理科高等数学(上)综合练习题.pdf
A4纸 高数上册作业pdf版
（5） lim sin x ; xπ x
2
5. 证明方程 x5 3x 1 至少有一个实根介于1 和 2 之间.
10
班
姓名
学号
成绩
第二章 导数与微分
习 题 2-1 1. 判断题,并说明理由:
(1) f x0 f x0 ；
理由是:
()
(2) 若曲线 y f (x) 在点 x0, f x0 处有切线，
x0 处( ).
(A) 可导 (B) 不可导 (C) 连续但未必可导 (D) 不连续 理由是:
学号
成绩
5.
已知
f
x
e x ,
x 0, 求 f x .
x, x 0,
6.
求曲线
y
cos x
上点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π 3
,
1 2
处的切线方程和
法线方程．
4．求下列各函数的导数：
（1）
y
x2
3 x2
5
x2
（2） y 3x
（6）设
f
x
(n 1)x
lim
n
nx2
1
，则
f
x 的间断点
为x
，属于第
类，并说明理由.
2. 研究下列各函数的连续性.
（1）
f
x
x2,
0 x 1,
2 x, 1 x 2;
3. 求下列各函数的间断点，并指出其类型，如果 是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连 续.
（1） f (x) x2 1 ； x2 3x 2
(3) y xex2 ；
(2) y ln f x .
16
班
姓名
高等数学(上)综合练习题
《高等数学（上）》综合练习题一、选择题1、 函数1)1ln(-+=x x y 的定义域是（）A 、（-1，+∞）B 、[-1，+∞]C 、（1，+∞）D 、[ 1，+∞]2、 设)()(a x x a x f -=-（a 为大于零的常数），则())(=x fA 、 x （x-a ）B 、x （x+a ）C 、（x-a ）（x+a ）D 、2)(a x -3、 函数x x f 1cos )(=是定义域内的（ ）A 、周期函数B 、单调函数C 、有界函数D 、无界函数4、∞→x lim =+x x )21(（ ）A 、e 2B 、eC 、eD 、∞5、 0lim →x =x x2tan （ ）A 、0B 、1C 、21D 、26、0lim →x ()4sin 3tan =x xA 、0B 、∞C 、43D 、347、 0lim →x =--1cos 12x e x ( )A 、∞B 、2C 、0D 、-28、函数434)(2---=x x x x f 的间断点的个数为（）A 、0B 、1C 、2D 、39、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,3sin )(x a x x xx f 在x=0处连续，则a 等于（ ）A 、-1B 、1C 、2D 、310、设函数f （x ）在x=x 0处可导，并且,2)(0='x f 则0lim →h h x f h xf )()(00-- 等于( )A 、21B 、2C 、21- D 、-211、设)0(f '=1，则在x=x 0处，当0→∆x 时y ∆与x ∆相比较为( )A 、 低阶无穷小量B 、高阶无穷小量C 、 同阶但不等价D 、等价无穷小量12、设且0)0(=f 0lim →x x x f ）（存在，则0lim →x x xf ）（=( )A 、)(x f 'B 、)0(f 'C 、)0(fD 、)0(21f '13、设函数f （x ）在x=a 处可导，则0lim→x =--+xx a f x a f )()(( ) A 、0 B 、)(a f ' C 、2)(a f ' D 、)2(a f '14、 设='=y y x ，则cos 2( ) A 、2ln 2cos ∙x B 、x x sin 2cos ∙-C 、-2cosx x sin 2ln ∙∙D 、-x x sin 21cos ∙-15、 函数f （x ）=（ ）在[-1，1]上满足罗尔定理的条件A 、x 1B 、xC 、1-x 2D 、x-116、下列函数在[1，e]上满足拉格朗日中值定理条件的是（ ）A 、x ln lnB 、x lnC 、xln 1 D 、）（x -2ln 17、设）（则x f x x x f ,ln )(= （ ）A 、在（0，e 1）内单调减少B 、在（+∞,1e）内单调减少 C 、在（0，+∞）内单调减少 D 、（0，+∞）在内单调增加18、 函数)1ln(2x y +=的单调增加区间为（ ）A 、（-5，5）B 、（∞-，0）C 、（0，∞+）D 、（-+∞∞,） 19、 以下结论正确的是（ ）A 、函数)(x f 的导数不存在的点，一定不是)(x f 的极值点B 、若x 0为)(x f 的驻点，则x 0必为)(x f 的极值点C 、若)(x f 在x 0处有极值，且)(0x f '存在，则必有)(0x f '=0D 、若)(x f 在x 0处连续，则)(0x f '一定存在20、曲线42246x x x y +-=的凸区间是（ ）A 、（-2，2）B 、（∞-，0）C 、（0，∞+）D 、（-+∞∞,）21、x 是（ ）的一个原函数 A 、x 21 B 、x21 C 、x ln D 、3x 22、 （ ）是函数x21的一个原函数 A 、x 2ln B 、221x - C 、）（x +1ln D 、x 3ln 21 23、 下列等式中（ ）是正确的A 、)()(x f dx x f ='⎰ B 、c e f dx e f x x +='⎰)()( C 、c x f x dx x f +='⎰)(2)( D 、c x f dx x f x +--=-'⎰)1(21)1(22 24、若（））（，则）（=+=⎰⎰--dx e f e c x F dx x f x x )(A 、c e F x +--）（B 、c e F x +-）（C 、c xe F x +-）（ D 、c e F x +）（ 25、下列分步积分法中，u 、dv 选择正确的是（ ）A 、⎰==xdx dv x u xdx x 2sin 2sin ，， B 、xdx dv u xdx ln ,1,ln ==⎰C 、dx x dv e u dx e x x x 22,,==--⎰D 、xdx dv e u dx xe x x ==⎰,,二、填空题1、设53)1(2++=+x x x f ，则=）（x f2、函数12)(1-=-x x f 的反函数=-)(1x f 3、函数x x xx f cos 11)(2+--=的定义域是 4、若2lim 22-+-→x a x x x =3 ， 则a= 5、当x 0→时，ln （1+Ax ）与sin3x 等价，则常数A=6、 若当x a →时，f （x ）和g （x ）是等价无穷小，则a x →lim )()(2x g x f = 7、设==⎩⎨⎧≥+-=-A x x x A x e x f x 处连续，则常数在点0,0,0,1)( 8、dx ee d x x21__________+= 9、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32)1(x x dx d = 10、设函数x x arc y 22cot 2++=则=dxdy 11、设='=-）（则0,cos y e y x 12、 曲线方程321xy =在点（1，1）处的切线方程为 法线 13、 函数)(x y y =由方程022=+-xy e xy 确定，则='y14、设函数则,ln )(3x x x f =='')1(f15、设函数=''=）（则0,)(f xe x f x 16、 函数)1ln(x y +=在[0，1]上满足拉格朗日中值定理的ξ=17、函数22x y =的单调增加区间为18、函数的最大值为)41(3223≤≤--=x x x y 最小值点为19、曲线x x x y 6323+-= 的拐点为20、设2332x x y -= ，则y 的极大点为 极小点为21、 函数x x f 3)(=的一个原函数是22、设,11)(dx xx f ⎰-=则=')0(f 23、⎰=-dx e d x 2 24、 若c e x dx x f x +=⎰22)(则=)(x f 25、 ='⎰dx xx f )(ln三、计算解答题1、设xx x f -=1)(，求()[]x f f 和()[]{}x f f f 2、设函数2,1,1,2)2)(1()(4≠≠⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=x x x x x b ax x x f 在点x=1处连续，试确定常数a 、b 的值3、 确定A 的值，使函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-=,0,tan 3sin ,0,cos 5)( x Axx x x e x f x 在点x=0处连续 4、计算极限（1） 203050)1()12()32(lim +-++∞→x x x x （2） xtg x x 53sin lim 0→ （3） x x x 10)sin 1(lim +→ （4） xx tgx x 30sin sin lim -→ 5、设函数)ln(22a x x y ++=，求y ' 6、设函数)]31ln(cos[22x e y x +-=，求y '7、 设函数x xx x f 2log sin 1)(--=，求)(πf ' 8、 设函数xx y -+=11arctan ，求y ' 9、已知)(u f y =可导,求下列函数的导数 dxdy （1） )(22x e f x y =（2）xx f y )(2= 10、 设函数）（求x f x x f '=,ln )2( 11、 由方程221x y e xy =-+确定隐函数)(x y ，求dy12、 设函数y e y x ''=求,213、设曲线方程为191622=+y x ，求在点P （2，233）处的切线方程 14、设dxdy t t t y t x x y y 确定，求，由参数方程cos sin cos )(-=== 15、设函数）（求x f x x x x f '⎩⎨⎧≥=,0,0,sin )( 16、函数的实根的个数）（判断方程0),4)(3)(2)(1()(='----=x f x x x x x f 17、求极限 0lim →x 2cos ln xx 18、求极限 x x x ln lim 0+→ 19、求极限0lim →x （111--x e x ）20、求极限x x x +→0lim 21、求函数)1ln(x x y +-=的单调区间、极值及曲线的凹凸区间22、若函数22),(22++++=by xy ax x y x f ，在点（1，-1）处取得极值，试确定常数a 、b ，问f （1，-1）是极大值还是极小值？ 23、设x1为)(x f 的原函数，求)(x f 24、若)(x f =dx x f x x x ⎰'+）（求2),0( 25、 已知曲线)(x f y =在点x 处切线的斜率为x 2，且曲线经过点（1，0），求该曲线的方程。
高等数学(理工科)习题课件完整
2. 函数 y 1 图形的水平渐近线为 y 0 ，
x 1
垂直渐近线为 x 1 .
3. 函数 f (x) ln(1 x) arccos x 1 的连续区间是 [4,1) .
3
4.
lim
x0
x2
sin
1 x2
sin 3x x
3
.
5. 设 f (x) ln(x 1) ， g(x) x2 1 ，
lim sin (x) 1 (x)0 (x)
(2)
lim1 x) x e
x0
lim [1 1 ](x) e
(x) (x)
1
lim [1 (x)](x) e
(x)0
高等数学应用教程
一、 基本概念与基本性质
无穷小与无穷大
（1）无穷小量的定义 （2）无穷大量的定义 （3）性质与关系 1）有限个无穷小的和仍是无穷小． 2）有界量与无穷小的积仍是无穷小． 3）在自变量的同一变化过程中，如果函数f(x)为无穷大， 则1/f(x)为无穷小；如果f(x)为无穷小且不为零，则1/f(x) 为无穷大．
h0
2h
D
）.
A. 3
2
B. 3 2
C. 1
D. 1
5. 若 y x2 ln x ，则 y （ D ）.
A. 2ln2 B. 2ln x 1 C. 2ln x 2 D. 2ln x 3
7. 由方程 sin y xey 0 所确定的曲线在点 (0,0) 处的切线斜
率为（ B ）.
A. 1 B. 1
高等数学应用教程
一、 基本概念与基本性质
2、基本导数公式
(C ) 0
(sin x) cos x
(tan x) sec2 x
高等数学1(上册)试题答案及复习要点汇总(完整版)
承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
21 D. 21 C. 12 B. 21 A.)A (4 sin 1cos cos 22----+=⎩⎨⎧+=+=点处的法线斜率为上在对应曲线、πt t y t t x大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.=+→xx x sin 2)31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x x x f d cos )(则 .7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：10330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
高二上学期理科数学综合训练试卷参考模板范本
x y O x y O x y O xyO________学年高二上学期理科数学综合训练（3）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）1．1 337与382的最大公约数是( )A ．3B ．382C ．191D ．2012．用秦九韶算法求多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6在x ＝－4时，v 4的值为( )A ．－57B ．220C ．－845D ．33923．下列说法不正确的．．．．是（ ） A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B ．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.4．如果以下程序运行后输出的结果是132，那么在程序中，while 后面的条件表达式应为( )A ．i>11B ．i >＝11C ．i <＝11D ．i <115. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6. 设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n //α，则mn ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( )（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）①和④7. 两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y +c=0上，则m+c 的值为（ ）A ．－1B ．2C ．3D ．08．如图所示中的程序框图的循环体执行的次数是( )A ．50B ．49C ．100D ．999．当曲线214y x =+-与直线240kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（ ） A ．5(0,)12 B ．13(,]34C ．53(,]124D ．5(,)12+∞10. 如图所示，三棱锥P －ABC 的高PO ＝8，AC ＝BC ＝3，∠ACB ＝30°，M 、N 分别在BC 和PO 上，且CM ＝x ，PN ＝2x (x ∈[0,3])，下列四个图象大致描绘了三棱锥N －AMC 的体积V 与x 的变化关系，其中正确的是( )二 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．下列各数)8(75．)7(210．(3)1200．)2(111111中最小的数是___________。
高等数学(上册)试题库(附答案)
85高等数学（上册）考试试卷（一）一、填空1．设c b a,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=2．xx e 10lim +→= ，xx e 10lim -→=，xx e 1lim →=3．设211)(x x F -='，且当1=x 时，π23)1(=F ，则=)(x F4．设=)(x f ⎰dt t x 2sin 0，则)(x f '=5．⎩⎨⎧>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b二、选择1．曲线⎩⎨⎧==-0122z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（ ）。
（A ）12222=+-z y x ； （B ）122222=--z y x ；（C ）12222=--z y x ； （D ）122222=+-z y x2．2)11(lim xx x x -∞→-+=（ ）。
（A ）1 （B ）21e （C ）0 （D ）1-e3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'⎰dx x f x f x )]()([（ ） （A ）c x xf +)(； （B ）c x f x +')(； （C ）c x f x +'+)(； （D ）c x f x ++)(4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（ ） （A ）0)(='ξf （B ）ab a f b f f --=')()()(ξ86（C ）0)(=ξf （D ）ab dxx f a bf -=⎰)()(ξ5．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值，则=a （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题1． 求与两条直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+==211t z t y x 及112211-=+=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。
高等数学I(上)复习题共7套(答案)
x)
1 1 lim 1 x lim
x
lim 1 1
x0 2 x
x0 2x(1 x) x0 2(1 x) 2
12．
1
e
1 x dx .
0
解：设 1 x t, 则 x 1 t2, dx 2tdt, 且 x 0 时， t 1 ； x 1时， t 0 ，
1 e
1 x dx
证. 对任意 x ，由于 f ( x) 是连续函数，所以
F ( x x) F ( x)
lim
x 0
x
lim f ( ) x0
xx f t dt x f t dt
lim 0
0
x 0
x
2
xx f t dt
lim x
x 0
x
f ( )x lim
x0 x
其 中 介 于 x 与 x x 之 间 ， 由 lim f ( ) f ( x) ， 可 知 函 数 F( x) 在 x 处 可 导 ， 且 x0
所以
dy cos π π sin π 1 ． dx π 1 sin π π cos π 1 π
法二： dy cos (sin )d cos sin d ．
dx 1 sin (cos )d 1 sin cos d ．
5
dy
dy dx
d dx
cos sin ; 1 sin cos
0 ，驻点 x
f (0) .
在 t 0 两侧， dy 变号，故驻点是函数 y y( x)的极值点。 dx
1
（2）
d2 y dx 2
dt dt
1 dx
1 0 f (t)
dt
，曲线 y y( x)没有拐点.
大学高等数学上考试题库（附标准答案）
⼤学⾼等数学上考试题库（附标准答案）⼤学⾼等数学上考试题库(附答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：《⾼数》试卷1（上）⼀．选择题（将答案代号填⼊括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x =（C ）()f x x = 和 ()()2g x x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()()sin 420ln 10x x f x x a x ?+-≠?=+??=? 在0x =处连续，则a =（）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平⾏于直线10x y -+=的切线⽅程为（）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）.（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（）.（A ）驻点但⾮极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（）. （A ）只有⽔平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有⽔平渐近线⼜有垂直渐近线（D ）既⽆⽔平渐近线⼜⽆垂直渐近线 7．211f dx x x'的结果是（）. （A ）1f C x ??（B ）1f C x ??--+（C ）1f C x ??+（D ）1f C x ??-+8．x x dxe e -+?的结果是（）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+? （B ）44arcsin x x dx ππ-? （C ）112x xe e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '?等于（）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -（C ）()()1202f f -（D ）()()10f f -⼆．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -?-≠?=??=?在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜⾓为5 6π，则()2f '=.1xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+?.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=.三．计算（每⼩题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+??②()20sin 1lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分①()()13dx x x ++? ②()220dxa x a >-? ③x xe dx -?四．应⽤题（每题10分，共20分） 1．作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的⾯积.《⾼数》试卷1参考答案⼀．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C ⼆．填空题1．2-2．33-３．２４．arctanln x c+５．２三．计算题１①2e②162.11xyx y'=+-3. ①11ln||23xCx+++②22ln||x a x C-++③()1xe x C--++四．应⽤题１．略２．18S=《⾼数》试卷2（上）⼀.选择题(将答案代号填⼊括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ). (A) ()f x x =和()2g x x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -?-??==?->，则()1lim x f x →=（）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜⾓为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐⾓ (D) 钝⾓ 4.曲线ln y x =上某点的切线平⾏于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln 2??(B) 12,ln 2??- (C)1,ln 22??(D) 1,ln 22??-5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,⼀定不是函数()y f x =的极值点.(C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '⼀定存在. 7.设函数()y f x =的⼀个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121xx e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+?,则()sin cos xf x dx =?( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ??'=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f - (C) ()()220f f -?(D) ()1202f f ?-10.定积分badx ?()a b <在⼏何上的表⽰( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形⾯积()1a b -? (D) 矩形⾯积()1b a -? ⼆.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ?-?≠=?-?=?, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的⽔平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =? ______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+?___________. 三.计算题(每⼩题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由⽅程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ?②()220dx a x a>+?③2x x e dx ? 四.应⽤题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的⾯积.《⾼数》试卷2参考答案⼀.选择题：CDCDB CADDD⼆填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc + ②()22ln x a x c +++ ③()222x x x e c -++四.应⽤题：1.略 2.13S =《⾼数》试卷3（上）⼀、填空题(每⼩题3分, 共24分)1. 函数219y x=-的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ?≠?=??=?, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的⽆穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-?=______________. 7. 20_______________________.x t d e dt dx -=? 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分⽅程.⼆、求下列极限(每⼩题5分, 共15分)1. 01lim sin xx e x →-; 2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞+ ?三、求下列导数或微分(每⼩题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每⼩题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ??+. 2.ln(1)x x dx +?.3.120xedx ?五、(8分)求曲线1cos x t y t=??=-?在2t π=处的切线与法线⽅程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平⾯图形的⾯积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分⽅程6130y y y '''++=的通解.⼋、(7分)求微分⽅程x yy e x'+=满⾜初始条件()10y =的特解. 《⾼数》试卷3参考答案⼀．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.⼆阶⼆.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--?==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+??=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++?? =221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-?五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即法线：1(),102 2y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=?11224205210(1)(21)228()5315 V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=。
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于是，对于 0, (不妨设 1), 要使
1 1 ，只须n 1, n 1
3 1 因此，对上述，取N= 1 , 则当 n N时，就有 xn 成立， 4
故 lim
n
3n 1 3 ． 4n 1 4
1 (1)n (2) lim 0； n n
2
2
解： g ( x)
( x h)2 x 2 2hx h 2 2x h h h
则： g ( x 2 ) 2 x 2 h ．
(3)设 f ( x)
x 1 x2 x
， f n ( x) f ( f ( ( f ( x)))) ， 并讨论 f n ( x) 的奇偶性和有界性；
则： f ( ax b T ) f [ a ( x 得证．
T ； a
T ) b] a
(2)若函数 f ( x) 满足
1 c af ( x) bf ( ) ，x 0, a b , x x
则 f ( x) 为奇函数.
1 c 证明： af ( x) bf ( ) (1) x x 1 则， af ( ) bf ( x) cx (2) x 1 1 (1)+ (2)得： (a b)[ f ( ) f ( x)] c( x ) x x
故 lim
1 (1) n 0． n n
(3) lim
n
n2 1 1； n
n2 1 ，由于 证明： 令xn n
n2 1 1 1 1 1 2 1 ， n n n
于是，对于 0, (不妨设 1), 要使
1 1 ，只须n , n
(5)函数 f ( x) sin 2 2 x 的周期为
高等数学上册(1-7章)习题
o
x
y
x≠0
4 2
⑶
1
2
o
x
2, x < 1 − 1, x < 1 = 3 + ( x − 1) = 3+ (3) f ( x) = x −1 x ≠ 1 4, x > 1 1, x > 1 1 − x3 , x > 0 6 ( 4) f ( x ) = = 1 − x , x∈R 3 1+ x , x ≤ 0 以上各函数都是初等函数 .
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e −b 例4. 设函数 f ( x ) = 有无穷间断点 x = 0 ( x − a )( x − 1)
及可去间断点 x = 1, 试确定常数 a 及 b . 解: Q x = 0 为无穷间断点, 所以 ex − b ( x − a)( x − 1) a =∞ lim lim =0 = x x → 0 ( x − a )( x − 1) x →0 1− b e −b
相同
x, x ≤ a 1 2 ( 2) f ( x ) = [ 与 ϕ ( x ) = a + x − ( a − x ) a , x > a 2 相同 0, x ≤ 0 (3) f ( x) = 与 ϕ ( x) = f [ f ( x)] x , x > 0 相同
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−1 , 即 x = 1 , 代入原方程得 令 t = xx 1−t 1 ) + f (t ) = 2 , 1 ) + f ( x) = 2 f (1− f ( 即 t 1−t 1− x 1− x 1 = u −1 , 1 , 令 1− x = 即 x u 1−u 代入上式得
高等数学1(上册)试题答案及复习要点汇总(完整版)
承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.=+→xx x sin 2)31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x x x f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x Ax ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：133()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
高等数学上册(理工类·第四版)考试必会基础习题资料
高等数学上册(理工类·第四版)考试必会基础习题第一章函数、极限与连续内容概要第3章中值定理与导数的应用内容概要函数，极限与连续&中值定理习题1~8★★ 5.利用等价无穷小性质求下列极限：（2）()23cos 1tan sin limx x x x -→；（3）()20tan sin 31ln limxx x x +→； （4）xx x x x arctan 1sin 1lim-+→；知识点：等价无穷小代换求极限；思路：要活用等价无穷小公式，如当0→x ，有03→x ，故3sin x ～3x ，以及有关定理。
（2）()()221limcos 1tan sin lim223023=⋅=-→→x xx x x x x x（3）当0→x 时，0sin 3→x x ，故()x x sin 31ln +～x x sin 3，()3sin 3lim tan sin 31ln lim2020==+→→x xx x x x x x ；（4）21sin 21lim arctan 1sin 1lim 00=⋅=-+→→x x xx x x x x x x ； 习题3~2★ ★ 1.用洛必达法则求下列极限：（7） xx-x x x sin tan lim0-→；知识点：洛必达法则。
思路：注意洛必达法则的适用范围。
该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：0型与∞∞型未定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于∞-∞型与∞⋅0型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于00型、∞1型与0∞型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。
（7） 2230000tan sec 12tan sec 2limlim lim lim 2sin 1cos sin cos x x x x x x x x x x x x xx →→→→--====--； 习题1~6★ ★ 1．计算下列极限：（12）()xx x x -++∞→21lim ；（14）⎪⎭⎫⎝⎛---→311311lim x x x ； 知识点：极限求法思路：参照本节例题给出的几种极限的求法（12）()x x x x -++∞→21lim ()()=++++-+=+∞→xx xxx xx x 222111lim 211lim2=+++∞→xx x x ； （14）⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x 321131lim x x x x --++=→()()()()2112lim 111x x x x x x →-+=-=--++； 习题1-7★ ★ 2．计算下列极限：（7）()xxx xe 11lim+→ ；知识点：重要极限： ()10lim 1e →+=WW W （或1lim 1e →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭WW W ） 思路： 将函数表达式化成()10lim 1e →+=WW W （或1lim 1e →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭WW W ），并利用指数函数运算性质 （()nmmn n m nm e e e e e=⋅=+,）得出结果（7） ()()e e xexe xxe xe xx xxx ==+=+⋅→→110101lim 1lim习题3-2★ ★ 1.用洛必达法则求下列极限：（14）x x x sin 0lim +→； （19）xx x x 12)1(lim +++∞→；知识点：洛必达法则。
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第1章 极限与连续1.1 函数1、(1) x -- (2) ]3,0()0,(Y -∞ (3) 时，210≤<a a x a -≤≤1，φ时，21>a(4) 奇函数 (5)）（101log 2<<-x x x(6) )1(-≠x x (7) 22+x (8))(x g π2 (9) 1525++⋅x x(10) xe1sin 2-2、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<-==<<=e x e x e x e x e x e x g f 或或1011011)]([ 3、⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<--≤+=262616152)(2x x x xx x x f 4)(max =x f 1.2 数列的极限1、(1) D (2) C (3) D1.3 函数的极限1、(1) 充分 (2) 充要 3、 11.4 无穷小与无穷大1、(1) D (2) D (3) C (4) C1.5 极限运算法则1、 (1) 21-(2) 21(3) ∞ (4) 1- (5) 02、（1）B （2）D3、(1) 0 (2)23x (3)1-(4) 62(5) 1 (6) 4 4、a = 1 b = -11.6 极限存在准则 两个重要极限1、(1) 充分 (2) ω，3 (3) 2 ，23(4) 0，22t (5) 3e ，2e2、(1) x (2)32(3) 2 (4) 1 (5) 3-e (6) 1-e 1.7 无穷小的比较1、(1) D (2) A (3) B (4) C2、(1) 1 (2) 2 (3) 23- (4) 21- (5) 23 (6) 32-3、e1.8 函数的连续性与间断点1、(1) 充要 (2) 2 (3) 0，32 (4) 跳跃 ，无穷 ，可去2、(1) B (2) B (3) B (4) D3、(1) 1-e (2)21-e4、a =1 ， b = 25、 (1))(2,0Z k k x x ∈+==ππ是可去间断点，)0(≠=k k x π是无穷间断；(2) 0=x 是跳跃间断点，1=x 是无穷间断点 6、e b a ==,01.10 总习题1、(1) 2 (2) },,,max{d c b a (3)21(4) 2 (5) 2 8- (6) 2 (7) 23 (8) 0 1- (9) 跳跃 可去 (10) 2 2、(1) D (2) D (3) D (4) C (5) D (6) B (7) D (8) D (9) B (10) B (11) B 3、（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=11575115100190100090)(x x x x x p（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=11515115100130100030)60(2x x x x x x xx p P（3）15000=P （元）。
高三数学上学期统练试题二理PDF
2021二中高三统练〔二〕数学 理科一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共每一小题给出的四个选项里面,只有一个是符合题目要求的. 1.在ABC ∆中，31cos =B ，那么)cos(C A +等于〔 B 〕 A ．31 B ．31-C ．322 D ．322-2.设集合},12|{},12|{A x y y B xx A x ∈-==>=，那么()R A C B ⋂等于〔 B 〕 A.)2,3( B. )2,3[ C. )3,0( D. )2,0( 3.扇形的周长是6cm ，面积是是22cm ,那么扇形的圆心角的弧度数是〔 C 〕A.1B.4 或者4 4.对于以下四个命题00)31()21(),,0(:01x x x p <+∞∈∃； 03102102log log ),1,0(:x x x p >∈∃；x x p x 213log )21(),,0(:<+∞∈∀； x x p x 314log )21(),31,0(:<∈∀.其中的真命题是〔 D 〕A ．31,p pB ．41,p pC ．32,p pD ．42,p p5．角θ的终边过点(2,2)a a -+，且cos 0,sin 0θθ≤>，那么a 的取值范围为〔 A 〕A ．(]2,2-B ．[)2,2-C ．)2,2(-D ．[]2,2-6．函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的区间是 ( B ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)7．假如说钱大姐常说的“廉价没好货〞是一个正确的命题的话,那么从她这句话的意思我们可以推出是:“不廉价〞是“好货〞的〔 B 〕 A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件8．函数672)(2-+-=x x x f 与函数x x g -=)(的图象所围成的封闭图形的面积为〔 C 〕A ．32B ．2C ．38 D ．39.函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ，假设l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图像相切，那么0x 必满足〔 D 〕 A ．012x <<0 B ．012x <<1 C ．2220<<xD ．023x << 10.(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且()(0,1)()x f x a a a g x =>≠且，(1)(1)5()()()(),(1)(1)2f f f xg x f x g x g g -''<+=-，那么a的值是〔 A 〕A ．12B ．35C ．53D ．211.函数()f x 的定义域为R ，满足1()1(10)()2(01)xx f x xx ⎧--<⎪=⎨⎪⎩≤≤≤ ，又x ∀∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-，假设在区间[1-，3]上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，那么实数m 的取值范围是( D )A ．[0，12]B ．[0，14)C ．〔0，12]D ．〔0，14] 12.函数ln ()ln 1xf x x x=-+在0x x =处获得最大值，给出以下5个式子：① 00()f x x <，② 00()f x x =，③00()f x x >，④01()2f x <，⑤01()2f x >．那么其中正确式子的序号为( D )A ．①和④B ．③和⑤C ．②和⑤D ． ②和④ 二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.将表的分针拨慢10分钟，那么分针转过的角的弧度数是______3π______ 14. 假设4log 3a =，那么22a a -+=334． 15．设函数x 31, x<1()2 , x 1x f x -⎧=⎨≥⎩那么满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是__2[,)3+∞___．16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在〔0,1〕，此时圆上一点P 的位置在〔0,0〕，圆在x 轴上沿正向滚动。
高三数学理科备考综合练习卷一 上学期
高三数学理科备考综合练习卷一 上学期班别_________ 姓名_________ 座号________一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分（ ）1．复数43i1+2i+的实部是 A ．2- B ．2 C ．3D ．4（ ）2．已知集合11{11}|242x M N x x +⎧⎫=-=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，，，则M N =A ．{11}-，B ．{0}C ．{1}-D ．{10}-，（ ）3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④（ ）4．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象 A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位 （ ）5．已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=aA ．1B ．2C ．2D ．4（ ）6．给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-．下列函数中不满足其中任何一个等式的是 A ．()3xf x = B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =（ ）7．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤” 的否定是 A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤B ．存在3210x R x x ∈-+，≤ C ．存在3210x R x x ∈-+>， D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，（ ）8．阅读右边的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱开始输入n00S T ==，2?x <1n n =- T T n =+ 1n n =-结束输出S ，TS S n =+否 是A ．2550，2500B ．2550，2550C ．2500，2500D ．2500，2550二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．设函数1()f x =21323()()x f x x f x x -==，，，则123(((2007)))f f f = ．10．函数1(01)xy a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 ． 11．当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ．12．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ． 13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)02θ∈π，），则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 ．14．（不等式选讲选做题）设函数()213f x x x =-++，则(2)f -= ；若()5f x ≤，则x 的取值范围是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D E ，，则DAC =∠ ，线段AE 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan 37a b c C =，，，． （1）求cos C ； （2）若25=•CA CB ，且9a b +=，求c ．图5 ABCDE Ol17．（12分） 设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．18．（14分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，AB DC ∥．（Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证：1D E ∥平面11A BD ； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．BCD A1A1D1C1BE19．（14分） 设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠． 证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．20．（14分） 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的图过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．2008高三数学（理）备考综合练习一参考答案一、选择题1．B 2．C 3．D4．A5．C6．B 7．C8．A二、填空题9．1200710．1 11．5m -≤ 12．22(2)(2)2x y -+-=13. （0，2）；22. 14. 6；1[,1]2- 15. 6π；3 三、16．解：（1）sin tan 3737cos C C C =∴=， 又22sin cos 1C C += 解得1cos 8C =±．tan 0C >， C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=．（2）25=•CA CB ， 5cos 2ab C ∴=， 20ab ∴=．又9a b +=22281a ab b ∴++=．2241a b ∴+=． 2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．17．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，． 又37S =，可知2227q q++=，即22520q q -+=， 解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，．11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）由于31ln 12n n b a n +==，，，， 由（1）得3312n n a += 3ln 23ln 2nn b n ∴==又13ln 2n n n b b +-= {}n b ∴是等差数列．12n n T b b b ∴=+++ CD A1A1D1C1BExyF M1()2(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.2n n b b n n n +=+=+= 故3(1)ln 22n n n T +=．18．解法一：（Ⅰ）以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DA a =，由题意知：(000)D ，，，(00)A a ，，，(0)B a a ，，，(020)C a ，，，1(022)C a a ，，，1(02)A a a ，，，1(002)D a ，，，(00)E a ，，． 1(02)D E a a ∴=-，，，1(02)DA a a =，，，(0)DB a a =，，， 又(02)(0)(02)a a a a a a -=-，，，，，，， 1D E DB DA ∴=-．1DA DB ⊂，平面1A BD ，1D E ⊄平面1A BD ， 1D E ∴∥平面1A BD ．（Ⅱ）取DB 的中点F ，1DC 的中点M ，连结1A F ，FM ，由（Ⅰ）及题意得知：022a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，(0)M a a ，，， 1222a a FA a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，，22a a FM a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，， 12(0)022a a FA DB a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，， (0)022a a FM DB a a a ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，，，，．1FA DB ∴⊥，FM DB ⊥， 1A FM ∴∠为所求二面角的平面角．3323324426223,2,22,2,2cos 2222111=+--=•⎪⎭⎫ ⎝⎛-•⎪⎭⎫ ⎝⎛-=•=∠∴a a a a a a a a a a a a FM FA FM FA FM A 所以二面角11A BD C --的余弦值为33． 19．证明：因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，．()f x '222b ax bax x x+=+=．当0ab >时，如果00()0()a b f x f x '>>>，，，在(0)+∞，上单调递增；如果00()0()a b f x f x '<<<，，，在(0)+∞，上单调递减．所以当0ab >，函数()f x 没有极值点．当0ab <时，222()b b a x x a a f x x⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'=令()0f x '=， 将1(0)2b x a=--∉+∞，（舍去），2(0)2bx a=-+∞，，当00a b ><，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：x02b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 2ba-2b a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭， ()f x ' -0 +()f x极小值从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 222b b b f a a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭．当00a b <>，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：x02b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2ba- 2b a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭， ()f x ' +0 -()f x极大值从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 222b b b f a a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭．综上所述， 当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，若00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．若00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 20．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：31a c a c +=-=，，222213a cb ac ==∴=-=，，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）设1122()()A x y B x y ，，，．联立221.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，则22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+．因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y y x x =---．1212122()40y y x x x x ∴+-++=．2222223(4)4(3)1540343434m k m mk k k k--∴+++=+++． 2271640m mk k ∴++=． 解得：12227k m k m =-=-，，且均满足22340k m +->．当12m k =-时，l 的方程(2)y k x =-，直线过点(20)，，与已知矛盾；当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，．所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，．。
上学期高三数学理科综合测试卷 试题
2021年上学期东城区高三数学理科综合测试卷制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部。
第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，一共150分。
考试时间是是120分钟。
第I 卷〔选择题 一共40分〕参考公式：〔1〕假如事件A 、B 互斥，那么P A B P A P B ()()()+=+ 〔2〕假如事件A 、B 互相HY ，那么P A B P A P B ()()()··=〔3〕假如事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次HY 重复试验中恰好发生k 次的概率P k C p p n n kk n k ()()=--1〔4〕球的外表积公式S R =42π〔其中R 表示球的半径〕 〔5〕球的体积公式V R =433π〔其中R 表示球的半径〕 一. 选择题：本大题一一共8个小题，每一小题5分，一共40分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1. 过点〔-1，3〕且垂直于直线x y -+=230的直线方程为〔 〕A. 210x y +-=B. 250x y +-=C. x y +-=250D. x y -+=2702. 假设a b →→、都是单位向量，那么||a b →-→的取值范围是〔 〕A. 〔1，2〕B. 〔0，2〕C. ［1，2］D. ［0，2］3. 圆心在y 轴上且通过点〔3，1〕的圆与x 轴相切，那么该圆的方程是〔 〕A. x y y 22100++= B. x y y 22100+-=C. x y x 22100++= D. x y x 22100+-= 4. 不等式||x x >-21的解集为〔 〕 A. {}x x x |><-21或 B. {}x x |-<<12 C. {}x x x |<>12或 D. {}x x |12<<5. 数列{}a n 一共有七项，其中五项为1，两项为2，那么满足上述条件的数列{}a n 一共有〔 〕 A. 21个B. 25个C. 32个D. 42个6. 如下图，在正方体ABCD A B C D -1111中，O 为底面ABCD 的中心，E 为C C 1的中点，那么异面直线D A 1与EO 所成角的余弦值为〔 〕A.12B.32C.63D.337. 函数y f x =()的图象过原点且它的导函数y f x ='()的图象是如下图的一条直线，那么y f x =()图象的顶点在〔 〕 A. 第I 象限B. 第II 象限C. 第III 象限D. 第IV 象限8. 平面α//平面β，直线l ⊂α，点P l ∈，平面、αβ间的间隔 为a ，那么在β内到点P 的间隔 为c 且到直线l 的间隔 为b 〔a b c <<〕的点的轨迹〔 〕A. 是一个圆B. 是两条直线C. 不存在D. 是四个点第II 卷〔非选择题 一共110分〕二. 填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分。