苏教版八年级二次根式经典例题分类
苏教版八年级下册数学[二次根式(提高)知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习二次根式（提高）知识讲解【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，式子(a ≥0)叫做二次根式，“”称为二次根号，a 叫做被开方数．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.要点二、二次根式的性质1.a ≥0，（a ≥0）；2. （a ≥0）；3.. 要点诠释：1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2()(0a a a =≥）.2a 2()a 要注意区别与联系：（1）a 的取值范围不同，2)a 中a ≥02a a 为任意值.（2）a ≥0时，2)a 2a a ；a <0时，2)a 2a a -.【典型例题】类型一、二次根式的概念 1．（2015•启东）若x 、y 为实数，且224412x x y x -+-+=+，求x y x y +-的值．【答案与解析】∵y=，∴x 2﹣4=0，x+2≠0，解得：x=2，∴y=， ∴1137372244224x y x y +-=+⨯-=⨯=． 【总结升华】主要考查了二次根式有意义的条件，得出x ，y 的值是解题关键． 举一反三：【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（ ）.A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2). 【答案与解析】解：(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】【变式1】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）y=x -－11+x ,__________；（2）y=222+-x x ，___________.【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-≥，≤且（2）2222(1)10,x x x x -+=-+>∴为任意实数. 【变式2】问题探究： 因为，所以， 因为，所以 请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==； （2）==． 3.（2016春•濮阳期末）先阅读，后解答：（1）由根式的性质计算下列式子得：①=3，②=，③=，④=5，⑤=0．由上述计算，请写出的结果（a 为任意实数）．（2）利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果：①= ； ②化简：（x ＜2）= ．（3）应用：若+=3，则x 的取值范围是 ． 【思路点拨】（1）将a 分为正数、0、负数三种情况得出结果；（2）①当a=3，14﹣π＜0时，根据（1）中的结论可知，得其相反数﹣a ，即得π﹣3.14；②先将被开方数化为完全平方式，再根据公式得结果；（3）根据（1）式得：+=|x﹣5|+|x﹣8|，然后分三种情况讨论：①当x＜5时，②当5≤x≤8时，③当x＞8时，分别计算，哪一个结果为3，哪一个就是它的取值．【答案与解析】解：（1）=|a|=；（2）①=|3.14﹣π|=π﹣3.14，②（x＜2），=，=|x﹣2|，∵x＜2，∴x﹣2＜0，∴=2﹣x；故答案为：①π﹣3.14，②2﹣x；（3）∵+=|x﹣5|+|x﹣8|，①当x＜5时，x﹣5＜0，x﹣8＜0，所以原式=5﹣x+8﹣x=13﹣2x．②当5≤x≤8时，x﹣5≥0，x﹣8≤0．所以原式=x﹣5+8﹣x=3，③当x＞8时，x﹣5＞0，x﹣8＞0，所以原式=x﹣5+x﹣8=2x﹣13．∵+=3，所以x的取值范围是5≤x≤8，故答案为：5≤x≤8．【总结升华】本题考查了二次根式的性质和化简，明确二次根式的两个性质：①（）2=a（a ≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）；②=|a|=；尤其是第2个性质的运用，注意被开方数是完全平方式时，如第（3）小题，要分情况进行讨论．【二次根式及其乘除法（上）例4】4.已知c b a ,,为三角形的三边， 则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= ．【思路点拨】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边．【答案】a b c ++【解析】c b a ,,为三角形的三边,0,0,0a b c b c a b c a ∴+->--<+->即原式=a b c a c b b c a +-++-++-=a b c ++【总结升华】重点考查二次根式的性质：的同时，复习了三角形三边的性质.。
苏科版2024-2025学年数学八年级下册专项训练——二次根式的运算100题(含解析)
苏科版2024-2025学年数学八年级下册专项训练——二次根式的运算100题（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）1．计算：(1)；18328212-++(2)()025623-+---（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）2．计算：(1)162242÷+⨯(2)()()1883131-++⨯-（22-23八年级下·江苏盐城·期中）3．计算：(1)．23(3)|32|3-+-(2)．2(61)(35)(35)--+-（23-24八年级下·江西赣州·期中）4．计算：(1)；18322-+(2)．()2123232÷+-（23-24八年级下·贵州黔南·期中）5．计算题(1)()()522522+-(2)()0111222724⨯-⨯⨯-（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）6．计算：(1)；127123-+(2)．1486124⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭（23-24八年级上·广东佛山·期中）7．计算：(1)；18322+-(2)；11233⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）8．计算：(1)；263⨯+(2)．()()5656+-（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）9．计算：(1)；()()25322532+-(2)；148312242÷-⨯+(3)；()()201420153232-⋅+(4)．()()721631318-++-（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）10．计算：(1)；12733⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭(2)．3212524⨯÷（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）11．计算：(1)；143282⨯+-(2)()()()2535321+-+-（23-24八年级下·甘肃武威·期中）12．（1）；()()-++-1883131（2）．3231233⨯÷（23-24七年级下·重庆开州·阶段练习）13．计算：(1)；2312516(3)-+-(2)．223(2)(1)2712-⨯-+-+-（23-24八年级下·河南信阳·期中）14．计算(1)122453--(2)()()()23331222++--（23-24八年级下·贵州贵阳·阶段练习）15．计算：(1)()20525++(2)222+4111884⎛⎫-⨯-⨯-⎪⎭÷ ⎝（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）16．计算：(1)1114831224(25)22-⎛⎫÷-⨯+÷-- ⎪⎝⎭(2)2(123)(123)(31)-+--（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）17．计算：(1)；2338125(2)--++-(2)．()23318281279--+-+-（23-24八年级下·重庆云阳·阶段练习）18．计算：(1)；()101822π-⎛⎫--+- ⎪⎝⎭(2)．124318322÷-⨯+（23-24八年级下·河南·阶段练习）19．计算：(1)；11818818⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)．()()()2233223322332+-+-（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）20．计算：(1)；278212-+-(2)．()()()2151515-+++（2023下·重庆长寿·九年级重庆市长寿中学校校考期中）21．计算：(1)23(3)452-⨯--(2)22323(4)8ππ-+-+---（2023下·辽宁大连·八年级校考阶段练习）22．计算(1)()127123-⨯(2)()()21218+-+（2022下·浙江宁波·八年级校考期中）23．计算：(1)；188-(2)．21(3)2123-+⨯（2023下·重庆丰都·八年级校考期中）24．计算(1)148312242÷-⨯+(2)()()()2233232+-+-（2023下·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考期中）25．计算：(1)112683-+(2)()()251552-++（2023下·安徽马鞍山·八年级期中）26．计算：(1)；1287+(2)．2(32)(32)(7)+-+（2023下·河北衡水·八年级校考阶段练习）27．计算：(1)14510811253++-(2)()()()22312316482332-+-÷-（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）28．计算：(1)；18322-+(2)．3521052⨯÷（2022上·河南郑州·八年级校考期中）29．计算：(1)0132(37)-+---(2)()112123242⨯+÷-+（2020上·河南郑州·八年级校考期中）30．计算．(1)．1486753+-(2)．126(62)(26)18⨯++-（2022上·四川达州·八年级校考期中）31．计算：(1)181232⨯÷(2)2(32)(32)(51)+---（2022下·浙江金华·八年级统考期中）32．计算：(1)；()()221312--+(2)．()()22322-+（2022上·广东广州·八年级广州市增城区华侨中学校考期末）33．计算：(1)；11882-+(2)．32623⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭（2021上·河北邯郸·八年级校考期末）34．计算：(1)；()()()20151511222π-⎛⎫+---+--- ⎪⎝⎭(2)．()()132322724+--（2022上·广东深圳·八年级统考期末）35．计算：(1)；1227(3)3π---(2)．2233543⨯+-（2022上·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考阶段练习）36．计算：(1)；338227+--(2)．148312242÷-⨯+（2022上·广东深圳·八年级深圳市光明区公明中学校考期中）37．计算：(1)；0()12320022π++--(2)（）．(73)(73)16+--（2022下·河南许昌·八年级统考期末）38．计算：(1)；11163832-+⨯(2)．()()()274374331+-+-（2022下·青海西宁·八年级校考期中）39．计算(1)；()2483276-÷(2)．1124628⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2022下·江苏南通·七年级校考阶段练习）40．计算：(1)236416(5)-++-(2)32|32|--（2022上·贵州毕节·八年级校考期末）41．计算：(1)21(21)2--(2)20220145|25|(1)(3)3π+---+-（2022下·河北廊坊·八年级统考期末）42．计算：(1)|32||12|(235)---++-(2)2248(32)(32)3-÷++-（2022下·江西赣州·八年级统考期末）43．计算：(1)；18322-+(2)．1863⨯+（2022下·江苏南通·七年级统考期中）44．计算：(1)；31414+--(2)．327212-+-（2022下·湖北十堰·七年级统考期中）45．计算(1) ；2222-+(2)＋－33(1)-2(2)-327-（2022下·湖南长沙·八年级期末）46．计算：(1)；310084+-+-(2)．239627----（）（2022下·乌鲁木齐·八年级生产建设兵团第一中学校考期末）47．计算：(1)；1273123+-(2)；()011283516⨯+-+-（2022下·山东·八年级统考期末）48．计算：(1)27161223-⨯+(2)()()()232332336+---（2022下·重庆潼南·八年级校联考期中）49．计算：(1)；282335÷⨯(2)()124632-÷-（2022下·浙江·八年级杭州市公益中学校考期中）50．计算：(1)；24232-⨯(2)．()311535-+答案：1．(1)7233+(2)0【分析】本题考查了二次根式的加减，绝对值的意义，零指数幂，熟练运用公式是解题的关键．（1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解．（2）根据二次根式的性质化简，绝对值的意义，零指数幂进行计算即可．【详解】（1）18328212-++3234243=-++7233=+（2）()0 25623 -+---()05623=-+--561=-+-=2．(1)33(2)22+【分析】本题考查了二次根式的混合运算；（1）根据二次根式的运算法则进行计算即可求解；（2）根据二次根式性质，平方差公式进行计算即可求解．【详解】（1）解：1 62242÷+⨯312 =+323 =+33=（2）解：()()1883131-++⨯-322231=-+-22=+3．(1)1-(2)326-【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键；（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．【详解】（1）解：23(3)|32|3-+-3323=-+-；1=-（2）解：2(61)(35)(35)--+-6261(95)=-+--62614=-+-．326=-4．(1)0(2)5653-【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可；（2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：18322-+32422=-+．0=（2）解：()2123232÷+-112326232=⨯+-+232526322⨯=+-⨯65263=+-．5653=-5．(1)3-(2)61-【分析】本题考查二次根式的混合运算；（1）利用平方差公式计算即可；（2）先计算二次根式乘法，再计算减法即可.【详解】（1）原式；()()22522583=-=-=-（2）原式.1621612=-⨯⨯=-6．(1)433(2)228+【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）先利用二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可；（2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：127123-+323333-=+．433=（2）解：1486124⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭148126124=÷+÷11442=+⨯．228=+7．(1)1122(2)5【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．（1）直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；（4）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，再计算得出答案．【详解】（1）解：18322+-222422=+-；1122=（2）解：11233⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭112333=⨯-⨯61=-5=8．(1)33(2)1-【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）先算乘法，再合并同类二次根式即可；（2）根据平方差公式计算即可．【详解】（1）原式；23333=+=（2）原式．22(5)(6)561=-=-=-9．(1)2(2)46+(3)32+(4)52-【分析】本题考查了二次根式的混合运算．（1）根据平方差公式计算即可．（2）先计算二次根式的乘除，再化简为最简二次根式，合并同类项即可．（3）逆用积的乘方，以及平方差公式进行计算即可．（4）根据二次根式的混合运算顺序计算即可．【详解】（1）解：()()25322532+-2018=-．2=（2）148312242÷-⨯+243323262=÷-⨯+．46=+（3）()()201420153232-⋅+()()()2014323232⎡⎤=-+⋅+⎣⎦()()20143432=-⋅+()()2014132=-⋅+．32=+（4）()()721631318-++-3231=-+-．52=-10．(1)10(2)3210【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．（1）先对括号内进行二次根式的化简和二次根式的加法运算，然后计算乘法；（2）根据二次根式乘除法的法则进行计算即可得出结果．【详解】（1）12733⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭33333⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭=10333=⨯；10=（2）3212524⨯÷343524=⨯÷352=÷．3210=11．(1)22(2)522-【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先运算乘法，再运算加减，即可作答．（2）分别通过完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答．【详解】（1）解：143282⨯+-23222=+-；22=（2）解：()()()2535321+-+-()532221=-+-+．522=-12．（1）；（2）．22＋82【分析】本题考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质，根据二次根式的性质化简各二次根式成为解题的关键．（1）先根据二次根式的性质化简，然后在合并同类二次根式即可．（2）先根据二次根式的性质化简，然后在合并同类二次根式即可．【详解】（1）原式322231=-+-．22=＋（2）原式4232333=⨯⨯．82=13．(1)4(2)2【分析】本题考查了实数的运算．（1）根据立方根，算术平方根的性质化简，再计算加减即可；（2）先根据立方根，算术平方根的性质化简，再计算乘法，最后计算加减即可．【详解】（1）解：2312516(3)-+-543=-+；4=（2）解：223(2)(1)2712-⨯-+-+-41321=⨯-+-4321=-+-．2=14．(1)223--(2)1243-【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法法则、平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．（1）先根据二次根式的除法法则计算，化简后合并即可；（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，化简后合并即可．【详解】（1）解：原式1224533=--2225=--；223=--（2）解：原式()()221243132⎡⎤+-⎢⎥⎣-+⎦=()1124433++=--．1243=-15．(1)455+(2)4【分析】本题主要考查实数的混合运算和二次根式的混合运算：（1）先化简二次根式和二次根式的乘法运算，再进行加减运算即可；（2）原式先计算乘方和化简二次根式，再计算乘法和除法，最后进行加减运算即可；【详解】（1）解：()20525++25255=++；455=+（2）解：222+4111884⎛⎫-⨯-⨯-⎪⎭÷ ⎝1188442=-⨯-⨯+⨯8416=--+4=16．(1)3(2)1523-+【分析】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂及零次幂：（1）利用二次根式的混合运算、负整数指数幂及零次幂的运算法则即可求解；（2）先去括号，再合并即可求解；熟练掌握其运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：原式462621=-+÷-366=-+．3=（2）原式112323(1)=---+1123231=--+-．1523=-+17．(1)9(2)0【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）根据立方根定义，二次根式性质进行计算即可；（2）根据立方根定义，二次根式性质进行计算即可．【详解】（1）解：2338125(2)--++-()252=--++252=++；9=（2）解：()23318281279--+-+-112239=--+112233=--+．0=18．(1)223-(2)623-【分析】本题考查了二次根式的乘除法，实数的运算．（1）根据负整数指数幂、零次幂以及算术平方根的性质计算即可求解；（2）先根据二次根式的乘除法计算，再合并同类二次根式即可求解．【详解】（1）解：()101822π-⎛⎫--+- ⎪⎝⎭2212=--；223=-（2）解：124318322÷-⨯+8942=-+22342=-+．623=-19．(1)11212-(2)36126+【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，准确计算．（1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可；（2）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：11818818⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223246⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9219246=-2723821212=-；11212=-（2）解：()()()2233223322332+-+-()12126181218=++--12126186=+++．36126=+20．(1)32-(2)225+【分析】本题考查了二次根式的混合运算；（1）先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可；（2）先分别利用平方差公式以及完全平方公式进行展开，然后再合并同类二次根式即可.【详解】（1）解：原式；332222332=-+-=-（2）解：原式．151255225=-+++=+21．(1)223--(2)1-【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算即可；（2）根据二次根式的性质、实数的混合运算法则计算即可．【详解】（1）23(3)452-⨯--3235=--；223=--（2）22323(4)8ππ-+-+---4342ππ=-+-+-+4342ππ=-+-+-+．1=-本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握实数的混合运算法则，是解答本题的关键．22．(1)1(2)122+【分析】（1）先化简二次根式后，再计算乘法可得答案．（2）先计算平方差和化简二次根式，再合并可得答案；【详解】（1）1(2712)3-⨯3=(3323)3-⨯3=33⨯1=（2）()()21218+-+2122=-+122=+此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．23．(1)2(2)7【分析】（1）先化简，再根据二次根式的加减运算法则计算即可；（2）先根据二次根式的乘法运算化简，再计算即可．【详解】（1）解：188-3222=-；2=（2）解：21(3)2123-+⨯324=+⨯322=+⨯．7=本题考查二次根式的加减运算和混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．24．(1)46-(2)1062-【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可．【详解】（1）解：148312242÷-⨯+243323262=÷-⨯+4626=-+；46=-（2）()()()2233232+-+-349622=-+-+．1062=-本题考查了二次根式的混合运算，先把各个二次根式化为最简二次根式，然后根据运算法则进行运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．25．(1)22(2)11【分析】（1）先化简二次根式，然后计算加减法．（2）先去括号，然后计算加减法．【详解】（1）112683-+232322=-+22=（2）()()251552-++5251525=-+++11=本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算顺序是解此题的关键．26．(1)1577(2)8【分析】（1）先化简每一个二次根式，然后再合并即可；（2）先利用平方差公式进行计算，然后再进行加减运算即可【详解】（1）解：1287++2=777；=1577（2）解：()()()232327+-+327=-+．8=本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．27．(1)；203253-(2)．19-【分析】（1）化简二次根式，然后按照二次根式的加减运算法则进行计算即可；（2）先运用平方差公式、二次根式的除法法则、积的乘方进行去括号、化简，然后进行计算即可．【详解】（1）解：14510811253++-235633553=++-；203253=-（2）()()()22312316482332-+-÷-()2223131618=---1213418=--⨯-．19=-本题考查了平方差公式，二次根式的化简和计算；正确化简二次根式是解题的关键．28．(1)0；(2)6．【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先将除变为乘，然后根据二次根式的乘法法则进行计算即可．【详解】（1）解：18322-+2223242=⨯-⨯+32422=-+0=（2）3521052⨯÷13521052=⨯⨯65052=6255=655⨯=6=本题考查了二次根式的混合运算；熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．29．(1)3-(2)362-【分析】（1）根据绝对值的性质，非零数的零次幂的计算方法，有理数的加减运算法则即可求解；（2）根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则，即可求解．【详解】（1）解：0132(37)-+---1(32)1=----．3=-（2）解：()112123242⨯+÷-+112122623⎛⎫=⨯+-+ ⎪ ⎪⎝⎭6226=-+．362=-本题主要考查实数的混合运算，掌握绝对值的性质，非零数的零次幂，二次根式的性质，二次根式的混合法则是解题的关键．30．(1)3(2)0【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算；（2）根据二次根式的混合运算进行化简计算即可．【详解】（1）解：1486753+-5436333+⨯-=243335+=-；3=（2）解：126(62)(26)18⨯++-62(46)32=+-22=-．0=本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．31．(1)82(2)255-【分析】（1）根据二次根式的乘除法运算法则，先化简二次根式，再计算；（2）根据平方差公式，完全平方公式先展开，再根据实数的运算法则即可求解．【详解】（1）解：181232⨯÷222233=⨯⨯．82=（2）解：2(32)(32)(51)+---22(3)(2)(5251)=---+1625=-+．255=-本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简，乘法公式，二次根式的混合运算是解题的关键．32．(1)232-(2)23+【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先用乘法分配律去括号化简，再合并同类二次根式即可．【详解】（1）原式，1323=-+232=-（2）原式，642324=+--22=+本题考查二次根式的计算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．33．(1)322(2)1【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减法即可求解；（2）根据乘法分配律，再根据二次根式的乘法，最后根据二次根式的加减法即可求解．【详解】（1）解：11882-+232222=-+222=+22222=+．322=（2）解：32623⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭326623=⨯-⨯326623=⨯-⨯94=-32=-．1=本题主要考查二次根式的加减乘除的混合运算，熟练掌握二次根式的化简，加减，乘除法运算法则是解题的关键．34．(1)22-(2)11324-【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式()22514211=--+--51422=--+-；22=-（2）解：原式2332932244=+-+211344=-+.11324-=本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，零指数幂，负整数指数幂，正确计算是解题的关键．35．(1)2-(2)6-【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简、零指数幂的性质化简，进而计算得出答案；（2）直接利用二次根式的性质、二次根式的乘法运算法则化简，进而得出答案．【详解】（1）原式233313-=-313-=-11=--；2=-（2）原式663363=+⨯-6636=+-．6=-此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．36．(1)2(2)46+【分析】（1）根据二次根式的化简，加减法即可求解；（2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解．【详解】（1）解：338227+--3322233=+--3333(222)=-+-．2=（2）解：148312242÷-⨯+148312262=÷-⨯+16626=-+4(266)=+-．46=+本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键．37．(1)33+(2)0【分析】（1）根据零指数幂、二次根式的加减运算计算即可；（2）运用平方差公式、二次根式的混合运算计算即可．【详解】（1）原式=；1232333++-=+（2）原式=．7340--=本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂，正确计算是解题的关键．38．(1)432-+(2)523-【分析】(1）先算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；(2）利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答；【详解】（1）解：原式==31432232-⨯+⨯432-+（2）解：()()()274374331＋－＋－()()22227433231=-+-+49483231=-+-+523=-本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．39．(1)22-(2)3264-【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的减法，然后计算二次根式的除法即可得；（2）先分母有理化，再化简二次根式，然后再计算二次根式的加减法即可得．【详解】（1）解：原式=()2433336⨯-⨯÷=()83936-÷=36-÷=12-=；22-（2）解：原式=2224624⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2226624---=222644--=．3264-本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．40．(1)5(2)423-【分析】直接利用二次根式以及立方根的性质分别化简得出答案直接去绝对值进而计算得出答案【详解】（1）236416(5)-++-()445=-++5=（2）32|32|--3232=-+423=-本题考查了二次根式的性质与化简，立方根的性质，混合运算，以及去绝对值的应用，熟练运用二次根式的混合运算是解题的关键．41．(1)5232-(2)252-【分析】（1）利用完全平方公式进行二次根式的运算即可．（2）先化简，然后去括号，在合并同类二次根式和同类项即可．【详解】（1）()222212=--+原式 2222125232=-+-=-（2）3552113=+--+原式 55211252=+--+=-本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂．42．(1)2-(2)26231-+【分析】（1）先算绝对值，去括号，再算加减即可．（2）先进行化简，二次根式的除法运算，二次根式的乘法运算，最后算加减即可．【详解】（1）原式()2321235=---++-2321235=--+++-2.=-（2）原式32622322=-⨯+-2623 1.=-+本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解此题的关键．43．(1)0(2)1333【分析】(1)首先化简二次根式，然后再计算加减即可；(2)先算乘法，然后再计算加减即可．【详解】（1）18322-+=32-42+2=0（2）1863⨯+=343+3=1333此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．44．(1)；12(2)2【分析】（1）先求出算术平方根、立方根，再进行加减运算即可；（2）先求出立方根，绝对值，再根据二次根式的加减进行运算即可．【详解】（1）31414+--1212=--112=-；12=（2）327212-+-3221=-+-．2=本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．45．(1)22+(2)83-【分析】（1）首先计算绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；（2）首先计算开平方和开立方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【详解】（1）解：原式 = 2222-+ = ．22+（2）解：原式 =3323-+--（）=3323-++= ．83-此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．46．(1)12(2)0【分析】(1)先根据算术平方根，立方根，绝对值的意义化简各式，然后再进行计算即可解答；(2)根据算术平方根，立方根的意义化简各式，进行计算即可解答．【详解】（1）310084+-+-=10-2+4=12（2）239627----（）=3-6+3=0本题考查了实数的运算，算术平方根，立方根的意义，熟练掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键．47．(1)23(2)42-【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则即可求出答案；（2）原式利用二次根式的除法，绝对值的意义，以及0指数幂的法则计算即可的到结果．【详解】（1）1273123+-=33+3-23=；23（2）()011283516⨯+-+-()23221=+-+=22231-++=；42-本题考查二次根式的混合运算，以及0指数幂，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．48．(1)33+(2)66【分析】（1）先进行二次根式的乘除法的运算，化简运算，再进行加减运算即可；（2）利用平方差公式及完全平方公式进行运算，再算加减运算即可．【详解】（1）解：27161223-⨯+3323=-+；33=+（2）()()2323323(36)-+--()()1839666--=-+615966-+-=．66=本题主要考查二次根式的混合运算及乘法公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．49．(1)1010(2)22【分析】（1）先将被开方数中的分母拿到根号外，再将除法变成乘法，最后进行约分化简；（2）先算括号内，再算除法，最后算减法；【详解】（1）282335÷⨯282335=÷⨯2323225=⨯⨯2 25 =1010 =（2）()1 24632-÷-()126632=-÷-1632=÷-222=-22=本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则和化简方法是解题的关键．50．(1)0(2)3【分析】（1）根据二次根式的混合运算顺序进行计算即可；（2）根据二次根式的混合运算顺序进行计算即可；【详解】（1）解：24232-⨯＝2626-＝0；（2）解：() 311535 -+＝33535-+＝3此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．。
(完整版)苏教版八下复习二次根式及基础练习(含答案)
、相关定义1、二次根式的概念：式子ja （a 0）叫做二次根式。
（1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。
（2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。
（3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。
（4）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根 式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：0a 与ja ；av'b c<d 与 aUb cUd ） 2、二次根式的性质：(1) .后具有双重非负性：a>0, ^>0. (2) (4a)2a(a 0)；3、积的算术平方根的性质:4、商的算术平方根的性质:a a \b b （a 0，b 0）5、最简二次根式定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
6、同类二次根式二次根式二衩根式后（口二°）是非负数（石 二日 g 之o ）二次根式的化曾与云用二次根式的乘除二代根式的加减(3) \a 2aa (a 0) a (a 0)Vab Va <b (a>0,b>0)；一般地，把几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开放数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
二、二次根式的运算：1、二次根式的乘法：v；a Jb v ab （a>0, b>0）。
2、二次根式的除法：Ya 但（a 0,b 0）b \ b3、二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。
二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。
4、分母有理化---把分母中的根号化去5、二次根式的混合运算运算顺序与实数混合运算顺序一样，结果要化为最简二次根式。
真题练习:、选择1.下列二次根式是最简二次根式的是（）A. J8B.C.D.2.如果J12与最简二次根式了，5 a是同类二次根式,则a的值是A. a 7B. a 2C. a 1D. a 13.在下列二次根式中，与a a是同类二次根式的是（▲）A.虎aB. ga2 C . x/a3 D . \/a44.下列根式中，与J8属于同类二次根式的是（）A. <?8B. J；C. 724D. JT25、若m —（ 2）,则有（）2A. 2 m 1B. 1 m 0C. 0 m 1D. 1 m 26.若，x 24x 4 2 x ,则实数x 满足的条件是（12.计算21 J2 , n 1 5/2 ,则代数式4m n 23mn 的值为 14.若 a + b= 3^/2, ab=4,则 a 2+b 2的值为 也―在实数内范围有意义，则 x 的取值范围为2x 316 .若(y 3)2 0西，则 x yA. x 2B. C.x<2 D.7.下列运算正确的是（ A. . 2 +「3 = . 52,J2-j2=/2C• ；( 2) ( 3)=、O) x 尸8.下列计算正确的是（ A.U = ± 4 B. 四C.1)2 D. ■. 32 429.化简7（ 5）2的结果是（10. B.C.D. 25卜列二次根式中属于最简二次根式的是 A. 12下列计算正确的C. D.A. J12 <3 <3 B .贬 J3 3、52. 2 5. 212.己知j a3 J2 b 0,则二工aA. 1B. 2C. 、, 3D.4.3 3二、填空 11.计算<81而的结果是13.己知m15.若代数式(11) (3 亚)(3 亚(1近) (12)2 3 - 1517 .要使式子J 1 2x 有意义，则实数x 的取值范围是 .18 .计算：77 2” 77 242.19 .若/4而 是正整数，则n 可取到的最小正整数为 • 20 .若4=5在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是三、计算(3) 422-3 1- + I 33-2 I (4)( ；3(9)而(1) 12 近 3321、(1) 88 - 6^1 +|1 —啦|(2)2、. 5 3 2 2,5 3 ,2(5) + 而(122- 277 )(6) 1 22 2018718⑺ 2+ 3 2 3 2 8 6(8)33- 22 2 -33 x 122 .(10) - 48（13）（2 小-yf5）（木 +木）23 3（17）；~ /~246 2 '-.2 3 -3三、解答题22.已知a J3 22, b J3 近.⑴求a2 b2的值;(2)求b a的值. a b23.像而2而2 1、Ga a 0、7b 1 7b 1 b 1 b 0两个含有二次根式的代数式相ft,积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如，75与而，跖1与61, 2石3石与2后3石等都是互为有理化因式.进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.请完成下下列问题⑴化简:(2)计算：1—1—2 3 3 、2(3)比较72018 J2017与闻17 72016的大小，并说明理由24.阅读材料：若a, b都是非负实数，则a b 2<ab .当且仅当a = b时，“二”成立.证明：: (、② Jb)2 0 , .-.a 2Vab b 0.-1• a b 2Jab .当且仅当a = b时，"=”成立.2举例应用：已知X>0,求函数y x —的最小值.Xx - 2Mx - 2V2 .当且仅当x 2 ,即x J2时，“二”成X X x 解：y・♦・当x J2时，函数取得最小值，y最小2< 2 .问题解决:3 x(1)已知x>0,求函数y ———的最小值2x 62(2)求代数式m一组二(m> - 1)的最小值.。
苏科版八年级下册数学第12章 二次根式 含答案
苏科版八年级下册数学第12章二次根式含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列二次根式中，能与合并的是（）A. B. C. D.2、若，化简二次根式的结果是（）A. B. C. D.3、使有意义的x的取值范围是（）A.x＞3B.x＜3C.x≥3D.x≠34、下列各式计算正确的是（）A. B. C. D.5、下列各式一定不是二次根式的是（）A. B. C. D.6、已知a=，b=，用含a、b的代数式表示，这个代数式是（）A.a+bB.abC.2aD.2b7、下列二次根式中，最简二次根式是（）A. B. C. D.8、若是正整数，最小的正整数n是（）A.2B.3C.4D.59、化简的结果是( )A. B. C.- D.10、下列二次根式可以与合并的是（）A. B. C. D.11、下列计算正确的是（）A. a2+ a2=2 a4B.（2 a）2=4 aC.D.12、已知是整数，则正整数n的最小值是（）A.2B.6C.12D.1813、实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（）A.﹣2a+bB.2a﹣bC.﹣bD.b14、在Rt△ABC中，∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，则化简的结果为（）A.3a+b﹣cB.﹣a﹣3b+3cC.a+3b﹣3cD.2a15、若式子+ 有意义，则点P（a、b）在（）A.坐标原点B.第一象限C.第二象限D.第三象限二、填空题(共10题，共计30分)16、若x＜2，化简+|3﹣x|的正确结果是________．17、计算－3 的结果是________.18、若实数a，b在数轴上对应的点的位置如图，则化简的结果是________．19、若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n＝________.20、化简：的结果是________.21、计算：________.22、计算：= ________.23、代数式有意义，则x的取值范围是________.24、若y= + +4，则x2+y2的算术平方根是________．25、计算：________ ．三、解答题(共5题，共计25分)26、利用幂的运算性质计算：27、(+-)(-+)．28、如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积．29、已知a=3﹣， b=3+，试求﹣的值．30、当a为实数时，下式是不是二次根式？，，，，．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、C5、D6、B7、A8、B9、C10、B11、C12、B13、A14、B15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、30、。
八年级数学下册 12.1 二次根式《二次根式》典例解析2素材 (新版)苏科版
《二次根式》典例解析例1．若x ，y 为实数，且42112=+-+-y x x ，则_______=xy .分析 由于含有两上未知量而只是一个等式，不妨从二次根式概念入手.∵⎩⎨⎧≥-≥-,021,012x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥,21,21x x 即得21=x ，4=y ，2421=⨯=xy 解答 2说明 回到定义中去是重要解题方法.例2．求231294a a a a -+-+--+的值.分析 由于二次根式的被开方数为非负性，知求值式中的2a -，a 必为零.问题迎刃而解.解答 因当0=a 时，2a -才有意义.故原式=231294a a a a -+-+--+ .001320010940=++-=+-+--+= 说明 本题关键是挖掘隐含条件02≥-a 的条件是什么？例3．当x 取什么值时，119++x 取值最小，并求出这个最小值.分析 根式中二次根式的双非负性，即被开方数非负，二次根式非负，所以只有当019=+x 时，119++x 才有最小值.解答 因为019≥+x ，解得91-≥x ， 故当91-=x 时，19+x 有最小值，为0. 从而119++x 有最小值，最小值为1. 故当91-=x 时，119++x 取值最小，最小值为1.2 例4．已知m 是13的整数部分，n 是13的小数部分，计算)(n m -的值.分析 根据算术平方根的概念，可知16139<<即4133<<，从而可确定m 和n .解答 ∵16139<<，即4133<<，∴ 13的整数部分3=m ，13的小数部分313-=n . ∴)313(3--=-n m 136-=说明 一部分学生总是想求13的算术平方根，在不允许查表的情况下，尽管可知 13的整数部分是3，但不易知道13的小数部分，从而陷入误区.而忽视了由13=+n m 可求出13的小数部分n .。
苏科版数学八年级下册第12章《二次根式》单元练习.doc
第12章 二次根式知识点：一、二次根式的概念：例1：下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A 、aB 、10-C 、1a +D 、21a + 二、二次根式有意义例2：若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 三、二次根式定义的运用例3：若y ＝5-x +x -5+2009，则x+y=四、二次根式的整数部分和小数部分例4：已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，则12a b ++的值为 。
五、二次根式的性质例5：已知2x <,则化简244x x -+的结果是（ ）A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x - 六、最简二次根式和同类二次根式例6：在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例7：下列根式中能与3是合并的是( )A.8B. 27C.25D.21 七、二次根式的计算例8：计算（1）22 (212 +418 －348 )（2）132x y （2y x ）÷162x y x ＞0，y ＞0）课后练习1、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有 个2、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠4 3、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．34、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
5、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为 。
6、化简：21(3)a a -+-的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、47、若a －3＜0，则化简a a a -++-4962的结果是（ ）A 、 －1B 、 1C 、 2a －7D 、 7－2a8、21816x x x ---+的结果是2x -5，则x 的取值范围是（ ）（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x ≤19、把二次根式a a-1化简，正确的结果是（ ） A. -a B. --aC. -aD. a 10、把下列各式化为最简二次根式：(1)12 (2)b a 245 （a ＞0，b ＞0） (3)x y x 2（x ＞0，y ＞0）11、计算（1）a b b a ab b 3)23(235÷-⋅（a ＞0，b ＞0） （2） 673)32272(-⋅++【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
八年级数学下册12.1二次根式《二次根式》典例解析2素材苏科版
《二次根式》典例解析例1．若x ,y 为实数，且42112=+-+-y x x ，则_______=xy .分析 由于含有两上未知量而只是一个等式，不妨从二次根式概念入手。
∵⎩⎨⎧≥-≥-,021,012x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥,21,21x x 即得21=x ，4=y ，2421=⨯=xy 解答 2说明 回到定义中去是重要解题方法。
例2．求231294a a a a -+-+--+的值.分析 由于二次根式的被开方数为非负性，知求值式中的2a -，a 必为零。
问题迎刃而解.解答 因当0=a 时，2a -才有意义.故原式=231294a a a a -+-+--+ .001320010940=++-=+-+--+=说明 本题关键是挖掘隐含条件02≥-a 的条件是什么?例3．当x 取什么值时，119++x 取值最小，并求出这个最小值.分析 根式中二次根式的双非负性，即被开方数非负，二次根式非负，所以只有当019=+x 时,119++x 才有最小值.解答 因为019≥+x ，解得91-≥x ， 故当91-=x 时，19+x 有最小值，为0。
从而119++x 有最小值,最小值为1。
故当91-=x 时，119++x 取值最小，最小值为1.例4．已知m是13的整数部分，n是13的小数部分,计算)m-的值。
(n分析根据算术平方根的概念，可知163<<，从而可确定m和n。
13<即49<13解答∵163<<，13<，即4139<∴13的整数部分3m，=13的小数部分3n。
13-=∴)3-nm=(-133-6-=13说明一部分学生总是想求13的算术平方根，在不允许查表的情况下,尽管可知13的整数部分是3,但不易知道13的小数部分，从而陷入误区。
而忽视了由13m可求出13+n=的小数部分n。
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苏科版数学八年级下册第12章《二次根式》测试题含答案
八年级下册数学《二次根式》单元测试卷评卷人得分一、单选题1．若代数式21(3)x -有意义，则实数x 的取值范围是()A ．x≥一1B ．x>－lC ．x>－1且x≠3D ．x≥一1且x≠32．下列各式计算正确的是（）A 16=B 1=C 22=D =3()A BC D ．4有意义的x 的取值范围是（）A ．x≥－1B ．－1≤x≤2C ．x≤2D ．－1＜x ＜25．计算3÷3×()A ．3B ．9C ．1D ．336，得（）A ．113B ．0C D ．7．已知x ，y 满足40x -+=，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A ．20或16B ．20C ．16D ．以上答案都不对8．将下列根式化成最简二次根式后,()A B C D ．9．对于任意的正数m ，n 定义运算※为：m※n ＝−o ≥p+o <p计算(3※2)×(8※12)的结果为()A ．2－46B ．2C ．25D ．2010．计算8×2的结果是（）A ．10B ．4C ．6D ．2评卷人得分二、填空题11有意义，则点A(a 在第______象限．12的结果是．13=______.14．已知,x y 为实数，且4y =，则x y -=______.15是整数，则正整数n 的最小值为___16）x>1的解集是__________．评卷人得分三、解答题17b2-4b +4=0，求a b 的值．18．计算:;(2);⎛⎝;(a>0).18-20．计算:(1); (2));;82+(-1)0.21．已知a22．已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简︱a︱-.参考答案1．D【解析】【分析】根据分式有意义的条件和二次根式的定义，即可求出x的范围；【详解】根据题意得：x+1≥0且x-3≠0解得：x≥一1且x≠3故选D【点睛】本题考查分式有意义的条件，本题的关键除了要考虑分母不为0外，还要考虑的二次根式的被开方数大于等于0.2．C【解析】试题分析：逐一计算作出判断:(A)816==≠;(B)3111===≠;(C)22 =;(D)==≠.故选C.考点：二次根式化简.3．C【解析】【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．【详解】A=B．2=被开方数不同，故不是同类二次根式；C．=被开方数相同，故是同类二次根式；D=被开方数不同，故不是同类二次根式．故选C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．4．B【解析】在实数范围内有意义，必须x+10x1{{1x22x0x2≥≥-⇒⇒-≤≤-≥≤．故选B．5．C【解析】3÷3=3=1，故选C．【解析】【分析】先利用二次根式的性质逐项化简，再合并同类二次根式即可.【详解】-=23⨯==0.故选B.【点睛】本题考查了二次根式的加减，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把同类二次根式合并即可.()0a a =≥=（a ≥0，b ≥0）=（a ≥0，b >0）.7．B 【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出x 、y 的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】解：根据题意得，4-x=0，y-8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．8．B【解析】【分析】根据题意先将各数化为最简二次根式后即可判断．【详解】A.=2B.的被开方数相同，故该选项正确；C.=D.a.故选B.【点睛】本题考查同类二次根式的概念，解题的关键是正确理解同类二次根式的概念，本题属于基础题型．9．B【解析】试题分析：∵3＞2，∴3※2=3−2，∵8＜12，∴8※12=8+12=2(2+3)，∴（3※2）×（8※12）=（3−2）×2(2+3)=2．故选B．考点：1．二次根式的混合运算；2．新定义．10．B【解析】试题解析：8×2=16=4.故选B.考点：二次根式的乘除法．11．二【解析】由题意可得：10a a ⎧-≥⎪⎨⎪≠⎩，解得：a<0，，∴点A(a在第二象限，故答案为：二.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，点所在的象限等，熟知二次根式有意义的条件以及每个象限点的坐标特征是解题的关键.12．5．【解析】【详解】5==.故答案为5.13．1【解析】分析：先根据二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式即可得解.=21|211--=-=｜.故答案为1.(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩.14．1-或7-.【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x 、y 的值，代入即可得出结论．【详解】∵290x - 且290x -≥，∴3x =±，∴4y =，∴1x y -=-或7-．故答案为：1-或7-．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出x 、y 的值．15．5【解析】【分析】，则5n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为5．【详解】∴是整数，即5n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为5．故答案为：5．【点睛】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．16．x >+【解析】试题解析：系数化为1可得：x∴x ，故答案为x ．17．4．【解析】【分析】根据非负数的性质列出算式，求出a 、b 的值，计算即可．【详解】+（b-2）2=0，由题意得，a-b=0，b-2=0，解得，a=2，b=2，则a b =4．【点睛】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．18．(1)；(2)-；(3)4ab -；(4)(0)a ＞.【解析】试题分析：(1)被开方数与被开方数相除，结果化为最简二次根式；(2)根号外和根号内的部分分别相除，再把所得的结果相乘；(3)被开方数与被开方数相除，结果化为最简二次根式，注意符号运算；(4)逆用二次根式的除法法则.试题解析：==；(2)3110⎛⎫=-÷⨯ ⎪⎝⎭==-；⎛= ⎝4ab ==-；()0a ===＞.19．433.【解析】【分析】先将各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可得出答案．【详解】原式=234333-=．【点睛】本题考查了二次根式的加减法，熟记法则是解题的关键．20．（1）；（2）；（3）（4+1.【解析】【分析】根据二次根式的公式化简即可.【详解】(1)原式=(12-3+6)(2)原式-+(3)原式(4)原式+1=+1.【点睛】本题考查二次根式的计算，注意合并同类二次根式.21．0【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得2202400a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，解不等式组可得a 的值．【详解】解：由题意得：2202400a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩解得：a=0．原式+0=0【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．22．a ﹣b ．【解析】【分析】直接利用数轴判断得出：c<a<0,b>0,则a<0，a+c<0，c-a<0，b>0，进而化简即可．【详解】由数轴可知c<a<0,b>0,∴a<0，a+c<0，c-a<0，b>0，∴原式=-a+(a+c)-(c-a)-b=-a+a+c-c+a-b=a-b.故答案为a-b.【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴.。
初二二次根式经典题型
初二二次根式经典题型一、二次根式的概念与性质相关题型1. 题型：判断二次根式- 题目：下列各式中，哪些是二次根式？- √( - 5)，√(a)(a≥0)，sqrt[3]{8}，√(frac{1){3}}，√(x^2)+1。
- 解析：- 二次根式的定义是形如√(a)(a≥0)的式子。
对于√( - 5)，被开方数 - 5<0，不满足二次根式定义中被开方数是非负数的条件，所以它不是二次根式。
- √(a)(a≥0)符合二次根式的定义，是二次根式。
- sqrt[3]{8}是三次根式，不是二次根式，因为二次根式的根指数是2。
- √(frac{1){3}}，被开方数(1)/(3)>0，满足二次根式的定义，是二次根式。
- √(x^2)+1，因为x^2≥0，所以x^2+1>0，满足二次根式的定义，是二次根式。
2. 题型：二次根式有意义的条件- 题目：当x取何值时，二次根式√(x - 2)有意义？- 解析：- 二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0。
- 对于√(x - 2)，令x - 2≥0，解得x≥2。
所以当x≥2时，二次根式√(x - 2)有意义。
3. 题型：二次根式的性质运用- 题目：化简√(( - 3)^2)。
- 解析：- 根据二次根式的性质√(a^2)=| a|。
- 对于√(( - 3)^2)，这里a = - 3，则√(( - 3)^2)=| - 3|=3。
二、二次根式的运算相关题型1. 题型：二次根式的乘法- 题目：计算√(3)×√(6)。
- 解析：- 根据二次根式乘法法则√(a)×√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)。
- 对于√(3)×√(6)，则√(3)×√(6)=√(3×6)=√(18)=√(9×2)=3√(2)。
2. 题型：二次根式的除法- 题目：计算(√(24))/(√(6))。
- 解析：- 根据二次根式除法法则(√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}(a≥0,b>0)。
江苏8年级下册数学二次根式新题归纳
新题平台 二次根式新题赏析 □ 山东 于化平 一、规律探究型 例1 （2018年十堰）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
A ．102
B ．41
C ．25
D ．51
解析：根据给出的图中数阵的排列规律，可以发现：①参加排列的数依次为1，
2，3，4，…，n ，…；②第1排1个数，第2排2个数，第3排3个数，第4排4个数，…，第n 排n 个数，则第n 行最后一个数为2
)1(321+=++++n n n Λ. 所以第8行最后一个数为
6362
98==⨯，则第9行从左至右第5个数是41536=+. 故选B ． 点评：本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据题意得出第n 行最后一个数为()12
n n +． 二、应用型
例2 （2018年枣庄）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，则该三角形的面积为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-=22
2222)2(41c b a b a S ．现已知△ABC 的三边长分别为1，2，5，则△ABC 的面积为 ．
解析：直接将三角形的三边长代入面积公式即可.
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=222222)2(41c b a b a S =()22222212511242⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
=1. 故填1．。
八年级数学下册第12章二次根式：二次根式1二次根式习题pptx课件新版苏科版
②当a＝2是底边长时，三角形的三边长分别为2，5， 5，能组成三角形． ∴此等腰三角形的周长为2＋5＋5＝12.
A．x≠2
B．x≥0
C．x≥2
D．x≥0 且 x≠2
【点拨】 根据分式的分母不能为0和二次根式的被开方
数大于或等于0，得x≥0且x－2≠0，解得x≥0且x≠2， 故选D.
【答案】D
4 [2022·绥化]若式子 x＋1＋x－2 在实数范围内有意义，
则 x 的取值范围是( )
A．x＞－1
B．x≥－1
13 已知 2x＋y－3＋ x－2y－4＝ a＋b－2 024× 2 024－a－b.求：
(1)a＋b 的值； 【解】由题意得a2＋02b4－－2a－024b≥≥00，， 即aa＋＋bb≥≤22002244，，∴a＋b＝2 024.
(2)7x＋y2 024的值． 【解】由(1)知， a＋b－2 024× 2 024－a－b＝0， ∴ 2x＋y－3＋ x－2y－4＝0. ∴2xx－＋2yy－－34＝＝00，，解得xy＝＝－2，1. ∴7x＋y2 024＝7×2＋(－1)2 024＝15.
C．x≥－1 且 x≠0
D．x≤－1
【点拨】
要使 x＋1＋x－2 在实数范围内有意义，需满足 x＋1≥0 且 x≠0，即 x≥－1 且 x≠0. 【答案】C
5 [2022·黔东南州]若(2x＋y－5)2＋ x＋2y＋4＝0，则 x－y 的值是____9____．
【点拨】 根据非负数之和为0，则每一项都为0，分别算出x，
【点拨】
由二次根式的非负性可得m＝2，n＝4.若腰长为2， 底边长为4，∵2＋2＝4，不满足三角形三边关系， ∴此情况不成立；若腰长为4，底边长为2，∵2＋4 ＞4，∴能组成三角形，此时△ABC的周长为2＋4＋ 4＝10.故选B.
八年级数学下册第12章二次根式练素养2二次根式运算的六种常见题型习题pptx课件新版苏科版
a a－a (2) a－ ab
b－
a－b a＋ b.
【解】原式＝
a( a(
a－ a－
b) －( b)
a＋
b)( a－ a＋ b
b)＝
a－( a－ b)＝ a－ a＋ b＝ b.
3 已知 a，b 分别是 4＋ 3的整数部分和小数部分． (1)分别求出 a，b 的值；
【解】∵1＜ 3＜2， ∴5＜4＋ 3＜6，∴a＝5，b＝ 3－1；
6 已知 x＋1x＝ 5，求x4＋xx22＋1的值． 【解】易知 x≠0.将原式取倒数， 得x4＋xx22＋1＝x2＋x12＋1＝x＋1x2－1＝ ( 5)2－1＝4，∴原式＝14.
【点方法】
本题对所求式取倒数并化简后，可将 •••
x＋1x的值代
入计算，大大简化了计算过程．
第12章 二次根式
2.二次根式运算的
练素养
六种常见题型
1 [2023·绍兴]计算：(π－1)0－ 8＋|－2 2|. 【解】原式＝1－2 2＋2 2＝1.
2 (母题：教材 P165 练习 T2) 计算：
2
(1) 3＋1 3－1－ 16＋3 2－1 ；
【解】( 3＋1)( 3－1)－ 16＋(3 2－1)2 ＝3－1－4＋18－6 2＋1 ＝17－6 2；
4
[2023·苏州景苑中学二模]先化简，再求值： x＋x22＋x－2÷2xx22－－44，其中 x＝ 3＋2.
【解】x＋x2 2＋x－2÷2xx22－－44 ＝x＋x22＋xx2＋－24÷(x＋2x22)－(x－4 2) ＝2xx＋2－24·(x＋2x22)－(x－4 2)＝x－2， 当 x＝ 3＋2 时，原式＝ 3＋2－22－xy－2x＋2y 的值．
【解】∵x＝1－ 2，y＝1＋ 2， ∴x－y＝(1－ 2)－(1＋ 2)＝－2 2， xy＝(1－ 2)(1＋ 2)＝－1. ∴x2＋y2－xy－2x＋2y＝(x－y)2－2(x－y)＋xy＝ (－2 2)2－2×(－2 2)＋(－1)＝7＋4 2.
二次根式全章五类必考压轴题—2023-2024学年八年级数学下册(苏科版)(解析版)
二次根式全章五类必考压轴题题型一：二次根式的双重非负性的运用题型二：二次根式的规律探究题型三：复合二次根式的化简题型四：二次根式运算与求值技巧题型五：分母有理化题型一：二次根式的双重非负性的运用1．实数a 和b 在数轴上的位置如图所示，化简a b − ）A ．2aB ．2b −C ．2a −D ．2b 【答案】B101b a <−<<<a b +和绝对值的性质，即可得到答案．解题的关键是掌握所学的知识，正确得到101b a <−<<<．【详解】解：根据题意，则101b a <−<<<，∴0a b −>，0a b +<，∴a b −=a b a b−++ =a b a b −−−=2b −；故选：B ．2．已知三角形的三边长3,7,a 10a −的值为（ ）A ．7B ．7−C ．132a −D ．213a −【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形和非负数．熟练掌握三角形三边关系，二次根式性质和绝对值性质，是解决问题的关键．根据三角形三边关系，得到410a <<，得到30a −>，100a −<，根据二次根式性质和绝对值性质即得 ．【详解】∵三角形的三条边长分别为3、7、a ，∴7373a −<<+，即410a <<，∴40a −>，100a −<，∴30a −>，()103103107a a a a a −=−−−=−−+=．故选：A ．3．已知a 、b 为有理数，且满足a +=a b −等于（ ）A ．2−B ．4−C ．2D ．4 【答案】D【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把33a 、b 的值，即可计算a b −的值．【详解】解：3==又∵a +=∴3a +=∴3a =，1b =-，∴()31314a b −=−−=+=，故选：D ．4．若(20m =，则n m的值是 ．【答案】【分析】本题考查了非负数的性质，分母有理化，根据非负数之和为零，则每个非负数都是零可得1m n ==−，进而代入代数式，即可求解．【详解】解：∵(20m =，∴1m n ==−=−，∴n m ==，故答案为：．5．已知x y ，是有理数，且6y =++化简的结果为 ．【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出2x =，从而得出6y =【详解】解：由题意得：20x −≥，20x −≥，解得：2x =，将2x =代入6y =++得6y =，===故答案为：68b =+ ．【答案】5【分析】根据二次根式的性质得到170a −≥，170a −≥，求出17a =，8b =−，代入计算可得．【详解】解：由题可得170a −≥，170a −≥，解得17a =，∴08b =+，∴8b =−，5=，故答案为：5．【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，正确理解二次根式有意义的条件是解题的关键．7成立的条件是 ．【答案】x=2【分析】根据二次根式的意义，被开方数要大于等于零，去求x 的范围．【详解】根据二次根式有意义的条件，，∴x 必须满足的条件是20x −≥且20x −≤，则2x =．故答案是：2x =． 【点睛】本题考查二次根式的意义，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件．80=的根是 ．【答案】6x =【分析】根据二次根式有意义的条件得60x −≥或60x −≥，可得答案．【详解】解：根据二次根式有意义的条件得60x −≥或60x −≥，得：6x =，故答案为：6x =．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握其非负数的性质是解决此题的关键．题型二：二次根式的规律探究9．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形1OAA 的直角边OA 在x 轴上，点1A 的坐标为()1,1，以点1A 为直角顶点，1OA 为一直角边作等腰直角三角形12OA A ，再以点2A 为直角顶点，2OA 为直角边作等腰直角三角形23,OA A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，依此规律，则点2024A 的坐标为（ ）A ．()101110112,2−B ．()10112,0C ．()101210122,2−D ．()10122,0 【答案】D【分析】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号．点A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点A 所在象限或坐标轴、点A 到原点的距离与旋转次数的对应关系寻找，再求解．【详解】解：由已知，点A 每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，每次转动点A 到原∵20248253÷=，∴点2024A 的在x 轴的正半轴上，则2024101220242OA ==， ∴()101220242,0A ，故选：D ．10．2222222x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，第n 个单项式是（ ）A 2B C 2 D ．2n x 【答案】A【分析】本题主要考查了数字变化规律．观察已知式子，总结规律即可得第n 个单项式是2．2，22x 2，22，2⋯⋯，总结规律得第n 2．故选：A ．11．如图，12OA A △为等腰直角三角形，11OA =，以斜边2OA 为直角边作等腰23Rt OA A △， 再以3OA 为直角边作等腰34Rt OA A △，…，按此规律作下去便得到了一个海螺图案，则n OA 的长度为 ． （用含n 的式子表示）【答案】1n −【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得2OA =32OA =，4OA = 【详解】解：∵12OA A △为等腰直角三角形，11OA =，∴121OA ==，同理可得：2322OA ===，343OA ===，……；综上所述：1n n OA −=；故答案为1n −．题型三：复合二次根式的化简12．先阅读下列解答过程，然后作答：a ，b 使a b m +=，ab n =，这样22m +==)a b =>，例7m =，12n =；由于437+=，4312⨯=，即227+==2===根据上述例题的方法化简：；【答案】【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式，（1）根据解答过程即可得解，（2（3二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式．【详解】（1=；（2==（3==13．先阅读下列的解答过程，然后再解答：a b 、，使,a b m ab n +==，使得22m +==)a b =>7m =，12n =由于，4312⨯=437+=即227+==2\=(1)______=______；(2)【答案】3【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用．（1a ，b 值为3和2后，即可得出结论；确定a ，b 值为8和9后，即可得出结论（2a 的形式化简，求解．即可．【详解】（1===3=，3；（2===．14．阅读下面这道例题的解法，并回答问题．11====依据上述计算，填空：， ；(2)199+− 【答案】(1)23(2)9【分析】本题主要考查了化简复合二次根式：（1）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解；（2）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】（1=2==3=；故答案为：23；（2199+−(100+1100+−1101=−9=．15．像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：1===，再如：=法探索并解决下列问题：(1)化简：(2)化简：(3)若()2a m +=，且a ，m ，n 为正整数，求a 的值．【答案】(3)14或46【分析】此题考查化简二次根式，活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．【详解】（1=（2）==（3）∵2252a m n +=++∴225a m n =+，62mn =，∴3mn =又∵a m 、、n 为正整数， ∴1,3m n ==，或者3,1m n ==， ∴当1,3m n ==时，46a =； 当3,1m n ==时，14a =． ∴a 的值为：14或46．16．【规律探究题】观察下列运算：①由)111=1=；②由1== …… 问题：=______=______； (2)利用（1）中发现的规律计算：)12024+．【答案】n 为正整数） (2)2024【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律即可；（2）根据（1）中得出的规律进行变形，再根据二次根式的加法法则进行计算，最后根据平方差公式求出答案即可．【详解】（1==−（n 为正整数）（2）原式)120241=+)11202512024==−=17．观察下列等式：第11112⎛⎫=+− ⎪⎝⎭；第211123⎛⎫+− ⎪⎝⎭；第311134⎛⎫+− ⎪⎝⎭， ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______．(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：12024++【答案】11145⎛⎫+− ⎪⎝⎭1111n n ⎛⎫+− ⎪+⎝⎭(3)202420242025【分析】本题考查了二次根式的规律探究，分式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．（1）由题意可得，第411145⎛⎫+− ⎪⎝⎭；（2）由题意知，第n 1111n n ⎛⎫=+− ⎪+⎝⎭；（3）根据12024++1111111202412233420242025⎛⎫=+−+−+−++− ⎪⎝⎭，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意可得，第411145⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，11145⎛⎫=+− ⎪⎝⎭；（2）解：由题意知，第n 1111n n ⎛⎫=+− ⎪+⎝⎭；（312024++1111111111112233420242025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−++−++−++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111202412233420242025⎛⎫=+−+−+−++− ⎪⎝⎭ 1202412025=+−202420242025=，52024202142220=++．18．观察下列算式的特征及运算结果，探索规律：2=3=4=5．(1)观察算式规律，计算、= ；= ；(2)用含正整数 n 的代数式表示上述算式的规律 ；(3)计算：2020− 【答案】(1)6,37()11n n +≥()2n n =≥(3)1013【分析】本题考查二次根式运算中的规律探究： （1）根据题干给定的等式，进行作答即可；（2）根据题干给定的等式，确定相应的规律作答即可； （3）先根据规律化简各式，再进行计算即可．【详解】（16=37=；故答案为：6,37；（2）由题意，()11n n =+≥()2n n =≥；（32020−3579201920212023=−+−++−+()()2222023=−+−++−+()20191220234+=−⨯+10102023=−+ 1013=．题型四：二次根式运算与求值技巧19．（1（2）2(1(2−−【答案】（1（2）12−【分析】（1）利用二次根式的乘除法运算法则进行计算，再合并即可求解； （2）利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并即可求解；本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．【详解】解：（1）原式===（2）原式()11243=−−−131=−，12=−20．计算：(1)+(2)()21+【答案】(1)(2)8−【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可；（2）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算二次根式加减法即可．【详解】（1）解：+=((=+=（2）解：()21+()()2381=−+−19=−+−8=−21．计算：(1)(；【答案】(1)63【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式的知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则成为解题的关键．（1）先根据平方差公式计算，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可；（2）直接运用二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】（1）解：((22=−126=−6=．（2=3=−3=．22．计算：(1)÷(2))22【答案】(1)7 2(2)1【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）先计算小括号内的二次根式乘法，再化简二次根式并合并同类二次根式，最后计算二次根式除法即可；（2）先计算二次根式乘法，再加减计算即可． 【详解】（1）解：÷=÷(=÷=72=；（2）解：)22222-+=34=−12=−+1=．23．计算下列各小题．(2)()21+．【答案】(1)12(2)24−【分析】（1）关键二次根式乘除的混合运算计算即可； （2）根据二次根式混合运算计算即可．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】（112=．（2））()21+22241=−+−2324124=−+−=− 24．计算：(2)(222−【答案】(1)3(2)6+【分析】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则、乘法公式是解决问题的关键．（1）直接利用二次根式的加减乘除运算法则进行计算；（2）先计算完全平方式及平方差公式，最后再计算加减法即可．【详解】（1）解：原式=3=−3=（2）原式()3245=++−51=+6=+25．计算：(2)⎛÷⎝；(3))(23−．【答案】(1)8(2)73(3)1−【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）将二次根式化简，然后计算乘除法即可；（2）先将二次根式化简，接着计算小括号里面的，然后再算除法即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后计算加减法即可．【详解】（1===；（2）解：⎛÷⎝⎛=÷⎝73=；（3）解：)(23−()59207=−−−5913=−−1=−26．先化简，再求值：()()()()232x y x y y x y x y −+++−−，其中2x =2y = 【答案】5xy ，5【分析】本题考查整式的混合运算，二次根式的混合运算，根据平方差公式，单项式乘多项式及完全平方公式将原式化简，再将x 、y 的值代入，利用平方差公式计算可得结论．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键．【详解】解：()()()()232x y x y y x y x y −+++−−()22222322x y xy y x xy y =−++−−+22222322x y xy y x xy y =−++−+− 5xy =，当2x =2y =原式(()5225435=⨯+=⨯−=．27．已知x y = (1)代数式xy 的值； (2)代数式22x y xy +的值． 【答案】(1)1(2)【分析】（1）利用平方差公式即可得答案；（2）由于x y +=1xy =方便运算，故可考虑将代数式化为含()x y +和xy 的项，再整体代入()x y +和xy 的值，进行代数式的求值运算．【详解】（1）xy = 32=− 1=；（2）由已知：x y + =+ =，xy = 32=− 1=，故：原式()xy x y =+=【点睛】本题考查二次根式的化简求值，由于直接代入计算复杂容易出错，因此可考虑整体代入，本题考查了整体代入的思想．28．已知22a b ==(1)22a b +；(2)22a b ab +【答案】(1)12(2)6【分析】（1）根据已知条件式得出4,2a b ab +==，然后根据完全平方公式变形求值即可求解；（2）将2ab =，代入进行计算即可求解．【详解】（1）解：∵22a b ==，∴224a b +==，(22422ab ==−=，∴()2222242212a b a a b b =+−=−=+⨯；（2）解：∵2ab =，∴22a b ab +222=+6=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与二次根式的运算法则是解题的关键．29．先化简，再求值：2312111a a a a a ++⎛⎫−÷ ⎪++−⎝⎭，其中1a ．【答案】1a −【分析】本题主要考查分式的混合运算以及二次根式的化简求值，先通分算括号内的，把除法化为乘法，化简后将a 的值代入计算即可． 【详解】解：2312111a a a a a ++⎛⎫−÷ ⎪++−⎝⎭ ()()22111a a a a a ++=÷++−()()11212a a a a a +−+=⋅++ 1a =−．当1a 时，原式11=−30．先化简，再求值：221121x x x x x −−+++，其中1x =．【答案】11x +，【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分1x 代入进行计算即可． 【详解】解：221121x x x x x −−+++ ()()()21111x x x x x +−=−++111x x x x −=−++x x 1x 1−+=+11x =+，当1x =1=．31．已知22x y ==(1)22xy +； (2)x y y x−． 【答案】(1)14(2)【分析】（1）先将22x y +变形为2()2x y xy +−，再将x ，y 的值代入，利用二次根式运算法则计算即可，（2）先将x y y x −整理为()()x y x y xy +−，再将x ，y 的值代入，利用二次根式运算法则计算即可，本题考查了二次根式的运算及平方差公式的运用，解题的关键是先将待求式子进行化简，并熟练掌握二次根式的运算法则．【详解】（1）解：∵22x y ==∴222()2x y x y xy +=+−(2(22222=−162=−14=，（2）解：∵22x y == ∴()()22x y x y x y x y y x xy xy +−−−=====题型五：分母有理化32．阅读下列简化过程：1；==== 解答下列问题：(1)(2)2021++ (3)设ab ，c a ，b ，c 的大小关系．【答案】1−(3)a ＜b ＜c【分析】此题考查代数式计算规律探究，分母有理化计算，根据例题掌握计算的规律并解决问题是解题的关键．（1）根据已知可得：两个连续正整数算术平方根的和的倒数，等于分子分母都乘以这两个连续正整数算术平方根的差，化简得这两个连续正整数算术平方根的差；（2）利用分母有理化分别化简，再合并同类二次根式得解；（3）将a 、b 、c 分别化简，比较结果即可．【详解】（1）解：原式==；（2）解：原式12022=+1；（3）解：a ==2b ==2c ==，22，33．阅读材料，回答下列问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互(0)a a =>，1)1=11互为有理化因式．（1______．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：==，1=，==2==…，（2）用上述方法判断：若a 2b =a ，b 的关系是______．（3）计算：1)2024+．【答案】（1（2）a b =−；（3）2023【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，二次根式的分母有理化是解题的关键．（1）根据有理化因式求解；（2）利用分母有理化把a 进行化简可得到a 与b 的关系； （3）先分母有理化，然后利用平方差公式计算．【详解】解：（1（2）a 与b 互为相反数．理由如下：(2a =−，a b ∴=−，故答案为：a b =−；（3）1)11)=1)=20241=−2023=．34.【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知a =，求2281a a −+的值．他是这样分析与解答的：122a ==+2a −= ()223a ∴−=，即2443a a −+=．241a a ∴−=−．()()222812412111a a a a ∴−+=−+=⨯−+=−． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题：(1)=______； (2)=______； (3)若a =23121a a −−的值．【答案】1(2)1(3)2【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化（1）仿照题的方法化简即可；（2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可；（3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可．【详解】（11=，1；（2=(2024=+12024+11=，故答案为：1；（3）解：∵2a ===，∴2a −=∴2(2)5a −=，即241a a −=， ∴2231213(4)13112a a a a −−=−−=⨯−=．35．阅读下面的材料，解决问题：1==；==2==(1)= ；= ； (2)...+ (3)...【答案】(2)9(3)12−【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．（1）根据题干提供的方法化简即可；（2）先根据题干提供的方法化简，再合并同类二次根式；（3）先根据题干提供的方法化简，再合并同类二次根式．【详解】（1==；==．（2......=+1...1=−110=−+9=（3......=+ 11...2=(112=−12=− 36)4141151⨯⨯==−以上这种化简的步骤叫做分母有理化．回答问题：(1)(2)（m 为正整数）．【答案】(2)2．【分析】此题主要考查了分母有理化，第二题是个难点，需要总结规律，再计算．（1（2）各项进行分母有理化，再合并同类项即可．【详解】（14462=−⋅⋅⋅+（242424⋅⋅⋅4()=+++⋅⋅⋅+222222=2。
苏科版2024-2025学年数学八年级下册——二次根式的运算100题(分层练习)含解析
苏科版2024-2025学年数学八年级下册——二次根式的运算100题（分层练习）（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）1．计算题(1)；()23274612-++-+-(2)．()33233--（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）2．计算：(1)．()33330.125124+--(2)()()2323314-+⨯---（23-24八年级下·江西赣州·期中）3．计算(1)()2236-+(2)．()()35353124-++⨯（2024八年级下·全国·专题练习）4．计算：(1)；11842432-+÷(2)；322(5218)4622--+÷(3)；2(23)(3223)(3223)--+⋅-(4)．011(3)27()|32|2π---+-+-（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）5．计算：(1)；31220482233⎛⎫⨯-÷ ⎪⎝⎭(2)．312223a b b a b ⎛⎫⋅÷ ⎪ ⎪⎝⎭（22-23八年级下·山东德州·期中）6．计算题：(1)；()812272+--(2)．14631232-⨯+÷（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）7．计算：(1)()2463-÷(2)()()()25353232+---（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）8．计算：(1)；114273822-++(2)．121263⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）9．计算：(1)2201839(4)27(1)----+-(2)2223--（23-24八年级下·湖北武汉·期中）10．计算：(1)1271883⨯++(2)()1181223⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）11．计算：(1)；12436⎛⎫-÷ ⎪ ⎪⎝⎭(2)．()()()2525231+-+-（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）12．计算∶(1)；1242863÷-⨯+(2)．()()273273-++-（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）13．计算：(1)()()()20182019032323222-+-⨯--(2)211232153825⎛⎫⨯-÷ ⎪⎝⎭（湖北省武汉市经开区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）14．计算：(1)()()20188125+--(2)286218x x x x-+（23-24八年级下·甘肃武威·阶段练习）15．计算：(1)；338227-+-(2)；3212524⨯÷(3)；1018212π-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭(4)()()225522552(52)+---（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）16．计算：(1)；()028185122--+-(2)．11484220.583⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（22-23八年级下·四川南充·期末）17．计算：(1)；34825-(2)．()()2223322332+--（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）18．计算：(1)18322-+(2)()()226322263⨯+---（23-24八年级下·浙江金华·期中）19．计算：(1)()()222573--+(2)1184502--（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）20．计算(1)123317228÷⨯(2)0(31)(31)8|12|(2018)+--+-+-π（23-24八年级下·吐鲁番·期中）21．计算：(1)；2731248-+(2)；3751515÷⨯(3)()()()2626223+-+-(4)；()025*******2023⎛⎫--+÷--- ⎪ ⎪⎝⎭（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）22．计算下列各小题．(1)；66232÷+(2)．()()513520+--（2023上·河南南阳·九年级统考阶段练习）23．计算：(1)；111724981278--+(2)．()101432228-⎛⎫⨯-+-- ⎪⎝⎭（2023下·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）24．计算：(1)1363⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭(2)53827-+（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）25．计算(1)；()112182--+-(2)．()()()2535331+---（2023上·河北保定·八年级校考阶段练习）26．计算：(1)(612)286-+⨯(2)2(71)(142)(142)---+（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）27．计算：(1)．12324683-+⨯(2)．()2063132201922π-⨯⎛⎫-+++-- ⎪⎝⎭（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）28．计算(1)；()()020********-+--+-(2)．()23162-+⨯（2023上·河北秦皇岛·八年级校考阶段练习）29．计算：(1)218⨯(2)82(22)-+(3)22(52)(52)+--(4)1223285247⎛⎫÷⨯- ⎪ ⎪⎝⎭（2023上·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）30．计算：(1)；()()74832323+--+(2)．()()20326231-+---（2023上·四川达州·八年级校考期中）31．计算下列各题：(1)；123633⨯-⨯(2)．()()2273431⨯---（2023上·四川达州·八年级校考期末）32．计算：(1)328-(2)．()()3231155-++÷（2023上·陕西西安·八年级校考期中）33．计算：(1)；2623⨯÷(2)．2(25)(25)(25)+-+-（2023上·四川达州·八年级达州市第一中学校校考阶段练习）34．化简：(1)；148312242÷-⨯+(2)．()()737316+--（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）35．（1）计算1124628⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()32483273x x x x -+⨯（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）36．计算：(1)；1452711253+++-(2)．()2126213-÷+-（2023上·河南周口·九年级统考期中）37．计算．(1)1323502--(2)()()()2265353+--+（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）38．计算：(1)；2023316(1)2712---+-(2)．12058425+-+（2023上·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期中）39．计算．(1)11331832⨯÷-⨯(2)273228÷⨯-（2024上·广东佛山·八年级校考阶段练习）40．计算：(1)127123-+(2)11882⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭（2023下·天津河东·七年级天津市第七中学校考期中）41．计算：(1)；1666⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)．()32313264---+-（2023上·河南驻马店·八年级统考期中）42．计算(1)；271248-+(2)．()()12753533⨯-+-（2023上·四川达州·八年级校考期中）43．计算：(1)；14182282+-⨯(2)．()()21262633⎛⎫-+---- ⎪⎝⎭（2023上·四川成都·八年级校考期中）44．计算：(1)；()1014520233|75|55-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭(2)．()()()2322332--+-（2023上·河南平顶山·八年级统考期中）45．计算：(1)；()223122-+÷(2)．2314827(3)3+-++-（2023上·河南南阳·九年级统考期中）46．计算：(1)；1243546-+(2)．()()27752332233212--+-（2023上·河南南阳·九年级统考期中）47．计算：(1)32722622÷⨯-(2)()()232526+⨯-（2023上·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）48．计算：(1)182-(2)0|122|(63)-+-(3)33123+-(4)122362⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中）49．计算：(1)3213|13|272-⎛⎫-----+ ⎪⎝⎭(2)9988(23)(23)23⎛⎫-⨯--+ ⎪ ⎪⎝⎭（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）50．计算下列各题(1)18322-+(2)31222⨯÷(3)()()3233223++-(4)()2332π8-+--答案：1．(1)42+(2)36+【分析】本题考查实数的混合，二次式的加法运算．熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）先计算开方，并求绝对值，再计算加减即可；（2）先去括号，再合并同类二次根式即可．【详解】（1）解：原式32621=-+++-；42=+（2）解：原式33236=-+．36=+2．(1)；1-(2)．123-【分析】本题考查实数的混合运算及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）先进行开方运算，再计算加减即可．（2）计计算乘方和去绝对值符号，再计算加减即可．【详解】（1）解：()33330.125124+--210.52=+-；1=-（2）解：()()2323314-+⨯---23334=-+--．123=-3．(1)2(2)5【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．（1）再根据乘法分配律去括号，计算加减法即可；（2）先计算平方差公式和二次根式的乘法，再计算加减法即可．【详解】（1）解：()2236-+266=-+；2=（2）解：()()35353124-++⨯()()22353124=-+⨯533=-+．5=4．(1)32(2)23(3)261--(4)143-【分析】（1）先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答；（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；（3）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答；（4）先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】（1）11842432-+÷32228=-+322222=-+；32=（2）322(5218)4622--+÷421026223=-++；23=（3）2(23)(3223)(3223)--+⋅-2263(1812)=-+--22636=-+-；261=--（4）011(3)27()|32|2π---+-+-133(2)23=-+-+-．143=-本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．5．(1)310-(2)328【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）利用二次根式的性质化简，再进行乘除运算即可；（2）先计算括号内的二次根式的除法，再计算二次根式的乘法即可．【详解】（1）解：31220482233⎛⎫⨯-÷ ⎪⎝⎭3426252333⎛⎫=⨯⨯-÷ ⎪ ⎪⎝⎭43353263⎛⎫=⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭63433532=-⨯⨯63433532=-⨯⨯310=-（2）312223a b b a b ⎛⎫⋅÷ ⎪ ⎪⎝⎭43223ab b a b ⎛⎫=⋅÷ ⎪ ⎪⎝⎭43223a b b a b=⋅÷43322a b b b a =⋅⨯3624a b a b a =⋅328=6．(1)323-(2)22-【分析】本题考查了二次根式的混合运算：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；（2）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后合并即可；【详解】（1）解：原式2223332=+-+；323=-（2）解：原式2263123=-⨯+÷22322=-+．22=-7．(1)2(2)1246-+【分析】本题考查了二次根式的混合运算；（1）利用二次根式的除法计算即可；（2）先利用平方差公式，完全平方公式计算，然后去括号，最后计算加减即可．【详解】（1）解：原式24363=÷-÷82=-222=-；2=（2）解∶原式()5312462=---+5312462=--+-．1246=-+8．(1)72332+(2)112【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：（1）先计算二次根式除法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可得到答案；（2）先化简小括号内的二次根式，再合并同类二次根式，最后计算二次根式乘法即可得到答案．【详解】（1）解：114273822-++22233622=-++；72332=+（2）解：121263⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭34363⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭11363=⨯．112=9．(1)；3(2)．323-【分析】（）利用算术平方根、立方根、乘方的定义计算即可求解；1（）去绝对值符号，再合并同类二次根式即可求解；2本题考查了实数的运算，二次根式的加减，掌握实数和二次根式的运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：原式()3431=---+，131=-++；3=（2）解：原式()2232=--，2232=-+．323=-10．(1)352+(2)54233-【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是：（1）先计算二次根式的乘法，然后利用二次根式的性质化简各式，最后合并同类二次根式即可；（2）先利用二次根式的性质化简各式，然后去括号，最后合并同类二次根式即可．【详解】（1）解：原式9188=++33222=++；352=+（2）解：原式()3322323⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭3322323=+-+．54233=-11．(1)1126(2)523-【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：（1）先化简小括号内的二次根式，再合并同类二次根式，最后计算二次根式除法即可得到答案；（2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算加减法即可得到答案．【详解】（1）解：12436⎛⎫-÷ ⎪ ⎪⎝⎭62636⎛⎫=-÷ ⎪ ⎪⎝⎭11636=÷；1126=（2）解：()()()2525231+-+-543231=-+-+．523=-12．(1)533-(2)6221-+【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可．（2）利用平方差公式，二次根式的混合运算法则计算即可．本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【详解】（1）原式312483=-+323433=-+．533=-（2）()()273273-++-()()273273⎡⎤⎡⎤=--+-⎣⎦⎣⎦()2473=--410221=-+．6221=-+13．(1)1(2)152-【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．（1）根据积的乘方、二次根式的乘法和零指数幂的意义计算．（2）根据二次根式的乘除法则运算；【详解】（1）解：原式()20183[(23)(23)]23212=-+⋅+-⨯-2018(43)(23)31=-⋅+--2331=+--1.=（2）解：原式28151233825⎛⎫=⨯⨯-÷ ⎪ ⎪⎝⎭；15224825=-⨯÷15252682=-⨯⨯232352582⨯⨯⨯=-⨯．152=-14．(1)752+(2)32x【分析】本题考查二次根式的加减乘除混合运算，熟记相关运算法则是解题的关键．（1）先化简二次根式，再去括号，合并同类项即可；（2）先化简二次根式，计算乘法，再合并同类项即可．【详解】（1）解：原式()()25322255=+--22355225=+-+；275=+（2）解：原式2262322x xx x =-⨯+2222626x x x x x =-⨯+22222x x x=-+．32x =15．(1)；2-(2)；3210(3)；32(4)．37210-+【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再合并即可求解；1（）根据二次根式的乘除运算法则进行计算，再化简即可；2（）利用二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂、负整数指数幂分别化简，再合并即3可；（）利用平方差公式、完全平方公式展开，再合并即可；4本题考查了二次根式的运算，实数的混合运算，掌握二次根式和实数的运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：原式3322233=-+-；2=-（2）解：原式36522=÷1136225=⨯⨯÷，1810=；3210=（3）解：原式222112=+--+；32=（4）解：原式()205052102=---+，()307210=---，307210=--+．37210=-+16．(1)21+(2)1033【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，零指数幂：（1）先分母有理化，再化简二次根式和计算零指数幂，最后计算加减法即可得到答案；（2）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．【详解】（1）解；原式32221=--+；21=+（2）解：原式()2343223⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭2343223=--+．1033=17．(1)85(2)246【分析】本题考查了二次根式的混合运算、立方根、完全平方公式，熟练掌握运算方法是关键．（1）先化简，再计算减法即可；（2）先利用完全平方公式展开，再计算加减即可．【详解】（1）；3428822555-=-=（2）()()2223322332+--12126181212618=++-+-．246=18．(1)0(2)723-【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．（1）先化简，再根据二次根式的加减混合运算法则计算即可；（2）根据二次根式混合运算法则计算即可．【详解】（1）解：18322-+32422=-+；0=（2）解：()()226322263⨯+---()()26343422623⨯=+-+-⨯-⨯23434223=+-+-+．723=-19．(1)1(2)0【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、二次根式加减运算等知识，熟练掌握二次根式性质及混合运算法则是解决问题的关键．（1）根据二次根式性质化简，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案；（2）根据二次根式性质化简，再去绝对值，最后利用二次根式减法运算求解即可得到答案．【详解】（1）解：()()222573--+573=-+；1=（2）解：1184502--322252=--3232=--3232=-．0=20．(1)637(2)22-【分析】本题主要考查二次根式的乘除法以及实数的混合运算：（1）原式根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；（2）原式分别根据平方差公式，算术平方根的意义，绝对值的代数意义以及零指数幂的意义化简各项后，再进行加减运算即可【详解】（1）解：123317228÷⨯813327228=⨯⨯⨯⨯；637=（2）解：0(31)(31)8|12|(2018)+--+-+-π3122211=--+-+22=-21．(1)3(2)22(3)926-(4)21+【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂、绝对值、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）先利用二次根式的性质将各二次根式化简，再合并即可得出答案；（2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可得出答案；（3）利用平方差公式和完全平方公式将括号打开，再计算加减即可；（4）根据乘方、二次根式的除法、零指数幂、绝对值将各数化简，再计算加减即可．【详解】（1）解：2731248-+336343=-+；3=（2）解：3751515÷⨯875155=÷⨯855=⨯；22=（3）解：()()()2626223+-+-()()()()22226222323=-+-⨯+622236=-+-+；926=-（4）解：()02511243122023⎛⎫--+÷--- ⎪ ⎪⎝⎭()1263121=+÷---122121=+--+．21=+22．(1)42(2)2-【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．（1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可；（2）根据二次根式混合运算法则和二次根式性质进行计算即可．【详解】（1）解：66232÷+166223=⨯+322=+．42=（2）解：()()513520+--3553525=-+--()()3552553=----．2=-23．(1)1524(2)2【分析】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂与零指数幂等知识，熟练掌握各运算法则是解题关键．（1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法与加减法即可得；（2）先计算负整数指数幂与零指数幂、化简二次根式和绝对值，再计算乘法与加减法即可得．【详解】（1）解：原式21624722897=-⨯-⨯+36222224=--+．1524=（2）解：原式421222=⨯+-222=+-．2=24．(1)22(2)8322-【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；（2）化简后根据加减运算法则进行计算．【详解】（1）解：原式13663=⨯-⨯182=-322=-；22=（2）解：原式532233=-+．8322=-25．(1)12-(2)823-+【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式，负整数指数幂，掌握相关运算法则是解题关键．（1）先化简绝对值、负整数指数幂、二次根式，再合并同类项即可；（2）先根据平方差公式和完全平方公式展开，再去括号、合并同类项即可．【详解】（1）解：()112182--+-21222=-+-；12=-（2）解：()()()2535331+---()()222533231⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦593231=--+-．823=-+26．(1)52-(2)227--【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．（1）利用二次根式的混合运算法则计算即可；（2）先利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可．【详解】（1）解：(612)286-+⨯6121666=-+124=-+；52=-（2）解：2(71)(142)(142)---+()()2227271142⎡⎤=-+--⎢⎥⎣⎦7271144=-+-+．227=--27．(1)322+(2)23-【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．（1）先化简二次根式，再计算二次根式乘法，最后计算二次根式的加减法即可；（2）先计算零指数幂，负整数指数幂和二次根式的乘除法，再去绝对值，最后计算加减法即可．【详解】（1）解：原式22424643=-⨯+⨯4224=-+；322=+（2）解：原式3623142⨯=-++-1823142=-++-23194=-++-23134=-++-．23=-28．(1)12(2)4【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂和含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．（1）先计算零指数幂和有理数的乘方，再计算绝对值，最后计算加减法即可；（2）先根据完全平方公式去括号，然后计算二次根式乘法，最后合并即可得到答案．【详解】（1）解：原式11212=+-+；12=（2）解：原式()2231312-=++323123=-++．4=29．(1)6(2)2-(3)410(4)57-【分析】此题考查了二次根式的运算，涉及乘法公式，（1）利用二次根式的乘法法则计算即可；（2）先去括号，再进行二次根式的加减运算即可；（3）利用完全平方公式计算，再去括号，最后进行加减运算即可；（4）先化简各二次根式，再把除法转化为乘法，再进行二次根式的乘法运算即可．熟练掌握二次根式的运算法则和顺序是解题的关键．【详解】（1）218⨯218=⨯36=6=（2）82(22)-+22222=--2=-（3）22(52)(52)+--21010(522)(52)=++--+2102051252=++-+-410=（4）1223285247⎛⎫÷⨯- ⎪ ⎪⎝⎭91676547⎛⎫=÷⨯- ⎪ ⎪⎝⎭773120276⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭57=-30．(1)2133+(2)26-【分析】本题考查二次根式的混合运算，零次幂，平方差和完全平方公式：（1）根据二次根式分母有理化、二次根式的性质、平方差公式进行计算；（2）根据完全平方公式，绝对值的性质和零次幂运算法则进行计算．【详解】（1）解：()()74832323+--+()()227483233⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦214323=+-+2133=+（2）解：()()20326231-+---3262621=-++--26=-31．(1)；1-(2)．123+【分析】（）根据二次根式的乘法运算即可；1（）根据二次根式的乘法和完全平方公式依此计算即可；2此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：原式123633=⨯-⨯，12=-；1=-（2）解：原式，()()227343231⎡⎤=⨯---+⎢⎥⎣⎦，()()943231=---+，5423=-+．123=+32．(1)22(2)1【分析】本题考查了二次根式的混合运算，（1）根据根式的性质进行化简，然后合并同类二次根式即可；（2）根据根式的性质进行化简，先算乘除，然后合并同类二次根式即可．本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，选择恰当的解题方法是解答本题的关键．【详解】（1）解：原式4222=-；22=（2）解：原式332323=+--+．1=33．(1)2(2)21010+【分析】本题考查了二次根式的混合运算；（1）先化简各二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算；（2）先利用完全平方公式和平方差公式展开，再进一步计算．【详解】（1）解：原式62632=⨯⨯；2=（2）解：原式()2210525=++--2210525=++-+．21010=+34．(1)46+(2)0【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的是对相应的运算法则的掌握．（1）先算二次根式的乘除法，二次根式的化简，再算加减即可；（2）利用二次根式的乘法的法则进行运算即可．【详解】（1）148312242÷-⨯+4626=-+4 6.=+（2）解：原式22(7)(3)4=--734=--0.=35．（1）；（2）3264-233x x -+【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法是解决问题的关键．（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算．【详解】解：（1）原式2226624=---；3264=-（2）原式(8393)3x x x x x=-+⨯(3)3x x x x=-+⨯233.x x =-+36．(1)112533-+(2)43-【分析】本题考查了二次根式的混合运算；（1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式；（2）先利用二次根式的性质化简，同时利用二次根式的除法法则和完全平方公式进行计算，再合并同类二次根式．【详解】（1）解：原式235333553=++-；112533=-+（2）原式2331233=-+-+．43=-37．(1)522-(2)436+【分析】（1）先把二次根式化简成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再进行加减运算即可；此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题的关键．【详解】（1）解：1323502--2324252=--522=-（2）()()()2265353+--+243653=++-+436=+38．(1)；12+(2)．3【分析】（）根据算术平方根、有理数的乘方、立方根、化简绝对值的有关概念和性质分别1计算，即可得到答案；（）根据二次根式的混合运算法则即可算；2此题考查了实数和二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．【详解】（1）解：原式，()41321=---+-，41321=+-+-；12=+（2）解：原式，205222255=-++，41=+，21=+．3=39．(1)6(2)42【分析】本题考查了二次根式的混合运算：（1）先利用二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式后进行有理数的混合运算；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的除法运算，然后合并即可．【详解】（1）解：11331832⨯÷-⨯183332=⨯⨯-333=⨯-；6=（2）解：273228÷⨯-3332222=÷⨯-6222=-．42=40．(1)433(2)10【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，（1）首先化简二次根式，然后再计算加减即可；（2）利用乘法分配律先算乘法，然后再计算加减即可；关键是掌握运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．【详解】（1）127123-+1332333=-+433=（2）11882⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭118882=⨯-⨯122=-10=41．(1)7(2)338-【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是将式子正确化简．（1）首先计算二次根式的乘法，然后计算加减，求出算式的值即可；（2）首先计算开立方和绝对值，然后计算加减，求出算式的值即可．【详解】（1）1666⎛⎫+ ⎪⎝⎭16666=⨯+⨯16=+；7=（2）()32313264---+-()232234=----232234=--+-．338=-42．(1)53(2)1【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算正确化简二次根式是解题关键；（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；（2）直接利用二次根式的性质、完全平方公式化简，进而计算得出答案；【详解】（1）原式；33234353=-+=（2）原式．()()()229533531⎡⎤=--=--=⎢⎥⎣⎦43．(1)528-(2)133-【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式以及完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．（1）先将二次根式化简，再计算乘法，最后计算加减法即可；（2）先根据平方差公式和完全平方公式，再根据二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】（1）解：14182282+-⨯243282=⨯+-22328=+-；528=-（2）解：()()21262633⎛⎫-+---- ⎪⎝⎭()()()2222112632333⎡⎤⎛⎫⎡⎤=----⨯⨯+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦146323⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭146323=--+-．133=-44．(1)537-(2)643-【分析】（1）根据0指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，二次根式的除法，绝对值的意义等知识进行化简，再进行加减运算即可求解；（2）先根据完全平方公式、平方差根式进行计算，再去括号进行加减运算即可求解．【详解】（1）解：()1014520233|75|55-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭1|5|935=+--15353=+--；537=-（2）解：()()()2322332--+-()()343432=-+--=7431--本题考查了0指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，二次根式的除法，绝对值的意义，二次根式的混合运算等知识，熟知相关知识，正确进行化简是解题关键．45．(1)；2(2)．1333【分析】（）根据二次根式的乘法和除法运算，然后再合并同类二次根式即可；1（）分别化简二次根式和开立方，然后再合并同类二次根式即可；2此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【详解】（1）原式266=-+；2=（2）原式()1433333=+-++；1333=46．(1)962(2)5【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，选择恰当的解题方法，是解答本题的关键．（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，得到答案．（2）先把分式中的二次根式化为最简二次根式，利用平方差公式将括号去掉，然后化简整理，求出答案．【详解】（1）解：1243546-+6263366=-⨯+．962=（2）()()27752332233212--+-22(23)(32)23⎡⎤=--⎣⎦()23121823-=--16=-+．5=47．(1)62(2)1【分析】（1）本题考查的是实数的运算，先根据实数的乘除法则进行计算，再进行实数的加减即可；各种运算律的灵活应用是解决此题的关键；（2）先利用完全平方公式计算，然利用平方差计算即可．【详解】（1）32722622÷⨯-23322623=⨯⨯-12262=-；62=（2）()()232526+⨯-()()()223262526⎡⎤=++⨯-⎢⎥⎣⎦()()526526=+⨯-()22526=-2524=-．1=48．(1)22(2)22(3)43(4)3【分析】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的加减法以及二次根式的混合运算：（1）原式先将化简为，然后再合并即可得到答案；1832（2）原式先化简绝对值和计算零指数幂，最后进行加法运算即可；（3）原式先将化简为，然后再合并即可得到答案；1223（4）原式运用乘法分配律进行计算即可【详解】（1）182-322=-；22=（2）0|122|(63)-+-()1221=--+2211=-+；22=（3）33123+-33233=+-；43=（4）122362⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭1226362=⨯-⨯4333=-3=49．(1)23(2)73-【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解本题的关键；（1）先计算乘方，负整数指数幂，化简绝对值，求解立方根，再合并即可；（2）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可．【详解】（1）解：3213|13|272-⎛⎫-----+ ⎪⎝⎭()981333=---+-+98123=-+++；23=（2）9988(23)(23)23⎛⎫-⨯--+ ⎪ ⎪⎝⎭()286233=---()1013=---1013=-+；73=-50．(1)0(2)3(3)6233-(4)π1-【分析】（1）先进行化简，再进行二次根式的加减即可求解；（2）根据二次根式的乘除法则进行计算即可求解；（3）先去括号，再进行二次根式加减即可求解；（4）先根据二次根式、绝对值的、乘方的意义进行化简，再进行计算即可求解．【详解】（1）解：原式；32422=-+()3412=-+0=（2）解：原式；312322=⨯⨯3234=⨯3=（3）解：原式；32333263=++-6233=-（4）解：原式．3π22=+--π1=-本题考查了二次根式的加减乘除等运算，二次根式的性质，绝对值的化简，开立方运算等知识，熟知相关知识，并正确计算是解题关键．。
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明升教育 数学 学科导学案（第 次课）
教师: 冯华俊 学生： 苏千姿 年级: 八年级 日期: 7.23 星期: 三
学习内容与过程 二次根式复习
【知识要点】
1、二次根式的概念：一般地，形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式。
注意：这里被开方数a 可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式，其中0a ≥是a 为二次根式的前提条件。
2、二次根式的性质：
（1）0(0)a a ≥≥ （2）2
()(0)a a a =≥ （3）
2a a = （4）)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅= （5）
(0,0)
a a
a b b b =≥> 3、二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。
即)0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅。
4、二次根式的除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。
即(0,0)
a a a
b b b =≥>。
5、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）根号下不含分母，分母中不含根号。
6、分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化。
分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式2
()(0)a a a =≥。
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代数式互为有理化因式。
一般常见的互为有理化因式有如下几种类型：
①m a 与a ；②a b +与a b -；③a b +与a b -； ④m a n b +与m a n b -（其中,a b 都是最简二次根式）
7、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
8、二次根式的加减法
二次根式的加减，就是合并同类二次根式。
二次根式加减法运算的一般步骤：
（1）将每一个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。
【典型例题】
例、x 是怎样的实数时，下列各式有意义。
（1）23x -
（2）1
37x +
（3）2
441x x ---
（4）2
22x x -+
例、（1）计算2
(57)-；（2）
2( 3.14)π-
（3）设,,a b c 为ABC ∆的三边，化简
2222()()()()a b c a b c a b c c a b ++++-+-----
例、化简：
（1）45
（2）34a
（3）4
2
50(0,0,0)x yz x y z >>>
（4）)56(1031
-⋅
例、把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号内。
（1）20.5
（2）
26
3-
（3）3
(1)
1x x --
（4）
3(1)
1x x --
例、计算：
（1）)484(456-⋅-
（2）)1021(32531-⋅⋅ （3）
648
（4）
545)321(÷
- （5）125
31
110845-++
【练习】
一、填空题：
1、计算：0)15(-=________；1
3
-=________；32
=________；2)3(-=________。
2、计算：131
3+-=________；1
)12(--+8=_________。
3、计算：20－
515
=__________；
326
-=_________.
4、若a a =2
，则a __________；若a a -=2
，则a __________。
5、若22)32()5(++-b a =0，则2ab =__________。
6、当x_______时，x --23
有意义；在2||--x x 中x 的取值范围是___________。
二、选择题：
7、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）。
（A ）x 9 （B ）32
-x （C ）
x y
x - （D ）b a 23 8、当a <－4时，那么|2－2
)2(a +|等于（ ）
（A ）4+a （B ）－a （C ）－4－a （D ）a 9、化简|a －2|+2
)2(a -的结果是（ ）。
（A ）4－2a （B ）0 （C ）24-a （D ）4
10、231
-与23+的关系是（ ）。
（A ）互为相反数 （B ）互为倒数 （C ）相等 （D ）互为有理化因式 11、5+2倒数是（ ）。
（A ）5－2 （B ）－5－2 （C ）－5+2 （D ）251
-
12、下列各组中互为有理化因式的是（ ）。
（A ）b a +与a b -- （B ）a -
2与2-a
（C ）32+a 与a 23- （D ）a 与a 2
13、如果1
b ab 2a b a 1
22-=+-⋅-，则b a 和的关系是（ ）。
（A ）b a ≤ （B ）b a < （C ）b a ≥ （D ）b a >
14、把
3a 1
a -
根号外的因式移入根号内，得（ ）。
（A ）a 1 （B ）
a 1- （C ）－a 1 （D ）－a 1
-
Ming Sheng Education 责任教育专家
15、设4－2的整数部分为a ，小数部分为b ，则
b a 1
-
的值为（ ）。
（A ）1－22 （B ）2 （C ）
22
1+
（D ）－2
三、计算题
16、214
18122
-+- 17、x
3)x 1
x 24x 6(÷-
四、解答题
18、已知：的值求代数式2x
y
y x 2x y y x ,211x 8x 81y -+-+++
-+-=．
二次根式的灵活运用
1、化简代数式322322++-的结果是（ ）
A. 3
B. 12+
C. 22+
D. 22
2、已知-1<a<0，化简2
2
11()4()4a a a
a
+-+-+得 ．
3、已知实数a 满足11=--a a ，那么()22
1a a +-等于
27．（8分）如图(1)，正方形ABCD 中，点H 从点C 出发，沿CB 运动到点B 停止．连结DH 交正方形对角线AC 于点E ，
过点E 作DH 的垂线交线段AB 、CD 于点F 、G ． （1）求证： DH ＝FG ；
（2）在图(1)中延长FG 与BC 交于点P ，连结DF 、DP （如图（2）），试探究DF
与DP 的关系，并说明理由．
A B
C
D
E F
G H 图（1）
A B
C
D
F
E
G P
H （第27题）
图（2）。