求得题2方程的根．

∵Δ＝（2－ｉ）－4（1－ｉ）＝－1，其平方根为±ｉ．

∴方程ｘ＋（2－ｉ）ｘ＋1－ｉ＝0的解为

ｘ＝（－（2－ｉ）±ｉ）／2，

即ｘ＝－1＋ｉ，ｘ＝－1．

学生在推得复系数一元二次方程求根公式，用此公式求得曾一度束手无策的方程的解，并验根证实求根公式正确后，沉浸在胜利的喜悦中．此时，笔者不失时机引导学生梳理知识，使知识条理化，形成完整的认知结构．

三、完善认知结构，提高解题能力

1．引导学生总结求根公式

定理复系数一元二次方程ａｘ＋ｂｘ＋ｃ＝0在复数集C中有两个根

ｘ＝（－ｂ±ｕ）／2ａ．③

其中，±ｕ为Δ＝ｂ－4ａｃ的平方根．

2．引导学生对比公式①、②、③的异同，完善认知结构

实系数一元二次方程求根公式是复系数一元二次方程求根公式的特殊情形．即③中的ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ时，如果Δ＝ｂ－4ａｃ＞0，则其平方根为

±，方程有相异两实数根ｘ＝；如果Δ＝ｂ－4ａｃ＝0，则其平方根为0，方程有相等的实数根ｘ＝ｘ＝－ｂ／2ａ；如果Δ＝ｂ－4ａｃ＜0，则其平方根为±，方程有两共轭虚根ｘ，＝

．

3．规范复数集求一元二次方程ａｘ＋ｂｘ＋ｃ＝0的根的步骤

（1）计算Δ＝ｂ－4ａｃ．

（2）求Δ的平方根．如Δ为虚数，可用配方法，或复数相等的定义，也可用复数开方法则求出Δ的平方根．

（3)代入公式③，求方程的根．

4．巩固练习，提高解题能力

（1）解方程：

（2－ｉ）ｘ＋（1－3ｉ）ｘ－（5＋10ｉ）＝0．

（2）若ｚ、ｚ是方程ｚ－（2ｚ－1）ｚ＋ｚ－ｚ＋1＝0的两根，其中ｚ为常数，那么以ｚ、ｚ、ｚ的对应点Ａ、Ｂ、Ｃ为顶点的三角形中，最大角为（）．

Ａ．90°

Ｂ．120°

Ｃ．135°

Ｄ．150°

略解：（1)Δ＝（1－3ｉ）＋4（2－ｉ）（5＋10ｉ）＝72＋54ｉ＝9（3＋ｉ），其平方根为±3（3＋ｉ）．

∴方程的解为

ｘ＝（－（1－3ｉ）±3（3＋ｉ））／2（2－ｉ），即ｘ＝1＋2ｉ，ｘ＝－2－ｉ．

如将方程二次项系数化为1，在代入求根公式时可避免复数除法，即

方程两边同乘以2＋ｉ，得

ｘ＋（1－ｉ）ｘ－5ｉ＝0．

∵Δ＝（1－ｉ）＋20ｉ＝18ｉ＝9（1＋ｉ），其平方根为±3（1＋ｉ），

∴方程的解为ｘ＝（－（1－ｉ）±3（1＋ｉ））／2，

即ｘ＝1＋2ｉ，ｘ＝－2－ｉ．

（2）∵Δ＝［－（2ｚ－1）－4（ｚ－ｚ＋1）＝－3，其平方根为±ｉ，

∴方程的根为ｚ＝（（2ｚ－1）±ｉ）／2，即ｚ＝ｚ＋（（－1＋ｉ）／2），ｚ＝ｚ＋（（－1－ｉ）／2）．于是

＝ｚ－ｚ＝（－1＋ｉ）／2＝ｃｏｓ（2π／3）＋ｉｓｉｎ（2π／3）．

＝ｚ－ｚ＝（－1－ｉ）／2＝ｃｏｓ（4π／3）＋ｉｓｉｎ（4π／3）．

∴∠ＢＡＣ＝2π／3＝120°，即△ＡＢＣ中最大角为120°，故选Ｂ．