2018年宝山区高三二模数学试卷及答案(精校版)

P 3
P 4
P 2
P 1O
宝山区2017学年度第二学期期中 高三年级数学学科教学质量监测试卷
本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
考生注意：
1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 2．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 3．可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分．)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1. 设全集U R =，若集合{}012A =，，，{}
12B x x =-<<，则=)(B C A U ． 2. 设抛物线的焦点坐标为(10)，，则此抛物线的标准方程为 ．
3. 某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为．1.68，1.71，1. 73，1.63，1.81，1.74，
1.66，1.78，则这组数据的中位数是 （米）． 4. 函数f x sin xcos x ()244=的最小正周期为 ． 5. 已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 ．
6. 若线性方程组的增广矩阵为12122
c c ⎛⎫
⎪⎝⎭、解为1
3
x y =⎧⎨
=⎩，则12c c += ． 7. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女生都有，则不
同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 8. 设无穷等比数列{}
n a 的公比为q ，若n n a lim a a a 245()→∞
=++
+，则q = ．
9. 若事件A 、B 满足142
()()()255
P A P B P AB =
==，，，则()()P AB P AB -= ． 10. 设奇函数f x ()的定义域为R ，当x 0>时，m f x x x
2
()1=+-（这里m 为正常数）．若f x m ()2≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范
围为 ．
11. 如图，已知O 为矩形P P P P 1234内的一点，满足OP 14=，
OP 35=，P P 137=，则42OP OP ⋅的值为 ．
12. 将实数x y z ，，中的最小值记为{}min x y z ，
，．在锐角ΔPOQ 中，60POQ ∠=，1PQ =，点T 在ΔPOQ 的边上或内部运动，且{}TO min TP TO TQ =，，，由T 所组
成的图形为M .设ΔPOQ 、M 的面积为ΔPOQ S 、M S ，若:()1:2M ΔPOQ M S S S -=，则M S = ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13. “sinx 12=
”是“6
x π
=”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 14. 在x x
62
(
)-的二项展开式中，常数项等于 （ ） （A ）160- （B ）160 （C ）150- （D ）150 15. 若函数()f x （x R ∈）满足(1)f x -+、(1)f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是 （ ）
（A ）()f x -为奇函数 （B ）()f x -为偶函数 （C ）(3)f x +为奇函数 （D ）(3)f x +为偶函数
16. 对于数列12x x ，
，，若使得0n m x ->对一切n N *∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”．设函数f x x sinx ()=+（x R ∈）及数列 ,,21y y ，
且()1006y y y R =∈，若()111()()()()22
n n n n n n n f y y y y n N f y y y ππ
-*+-≥⎧
⎪
=∈⎨+-<⎪⎩，则当01y =时，下列结论正确的应为 （ ）
（A ）数列12y y ，
，的“准最大项”存在，且为2π. （B ）数列12y y ，
，的“准最大项”存在，且为3π. （C ）数列12y y ，
，的“准最大项”存在，且为4π. （D ）数列12y y ，
，的“准最大项”不存在.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，AD 3=，
PA AB 4==，点E 在侧棱PA 上，且AE 1=，F 为侧棱PC 的中点．
（1）求三棱锥E ABD -的体积；
（2）求异面直线CE 与DF 所成角的大小．
18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
设1z +为关于x 的方程20x mx n ++=（m n R ∈，
）的虚根，i 为虚数单位． （1）当z i 1=-+时，求m n ，的值；
（2）若n 1=，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围．
19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分
某渔业公司最近开发出的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点．研究表明：用该项技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为()g x （单位：千克/年），养殖密度为x （0x >）（单位：尾/立方分米）．当x 不超过4（尾/立方分米）时，()g x 的值恒为2（千克/年）；当420x ≤≤时，()g x 是x 的一次函数，且当x 达到20（尾/立方分米）时，因养殖空间受限等原因，()g x 的值为0（千克/年）． （1）当020x <≤时，求函数()g x 的表达式；
（2）在（1）的条件下，求函数()()f x x g x =⋅的最大值．
20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满
分6分．
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
x y 2212723+=的右焦点为双曲线C ：x y a b
22
221-= （0a >，0b >）的右顶点，直线x y 210++=与C 的一条渐近线平行． （1）求C 的方程；
（2）如图，1F 、2F 为C 的左、右焦点，动点P x y 00()，
（y 01≥）在C 的右支上，且F PF 12∠的平分线与x 轴、y 轴分别交于点(0)M m ，（m 55<<、N ，
试比较m 2的大小，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，设过点1F 、N 的直线l 与C 交于D 、E 两点，求ΔF DE 2面积的最大值．
21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满
分8分． 设()()k t f x ，kx t
x
+=
（这里k ，t ，x R ∈，且0x ≠）． （1）若(12)(22)(13)(1)()(3)f f x f ，，，，，成等差数列，求x 的值；
（2）已知(01)
1()n f x ⎧⎫⎨⎬⎩
⎭，（n N *
∈）是公比为32的等比数列，x x N 15*∈，，是否存在正整
数u ，使得4
1x u ≥，且4
5(1)x u ≤+？若存在，试求出u 的值，若不存在，请说明理由；
（3）如果存在正常数M ，使得n y M ≤对一切n N *
∈成立，那么称数列{}
n y 有界.已知
0a >，m 为正偶数，数列{}n x 满足10x b =<，且1()1(
)n b a m n
x f x +=，（n N *
∈），证明：数列{}
n x 有界的充要条件是1
20m ab -+≥.
宝山二模参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．解：（1）依题意，可知EA 为点E 到底面ABCD 的距离，故所求的体积为
E ABD V -13ΔABD
S EA =
⋅⋅2=． （2）以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，易得
P (004)，，，C (430)，，，D (030)，，，E (001)，，， 故F 3
(22)2，，，CE (431)=--，，，DF 3(22)2
=-，
，， 设异面直线CE 与DF 所成的角为θ，则
cos θ
CE DF CE DF
⋅=
⋅31066=
，
02π⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
，θ，
31066∴=θ 因此，异面直线CE 与DF 所成角的大小为31066
．
18．解：（1）由已知可得i 、i -均为关于x 的方程2
0x mx n ++=（m n R ∈，）的虚根，
故由韦达定理，得()()0
1
m i i n i i ⎧-=+-=⎪⎨=⋅-=⎪⎩， 即01m n =⎧⎨=⎩.
（2）依题意得1z +也是方程2
10x mx ++=（m R ∈）的虚根，所以 ()111z z +⋅+=，
即 11z +=，
题号
1
2
3
4
5
6
答案 {}2 y x 24= 1. 72 4
π 4π 9
题号 7 8 9 10 11 12
答案 1688 512
- 310 [
)2+∞， 4- 3
12 题号 13 14 15 16
答案 B A C B
因此，
P 为圆11z +=上的点，由复数几何意义可知516max PQ =+=，
514min PQ =-=，从而，PQ 的取值范围是[]46，．
19．解：（1）由题意可知：当04x <≤时，()2g x =；当420x ≤≤时，设()g x kx b =+，
由已知得42200k b k b ⋅+=⎧⎨⋅+=⎩
，
解得1852
k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故函数**
2(04)()15(420)82x x N g x x x x N ⎧<≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩，，. （2）易得*2*
2(04)
()15(420)8
2x x x N f x x x x x N ⎧<≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩，，
， 当04x <≤时，()2f x x =，故()(4)f x f ≤8=；
当420x ≤≤时，()f x 215
82
x x =-+，故()f x ≤(10)f 12.5=． 综上，()f x 的最大值为12.5．
20．解：（1）椭圆
22
12723x y +=的右焦点为C 的右顶点，∴a 2=，又x y 210++=与C 的一条渐近线平行，得b 1=，故双曲线C 的方程为x y 2
214
-=．
（2）
依题意可得1(0)F
、20)F ，则直线PF 1
：y x x y 000(0-=， 直线PF 2
：y x x y 000(0-=，
点M 在F PF 12∠的平分线上，
∴
=
，又m <<
y 01≥，∴
=
（※） ，注意到22
114x y =
-≥，且动点P 在C 的右支上，故
x 0≥．
利用y x 22
00(+
+x 202)2=+
，y x 2
200(+
x 202)2
=-，（※）可化为：
=
，解得x m
04
=
，最后，结合x 0≥
m ≤．
（3）由（2）知：直线PM ：000044()()x y y x x x -
=-，∴N y 0
1(0)-，，从而，直线l
：y x =，
由x y y x 22
14⎧-=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
可得y y y y 2200(54)1010-++=，注意到Δy 2080160=+>，设11()D x y ，，22()E x y ，，
则y y y y y y y 0121222001015454+=-=--，，
∴y y 12-=
0=， 故ΔF DE
S 2
F F y y 121212=⋅⋅
-0=
= 显然当
y 2
01
154
=-即y 01=时，ΔF DE S 2
取得最大值，此时点N 的坐标为(01)-，． 21．解：（1）由已知可得(12)(1)3f =，，
(22)22
()x f x x
+=，，(13)(3)f ，2=
，(12)(22)(13)(1)()(3)f f x f ，，，，，成等差数列，∴(22)(12)(13)2()(1)(3)f x f f =+，，，，即
22
232x x
+⋅
=+，解得4x =. （2）设正整数u 满足题设要求，则4
5132x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
15x x N *∈，，∴412x k
=⋅（k N *∈），从而4
53x k =⋅.
由4
1x u ≥可
得2u ≤ （※） ；由4
5(1)x u ≤+可
得13u +≥
（※※） ； 消去k 得1u +32
u ≥⋅
，解得2u ≤， 再由（※※）得1u +3≥，得2u ≥，这样，便有2u =. 或这样：由（※）、（※※）消去u
得1≥，所以1k ≥，注意到k N *∈，故1k =，
于是由（※）、（※※）可得2u ≤，2u ≥，从而2u =.
（3）易得1m
n n x ax b +=+（n N *∈）．
充分性：
设120m ab -+≥，即12m ab -≥-，
则由0b <，且120m ab -+≥可得m ab b b +≤- （※※※）.
现用数学归纳法证明：数列{}n x 的每一项都落在区间[]
b b -，中. （10）当1n =时，[
]
1x b b b =∈-，，结论成立；
（20）假设当n k =时，结论成立，即 []
k x b b ∈-，⇔k b x b ≤≤-，
那么，当1n k =+时，因为0b <，且m 为正偶数，所以，0m m
k x b ≤≤，又0a >，
并利用（※※※），便得m m
k b ax b ab b b ≤+≤+≤-，即1k b x b +≤≤-⇔[]
1k x b b +∈-，，
这就是说，当1n k =+时，结论也成立.
综上，数列{}
n x 的每一项都落在区间[]b b -，中，因而，数列{}
n x 有界. 必要性：
假设120m ab -+<，即12m ab -<-， 则由0b <且m 为正偶数，可得1
()
2m a b --> （※※※※）.注意到
0m ab b b +>->，且0a >，故()()0m m m m a ab b b a b b ab b b ++>-+=+>->，即
3210x x b b x >>->>=，进而
4323m m x ax b ax b x =+>+=，即43x x >，于是，43210x x x b x >>>->>，……………
利用函数
m ax b
+在(0)x ∈+∞，上递增，可知：
113210n n n x x x x x b x +->>>>>>>->>，
即 数列{}
n x 单调递增，并且从第二项起的每一项都大于b -.
对于23n =，，，利用（※※※※）便有
211()
m m
n n n n x x a x x +++-=-123243
111111()()m m m m m n n n n n n n n n n a x x x x x x x x x x -----+++++=-++++
+
1
1()m n n n
a x x mx -+>-⋅11()()
m n n am b x x -+>--
12()n n m x x +>-1n n x x +>-，
即 211n n n n x x x x +++->-（23n =，，）
， 这表明，数列{}
n x 中相邻两项的差距总体呈现出越来越大，与数列{}
n x 有界矛盾！所以，假设不成立，即 120m ab -+≥成立.
综上，数列{}
n x 有界的充要条件是120m ab -+≥.。