七年级数学竞赛讲座11 应用题3

七年级数学竞赛讲座11 应用题3

应用题（三）

一、一、知识要点

数学应用题涉及的题材广泛，内容丰富。大到卫星上天，小到日常生活，无时无地不体现数学的作用。数学应用题我们不能局限于几种类型，主要的是要增强应用数学的意识，提高处理数学应用题的能力。解决数学应用题的关键是从数学应用题中抽象出数学模型，把数学应用题转化成一个数学问题来解决。

二、二、例题精讲

例1 某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果。已知A 水果每千克2元，B 水果每千克1.2元， C 水果每千克10元，某天该商店销售这三种搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，则C 水果的销售额为元。(2000年全国初中数学联合竞赛试题)

解：设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x 、y 、z 套，依题意有

()⎩⎨⎧=++=++2.4412.216.258.81162322z y x z y x 、

∴⎩⎨

⎧=++=++110353642258232z y x z y x

消去x 得：31(y+z)=465，故y+z=15

所以，共卖出C 水果15千克，C 水果的销售额为15⨯10=150

评注：本题列出的是不定方程，要求出x 、y 、z 是不可能的，但本题只要整体地求出y+z

就行了。

例2某班参加一次智力竞赛，共a 、b 、c 三题，每题或者得满分或者得0分。其中题a 满分20分，题b 、题c 满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有一人，答对其中两道题的有15人。答对题a 的人数与答对题b 的人数之和为29；答对题a 的人数与答对题c 的人数之和为25；答对题b 的人数与答对题c 的人数之和为20。问这个班平均成绩是多少分？ (1999年全国初中数学联合竞赛二试试题)

解：设答对题a 、答对题b 、答对题c 的人数分别为x 、y 、z ，则有

⎪⎩

⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧====+=+=+81217 202529z y x z y z x y x 解得

所以答对一题的人数为：37-1⨯3-2⨯15=4

全班人数为：1+4+15=20 故全班平均成绩为()4220258122017=⨯++⨯

答：这个班平均成绩是42分

评注：本题是通过设间接未知数来列方程，设未知数的方法一般和直接和间接两种。

例3在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶200公里，每辆巡逻车可装载供行驶14天的汽油。现有5辆巡逻车同时从驻地A出发，完成任务后再沿原路返回驻地，为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻(然后再一起返回)，甲、乙两车行至途中B处后，仅留足自己返回驻地所必须的汽油，将多余的汽油留给另外三辆使用，问其它三辆可行进的最远距离是多少公里？(1995年河北省初中数学联合竞赛试题)

解：设巡逻车行到途中B处用了x天，从B处到最远处用了y天，则有

2[3(x+y)+2x]=14⨯5，即5x+3y=35

又由题意，需x>0，y>0且14⨯5 – (5+2)x≤14⨯3，即x≥4

从而问题的本质是在约束条件⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

>

≥

=

+

4

35

3

5

y

x

y

x

之下，求y的最大值，

显然y=5，这样，200⨯(4+5)=1800(公里)

所以其它三辆可行进的最远距离是1800公里

例4 龙九想知道圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔和荧光笔的价格，这些笔中每两种笔(每种各一支)装一盒，它们的价格分别是250元、290元、320元、340元、360元、370元、390元、410元、430元、480元。铅笔比彩笔便宜30元，签字笔比圆珠笔贵，荧光笔比签字笔贵。求出每种笔的价格。(第一届汉城国际数学竞赛试题)

分析：设光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是a>b>c>d>e元, 每两种笔合在一起，可以得出10个和：a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.

由光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格的大小关系得出a+b最大，a+c次之，d+e最小，c+e次小，从而列出方程组。

解：设荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是a>b>c>d>e元,

每两种笔合在一起，可以得出10个和：a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.

其中a+b最大，a+c次之，d+e最小，c+e次小。

所以⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

+

=

+

=

+

=

+

(4)

250

(3)

290

(2)

430

(1)

480

e

d

e

c

c

a

b

a

(1)-(2) 得：b-c=50 (5)

(5)+(3) 得：b+e=340 (6)

在上面10个和中，c+d肯定小于b+d，但是否比b+e小，难以断定，现在b+e=340，所以 c+d=320 (7)

(3)+(4)+(7)得 2 (c+d+e)=860 所以 c+d+e=430

从而可得：c=180，d=140，e=110

进一步可得：b=230，a=250

即荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是250元、230元、180元、140元、110元

评注：本题未知数多，方程也多，必须仔细分析题意，理清它们的关系，才能正确求解。