专题1.6 极值点偏移第四招——含指数式的极值点偏移问题-2121届高考数学压轴题讲义(解答题)

近几年全国各地的模拟试题、高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型：在给定区间内研究两函数之间的不等关系.要解决这类问题，往往是直接构造某个新函数，或者分离变量之后构造新的函数，通过研究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关系.这一类问题多数与指数函数有关，解题时除了直接构造一元函数求解，还可将问题转化为对数问题，再用对数平均不等式求解，本文对此类问题做一探究.

★（2016年新课标I 卷理数压轴21题）已知函数2

)1()2()(-+-=x a e x x f x

有两个零点21,x x .证明：

122x x +<

.

法二：参变分离再构造差量函数

由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，

故可整理得：()()

()()

1

2

122

2

122211x x x e x e a x x ---==--设()()()

221x x e g x x -=-，则()()

12g x g x =那么()()()

2

3

21'1x x g x e x -+=-，

当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增．学科*网

设0m >，构造代数式：

()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫

+--=

-=+ ⎪+⎝⎭

设()2111

m

m h m e m -=++，0m >则()()

2

22

2'01m m h m e m =

>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=．

因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．

由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有12

1x x <<令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->⇔->整理得：122x x +<．

法三：参变分离再构造对称函数

由法二，得()()()

2

21x x e g x x -=-，构造()()(2),((,1))G x g x g x x =--∈-∞，利用单调性可证，此处略.学科*网

法五：利用“对数平均”不等式

参变分离得：2

22211)1()2()1()2(2

1--=--=x e x x e x a x x ，由0>a 得，2121<<

将上述等式两边取以e 为底的对数，得22

221211)

1()

2(ln )1()2(ln

x x x x x x +--=+--，化简得：21212

22

1)]2ln()2[ln(])1ln()1[ln(x x x x x x -=-------，

故2

121212221)]

2ln()2[ln(])1ln()1[ln(1x x x x x x x x ---------=

)2()2()]

2ln()2[ln()1()1(])1ln()1[ln()]1()1[(21212

221222121x x x x x x x x x x ------+-------+-=由对数平均不等式得：22122222

1212[ln(-1)-ln(-1)]2

(1)(1)(1)(1)

x x x x x x >----+-，121212[ln(2-)-ln(2-)]2

2222x x x x x x >

----+-（）（）（）（）

，从而122212122(2)2

1(1)(1)22x x x x x x +->

+

-+--+-（）（）1212122212122(2)[4()]2

(1)(1)4()x x x x x x x x x x +--+++-=

+

-+--+121222

12122(2)2

1(1)(1)4()

x x x x x x x x +-+-=

++-+--+学科*网

等价于：12122212122(2)2

0(1)(1)4()

x x x x x x x x +-+->

+

-+--+1222121221

(2)[

]

(1)(1)4()

x x x x x x =+-+-+--+由221212(1)(1)0,4()0x x x x -+->-+>，故122x x +<，证毕.学科*网★(2010天津理)已知函数(

)x

f x xe -=()x R ∈.如果12x x ≠，且()()12f x f x =.

证明：122x x +>.

★设函数()x

f x e ax a

=-+()a R ∈，其图象与x 轴交于()()12,0,0A x B x 两点，且12x x <.证明：

120f x x '

<（()f x '为函数()f x 的导函数）.

【解析】根据题意：110x e ax a -+=，220x e ax a -+=移项取对数得：

11ln(1)ln x x a =-+①22ln(1)ln x x a =-+②

①-②得：1212ln(1)ln(1)x x x x -=---，即：