大学数学概率论及试验统计》第三章课后答案(余家林主编)

∴ PY (y)= ,0 < y < 2 y 2 0 , 其它
0 当 z>0 时 FZ （z）= ∫− zz p ( x )dx =∫−
解：X~ p(x), 假设 Y=ax+b 的分布函数是 FY ( y) ，则由定义得到：
ww
w.
y −b p x< ,a>0 a FY ( y) =p { Y < y}= p{ax+b< y}= p{ax< y−b}= y − b ,a<0 p x> a
2 解:依题意可知 (X,Y) p max{X,Y} min{X,Y} 合并得: max{X,Y} P 1 0 2 1 (1,1) 0 1 1
1/3
1/3
(1,2) 1/3 2 1 min{X,Y} P
(2,1) 1/3 2 1 1 2/3
(2,2) 1/3 2 2 2 1/3
7、设（ X,Y）的分布规律如下 ,试求 Z1 = Max{X,Y}及 Z2 = Min{X,Y} 的分布规律。 Y X 1 2 解：作法同 6 题： min{X,Y} P 1 1 1/9 2/9 2 2/9 4/9
z2
5、设 X 与 Y 相互独立且都服从 N（ 0， 1）分布，试求 Z=X+Y 的分布密度。 解：由卷积分公式 PZ ( z ) =
kh
' Y
1 ,1< y ≤9 综合上述有， PY ( y )=F ( y ) = 4 y 0,其它
1 − Z=X+Y 的分布密度 PZ ( z ) = ∫ ⋅e 2π
）
z2
z
co m
56
0, y ≤0 2 (ln y − µ ) − 于是 Y 的分布密度 P 1 , y>0 Y ( y ) =F ( y) = 2σ 2 2π σy ⋅e
' Y
6、设 X 1 , X 2 ,......, X 5 相互独立且都服从 N（ 12， 5）分布，试求 P ∑ X i >65
由联合分 X+Y
kh
X-Y p X+Y p Y 1 2
w.
1 4 0.4 2 1/3 1/3 3 1/3 1 1/3 4 1/3 4
p 0 同理 X－Y 的分布律为：
ww
w.
即： 解：先求出 a 及 b, X 从而
3、设 X 与 Y 相互独立且 P{X=k}= a k ， P{X=－k}= b k 2 ,k=1,2 试求 X+Y 的分布规律。
p
0.2
案 网
(x-2)2
0
课
解： 先求出（x,y）的联合分布律： Y X
da
1 0 1 2 1/3 3 1/3 0 1/3 3 2/3 2 -1 1/3 2 0 b=
在旁边再任取一球并记录球上数字 Y，试求 Z1 = X + Y及 Z 2 = X − Y 的分布规律。
后 答
2、袋中装有 3 个球，分别标有数字 1， 2， 2，从袋中任取一球并记录球上的数字 X 后，放
2
w.
max{X,Y} P 1 1/9
案 网
5/9
4/9
后 答
课
Max{X1 ,X2 }, Y2 = Min{X1 ,X2 },，试判定 Y1 和 Y2 是否相互独立？ 解: X2 1 2 3 X1
da
1/9 1/9 1/9 1/3 1/9 1/9 1/9 1/3 1/9 1/9 1/9 1/3 Y2 P 1 5/9
a 2 b a + =1, 故 a= , b+ =1, 2 3 4
1 8/15 4/15
4 5
由独立性得联合分布律: 2 2/15 1/15
co m
2 0.3 0.4 0.4 布律得： 1/3
49
X+Y
2
3 6/15
4 1/15
p 8/15 (也可不写出联合分布律, 直接由独立性得到)
4、某商店每星期五进货若干供周末两天销售。如果星期六的销售量为 X 万元，星期日的 销售量为 Y 万元，且 X 与 Y 相互独立，分布规律如下： X P 13 0.3 14 0.6 15 0.1 Y P 10 0.2 11 0.7 12 0.1
若 Y=X2 的分布函数为 FY ( y)
则
∫
y − y
1 y ∫− y p( x) dx +∫1 p ( x ) dx,1< y ≤3 p( x) dx = 1 3 y ∫− y p ( x )dx + ∫1 p ( x )dx +∫3 p( x) dx =1, y >3
w.
1 − 2 +∞ − = ⋅e ∫− ∞ e 2π
w.
25 0.47 26 0.13 27 0.01 2 4
50
案 网
co m
12 0.03 0.06 0.01
（ 1）求周末两天销售总量的分布规律 （ 2）如果进货 25 万元，试计算供不应求的概率； （ 3）如果进货 24 万元，试计算供大于求的概率。 解: （１） 即求 Ｘ＋Ｙ 的分布律：同 ３ 题先求出（X,Y）的联合分布律:
Fz ( z ) =P{Z <z }= P
{X
2
后 答
0, z ≤0时 +Y 2 < z = 2 2 2 P X +Y < z , z >0时
案 网
}
{
x2 + y2 2
则
2
2
2
da
dxdy极坐标 1- e
0,其他
1 − P{X +Y <z },z>0= ∫∫ ⋅e x 2 + y 2 < z 2 2π
y −b 1 p ( a )⋅ a ,a>0 ' 从而 Y=ax+b 的分布密度 PY (y)= FY ( y )= y−b 1 − p( )⋅ ,a<0 a a
kh
2、若 X 的分布密度为 p（ x） ， a ≠ 0，试求 Y=aX+b 的分布密度。
da
课
0, z ≤0 故综上有： FZ (z )= z , 0<z ≤1 1, z >1
8、设随机变量 X 1 和 X 2 相互独立，且 P{X i =k }= ,(i =1,2,k =1,2,3) ，记随机变量 Y1 =
1 3
kh
1 2 3 X2 的边缘分布 Y1 P 1 2 3 5/9 1/9 1/3
w.
因此
因 P{Y1 =2,Y2 =3}=0,但 P{Y1 =2}=
ww
3 1 ,P{Y2 =3}= 9 9
5
i =1

解:
X 1 , X 2 ,......, X 5 独立 故 ∑ xi ~ N ( 60,5 2 )
i =1
5
5
7、设 X 与 Y 相互独立且都服从 N（ 0， 1）分布，试求 Z=
X 2 + Y 2 的分布密度。
x2 + y 2 2
1 − 解: X,Y 独立同服从 N (0,1)分布 故(X,Y) 的分布密度是 ⋅e 2π
故 P{Y1 =2,Y2 =3}≠P{Y1 =2}· P{Y2 =3}，即 Y1 ,Y2 不相互独立.
co m
2 8/9
X 1 的边缘分布
1/3 1/3 1/3
2 1/3
3 1/9
51
习题 ３．２
1、设 X 的分布密度试求 Y=2X， Z= X 2 的分布密度。 解: 求分布密度 先求分布函数的表达式:
课后答案网，用心为你服务！
大学答案 --- 中学答案 --- 考研答案 --- 考试答案 最全最多的课后习题参考答案，尽在课后答案网（www.khdaw.com）！ Khdaw团队一直秉承用心为大家服务的宗旨，以关注学生的学习生活为出发点， 旨在为广大学生朋友的自主学习提供一个分享和交流的平台。 爱校园（www.aixiaoyuan.com） 课后答案网（www.khdaw.com） 淘答案（www.taodaan.com）
X 13 14 15 X+Y P
Y
10 0.06 0.12 0.02 23 0.06 24 0.33
11 0.21 0.42 0.07
kh
Y 1 X 1 2 0.25 0.25 2 3 4 0.25 0.25 0.5 Y X 1 0 1
5、若 X 与 Y 相互独立，且 P{X=1}= P{X=2}=0.5, P{Y=1}= P{Y=2}=0.5, 试求 Z1 = X+Y 及 Z1 = 2X 分布规律，说明 Z1 与 Z2 的分布规律有什么不同？ 解: 可由如下表示写出(X,Y) 的联合分布律: 2 0.25 0.25 0.5 PX 0.5 0.5
−z 2 所以有 PZ ( z )= ze , z >0 0,z ≤0
2
w.
∫
+∞ −∞
8、若（ X， Y）的分布密度为 p（ x， y） ，试求 X-Y 的分布密度。 解：记 Z=X-Y 其分布函数设为 FZ(z) 则 FZ(z)=P(Z<z)=P(X－Y<z)=
ww
P 0.5 0.5 Z1 与 Z2 可 能 的 取值不同, 对应的概率也不相同, 原因是:Z1 =X+Y,Z2 =X+X,Z1 中的 X 与 Y 同分布且独立.Z2 中的两个 X 是同一随机变量，同分布但不独立。
6、设（ X， Y）的分布规律如下，试求 Z1 = Max{X,Y} 及 Z2 = Min{X,Y} 的分布规 律。 2 1/3
解： （２）
若 X~ N( µ ,σ 2 ) 。则设 Y= e x 的分布函数是
0, y ≤0 − ( x −µ ) 2 dx FY ( y) =P{Y < y}=P e < y = lny 1 2 2σ , y >0 ∫− ∞ 2π σ ⋅e
{
x
}
（１）是（２）的特殊情况
4、若 X～ U（ 1， 3） ，试求 Y= X 2 的分布密度。 解：X~ U (1,3)
−b y −b ya p x < , a > 0 ∫ p ( x )dx , a > 0 a = = −∞ y −b y −b 1 − p 1 − a p ( x )dx , a < 0 x ≤ , a < 0 ∫−∞ a
后 答
z ∫0 2 xdx, z <1 z p( x) dx+ ∫0 p ( x ) dx=∫0 p( x) dx = 1, z >1 z z
1,x∈(0 ,1) Pz ( z)= FZ' ( z) = 0,其它
3、若（ 1） X~N（ 0， 1） ， （ 2） X~N（ µ , σ 2 ） ，试求 Y= e X 的分布密度。
−∞
x 2 + ( z − x )2 2
− ( x − )2 − 1 − 1 ∞ dx = ⋅e 2 ⋅e 4 ∫−+∞ e 2 dx= ⋅e 4 2π 2π ⋅ 2
即 X+Y~ N(0.2)
w.
+∞
案 网
1 ,x∈(1,3) 则分布密度 P(x)= 2 0, x∉(1,3)
dx
x2 源自文库 y 2 2
习题 3-1 1、设 X 的分布规律如下，试写出 Y1 =X－ 2 及 Y2 = ( X − 2) 2 的分布规律. X P 解： x p x-2 (x-2)2 故 x-2 的分布律是: x-2 p (x-2) 2 的分布律是: -1 0.1 0 0.2 1 0.1 -1 1 2 0.2 0 0 3 0.3 1 1 1 4 0.4 2 4 1 0.1 2 0.2 3 0.3 4 0.4
w.
Z1 =X+Y P
PY 0.5 因此，Z1 =X+Y 及 Z1 =2X 分布律为
课
(3)进货 24 万供大于求
即 P{X+Y<24}=0.06
da
Z2 =X+X
P {X + Y > 25}=0.13+0.01=0.14
后 答
(2)进货 25 万供不应求, 即{X+Y>25}={X+Y=26}∪{X+Y>27},
+∞ −∞
ww
1 − （因 X,Y 独立，故其联合分布密度是 ⋅e 2π
2 x2 − 2 zx 2 z2 z2
da
∫
+∞ −∞
课
后 答
0, y≤0 FY ( y) =P{Y < y}= P X 2 < y = y p ( x ) dx,( y >0) ∫− y
{
}
P( x, z − x ) dx = ∫ P ( z − y , y ) dy得
55
w.
即P Y ( y ) = P(
⑵
案 网
0, z< 0 FZ ( z )= p{Z < z}= p x 2 < z = z ∫− z p( x)dx,z > 0
{
}
co m
y −b 1 )⋅ a a
y 0, ≤0 2 y y y y Y < y}= p{2 X < y}= pX < =∫−2∞ p(x)dx=∫02 2xdx,0< <1 ⑴ FY(y) = p{ 2 2 y 1, >1 2