函数的表示法重难点题型(举一反三)(解析版)
【高中数学经典】函数y=Asin(ωx+φ)的图象重难点题型(举一反三)
【高中数学】函数y=Asin （ωx+φ）的图象重难点题型【举一反三系列】【知识点1 用五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象】用“五点法”作sin()y A x ωϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取30,,,,222ππππ来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.用“五点法”作图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为4T .【知识点2 函数y=Asin （ωx+φ）中有关概念】()sin()0,0y A x A ωϕω=+>>表示一个振动量时，A 叫做振幅，2T πω=叫做周期，12f T ωπ==叫做频率，x ωϕ+叫做相位，x=0时的相位ϕ称为初相.【知识点3 由y=sinx 得图象通过变换得到y=Asin （ωx+φ）的图象】 1.振幅变换：sin()y A x ωϕ=+sin y A x x R =∈，(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的(横坐标不变)，它的值域[-A ，A]，最大值是A ，最小值是-A.若A<0可先作y=-Asinx 的图象，再以x 轴为对称轴翻折.A 称为振幅. 2.周期变换：函数()sin 01y x x R ωωω=∈>≠，且的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的1ω倍(纵坐标不变).若0ω<则可用诱导公式将符号“提出”再作图.ω决定了函数的周期. 3.相位变换：函数()sin y x x R ϕ=+∈，(其中0ϕ≠)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时)平行移动ϕ个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).一般地，函数()sin()0,0y A x A x R ωϕω=+>>∈，的图象可以看作是用下面的方法得到的：(1) 先把y=sinx 的图象上所有的点向左(ϕ>0)或右(ϕ<0)平行移动ϕ个单位； (2) 再把所得各点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的1ω倍(纵坐标不变)；(3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍(横坐标不变).【考点1 正、余型函数作图】【例1】（2019•岳麓区校级学业考试）知函数，x∈R．（1）填写下表，用“五点法”画在一个周期内的图象．x0π2π000（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【分析】（1）利用三角函数求值完成表格，通过五点法作图化简函数的图象．（2）利用三角函数的周期公式以及正弦函数的单调区间的求法，求解即可．【答案】解：（1）填表和作图如下．（4分）x0π2π030﹣30（2）函数f（x）的最小正周期为，又，k∈Z，解得，所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．【点睛】本题考查三角函数的图象的画法，三角函数的值的求法，函数的单调性以及函数的周期的求法，考查计算能力．【变式1-1】（2018秋•海淀区期末）已知函数．（Ⅰ）求T的最小正周期T；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数的简图，并直接写出函数f（x）在区间上的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用正弦函数的周期公式即可计算得解；（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求解；（Ⅲ）利用五点作图法即可画出函数f（x）在一个周期内的图象，根据正弦函数的性质即可求解．【答案】（本小题满分11分）解：（Ⅰ）．……………………（2分）（Ⅱ）由，k∈Z，……………………（4分）可得：，k∈Z．所以函数f（x）的单调递增区间是：，k∈Z．……………………（6分）（Ⅲ）列对应值表如下：2x+0π2πx﹣f（x）020﹣20通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数的简图如图所示．……………………（8分）可得函数在区间上的取值范围是．……………………（11分）注：中每一个端点正确给（1分），括号正确（1分）．【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了五点法作函数y＝A sin（ωx+φ）的图象，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．【变式1-2】（2018秋•香坊区校级期末）某同学用“五点法”画函数，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx+φ0π2πxy＝A sin（ωx+φ）0300（1）请将上表数据补充完整；函数f（x）的解析式为f（x）＝（直接写出结果即可）；（2）根据表格中的数据作出f（x）一个周期的图象；（3）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【分析】（1）由题意补充完整表格，写出f（x）的解析式；（2）根据表格中的数据作出f（x）一个周期的图象即可；（3）求出函数f（x）在区间上的最大值和最小值即可．【答案】解：（1）由题意，补充完整下表是；ωx+φ0π2πxy＝A sin（ωx+φ）030﹣30写出函数f（x）的解析式为f（x）＝3sin（2x﹣）；（2）根据表格中的数据作出f（x）一个周期的图象，如图所示；（3）函数f（x）＝3sin（2x﹣），x∈[﹣，0]，2x﹣∈[﹣，﹣]；∴x＝﹣时，f（x）在区间上取得最大值为﹣，x＝﹣时，f（x）取得最小值为﹣3．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．【变式1-3】（2019•望花区校级学业考试）函数f（x）＝A sin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；（Ⅱ）f（x）的图象向右平行移动个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g（x）的图象，用“五点法”作出g（x）在[0，π]内的大致图象．【分析】（Ⅰ）根据条件求出A，ω的值，即可求函数f（x）的解析式，结合函数的单调性即可求当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；（Ⅱ）根据三角函数的图象平移关系求出g（x）的解析式，利用五点法进行作图即可．【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的最大值是3，∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T＝π，∴ω＝2．（2分）所以f（x）＝2sin（2x﹣）+1令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，即+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，（4分）∵x∈[0，π]，∴f（x）的单调减区间为[，]．（5分）（Ⅱ）依题意得g（x）＝f（x﹣）﹣1＝2sin（2x﹣），列表得：x0π2x﹣﹣0πg（x）﹣020﹣2﹣（7分）描点（0，﹣），（，0），（，2），（，0），（，﹣2），（π，﹣），（8分）连线得g（x）在[0，π]内的大致图象．（10分）【点睛】本题主要考查三角函数图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用五点法作图是解决本题的关键．【考点2 图象变换与解析式】【例2】（2019秋•芜湖期末）给出下列8种图象变换方法：①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图象上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的；④图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍；⑤图象向右平移个单位；⑥图象向左平移个单位；⑦图象向右平移个单位；⑧图象向左平移个单位．请选择上述变换方法中的部分变换方法并按照一定顺序排列将函数y＝sin x的图象变换到函数的图象，要求写出每一种变换后得到的函数解析式．（只需给出一种方法即可）．【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【答案】解：将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，可得y＝sin（x+）的图象；再把所得图象的横坐标变为原来的2倍，可得y＝sin（x+）的图象；再把所得图象的纵坐标变为原来的倍，可得y＝sin（x+）的图象．即按照⑥②③的顺序进行．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．【变式2-1】说明由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象：（1）y＝sin（x+）；（2）y＝sin（2x﹣）；（4）y＝5sin（3x﹣）；（3）y＝sin（x+）．【分析】由条件根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【答案】解：（1）把y＝sin x的图象向左平移个单位，可得y＝sin（x+）的图象；（2）把y＝sin x的图象向右平移个单位，可得y＝sin（x﹣）的图象；再把所得图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得y＝sin（2x﹣）的图象；（4）把y＝sin x的图象向右平移个单位，可得y＝sin（x﹣）的图象；再把所得图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得y＝sin（3x﹣）的图象；再把所得图象的纵坐标变为原来的5倍，横坐标不变，可得y＝5sin（3x﹣）的图象；（3）把y＝sin x的图象向左平移个单位，可得y＝sin（x+）的图象；再把所得图象的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，可得y＝sin（x+）的图象；再把所得图象的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，可得y＝sin（x+）的图象；【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．【变式2-2】y＝sin（﹣2x+）经过怎样变换得到y＝sin2x的图象．【分析】首先，化简函数y＝﹣sin（2x﹣），然后，结合图象平移进行求解即可．【答案】解：∵y＝sin（﹣2x+）＝﹣sin（2x﹣），先将该函数图象关于x轴对称，得到函数y＝sin（2x﹣），然后，再将所得函数图象向左平移个单位，得到函数y＝sin2x的图象，即为所求．【点睛】本题重点考查了三角函数图象平移变换，三角函数诱导公式等知识，属于中档题．解题关键是熟练应用平移变换．【变式2-3】请说明由函数y＝cos（x+）图象经过怎样的变换可得到y＝cos x的图象．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【答案】解：把函数y＝cos（x+）图象的每一点的横坐标变为原来的一半，可得函数y＝cos（x+）的图象；再把所得图象向右平移个单位，可得到y＝cos x的图象．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．【考点3 由图象求解析式】【例3】（2019春•静宁县校级期末）已知函数的部分图象如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调增区间和对称中心坐标；【分析】（1）根据图象求出A，ω和φ，即可求函数f（x）的解析式；（2）根据正弦函数即可得到结论．【答案】解：（1）由题设图象知，A＝2，周期T＝2（﹣）＝π，∴ω＝＝2．∵点（，2）在函数图象上，∴2sin（2×+φ）＝2，即sin（+φ）＝1．又∵0＜φ＜，从而+φ＝，即φ＝．故函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（2x）．（2）由（1）可知f（x）＝2sin（2x）．令2x≤，可得：≤x≤∴f（x）的单调增区间[，]，k∈Z；令2x＝kπ，可得x＝，∴f（x）的对称中心坐标为（，0）．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．【变式3-1】（2019春•秦州区校级期末）已知函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示．（1）求这个函数的解析式，并指出它的振幅和初相；（2）求函数在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值，并指出取得最值时的x的值．【分析】（1）由函数图象观察可知A，可求函数的周期，由周期公式可得ω，由点（，2）在函数图象上，结合范围φ的范围，即可求得φ的值，即可求解．（2）由已知可求2x+∈[﹣，0]，利用正弦函数的图象与性质即可求解．【答案】解：（1）由函数图象可知，函数的最大值为2，最小值为﹣2，可得A＝2，又＝﹣（﹣），所以T＝π，可得：＝π，可得：ω＝2，所以函数的解析式为y＝2sin（2x+φ），因为函数的图象经过点（，2），所以2sin（+φ）＝2，可得：sin（+φ）＝1，又因为0＜φ＜，所以φ＝，所以函数的解析式为y＝2sin（2x+），其振幅是2，初相是．（2）因为：[﹣，﹣]，所以：2x+∈[﹣，0]，于是，当2x+＝0，即x＝﹣时，函数取得最大值0；当2x+＝﹣，即x＝﹣时，函数取得最小值﹣2．【点睛】本题主要考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．【变式3-2】（2019春•湛江期末）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求函数f（x）的值域．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）的一段图象求得A、T、ω和φ的值即可；（Ⅱ）由x∈[﹣，]求得2x+的取值范围，再利用正弦函数求得f（x）的最大和最小值即可．【答案】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的一段图象知，A＝2，＝﹣（﹣）＝，∴T＝＝π，解得ω＝2，又x＝﹣时，2sin（﹣×2+φ）＝2，﹣+φ＝，解得φ＝；∴函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（2x+）；（Ⅱ）x∈[﹣，]时，2x+∈[0，]，令2x+＝，解得x＝﹣，此时f（x）取得最大值为2；令2x+＝，解得x＝，此时f（x）取得最小值为﹣；∴函数f（x）的值域为[﹣，2]．【点睛】本题考查了函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象和性质的应用问题，是基础题．【变式3-3】（2019春•小店区校级期中）已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数，求函数y＝g（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】（1）根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值即可求函数f（x）的解析式；（2）利用三角函数的平移变换可求g（x）的解析式，找出ω的值代入周期公式即可求出函数的最小正周期，根据正弦函数的单调递增区间即可得到f（x）的递增区间；【答案】解：（1）由图象知函数的周期T＝2（﹣）＝π，即ω＝＝＝2，则f（x）＝A sin（2x+φ），∵0＜φ＜，∴由五点对应法知2×+φ＝π，解得φ＝，即f（x）＝A sin（2x+），∵f（0）＝A sin＝A＝1，∴A＝2，即函数f（x）的解析式f（x）＝2sin（2x+）；（2）∵＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣），∴函数f（x）的最小正周期为T＝＝π；由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键，综合考查三角函数的性质，属于中档题．【考点4 函数y=Asin（ωx+φ）性质的应用】【例4】（2018秋•温州期末）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向右平移个单位，所得函数g（x）为奇函数，函数g（x）的最大值为2．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调增区间；（3）若，求f（x）的值域．【分析】（1）由周期求得ω，由函数g（x）为奇函数求得φ和b的值，从而得到函数f（x）的解析式．（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间．（3）由已知可求2x+∈[，π]，利用正弦函数的性质可求sin（2x+）∈[0，1]，即可得解．【答案】（本题满分为10分）解：（1）∵＝2×，∴ω＝2，∴f（x）＝A sin（2x+φ）．又g（x）＝A sin[2（x﹣）+φ]为奇函数，且0＜φ＜π，则φ＝，A＝2，故f（x）＝2sin（2x+）…3分（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），故函数的增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）…6分（3）∵，∴2x+∈[，π]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴f（x）＝2sin（2x+）∈[0，2]，可得若，f（x）的值域为：[0，2]．…10分【点睛】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．（2019春•杨浦区校级期中）已知函数【变式4-1】的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移a（a∈（0，2π））个单位后，得到的函数y＝g（x）是奇函数，求a的值．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由题意根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得a的值．【答案】解：（1）∵函数的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2），∴A＝2，且•＝2π，∴ω＝．∴2cosφ＝1，∴cosφ＝，∴φ＝（舍去，不满足图象），或φ＝﹣，∴f（x）＝2cos（x﹣）．（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移a（a∈（0，2π））个单位后，得到的函数y＝g（x）＝2cos（x+﹣）的图象，由于g（x）是奇函数，∴﹣＝，∴a＝．【点睛】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．【变式4-2】（2018秋•遂宁期末）如图，函数的图象与y 轴交于点（0，1），若|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求θ和ω的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程．【分析】（1）由特殊点的坐标求出φ的值，由周期求出ω，可得函数的解析式．（2）利用余弦函数的单调性和它的图象的对称性，求得函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程．【答案】解：（1）∵函数的图象与y轴交于点（0，1），将x＝0，y＝1代入函数y＝2cos（ωx+θ）得，因为，所以．又因为|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．可知函数周期为T＝π，由ω＞0，所以．因此．（2）由，得，所以函数的单调递增区间为．由，得．所以函数f（x）图象的对称轴方程为．【点睛】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由特殊点的坐标求出φ的值，由周期求出ω，余弦函数的单调性和它的图象的对称性，属于基础题．【变式4-3】（2019秋•大庆期末）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y 轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）．（1）求f（x）的解析式及x0的值；（2）求f（x）的增区间；（3）若x∈[﹣π，π]，求f（x）的值域．【分析】（1）利用函数图象确定函数的振幅，周期，利用f（0）＝1求出φ，求出f（x）的解析式，y 轴右侧的第一个最高点即可求出x0的值；（2）通过正弦函数的单调增区间，直接求函数f（x）的增区间；（3）通过x∈[﹣π，π]，求出x+的范围，然后利用正弦函数的值域求f（x）的值域．【答案】解：由图象以及题意可知A＝2，，T＝4π，ω＝＝，函数f（x）＝2sin（x+φ），因为f（0）＝1＝2sinφ，|φ|＜，所以φ＝．∴f（x）＝2sin（x+）．由图象f（x0）＝2sin（x0+）＝2，所以x0+＝k∈Z，因为在y轴右侧的第一个最高点的坐标分别为（x0，0），所以x0＝．（2）由，k∈Z，得，k∈Z，所以函数的单调增区间为．（3）∵x∈[﹣π，π]，∴x+，∴≤sin（x+）≤1．2sin（x+）≤2．所以函数的值域为：[]．【点睛】本题是中档题，考查函数解析式的求法，阿足协还是的单调增区间的求法，函数的值域的求法，考查计算能力．【考点5 数形结合思想】【例5】（2019秋•顺庆区校级期末）五点法作函数的图象时，所填的部分数据如下：x﹣ωx+φ﹣0πy﹣1131﹣1（1）根据表格提供数据求函数f（x）的解析式；（2）当时，方程f（x）＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．【分析】（1）由表中的最大值和最小值可得A的值，通过＝T，可求ω．根据对称中点坐标可知B＝1，图象过（﹣）带入求解φ，可得函数f（x）的解析式．（2）当时，求解内层的范围，结合三角函数的图象，数形结合法，f（x）＝m恰有两个不同的解，转化为f（x）与y＝m图象有两个交点的问题求解即可求实数m的取值范围．【答案】解：由表中的最大值为3，最小值为﹣1，可得A＝，由＝T，则T＝2π．∴，∵y＝2sin（ωx+φ）的最大值是2，故得B＝3﹣2＝1．此时函数f（x）＝2sin（x+φ）+1．∵图象过（﹣）带入可得：﹣1＝2sin（+φ）+1，可得：φ＝﹣，（k∈Z）．解得：φ＝，∵φ，∴φ＝﹣．故得函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x﹣）+1（2）当时，则x﹣∈[0，]，令u＝x﹣，u∈[0，]，则y＝2sin u+1的图象与与y＝m图象有两个交点．从图象可以看出：当x＝时，函数f（）＝，y＝2sin u+1的图象与与y＝m图象有两个交点．那么：．∴实数m的取值范围是[，3）【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．【变式5-1】（2019春•城关区校级期末）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式及其对称方程；（2）当时，方程f（x）＝2a﹣3有两个不等的实根x1，x2，求实数a的取值范围，并求此时x1+x2的值．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求出它的对称方程．（2）根据题意，当时，y＝f（x）的图象与直线y＝2a﹣3有两个不同的交点，可得，从而求得x1+x2的值．【答案】解：（1）由图知，．由，即，故，所以．又，所以，故．令则，所以f（x）的对称轴方程为．（2）∵，∴f（x）＝2sin（2x+）∈[﹣1，2]．所以方程f（x）＝2a﹣3有两个不等实根时，y＝f（x）的图象与直线y＝2a﹣3有两个不同的交点．∵，当时，f（x1）＝f（x2），所以，故．【点睛】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．【变式5-2】（2019秋•香坊区校级月考）如图是函数的部分图象．（1）求函数f（x）表达式；（2）若函数f（x）满足方程，求在[0，2π]内的所有实数根之和．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得结论．【答案】解：（1）根据函数的部分图象，可得A＝1，•＝﹣，求得ω＝2．再根据五点法作图，可得2+φ＝π，∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．（2）满足方程，在[0，2π]内，2x+∈[，]，共有4个根，设这4个根为x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则根据正弦函数的图象的对称性可得2x1++2x4+＝2 x2++2 x3+＝，故x1+x4＝x2+x3＝，∴在[0，2π]内所有实数根之和为x1+x2+x3+x4＝．【点睛】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．【变式5-3】（2019春•郴州期末）如图为函数f（x）＝sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象．（Ⅰ）求函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，]时，函数y＝[f（x）]2﹣2f（x）﹣m有零点，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据图象得到f（x）的周期，零点和最小值，从而得到f（x）的解析式；（Ⅱ）根据x的范围，得到f（x）的范围，再由函数y＝[f（x）]2﹣2f（x）﹣m有零点，可得方程m＝[f （x）]2﹣2f（x）有实根，解出[f（x）]2﹣2f（x）的范围即可得m的范围．【答案】解：（Ⅰ）由图象可知，，∴，ω＝2，∵，k∈Z，及|φ|＜，∴φ＝，而f（0）＝，A＞0，∴A＝，∴；（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴，∴f（x）∈，又函数y＝[f（x）]2﹣2f（x）﹣m有零点，∴方程m＝[f（x）]2﹣2f（x）有实根，∵f（x）∈，∴[f（x）﹣1]2﹣1∈[﹣1，3]，因此，实数m的取值范围为[﹣1，3]．【点睛】本题考查了利用函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象求解析式和函数的零点，考查了数形结合思想和方程思想，属中档题．。
19.中考数学专题10 一次函数章末重难点题型(举一反三)(解析版)
专题10 一次函数章末重难点题型汇编【举一反三】【考点1 函数的概念】【方法点拨】一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
.【例1】（2019春•鼓楼区校级期中）下列的曲线中，表示y是x的函数的共有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．【答案】解：第一个图中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，符合题意；第二个图中，对于x的每一个取值，y可能有两个值与之对应，不符合题意；第三个图中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，符合题意；第四个图中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，符合题意；故选：C．【点睛】主要考查了函数的定义，在一个变化过程中有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．【变式1-1】（2019春•新乐市期中）下列变量之间的关系不是函数关系的是（）A．一天的气温和时间B．y2＝x中的y与x的关系C．在银行中利息与时间D．正方形的周长与面积【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．【答案】解：A、一天的气温和时间的关系是函数关系，故本选项不合题意；B、y2＝x中的y与x的关系不是函数关系，故本选项符合题意；C、在银行中利息与时间是函数关系，故本选项不合题意；D、长方形的周长与面积是函数关系，故本选项不合题意；故选：B．【点睛】主要考查了函数的定义．在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．【变式1-2】（2019春•苍溪县期中）下列关系式中，y不是x的函数的是（）A．y＝B．y＝2x2C．y＝（x≥0）D．|y|＝x（x≥0）【分析】A、B、C选项满足函数的概念，有两个变量，给x一个值，y有唯一的值与之对应，故A、B、C中，y都是x的函数，D选项给x一个值，y可能会有两个值与x对应，不符合函数的概念，故D中，y不是x的函数．【答案】解：A、B、C选项满足函数的概念，有两个变量，给x一个值，y有唯一的值与之对应，故A、B、C中，y都是x的函数，D选项给x一个值，y可能会有两个值与x对应，不符合函数的概念，故D中，y不是x的函数．故选：D．【点睛】此题考查了函数的概念，理解函数的概念为解题关键．【变式1-3】（2019春•如皋市期中）下列各图中能说明y是x的函数的是（）A．B．C．D．【分析】在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．【答案】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了函数的定义，函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：x的取值范围内做垂直x轴的直线与函数图象只会有一个交点．【考点2 函数自变量的取值范围】【方法点拨】函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．【例2】（2019春•资中县期中）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥0C．x＞0且x≠2D．x≥0且x≠2【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【答案】解：由题意知，解得x≥0且x≠2，故选：D．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．【变式2-1】（2019秋•乳山市期中）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x≥2且x≠2C．x＞﹣2D．x＞﹣2且x≠2【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【答案】解：由题意得，x+2≥0且x2﹣4≠0，解得x≥﹣2且x≠±2，所以，x＞﹣2且x≠2．故选：D．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．【变式2-2】（2019•巴彦淖尔模拟）在关于x的函数y＝+（x﹣1）0中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣2B．x≥﹣2且x≠0C．x≥﹣2且x≠1D．x≥1【分析】根据二次根式被开方数是非负数，0的0次幂没有意义即可求解．【答案】解：根据题意得：x+2≥0且x﹣1≠0，解得：x≥﹣2且x≠1．故选：C．【点睛】本题考查了求函数的自变量的取值范围，一般考虑三个方面：（1）二次根式，被开方数是非负数；（2）分母不等于0；（3）0的0次幂或负指数次幂没有意义．【变式2-3】（2018秋•沙坪坝区校级月考）函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x≠3且x≠﹣3C．x≥2且x≠3D．x≥2且x≠﹣3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．【答案】解：根据题意得，，∴x≥2且x≠3，故选：C．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数是解题关键．【考点3 一次函数的概念】【方法点拨】一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。
二次函数章末重难点题型(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题1.1 二次函数章末重难点题型【浙教版】【考点1 二次函数的概念】【方法点拨】掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c （a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．【例1】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．【解答】解：②④是二次函数，共2个，故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是二次函数，注意a≠0这一条件．【变式1-1】下列各式中，一定是二次函数的有（）−3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=1x2＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．【解答】解：①y2＝2x2﹣4x+3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；②y＝4﹣3x+7x2，是二次函数；−3x+5，分母中含有自变量，不是二次函数；③y=1x2④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x+6，是二次函数；⑤y＝ax2+bx+c，含有四个自变量，不是二次函数；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3，含有两个自变量，不是二次函数；⑦y＝m2x2+4x﹣3，含有两个自变量，不一定是二次函数．∴只有②④一定是二次函数．故选：B．【点评】本题考查二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义和二次函数的一般形式．【变式1-2】若y＝（m2+m）x m2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝．【分析】根据二次函数的定义求解即可．【解答】解：由题意，得m2﹣2m﹣1＝2，且m2+m≠0，解得m＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数，利用二次函数的定义是解题关键，注意二次项的系数不等于零．【变式1-3】函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m时，它为二次函数．【分析】首先解方程，进而利用正比例函数、一次函数与二次函数的定义得出答案．【解答】解：m2﹣3m+2＝0，则（m﹣1）（m﹣2）＝0，解得：m1＝1，m2＝2，故m≠1且m≠2时，它为二次函数；当m＝1或2时，它为一次函数，当m＝1时，它为正比例函数；故答案为：1；1或2；m≠1且m≠2【点评】此题主要考查了一次函数与二次函数的定义，正确解方程是解题关键．【考点2 一次函数与二次函数图象】【方法点拨】判断一次函数与二次函数图象的问题关键在于掌握数形结合的思想，通过图象可以逐一去判断一次函数及二次函数的系数关系．【例2】一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．【变式2-1】在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【解答】解：A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故A错误；B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故B错误；C、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故C正确；∵D、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．【变式2-2】已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次函数y ＝ax 2+bx 与一次函数y ＝ax +b （a ≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的正负情况，从而可以解答本题．【解答】解：{y =ax 2+bx y =ax +b 解得{x =−b a y =0或{x =1y =a +b ． 故二次函数y ＝ax 2+bx 与一次函数y ＝ax +b （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x 轴上为（−b a ，0）或点（1，a +b ）．在A 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＞0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，−b a ＜0，a +b ＞0，故选项A 有可能；在B 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＜0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由|a |＞|b |，则a +b ＞0，故选项B 有可能；在C 中，由一次函数图象可知a ＜0，b ＜0，二次函数图象可知，a ＜0，b ＜0，a +b ＜0，故选项C 有可能；在D 中，由一次函数图象可知a ＜0，b ＞0，二次函数图象可知，a ＜0，b ＞0，由|a |＞|b |，则a +b ＜0，故选项D 不可能；故选：D ．【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．【变式2-3】下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y ＝ax 2+（a +c ）x +c 与一次函数y ＝ax +c 的大致图象．正确的是（ ） A ． B ．C．D．【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而可以解答本题．【解答】解：令ax2+（a+c）x+c＝ax+c，解得，x1＝0，x2=−c a，∴二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的交点为（0，c），（−ca，0），选项A中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y＝ax+c中a＜0，c＞0，故选项A不符题意，选项B中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y＝ax+c中a＞0，c＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，选项C中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y＝ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项C符合题意，选项D中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y＝ax+c中a＞0，c＜0，故选项D不符题意，故选：C．【点评】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【考点3 二次函数图象上点的坐标特征】【方法点拨】二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．【例3】已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1【分析】求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．【解答】解：y＝ax2﹣2ax+b（a＞0），对称轴是直线x=−−2a2a=1，即二次函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1），∵2＜3＜4，∴y3＞y1＞y2，故选：A．【点评】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．【变式3-1】已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（√3，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，然后根据点A（﹣2、y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y2）、D（√3，y3）离对称轴的远近可判断y1、y2、y3大小关系．．【解答】解：抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（√3，y3）四点，∴抛物线开口向上，对称轴为x=−3+12=−1．∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|√3+1|∴y3＞y2＞y1，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．【变式3-2】若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（√2，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y2＜y1＜y3【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．【解答】解：∵二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象过点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1），∴抛物线的对称轴直线x满足5＜2x+1＜6，即2＜x＜2.5，抛物线的开口向上，∴抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越大，∵D（√2，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），则y2＜y1＜y3，故选：D．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．【变式3-3】已知抛物线y=m2x2﹣mx+c（m＞0）过两点A（x0，y0）和B（x1，y1），若x0＜1＜x1，且x0+x1＝3．则y0与y1的大小关系为（）A．y0＜y1B．y0＝y1C．y0＞y1D．不能确定【分析】由抛物线解析式可知开口向上，对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：∵抛物线y=m2x2﹣mx+c（m＞0）中，m＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为x=−−m2×m2=1，∵x0＜1＜x1，∴A点在对称轴的左侧，B点在对称轴的右侧，若y0＝y1，则x1﹣1＝1﹣x0，此时x0+x1＝2，不合题意；若y0＞y1，则x1﹣1＜1﹣x0，此时x0+x1＜2，不合题意；若y0＜y1，则x1﹣1＞1﹣x0，此时x0+x1＞2，符合题意；故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由点到对称轴的距离与函数值的大小的关系是解题的关键．【考点4 二次函数图象与几何变换】【方法点拨】解决二次函数图象与几何变换类型题，需要掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．【例4】抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣3是由抛物线y＝﹣x2经过怎样的平移得到的（）A．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），新抛物线的顶点为（1，﹣3），∴是抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，向下平移3个单位得到，故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．【变式4-1】将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣5C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣5【分析】先把抛物线y＝x2﹣4x﹣4化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论．【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键．【变式4-2】已知二次函数y＝（x+2）2﹣1向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数y＝（x+3）2﹣4，则h和k的值分别为（）A．1，3B．3，﹣4C．1，﹣3D．3，﹣3【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．【解答】解：∵抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（﹣2，﹣1），则向左平移h个单位，再向下平移k 个单位后的坐标为：（﹣2﹣h，﹣1﹣k），∴平移后抛物线的解析式为y＝（x+2+h）2﹣k﹣1．又∵平移后抛物线的解析式为y＝（x+3）2﹣4．∴2+h＝3，﹣k﹣1＝﹣4，∴h＝1，k＝3，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．【变式4-3】将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）先绕原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣4x﹣3B．y＝﹣x2﹣12x﹣35C．y＝x2+12x+35D．y＝x2+4x+3【分析】先求出抛物线的解析式，先根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移的性质求得平移后抛物线的顶点坐标；最后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：y＝（x﹣3）（x﹣5）＝（x﹣4）2﹣1．此时，该抛物线顶点坐标是（4，﹣1）．将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（﹣4，1）．再向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣2，1）．所以此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+1＝﹣x2﹣4x﹣3．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．【考点5 二次函数图象与系数关系】【方法点拨】二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab ＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．【例5】在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：其中正确结论的个数有（）①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，则可对①进行判断；利用x＝1，a+b+c＝0得到c＝﹣3a，则c+2a＝﹣a，于是可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），则可对③进行判断；由于x＝﹣1时，y有最小值，则可对④进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1，∴b＝2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣2a＝﹣3a，∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∴当x＝﹣3时，y＝0，即9a﹣3b+c＝0，所以③正确；∵x＝﹣1时，y有最小值，∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），∴a﹣b≤m（am+b）（m为实数），所以④错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以⑤正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．【变式5-1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，即可判断①；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，即可判断②；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0，即可判断③；把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0可对④进行判断；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2=−ba，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2＝2可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确；∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②正确；∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以③错误；∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④正确；∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2=−b a，∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，所以⑤正确．综上所述，正确的有①②④⑤共4个．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．也考查了二次函数的性质．【变式5-2】抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为个．【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c＝2，由抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1得b＝2a，所以c﹣a＝2；根据二次函数的最大值问题，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，所以说方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c＝2，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1，∴b＝2a，∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．综上所述，共有3个正确结论，故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，关键是掌握以下性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−b2a；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac ＜0，抛物线与x轴没有交点【变式5-3】函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以上结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的是（填序号）．【分析】由函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x＝1时，y＝1+b+c＝1；当x＝3时，y ＝9+3b+c＝3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．【解答】解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①错误；当x＝1时，y＝1+b+c＝1，故②错误；∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，∴3b+c+6＝0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故答案为③④．【点评】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．【考点6 二次函数与一元二次方程的关系】【例6】已知函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2+bx +c +32=0的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根【分析】利用函数图象平移即可求解．【解答】解：函数y ＝ax 2+bx +c 向上平移32个单位得到y ′＝ax 2+bx +c +32， 而y ′顶点的纵坐标为﹣2+32=−12，故y ′＝ax 2+bx +c +32与x 轴有两个交点，且两个交点在x 轴的右侧，故ax 2+bx +c +32=0有两个同号不相等的实数根，故选：D ．【点评】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，用平移的方法求解是此类题目的基本解法．【变式6-1】已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x 的方程ax 2+bx +c +m ＝0（m ＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x 的方程ax 2+bx +c +n ＝0 （0＜n ＜m ）有两个整数根，这两个整数根是（ ）A ．﹣2或0B ．﹣4或2C ．﹣5或3D ．﹣6或4 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x 的方程ax 2+bx +c +n ＝0 （0＜n ＜m ）的两个整数根，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，∴这两个整数根是﹣4或2，故选：B．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．【变式6-2】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c ﹣a＝0的两根为m、n（m＜n），则下列判断正确的是（）A．m＜n＜x1＜x2B．m＜x1＜x2＜n C．x1+x2＞m+n D．b2﹣4ac≥0【分析】把方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n（m＜n），理解为二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝a的交点的横坐标分别为m、n，然后讨论a＞0和a＜0，利用图象可确定m、n、x1、x2的大小．【解答】解：当a＞0，∵方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n，∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝a的交点在x轴上方，它们的横坐标分别为m、n，∴m＜x1＜x2＜n；当a＜0，∵方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n，∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝a的交点在x轴下方，它们的横坐标分别为m、n，∴m＜x1＜x2＜n．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．【变式6-3】对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（）A．0＜x1x3＜1B．x1x3＞1C．0＜x2x4＜1D．x2x4＞1【分析】根据题意画出关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）的图象以及直线y＝﹣2，根据图象即可判断．【解答】解：由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，画出函数的图象草图如下：∵抛物线的对称轴为直线x=−−102×(−1)=−5，∴x3＜x1＜﹣5，由图象可知：0＜x1x3＜1一定成立，故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，利用图象判断是解题的关键．【考点7 二次函数与解不等式】【方法点拨】二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．【例7】数形结合是一种重要的数学思想方法，我们可以借助函数的图象求某些较为复杂不等式的解集．比如，求不等式x﹣1＞2x的解集，可以先构造两个函数y1＝x﹣1和y2=2x，再在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象（如图1所示），通过观察所画函数的图象可知：它们交于A（﹣1，﹣2）、B（2，1）两点，当﹣1＜x＜0或x＞2时，y1＞y2，由此得到不等式x﹣1＞2x的解集为﹣1＜x＜0或x＞2．根据上述说明，解答下列问题：（1）要求不等式x2+3x＞x+3的解集，可先构造出函数y1＝x2+3x和函数y2＝；（2）图2中已作出了函数y1＝x2+3x的图象，请在其中作出函数y2的图象；（3）观察所作函数的图象，求出不等式x2+3x＞x+3的解集．【分析】（1）由题干材料中的方法可得答案；（2）根据y2＝x+3过点（﹣3，0）和（1，4），利用两点确定一条直线画出函数的图象即可；（3）根据（2）中图象即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得y2＝x+3；故答案为：x+3；（2）作出函数y2的图象如下：（3）∵由图可知：函数y1和y2的图象交于（1，4）和（﹣3，0）两点，当x＜﹣3或x＞1时，y1＞y2，∴不等式x2+3x＞x+3的解集为x＜﹣3或x＞1．【点评】本题考查了一次函数、二次函数与不等式，数形结合并明确函数与不等式的关系是解题的关键．【变式7-1】二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）和一次函数y＝kx+m（k，m为常数，且k≠0）的图象如图所示，交于点M（−32，2）、N（2，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx+c﹣kx﹣m＜0的解集是．【分析】根据函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：当−32＜x＜2时，ax2+bx+c＜kx+m，所以不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣m＜0的解集为−32＜x＜2．故答案为−32＜x＜2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．【变式7-2】如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是．【分析】将点A代入抛物线中可求m＝﹣1，则可求抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，对称轴为x＝﹣2，则满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∴对称轴为x＝﹣2，∵B与C关于对称轴对称，点B坐标（﹣4，3），∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，故答案为﹣4≤x≤﹣1．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数解析式的求法，二次函数图象的性质是解题的关键．【变式7-3】已知二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为．【分析】根据当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得ax2+bx+c＜x，继而可求得答案．【解答】解：∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴ax2+bx+c＜x，∴ax2+（b﹣1）x+c＜0．∴不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故答案为1＜x＜3．【点评】主要考查二次函数与不等式（组），此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．【考点8 构建二次函数解决最值问题】【例8】如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．【分析】设P（x，x2﹣x﹣4）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+10．根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：设P （x ，x 2﹣x ﹣4），四边形OAPB 周长＝2P A +2OA ＝﹣2（x 2﹣x ﹣4）+2x ＝﹣2x 2+4x +8＝﹣2（x ﹣1）2+10，当x ＝1时，四边形OAPB 周长有最大值，最大值为10．故答案为10．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．【变式8-1】如图，抛物线y ＝x 2+5x +4与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，连接AC ，点P 在线段AC 上，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q ，则线段PQ 长的最大值为 ．【分析】先解方程x 2+5x +4＝0得A （﹣4，0），再确定C （0，4），则可利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝x +4，设P （t ，t +4）（﹣4≤t ≤0），Q （t ，t 2+5t +4），所以PQ ＝t +4﹣（t 2+5t +4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：当y ＝0时，x 2+5x +4＝0，解得x 1＝﹣4，x 2＝﹣1，则A （﹣4，0），B （﹣1，0）， 当x ＝0时，y ＝x 2+5x +4＝4，则C （0，4），设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣4，0），C （0，4）代入得{−4k +b =0b =4，解得{k =1b =4， ∴直线AC 的解析式为y ＝x +4，设P （t ，t +4）（﹣4≤t ≤0），则Q （t ，t 2+5t +4），∴PQ ＝t +4﹣（t 2+5t +4）＝﹣t 2﹣4t＝﹣（t +2）2+4，∴当t ＝﹣2时，PQ 有最大值，最大值为4．故答案为4．。
1.2.2 函数的表示法重难点题型(举一反三)(原卷版)
11.2.2 函数的表示法重难点题型【举一反三系列】知识链接举一反三【考点1 函数的三种表示方法】【练1】某种笔记本的单价是5元，买}{)5,4,3,2,1(∈x x 本笔记本需要y 元，试用三种方法表示函数)(x f y =.【练1.1】已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：2则f (g (1))的值为______；当g (f (x ))＝2【练1.2】在函数y ＝|x |(x ∈[－1，1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t 的函数关系图可表示为( )【练1.3】如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡)3(1f f 的值等于________．【考点2 描点法作函数图象】【练2】作出下列函数的图象并写出定义域、值域．（1）y＝2x；（2）y＝（x﹣2）2+1；（3）y；（4）y＝2x+1，x∈Z且|x|＜2．【练2.1】画下列函数图象并求值域．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）y＝|﹣x2+2x+3|；（3）y＝|x﹣2|﹣|x﹣1|；（4）y＝﹣x2+2|x|+3；（5）y＝|x﹣2|+|x﹣1|．34【练2.2】作出下列函数的图象并写出它们的值域．（1）y ＝|x ﹣1|+|x +1|；（2）y ＝x ，x ∈z 且|x |≤2．【练2.3】画出二次函数f （x ）＝﹣x 2+2x +3的图象，并根据图象回答下列问题：（1）比较f （0）、f （1）、f （3）的大小；（2）若x 1＜x 2＜1，比较f （x 1）与f （x 2）的大小；（3）求函数f （x ）的值域．【考点3 求函数解析式—待定系数法】【练3】设二次函数()f x 满足(0)1f =，且(1)()4f x f x x +-=，求()f x 的解析式．【练3.1】已知二次函数()f x 满足条件(0)1f =和(1)()2f x f x x +-=，求()f x 的解析式；5【练3.2】已知()y f x =是一次函数，且有[()]98f f x x =+，求()f x 的解析式．【练3.3】已知二次函数2()f x x ax b =++，{|()2}{22}A x f x x ===，试求()f x 的解析式.【考点4 求函数解析式—换元法】【练4】设函数()f x 满足2(23)1f x x x -=+-，求()f x 的解析式； 【练4.1】已知1)f x =+求()f x 的解析式；【练4.2】已知函数()f x 满足关系式(2)25f x x +=+，求()f x 的解析式；【练4.3】已知f （）＝2x ，求f （x ）的解析式；【考点5 求函数解析式—代入法】【练5】已知f（x）＝3x2+1，g（x）＝2x﹣1，求f[g（x）]和g[f（x）]的解析式．【练5.1】已知函数f（x）＝2x+1，g（x）＝3x2﹣5（1）求f（1），g（2）的值（2）求g（a+1）的表达式（3）求f（g（x））的表达式．【练5.2】已知f（x）＝2x﹣1，g（x）（1）求f（x+1），g（），f（g（x））；（2）写出函数f（x）与g（x）定义域和值域．【练5.3】函数f（x）＝3x﹣1，若f[g（x）]＝2x+3，则g（x）＝．67【考点6 求函数解析式—方程组法】【练6】已知函数f （x ）对任意的x ∈R 都满足f （x ）+2f （﹣x ）＝3x ﹣2，求f （x ）的解析式．【练6.1】已知f （x ）是一次函数，且f [f （x ）]＝9x +4，求f （x ）的解析式．【练6.2】已知f （x ）﹣2f （）＝3x ﹣2，求f （x ）的解析式．【练6.3】已知f （x ）是一次函数，且2f （1）+3f （2）＝3，2f （﹣1）﹣f （0）＝﹣1，求f （x ）的解析式；【考点7分段函数求值】【练7】设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=010121)(x x x x x f ，，若f （a ）a =，则实数a 的值为( )A ．1±B ．1-C ．2-或1-D ．1±或2-8【练7.1】已知⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=0)1(-0121)(2x x x x x f ，，使1)(-≥x f 成立的x 的取值范围是( )A ．[4-，2)B ．[4-，2]C ．(0，2]D ．(4-，2]【练7.2】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=03034)(2x x x x x x f ，，则(f f （5）)(= )A ．0B ．2-C ．1-D ．1【练7.3】已知实数0a ≠，函数⎩⎨⎧≥--<+=1212)(x a x x a x x f ，，，若(1)(1)f a f a -=+，则a 的值为( )A ．34-B ．34 C ．35-D ．35。
高一数学必修一经典题型举一反三——函数的概念重难点题型【解析版】
高一数学必修一经典题型举一反三（新课标）
函数的概念重难点题型
知识链接
举一反三
【考点 1 函数的概念—图象】
【练1】设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）
①②③④
A．①②③④B．①②③C．②③D．②
【思路分析】利用函数的定义域与函数的值域判断函数的图象即可．
【答案】解：①图象不满足函数的定义域，不正确；
②③满足函数的定义域以及函数的值域，正确；
④不满足函数的定义，
故选：C．
【练 1.1】设集合P＝{x|0≤x≤2}，Q＝{y|0≤x≤2}，则图中能表示P到Q的函数的是（）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2）（3）（4）B．（1）（3）（4）
C．（4）D．（3）
【思路分析】根据函数的定义，依据图象作出判断．
【答案】解：根据函数的定义，在定义域内的任何一个x值，都唯一对应一个y值，
故（1）、（4）正确；
（2）中定义域内的1对应了2个函数值，（3）中定义域(1，2]内的x值，没有对应的y值，故（2）、（3）。
专题02 二次函数章末重难点题型(举一反三)(解析版)
专题02 二次函数章末重难点题型【举一反三】【考点1 二次函数的概念】二次函数的定义：一般地，形如y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．y ═ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）也叫做二次函数的一般形式．【例1】（2019秋•泰兴市校级月考）下列函数关系式中，y 是x 的二次函数是( )A ．2y ax bx c =++B ．21y x x =-C ．2325y x x ++D ．2(32)(43)12y x x x =+--【思路点拨】根据二次函数的定义，可得答案．【答案】解：A 、a ＝0时，不是二次函数，故A 错误；B 、不是二次函数，故B 错误；C 、是二次函数，故C 正确；D 、不含二次项，不是二次函数，故D 错误；故选：C ．【方法总结】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）是二次函数．【变式1-1】（2019秋•文水县期中）已知函数：①2y ax =；②23(1)2y x =-+；③22(3)2y x x =+-；④21y x x =+．其中，二次函数的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【思路点拨】根据形如y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的函数为二次函数即可得到结论．【答案】解：根据定义②y ＝3（x ﹣1）2+2；③y ＝（x +3）2﹣2x 2是二次函数故选：B ．【方法总结】本题考查二次函数的定义，解题的关键正确理解二次函数的定义，本题属于基础题型．【变式1-2】（2019秋•苍溪县期中）已知函数||(2)1m y m x mx =-+-，其图象是抛物线， 则m 的取值是( )A ．2m =B ．2m =-C ．2m =±D ．0m ≠【思路点拨】根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．【答案】解：∵函数y ＝（m ﹣2）x |m |+mx ﹣1，其图象是抛物线，∴|m |＝2且m ﹣2≠0，解得m ＝﹣2．故选：B ．【方法总结】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）是二次函数，注意二次项的系数不等于零是解题关键．【变式1-3】（2019秋•南康区期中）若22(2)32my m x x -=-+-是二次函数，则m 等于( ) A ．2- B ．2 C ．2±D ．不能确定 【思路点拨】根据二次函数的定义求解即可．【答案】解：由题意，得m 2﹣2＝2，且m ﹣2≠0，解得m ＝﹣2，故选：A ．【考点2 二次函数与一次函数图象】【例2】（2019秋•花都区期中）在同一直角坐标系中2y ax b =+与(0,0)y ax b a b =+≠≠图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题由一次函数y ＝ax +b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数y ＝ax 2+b 的图象相比较看是否一致．【答案】解：A 、由抛物线可知，a ＜0，b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确；B 、由抛物线可知，a ＜0，b ＞0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；C 、由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；D 、由抛物线可知，a ＞0，b ＞0，由直线可知，a ＜0，b ＞0，故本选项错误．故选：A ．【方法总结】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．【变式2-1】（2018秋•厦门期中）在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =+与y bx a =-+的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【思路点拨】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a 、b 的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．【答案】解：A 、对于直线y ＝﹣bx +a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＜0；而对于抛物线y ＝ax 2+bx 来说，对称轴x ＝﹣＞0，在y 轴的右侧，符合题意，图形正确．B 、对于直线y ＝﹣bx +a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y ＝ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C 、对于直线y ＝﹣bx +a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＜0；而对于抛物线y ＝ax 2+bx 来说，对称轴＝﹣＜0，应位于y 轴的左侧，故不合题意，图形错误，D 、对于直线y ＝﹣bx +a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＜0；而对于抛物线y ＝ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．故选：A ．【方法总结】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a 、b 的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．【变式2-2】（2019秋•沂水县期中）在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2()y a x c =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题形数结合，一次函数y ＝ax +b ，可判断a 、c 的符号；根据二次函数y ＝a （x +c ）2的图象位置，可得a ，c ．经历：图象位置﹣系数符号﹣图象位置．【答案】解：A 、函数y ＝ax +c 中，a ＞0，c ＞0，y ＝a （x +c ）2中，a ＜0，c ＜0，故A 错误；B 、函数y ＝ax +c 中，a ＜0，c ＞0，y ＝a （x +c ）2中，a ＞0，c ＞0，故B 正确；C 、函数y ＝ax +c 中，a ＞0，c ＜0，y ＝a （x +c ）2中，a ＞0，c ＞0，故C 错误；D 、函数y ＝ax +c 中，a ＜0，c ＞0，y ＝a （x +c ）2中，a ＞0，c ＜0，故D 错误．故选：B ．【方法总结】此题考查二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键．【变式2-3】（2016秋•工业园区期中）如图，一次函数y x =与二次函数2y ax bx c =++图象相交于A 、B两点，则函数2(1)y ax b x c =+-+的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 有两个交点，且两交点的横坐标均为负数可知：方程ax 2+bx +c ＝x ，即ax 2+（b ﹣1）x +c ＝0有两个同为异号的实数根，根据二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系即可得．【答案】解：由图象知直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 有两个交点，且两交点的横坐标均为负数， ∴方程ax 2+bx +c ＝x ，即ax 2+（b ﹣1）x +c ＝0有两个同为异号的实数根，∴函数y ＝ax 2+（b ﹣1）x +c 的图象与x 轴的负半轴有两个交点，故选：B ．【方法总结】本题主要考查二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系，由题目已知图象得出方程ax 2+bx +c ＝x ，即ax 2+（b ﹣1）x +c ＝0有两个同为异号的实数根是解题的关键．【考点3 二次函数的增减性】【例3】（2018春•利津县期末）设1(2,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 是抛物线2(1)y x k =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为( )A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>【思路点拨】由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴为x ＝﹣1．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．【答案】解：∵二次函数线y ＝﹣（x +1）2+k ，∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x ＝﹣1．∵A （﹣2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y ＝﹣（x +1）2+k 上的三点，而三点横坐标离对称轴x ＝3的距离按由近到远为：（﹣2，y 1）、（1，y 2）、（2，y 3），∴y 1＞y 2＞y 3故选：A ．【方法总结】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．【变式3-1】（2019秋•宣威市校级月考）已知二次函数21572y x x =--+，若自变量x 分别取1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，则对应的函数值1y ，2y ，3y 的大小关系正确的是( )A ．123y y y >>B ．123y y y <<C ．231y y y >>D ．231y y y <<【思路点拨】先根据抛物线的性质得到抛物线对称轴，则x ＞﹣时，y 随x 的增大而减小，于是由0＜x 1＜x 2＜x 3即可得到y 1，y 2，y 3的大小关系．【答案】解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣＝﹣，而抛物线开口向下，所以当x ＞﹣时，y 随x 的增大而减小，所以当0＜x 1＜x 2＜x 3时，y 1＞y 2＞y 3．故选：A ． 【方法总结】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．【变式3-2】（2018秋•建昌县期中）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++<过(3,0)A -，(1,0)B ，1(5,)C y -，2(2,)D y -四点，则1y 与2y 的大小关系是( )A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不能确定【思路点拨】根据A （﹣3，0）、B （1，0）两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，C 、D 两点与对称轴的远近，判断y 1与y 2的大小关系．【答案】解：∵抛物线过A （﹣3，0）、B （1，0）两点，∴抛物线的对称轴为x ＝＝﹣1，∵a ＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，比较可知C 点离对称轴远，对应的纵坐标值小，即y 1＜y 2．故选：C ．【方法总结】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．【变式3-3】（2018•南海区期中）已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示： x ⋯0 1 2 3 ⋯ y⋯ 5 2 1 2 ⋯ 点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在函数的图象上，则当101x <<，223x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是()A ．y 1≥y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1≤y 2【思路点拨】根据题意知图象过（0，5）（1，2）（2，1），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到抛物线的解析式，化成顶点式得到抛物线的对称轴，根据对称性得到A 的对称点，利用增减性即可得出答案．【答案】解：根据题意知图象过（0，5）（1，2）（2，1）， 代入得：且，解得：a ＝1，b ＝﹣4，c ＝5，∴抛物线的解析式是y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1，∴抛物线的对称轴是直线x ＝2，∵0＜x 1＜1，2＜x 2＜3，0＜x 1＜1关于对称轴的对称点在3和4之间，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＞y 2，故选：B ．【方法总结】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键．【考点4 二次函数图象的平移】【例4】（2018秋•花都区期中）抛物线22y x =-经过平移得到22(1)3y x =--+，平移方法是( )A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位【思路点拨】由抛物线y ＝﹣2x 2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y ＝﹣2（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．【答案】解：∵抛物线y ＝﹣2x 2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y ＝﹣2（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），∴平移方法为向右平移1个单位，再向上平移3个单位．故选：D ．【方法总结】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．【变式4-1】（2019•天津校级期中）已知抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为M ．平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( )A ．221y x x =++B ．221y x x =+-C ．221y x x =-+D ．221y x x =--【思路点拨】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A ，B ，M 点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．【答案】解：当y ＝0，则0＝x 2﹣4x +3，（x ﹣1）（x ﹣3）＝0，解得：x 1＝1，x 2＝3，∴A （1，0），B （3，0），y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，∴M 点坐标为：（2，﹣1），∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y ＝（x +1）2＝x 2+2x +1．故选：A ．【方法总结】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．【变式4-2】（2018秋•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，如果抛物线22y x =不动，而把x 轴、y 轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为( )A ．22(2)2y x =-+B ．22(2)2y x =+-C ．22(2)2y x =--D ．22(2)2y x =++【思路点拨】根据平移确定出抛物线的顶点在新坐标系中的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【答案】解：抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为（0，0），∵把x 轴、y 轴分别向下、向右平移2个单位，∴在新坐标系中抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣2），∴抛物线的解析式为y ＝2（x +2）2﹣2．故选：D ．【方法总结】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便易懂．【变式4-3】（2018秋•襄州区期中）将二次函数2y x bx c =++的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到二次函数221y x x =-+的图象，用b ，c 的值分别是( )A ．14b =，8c =-B ．2b =-，4c =C ．8b =-，14c =D ．4b =，2c =-【思路点拨】把二次函数y ＝x 2﹣2x +1的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到y ＝x 2+bx +c 的图象．【答案】解：∵y ＝x 2﹣2x +1＝（x ﹣1）2，∴二次函数y ＝x 2﹣2x +1的图象的顶点坐标为（1，0），把点（1，0）先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（4，﹣2）， ∴原抛物线解析式为y ＝（x ﹣4）2﹣2，即y ＝x 2﹣8x +14，即b ＝﹣8，c ＝14．故选：C ．【方法总结】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．【考点5 二次函数的图象与a ，b ，c 的关系】【例5】（2018秋•渝中区校级期中）已知二次函数的图象如下所示，下列5个结论：①0abc >；②0b a c -->；③42a c b +>-；④30a c +>；⑤()(1a b m am b m +>+≠的实数），其中正确的结论有( )A ．①②③B ．②③④C ．②③⑤D ．③④⑤【思路点拨】由抛物线对称轴的位置判断ab 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案】解：①∵对称轴在y 轴的右侧，∴ab ＜0，由图象可知：c＞0，∴abc＜0，故①不正确；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴b﹣a﹣c＞0，故②正确；③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，∴4a+c＞﹣2b，故③正确；④∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，3a+c＜0，故④不正确；⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．故②③⑤正确，故选：C．【方法总结】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．【变式5-1】（2018秋•苍溪县期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③m（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正确结论的个数有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．【答案】解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∴①正确；∵把x ＝1代入抛物线得：y ＝a +b +c ＜0，∴2a +2b +2c ＜0， ∵﹣＝﹣1，∴b ＝2a ，∴3b +2c ＜0，∴②正确；∵抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，∴y ＝a ﹣b +c 的值最大，即把x ＝m 代入得：y ＝am 2+bm +c ≤a ﹣b +c ，∴am 2+bm +b ≤a ，即m （am +b ）+b ≤a ，∴③正确；∵a +b +c ＜0，a ﹣b +c ＞0，∴（a +c +b ）（a +c ﹣b ）＜0，则（a +c ）2﹣b 2＜0，即（a +c ）2＜b 2，故④正确；故选：D ．【方法总结】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的解的方法，同时注意特殊点的运用．【变式5-2】（2018秋•江岸区期中）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，过(1，1)(2y ，2)y ．①若10y >时，则0a b c ++>②若a b =时，则12y y <③若10y <，20y >，且0a b +<，则0a >④若21b a =-，3c a =-，且10y >，则抛物线的顶点一定在第三象限上述四个判断正确的有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】①若y 1＞0时，当x ＝1时，y 1＝a +b +c ，此时，确定不了y 的值，∴a +b +c ＞0，正确； ②若a ＝b 时，即函数的对称轴是x ＝﹣，分两种情况，a ＝b ＞0，则y 2＞y 1，否则，故y 1＜y 2，故错误； ③若y 1＜0，y 2＞0，即：a +b +c ＜0，4a +2b +c ＞0，而a +b ＜0，即：﹣2a ＜0，a ＞0，正确；④若b ＝2a ﹣1，c ＝a ﹣3，且y 1＞0，即：a +b +c ＞0，把b 、c 的值代入上式得：a ＞1，则b ＞1，c ＞﹣2，代入顶点坐标即可求解，正确．【答案】解：①若y 1＞0时，当x ＝1时，y 1＝a +b +c ＞0此时，正确；②若a ＝b 时，即函数的对称轴是x ＝﹣，也确定不了y 1、y 2的大小，故y 1＜y 2，错误；③若y 1＜0，y 2＞0，即：a +b +c ＜0，4a +2b +c ＞0，解得：﹣3a ﹣b ＜0，而a +b ＜0，即：﹣2a ＜0，∴a ＞0，正确；④若b ＝2a ﹣1，c ＝a ﹣3，且y 1＞0，即：a +b +c ＞0，把b 、c 的值代入上式得：a ＞1，则b ＞1，c ＞﹣2，顶点的x 坐标＝﹣＜0，顶点的y 坐标＝＝﹣2﹣＜0，故顶点一定在第三象限，正确；故选：C ．【方法总结】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，涉及到函数基本性质、解不等式等相关知识，难度较大．【变式5-3】（2019•凉山州）二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，有以下结论：①30a b -=；②240b ac ->；③520a b c -+>；④430b c +>，其中错误结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】①对称轴为x＝﹣，得b＝3a；②函数图象与x轴有两个不同的交点，得△＝b2﹣4ac＞0；③当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，得5a﹣2b+c＞0；④由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，当x＝1时a+b+c＜0，4b+3c＝3b+b+3c ＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0；【答案】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣，∴x＝﹣＝﹣，∴b＝3a，①正确；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，②正确；当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，∴10a﹣4b+2c＞0，∴5a﹣2b+c＞0，③正确；由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，∴当x＝1时a+b+c＜0，∵b＝3a，∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，∴4b+3c＜0，④错误；故选：A ．【方法总结】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．【考点6 二次函数与一元二次方程之间的关系】【例6】（2019春•天心区校级期中）函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于一元二次方程220ax bx c ++-=的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根【思路点拨】由图可知ax 2+bx +c ﹣2＝0的根的情况即图中图象和x 轴交点的横坐标，为两个不相等的正数．【答案】解：∵函数的顶点的纵坐标为3，∴直线y ＝3与函数图象只有一个交点，∴y ＝ax 2+bx +c ﹣2，相当于函数y ＝ax 2+bx +c 的图象向下平移2个单位，∴方程ax 2+bx +c ﹣2＝0的根为两个不相等的实数根．故选：A ．【方法总结】本题考查了二次函数与一元二次方程的知识，关键是通过看图象直线y ＝3与抛物线的交点个数．【变式6-1】（2019春•安吉县期中）如图，抛物线2y x mx =-+的对称轴为直线2x =，若关于x 的一元二次方程20(x mx t t +-=为实数）在13x <<的范围内有解，则t 的取值范围是( )A ．﹣5＜t ≤4B ．3＜t ≤4C ．﹣5＜t ＜3D ．t ＞﹣5【思路点拨】先利用抛物线的对称轴方程求出m 得到抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x ，配方得到抛物线的顶点坐标为（2，4），再计算出当x ＝1或3时，y ＝3，结合函数图象，利用抛物线y ＝﹣x 2+4x 与直线y ＝t 在1＜x ＜3的范围内有公共点可确定t 的范围．【答案】解：∵抛物线y ＝﹣x 2+mx 的对称轴为直线x ＝2， ∴﹣＝2，解得m ＝4，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x ，抛物线的顶点坐标为（2，4），当x ＝1时，y ＝﹣x 2+4x ＝3；当x ＝3时，y ＝﹣x 2+4x ＝3，∵关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣t ＝0（t 为实数）在1＜x ＜3的范围内有解，∴抛物线y ＝﹣x 2+4x 与直线y ＝t 在1＜x ＜3的范围内有公共点，∴3＜t ≤4．故选：B ．【方法总结】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．【变式6-2】（2018秋•福清市期中）函数21y x x =+-中x 与y 的对应关系如下表所示，方程210x x +-=两实数根中有一个正根1x ，下列对1x 的估值正确的是( ) x ⋯0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 ⋯ y ⋯ 0.25- 0.1475- 0.04- 0.0725 0.19 0.3125 ⋯A ．10.50.55x <<B ．10.550.6x <<C ．10.60.65x <<D ．10.650.7x << 【思路点拨】利用x ＝0.6时，y ＝x 2+x ﹣1＝﹣0.04；x ＝0.65时，y ＝x 2+x ﹣1＝0.0725，从而可判断当0.6＜x ＜0.65时，y ＝x 2+x ﹣1的值能等于0，从而得到方程x 2+x ﹣1＝0一个正根x 1的范围．【答案】解：∵x ＝0.6时，y ＝x 2+x ﹣1＝﹣0.04；x ＝0.65时，y ＝x 2+x ﹣1＝0.0725，∴当0.6＜x ＜0.65时，y ＝x 2+x ﹣1的值能等于0，∴方程x 2+x ﹣1＝0两实数根中有一个正根x 1，则0.6＜x 1＜0.65．故选：C ．【方法总结】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．【变式6-3】（2019秋•萧山区期中）已知关于x 的方程2()()0x m x n +--=，存在a ，b 是方程2()()0x m x n +--=的两个根，则实数m ，n ，a ，b 的大小关系可能是( )A ．m a b n <<<B ．m a n b <<<C ．a m b n <<<D ．a m n b <<<【思路点拨】令抛物线解析式中y ＝0，得到方程的解为a ，b ，即为抛物线与x 轴交点的横坐标为a ，b ，再由抛物线开口向上得到a ＜x ＜b 时y 小于0，得到x ＝m 与n 时函数值大于0，即可确定出m ，n ，a ，b 的大小关系．【答案】解：令函数y ＝2+（x ﹣m ）（x ﹣n ）＝x 2﹣（m +n ）x +mn +2，∴抛物线开口向上，令y ＝0，根据题意得到方程（x ﹣m ）（x ﹣n ）＝﹣2的两个根为a ，b ，∵当x ＝m 或n 时，y ＝2＞0，∴实数m ，n ，a ，b 的大小关系为m ＜a ＜b ＜n ．故选：A ．【方法总结】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，难度较大，熟练掌握抛物线的性质是解本题的关键．【考点7 二次函数解析式】【例7】经过(4,0)A ，(2,0)B -，(0,3)C 三点的抛物线解析式是 ．【思路点拨】根据A 与B 坐标特点设出抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）（x ﹣4），把C 坐标代入求出a 的值，即可确定出解析式．【答案】解：根据题意设抛物线解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣4），把C （0，3）代入得：﹣8a ＝3，即a ＝﹣，则抛物线解析式为y ＝﹣（x +2）（x ﹣4）＝﹣x 2+x +3，故答案为y ＝﹣x 2+x +3．【方法总结】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【变式7-1】若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表： x 7- 6- 5- 4-3- 2- y 27- 13- 3- 3 53 则二次函数的解析式为 ．【思路点拨】取三组对应值（﹣4，3）、（﹣3，5）、（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+c得到关于a、b、c 的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值，从而得到抛物线解析式．【答案】解：把（﹣4，3）、（﹣3，5）、（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+c得，解得．所以抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣12x﹣13．故答案为y＝﹣2x2﹣12x﹣13．【方法总结】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【变式7-2】（2019秋•荣成市期中）二次函数在32x=时，有最小值14-，且函数的图象经过点(0,2)，则此函数的解析式为．【思路点拨】由条件可知其顶点坐标为（，），可设顶点式，再把点（0，2）代入可求得函数的解析式．【答案】解：∵二次函数在x＝时，有最小值，∴抛物线的顶点是（，），∴设此函数的解析式为y＝a（x﹣）2﹣，∵函数图象经过点（0，2），∴2＝a（0﹣）2﹣，解得a＝1，∴此函数的解析式为y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣3x+2．故答案为y＝x2﹣3x+2．【方法总结】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点式设二次函数的解析式．【变式7-3】（2013秋•潜山县校级月考）抛物线2y ax bx c =++与x 轴两个交点为(1,0)-，(3,0)，其形状与抛物线22y x =相同，则抛物线解析式为 ． 【思路点拨】根据抛物线形状相同则a 的值相同，再将（﹣1，0），（3，0）代入抛物线求出b ，c 的值即可．【答案】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y ＝2x 2相同，∴或，∴解得：或，∴抛物线解析式为：y ＝2x 2﹣4x ﹣6或y ＝﹣2x 2+4x +6．故答案为：y ＝2x 2﹣4x ﹣6或y ＝﹣2x 2+4x +6．【方法总结】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，得出a 的值是解题关键．【考点8 二次函数的应用—销售问题】【例8】（2018秋•鼓楼区校级期中）某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件)与销售单价x （元)之间的关系可近似的看作一次函数：20800y x =-+，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设该公司每月获得利润为w （元)，求每月获得利润w （元)与销售单价x （元)之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；【答案】解：（1）由题意，得：w ＝（x ﹣15）•y ＝（x ﹣15）•（﹣20x +800）＝﹣20x 2+1100x ﹣12000， 即w ＝﹣20x 2+1100x ﹣12000（15≤x ≤24）；（2）对于函数w ＝﹣20x 2+1100x ﹣12000（15≤x ≤24）的图象的对称轴是直线x ＝27.5又∵a ＝﹣20＜0，抛物线开口向下．∴当15≤x≤24时，W随着x的增大而增大，∴当x＝24时，W＝2880，答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2880元．【方法总结】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．【变式8-1】（2019春•宿豫区期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y元．（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？【思路点拨】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解；（2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，结合二次函数的性质求解；【答案】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，∵20+2x≥44，∴x≥12，∵y随x的增大而减小，∴当x＝12时，获利最大值1232；答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴x＝10或x＝20，∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，当10≤x≤20时，y≥1200，答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元；【方法总结】本题考查一次函数和二次函数的性质；能够从情境中列出函数关系式，借助函数的性质解决实际问题；【变式8-2】（2019春•安吉县期中）为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为21000m 的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为2()x m ，种草所需费用1y （元)与2()x m 的函数关系图象如图所示，栽花所需费用2y （元)与2()x m 的函数关系式为220.012030000(01000)y x x x =--+．（1）求1y （元)与2()x m 的函数关系式；（2）设这块21000m 空地的绿化总费用为W （元)，请利用W 与x 的函数关系式，求绿化总费用W 的最大值．【思路点拨】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y 1（元）与x （m 2）的函数关系式（2）总费用为W ＝y 1+y 2，列出函数关系式即可求解【答案】解：（1）依题意当0≤x ≤600时，y 1＝k 1x ，将点（600，18000）代入得18000＝600k 1，解得k 1＝30 ∴y 1＝30x当600＜x ≤1000时，y 1＝k 2x +b ，将点（600，18000），（1000，26000）代入得 ，解得∴y 1＝20x +600综上，y 1（元）与x （m 2）的函数关系式为：（2）总费用为：W ＝y 1+y 2∴W ＝ 整理得故绿化总费用W的最大值为32500元【方法总结】本题主要考查二次函数在生活中的实际应用．根据函数解析式即可求最大值，但要注意自变量的取值范围．【变式8-3】（2019秋•沂源县期末）某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件)与时间t（天)的关系如下表：时间t（天) 1 3 5 10 36 ⋯94 90 86 76 24 ⋯日销售量m（件)未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1＝t+25（1≤t≤20且t 为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件)与t（天)之间的表达式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【思路点拨】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．【答案】解：（1）经分析知：m与t成一次函数关系．设m＝kt+b（k≠0），将t＝1，m＝94，t＝3，m＝90代入，解得，∴m＝﹣2t+96；（2）前20天日销售利润为P1元，后20天日销售利润为P2元，则P1＝（﹣2t+96）（t+25﹣20）＝﹣（t﹣14）2+578，∴当t＝14时，P1有最大值，为578元．。
举一反三练习题及讲解高中
举一反三练习题及讲解高中### 高中数学举一反三练习题及讲解#### 练习题一：函数的单调性题目：给定函数 \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1 \) ，判断其在区间 \( (-\infty, +\infty) \) 上的单调性，并说明理由。
解答：首先，我们需要求出函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。
对\( f(x) \) 求导得到：\[ f'(x) = 6x^2 - 6x \]接下来，我们要找出导数的零点，即解方程 \( 6x^2 - 6x = 0 \)。
这可以简化为 \( x(x - 1) = 0 \)，得到 \( x = 0 \) 或 \( x = 1 \)。
然后，我们分析导数在不同区间的符号：- 当 \( x < 0 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，所以 \( f(x) \) 在\( (-\infty, 0) \) 上单调递增。
- 当 \( 0 < x < 1 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，所以 \( f(x) \) 在\( (0, 1) \) 上单调递减。
- 当 \( x > 1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，所以 \( f(x) \) 在\( (1, +\infty) \) 上单调递增。
#### 练习题二：几何图形的面积计算题目：在一个直角三角形中，已知斜边长为 \( c \)，一条直角边长为 \( a\)，求另一条直角边 \( b \) 的长度，并计算三角形的面积。
解答：根据勾股定理，我们知道：\[ a^2 + b^2 = c^2 \]要解出 \( b \)，我们可以将等式重新排列：\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} \]接着，计算三角形的面积 \( A \)，使用公式：\[ A = \frac{1}{2} \times a \times b \]\[ A = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{c^2 - a^2} \]#### 练习题三：概率的计算题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
专题6.1函数-重难点题型(教师版含解析)2022年八年级数学上册举一反三系列(苏科版)_
专题6.1函数-重难点题型【苏科版】【知识点1函数的概念】一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．【知识点2求函数的值】(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．【题型1常量与变量】【例1】如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．【解题思路】根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x 的关系．再根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．【解答过程】解：由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，两图形重合的长度为AM＝x，∵∠BAC＝45°，∴S阴影=12×AM×h=12AM2=122，则y=12x2，0＜x≤10，其中的常量为12，变量为重叠部分的面积y与MA的长度x．【变式1-1】．用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形的棋子数y＝（用含n的代数式表示），其中变量是．【解题思路】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．【解答过程】解：第一个图需棋子4；第二个图需棋子4+3＝7；第三个图需棋子4+3+3＝10；…第n个图需棋子4+3（n﹣1）＝（3n+1）枚．其中变量是n，y．故答案为：3n+1；y，n．【变式1-2】按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．（1）题中有几个变量？（2）你能写出两个变量之间的关系吗？【解题思路】由图形可知，第一张餐桌上可以摆放6把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放4把椅子．x张餐桌共有6+4（x﹣1）＝4x+2．【解答过程】解：（1）观察图形：x＝1时，y＝6，x＝2时，y＝10；x＝3时，y＝14；…可见每增加一张桌子，便增加4个座位，因此x张餐桌共有6+4（x﹣1）＝4x+2个座位．故可坐人数y＝4x+2，故答案为：有2个变量；（2）能，由（1）分析可得：函数关系式可以为y＝4x+2．【变式1-3】在烧开水时，水温达到100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：（1）上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？（3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？（4）时间为8分钟，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？（5）根据表格，你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少？（6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？【解题思路】（1）在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断；（2）根据表格中数据得出水的温度变化即可；（3）根据表格中数据得出水的温度变化即可；（4）根据表格中数据得出水的温度，进而可得出时间为9分钟时，水的温度；（5）根据表格中数据得出水的温度变化规律即可；（6）根据表格中数据得出答案即可．【解答过程】解：（1）上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量；（2）水的温度随着时间的增加而增加，到100℃时恒定；（3）时间推移2分钟，水的温度增加14度，到10分钟时恒定；（4）时间为8分钟，水的温度是86℃，时间为9分钟，水的温度是93℃；（5）根据表格，时间为16分钟和18分钟时水的温度均为100℃；（6）为了节约能源，应在10分钟后停止烧水．【题型2判断函数关系】【例2】（2021春•海淀区期末）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数，④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解题思路】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可判断函数．【解答过程】解：因为这是球形容器，①S是V的函数，故符合题意，②V不是S的函数，故不符合题意，③h不是S的函数，故不符合题意，④S是h的函数．故符合题意．故选：B．【变式2-1】（2021春•开福区校级月考）下列式子中，y不是x的函数的是（）A．y＝x2B．y＝|x|C．y＝2x+1D．=±（x≥0）【解题思路】利用函数的定义：给定一个自变量的值，都有唯一确定的函数值与其对应可得答案．【解答过程】解：A、y＝x2，y是x的函数，故此选项不合题意；B、y＝|x|，y是x的函数，故此选项不合题意；C、y＝2x+1，y是x的函数，故此选项不合题意；D、y＝±，y不是x的函数，故此选项符合题意；故选：D．【变式2-2】（2021春•邯郸期末）下列不能表示y是x的函数的是（）A．x051015y3 3.54 4.5B．C．D．x1357y2﹣140.2【解题思路】根据函数的定义，一个x只能对应一个y，函数的表示方法有列表法，图像法，和解析式法，根据此定义判断即可．【解答过程】解：A和D选项是用列表法表示的函数，一个x只对应了一个y，∴y是x的函数，∴A选项，D选项不合题意，B选项从图象上看，一个x对应了两个y的值，不符合函数定义，∴B选项符合题意，C选项是用图象表示的函数关系，一个x只对应一个y，∴y是x的函数，∴C选项不合题意，故选：B．【变式2-3】（2021春•贵港期末）下列各曲线中能表示y不是x的函数的是（）A．B．C．D．【解题思路】根据函数的定义判断．【解答过程】解：根据函数的定义：在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么y是x的函数．∴A、C、D选项y是x的函数，但B选项中，x的每一个确定的值，y有两个值与之对应，那么B选项y 不是x的函数．故选：B．【题型3函数的关系式】【例3】（2020春•兰州期末）如图所示，在一个边长为12cm的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？（2）如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积为ycm2，请写出y与x的关系式；（3）当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积是怎样变化的？【解题思路】（1）根据当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，则小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量；（2）根据阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小正方形的面积，即可解答；（3）根据当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，x增大，x2也随之增大，﹣4x2则随着x的增大而减小，所以y随着x的增大而减小．【解答过程】解：（1）∵当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，∴小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量；（2）由题意可得：y＝122﹣4x2＝144﹣4x2．（3）由（2）知：y＝144﹣4x2，当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，x增大，x2也随之增大，﹣4x2则随着x的增大而减小，所以y 随着x的增大而减小，当x＝1cm时，y有最大值，最大=144−4×12=140（cm2）．当x＝5cm时，y有最小值，y最小＝144﹣4×52＝44（cm2）．∴当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积由140cm2变到44cm2【变式3-1】（2021春•宁津县期末）如图，△ABC的边BC长12cm，乐乐观察到当顶点A沿着BC边上的高AD所在直线上运动时，三角形的面积发生变化．在这个变化过程中，如果三角形的高为x（cm），那么△ABC的面积y（cm2）与x（cm）的关系式是．【解题思路】利用三角形的面积公式即可得到关系式．【解答过程】解：∵△ABC的面积=12BC•x=12×12•x＝6x，∴y与x的关系式为：y＝6x．故答案为：y＝6x．【变式3-2】（2021春•垦利区期末）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化（1）在上述变化过程中，自变量是；因变量是．（2）用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量．请将表格补充完整：行驶路程x（千米）100200300400油箱内剩油量y（升）4024（3）试写出y与x的关系式．（4）这辆汽车行驶350千米时剩油多少升？汽车剩油8升时，行驶了多少千米？【解题思路】（1）根据已知得出即可；（2）根据题意列出算式，即可求出答案；（3）根据题意得出y＝56﹣0.08x即可；（4）把x＝350和y＝8分别代入，即可求出答案．【解答过程】解：（1）在上述变化过程中，自变量是汽车行驶路程；因变量是邮箱内剩油量，故答案为：汽车行驶路程，邮箱内剩油量；（2）56﹣0.08×100＝48，56﹣0.08×300＝32，（3）y与x的关系式是y＝56﹣0.08x，故答案为：y＝56﹣0.08x；（4）当x＝350时，y＝56﹣0.08×350＝28，所以汽车行驶350千米时剩油28升；当y＝8时，56﹣0.08x＝8，解得：x＝600，所以汽车行驶600千米时剩油8升．【变式3-3】如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．（1）观察图形填写下表：链条节数（节）234链条长度（cm） 4.2 5.97.6（2）如果x节链条的总长度是y，求y与x之间的关系式；（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条完成链接（安装到自行车上）后，总长度是多少cm？【解题思路】（1）根据图形找出规律计算4节链条的长度即可；（2）由（1）写出表示链条节数的一般式；（3）根据（2）计算时，特别注意自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8．【解答过程】解：（1）根据图形可得出：2节链条的长度为：2.5×2﹣0.8＝4.2，3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2＝5.9，4节链条的长度为：2.5×4﹣0.8×3＝7.6．故答案为：4.2，5.9，7.6；（2）由（1）可得x节链条长为：y＝2.5x﹣0.8（x﹣1）＝1.7x+0.8；∴y与x之间的关系式为：y＝1.7x+0.8；（3）因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8，故这辆自行车链条的总长为1.7×80＝136厘米，所以80节这样的链条总长度是136厘米．【题型4求函数的值】【例4】（2020春•万州区期末）若定义f（x）＝3x﹣2，如f（﹣2）＝3×（﹣2）﹣2＝﹣8．下列说法中：①当f（x）＝1时，x＝1；②对于正数x，f（x）＞f（﹣x）均成立；③f（x﹣1）+f（1﹣x）＝0；④当且仅当a＝2时，f（a﹣x）＝a﹣f（x）．其中正确的是①②④．（填序号）【解题思路】根据函数的定义，计算即可判断；【解答过程】解：∵f（x）＝1，∴3x﹣2＝1，∴x＝1，故①正确，f（x）﹣f（﹣x）＝3x﹣2﹣（﹣3x﹣2）＝6x，∵x＞0，∴f（x）＞f（﹣x），故②正确，f（x﹣1）+f（1﹣x）＝3（x﹣1）﹣2+3（1﹣x）﹣2＝﹣4，故③错误，∵f（a﹣x）＝3（a﹣x）﹣2＝3a﹣3x﹣2，a﹣f（x）＝a﹣（3x﹣2），∵a＝2，∴f（a﹣x）＝a﹣f（x）．故答案为①②④．【变式4-1】（2021•碑林区校级模拟）变量x，y的一些对应值如下表：x…﹣2﹣10123…y…141011419…根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是（）A．15B．125C．−15D．−125【解题思路】据表格数据得到函数为y=12，把x＝﹣5代入求得即可．【解答过程】解：根据表格数据可知，当x＝﹣1时，y＝1；当x＝1时，y＝1；当x＝﹣2时，y=14；当x＝2时，y=14；可得函数的解析式为y=12，当x＝﹣5时，y=1(−5)2=125．故选：B．【变式4-2】（2021•达州）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为2．【解题思路】将x＝3代入y＝|x|﹣1（x≤4）求解．【解答过程】解：∵3＜4，∴把x＝3代入y＝|x|﹣1得y＝3﹣1＝2，故答案为2．【变式4-3】（2008•防城港）已知x为实数．y、z与x的关系如表格所示：根据上述表格中的数字变化规律，解答下列问题：（1）当x为何值时，y＝430？（2）当x为何值时，y＝z？x y z………330×3+702×1×8430×4+702×2×9530×5+702×3×10630×6+702×4×11………【解题思路】由图片中的信息可得出：当x为n（n≥3）时，y应该表示为30×n+70，z就应该表述为2×（n﹣2）（5+n）；那么由此可得出（1）（2）中所求的值．【解答过程】解：∵y＝30×x+70，z＝2×（x﹣2）（5+x）（1）当x＝12时，y＝30×12+70＝430；（2）∵y＝z，即30×x+70＝2×（x﹣2）（5+x），解得：x＝﹣3或15．【知识点3函数的图象】把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．【题型5函数的图象】【例5】（2021•三元区校级开学）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的长度为120米；②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒；④隧道长度为750米．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】根据函数的图象即可确定在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，进而即可确定其它答案．【解答过程】解：火车的长度是150米，故①错误；在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故②正确；整个火车都在隧道内的时间是：35﹣5﹣5＝25（秒），故③正确；隧道长是：35×30﹣150＝1050﹣150＝900（米），故④错误．正确结论有②③共2个．故选：B．【变式5-1】（2021春•番禺区校级期中）小新骑车去学校，骑了一会后车子出了故障，修了一会，然后继续骑车去学校．如果用横坐标表示时间t，纵坐标表示路程s，下列各图能较好地反映s与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．【解题思路】通过小新先运动然后停止运动然后再运动对比图象求解．【解答过程】解：小新开始骑车去学校，所以S随t增大而增大，车子出故障后S不随时间变化而变化，最后恢复运动，S继续随时间增大而增大，观察图象，C满足题意．故选：C．【变式5-2】（2021春•任城区期末）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（）A．小明家和学校距离1200米B．小华乘公共汽车的速度是240米/分C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇D．小明从家到学校的平均速度为80米/分【解题思路】根据已知信息和函数图象的数据，一次解答每个选项【解答过程】解：由图象可知，小华和小明的家离学校1200米，故A正确；根据图象，小华乘公共汽车，从出发到到达学校共用了13﹣8＝5（分钟），所以公共汽车的速度为1200÷5＝240（米/分），故B正确；小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是8+480÷240＝10（分钟），即7：50相遇，故C正确；小明从家到学校的时间为20分钟，所以小明的平均速度为1200÷20＝60（米/分），故D错误．故选：D．【变式5-3】（2021•沙坪坝区校级开学）夏季是雷雨高发季节，为缓解暴雨带来的洪灾问题，某村在道路内侧新建了一个排水渠排水（横截面如图），某天突发暴雨，排水渠开始积水，水位上涨，暴雨停歇后，排水渠继续排水至积水全部排出，假设排水速度为5v，进水速度为7v，下列图象中，能反映以上过程排水渠中水位高度h与时间t的关系的大致图象是（）A．B．C．D．【解题思路】根据题意可知在暴雨前水渠中水位高度h为0，在下暴雨过程中，由于进水速度大于排水速度，所以水渠中水位高度h逐渐增高，当暴雨停歇后，只排水，所以函数图形为先缓，后陡．据此判断即可．【解答过程】解：在下暴雨过程中，由于进水速度大于排水速度，所以水渠中水位高度h逐渐增高，当暴雨停歇后，只排水，所以函数图形为先缓，后陡．故选项B符合题意．故选：B．【题型6动点问题的函数图象】【例6】（2021春•济南期中）如图1，在长方形ABCD中，点P从B点出发沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后又恢复为每秒m个单位匀速运动．在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图2所示，则m、a、b的值分别是（）A．m＝1，a＝5，b＝11B．m＝1，a＝4，b＝12C．m＝1.5，a＝5，b＝12D．m＝1，a＝4，b＝11＝16，求出BC的长；当t＝a时，S△ABP＝8，【解题思路】由图象可知，CD的长度，当t＝6时，S△ABP＝4，从而求得b的值；则点P此时在BC的中点处，从而得出a和m的值，当t＝b时，S△ABP【解答过程】解：从图象可知，当6≤t≤8时，△ABP面积不变，即6≤t≤8时，点P从点C运动到点D，且这时速度为每秒2个单位，∴CD＝2×（8﹣6）＝4，∴AB＝CD＝4，＝16，当t＝6时（点P运动到点C），S△ABP∴12AB•BC＝16，即12×4×B=16，∴BC＝8，∴长方形的长为8，宽为4，＝8=12×4×BP，当t＝a时，S△ABP即点P此时在BC的中点处，∴PC=12BC=12×8＝4，∴2（6﹣a）＝4，∴a＝4，∵BP＝PC＝4，∴m＝BP÷a＝4÷4＝1，=12AB•AP＝4，当t＝b时，S△ABP∴12×4×AP＝4，AP＝2，∴b＝13﹣2＝11，∴m＝1，a＝4，b＝11，故选：D．【变式6-1】（2021春•怀安县期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠DCB＝30°，动点E 从B点出发，沿B﹣C﹣D﹣A运动至A点停止，设运动的路程为x，△ABE的面积为y，则y与x的函数图象用图象表示正确的是（）A．B．C．D．【解题思路】当点E在BC上运动时，三角形的面积不断增大，当点E在DC上运动时，三角形的面积不变，当点E在AD上运动时三角形的面积不等减小，然后计算出三角形的最大面积即可得出答案．【解答过程】解：当点E在BC上运动时，三角形的面积不断增大，最大面积=12×3×12×4＝3；当点E在DC上运动时，三角形的面积为定值3．当点E在AD上运动时三角形的面不断减小，当点E与点A重合时，面积为0．故选：D．【变式6-2】（2021春•平顶山期末）如图①，四边形ABCD是长方形，动点E从B出发，以1厘米/秒的速度沿着B→C→D→A运动至点A停止．记点E的运动时间为t（秒），△ABE的面积为S（平方厘米），其中S与t的函数关系如图②所示，那么下列说法错误的是（）A．AB＝3厘米B．长方形ABCD的周长为10厘米C．当t＝3秒时，S＝3平方厘米D．当S＝1.5平方厘米时，t＝6秒【解题思路】通过图②发现：t＝2、5、7时，△ABE的面积为S的变化趋势发生变化得到长方形的长和宽，从而判断出A、B选项正确；t＝3秒时点E在DA上运动根据三角形面积公式可判断C正确；S＝1.5平方厘米时，点E可能在BC上，也可能在DA上，求出此时的t值即可．【解答过程】解：∵0≤t≤2时，△ABE的面积S越来越大，∴0≤t≤2时，动点E在BC上运动，∴BC＝2×1＝2（厘米）．∵2≤t≤5时，△ABE的面积S不变，∴0≤t≤2时，动点E在CD上运动，∴CD＝AB＝（5﹣2）×1＝3（厘米）．∴A选项正确，不符合题意．长方形ABCD的周长＝（3+2）×2＝10（厘米），∴B选项正确，不符合题意．∵2＜3＜5，∴当t＝3秒时，动点E在CD上运动，S＝3×2÷2＝3（平方厘米），∴B选项正确，不符合题意．∵S＝1.5＜3，∴S＝1.5平方厘米时，点E在BC或DA上，当点E在DA上时，t×3×12=1.5，解得：t＝1，当点E在DA上时，（t﹣3﹣2）×3×12=1.5，解得：t＝6，∴S＝1.5平方厘米时，t＝6或1．∴D选项错误，符合题意．故选：D．【变式6-3】（2021春•南海区期末）如图，在正方形ABMF中剪去一个小正方形CDEM，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→E→F的路线绕多边形的边匀速运动到点F时停止，则△APF的面积S随着时间t 变化的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】根据点P在AB、BC、CD、DE、EF上时，△APF的面积S与时间t的变化趋势确定函数图象．【解答过程】解：当点P在AB上时，△APF的底AF不变，高增大，所以△APF的面积S随着时间t的增大而增大；当点P在BC上时，△APF的底AF不变，高不变，所以△APF的面积S不变；当点P在CD上时，△APF的底AF不变，高减小，所以△APF的面积S随着时间t的增大而减小；当点P在DE上时，△APF的底AF不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在EF上时，△APF的底AF不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而减小．故选：C．。
专题1.3.2 函数的奇偶性重难点题型(举一反三)(解析版)
1.3.2 函数的奇偶性重难点题型【举一反三系列】知识链接举一反三【考点1 判断一般函数的奇偶性】【练1】下列函数为偶函数的是（）A．f（x）＝x2（﹣1＜x＜3）B．f（x）C．f（x）＝x4﹣1 D．f（x）＝x【思路分析】根据偶函数的定义和性质分别进行判断．【答案】解：A．函数f（x）的定义域关于原点不对称，∴函数f（x）为非奇非偶函数．B．函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当f（x），为奇函数，不满足条件．C．函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）＝x4﹣1＝f（x），∴f（x）是偶函数，满足条件．D．函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，不满足条件．故选：C．【练1.2】下列函数中是奇函数的为（）A．y＝x3﹣x2B．y＝|x﹣1| C．y＝﹣3x3+x D．y【思路分析】运用函数的奇偶性的定义，即可判断各个选项的奇偶性．【答案】解：对于A，y＝f（x）＝x3﹣x2，由f（﹣x）＝﹣x3﹣x2≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f（x），可得f（x）为非奇非偶函数；对于B，y＝f（x）＝|x﹣1|，f（﹣x）＝|﹣x﹣1|≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f（x），可得f（x）为非奇非偶函数；对于C，y＝f（x）＝﹣3x3+x，由f（﹣x）＝3x3﹣x＝﹣f（x），则f（x）为奇函数；对于D，y＝f（x）|x|，由f（﹣x）＝|﹣x|＝f（x），则f（x）为偶函数．故选：C．【练1.2】判断下列函数的奇偶性（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣1|（2）f（x）（3）f（x）（4）f（x）＝x2，x∈[﹣2，3]．【思路分析】由题设条件可以看出，可以用函数奇偶性的定义对这个函数进行验证，以确定其性质．【答案】解：（1）∵函数f（x）＝|1+x|+|x﹣1|的定义域为R，关于原点对称，又f（﹣x）＝|﹣x+1|+|﹣x﹣1|＝|x+1|+|x﹣1|＝f（x）∴f（x）是偶函数；（2）定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）f（x），∴f（x）是奇函数；（3）定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，非奇非偶函数；（4）定义域为{x∈[﹣2，3]，不关于原点对称，非奇非偶函数．【练1.3】判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+2|（2）f（x）＝x（3）f（x）（4）f（x）（5）f（x）（6）f（x）（7）f（x）（8）f（x）【思路分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系，可得结论．【答案】解：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+2|，满足f（﹣x）＝f（x）恒成立，为偶函数；（2）f（x）＝x的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；（3）f（x）的定义域为{1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；（4）f（x）的定义域为{﹣1，1}，且f（x）＝0 恒成立，故函数即是奇函数，又是偶函数；（5）f（x）的定义域为[﹣2，2]，但f（﹣x）＝﹣f（x）与f（﹣x）＝f（x）均不恒成立，故为非奇非偶函数；（6）f（x）的定义域为[﹣2，2]，满足f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，为奇函数；（7）f（x）的定义域为[﹣2，2]，满足f（﹣x）＝f（x）恒成立，为偶函数；（8）f（x）的定义域为{﹣2，2}，且f（x）＝0 恒成立，故函数即是奇函数，又是偶函数．【考点2 判断分段函数的奇偶性】【练2】判断函数f（x），，，，的奇偶性．【思路分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再逐段判断f（x）与f（﹣x）的关系，进而根据偶函数的定义，得到结论．【答案】解：函数f（x），，，，的定义域（﹣6，﹣1]∪[1，6）关于原点对称，当x∈（﹣6，﹣1]时，﹣x∈[1，6），此时f（x）＝（x+5）2﹣4，f（﹣x）＝（﹣x﹣5）2﹣4＝（x+5）2﹣4，即f（x）＝f（﹣x）；当x∈[1，6）时，﹣x∈（﹣6，﹣1]，此时f（x）＝（x﹣5）2﹣4，f（﹣x）＝（﹣x+5）2﹣4＝（x﹣5）2﹣4，即f（x）＝f（﹣x）；综上，f（x）＝f（﹣x）在定义域内恒成立，故数f（x），，，，为偶函数【练2.1】判断函数f（x）＜＞的奇偶性．【思路分析】函数f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，有﹣x＜0，f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数．【答案】解：∵函数f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，有﹣x＜0，∴f（﹣x）＝（﹣x）[1﹣（﹣x）]＝﹣x（1+x）＝﹣f（x）（x＞0）．当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝﹣x（1﹣x）＝﹣f（x）（x＜0）．故函数f（x）为奇函数．【练2.2】判断函数f（x），＞，＜的奇偶性．【思路分析】根据奇函数和偶函数的定义，思路分析函数是否满足定义，可得结论．【答案】解：f（x），＞，＜的定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，当x＞0时，﹣x＜0，此时f（x），f（﹣x），满足f（﹣x）＝﹣f（x），当x＜0时，﹣x＞0，此时f（x），f（﹣x），满足f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x），＞，＜为奇函数．【练2.3】判断函数f（x）＜＞的奇偶性．【思路分析】按照函数的奇偶性的判断，首先求出函数的定义域，然后判断是否关于原点对称，如果对称，再利用奇偶性的定义判断f（﹣x）与f（x）的关系；如果不对称，函数是非奇非偶的函数．【答案】解：定义域为R，当x＜﹣1时，∵﹣x＞1，∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）+3＝x+3＝f（x）；当x＞1时，∵﹣x＜﹣1，∴f（﹣x）＝﹣x+3＝f（x）；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝f（x）＝0，∴f（x）为偶函数．【考点3 判断抽象函数的奇偶性】【练3】函数f（x），g（x）在区间[﹣a，a]上都是奇函数，有下列结论：①f（x）+g（x）在区间[﹣a，a]上是奇函数；②f（x）﹣g（x）在区间[﹣a，a]上是奇函数；③f（x）•g（x）在区间[﹣a，a]上是偶函数．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路分析】运用奇偶性的定义，注意变形运算，对选项一一加以判断即可得到．【答案】解：函数f（x），g（x）在区间[﹣a，a]上都是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），①令F（x）＝f（x）+g（x），则F（﹣x）＝f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）﹣g（x）＝﹣F（x），则为奇函数，故①对；②令H（x）＝f（x）﹣g（x），则H（﹣x）＝f（﹣x）﹣g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）＝﹣H（x），则为奇函数，故②对；③令R（x）＝f（x）•g（x），则R（﹣x）＝f（﹣x）g（﹣x）＝（﹣f（x））•（﹣g（x））＝R（x），则为偶函数，故③对．则正确个数为3，故选：D．【练3.1】设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（﹣x）是奇函数D．|g（x）|是奇函数【思路分析】由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．【答案】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）为奇函数，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）g（x）为奇函数，|f（x）|g（x）为奇函数，故选：C．【练3.2】已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），求证：f（x）是奇函数；【思路分析】利用赋值法即可求f（0），根据函数f（x）的奇偶性的定义，利用赋值法即可得到结论．【答案】解：∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y），令x＝y＝0，得：f（0）＝f（0）+f（0），∴f（0）＝0，令y＝﹣x，得f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数．【练3.3】已知函数f（x），当a，b∈R时，恒有f（a）＝f（）+f（）．（1）若f（1）＝﹣2，求f（2），f（3）的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性．【思路分析】（1）对于，可令，，则x+y＝a，从而得出f（x+y）＝f（x）+f（y），再根据f（1）＝﹣2即可求出f（2），f（3）的值；（2）根据上面，f（x+y）＝f（x）+f（y），令x＝y＝0即可求出f（0）＝0，而令y＝﹣x即可求出f（﹣x）＝﹣f（x），即得出f（x）是奇函数．【答案】解：（1）令，，则x+y＝a；∴f（x+y）＝f（x）+f（y）；∵f（1）＝﹣2；∴f（2）＝2f（1）＝﹣4，f（3）＝f（2）+f（1）＝﹣4﹣2＝﹣6；（2）由（1）知f（x+y）＝f（x）+f（y）；令x＝y＝0，得f（0+0）＝f（0）+f（0）；∴f（0）＝0；令y＝﹣x，得f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）；∴f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0；∴f（﹣x）＝﹣f（x）；∴f（x）是奇函数．【考点4 利用函数的奇偶性求解析式】【练4】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，求函数f（x）（x∈R）的解析式；【思路分析】根据偶函数的性质进行转化求解即可．【答案】解：∵f（x）是偶函数，∴若x＞0，则﹣x＜0，则当﹣x＜0时，f（﹣x）＝x2﹣2x＝f（x），即当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x．即f（x），，＞．【练4.1】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（1）求f（0）及f（f（1））的值；（2）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的解析式；【思路分析】（1）根据题意，由函数的解析式，将x＝0代入函数解析式即可得f（0）的值，同理可得f（1）的值，利用函数的奇偶性思路分析可得f（f（1））的值；（2）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式思路分析f（﹣x）的解析式，进而由函数的奇偶性思路分析可得答案；【答案】解：（1）根据题意，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x；则f（0）＝0，f（1）＝1﹣2＝﹣1，又由函数f（x）为偶函数，则f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，则f（f（1））＝f（﹣1）＝﹣1；（2）设x＜0，则﹣x＞0，则有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，又由函数f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，则当x＜0时，f（x）＝x2+2x，【练4.2】已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x），求函数f（x）在R上的解析式；【思路分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，设x＞0，则﹣x＜0，结合函数的奇偶性与奇偶性思路分析可得f（x）在（0，+∞）上的解析式，综合可得答案；【答案】解：根据题意，f（x）为定义在R上的函数f（x）是奇函数，则f（0）＝0，设x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x），又由f（x）为R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（x），则f（x），＜，，＞；【练4.3】已知f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝﹣2x2+3x+1．（1）求f（0）的值；（2）求当x＜0时，f（x）的解析式；（3）求f（x）在R上的解析式．【思路分析】（1）直接利用函数的奇偶性求出函数的值．（2）利用函数的奇偶性求出函数的关系式．（3）利用分类讨论的思想求出函数的关系式．【答案】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣0）＝﹣f（0），∴f（0）＝﹣f（0），∴2f（0）＝0，∴f（0）＝0…（4分）（2）当x＜0，即﹣x＞0时，f（﹣x）＝﹣2（﹣x）2+3（﹣x）+1＝﹣2x2﹣3x+1．由于f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴﹣f（x）＝﹣2x2﹣3x+1，∴f（x）＝2x2+3x﹣1（x＜0）…（8分）（3）在实数集R上函数f（x）的解析式为：f（x）＞＜【考点5 利用函数的奇偶性求参数】【练5】设函数f（x）为奇函数，则a＝﹣1．【思路分析】一般由奇函数的定义应得出f（x）+f（﹣x）＝0，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为f（x）+f（﹣x）＝0是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求a的值．【答案】解：∵函数为奇函数，∴f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（1）+f（﹣1）＝0，即2（1+a）+0＝0，∴a＝﹣1．故应填﹣1．【练5.1】已知函数是奇函数，则实数a的取值范围是[﹣2，0）∪（0，2]．【思路分析】先求函数的定义域{x|﹣a≤x≤a，且x≠0，且x≠﹣4}，由题意可得g（x）＝|x+2|﹣2为奇函数，由奇函数的定义可得g（﹣x）＝﹣g（x）代入整理可得|x﹣2|+|x+2|＝4，结合函数的定义域可求a的范围【答案】解：由题意可得，函数的定义域为{x|﹣a≤x≤a，且x≠0，且x≠﹣4}∵函数是奇函数，且y是偶函数令g（x）＝|x+2|﹣2，则g（x）为奇函数∴g（﹣x）＝﹣g（x）即|﹣x+2|﹣2＝﹣|x+2|+2∴|x﹣2|+|x+2|＝4∴﹣2≤x≤2∴﹣2≤a≤2且a≠0故答案为：[﹣2，0）∪（0，2]【练5.2】若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为（）A．1 B．C．1或D．0【思路分析】根据函数为偶函数，得到f（﹣x）＝f（x），建立方程即可求解a．【答案】解：∵函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1，即﹣（2a2﹣a﹣1）＝2a2﹣a﹣1，∴2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或a，故选：C．【练5.3】已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x﹣1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．6【思路分析】根据f（x﹣1）为偶函数，便知f（x﹣1）的定义域关于原点对称，而由f（x）的定义域即可求出函数f（x﹣1）的定义域为（4﹣2a，a+2），从而有4﹣2a+a+2＝0，这样即可求出a的值．【答案】解：f（x﹣1）为偶函数；∴f（x﹣1）的定义域关于原点对称；由3﹣2a＜x﹣1＜a+1得4﹣2a＜x＜a+2；∴4﹣2a+a+2＝0；∴a＝6．故选：D．【考点6 函数奇偶性与单调性综合】【练6】函数y＝f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（）A．f（2）＜f（π）＜f（5）B．f（π）＜f（2）＜f（5）C．f（2）＜f（5）＜f（π）D．f（5）＜f（π）＜f（2）【思路分析】根据函数f（x+3）是偶函数，即函数图象关于直线x＝3对称，将三个自变量转化到同一单调区间上，进而可得答案．【答案】解：∵函数y＝f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，∴f（π）＝f（6﹣π），f（5）＝f（1），∵f（6﹣π）＜f（2）＜f（1），∴f（π）＜f（2）＜f（5）故选：B．【练6.1】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且有f（3）＞f（1）．则下列各式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（3）B．f（0）＜f（5）C．f（3）＞f（2）D．f（2）＞f（0）【思路分析】根据函数奇偶性的性质进行求解即可．【答案】解：∵函数f（x）是偶函数，∴由f（3）＞f（1）．得f（3）＞f（﹣1）．故选：A．【练6.2】若函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（）A．{x|x＞4或x＜0} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|x＞2或x＜﹣2} D．{x|0＜x＜4}【思路分析】由题意利用函数的奇偶性和单调性、二次函数的性质，求得f（2﹣x）＞0的解集．【答案】解：函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）＝ax2+（b﹣2a）x﹣2b为偶函数，∴b﹣2a＝0，b＝2a，f（x）＝ax2﹣4a．再根据f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴a＞0．令ax2﹣4a＝0，求得x＝±2，则由f（2﹣x）＞0，可得2﹣x＞2，或2﹣x＜﹣2，求得x＜0，或x＞4，故f（2﹣x）＞0的解集为{x|x＞4或x＜0}，故选：A．【练6.3】已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0，若f（x﹣2）＞0，则x的取值范围是（0，4）．【思路分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化为f（|x﹣2|）＞0，进行求解即可．【答案】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0，∴f（2）＝f（﹣2）＝0，则不等式f（x﹣2）＞0，等价为f（|x﹣2|）＞f（2），则|x﹣2|＜2，即﹣2＜x﹣2＜2，即0＜x＜4，即x的取值范围是（0，4），故答案为：（0，4）【考点7 函数性质的综合应用】【练7】已知函数f（x）的定义域是{x|x≠0}的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0，f（2）＝﹣1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数；（3）解不等式f（x2﹣1）＜2．【思路分析】（1）利用赋值法，结合函数奇偶性的定义进行证明即可．（2）利用单调性的定义，结合抽象函数之间的数值关系进行证明．（3）利用函数的单调性将不等式进行转化，解不等式即可．【答案】解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），令x1＝1，x2＝﹣1，代入上式得f（﹣1）＝f（﹣1）+f（1），解得f（1）＝0，令x1＝﹣1，x2＝﹣1，得，f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1）＝0，解得f（﹣1）＝0，令x1＝﹣1，x2＝x代入上式，∴f（﹣x）＝f（﹣1•x）＝f（﹣1）+f（x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．（2）y＝f（x）在（0，+∞）上的单调递减．证明：设x1，x2是（0，+∞）任意两个变量，且x1＜x2，设x2＝tx1，（t＞1），则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）﹣f（tx1）＝f（x1）﹣f（x1）﹣f（t）＝﹣f（t）∵当x＞1时，f（x）＜0；∴f（t）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＝﹣f（t）＞0，∴f（x1）＞f（x2），即y＝f（x）在（0，+∞）上的单调递减．（3）∵f（2）＝﹣1，∴令x1＝2，x2，则f（2）＝f（2）+f（）＝f（1）＝0，则f（）＝﹣f（2）＝﹣（﹣1）＝1．f（）＝f（）＝f（）+f（）＝2f（）＝2×1＝2．则不等式f（x2﹣1）＜2等价为不等式f（x2﹣1）＜f（），∵f（x）在（0，+∞）上是减函数且函数f（x）是偶函数，∴x2﹣1＜或x2﹣1＞，即x2＜或x2＞，即＜x＜或x＞或x＜，即不等式的解集为{x|＜x＜或x＞或x＜}．【练7.1】设函数y＝f（x）的定义域为R，并且满足f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y），且f（2）＝1，当x＞0时，f（x）＞0．（1）求f（0）的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；（3）如果f（x）+f（x+2）＜2，求x的取值范围．【思路分析】（1）令x＝y＝0，可得f（0﹣0）＝f（0）﹣f（0），即可得出f（0）．（2）任取x1，x2∈R，不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0．根据当x＞0时，f（x）＞0．可得f（x1﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2）＞0，∴即可得出单调性．（3）由f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y），可得f（x）＝f（x﹣y）+f（y），可得2＝f（2）+f（2）＝f（4），于是f（x）+f（x+2）＜2，转化为：f（x）+f（x+2）＜f（4）．即f（x+2）＜f（4﹣x）．再利用函数y＝f（x）在定义域R上单调递增，即可得出．【答案】解：（1）令x＝y＝0，则f（0﹣0）＝f（0）﹣f（0），∴f（0）＝0．（2）函数y＝f（x）在定义域R上单调递增，理由如下：任取x1，x2∈R，不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0．∵当x＞0时，f（x）＞0．∴f（x1﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数y＝f（x）在定义域R上单调递增．（3）∵f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y）．∴f（x）＝f（x﹣y）+f（y），∴2＝1+1＝f（2）+f（2）＝f（2）+f（4﹣2）＝f（4），∵f（x）+f（x+2）＜2，∴f（x）+f（x+2）＜f（4）．∴f（x+2）＜f（4）﹣f（x）＝f（4﹣x）．∵函数y＝f（x）在定义域R上单调递增，∴x+2＜4﹣x，从而x＜1．∴x的取值范围为{x|x＜1}．【练7.2】已知关于x的函数f（x）＝x2﹣2ax+5．（1）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）当a＞1时，对任意t∈[1，a]，记f（t）的最小值为n，f（t）的最大值为m，且n+m＝3，求实数a的值．【思路分析】（1）根据题意，由偶函数的性质可得f（﹣x）＝f（x），即x2+2ax+5＝x2﹣2ax+5，解可得a 的值，即可得答案；（2）根据题意，思路分析f（x）在[1，a]上单调递减，据此可得n、m的表达式，则有5﹣a2+6﹣2a＝3，即a2+2a﹣8＝0，解可得a的值，即可得答案．【答案】解：（1）根据题意，因为函数f（x）＝x2﹣2ax+5是偶函数，则有f（﹣x）＝f（x），即x2+2ax+5＝x2﹣2ax+5，变形可得a＝0．（2）根据题意，当a＞1时，函数f（x）＝x2﹣2ax+5在[1，a]上单调递减，所以n＝f（a）＝a2﹣2a•a+5＝5﹣a2，m＝f（1）＝1﹣2a+5＝6﹣2a，又n+m＝3，所以5﹣a2+6﹣2a＝3，即a2+2a﹣8＝0，解得a＝2，a＝﹣4（舍），所以a＝2．【练7.3】设函数y＝f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）（1）求证：f（1）＝f（﹣1）＝0；（2）求证：y＝f（x）是偶函数；（3）若f（x）为（0，+∞）上的增函数，解不等式．【思路分析】（1）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）分别对x1＝x2＝1赋值，即可证f（1）＝f（﹣1）＝0；（2）根据函数的奇偶性定义，只需要找到f（﹣x）与f（x）的关系即可答案问题，操作时可以令y＝﹣x 进行思路分析；（3）首先应充分利用好前两问题的结论对（3）问进行转化，再结合所给不等式找到抽象不等式：，结合单调性思路分析即可获得问题的答案．【答案】解：（1）令x1＝x2＝1，则f（1）＝f（1）+f（1）∴f（1）＝0令x1＝x2＝﹣1，则f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1）∴f（﹣1）＝0（2）x∈{x|x∈R且x≠0}关于原点对称，令x1＝x，x2＝﹣1∴f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1）＝f（x）∴f（x）＝f（﹣x）所以f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数．（3）不等式．即∵f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数且f（x）为（0，+∞）上的增函数，∴，解得：＜或＜或0＜x＜．。
1.2.1 任意角的三角函数重难点题型(举一反三)(解析版)
1.2.1任意角的三角函数重难点题型【举一反三系列】【知识点1 三角函数的定义】1.任意角的三角函数定义2.三角函数的定义域：【知识点2 三角函数值的符号】第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负.注：一全正，二正弦，三正切，四余弦.【知识点3 诱导公式一】由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：【知识点4 单位圆的三角函数线定义】如图（1）PM表示α角的正弦值，叫做正弦线.OM表示α角的余弦值，叫做余弦线.如图（2）AT表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.【考点1 三角函数的定义】【分析】根据三角函数的定义，列方程求出m的值．【答案】解：角α的终边上一点(1,)P m，所以0m>，故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．A ．4B ．4±C ．3D ．3±【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m 的值．故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．)【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值．【答案】解：角故选：C ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．【变式1-3】（2019春•牡丹江期末）角α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠，则2sin cos (αα-= )【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，分类讨论求得结果． 【答案】解：α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠， 555a a =，22555a a =，555a a=-，2555a a=-故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 【考点2 利用象限角判断三角函数的符号】【例2】（2019春•湖北期中）下列命题成立的是( ) A ．若θ是第二象限角，则cos tan 0θθ< B ．若θ是第三象限角，则cos tan 0θθ> C ．若θ是第四象限角，则sin tan 0θθ< D ．若θ是第三象限角，则sin cos 0θθ>【分析】根据角所在的象限判断三角函数值的符号进行判断即可．【答案】解：若θ是第二象限角，则cos 0θ<，tan 0θ<，则cos tan 0θθ>，故A 错误， 若θ是第三象限角，则cos 0θ<，tan 0θ>，则cos tan 0θθ<，故B 错误， 若θ是第四象限角，则sin 0θ<，tan 0θ<，则sin tan 0θθ>，故C 错误， 若θ是第三象限角，则sin 0θ<，cos 0θ<，则sin cos 0θθ>，故D 正确， 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数值符号的判断，结合角的象限与三角函数值符号的关系是解决本题的关键． 【变式2-1】（2019春•珠海期末）已知点(sin ,tan )M θθ在第三象限，则角θ在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由题意可得sin 0θ<且tan 0θ<，分别求得θ的范围，取交集得答案． 【答案】解：由题意，00sin tan θθ<⎧⎨<⎩①②，由①知，θ为第三、第四或y 轴负半轴上的角； 由②知，θ为第二或第四象限角． 则角θ在第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的象限符号，是基础题．【变式2-2】（2019春•玉山县校级月考）若sin cos 0θθ<，则θ在( ) A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限【分析】判断三角函数的符号，然后判断角所在象限即可．【答案】解：sin cos 0θθ<，可知sin θ与cos θ异号，说明θ在第或第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的符号的判断，角所在象限，是基本知识的考查． 【变式2-3】（2018秋•安庆期末）式子sin1cos2tan4的符号为( )A．正B．负C．零D．不能确定【分析】由1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，由此可得答案．【答案】解：1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，<，tan40>．∴>，cos20sin10故选：B．【点睛】本题考查三角函数值的符号，是基础题．【考点3 利用诱导公式一判断三角函数的符号】【例3】（2019秋•武邑县校级期中）下列三角函数值的符号判断正确的是()【分析】根据角所在的象限、诱导公式、三角函数值的符号逐项判断即可．【答案】解：A、因为156︒在第二象限，所以sin1560︒>，故A错误；︒=︒+︒=︒，且196︒在第三象限，D、因为tan556tan(360196)tan196所以tan5560︒>，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，及三角函数在各象限的符号的应用，属于基础题．【变式3-1】（2019秋•西陵区校级期末）下列三角函数值的符号判断错误的是() A．sin1650︒<︒>D．tan3100︒>B．cos2800︒>C．tan1700【分析】直接利用诱导公式化简，判断符号即可．【答案】解：sin1650︒=︒>，正确；︒>，正确；cos280cos800tan1700︒=-︒<，正确；︒>，错误；tan310tan500故选：C．【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数值的符号的判断，是基础题．【变式3-2】（2019春•武功县期中）下列值①sin(1000)-︒；④sin2是负值-︒；②cos(2200)-︒；③tan(10)的为()A．①B．②C．③D．④【分析】根据终边相同的角的三角函数值相同，利用三角函数符号判断方法，即可得出结论．【答案】解：①sin(1000)sin1000sin 2800-︒=-︒=-︒>； ②cos(2200)cos2200cos400-︒=︒=︒>； ③tan(10)tan100-︒=-︒<；综上，是负值的序号为③． 故选：C ．【点睛】本题考查了终边相同的角与三角函数符号判断问题，是基础题．【变式3-3】（2019秋•夷陵区校级月考）给出下列各函数值：①sin(1- 000)︒；②cos(2- 200)︒；③tan(10)-；A ．①④B ．②③C ．③⑤D ．④⑤【分析】利用诱导公式分别对五个选项进行化简整理，进而根据三角函数的性质判断正负． 【答案】解：①，sin(1000)sin(2360280)sin 280cos100-︒=-⨯︒-︒=-︒=︒>； ②，cos(2200)cos(636040)cos400-︒=-⨯︒-︒=︒>； ③，tan(10)tan(30.58)tan(0.58)0π-=-+=-<；，πsin2cos3tan40∴<．∴其中符号为负的是：③⑤．故选：C ．【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，解题时应正确把握好函数值正负号的判定，是基础题． 【考点4 三角函数定义域】【分析】列出使函数有意义的不等式组，即由被开方数不小于零，得三角不等式组，分别利用正弦函数和余弦函数图象解三角不等式组即可【答案】解：要使函数有意义，需解得： （k ∈Z ）即2k π+≤x ≤2k π+π （k ∈Z ）故答案为Z ）【点睛】本题考查了函数定义域的求法，三角函数的图象和性质，解简单的三角不等式的方法 可．【答案】解：函数【点睛】本题考查了函数的概念，三角函数的定义域，解三角函数的不等式，属于中档题． 【分析】由绝对值的特点得到sin α-和0的关系，由正弦曲线和角的正弦值可以得到角的范围，写出角的范围后注意加上k 的取值． 【答案】解：|sin |sin αα=-，sin 0α∴-， sin 0α∴，由正弦曲线可以得到[2k αππ∈-，2]k π，k Z ∈， 故答案为：[2k ππ-，2]k π，k Z ∈【点睛】本题主要考查三角函数不等式，解题时最关键的是要掌握三角函数的图象，通过数形结合得到要求的角的范围，这个知识点应用非常广泛，可以和其他知识结合来考查．【变式4-3】求下列函数的定义域：（2）(2sin1)=-；y lg x【分析】利用函数的定义域以及三角函数线化简求解即可．【答案】解：（1）要使y＝有意义，可得cos x≥0，解得{x|﹣，k∈Z}；（2）要使y＝lg（2sin x﹣1）有意义，可得2sin x﹣1＞0，即：sin x，解得{x|，k∈Z}；（3）要使y＝有意义，可得sin x≠﹣1．所以函数的定义域为：{x|x＝﹣+2kπ，k∈Z}．【点睛】本题考查三角函数的定义域的求法，三角函数线的应用，考查计算能力．【考点5 利用诱导公式一化简求值】【例5】（2019春•娄星区期中）求下列各式的值：（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒【分析】（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；【答案】（本题满分10分）（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒sin(336090)cos(43600)tan(536045)=⨯︒+︒+⨯︒+︒-⨯︒+︒ sin90cos0tan45=︒+︒-︒1=．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．【变式5-1】求下列各式的值（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒．【分析】由特殊角的三角函数值即可计算得解．1(1)(1)=+-+-1=-．（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒ 08100=+⨯++ 8=．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 【变式5-2】（2019春•船营区校级月考）计算下列各式的值： （1）sin(1395)cos1140cos(1020)sin750-︒︒+-︒︒； tan 4ππ； 【分析】（1）原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． （2）利用诱导公式即可计算得解．【答案】解：（1）原式sin(144045)cos(108060)cos(108060)sin(72030)=-︒+︒︒+︒+-︒+︒︒+︒ sin45cos60cos60sin30=︒︒+︒︒tan 4ππ )0【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题． 【变式5-3】（2019春•平罗县校级期中）求下列各式的值 )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)︒-︒-︒-︒-︒【分析】（1）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可． （2）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可． )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)-︒-︒=-︒-︒25)sin cos tan 463πππ=+-【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力． 【考点6 利用三角函数线解不等式】【例6】（2019春•泗县校级月考）利用单位圆，求适合下列条件的角的集合：【分析】在单位圆中画出三角函数线． （1）由[0，2π）内，，结合正弦线得的解集；（2）由[0，2π）内，，结合余弦线得的解集．【答案】解：在单位圆内作三角函数线如图：（1）∵在[0，2π）内，，OA，OB分别为的终边，由正弦线可知，满足的角的终边在劣弧AB内，∴的解集为{α|}；（2））∵在[0，2π）内，，OC，OD分别为的终边，由余弦线可知，满足的终边在劣弧CD内，∴的解集为{α|}．【点睛】本题考查了三角函数线，考查了三角不等式的解法，训练了数形结合的解题思想方法，是中低档题．【变式6-1】求下列不等式的解集：【分析】作出单元圆，利用三角函数线进行求解即可．【答案】解：（1）正弦线大于0的角为x轴的上方，对应的角为2kπ＜x＜2kπ+π，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ，2kπ+π），k∈Z．（2）余弦线小于0的角为y轴的左侧，对应的角为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（3）sin x＞对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（4）cos x≤﹣对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．【点睛】本题主要考查三角不等式的求解，利用三角函数的三角函数线是解决本题的关键．【变式6-2】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：（2）tan x≥﹣1．【分析】根据三角函数线分别进行求解即可．【答案】解：（1）作出y＝﹣，交单位圆于B，C，则sin x＞﹣对应的区域为阴影部分，作出x＝，交单位圆于E，D，则cos x＞对应的区域为阴影部分OD，OE之间，则sin x＞﹣且cos x＞对应的区域为OC到OE之间，其中OC对应的角为﹣，OE对应的角为，则阴影部分对应的范围是2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z，即sin x＞﹣且cos x＞对应的范围是{x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z}（2）作出正切函数线AT＝﹣1，则tan x≥﹣1对应的区域为阴影部分，OT对应的角为﹣，则阴影部分对应的角的范围是kπ﹣≤x＜kπ+，即不等式的解集为{x|kπ﹣≤x＜kπ+，k∈Z}【点睛】本题主要考查三角函数对应不等式的求解，利用三角函数线是解决本题的关键．【变式6-3】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．（3）tan x≥﹣1；【分析】作出单位圆，由三角函数值先求出角在[0，2π]内的取值范围，再由终边相同的角的概念加上周期，由此能求出满足条件的角x的集合．【答案】解：（1）由sin x，作出单位圆，如下图，∵sin x，∴，∴满足sin x≥的角x的集合为{x|2kπ+，k∈Z}．（2）由cos x≤，作出单位圆，如下图，∵cos x≤，∴，∴满足cos x≤的角x的集合为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．（3）由tan x≥﹣1，作出单位圆，如下图，∵tan x ≥﹣1，∴﹣≤x ＜， ∴满足tan x ≥﹣1的角x 的集合为{x |k π﹣，k ∈Z }． （4）由sin x ＞且cos x ＞，作出单位圆，如下图，∵sin x ＞且cos x ＞，∴，∴满足sin x ＞且cos x ＞x 的集合为{x |2k π+，k ∈Z }． 【点睛】本题考查角的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意单位圆和三角函数线的合理运用．【考点7 利用三角函数线比较大小】【例7】比较下列各组数的大小：【分析】（1）根据余弦函数单调性的大小进行比较（2）利用三角函数的诱导公式以及作差法进行比较即可．704π<-cos(π∴-02πα<<则0sin(cos <cos(sin )α222ππ-<【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，结合三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性是解决本题的关键．【变式7-1】利用三角函数线比较下列各组三角函数值的大小：【分析】根据题意，依次作出各个角的三角函数值对应的三角函数线，进而比较大小即可得答案．【点睛】本题考查的知识点是三角函数线，三角函数值的大小比较，关键是掌握三角函数线的定义．【变式7-2】比较大小：可知：21AT AT >，可知：BD BC >，【点睛】本题考察了诱导公式的化简运用，正切线的画法，属于三角函数线的基础题目．【变式7-3】比较下列各组数的大小：【分析】根据三角函数线进行比较即可．）5 cos7π=在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则余弦线为OM，正弦线为MP，（2）在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则正切线为AT，正弦线为MP，则AT MP>，【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，根据三角函数线是解决本题的关键．。
专题4.1 函数【八大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题4.1 函数【八大题型】【北师大版】【题型1 函数的相关概念识别】 (1)【题型2 点与函数图象的关系】 (4)【题型3 求自变量的取值范围】 (5)【题型4 描点法画函数的图象】 (6)【题型5 从图象中获取信息】 (12)【题型6 确定实际问题中的函数关系式】 (16)【题型7 动点问题的函数图象】 (18)【题型8 判断函数的大致图象】 (22)【知识点1函数的概念】一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．【题型1函数的相关概念识别】【例1】（2023春·吉林长春·八年级校联考期中）下列关于变量x和y的关系式：y=x,2x2−y=0,y2=x,2x−|y|=2，其中y是x的函数的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据函数的定义进行逐一判断即可：对于两个变量x和y，对于x的每个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么y就叫做x的函数．【详解】解：y=x，2x2−y=0符合函数的定义；y2=x对于每一个正数x，y都有两个值与之对应，y不是x的函数，2x−|y|=2对于每一个x(x>1)，y都有两个值与之对应，y不是x的函数，故选B．【点睛】本题主要考查了函数的定义，熟知函数的定义是解题的关键．【变式1-1】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）高师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（）A．金额是自变量B．单价是自变量C．6.48和18是常量D．金额是数量的函数【答案】B【分析】根据函数的定义依次判断．【详解】解：单价是自变量，金额和数量是变量，金额是数量的函数，只有B正确,故选：B．【点睛】此题考查了函数的定义，在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，此时y是x的函数，x是自变量，熟记定义是解题的关键．【变式1-2】（2023春·辽宁辽阳·八年级辽阳市第一中学校联考期中）下列曲线中能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可．【详解】解：A、部分x的值对应多个y的值，不是函数，不符合题意；B、部分x的值对应多个y的值，不是函数，不符合题意；C、部分x的值对应多个y的值，不是函数，不符合题意；D、x的值与y的值一一对应，是函数，符合题意；故选D．【点睛】本题考查函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．【变式1-3】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）台州市2023年中考体育排球项目考试的评分标准如下表：个数t t≥4844≤t≤4740≤t≤4336≤t≤3932≤t≤35分值m109876个数t 28≤t≤3124≤t≤2720≤t≤2316≤t≤1912≤t≤15分值m54321现有两种说法：①t是m的函数；②m是t的函数．下列判断正确的是（）A．①对，②错B．①错，②对C．①对，②对D．①错，②错【答案】B【分析】根据函数的定义，可直接得到答案．【详解】解：题目中有两个变量t与m，对于每一个确定的t值，m都有唯一确定的值与其对应，所以m是t的函数；对于每一个确定的m值，t没有唯一确定的值与其对应，所以t不是m的函数．故选：B．【点睛】本题主要考查函数的定义（在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于每一个确定的x值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数），牢记函数的定义是解题的关键．【知识点2求函数的值】(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．【题型2点与函数图象的关系】【例2】点P(a,b)在函数y=2x+3的图象上，则代数式−4a+2b的值等于．【答案】6【分析】根据已知条件可得b−2a=3，代入代数式即可求解．【详解】解：∵点P(a,b)在函数y=2x+3的图象上，∴2a+3=b即b−2a=3∴−4a+2b=2(b−2a)=2×3=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了求函数关系式，代数式求值，熟练掌握函数的定义是解题的关键．【变式2-1】下列各点在函数y＝3x+2的图象上的是()A．(1，1)B．(﹣1，﹣1)C．(﹣1，1)D．(0，1)【答案】B【详解】A、把（1，1）代入y=3x+2得：左边=1，右边=3×1+2=5，左边≠右边，故本选项错误；B、把（-1，-1）代入y=3x+2得：左边=-1，右边=3×(-1)+2=-1，左边=右边，故本选项正确；C、把（-1，1）代入y=3x+2得：左边=1，右边=3×(-1)+2=-1，左边≠右边，故本选项错误；D、把（0，1）代入y=3x+2得：左边=1，右边=3×0+2=2，左边≠右边，故本选项错误．故选B.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标满足函数关系式的点一定在函数图象上．【变式2-2】下列函数的图象，一定经过原点的是（）A．y=2B．y=x2−1C．y=5x2−3x D．y=−3x+7x【答案】C【分析】函数的图象经过原点就是x=0时，y=0．【详解】解：A、x≠0，所以不经过原点，故错误；B、若x=0，则y=-1．所以不经过原点．故错误；C、若x=0，则y=5×0-3×0=0．所以经过原点．故正确；D、若x=0，则y=7．所以不经过原点．故错误．故选：C．【点睛】主要考查函数图象上点的坐标特征．函数图象上的点的横纵坐标满足函数的解析式.本题属于基础题.【变式2-3】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或-3时，输出的y值相等，则a等于（）A．﹣9B．﹣3C．9D．3【答案】B【分析】把x=3与x=−3代入程序中计算，根据y值相等即可求出a的值．【详解】解：当x=3时，由程序图可知y=3×3−a2=9−a2，当x=−3时，由程序图可知y=(−3)2+a=9+a，∵输出的y值相等，∴9−a2=9+a，解得a=−3．故选：B．【点睛】此题考查了函数值和代数式求值的知识，弄清程序中的关系式和理解自变量取值范围是解本题的关键．【题型3求自变量的取值范围】【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）下列函数自变量x的取值范围错误的是( ) A．y＝－2x2＋1中，x取全体实数B．y＝1x1中，x取不等于－1的实数C．y x取大于或等于2的实数D．yx取大于或等于－3的实数【答案】D【详解】A、函数是y=2x2，x的取值范围是全体实数，正确；B、根据分式有意义的条件得，x+1≠0，解得x≠-1，正确；C、由算术平方根x-2≥0，解得x≥2，正确；D、根据算术平方根和分式的意义，x+3＞0，解得x＞-3，错误；故选D．【变式3-1】（2023春·甘肃酒泉·八年级校考期中）函数y x的取值范围是（ ）A．x＞0B．x≥0C．x＞9D．x≥9【答案】D【分析】根据算术平方根的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．【详解】解：根据题意得，x-9≥0∴x≥9故选：D．的自变量x的取值范围是（）【变式3-2】（2023春·北京延庆·八年级统考期末）函数y=xx−3A．x=0B．x≠0C．x=3D．x≠3【答案】D【分析】根据分式有意义的条件即可得到答案．【详解】解：当x−3≠0，即x≠3时，x有意义，x−3的自变量x的取值范围是x≠3，即函数y=xx−3故选：D【点睛】此题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．x的取值范围是．【变式3-3】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）函数y=【答案】x≠−1【分析】根据分式有意义的条件可进行求解．≠0，∴x≠−1；故答案为x≠−1．【点睛】本题主要考查函数的自变量及分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．【知识点3函数的图象】把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．【题型4描点法画函数的图象】【例4】（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考期中）函数问题：(1)作出y与x的函数y=2|x|的图象①自变量x的取值范围是____________；②列表并画出函数图象：x…−2−1012…y……③当自变量x的值从1增加到2时，则函数y的值增加了____________．(2)在一个变化的过程中，两个变量x与y之间可能是函数关系，也可能不是函数关系：下列各式中，y是x的函数的是____________．①x+y=1；②|x+y|=1；③xy=1；④x2+y2=1；【答案】(1)①全体实数；②4，2，0，2，4；图见解析；③2(2)①③【分析】（1）①根据y=2|x|求出x的取值范围即可；②根据解析式填出列表，并在坐标系中描出各点，画出函数图象即可；③把自变量x的值从1增加到2时，代入函数解析式中求解即可；（2）根据函数的关系式的定义来求解即可．【详解】（1）解：①在函数y=2|x|中，x的取值范实为全体实数，故答案为：全体实数；②列表如下：x⋯－2-1012⋯y⋯42024⋯函数y=2|x|变形为y=2x或y=−2x，画图如下：③当x=1时，y=2，当x=2时，y=4，所以当自变量x的值从1增加到2时，则函数y的值增加了2；（2）解：在①x+y=1，②|x+y|=1，③xy=1，④x2+y2=1中，①③中对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，②④中对于x的每一个值，y都有两个值与它对应，所以①③中y是x的函数，②④中y不是x的函数．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了函数关系式，自变量取值范围，函数图象的画法，理解相关知识是解答关键．【变式4-1】（2023春·广东广州·八年级校考期中）在平面直角坐标系中画出函数y=−x+3的图象．在图象上标出横坐标为−4的点A，并写出它的坐标；x…−3−2−10123…y……【答案】见解析，(−4,7)【分析】先列表，再在坐标系内描点，再连线即可．【详解】解：列表如下：x…−4−3−2−10123…y…76543210…点A坐标(−4,7)，描点并连线：【点睛】本题考查的是利用描点法画函数的图形，掌握列表，描点，连线画函数的图象是解本题的关键．【变式4-2】（2023春·浙江·八年级期末）已知函数y=2x2−1（1）填写下列表格．x…−2−1012…y=2x2−1…717…（2）并在给定的直角坐标系中用描点法画出函数y=2x2−1的图像．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据函数表达式，将给定的x值代入计算，从而填表；（2）根据表格中的数据，描点，再用平滑的曲线连接即可．【详解】解：（1）当x=0时，y=-1；当x=1时，y=1，填表如下：x…−2−1012…y=2x2−1…71-117…（2）如图所示：【点睛】本题考查了函数的图像，求函数值，属于基础题，解题的关键是画图时注意要用平滑的曲线连接各点．【变式4-3】（2023春·山西·八年级统考期末）我们知道用描点法可以画出函数图象，这种方法是探究未知函数图象变化规律的一个重要方法．下面是通过描点法画图探究函数y=(1)下表是y与x的几组对应值，请完成表格：(2)根据上表中的数据，在平面直角坐标系xOy中描出对应的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象；(3)根据图象，写出两条该函数具有的性质．【答案】（1）1，2；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如：该函数自变量x的取值范围是x≥−2；当x≥−2时，y随x的增大而增大等．【分析】（1）把x=-1，2代入y=y的值即可求解；（2）用描点法画出函数的图像；（3）根据函数图像的特征写出两条即可．【详解】解：(1)完成表格如下：(2)画出的图象如答图所示．(3)答案不唯一，例如：该函数自变量x的取值范围是x≥−2；当x≥−2时，y随x的增大而增大等．【点评】本题考查函数的图象及性质；利用所学函数知识探索新的函数性质，综合运用描点法．【题型5 从图象中获取信息】【例5】（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A 城的距离y （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题：(1)甲车的速度是 (2)乙车用了 小时到达B 城；(3)求乙车出发后多少时间追上甲车？(4)求甲车出发多少时间，两车相距50千米？【答案】(1)60km/h(2)3(3)1.5小时(4)56小时、1.25小时、3.75小时或256小时【分析】（1）根据函数图象可知甲车5小时行驶了300公里；（2）根据函数图象可知甲车出发1小时后乙车出发，用了3小时到达；（3）根据题意求出乙车的速度，再列方程解答即可；（4）根据题意列方程解答即可．【详解】（1）解：由题意得，甲车的速度是：300÷5=60(km/h)．故答案为：60km/h ；（2）由题意可知，乙车用了3小时到达B 城；故答案为：3；（3）乙车的速度为：300÷3=100(km/h)，设乙车出发后x 小时追上甲车，根据题意得：100x =60(x +1)，解得x =1.5，答：乙车出发后1.5小时追上甲车；（4）设甲车出发y 小时，两车相距50千米，根据题意得：60x =50或60x−100(x−1)=50或100(x−1)−60x =50或60x =300−50，解得x =56或1.25或3.75或256．答：甲车出发56小时、1.25小时、3.75小时或256小时时，甲、乙两车相距50千米．【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式5-1】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）小明家、学校、小艾家依次在同一条笔直的公路旁．一天放学后，小明到家发现错拿小艾作业本，于是返回并归还作业本．小明先从家跑步到学校找小艾，发现小艾回家后又跑到小艾家，然后骑共享单车返回，小明与自己家的距离y （米）与小明从家出发的时间x （分）之间的函数关系如图所示，下列结论中不正确的是（ ）A ．小明在学校停留了10分钟B ．小艾家离学校600米C ．小明跑步速度为每分钟180米D ．小明骑共享单车的速度为每分钟200米【答案】C【分析】首先根据图象可知：随着时间的推移，第一个水平线段为小明在学校停留的时间，第二个水平线段为小明在小艾家停留时间，再结合速度等于路程除以时间，即可作答．【详解】解：随着时间的推移，第一个水平线段为小明在学校停留的时间，第二个水平线段为小明在小艾家停留时间，即小明用了10分钟就从家到了学校，在学校停留10分钟，再出发花了5分钟去小艾家，在小艾家停留5分钟，从小艾家离开，花了9分钟返回家，结合图象：小明在学校停留了10分钟，小明家距离学校为1200米，=120（米/分钟），小明跑步速度为：120010小艾家离学校距离：1800−1200=600（米），=200（米/分钟），小明骑共享单车的速度为：18009故错误的为C项，故选：C．【点睛】本题主要考查了函数图象的应用，解题的关键是理解图象所包含的信息．【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）为了增强抗旱能力，保证粮食丰收，某村今年新建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）．一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点只进水，不出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只出水，不进水，则一定正确的论断是．【答案】①【分析】根据图1可知进水速度小于出水速度，且出水速度为进水速度的2倍，结合图2每一个时间段的蓄水量增减变化即可判断各时间段内进水管和出水管的打开情况．【详解】解：由图1可知，每小时每个出水管的水速是每个进水管水速的两倍；由图2可知，0点到1点打开两个进水管，没有打开出水管；1点到4点蓄水量没有变化，说明打开两个进水管和一个出水管或者进水管和出水管都不打开；因某天0点到6点（至少打开一个水管），故1点到4点打开两个进水管和一个出水管；4点到6点打开一个进水管和一个出水管．故答案为：①．【点睛】本题主要考查了函数图象的分析能力和函数与实际问题结合的应用，能够根据图象的性质结合给出的数据准确分析出图象中各段代表的实际意义是解题的关键．【变式5-3】（2023春·北京昌平·八年级统考期末）甲乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒；在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．(1)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒；(2)离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点______米；(3)乙到达终点时，甲距离终点还有______米；(4)甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是：______秒＜x＜______秒．【答案】(1)4，5(2)60(3)68(4)44，89．【分析】①由12÷3=4（米/秒）即得甲的速度，乙速度为400÷80=5（米/秒）；②求出乙用12秒追上甲，即甲、乙两人第一次相遇，即知此时距离起点5×12=60（米）；③列式计算可得乙到达终点时，甲距离终点还有68米；④乙用12秒追上甲，再过32秒两人相距32米，故从x>44时起，两人距离超过32米，当乙用80秒到达终点时，甲距离终点还有68米，甲再跑36米，两人相距32米，故当x<89时，两人距离超过32米，即可得到答案．【详解】（1）由图象可知，乙出发时，甲，乙之间距离为12米，即甲先出发3秒跑了12米，∴甲的速度为12÷3=4（米/秒），∵乙80秒到达终点，∴乙的速度为400÷80=5（米/秒），故答案为：4，5；=12（秒），（2）∵125−4∴乙出发后，用12秒追上甲，即甲、乙两人第一次相遇，此时距离起点5×12=60（米），故答案为：60；（3）∵400−（12+80×4）=68（米），∴乙到达终点时，甲距离终点还有68米，故答案为：68；（4）当乙用12秒追上甲后，因每秒比甲多跑1米，∴再过32秒两人相距32米，即从x>44时起，两人距离超过32米，当乙用80秒到达终点时，甲距离终点还有68米，∴甲再跑36米，两人相距32米，所需时间为36÷4=9（秒），∴当x<89时，两人距离超过32米，∴甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜89；故答案为：44，89．【点睛】本题考查函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．【题型6确定实际问题中的函数关系式】【例6】（2023春·山东威海·八年级统考期末）某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 Km时，，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x Km，邮箱中剩油量为y L，则y与x之间油箱中的汽油大约消耗了15的函数解析式和自变量取值范围分别是（）A．y=0.12x，x＞0B．y=60﹣0.12x，x＞0C．y=0.12x，0≤x≤500D．y=60﹣0.12x，0≤x≤500【答案】D，【详解】因为油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 Km时，油箱中的汽油大约消耗了15×60÷100=0.12L/km，60÷0.12=500（km），可得：15所以y与x之间的函数解析式和自变量取值范围是：y=60﹣0.12x，（0≤x≤500），故选D．【变式6-1】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）一个水库的水位在最近的10小时内将持续上涨．表二记录了3小时内5个时间点对应的水位高度，其中t表示时间，y表示对应的水位高度．根据表中的数据，请写出一个y关于t的函数解析式合理预估水位的变化规律．该函数解析式是：．（不写自变量取值范围）t+3．【答案】y=15【分析】从表格看，t=0时，y=3，而每半个小时增加0.1米，即每个小时增加0.2，即可求解．【详解】从表格看，t=0时，y=3，而每半个小时增加0.1米，即每个小时增加0.2，t+3，故函数的表达式为：y=15t+3．故答案为y=15【点睛】本题考查的是函数的关系式，此类题目通常按照找规律的方法，列出函数表达式．【变式6-2】（2023春·广东广州·八年级统考期末）现有下面两种移动电话计费方式：方式一方式二月租费（元/月）5888本地通话费（元/分钟）0.20.1(1)以x（单位：分钟）表示通话时间，y（单位：元）表示通话费用，分别就两种移动电话计费方式写出y 关于x的函数解析式．(2)求出如何选择这两种计费方式更省钱．【答案】(1)方式一：y=58+0.2x；方式二：y=88+0.1x；(2)当通话时间少于300分钟时，选择方式一合算，当通话时间是300分钟时，两种方式费用相等；当通话时间多于300分钟时，选择方式二合算．【分析】（1）根据费用等于月租加上通话时间乘以单价即可得到函数解析式；（2）分三种情况求解即可．【详解】（1）解：方式一的函数解析式为y=58+0.2x；方式二的函数解析式为y=88+0.1x；（2）当两者方式费用相等时，58+0.2x=88+0.1x，解得x=300；当方式一合算时，58+0.2x<88+0.1x，解得x<300；当方式二合算时，58+0.2x>88+0.1x，解得x>300；∴当通话时间少于300分钟时，选择方式一合算，当通话时间是300分钟时，两种方式费用相等；当通话时间多于300分钟时，选择方式二合算．【点睛】此题考查了列函数关系式，一元一次方程与一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键．【变式6-3】（2023春·辽宁锦州·八年级统考期末）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：排数（x）1234……座位数（y）50535659……（1）按照上表所示的规律，当x每增加1时，y如何变化？．（2）写出座位数y与排数x之间的解析式．（3）按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由．【答案】（1）当x每增加1时，y增加3；（2）y=3x+47；（3）某一排不可能有90个座位，理由见解析【分析】（1）根据表格中数据直接得出y的变化情况；（2）根据x，y的变化规律得出y与x的函数关系；（3）利用（2）中所求，将y=90代入分析即可．【详解】解：（1）由图表中数据可知；当x每增加1时，y增加3；（2）由题意可知：y=50+3(x−1)=3x+47，（3）某一排不可能有90个座位理由：由题意可知：y=3x+47=90解得：x=433故x不是整数，则某一排不可能有90个座位．【点睛】本题主要考查了分析图表列函数解析式，解题的关键是认真分析图表，从中获取关键信息列出解析式．【题型7动点问题的函数图象】【例7】（2023春·广东深圳·八年级统考期中）王警察周六在一个半圆形的广场附近巡逻，从圆心O出发，按图1中箭头所示的方向，依次走完线段OA、半圆弧AB和线段BO．沿途中王警察遇到了一位问路的游客停下来交谈了2min．在整个巡逻过程中，王警察始终保持速度不变，最后回到出发点．王警察离出发点的直线距离s（m）与时间t（min）之间的关系如图2所示，以下选项中正确的是（）A．广场的半径是50米B．a=2πC．王警察的速度为100m/min D．王警察返回起点的时间为2π+6【答案】D【分析】根据图象可知判断A，C；用半圆的弧长除以速度即可得出沿半圆弧AB巡逻时所用时间，可以判断B；再求出王警察在整段路程中所用时间即可判断D．【详解】解：由图象可知，广场的半径为100米，故A错误，不符合题意；=50(m/min)，由图象知，王警察的速度为1002故C错误，不符合题意；当王警察沿半圆弧AB巡逻时，距离出发点的直线距离是圆弧的半径，即s=100，∴所用时间为π×100=2π，50∴a=2π+2，故B错误，不符合题意；王警察返回起点所用时间为2+2π+2+2=2π+6，故D正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了通过函数图象探究图象代表的实际意义，运用数形结合的数学思想．【变式7-1】（2023春·广东湛江·八年级统考期末）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长是．【答案】18【分析】分析实际运动图与函数图象的联系，由函数图象信息确定矩形的边长，从而求出周长．【详解】解：如图，x=4时，点P运动至点C，x=9时，点P运动至点D，∴BC=4，CD=9−4=5∴矩形周长=2(AB+BC)=2×(4+5)=18；故答案为：18．【点睛】本题考查函数图象，理解函数图象与实际运行图之间的信息联系是解题的关键．【变式7-2】（2023春·福建三明·八年级统考期中）如图1，在△ABC中，点P从顶点C出发，以1cm/s的速度沿C—A匀速运动到点A．图2是点P运动时线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，曲线两端点的高度相同，则△ABC的面积是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】由题意，当BP⊥AC时，BP的长度最短为2，此时CP的距离为3，由图2可知，AC=2CP=6，即可求出△ABC的面积．【详解】解：由题意，当BP⊥AC时，BP的长度最短，如图，由图2可知，点M为（3，2），∴当点P运动3cm时，则BP=2，∵图2中曲线两端点的高度相同，∴AP=CP=3，∴AC=2CP=6，×6×2=6；∴△ABC的面积是12故选：B．【点睛】考查了动点问题的函数图象、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．【变式7-3】（2023春·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）已知动点P以每秒2cm的速度沿图1的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积y(cm2)与时间x（秒）之间的关系如图2中的图象所示．其中AB=4cm，则c=，当x=时，△ABP的面积是10cm2；【答案】10 2.5或7.5【分析】根据函数图象结合题意分析，分别求得BC,CD,DE的长，进而根据路程除以速度等于时间得出c的值，根据△ABP的面积是10cm2，得出点P的位置，进而即可求解．【详解】解：依题意，当P从B→C运动时，y增大，则BC=2×3=6，当P从C→D运动时，y不变，根据函数图象可得CD=(7−3)×2=8，当P从D→E运动时，y减小，结合函数图象可得DE=(8−7)×2=2，∴EF =CD−AB =4，∴c−8=4÷2=2∴c =10；∴AF =BC−DE =6−2=4∵12AB ×AF =12×4×4=8，△ABP 的面积是10cm 2；∴P 点在BC 上或DE 上，P 到AB 的距离为2×104=5∴PB =5则x =52=2.5或BC +CD +DP =6+8+1=15∴x =152=7.5，故答案为：10；2.5或7.5．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键.【题型8 判断函数的大致图象】【例8】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图所示，半径为2的圆和边长为5的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为t ，圆与正方形重叠部分(阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系式的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】观察图形，在运动过程中，S 随t 的变化情况，得到开始随时间t 的增大而增大，当圆在正方形内时t 改变，而重合面积等于圆的面积不变，再运动，随t 的增大而减小，根据以上结论判断即可．【详解】解：∵半径为2的圆沿水平线从左向右匀速穿过正方形，开始至完全进入正方形S 随时间t 的增大而增大，∴选项A 、D 错误；∵当圆在正方形内时，t 改变，重合面积等于圆的面积，S 不变，再运动，S 随t 的增大而减小，∴选项C 错误，选项B 正确；。
函数的表示法重难点题型(举一反三)(解析版)
1.2.2 函数的表示法重难点题型【举一反三系列】知识链接举一反三【考点1 函数的三种表示方法】【练 1】某种笔记本的单价是 5 元，买x(x ∈{1,2,3,4,5}) 本笔记本需要y 元，试用三种方法表示函数y =f (x) .【思路分析】利用函数的三种表示方法，即可将y表示成x的函数．【答案】解：（1）列表法：x12345y510152025（2）图象法（3）解析法：y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．【点睛】本题考查函数的三种表示方法，列表法，图象法以及解析法，比较基础．【练 1.1】已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：x123f(x) 211x123g(x) 321则f(g(1))的值为；当g(f(x))＝2 时，x＝.【思路分析】根据表格先求出g（1）＝3，再求出f（3）＝1，即f[g（1）]的值；由g（x）＝2 求出x ＝2，即f（x）＝2，再求出x的值．【答案】解：由题意得，g（1）＝3，则f[g（1）]＝f（3）＝1∵g[f（x）]＝2，即f（x）＝2，∴x＝1．故答案为：1，1．【点睛】本题是根据表格求函数值或自变量的值，看清楚函数关系和自变量对照表格求出．【练 1.2】在函数y＝|x|(x∈[－1，1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1 及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( )【思路分析】利用在y轴的右侧，S的增长会越来越快，切线斜率会逐渐增大，从而选出正确的选项．【答案】解：由题意知，当t＞0 时，S的增长会越来越快，ƒ(3) ƒ(3) 故函数 S 图象在 y 轴的右侧的切线斜率会逐渐增大， 故选：B ．【点睛】本题考查函数图象的变化特征，函数的增长速度与图象的切线斜率的关系，体现了数形结合的 数学思想．【练 1.3】如图，函数 f (x )的图象是曲线 O A B ，其中点 O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f ⎡ 1 ⎤ ⎢f (3) ⎥ ⎣ ⎦的值等于．【思路分析】先求出 f （3）＝1，从而 ƒu 1] =f （1），由此能求出结果．【答案】解：函数 f （x ）的图象是曲线 OAB ，其中点 O ，A ，B 的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），∴f （3）＝1，ƒu 1] =f （1）＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．【考点 2 描点法作函数图象】【练 2】作出下列函数的图象并写出定义域、值域．（1）y ＝2x ；（2）y ＝（x ﹣2）2+1；（3）y = 2；x（4）y＝2x+1，x∈Z 且|x|＜2．【思路分析】分别根据函数的单调性进行求解即可．【答案】解：（1）y＝2x的定义域（﹣∞，+∞），值域（﹣∞，+∞）；（2）函数y＝（x﹣2）2+1≥1；定义域为（﹣∞，+∞），值域[1，+∞）．（3）y= 2的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；x（4）y＝2x+1，x∈Z 且|x|＜2．的定义域为{﹣1，0，1}，此时y＝﹣1，1，3，即值域为{﹣1，1，3}，对应的图象为：【点睛】本题主要考查函数定义域和值域的求解，比较基础．【练 2.1】画下列函数图象并求值域．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）y＝|﹣x2+2x+3|；（3）y＝|x﹣2|﹣|x﹣1|；（4）y＝﹣x2+2|x|+3；（5）y＝|x﹣2|+|x﹣1|．【思路分析】利用绝对值的几何意义，画出图象并求值域．【答案】解：（1）y＝﹣x2+2x+3，如图所示，值域为（﹣∞，4]（2）y＝|﹣x2+2x+3|，如图所示，值域为[0，+∞），（3）y＝|x﹣2|﹣|x﹣1|，如图所示，值域为[﹣1，1]（4）y＝﹣x2+2|x|+3，如图所示，值域为（﹣∞，4]（5）y＝|x﹣2|+|x﹣1|，如图所示，值域为[1，+∞）【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查学生的作图能力，考查学生的计算能力，正确作出函数的图象是关键．【练 2.2】作出下列函数的图象并写出它们的值域．（1）y＝|x﹣1|+|x+1|；（2）y＝x，x∈z且|x|≤2．【思路分析】（1）运用分段函数化简函数y，即可得到所求图象和值域；（2）求得整点坐标，即可得到所求图象和值域．【答案】解：（1）y＝|x﹣1|+|x+1|2x，x ≤ 1= 2，— 1＜x＜1，— 2x，x ≤— 1值域为[2，+∞）；（2）y＝x，x∈z且|x|≤2，可得x＝﹣2，y＝﹣2；x＝﹣1，y＝﹣1；x＝0，y＝0；x＝1，y＝1；x＝2，y＝2．值域为{﹣2，﹣1，0，1，2}．【点睛】本题考查函数的图象的画法和运用：求值域，考查运算能力，属于基础题．【练2.3】画出二次函数f（x）＝﹣x2+2x+3的图象，并根据图象回答下列问题：（1）比较f（0）、f（1）、f（3）的大小；（2）若x1＜x2＜1，比较f（x1）与f（x2）的大小；（3）求函数f（x）的值域．【思路分析】先画出函数的图象，由图象即可得到相应的答案．【答案】解：图象如图所示：（1）由图象可得f（1）＞f（0）＞f（3），（2）x1＜x2＜1，函数在（﹣∞，1）上为增函数，∴f（x1）＜f（x2），（3）由函数图象可得函数的值域为（﹣∞，4]．【点睛】本题考查了二次函数图象的画法和识别，属于基础题．【考点3 求函数解析式—待定系数法】【练 3】设二次函数f (x) 满足 f (0) = 1，且f (x + 1) -f (x) = 4x ，求f (x) 的解析式．【思路分析】用待定系数法设出f（x）＝a x2+b x+c＝0（a≠0），再通过已知条件列方程可解得；【答案】解设所求二次函数为f（x）＝a x2+b x+c＝0（a≠0），∵f（0）＝1，∴c＝1，则f（x）＝a x2+b x+1＝0，（a≠0），又∵f（x+1）﹣f（x）＝4x，∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（a x2+b x+1）＝4x，即 2ax+a+b＝4x，得，2t = 4t 䘞= 䕼∴t = 2䘞 =— 2∴f（x）＝2x2﹣2x+1，【点睛】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，属中档题．【练 3.1】已知二次函数f (x) 满足条件f (0) = 1和 f (x + 1) -f (x) = 2x ，求 f (x) 的解析式；【思路分析】据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得【答案】解：设y＝f（x）＝a x2+b x+c∵f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x∴c＝1；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（a x2+b x+c）＝2x∴∴2a＝2，a+b＝0解得a＝1，b＝﹣1函数f（x）的表达式为f（x）＝x2﹣x+1【点睛】本题考查利用待定系数法，方程组法，换元法求函数的解析式，属于基础题．【练 3.2】已知y =f (x) 是一次函数，且有 f [ f (x)] = 9x + 8 ，求 f (x) 的解析式．【思路分析】设f（x）＝ax+b（a≠0），由f[f（x）]＝9x+8．比较对应项系数可得方程组，解出即得a，b．从而得到函数解析式．【答案】解：设f（x）＝ax+b（a≠0），则f[f（x）]＝a f（x）+b＝a（a x+b）+b＝a2x+a b+b＝9x+8∴a2＝9且a b+b＝8，解得，a＝3，b＝2 或a＝﹣3，b＝﹣4，∴一次函数的解析式为：f（x）＝3x+2 或f（x）＝﹣3x﹣4．【点睛】本题考查一次函数的性质及图象，属基础题，若已知函数类型，可用待定系数法求其解析式．属于基础题．【练 3.3】已知二次函数f (x) =x2 +ax +b ，A = {x | f (x) = 2x} = {22} ，试求f (x) 的解析式.【思路分析】由已知中二次函数f（x）＝x2+a x+b，A＝{x|f（x）＝2x}＝{22}，可得方程（x）＝x2+a x+b＝2x有两个相等的实根 22，由韦达定理求出a，b的值得答案．【答案】解：∵二次函数f（x）＝x2+a x+b，A＝{x|f（x）＝2x}＝{22}，故方程（x）＝x2+a x+b＝2x有两个相等的实根22，即方程x2+（a﹣2）x+b＝0有两个相等的实根22，即22+22＝﹣（a﹣2）且22×22＝b，解得：a＝﹣42，b＝484，故f（x）＝x2﹣42x+484．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是答案的关键，是基础题．【考点4 求函数解析式—换元法】【练 4】设函数f (x) 满足f (2x - 3) =x2 +x -1 ，求 f (x) 的解析式；【思路分析】可设2x﹣3＝t，从而求得x=1t3，代入f（2x﹣3）＝x2+x﹣1并整理可得出ƒ(t)=1t22 2 42t 11，从而得出ƒ(x) = 1 x2 2x 11；4 4 4【答案】解：设2x﹣3＝t，则x=1t3，带入f（2x﹣3）＝x2+x﹣1得：ƒ(t)=(1t3)21t3—1=1t22 22 2 2 2 42t 11；4∴ƒ(x) = 1 x2 2x 11；4 4【点睛】考查换元求函数解析式的方法．x x【练 4.1】已知f ( +1) =x + 2 ，求 f (x) 的解析式【思路分析】令x—1＝t，则x=t+1，x＝（t+1）2，（t≥﹣1），代入函数的表达式求出即可；【答案】解：令x—1＝t，则x=t+1，x＝（t+1）2，（t≥﹣1），∴ 由f（x —1）＝x+2 x，得：f（t）＝（t+1）2+2（t+1）＝t2+4t+3，（t≥﹣1），∴f（x）＝x2+4x+3，（x≥﹣1）．【点睛】本题考查的是函数的解析式求法，用待定系数法求解，本题难度不大，属于基础题．【练 4.2】已知函数f (x) 满足关系式f (x + 2) = 2x + 5 ，求f (x) 的解析式；【思路分析】将f（x+2）＝2x+5 中的x+2 看作整体，解得x，代入其解析式，则解得f（x）．【答案】解：令t＝x+2，∴x＝t﹣2∴f（t）＝2t+1令x＝t∴f（x）＝2x+1【点睛】本题主要考查用换元法求函数解析式，要注意等价转化，即要注意换元前后的取值范围．【练4.3】已知f（1—x）＝2x，求f（x）的解析式；1x【思路分析】令1—x =t，然后，用t表示x，利用换元法求解其解析式；1x【答案】解：令1—x =t，1x∴x= 1—t，1t∴f（t）＝21—t，1t∴f（x）＝21—x；1x【点睛】本题重点考查了换元法求解函数的解析式，【考点5 求函数解析式—代入法】【练5】已知f（x）＝3x2+1，g（x）＝2x﹣1，求f[g（x）]和g[f（x）]的解析式．【思路分析】分别把g（x）和f（x）整体代入到f（x）和g（x）的解析式化简可得．【答案】解：∵f（x）＝3x2+1，g（x）＝2x﹣1，∴f[g（x）]＝3（2x﹣1）2+1＝12x2﹣12x+4；∴g[f（x）]＝2（3x2+1）﹣1＝6x2+1【点睛】本题考查复合函数的解析式，属基础题．【练5.1】已知函数f（x）＝2x+1，g（x）＝3x2﹣5（1）求f（1），g（2）的值（2）求g（a+1）的表达式（3）求f（g（x））的表达式．【思路分析】（1）根据函数f（x）、g（x）的对应法则，分别将x＝1、x＝2 代入，即可求出f（1），g（2）的值；（2）根据g（x）的对应法则，用a+1 代替x，化简即可得出g（a+1）的表达式；（3）先在f（x）表达式中用g（x）代替x，得f（g（x））＝2g（x）+1，再将g（x）表达式代入即可得到所求．【答案】解：根据题意，得（1）f（1）＝2×1+1＝3，g（2）＝3×22﹣5＝7；（2）g（a+1）＝3（a+1）2﹣5＝3a2+6a﹣2；（3）f（g（x））＝2g（x）+1＝2[3x2﹣5]+1＝6x2﹣9．【点睛】本题给出函数f（x）、g（x）的表达式，求f（g（x）的表达式．着重考查了函数的定义和解析式的求法等知识，属于基础题．【练5.2】已知f（x）＝2x﹣1，g（x）1=1x2（1）求f（x+1），g （1），f（g （x））；x（2）写出函数f（x）与g（x）定义域和值域．【思路分析】（1）分别代入化简即可；（2）直接写出定义域与值域．【答案】解：（1）f（x+1）＝2（x+1）﹣1＝2x+1；g（1）= 1 = x2 ，x 111x22xf（g（x））＝f（ 1 ）＝2 1 —1；1x2 1x2（2）函数f（x）的定义域为R，值域R；g（x）的定义域为R，值域为（0，1]．【点睛】本题考查了函数的定义域与值域的求法，属于基础题．【练5.3】函数f（x）＝3x﹣1，若f[g（x）]＝2x+3，则g（x）＝．【思路分析】直接利用函数的解析式，求解即可．【答案】解：函数f（x）＝3x﹣1，若f[g（x）]＝2x+3，可得 3g（x）﹣1＝2x+3，解得g（x）= 2 x 4．3 3故答案为：2 x 4．3 3【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．【考点6 求函数解析式—方程组法】【练 6】已知函数f（x）对任意的x∈R 都满足f（x）+2f（﹣x）＝3x﹣2，求f（x）的解析式．【思路分析】利用方程思想求解函数的解析式即可．【答案】解：函数f（x）对任意的x∈R 都满足f（x）+2f（﹣x）＝3x﹣2，…①，则f（﹣x）+2f（x）＝﹣3x﹣2，…②，①﹣2×②可得：﹣3f（x）＝9x+2，可得f（x）＝﹣3x—2．3f（x）的解析式：f（x）＝﹣3x—2．3【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数与方程的思想的应用，考查计算能力．【练 6.1】已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求f（x）的解析式．【思路分析】由题意，设f（x）＝a x+b，代入f[f（x）]中，利用多项式相等，对应系数相等，求出a、b的值即可；【答案】解：∵f（x）是一次函数，∴设f（x）＝ax+b，（a≠0），则f[f（x）]＝f[a x+b]＝a（a x+b）+b＝a2x+a b+b，又∵f[f（x）]＝9x+4，∴a2x+a b+b＝9x+4，即t2 = 9 ，t䘞䘞= 4解得t = 3或t =— 3，䘞 = 1 䘞 =— 2∴f（x）＝3x+1 或f（x）＝﹣3x﹣2；【点睛】本题考查了求函数解析式的问题，解题时应用待定系数法，设出函数的解析式，求出系数即可，是中档题．【练6.2】已知f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2，求f（x）的解析式．x【思路分析】根据f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2，用1代替x，得出另一方程，解方程组，求出f（x）的解析x x式．【答案】解：∵f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2…①，x∴f（1）﹣2f（x）＝3•1—2…②，x x②×2，得；2f（1）﹣4f（x）= 6—4…③，x x③+①，得；﹣3f （x ）＝3x 6 —6，x∴f （x ）＝﹣x — 2 —2．x【点睛】本题考查了利用方程组求函数解析式的应用问题，是基础题目．【练 6.3】已知 f （x ）是一次函数，且 2f （1）+3f （2）＝3，2f （﹣1）﹣f （0）＝﹣1，求 f （x ）的解析式；【思路分析】根据题意，设f （x ）＝k x +b ，结合题意可得 2(m 䘞) 3(2m 䘞) = 3，解可得 k 、b 的值，2( — m 䘞) — 䘞 =— 1 代入函数的解析式即可得答案；【答案】解：根据题意，设 f （x ）＝kx +b ， 若 2f （1）+3f （2）＝3，2f （﹣1）﹣f （0）＝﹣1，则有 2(m 䘞) 3(2m 䘞) = 3， 2( — m 䘞) — 䘞 =— 1解可得：k = 4，b =— 1；99则 f （x ）= 4x — 1；99【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，注意待定系数法的应用，属于基础题．【考点 7 分段函数求值】⎧1 x -1，x ≤ 0【练 7】设函数 f (x ) = ⎪ 2若 f （a ） = a ，则实数 a 的值为()⎨ 1 ⎪ ，x > 0 ⎩ xA. ±1B. -1 C ． -2 或-1 D ． ±1 或-2【思路分析】由分段函数的解析式知，当 x ≥0 时，f （X ）= 1 x — 1；当 x ＜0 时，f （x ）= 1；分别令 f2x（a ）＝a ，即得实数 a 的取值．【答案】解：由题意知，f （a ）＝a ；当 a ≥0 时，有1t — 1 = t ，解得 a ＝﹣2，（不满足条件，舍去）；2当 a ＜0 时，有1= t ，解得 a ＝1（不满足条件，舍去）或 a ＝﹣1．t⎨ 所以实数 a 的值是：a ＝﹣1． 故选：B ．【点睛】本题考查了分段函数中用解析式解方程的简单问题，需要分段讨论，是分段函数的常用方法．⎧ 1x +1，x ≤ 0【练 7.1】已知 f (x ) = ⎪ 2⎪⎩- (x -1)2，x > 0使 f (x ) ≥ -1 成立的 x 的取值范围是( )A ．[-4 ， 2)B ．[-4 ， 2]C ． (0 ， 2]D ． (-4 ， 2]【思路分析】由分段函数，讨论 x ≤0，x ＞0，由一次不等式和二次不等式的解法，解不等式，求并集即可得到所求范围．【答案】解：f （x ）=1 x 1，x ≤ 䕼2，— (x — 1)2，x ＞䕼由 f （x ）≥﹣1，x ≤ 䕼x ＞䕼可得 1 x 1 ≤— 1或2— (x — 1)2 ≤— 1，即x ≤ 䕼x ≤— 2 或 x ＞䕼 ， 䕼 ≤ x ≤ 2即有﹣4≤x ≤0 或 0＜x ≤2， 可得﹣4≤x ≤2． 即 x 的取值范围是[﹣4，2]． 故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的运用：解不等式，考查一次不等式和二次不等式的解法，考查运算能力， 属于中档题．⎧⎪x 2 + 4x + 3，x ≤ 0 【练 7.2】已知函数 f (x ) = ⎨则 f ( f （5） ) = ( )⎩⎪ 3 - x ，x > 0A ．0B ． -2 C. -1 D ．1【思路分析】分段函数是指在定义域的不同阶段上对应法则不同，因此分段函数求函数值时，一定要看清楚自变量所处阶段，例如本题中，5∈{x |x ＞0}，而 f （5）＝﹣2∈{x |x ≤0}，分别代入不同的对应法则求值即可得结果【答案】解：因为 5＞0，代入函数解析式 f （x ）=x 2 4x 3，x ≤ 䕼得 f （5）＝3﹣5＝﹣2，3 — x ，x ＞䕼⎨- x - 2a ，x ≥ 1所以 f （f （5））＝f （﹣2），因为﹣2＜0，代入函数解析式 f （x ）=＝（﹣2）2+4×（﹣2）+3＝﹣1故选：C ．x 2 4x3，x ≤ 䕼3 — x ，x ＞䕼得 f （﹣2）【点睛】本题考查了分段函数的定义，求分段函数函数值的方法，解题时要认真细致，准确运算．【练 7.3】已知实数 a ≠ 0 ，函数 f (x ) = ⎧ 2x + a ，x < 1，若 f (1 - a ) = f (1 + a ) ，则 a 的值为()⎩A. - 34B. 34 C. - 35D. 35【思路分析】若 a ＞0，则 1﹣a ＜1，1+a ＞1，由 f （1﹣a ）＝f （1+a ），得 2（1﹣a ）+a ＝﹣（1+a ）﹣ 2a ；若 a ＜0，则 1﹣a ＞1，1+a ＜1，由 f （1﹣a ）＝f （1+a ），得 2（1+a ）+a ＝﹣（1﹣a ）﹣2a ．由此能求出 a 的值．【答案】解：∵实数 a ≠0，函数 f （x ）=2xt ，x ＜1— x — 2t ，x ≤ 1，f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴若 a ＞0，则 1﹣a ＜1，1+a ＞1，又 f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴2（1﹣a ）+a ＝﹣（1+a ）﹣2a ，解得 a =— 3，不成立；2若 a ＜0，则 1﹣a ＞1，1+a ＜1，又 f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴2（1+a ）+a ＝﹣（1﹣a ）﹣2a ，解得 a =— 3．4∴a =— 3．4故选：B ．【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．。
专题1.4.3 正切函数的图象与性质重难点题型(举一反三)(解析版) (1)
专题1.4.3正切函数的图象与性质重难点题型【举一反三系列】【知识点1 正切函数的图象】正切函数Rxxy∈=tan，且()zkkx∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”（1）复习单位圆中的正切线：AT=tanα（2）利用正切线画函数y= tanx，x∈)2,2(ππ-的图象步骤是：①作直角坐标系，并在x=2π-的左侧作单位圆②把单位圆的右半圆分成8份，（每份8π）.分别在单位圆中作出正切线；③把横坐标从2π-到2π也分成8份④把正切线的端点移到对应的位置；⑤把上面的点连成光滑的曲线．由于tan （x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x ∈)2,2(ππ-的图象左、右移动kπ个单位（k ∈z ）就得到y=tanx （x ∈R 且x≠kπ+2π）的图象.【知识点2 正切函数的性质】 1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R由正切函数的图象可知，当()2x k k z ππ<+∈且无限接近于2k ππ+时，tan x 无限增大，记作tan x →+∞（tan x 趋向于正无穷大）；当()2x k k z ππ>-+∈，tan x 无限减小，记作tan x →-∞（tan x 趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tan x 可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线,2x k k z ππ=+∈为正切函数的渐进线．3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-． 要点诠释：观察正切函数的图象还可得到：点,0()2k k z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是函数tan ,y x x R =∈，且2x k ππ≠+的对称中心，正切函数图象没有对称轴5．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增要点诠释：正切函数在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．【知识点3 正切型函数的性质】1．定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2x k k z πωϕπ+≠+∈解得x ．2. 值域：(),-∞+∞3．单调区间：（1）把“x ωϕ+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2y x x k k z ππ=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围．要点诠释：若0ω<，一般先用诱导公式化为0ω>，使x 的系数为正值，然后求单调区间． 4．奇偶性：当()2k k z πϕ=∈时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 5．周期：最小正周期为||T πω=．【考点1 正切函数的定义域】 【例1】求下列函数定义域． （1）tan 2xy =（2）11tan y x=-．【分析】（1）根据正切函数的定义域，写出该函数的定义域即可； （2）根据分母不为0，结合正切函数的定义域，求出该函数的定义域． 【答案】解：（1）∵y ＝tan ， ∴﹣+k π＜＜+k π，k ∈Z ，即﹣π+2k π＜x ＜π+2k π，k ∈Z ，∴函数y 的定义域是{x |﹣π+2k π＜x ＜π+2k π，k ∈Z }； （2）∵y ＝，∴1﹣tan x ≠0， ∴tan x ≠1，∴x +k π，k ∈Z ；∴函数y 的定义域是{x |﹣+k π＜x ＜+k π，且x ≠+k π，k ∈Z }．【点睛】本题考查了正切函数的定义域的应用问题，是基础题目． 【变式1-1】求下列函数的定义域 （1）tan(2)4y x π=-；（2）1tan y x=；（3）y = 【分析】（1）由2x ﹣≠，k ∈Z ，求得x 的范围得答案；（2）由正切函数本身有意义且分式的分母不为0求得x 的范围得答案； （3）由根式内部的代数式大于等于0求解x 的范围得答案． 【答案】解：（1）由2x ﹣≠，k ∈Z ，得x ≠，k ∈Z ．∴y ＝tan （2x ﹣）的定义域为{x |x ≠，k ∈Z }；（2）由，得x ，k ∈Z ．∴y ＝的定义域为{x |x ，k ∈Z }；（3）由1+tan x ≥0，得k π﹣，k ∈Z ．∴y ＝的定义域为[k π，），k ∈Z ．【点睛】本题考查与正切函数有关的函数定义域的求法，是基础题． 【变式1-2】求下列函数的定义域①y②y③y =【分析】根据函数的解析式，列出关于自变量的不等式（组），求出解集即可．【答案】解：①∵y＝，∴tan x﹣≥0，∴tan x≥，解得x≥+kπ，且k∈Z；又x≠+kπ，k∈Z，∴函数y的定义域是{x|+kπ≤x＜+kπ，k∈Z}；②∵y＝，∴tan x≥0，∴0＜tan x≤1，解得kπ＜x≤+kπ，且k∈Z；∴函数y的定义域是{x|kπ＜x≤+kπ，k∈Z}；③∵y＝，∴tan x+lg（1﹣tan x）≥0，∴∴0≤tan x＜1，∴kπ≤x＜+kπ，k∈Z；∴函数y的定义域是{x|kπ≤x＜+kπ，k∈Z}．【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是综合题目．【变式1-3】（2019春•城区校级期中）求函数tan()6yx=+的定义域．【分析】由题意可得，，k∈z解不等式即可求解【答案】解：由题意可得，，k∈z∴{x|，且x k∈z}【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，解题的关键是寻求函数有意义的条件 【考点2 正切函数的值域】 【例2】求下列函数的值域： （1）tan y x =，(2x π∈-，]4π； （2）tan()6y x π=+，[3x π∈-，]6π．【分析】（1）利用正切函数的单调性，求得正切函数的值域． （2）利用正切函数的单调性，求得正切函数的值域． 【答案】解：（1）函数y ＝tan x ，在x ∈（﹣，]上单调递增，tan （﹣）的值趋向于﹣∞，tan＝1，故y ＝tan x ，x ∈（﹣，]的值域为（﹣∞，1]． （2）由于函数y ＝tan （x +），在x ∈[﹣，]上单调递增，tan （﹣）＝﹣，tan＝，故y ＝tan （x +），x ∈[﹣，]的值域为[﹣，]．【点睛】本题主要考查正切函数的单调性，正切函数的值域，属于中档题． 【变式2-1】求下列函数的值域 （1）3sin 13sin 2x y x +=+；（2）221tan ()41tan ()4x y x ππ--=+-；【分析】（1）分离常数，利用sin x 的有界性求出函数的值域； （2）利用正切化弦和二倍角公式化简为sin2x ，然后直接求出值域． 【答案】解：（1）＝因为﹣1≤sin x ≤1，所以﹣1≤3sin x +2≤5的值域为（﹣∞，]∪[2，+∞）（2）＝＝cos （﹣2x ）＝sin2x所以的值域为：[﹣1，1]【点睛】本题考查正弦函数的定义域和值域，运用诱导公式化简求值，同角三角函数的基本关系式，考查计算能力．【变式2-3】函数tan y x =在[3π，)(22ππ⋃，2]3π上的值域为 ．【分析】根据正切函数的图象与性质，求出函数y ＝tan x 的值域． 【答案】解：x ∈[，）时，tan x ∈[，+∞）； x ∈（，]时，tan x ∈（﹣∞，﹣]； ∴函数y ＝tan x 在[，）∪（，]上的值域为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点睛】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 【变式2-4】已知[4x π∈-，]3π，函数2tan tan()1y x x π=--+的值域是 ．【分析】利用换元法，结合正切函数和一元二次函数的单调性进行求解即可． 【答案】解：y ＝tan 2x ﹣tan （π﹣x ）+1＝tan 2x +tan x +1＝（tan x +）2+， 设t ＝tan x ， ∵x ∈[﹣，]，∴tan （﹣）≤tan x ≤tan，即﹣1≤tan x ≤， 即﹣1≤t ≤，则函数等价为y ＝（t +）2+，对称轴为x ＝﹣， ∵﹣1≤t ≤，∴当t＝﹣时，函数取得最小值，当t＝时，函数取得最大值4+，故函数的值域为[，4+]，故答案为：[，4+]【点睛】本题主要考查函数值域的求解，利用换元法，结合正切函数和一元二次函数的单调性是解决本题的关键．【考点3 正切函数的图象】【例3】画出1tan()23y xπ=-在一个周期内的图象．【分析】先求出周期，列表令分别等于﹣，0，﹣求得对应的x，y值，以这x，y值作为点的坐标，在坐标系中描出，用平滑曲线连接，即得它在一个周期内的闭区间上的图象．【答案】解：周期T＝＝2π，列表：﹣0x﹣y＝tan﹣∞0+∞作图：【点睛】本题主要考查了正切函数的图象和性质，考查了三角函数图象的画法，属于基本知识的考查． 【变式3-1】已知函数2tan(2)3y x π=-+，求定义域、值域和单调区间，并在区间内画出图象．【分析】根据正切函数的图象和性质即可得到结论． 【答案】解：y ＝2tan （﹣2x +）＝﹣2tan （2x ﹣），由2x ﹣≠k π，k ∈Z ，即x ≠，即函数的定义域为{x |x ≠}，k ∈Z ，正切函数的值域为R ， 由k π﹣＜2x ﹣＜k π，k ∈Z ， 即＜x ＜，k ∈Z ，即函数的单调递减区间为（，），则对应的函数图象如右图．【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质，要求熟练掌握正切函数的定义域，值域以及单调性的求解和判断．【变式3-2】（2019春•葫芦岛期中）已知函数()2sin f x x =，()g x x =，3(0,)2x π∈． （1）求函数()y f x =与()y g x =的图象的交点；（2）在同一坐标系中，画出()f x ，()g x 的草图，根据图象 ①写出满足()()f x g x >的实数x 的取值范围； ②写出这两个函数具有相同的单调区间．【分析】（1）令f （x ）＝g （x ）解出x 即为图象交点的横坐标；（2）做出函数图象，根据函数图象得出结论．【答案】解：（1）令f（x）＝g（x）得2sin x＝tan x＝，∴cos x＝，或sin x＝0，∵x∈（0，），∴x＝或x＝π．∵f（）＝1，f（π）＝0，∴f（x），g（x）的图象交点为（，1），（π，0）．（2）做出函数的图象如下：①由图象可知f（x）＞g（x）的实数x的取值范围是（0，）∪（，π）．②由图象可知f（x）在（0，）上具有相同的单调性．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．【变式3-3】画出函数|tan|tan=+的图象，并根据图象求出函数的主要性质．y x x【分析】根据函数y的解析式，画出函数y的图象，结合图形求出它的定义域、值域和单调性、周期性即可．【答案】解：∵y＝|tan x|+tan x＝，∴画出函数y＝|tan x|+tan x的图象，如图所示；则该函数的定义域是{x|x≠+kπ，k∈z}，值域是[0，+∞）， 单调递增区间是[k π，k π+），k ∈z ，最小正周期是π．【点睛】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是基础题目．【考点4 正切函数的奇偶性】【例4】判断函数tan sin y x x =-的奇偶性．【分析】求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义进行判断． 【答案】解：函数的定义域为{x |x ≠k π﹣，k ∈Z }定义域关于原点对称，则f （﹣x ）＝tan （﹣x ）﹣sin （﹣x ）＝﹣tan x +sin x ＝﹣（tan x ﹣sin x ）＝﹣f （x ）， 则函数y ＝tan x ﹣sin x 为奇函数．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，求出函数的定义域以及利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键．【变式4-1】已知2()sin tan f x x x =+，判断()f x 的奇偶性． 【分析】根据奇偶函数的定义，即可判断． 【答案】解：∵f （x ）＝sin 2x +tan x ，∴f （﹣x ）＝sin 2（﹣x ）+tan （﹣x ）＝sin 2x ﹣tan x ≠﹣f （x ），且f （﹣x ）≠f （x ）， 可得函数f （x ）是非奇非偶函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性，正确运用奇偶函数的定义是关键． 【变式4-2】判断函数1()cos tan sin f x x x x=+的奇偶性． 【分析】先求得函数的定义域关于原点对称，再根据f （﹣x ）＝﹣f （x ），可得函数f （x ）为奇函数． 【答案】解：由函数f （x ）＝cos x •tan x +＝sin x +，可得sin x ≠0，且cos x ≠0，求得x ≠k π，或x ≠k π+，k ∈z ，即x ≠，k ∈z ，∴故函数的定义域为{x |x ≠，k ∈z }，关于原点对称． 再根据f （﹣x ）＝﹣sin x +＝﹣（sin x +）＝﹣f （x ），可得函数f （x ）为奇函数．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题． 【变式4-3】试判断下列函数的奇偶性． （1）()12cos |tan |:f x x x =-+ （2）22()tan sin f x x x x =-．【分析】确定函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义，即可得出结论． 【答案】解：（1）函数的定义域为{x |x ≠+k π，k ∈Z }，f （﹣x ）＝1﹣2cos （﹣x ）+|tan （﹣x ）|＝1﹣2cos x +|tan x |＝f （x ）， ∴函数是偶函数； （2）函数的定义域为{x |x ≠+k π，k ∈Z }，f （﹣x ）＝（﹣x ）2tan （﹣x ）﹣sin 2（﹣x ）＝﹣（x 2tan x ﹣sin 2x ）＝﹣f （x ）， ∴函数是奇函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性，正确运用函数的奇偶性的定义是关键． 【考点5 正切函数的对称中心】【例5】（2018春•铁东区校级期中）函数tan(2)3y x π=+的对称中心为 ．【分析】由2x +＝求得x 值，即可得到函数y ＝tan （2x +）﹣的对称中心．【答案】解：由2x +＝，可得x ＝，k ∈Z ．∴函数y ＝tan （2x +）﹣的对称中心为（，），k ∈Z ．故答案为：（，），k ∈Z ．【点睛】本题考查正切型函数对称中心的求法，是基础的计算题．【变式5-1】（2018秋•闵行区校级月考）函数3tan(2)13y x π=+-的对称中心坐标是 ．【分析】根据正切函数y ＝tan x 的对称中心坐标为（，0），k ∈Z ，求出即可．【答案】解：函数y ＝3tan （2x +）﹣1中，令2x +＝，k ∈Z ，解得x ＝﹣，k ∈Z ； 所以函数y 的对称中心坐标为（﹣，﹣1），k ∈Z ．故答案为：（﹣，﹣1），k ∈Z ．【点睛】本题考查了正切型函数的对称中心应用问题，是基础题． 【变式5-2】（2018秋•如皋市校级月考）已知函数()tan()f x x ϕ=+，||2πϕ<的图象的一个对称中心为(,0)3π，则ϕ的值为 ． 【分析】由题意可得φ＝，k ∈Z ，结合φ的范围取k 值得答案．【答案】解：∵函数f （x ）＝tan （x +φ）的图象的一个对称中心为，∴φ＝，k ∈Z ， 则φ＝﹣，k ∈Z ． 又，取k ＝0，得φ＝；取k ＝1，得φ＝．∴φ的值为或． 故答案为：或．【点睛】本题考查正切函数的对称性，熟记正切函数的对称中心是关键，是基础题．【变式5-3】（2018秋•荆州区校级月考）函数tan(2)y x k θ=++图象的一个对称中心为(,1)6π-，其中(0,)2πθ∈，则点(,)k θ对应的坐标为 ．【分析】根据正切函数的对称性进行求解，建立方程求出θ与k 即可． 【答案】解：∵y ＝tan （2x +θ）+k 图象的一个对称中心为（），∴k ＝﹣1，由2×+θ＝得θ＝﹣，k ∈Z∵θ∈（0，），∴当k ＝1时，θ＝＝，则点（θ，k ）对应的坐标为（），故答案为：（）【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正切函数的对称性是解决本题的关键． 【考点6 正切函数的单调性及周期性】【例6】（2019春•丰城市校级期中）求3tan()64xy π=-的周期及单调区间．【分析】根据正切函数的周期公式直接求出函数的周期，利用正切函数的单调性直接求出y ＝3tan （﹣）的单调区间． 【答案】解：y ＝3tan （﹣）＝﹣3tan （﹣），∴T ＝＝4π，∴y ＝3tan （﹣）的周期为4π．由k π﹣＜﹣＜k π+，得4k π﹣＜x ＜4k π+（k ∈Z ），y ＝3tan （﹣）在（4k π﹣，4k π+）（k ∈Z ）内单调递增． ∴y ＝3tan （﹣）在（4k π﹣，4k π+）（k ∈Z ）内单调递减．【点睛】本题是基础题，考查正切函数的周期，单调区间的求法，牢记基本函数的单调性是解好函数单调区间的前提，记熟记牢才能得心应手． 【变式6-1】已知3tan 1y x ω=+在(3π-，)4π内是减函数，求ω的取值范围．【分析】由题意可得ω＜0，且≥，解不等式可得． 【答案】解：∵y ＝3tan ωx +1在（﹣，）内是减函数，∴ω＜0，且周期T ＝≥，解得≤ω＜0，∴ω的取值范围为[，0）【点睛】本题考查正切函数的单调性，属基础题． 【变式6-2】已知函数tan y x =在区间(3a π-，)2a π上单调递增，求a 的取值范围． 【分析】根据正切函数的单调性，结合函数y ＝tan x 在区间（﹣，）上单调递增，可得不等式，即可求a 的取值范围．【答案】解：∵函数y ＝tan x 在区间（﹣，）上单调递增，∴﹣≤﹣，≤，∵0＜a ≤1．【点睛】本题考查正切函数的单调性，考查学生的计算能力，正确运用正切函数的单调性是关键．【变式6-3】已知函数()(0)xf x πωω> （1）当4ω=时，求()f x 的最小正周期及单调区间； （2）若|()|3f x 3≤在[,]34x ππ∈-上恒成立，求ω的取值范围．【分析】（1）当ω＝4时，根据正切函数的周期公式和单调性即可求f （x ）的最小正周期及单调区间； （2）根据|f （x ）|≤3在x ∈[﹣]上恒成立，建立了周期和最值之间的关系即可．【答案】解：（1）当ω＝4时，f （x ）＝tan，则f （x ）的最小正周期T ＝，由k π＜＜k π+，k ∈Z ，得4k ﹣2＜x ＜4k +2，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为（4k ﹣2，4k +2），k ∈Z ； （2）∵ω＞0， ∴函数f （x ）的周期T ＝，∴若|f （x ）|≤3在x ∈[﹣]上恒成立， 则f （x ）在x ∈[﹣]上为单调递增函数，满足＞﹣＝﹣，∴ω＞，∵|f（）|＞f（），此时满足f（﹣）≥﹣3，即f（﹣）＝tan（﹣×）≥﹣3，即tan（﹣×）≥﹣，则﹣×≥，则≤1，即ω≥π，综上ω≥π．【点睛】本题主要考查正切函数的周期和单调性的应用，综合考查正切函数的图象和性质．。
高一数学 函数 函数的表示法 重难点解析 人教版
数学 函数 函数的表示法【重点难点解析】1．本单元的知识结构：2．理解函数概念，并掌握函数关系的判定方法及函数的三要素．3．理解映射概念，并会用映射的观点看待函数关系．4．理解函数符号f 的意义及函数关系的三种表示方法．【考点】1．函数关系的判断与函数符号f 的意义及应用．2．函数关系的三种表示、联系及求函数的定义域．3．应用函数与方程思想考虑问题．【典型热点考题】例1 (1)已知集合A ＝{－3，－2，－1，1，2}，集合B ＝{1，2，3}．集合A 到集合B 的对应法则是“取绝对值”；(2)集合A ＝{x|x ≤0}，集合B ＝{y|y ≥4}，集合A 到B 的对应法则是“平方加4”．上述对应是否是集合A 到B 的函数？是否是A 到B 的一一对应的函数？思路分析判断集合间的对应关系是否是函数或是一一对应的函数，必须严格依据定义要求作出判别，这实际上是抽象的定义在具体问题中的再现．解：(1)∵|－3|＝3，|－2|＝|2|＝2，|－1|＝|1|＝1，即－3→3，－2→2，2→2，－1→1，1→1．∴A 中的任何一个元素在对应法则“取绝对值”下，与B 中惟一的元素相对应．∴这个对应是集合A 到B 的一个函数f ：A →B ．∵在函数f ：A →B(即取绝对值)下，A 中的两个元素|－2|＝2，|2|＝2，有同一个函数值，所以这个函数不是A 到B 的一一对应的函数．(2)对A 中的任何一个元素x ，则x ≤0．∵02≥x ，44x 2≥+∴4x 2+必是B 中的一个元素又∵若B a 4x 2∈=+，则4a x -±= ∴A 4a x ∈--=∴A 中的任何一个元素在对应法则“平方加4”下与B 中惟一确定的元素相对应．∴对应法则“平方加4”是集合A 与B 的一个函数g ：A →B ．∵若A x 1∈，A x 2∈且21x x ≠∴4x 4x 2221+≠+若y ∈B ，则y ≥4，y －4≥0 ∴04y ≤--，则A 4y ∈--∴函数g ：A →B(平方加4)是A 到B 一一对应的函数．例2 已知集合}0)4x 3x )(1x (|x {A 2=-+-=，集合}5a 2a 5a a {B 2--+=，，，映射f ：A →B 是“加2”．求实数a 的值，并判断映射f ：A →B 是不是一一映射？思路分析首先通过解方程确定集合A 中的元素，因为B 中的元素可能是A 中元素在映射f ：A →B 之下的象，由此依据对应法则可以布列含a 的方程式，通过解方程确定a ．又因为B 中的元素均与a 有关，而集合表示方法——列举法规定“相同的元素只写一次”，所以解得的每一个a 值都必须代入检验．解：∵0)4x 3x )(1x (2=-+-∴1x x 21==，4x 3-=∴集合A ＝{1，－4}∵映射f ：A →B 是“加2”∴1＋2＝3∈B ，－4＋2＝－2∈B①当a ＝3时，a ＋5＝8，25a 2a 2-=--∴B ＝{3，－2，8}此时8无原象，f ：A →B 不是一一映射．②当a ＝－2时，a ＋5＝3，35a 2a 2=--∴B ＝{－2，3}与B 有三个元素矛盾∴a ≠－2．③当a ＋5＝－2时，a ＝－7，585a 2a 2=--∴B ＝{－7，－2，58}与3∈B 矛盾∴a ≠－7．④当25a 2a 2-=--时，1a 3a 21-==，若a ＝－1，a ＋5＝4，B ＝{－2，－1，4}与3∈B 矛盾，则a ≠－1∴a ＝3，B ＝{－2，3，8}，映射f ：A →B 不是一一映射．例3 已知函数82)(2--=x x x f ，(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)求函数f(－x)的定义域．思路分析如果给出了定义函数的具体的映射法则f(一般用解析表达式形式)，而且又无其他要求，则求函数的定义域时，只考虑映射法则要求的限制条件(解析式中运算有意义条件)即可．定义域确定后，再结合映射法则确定值域．第2小题中的函数f(－x)是一个与f(x)映射法则不同的新函数，它的映射法则是“f 且取相反数”，而函数f(x)的映射法则是“f ”，只是因为映射法则中都涉及同一个“f ”(在一道题中它的意义是统一的)，所以这两个函数在形式上和性质上必然有关联．解：(1)08x 2x 2≥--解得x ≤－2或x ≥4∴函数的定义域是(－∞，－2]∪[4，＋∞)作出二次函数8x 2x 2--的图象，则当x ∈(－∞，－2]时，+∞<--≤8x 2x 02当x ∈[4，＋∞)时，+∞<--≤8x 2x 02 ∴函数8x 2x y 2--=的值域是[0，＋∞)．(2)解法一：)(82)(2x g x x x f =--=-08x 2x 2≥-+解得x ≤－4或x ≥2∴函数f(－x)＝g(x)的定义域是(－∞，－4]∪[2，＋∞)解法二：函数f(x)的定义域是(－∞，－2]∪[4，＋∞)∴x ≤－2或x ≥4对于函数f(－x)而言，映射法则f 对－x 提出要求∴－x ≤－2或－x ≥4∴x ≥2或x ≤－4∴函数g(x)＝f(－x)的定义域是(－∞，－4)∪[2，＋∞]．例4 已知函数f(x)的定义域是(0，2]，求函数)1x (f 2-的定义域．思路分析若)1x (f )x (g 2-=，它的定义域就是求x 的取值范围．已知函数f(x)的定义域是(0，2]，即映射法则f 要求它之下的变量取值范围在区间(0，2]内，即1x 2-的取值范围是(0，2]，由此即可解出x(函数g(x)的自变量)的范围，也就是函数g(x)的定义域．解：∵函数f(x)的定义域是(0，2]设)1x (f )x (g 2-=∴21x 02≤-< ∴3x 11x 33x 1x 22≤<-<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤>或∴函数)1x (f )x (g 2-=的定义域是]3 1(1 3[，， ）--．例5 已知函数1ax y +=(a<0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．思路分析求一个给定的函数的定义域是正面提出问题，而先给定函数在某区间上有意义，再求函数解析式中字母参数(不是自变量字母)的范围，是从反面提出问题，这种问题求解时，思维分析比较多，一般都是较难的问题．题目已知函数在(－∞，1]上有意义，说明这个区间是函数的定义域区间的子区间．所以须先求函数的定义域区间，再利用两者的关系(子集合)构造含a 的不等式求解．解： ∵函数1ax y +=(a<0且a 是常数) ∴a1x 01ax -≤⇒≥+ ∴函数的定义域是]a 1(--∞，∵函数在区间(－∞，1]上有意义 ∴]a 1 ( (--∞⊆-∞，，1] ∴1a1≥- ∵a<0∴a ≥－1，则－1≤a<0∴a 的取值范围是[－1，0)．点评 一般从反面提出问题如：未解方程先给出其根的性质，或未解不等式先给定其解集的性质等，解决时都比较困难，要注意多分析各种关系，从中找到解题思路．例6 已知函数⎩⎨⎧≥-<+-=)1x (x 2x )1x ( 1x 2)x (f 2 (1)试比较f[f(－3)]与f[f(3)]的大小；(2)求使f(x)＝3的x 的值．思路分析解双重映射法则的函数值的问题，必须由内到外一层层地求值，即先求内层的函数值，再利用其求总的函数值．分段函数有关的问题，因自变量在不同的范围取值时，函数关系也不同，所以若由自变量求函数值如(1)，应先判断范围，再使用相应的解析函数式计算，若由函数值求自变量如(2)，或求自变量的范围，则每段函数都应独立计算以免丢解．解：(1)∵－3<1∴f(－3)＝－2(－3)＋1＝7∵7>1∴35727)7(f 2=⨯-=∴f[f(－3)]＝f(7)＝35∵3>1∴3323)3(f 2=⨯-=∴f[f(3)]＝f(3)＝3∴f[f(－3) ]>f[f(3)]．(2)当f(x)＝3时有⎩⎨⎧<-=⇒⎩⎨⎧<=+-1x 1x 1x 31x 2 ∴x ＝－1⎩⎨⎧≥-==⇒⎩⎨⎧≥=-1x 1x 3x 1x 3x 2x 212或 ∴x ＝3∴x ＝－1或x ＝3时，f(x)＝3．例7 已知函数)0x (x 1x 1)x (f 22≠+-=，则下面关系中成立的是( ) A ．0)x 1(f )x (f =+ B ．0)x 1(f )x (f =- C ．0)x 1(xf )x (f =- D ．0)x 1(f x )x (f 2=- 思路分析理解映射化的函数概念，即映射法则定义的函数关系及函数的表示方法，与自变量表示的字母或更复杂的式子无关，因此可以用f(x)给出的映射法则f ，确定函数)x (g )x1(f =的解析式，从而作出判断．解： ∵函数)0x (x1x 1)x (f 22≠+-= ∴x1有意义 ∴函数)0x ( 1x 1x )x1(1)x 1(1)x 1(f 2222≠+-=+-= ∴0)x1(f )x (f =+，则选A ．例8 作函数y ＝|2x －3|的图象．思路分析画函数图象主要用描点法作图，一般先求函数的定义域，在其中选定几个自变量的值，计算相应的函数值，就可确定点的坐标，将这些点用光滑曲线连起来即可．但复杂的函数图象可能中间有拐点，如果这些点缺失，就不可能正确地作出函数的图象，因此描点前，应讨论函数的性质，以求对函数图象有个概括的了解，再取点描点作图，能准确作出函数图象．解法一：(讨论绝对值)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-≥-=-=)23x ( 3x 2)23x ( 3x 2|3x 2|y ∴函数的图象是两条射线，在自变量23x =处连接． ∴103y 2230x 图象如图2－2解法二：(分析函数解析式性质)函数的定义域R ，值域y ≥0∵2x －3＝0时，23x =∴23x 2|3x 2|y -=-= ∵x 在23左右两侧“等距”取值时|2x －3|的值相等 ∴函数y ＝|2x －3|的图象关于直线23x =对称的两条射线． ∴02y 2321x 找点)2 21(，关于23x =的对称点)2 25(，即可作出图象． 点评 若函数中只含自变量的一次式且此一次式在绝对值号内，则函数的图象是轴对称图形．。
高一数学对数函数-重难点题型精讲(举一反三)(解析版)
专题4.7 对数函数-重难点题型精讲1．对数函数的定义(1)对数函数的定义：一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ).(2)判断一个函数是对数函数的依据：①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+).例如:y=是对数函数，而y=(x+1)，y.2．对数函数的图象与性质对数函数y=(a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示：3．底数a对对数函数图象的影响(1)底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a >1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a <1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y =与 (a >0,且a ≠1)的图象关于x 轴对称.(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论是a >1还是0<a <1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.①上下比较：在直线x =1的右侧,a >1时,a 越大,图象越靠近x 轴;0<a <1时,a 越小,图象越靠近x 轴; ②左右比较：比较图象与直线y =1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.4．反函数比较幂值大小的方法：【题型1 对数（型）函数的定义域与值域】 【方法点拨】根据对数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.【例1】（2022·广东·高一阶段练习）函数y ＝√lgx ＋lg(5－3x )的定义域是（ ） A ．[0,53)B ．[1,53)C ．[0,53]D ．[1,53]【解题思路】根据对数函数、根式的性质列不等式求函数定义域. 【解答过程】由题设，{x >0lgx ≥05−3x >0，可得1≤x <53.所以函数定义域为[1,53).故选：B.【变式1-1】（2022·浙江·高二学业考试）函数f(x)=log2(x2−2x)的定义域为（）A．(−∞,0)B．(2,+∞)C．(0,2)D．(−∞,0)∪(2,+∞)【解题思路】根据对数的真数大于零，得到一元二次不等式，即可求解.【解答过程】解：由题可知x2−2x>0，即x(x−2)>0，解得x<0或x>2.故函数f(x)=log2(x2−2x)的定义域为(−∞,0)∪(2,+∞).故选：D.【变式1-2】（2022·山西运城·高二期末）已知函数f(x)=lg(x2+1),x∈[−1,3]，则f(x)的值域为（）A．[0,+∞)B．[0,1)C．[lg2,1]D．[0,1]【解题思路】首先求出x2+1的范围，然后可得答案.【解答过程】因为x∈[−1,3]，所以x2+1∈[1,10]，所以f(x)=lg(x2+1)∈[0,1]，故选：D.【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）函数y=ln(x−2)+1的值域为（）A．R B．(1,+∞)C．[1,+∞)D．(2,+∞)【解题思路】由y=lnx的值域为R可得y=ln(x−2)+1的值域为R.【解答过程】由对数函数y=lnx的值域为R，向右平移2个单位得函数y1=ln(x−2)的值域为R，则y=ln(x−2)+1的值域为R，故选：A.【题型2 对数式的大小比较】【方法点拨】比较对数值的大小，主要依据对数函数的单调性，同底时可直接利用相应的对数函数比较大小；不同底时，可借助中间量进行比较.【例2】（2022·黑龙江·高三开学考试）已知a=log32，b=log52，c=3a−1，则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a【解题思路】根据对数恒等式，运算法则以及对数函数的单调性即可判断．【解答过程】因为c=3a-1=13×3log32=23，b=log52<log5√5=12，a=log32>log3√3=12，而23<32⇒2<323，a=log32<log3323=23，所以b<a<c．故选：B．【变式2-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知a=40.1，b=log32，c=log0.32，则（）A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【解题思路】根据指数函数、对数函数的单调性分别求出a，b，c的取值范围，即可求解.【解答过程】因为a=40.1>40=1，0=log31<b=log32<log33=1，c=log0.32<log0.31=0，所以a>b>c.故选：B.【变式2-2】（2022·河南·高三阶段练习（理））若a=0.50.3，b=log0.53，c=log0.30.2，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>a>b【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【解答过程】因为0<a=0.50.3<0.50=1，b=log0.53<0，c=log0.30.2>log0.30.3=1，所以b<a<c.故选：D.【变式2-3】（2022·贵州·高三阶段练习（理））设a=log53，b=log0.30.2，c=0.543，则a，b，c的大小关系为（）A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b【解题思路】根据指对数的性质判断大小关系即可.=2−1>c=0.543=2−43，【解答过程】由b=log0.30.2>1>a=log53>log5√5=12所以c<a<b.故选：D.【题型3 解对数不等式】【方法点拨】对数不等式的三种考查类型：(1)形如m>n的不等式，借助y=x的单调性求解.(2)形如m>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b=)，再借助y=x的单调性求解.(3)形如>(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=log4(x−2)−log4(a−x)，f（3）=0，则不等式f(2x−5)≤0的解集为（）A．(72,4]B．（3，4）C．（2，5）D．(92,4]【解题思路】根据f（3）=0，可得方程f(3)=log4(3−2)−log4(a−3)=0，进而解得a=4，再列出不等式f(2x−5)≤0，可得log4(2x−7)−log4(9−2x)≤0，根据对数函数的单调性和定义域可得：{2x−7>09−2x>02x−7≤9−2x，可得答案.【解答过程】由题意得，f(3)=log4(3−2)−log4(a−3)=0，解得a=4，所以f(x)=log4(x−2)−log4(4−x)，所以f(2x−5)=log4(2x−7)−log4(9−2x).因为f(2x−5)≤0，所以log4(2x−7)−log4(9−2x)≤0，即log4(2x−7)≤log4(9−2x)，从而{2x−7>09−2x>02x−7≤9−2x，解得72<x≤4.故不等式f(2x−5)≤0的解集为(72,4].故选：A.【变式3-1】（2022·云南楚雄·高二期末）已知函数f(x)的图象与g(x)=log14x的图象关于x轴对称，则不等式f(3x)<f(2x+1)的解集为（）A．(0,+∞)B．(0,1)C．(0,12)D．(−∞,1)【解题思路】由f(x)与g(x)关于x轴对称得到f(x)的解析式，又由f(x)的单调性得到不等式，从而解出范围.【解答过程】已知函数f (x )的图象与g (x )=log 14x 的图象关于x 轴对称，所以f (x )=−g (x )=−log 14x =log 4x ，又 f (x )=log 4x 是(0,+∞)上的增函数， 所以0<3x <2x +1，解得0<x <1. 故选：B.【变式3-2】（2022·四川自贡·高一期末）已知f (x )是定义在R 上的奇函数，在区间[0,+∞)上为增函数，则不等式f (log 12x)>0的解集为（ ）A ．(−∞,1)B ．(1,+∞)C ．(0,1)D ．(0,+∞)【解题思路】由奇函数知f(0)=0，再结合单调性及f (log 12x)>0得log 12x >0，解不等式即可.【解答过程】由题意知：f(0)=0，又f (x )在区间[0,+∞)上为增函数，当x >0时，f(x)>f(0)=0， 当x <0时，f(x)<0，由f (log 12x)>0可得log 12x >0，解得0<x <1.故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4的解集为（ ）A ．(0,1100) B ．(1100,+∞) C ．(0,100) D ．(100,+∞)【解题思路】利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lgx)>f (2)，再利用函数的单调性求解. 【解答过程】因为函数f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f (x )，又f(−2)=−2，f(2)=2，所以不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4，可化为2f(lgx)>4=2f (2)， 即f(lgx)>f (2)，又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增， 所以f(x)在R 上单调递增， 所以lgx >2， 解得x >100. 故选：D.【题型4 对数函数的图象及应用】【方法点拨】①对数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的函数图象.②对数函数图象的应用：对于与对数函数、对数型函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质，从而利用对数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.【例4】（2022·广东·高三阶段练习）函数y=|lg(x+1)|的图像是（）A．B．C．D．【解题思路】由函数y=lgx的图象与x轴的交点是(1,0)结合函数的平移变换得函数y=|lg(x+1)|的图象与x 轴的公共点是(0,0)，即可求解.【解答过程】由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lgx的图象左移一个单位而得到，函数y=lgx的图象与x轴的交点是(1,0)，故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0,0)，即函数y=|lg(x+1)|的图象与x轴的公共点是(0,0)，显然四个选项只有A选项满足.故选：A.【变式4-1】（2022·浙江·高一期中）函数y=lg|x+1|的图像的大致形状是（）A．B．C．D．【解题思路】求解函数的零点，根据排除法判断即可【解答过程】求lg|x+1|=0可得x+1=1或x+1=−1，解得x=0或x=−2，排除BCD；故选：A.【变式4-2】（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数y=log a x，y=log b x，y=log c x，y= log d x的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（）A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c【解题思路】根据对数函数的图象性质即可求解.【解答过程】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c．故选：C．【变式4-3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=log a(x−b)（a>0且a≠1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．a>0，b<−1B．a>0，−1<b<0C ．0<a <1，b <−1D ．0<a <1，−1<b <0【解题思路】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【解答过程】因为函数f (x )=log a (x −b )为减函数，所以0<a <1 又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以x =1+b >0，即b >−1 又因为函数图象与y 轴有交点，所以b <0，所以−1<b <0， 故选：D.【题型5 对数型复合函数性质的应用】 【方法点拨】借助对数函数的图象和性质来研究对数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.【例5】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=log a (x +2)+log a (1−x )（a >0，且a ≠1）. (1)当a =2时，求f (x )的单调性.(2)是否存在实数a ，使得f (x )在[−1,34]上取得最大值2?若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）先求出函数的定义域，再利用换元法求解函数的单调区间，（2）令t =−x 2−x +2，则由−1≤x ≤34，得t =−(x +12)2+94的值域为[1116,94]，然后分0<a <1，a >1求函数的最大值，使其等于2，列方程可求出a 的值. 【解答过程】（1）由题意可得{x +2>0,1−x >0, 解得−2<x <1，即f (x )的定义域为(−2,1).当a =2时，f (x )=log 2(x +2)+log 2(1−x )=log 2(−x 2−x +2). 令t =−x 2−x +2（x ∈(−2,1)），则y =log 2t ， 对称轴为x =−12，则函数t =−x 2−x +2在(−2,−12)上单调递增，在[−12,1)上单调递减，因为y =log 2t 在定义域内递增，所以f (x )在(−2,−12)上单调递增，[−12,1)上单调递减. （2）f (x )=log a (x +2)+log a (1−x )=log a (−x 2−x +2)， 令t =−x 2−x +2， 因为−1≤x ≤34，所以t =−(x +12)2+94的值域为[1116,94].当0<a <1时，f (x )在[−1,34]上的最大值是log a1116，则log a 1116=2，即a 2=1116，解得a =√114； 当a >1时，f (x )在[−1,34]上的最大值是log a 94， 则log a 94=2，即a 2=94，解得a =32. 综上，a 的值为√114或32. 【变式5-1】（2022·甘肃·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=log 12(3−2x −x 2).(1)求该函数的定义域； (2)求该函数的单调区间及值域.【解题思路】（1）令3−2x −x 2>0，解不等式即可求得定义域；（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定f (x )的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得μ≤4，结合对数函数单调性可求得值域. 【解答过程】（1）由3−2x −x 2>0得：−3<x <1，∴f (x )的定义域为(−3,1). （2）令μ=−x 2−2x +3，∴μ在(−3,−1)上单调递增；在(−1,1)上单调递减； 又f (μ)=log 12μ在(0,+∞)上单调递减，∴f (x )的单调递增区间为(−1,1)；单调递减区间为(−3,−1)， ∵μ≤−(−1)2−2×(−1)+3=4，∴log 12μ≥log 124=−2，∴f (x )的值域为[−2,+∞).【变式5-2】（2022·海南·高一期末）已知函数f (x )=log 4(x +1)+log 4(3−x )． (1)求f (x )的单调区间及最大值．(2)设函数g (x )=log 4[(m +2)x +4]，若不等式f (x )≤g (x )在x ∈(0,3)上恒成立，求实数m 的取值范围． 【解题思路】（1）首先确定f (x )的定义域，将其整理为f (x )=log 4[−(x −1)2+4]，利用复合函数单调性的判断方法得到单调性，结合单调性可求得最值；（2）根据对数函数单调性可将恒成立不等式转化为x 2+mx +1≥0，采用分离变量法可得m ≥ℎ(x )=−(x +1x )，结合对勾函数单调性可求得ℎ(x )max ，由此可得结果.【解答过程】(1)由{x +1>03−x >0得：−1<x <3，∴f (x )的定义域为(−1,3)； f (x )=log 4(x +1)+log 4(3−x )=log 4(−x 2+2x +3)=log 4[−(x −1)2+4]，令t (x )=−(x −1)2+4，则t (x )在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，又y =log 4t 在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：f (x )的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)；由单调性可知：f (x )max =f (1)=log 44=1.(2)∵f (x )≤g (x )在(0,3)上恒成立，∴log 4(−x 2+2x +3)≤log 4[(m +2)x +4]，即−x 2+2x +3≤(m +2)x +4，∴x 2+mx +1≥0在(0,3)上恒成立，∴m ≥−x −1x =−(x +1x )；令ℎ(x )=−(x +1x)，则ℎ(x )在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减， ∴ℎ(x )max =ℎ(1)=−2，∴m ≥−2，即实数m 的取值范围为[−2,+∞).【变式5-3】（2022·江苏·高三开学考试）已知函数f(x)=log 12(x 2−mx −m)． (1)若m =1，求函数f(x)的定义域．(2)若函数f(x)的值域为R ，求实数m 的取值范围．(3)若函数f(x)在区间(−∞，1−√3)上是增函数，求实数m 的取值范围．【解题思路】（1）由对数的性质有x 2−x −1>0求解集，即可得定义域.（2）由题设(0,+∞)是y =x 2−mx −m 值域的子集，根据二次函数的性质有Δ≥0即可求m 的范围.（3）首先根据二次函数、对数函数的性质判断复合函数的单调区间，再由已知区间的单调性有{m2≥1−√3t(1−√3)≥0 ，即可求m 的范围.【解答过程】（1）由题设，x 2−x −1>0，则x >1+√52或x <1−√52， 所以函数定义域为(−∞,1−√52)∪(1+√52,+∞).（2）由函数f(x)的值域为R ，则(0,+∞)是y =x 2−mx −m 值域的子集，所以Δ=m 2+4m ≥0，即m ∈(−∞,−4]∪[0,+∞).（3）由t =x 2−mx −m 在(−∞,m 2)上递减，在(m2,+∞)上递增，而y =log 12t 在定义域上递减， 所以f(x)在(−∞,m 2)上递增，在(m2,+∞)上递减， 又f(x)在(−∞,1−√3)上是增函数，故{m 2≥1−√3t(1−√3)≥0，可得2≥m ≥2(1−√3). 【题型6 对数函数的实际应用】【方法点拨】从实际问题出发，建立对数（型）函数模型，借助对数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.【例6】（2021·全国·高一专题练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现V 与log 3Q 100成正比，且当Q ＝900时，V ＝1. （1）求出V 关于Q 的函数解析式；（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数．【解题思路】（1）根据成正比的性质，结合代入法进行求解即可；（2）利用代入法，结合对数与指数式互化公式进行求解即可.【解答过程】解：（1）设V ＝k ·log 3Q 100，∵当Q ＝900时，V ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴V 关于Q 的函数解析式为V =12log 3Q 100;（2）令V ＝1.5，则1.5=12log 3Q 100⇒log 3Q100=3⇒Q100=33=27，∴Q ＝2 700，即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2700个单位．【变式6-1】（2022·全国·高一课时练习）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0ln Mm 计算火箭的最大速度v （单位：m/s ）．其中v 0（单位m/s ）是喷流相对速度，m （单位：kg ）是火箭（除推进剂外）的质量，M （单位：kg ）是推进剂与火箭质量的总和，M m 称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为2000m/s ． 参考数据：ln230≈5.4，1.648<e 0.5<1.649．(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500 m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？【解题思路】（1）运用代入法直接求解即可；（2）根据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可.【解答过程】(1)当总质比为230时，v=2000ln230≈2000×5.4=10800，即A型火箭的最大速度为10800m/s.(2)A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A型火箭的喷流相对速度为2000×1.5=3000m/s，总质比为M3m，由题意得：3000ln M3m −2000ln Mm≥500⇒ln M27m ≥0.5⇒M27m≥e0.5⇒Mm≥27e0.5，因为1.648<e0.5<1.649，所以44.496<27e0.5<44.523，即44.496<T<44.523，所以不小于T的最小整数为45．【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12log3x100−lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66）(1)若x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.(2)若雄鸟的飞行速度为1.3km/min，雌鸟的飞行速度为0.8km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.【解题思路】（1）将x0=5，v=0代入函数解析式，求出x的值即可答案；（2）设出雄鸟每分钟的耗氧量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到x1x2=3，得到答案.【解答过程】（1）将x0=5，v=0代入函数v=12log3x100−lgx0，得：12log3x100−lg5=0，因为lg5≈0.70，所以log3x100=2lg5≈1.40，所以x100=31.40≈4.66，所以x=466.答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为x 1，雌鸟每分钟耗氧量为x 2，由题意可得：{1.3=12log 3x1100−lgx 00.8=12log 3x 2100−lgx 0 ， 两式相减可得：12=12log 3x 1x 2，所以log 3x 1x 2=1，即x 1x 2=3，答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y 与当天锻炼时间x （单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间[0,90]上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①y =kx +b (k >0)，②y =k ⋅1.2x +b (k >0)，③y =klog 2(x15+2)+n (k >0)供选择.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：√2≈1.414，结果保留整数）【解题思路】（1）根据图像和函数性质选择模型，再将（0，0），（30，3）代入求解系数即可.（2）将x =4.5代入解析式即可.【解答过程】（1）第一步：分析题中每个模型的特点对于模型一，当k >0时，匀速增长；对于模型二，当k >0时，先慢后快增长；对于模型三，当k >0时，先快后慢增长.第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选y =klog 2(x15+2)+n .第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式将（0，0），（30，3）代入解析式得到{k+n=0klog24+n=3，即{k+n=02k+n=3，解得k=3,n=−3，即y=3log2(x15+2)−3.第四步：验证模型是否合适当x=90时，y=3log2(6+2)−3=6，满足每天得分最高不超过6分的条件.所以函数的解析式为y=3log2(x15+2)−3.（2）由y=3log2(x15+2)−3≥4.5，得log2(x15+2)≥2.5=log2252，得x15+2≥252=4√2≈5.656，得x≥54.84，所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.。
专题3 一次函数的图象与性质-重难点题型(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题5.3 一次函数的图象与性质-重难点题型【浙教版】函数图像一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
A．B．C．D．【解题思路】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解．【解答过程】解：∵a+b+c＝0，且a＜b＜c，∵a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定），∵﹣a＞0，﹣c＜0，∵函数y＝﹣cx﹣a的图象经过二、一、四象限．故选：B．【变式1-1】函数y＝ax+b﹣2的图象如图所示，则函数y＝﹣ax﹣b的大致图象是（）A．B．C．D．【解题思路】根据一次函数的图象的性质确定a和b的符号，进而解答即可．【解答过程】解：由函数y＝ax+b﹣2的图象可得：a＜0，b﹣2＝0，∵a＜0，b＝2＞0，所以函数y＝﹣ax﹣b的大致图象经过第一、四、三象限，故选：C．【变式1-2】（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断．【解答过程】解：A、由图可知：直线y1＝ax+b，a＞0，b＞0．∵直线y2＝bx+a经过一、二、三象限，故A正确；B、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．∵直线y2＝bx+a经过一、四、三象限，故B错误；C、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．∵直线y2＝bx+a经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；D、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＜0，∵直线y2＝bx+a经过二、三、四象限，故D错误．故选：A．【变式1-3】函数y＝|x﹣2|的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】由绝对值的性质知，该图象的函数值y≥0，且函数图象经过点（2，0），由此得到正确的函数图象．【解答过程】解：∵y＝|x﹣2|≥0．∵选项A、D错误．又∵函数图象经过点（2，0），∵选项B错误，选项C正确．故选：C．【题型2 正比例函数的图象】【例2】如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：∵y＝ax，∵y＝bx，∵y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【解题思路】根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＞c，进而得到答案．【解答过程】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．则b＞c＞a，即a＜c＜b．故选：D．【变式2-1】（2020秋•达川区期末）如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx ﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d 【解题思路】根据一次函数图象的性质分析．【解答过程】解：由图象可得：a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，且a＞b，c＞d，故选：B．【变式2-2】（2021秋•茂名期中）直线y＝2kx的图象如图所示，则y＝（k﹣2）x+1﹣k的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】根据正比例函数t＝2kx的图象可以判断k的正负，从而可以判断k﹣2与1﹣k的正负，从而可以得到y＝（k﹣2）x+1﹣k图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．【解答过程】解：由题意知2k＜0，即k＜0，则k﹣2＜0，1﹣k＞0，∵y＝（k﹣2）x+1﹣k的图象经过第一，二，四象限，故选：A．【变式2-3】（2021春•新田县期末）如图，直线l1∵x轴于点（1，0），直线l2∵x轴于点（2，0），直线l3∵x轴于点（3，0），…直线l n∵x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…，l n分别交于点A1，A2，A3，…，A n；函数y＝3x的图象与直线l1，l2，l3，…，l n分别交于点B1，B2，B3，…，B n，如果∵OA1B1的面积记的作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形A n﹣1A n B n B n﹣1的面积记作S n，那么S2021＝4041．【解题思路】四边形A n﹣1A n B n B n﹣1是梯形，算出梯形的下底A n B n，上底A n﹣1B n﹣1，高是1，取n ＝2021，用梯形的面积公式即可．【解答过程】解：由题意得：A n （n ，n ），B n （n ，3n ）， ∵A n B n ＝3n ﹣n ＝2n ，同理：A n ﹣1B n ﹣1＝2（n ﹣1），∵S 四边形A n−1A n B n B n−1=12×1×[2n +2(n −1)]=2n −1， ∵S 2021＝2×2021﹣1＝4041， 故答案为4041．A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【解题思路】由y ﹣3与x +5成正比例，可设y ﹣3＝k （x +5），整理得：y ＝kx +5k +3．把x ＝﹣2代入得不等式，可解得k ＜﹣1，再判断5k +3的符号即可． 【解答过程】解：∵y ﹣3与x +5成正比例， ∵设y ﹣3＝k （x +5），整理得：y ＝kx +5k +3． 当x ＝﹣2时，y ＜0，即﹣2k +5k +3＜0，整理得3k +3＜0， 解得：k ＜﹣1． ∵k ＜﹣1， ∵5k +3＜﹣2，∵y ＝kx +5k +3的图象经过第二、三、四象限． 故选：D ．【变式3-1】（2021•黄州区校级自主招生）已知过点（2，3）的直线y ＝ax +b （a ≠0）不经过第四象限，设s ＝a ﹣2b ，则s 的取值范围是（ ） A ．32≤s ＜6B ．﹣3＜s ≤3C ．﹣6＜s ≤32D ．32≤s ≤5【解题思路】根据题意得出a ＞0，b ≥0，即可推出得0＜a ≤32，从而求得s 的取值范围．【解答过程】解：∵过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限，∵a＞0，b≥0，将（2，3）代入直线y＝ax+b，3＝2a+b，b＝3﹣2a∵{a＞03−2a≥0，解得0＜a≤3 2，s＝a﹣2b＝a﹣2×（3﹣2a）＝5a﹣6，a＝0时，s＝﹣6，a=32，s=32，故﹣6＜s≤3 2．故选：C．【变式3-2】（2021春•忠县期末）已知一次函数y＝（5﹣a）x+a+1的图象不经过第四象限，且关于x的分式方程102−x =2−axx−2有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】由一次函数y＝（5﹣a）x+a+1的图象不经过第四象限求出a的取值范围，把分式方程解出，再根据式方程有整数解，a的取值范围确定a的值，最后算出结果．【解答过程】解：∵y＝（5﹣a）x+a+1的图象不经过第四象限，∵{5−a＞0a+1≥0，∵﹣1≤a＜5．10 2−x =2−axx−2，整理得，102−x =2+ax2−x，10＝2（2﹣x）+ax，（2﹣a）x＝﹣6，x=−62−a，∵分式方程有整数解，﹣1≤a＜5，∵a＝﹣1、0、1、3、4，∵（﹣1）+0+1+3+4＝7．故选：B．【变式3-3】（2021•渝中区模拟）若关于x 的一元一次不等式组{23x ＞x −14x +1≥a恰有3个整数解，且一次函数y ＝（a ﹣2）x +a +1不经过第三象限，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1【解题思路】根据关于x 的一元一次不等式组{23x ＞x −14x +1≥a恰有3个整数解，可以求得a的取值范围，再根据一次函数y ＝（a ﹣2）x +a +1不经过第三象限，可以得到a 的取值范围，结合不等式组和一次函数可以得到最后a 的取值范围，从而可以写出满足条件的a 的整数值，然后相加即可．【解答过程】解：由不等式组{23x ＞x −14x +1≥a ，得a−14≤x ＜3，∵关于x 的一元一次不等式组{23x ＞x −14x +1≥a恰有3个整数解，∵﹣1＜a−14≤0， 解得﹣3＜a ≤1，∵一次函数y ＝（a ﹣2）x +a +1不经过第三象限， ∵a ﹣2＜0且a +1≥0， ∵﹣1≤a ＜2， 又∵﹣3＜a ≤1， ∵﹣1≤a ≤1，∵整数a 的值是﹣1，0，1，∵所有满足条件的整数a 的值之和是：﹣1+0+1＝0， 故选：C ．【题型4 一次函数图象与系数的关系】【例4】（2021春•鄢陵县期末）已知A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数y ＝（2﹣m ）x +3图象上两点，且（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＜0，则m 的取值范围为 m ＞2 ．【解题思路】根据（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＜0，得出y 随x 的增大而减小，再根据2﹣m ＜0，求出其取值范围即可．【解答过程】解：（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＜0， 即：{x 1−x 2＞0y 1−y 2＜0或{x 1−x 2＜0y 1−y 2＞0，也就是，y 随x 的增大而减小， 因此，2﹣m ＜0，解得，m ＞2，故答案为：m＞2．【变式4-1】如图，平面直角坐标系中，若点A（3，0）、B（4，1）到一次函数y＝kx+4（k≠0）图象的距离相等，则k的值为k＝±1．【解题思路】根据一次函数y＝kx+4（k≠0）图象一定过点（0，4），点A（3，0）、B （4，1）到一次函数y＝kx+4（k≠0）图象的距离相等，可分为两种情况进行解答，即，∵当直线y＝kx+4（k≠0）与直线AB平行时，∵当直线y＝kx+4（k≠0）与直线AB不平行时分别进行解答即可．【解答过程】解：一次函数y＝kx+4（k≠0）图象一定过（0，4）点，∵当直线y＝kx+4（k≠0）与直线AB平行时，如图1，设直线AB的关系式为y＝kx+b，把A（3，0），B（4，1）代入得，{3k+b=04k+b=1，解得，k＝1，b＝﹣3，∵一次函数y＝kx+4（k≠0）中的k＝1，∵当直线y＝kx+4（k≠0）与直线AB不平行时，如图2，则：直线y＝kx+4（k≠0）一定过点C，点C的坐标为（4，0），代入得，4k+4＝0，解得，k＝﹣1，因此，k＝1或k＝﹣1．故答案为：k＝±1．【变式4-2】（2020•成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与直线x＝﹣k，y＝﹣k分别交于点A，B．直线x＝﹣k与y＝﹣k交于点C．记线段AB，BC，AC围成的区域（不含边界）为W；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．（1）当k＝﹣2时，区域W内的整点个数为6；（2）若区域W内没有整点，则k的取值范围是0＜k≤1或k＝2．【解题思路】（1）将k＝﹣2代入解析式，求得A、B、C三点坐标，并作出图形，便可求得W区域内的整数点个数；（2）分三种情况解答：当k＜0时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意；当0＜k≤1时，W内点的横坐标在k到0之间，无整点，进而得0＜k≤1时，W内无整点；当1＜k≤2时，W内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1，此时边界上两点坐标为（﹣1，﹣k）和（﹣1，﹣k﹣1），当k不为整数时，其上必有整点，但k＝2时，只有两个边界点为整点，故W内无整点；当k＞2时，横坐标为﹣2的边界点为（﹣2，﹣k）和（﹣2，﹣2k﹣1），线段长度为k+1＞3，故必有整点．【解答过程】解：（1）直线l：y＝kx﹣1＝﹣2x﹣1，直线x＝﹣k＝2，y＝﹣k＝2，∵A（2，﹣5），B（−32，2），C（2，2），在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（1，﹣1），（1，﹣2），故答案为6；（2）当k＜0时，则x＝﹣k＞0，y＝﹣k＞0，∵区域内必含有坐标原点，故不符合题意；当0＜k ≤1时，W 内点的横坐标在﹣1到0之间，不存在整点，故0＜k ≤1时W 内无整点； 当1＜k ≤2时，W 内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1，此时边界上两点坐标为M （﹣1，﹣k ）和N （﹣1，﹣k ﹣1），MN ＝1，此时当k 不为整数时，其上必有整点，但k ＝2时，只有两个边界点为整点，故W 内无整点；当k ＞2时，横坐标为﹣2的边界点为（﹣2，﹣k ）和（﹣2，﹣2k ﹣1），线段长度为k +1＞3，故必有整点．综上所述：0＜k ≤1或k ＝2时，W 内没有整点．故答案为：0＜k ≤1或k ＝2．【变式4-3】已知一次函数y ＝（6+3m ）x +（n ﹣2）．求（1）当m ，n 为何值时，y 值随x 的增大而减小，且与y 轴交点在x 轴下方？（2）当m ，n 为何值时，此一次函数也是正比例函数？（3）当m ＝﹣1，n ＝﹣2时，设此一次函数与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并求出∵AOB 的面积（O 为坐标原点）【解题思路】（1）根据一次函数的性质结合一次函数单调递减，即可得出关于m 、n 的一元一次不等式，解不等式即可得出m 、n 的取值范围；（2）由此一次函数也是正比例函数，可得出关于m 、n 的一元一次方程，解方程即可得出结论；（3）代入m 、n 的值，再根据一次函数图象上点的坐标特征找出点A 、B 的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵y 值随x 的增大而减小，且与y 轴交点在x 轴下方，∵6+3m ＜0，解得m ＜﹣2，n ﹣2＜0，解得n ＜2；（2）∵此一次函数也是正比例函数，∵n ﹣2＝0且6+3m ≠0，解得n ＝2且m ≠﹣2；（3）当m ＝﹣1，n ＝﹣2时，一次函数的解析式为y ＝3x ﹣4，当x ＝0时，y ＝﹣4，∵点B 的坐标为（0，﹣4）；当y ＝0时，x =43，∵点A 的坐标为（43，0）．∵S ∵AOB =12OA •OB =12×43×4=83．【题型5 一次函数图象上点的坐标特征】【例5】已知一次函数y ＝（6+3m ）x +（n ﹣2）．求（1）当m ，n 为何值时，y 值随x 的增大而减小，且与y 轴交点在x 轴下方？（2）当m ，n 为何值时，此一次函数也是正比例函数？（3）当m ＝﹣1，n ＝﹣2时，设此一次函数与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并求出∵AOB 的面积（O 为坐标原点）【解题思路】（1）根据一次函数的性质结合一次函数单调递减，即可得出关于m 、n 的一元一次不等式，解不等式即可得出m 、n 的取值范围；（2）由此一次函数也是正比例函数，可得出关于m 、n 的一元一次方程，解方程即可得出结论；（3）代入m 、n 的值，再根据一次函数图象上点的坐标特征找出点A 、B 的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵y 值随x 的增大而减小，且与y 轴交点在x 轴下方，∵6+3m ＜0，解得m ＜﹣2，n ﹣2＜0，解得n ＜2；（2）∵此一次函数也是正比例函数，∵n ﹣2＝0且6+3m ≠0，解得n ＝2且m ≠﹣2；（3）当m ＝﹣1，n ＝﹣2时，一次函数的解析式为y ＝3x ﹣4，当x ＝0时，y ＝﹣4，∵点B 的坐标为（0，﹣4）；当y ＝0时，x =43，∵点A 的坐标为（43，0）．∵S ∵AOB =12OA •OB =12×43×4=83．【变式5-1】如图，直线y ＝2x +3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．（1）求∵AOB 的面积；（2）过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，∵ABP 的面积是92，求点P 的坐标．【解题思路】（1）把x ＝0，y ＝0分别代入函数解析式，即可求得相应的y 、x 的值，则易得点OA 、OB 的值，然后根据三角形面积公式求得即可；（2）由B 、A 的坐标易求：OB ＝3，OA =32．然后由三角形面积公式得到S ∵ABP =12AP •OB =92，则AP ＝3，由此可以求得m 的值【解答过程】解：（1）由x ＝0得：y ＝3，即：B （0，3）．由y ＝0得：2x +3＝0，解得：x =−32，即：A （−32，0），∵OA =32，OB ＝3，∵∵AOB 的面积：12×3×32=94；（2）由B （0，3）、A （−32，0）得：OB ＝3，OA =32，∵S ∵ABP =12AP •OB =92，∵32AP =92，解得：AP ＝3．∵P 点坐标为（1.5，0）或（﹣4.5，0）．【变式5-2】如图，直线y ＝kx +6与x 轴y 轴分别相交于点E ，F ．点E 的坐标（8，0），点A 的坐标为（6，0）．点P （x ，y ）是第一象限内的直线上的一个动点（点P 不与点E ，F 重合）．（1）求k 的值；（2）在点P 运动的过程中，求出∵OP A 的面积S 与x 的函数关系式．（3）若∵OP A 的面积为278，求此时点P 的坐标．【解题思路】（1）直接把点E 的坐标代入直线y ＝kx +6求出k 的值即可；（2）过点P 作PD ∵OA 于点D ，用x 表示出PD 的长，根据三角形的面积公式即可得出结论；（3）把∵OP A 的面积为278代入（2）中关系式，求出x 的值，把x 的值代入直线y =−34x +6即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵直线y ＝kx +6与x 轴交于点E ，且点E 的坐标（8，0） ∵8k +6＝0，解得k =−34，∵y =−34x +6；（2）过点P 作PD ∵OA 于点D ， ∵点P （x ，y ）是第一象限内的直线上的一个动点∵PD =−34x +6．∵点A 的坐标为（6，0）∵S =12×6×（−34x +6）=−94x +18；（3）∵∵OP A 的面积为278，∵−94x +18=278，解得x =132，将x =132代入y =−34x +6得y =98，∵P （132，98）．【变式5-3】（2021春•青县期末）如图，直线y ＝﹣x +10与x 轴、y 轴分别交于点B ，C ，点A 的坐标为（8，0），P （x ，y ）是直线y ＝﹣x +10在第一象限内一个动点．（1）求∵OP A 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量的x 的取值范围；（2）当∵OP A 的面积为10时，求点P 的坐标．【解题思路】（1）根据三角形的面积公式S ∵OP A =12OA •y ，然后把y 转换成x ，即可求得∵OP A 的面积S 与x 的函数关系式；（2）把s ＝10代入S ＝﹣4x +40，求得x 的值，把x 的值代入y ＝﹣x +10即可求得P 的坐标．【解答过程】解（1）∵A （8，0），∵OA ＝8，S =12OA •|y P |=12×8×（﹣x +10）＝﹣4x +40，（0＜x ＜10）．（2）当S ＝10时，则﹣4x +40＝10，解得x =152，当x =152时，y =−152+10=52，∵当∵OP A 的面积为10时，点P 的坐标为（152，52）．【题型6 一次函数图象与几何变换】【例6】已知一次函数y ＝kx +b 的图象过点A （﹣4，﹣2）和点B （2，4）（1）求直线AB 的解析式；（2）将直线AB 平移，使其经过原点O ，则线段AB 扫过的面积为 12 ．【解题思路】（1）将A 、B 两点的坐标代入y ＝kx +b ，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）先利用平移规律求出直线AB 平移后的解析式，进而求出线段AB 扫过的面积．【解答过程】解：（1）∵一次函数y ＝kx +b 的图象过点A （﹣4，﹣2）和点B （2，4），∵{−4k +b =−22k +b =4，解得{k =1b =2，∵直线AB 的解析式为y ＝x +2；（2）设直线AB 平移后的解析式为y ＝x +n ，将原点（0，0）代入，得n ＝0，∵直线AB 平移后的解析式为y ＝x ，∵将直线AB 向下平移2个单位得到直线A ′B ′，如图，则A ′（﹣4，﹣4），B ′（2，2），∵平行四边形AA ′B ′B 的面积＝2×（4+2）＝12．即线段AB 扫过的面积为12．故答案为12．【变式6-1】若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（）A．k＝2、b＝﹣3B．k＝﹣2、b＝﹣3C．k＝﹣2、b＝1D．k＝﹣2、b＝﹣1【解题思路】先求出一次函数y＝kx+3与y轴交点关于直线x＝1的对称点，得到b的值，再求出一次函数y＝2x+b与y轴交点关于直线x＝1的对称点，代入一次函数y＝kx+3，求出k的值即可．【解答过程】解：∵一次函数y＝kx+3与y轴交点为（0，3），∵点（0，3）关于直线x＝1的对称点为（2，3），代入直线y＝2x+b，可得4+b＝3，解得b＝﹣1，一次函数y＝2x﹣1与y轴交点为（0，﹣1），（0，﹣1）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣1），代入直线y＝kx+3，可得2k+3＝﹣1，解得k＝﹣2．故选：D．【变式6-2】（2018春•沙坪坝区校级期末）如图：一次函数y=13x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．【解题思路】（1）构建方程组即可解决问题；（2）求出A、C两点坐标，根据S四边形ABCO＝S∵OCB+S∵AOB计算即可；（3）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转90得到C′．由题意可知点C′在直线CD上，求出点C ′坐标，利用待定系数法即可解决问题；【解答过程】解：（1）由{y =13x +2y =3x −6，解得{x =3y =3，∵B （3，3）．（2）由题意A （0，2），C （2，0），∵S 四边形ABCO ＝S ∵OCB +S ∵AOB =12×2×3+12×2×3＝6．（3）如图，将线段BC 绕点B 逆时针旋转90得到C ′．∵∵BCC ′是等腰直角三角形，∵BCD ＝45°，∵点C ′在直线CD 上，由（2）可知，C （2，0）．∵B （3，3），由旋转的性质可知，C ′（6，2），设直线CD 的解析式为y ＝kx +b ，则有{6k +b =22k +b =0，解得{k =12b =−1， ∵直线CD 的解析式为y =12x ﹣1．【变式6-3】（2018•沙坪坝区模拟）如图，正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象过点A （2，﹣3）．直线y ＝x +b 沿y 轴平行移动，与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，与直线OA 交于点D ．（1）若点D 在线段OA 上（含端点），求b 的取值范围；（2）当点A 关于直线BC 的对称点A '恰好落在y 轴上时，求∵OBD 的面积．【解题思路】（1）将O 点和A 点的坐标分别代入y ＝x +b ，即可求得b 的值，从而求得b 的取值范围；（2）根据直线y ＝x +b 易求得OB ＝OC ，即可得出∵OCB ＝45°，根据轴对称的性质易求得∵ACD ＝45°．即可求得∵ACO ＝90°，从而求得C 的纵坐标为﹣3，得出C 的坐标为（0，﹣3），即可求得直线y ＝x ﹣3，然后联立方程求得交点D 的坐标，根据三角形面积公式即可求得∵OBD 的面积．【解答过程】解：（1）当点D 和点O 重合时，将点O （0，0）代入y ＝x +b 中，得b ＝0，当点D 和点A 重合时，将点A （2，﹣3）代入y ＝x +b 中，得﹣3＝2+b ，即b ＝﹣5，∵b 的取值范围是﹣5≤b ≤0；（2）将点A （2，﹣3）代入y ＝kx 中，得﹣3＝2k ，即k =−32，∵直线OA 的解析式为y =−32x ，在y ＝x +b 中，令y ＝0，则x ＝﹣b ，∵B （﹣b ，0），即OB ＝|b |，∵OB ＝OC ，又∵∵BOC ＝90°，∵∵OCB ＝∵OBC ＝45°，∵点A 关于直线BC 的对称点A '恰好落在y 轴上，∵CD 垂直平分AA ′，∵CA ＝CA ′，∵∵ACD ＝∵OCB ＝45°，∵∵ACO ＝90°，∵OC ＝|y A |＝3，∵OB ＝OC ＝3，即C （0，﹣3），将点C （0，﹣3）代入y ＝x +b 中，得﹣3＝0+b ，∵b ＝﹣3，∵直线BC 的解析式为y ＝x ﹣3，由{y =−32xy =x −3得{x =65y =−95，∵D （65，−95），∵S ∵OBD =12OB •|y D |=12×3×95=2710．。
专题2 一次函数与正比例函数-重难点题型(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题5.2 一次函数与正比例函数-重难点题型【浙教版】【例1】（2021春•娄星区期末）在下列函数中：①y＝﹣8x；②y=32x+1；③y=√x+1；④y＝﹣8x2+5；⑤y＝﹣0.5x﹣1，一次函数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】根据一次函数的解析式y＝kx+b（k≠0）判定一次函数即可．【解答过程】解：∵一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），y＝﹣8x，y=32x+1，y＝﹣0.5x﹣1符合一次函数解析式形式，∴一次函数有①②⑤，故选：C．【变式1-1】（2020秋•肥西县校级月考）下列函数：（1）y＝3x；（2）y＝2x﹣1；（3）y=1 x；（4）y＝x2﹣1；（5）y=−x8中，是一次函数的有（）个A．4B．3C．2D．1【解题思路】直接利用一次函数的定义分析得出答案．【解答过程】解：（1）y＝3x是正比例函数，也是一次函数；（2）y＝2x﹣1是一次函数；（3）y=1x的分母含有自变量x，不是一次函数；（4）y＝x2﹣1是二次函数，不是一次函数；（5）y=−x8是正比例函数，也是一次函数．是一次函数的有3个，故选：B．【变式1-2】（2021春•汉阴县期末）在①y＝﹣8x：②y=−3x：③y=√x+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】根据一次函数的定义解答即可．【解答过程】解：在①y＝﹣8x：②y=−3x：③y=√x+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有①y＝﹣8x；⑤y＝0.5x﹣3．故选：B．【变式1-3】下列语句中，y与x是一次函数关系的有（）个（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系；（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系．A．1B．4C．3D．2【解题思路】根据一次函数的定义逐个判断即可．【解答过程】解：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x （时）之间的关系，是一次函数；圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系，不是一次函数；一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系，是一次函数；某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系，是一次函数，所以共3个一次函数，故选：C．【题型2 利用一次函数的概念求值】【例2】（2021春•昭通期末）若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（）A．0B．2C．0或2D．﹣2或0【解题思路】依据一次函数的定义可知|k﹣1|＝1且k﹣2≠0，从而可求得k的值．【解答过程】解：∵函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|+3是一次函数，∴|k﹣1|＝1且（k﹣2）≠0，解得：k＝0．故选：A．【变式2-1】（2021春•雨花区期中）若函数y＝（m+2）x|m|﹣1﹣5是一次函数，则m的值为（）A．±2B．2C．﹣2D．±1【解题思路】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）求解．【解答过程】解：∵|m|﹣1＝1，∴m＝±2，又∵m+2≠0，∴m≠﹣2，∴m＝2，故选：B．【变式2-2】（2021春•杨浦区期末）如果y＝kx+x+k是一次函数，那么k的取值范围是k ≠﹣1．【解题思路】根据一次函数的定义条件直接解答即可．【解答过程】解：∵y＝kx+x+k是一次函数，∴k+1≠0．故答案为：k≠﹣1．【变式2-3】已知y＝（k﹣1）x|k|+（k2﹣4）是一次函数．（1）求k的值；（2）求x＝3时，y的值；（3）当y＝0时，x的值．【解题思路】（1）直接利用一次函数的定义得出k的值即可；（2）利用（1）中所求，再利用x＝3时，求出y的值即可；（3）利用（1）中所求，再利用y＝0时，求出x的值即可．【解答过程】解：（1）由题意可得：|k|＝1，k﹣1≠0，解得：k＝﹣1；（2）当x＝3时，y＝﹣2x﹣3＝﹣9；（3）当y＝0时，0＝﹣2x﹣3，解得：x=−3 2．【题型3 正比例函数的概念】【例3】（2021春•萝北县期末）若y ＝（m +2）x +m 2﹣4是关于x 的正比例函数，则常数m ＝ 2 ．【解题思路】依据正比例函数的定义求解即可．【解答过程】解：∵y ＝（m +2）x +m 2﹣4是关于x 的正比例函数，∴m +2≠0，m 2﹣4＝0，解得：m ＝2．故答案为：2．【变式3-1】函数y ＝（k +1）x k 2是正比例函数，则常数k 的值为 1 ．【解题思路】根据正比例函数的定义可得出关于k 的方程，即可得出k 的值．【解答过程】解：k +1≠0，k 2＝1，∴k ＝1．故填1．【变式3-2】已知函数y ＝mx +25﹣m 是正比例函数，则该函数的表达式为 y ＝25x ．【解题思路】根据正比例函数的定义求解即可．【解答过程】解：由题意，得25﹣m ＝0，解得m ＝25，该函数的表达式为y ＝25x ，故答案为：y ＝25x ．【变式3-3】已知函数y ＝2x 2a +b +a +2b 是正比例函数，则a ＝23 ．【解题思路】根据正比例函数的定义进行选择即可．【解答过程】解：∵函数y ＝2x 2a +b +a +2b 是正比例函数，∴2a +b ＝1，a +2b ＝0，解得a =23，故答案为23．【例4】已知y +2与x ﹣1成正比例，且当x ＝3时，y ＝4．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）当y ＝1时，求x 的值．【解题思路】（1）已知y +2与x ﹣1成正比例，即可以设y +2＝k （x ﹣1），把x ＝3，y ＝4代入即可求得k 的值，从而求得函数解析式；（2）在解析式中令y ＝1即可求得x 的值．【解答过程】解：（1）设y +2＝k （x ﹣1），把x ＝3，y ＝4代入得：4+2＝k （3﹣1） 解得：k ＝3，则函数的解析式是：y +2＝3（x ﹣1）即y ＝3x ﹣5；（2）当y ＝1时，3x ﹣5＝1．解得x ＝2．【变式4-1】已知y ﹣1与x +2成正比例，且x ＝﹣1时，y ＝3．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）它的图象经过点（m ﹣1，m +1），求m 的值．【解题思路】（1）根据y ﹣1与x +2成正比例，设y ﹣1＝k （x +2），把x 与y 的值代入求出k 的值，即可确定出关系式；（2）把点（m ﹣1，m +1）代入一次函数解析式求出m 的值即可．【解答过程】解：（1）根据题意：设y ﹣1＝k （x +2），把x ＝﹣1，y ＝3代入得：3﹣1＝k （﹣1+2），解得：k ＝2．则y 与x 函数关系式为y ＝2（x +2）+1＝2x +5；（2）把点（m ﹣1，m +1）代入y ＝2x +5得：m +1＝2（m ﹣1）+5解得m ＝﹣2．【变式4-2】直线AB 与x 轴交于点A （2，0），与y 轴交于点B （0，﹣4）．（1）求直线AB 的解析式．（2）若直线CD 与AB 平行，且直线CD 与y 轴的交点与B 点相距2个单位，则直线CD 的解析式为 y ＝2x ﹣2或y ＝2x ﹣6 ．【解题思路】（1）由点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）找出在y 轴上与B 点相距2个单位的点的坐标，再结合直线CD 与AB 平行，即可得出直线CD 的解析式．【解答过程】解：（1）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将点A （2，0）、B （0，﹣4）代入y ＝kx +b 中，{2k +b =0b =−4，解得：{k =2b =−4，∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣4．（2）在y 轴上与B 点相距2个单位的点的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣6）．又∵直线CD 与AB 平行，∴直线CD 的解析式为y ＝2x ﹣2或y ＝2x ﹣6．故答案为：y ＝2x ﹣2或y ＝2x ﹣6．【变式4-3】已知一次函数y ＝kx +b ，当x ＝2时y 的值是﹣1，当x ＝﹣1时y 的值是5．（1）求此一次函数的解析式；（2）若点P （m ，n ）是此函数图象上的一点，﹣3≤m ≤2，求n 的最大值．【解题思路】（1）把x ＝2，y ＝﹣1代入函数y ＝kx +b ，得出方程组，求出方程组的解即可；（2）根据函数的性质得出m ＝﹣3时n 最大，代入求出即可．【解答过程】解：（1）依题意得：{2k +b =−1−k +b =5，解得：{k =−2b =3.，所以一次函数的解析式是y ＝﹣2x +3；（2）∵由（1）可得，y ＝﹣2x +3，∴k ＝﹣2＜0，y 随x 的增大而减小，又∵点P （m ，n ） 是此函数图象上的一点，﹣3≤m ≤2，∴把m ＝﹣3代入得出n 的最大值是﹣2×（﹣3）+3＝9，即n 的最大值是9．【题型5 用待定系数法求正比例函数解析式】【例5】（2020秋•青山区期中）已知正比例函数过点A （2，﹣4），点P 在此正比例函数的图象上，若坐标轴上有一点B （0，4）且三角形ABP 的面积为8．求：（1）过点A 的正比例函数关系式；（2）点P 的坐标．【解题思路】（1）设正比例函数的解析式为y ＝kx （k ≠0），再把A （2，﹣4）代入即可求出k 的值；（2）设出P 点坐标，再分x ＜0与x ＞0两种情况进行讨论．【解答过程】解：（1）设正比例函数为y＝kx（k≠0），∵A（2，﹣4），∴﹣4＝2k，解得k＝﹣2，∴正比例函数的解析式为：y＝﹣2x．（2）设P（x，﹣2x）如图1所示，当x＜0时，S△ABP＝S△PBO+S△ABO＝﹣4x÷2+4×2÷2＝8，解得x＝﹣2，∴P（﹣2，4）；②如图2所示，当x＞0时S△ABP＝S△PBO﹣S△ABO＝4x÷2﹣4×2÷2＝8，解得x＝6．∴P（6，﹣12）．综上所述，P点坐标为（﹣2，4），（6，﹣12）．【变式5-1】已知函数y＝mx+25﹣m是正比例函数，则该函数的表达式为y＝25x．【解题思路】根据正比例函数的定义求解即可．【解过程答】解：由题意，得25﹣m＝0，解得m＝25，该函数的表达式为y＝25x，故答案为：y＝25x．【变式5-2】若y＝y1+y2且y1与x成正比例，y2与（x﹣3）成正比例，当x＝1时y＝3，当x＝﹣1时y＝9，当x＝3时y的值．【解题思路】设y1＝ax，y2＝k（x﹣3），由当x＝1时y＝3，当x＝﹣1时y＝9可得关于a、k的两个等式，联立方程组即可求出a，k，得出y关于x的函数关系式，再把x＝3代入，求解即可．【解答过程】解：设y1＝ax，y2＝k（x﹣3），∴y＝ax+k（x﹣3）．由当x ＝1时y ＝3，当x ＝﹣1时y ＝9可得，{3=a +k(1−3)9=−a +k(−1−3)，解得：{a =−1k =−2，∴y 与x 之间的关系式为：y ＝﹣x ﹣2（x ﹣3），即y ＝﹣3x +6；∴当x ＝3时，y ＝﹣3×3+6＝﹣3．【变式5-3】已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P （﹣2，2），且一次函数的图象与y 轴相交于点Q （0，4）．（1）求这两个函数的解析式．（2）在同一坐标系内，分别画出这两个函数的图象．（3）求出△POQ 的面积．【解题思路】（1）设正比例函数解析式为y ＝mx ，一次函数解析式为y ＝nx +4，将（﹣2，2）代入可得出两个解析式．（2）运用两点法确定直线所在的位置．（3）面积=12|OQ |•|P 横坐标|，由此可得出面积．【解答过程】解：设正比例函数解析式为y ＝mx ，一次函数解析式为y ＝nx +4， 将（﹣2，2）代入可得2＝﹣2m ，2＝﹣2n +4，解得：m ＝﹣1，n ＝1，∴函数解析式为：y ＝﹣x ；y ＝x +4．（2）根据过点（﹣2.2）及（0，4）可画出一次函数图象，根据（0，0）及（﹣2，2）可画出正比例函数图象．（3）面积=12|OQ |•|P 横坐标|=12×2×4＝4．【题型6 一次函数解析式与三角形面积问题】【例6】（2021春•赣州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC 与直线AB 交y 轴于点A ，直线AC 与x 轴交于点C ，直线AB 与x 轴交于点B ，已知A （0，4），B （2，0）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若S △ABC ＝12，求点C 的坐标．【解题思路】（1）利用待定系数法求直线AB 的关系式；（2）根据S △ABC ＝12，可求出OC ，进而确定点C 坐标．【解答过程】解：（1）设直线AB 的关系式为y ＝kx +b ，将A （0，4），B （2，0）代入得，b ＝4，2k +b ＝0，即k ＝﹣2，b ＝4，∴直线AB 的关系式为y ＝﹣2x +4；（2）∵S △ABC ＝12，∴12BC •OA ＝12，又∵OA ＝4，OB ＝2，∴BC ＝6，∴OC ＝BC ﹣OB ＝6﹣2＝4，∴点C （﹣4，0）．【变式6-1】（2021春•阿荣旗期末）已知：一次函数的图象与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，﹣2）．（1）求一次函数的解析式；（2）若直线AB 上的有一点C ，且S △BOC ＝2，求点C 的坐标．【解题思路】（1）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，将点A （1，0）、点B （0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB 的解析式；（2）设点C 的坐标为（x ，y ），根据三角形面积公式以及S △BOC ＝2求出C 的横坐标，再代入直线即可求出y 的值，从而得到其坐标．【解答过程】解：（1）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），∵直线AB 过点A （1，0）、点B （0，﹣2），∴{k +b =0b =−2，解得{k =2b =−2，∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣2．（2）设点C 的坐标为（x ，y ），∵S △BOC ＝2，∴12•2•|x |＝2，解得x ＝±2，∴y ＝2×2﹣2＝2或y ＝2×（﹣2）﹣2＝﹣6，∴点C 的坐标是（2，2）或（﹣2，﹣6）．【变式6-2】（2020秋•泰兴市期末）如图，已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过A （﹣2，﹣1），B （1，3）两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB 的面积．【解题思路】（1）先把A 点和B 点坐标代入y ＝kx +b 得到关于k 、b 的方程组，解方程组得到k 、b 的值，从而得到一次函数的解析式；（2）先确定D 点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB 的面积＝S △AOD +S △BOD 进行计算．【解答过程】解：（1）把A （﹣2，﹣1），B （1，3）代入y ＝kx +b 得{−2k +b =−1k +b =3，解得{k =43b =53．所以一次函数解析式为y =43x +53；（2）把x ＝0代入y =43x +53，得y =53，所以D 点坐标为（0，53），所以△AOB 的面积＝S △AOD +S △BOD=12×53×2+12×53×1=52．【变式6-3】（2021春•雄县期末）如图，直线l 1经过点A （0，2）和C （6，﹣2），点B 的坐标为（4，2），点P 是线段AB 上的动点（点P 不与点A 重合）．直线l 2：y ＝kx +2k 经过点P ，并与l 1交于点M ，过点P 作PN ⊥l 2，交l 1于点N ．（1）求l 1的函数表达式；（2）当k =49时，①求点M 的坐标；②求S △APM ．【解题思路】（1）设l 1的函数表达式为y ＝k 1x +b （k ≠0），把点A 与点C 的坐标代入即可求出l 1函数表达式；（2）①把k 的值代入求出l 2表达式，与l 1联立方程组求解，即可得到点M 的坐标； ②把y ＝2代入l 2求出x 的值，得到点P 的坐标，求出点M 到AP 的距离，即可求出△APM 的面积．【解答过程】解：（1）设l 1的函数表达式为y ＝k 1x +b （k ≠0）， 将点A （0，2）和C （6，﹣2）代入得：{b =26k 1+b =−2，解得{k 1=−23b =2， ∴l 1的表达式为y =−23x +2；（2）①当k =49时， l 2的表达式为y =49x +89， 联立得：{y =−23x +2y =49x +89，解得{x =1y =43，则交点M （1，43）；②当y ＝2时，有2=49x +89， 解得：x =52，∴P （52，2），∴点M 到直线AP 的距离是2−43=23， ∴S △APM =12×52×23=56。
专题6.4一次函数的应用-重难点题型(教师版含解析)2022年八年级数学上册举一反三系列(苏科版)_
专题6.4一次函数的应用-重难点题型【苏科版】【知识点1一次函数与实际问题】在研究有关一次函数的实际问题时，要遵循一审、二设、三列、四解的方法：第1步：审题。
认真读题，分析题中各个量之间的关系；第2步：设自变量。
根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；第3步：列函数。
根据各个量之间的关系列出函数；第4步：求解。
求出满足题意的数值。
【题型1一次函数的应用（行程问题）】【例1】（2021春•海门市期中）甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地同时出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发6分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先到A地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟，乙的速度是80米/分钟；②甲出发30分钟时，两人在C地相遇；③乙到达A地时，甲与A地相距450米，其中正确的说法有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解题思路】根据图象可知A、B两地相距3720米；利用速度＝路程÷时间可求出甲、乙的速度，由二者相遇的时间＝6+A、B两地之间的路程÷二者速度和，可求出二者相遇的时间，再由A、C两地之间的距离＝甲的速度×二者相遇的时间可求出A、C两地之间的距离，由A、C两地之间的距离结合甲、乙的速度，可求出乙到达A地时甲与A地相距的路程．【解答过程】解：由图象可知，A、B两地相距3720米，甲的速度为（3720﹣3360）÷6＝60（米/分钟），乙的速度为（3360﹣1260）÷（21﹣6）﹣60＝80（米/分钟），故①说法正确；甲、乙相遇的时间为6+3360÷（60+80）＝30（分钟），故②说法正确；A、C两地之间的距离为60×30＝1800（米），乙到达A地时，甲与A地相距的路程为1800﹣1800÷80×60＝450（米）．故③说法正确．即正确的说法有4个．故选：D．【变式1-1】（2021春•巴彦淖尔期末）如图，折线ABCDE描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是（）①汽车在行驶途中停留了0.5h；②汽车在整个行驶过程的平均速度是40km/h；③汽车共行驶了240km；④汽车出发4h离出发地40km．A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④【解题思路】根据停留时距离S不发生变化可判断①；根据速度＝路程÷时间列式计算即可判断②；求得往返的路程和得出答案即可判断③；先求出3h到4.5h的速度，再求据出发地的距离可判断④．【解答过程】解：①汽车在行驶途中停留了2﹣1.5＝0.5h，②平均速度：120×2÷4.5=1603千米/小时，故②错误；③汽车共行驶了120×2＝240km，故③正确；④汽车自出发后3h到4.5h速度为：120÷（4.5﹣3）＝120÷1.5＝80千米/小时，∴汽车出发4h离出发地距离为120﹣（4﹣3）×80＝120﹣80＝40千米，故④正确．∴正确的是①③④，故选：C．【变式1-2】（2021•沙坪坝区校级开学）某天上午，大学生小南从学校出发去重庆市图书馆查阅资料，同时他的同学小开从该图书馆看完书回学校．两人在途中相遇，于是马上就各自最近的研究课题交流了6分钟，又各自按原速前往自己的目的地．直到小开回到学校并电话告知小南后，小南决定提速25%到达图书馆（接打电话的时间忽略不计）．在整个运动过程中，小南和小开之间的距离y（m）与小南所用的时间x（min）之间的函数关系如图所示，则下列说法中正确的是（）A．学校和图书馆的之间的距离为1200mB．小南提速前，小开的速度是小南的1.8倍C．m＝1500D．n＝62【解题思路】从图象上直接可以得出图书馆到学校的距离，从而可以判断A；先求出小南和小开的和速度，再求出小开的速度，从而可以判断B；通过图象和题意可以求出m，从而可以判断C；先求出小南提速后的速度，再根据路程÷速度＝时间，即可判断D．【解答过程】解：由图象可知：图书馆到学校的距离为2400米，小南和小开的和速度为：2400÷24＝100（米/分），小开走完2400米所用时间为：46﹣6＝40（分），∴小开的速度为：2400÷40＝60（米/分），∴小南的速度为：100﹣60＝40（米/分），∴小南提速前，小开的速度是小南的60÷40＝1.5，故B错误；相遇后到小开到达学校所用时间为46﹣（24+6）＝16（分），∴m＝100×16＝1600（米），故C错误；小南提速后的速度为40（1+25%）＝50（米/分），∴n＝（2400﹣1600）÷50+46＝16+46＝62（分），故D正确．故选：D．【变式1-3】（2021•蒙阴县二模）甲、乙两车从M地到480千米的N地，甲车比乙车晚出发2小时，乙车途中因故停车检修，图中线段DE、折线OABC分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解决如下问题：（1）求两车在途中第二次相遇时，它们距目的地的路程；（2）甲车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？【解题思路】（1）设甲车所行使路程y与时间x的函数关系式为y＝k1x+b1，利用待定系数法求出其函数关系式，再结合交点F的横坐标解答即可；（2）求出线段BC对应的函数关系式，求出点P的坐标，计算两车在途中第一次相遇的时间．【解答过程】解：（1）设甲车所行使路程y与时间x的函数关系式为y＝k1x+b1，把（2，0）和（10，480）代入，得21+1=0101+1=480，解得：1=601=−120，∴y与x的函数关系式为y＝60x﹣120；由图可得，交点F表示第二次相遇，F点的横坐标为6，此时y＝60×6﹣120＝240，∴F（6，240），故两车在途中第二次相遇时它们距目的地的路程为480﹣240＝240（千米）；（2）设线段BC对应的函数关系式为y＝k2x+b2，把（6，240）、（8，480）代入，得62+2=24082+2=480，解得2=1202=−480，故y与x的函数关系式为y＝120x﹣480，则当x＝4.5时，y＝120×4.5﹣480＝60．可得：点B的纵坐标为60，∵线段AB表示因故停车检修，∴交点P的纵坐标为60，把y＝60代入y＝60x﹣120中，有60＝60x﹣120，解得x＝3，则交点P的坐标为（3，60），∵交点P表示第一次相遇，∴甲车出发的时间为：3﹣2＝1（小时）．【题型2一次函数的应用（调运问题）】【例2】（2021春•大安市期末）A城有肥料400吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D 两乡镇，从A城运往C、D两乡镇肥料费为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡镇运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨，C乡镇需要肥料340吨，D乡镇需要肥料360吨．设A城运往C乡镇x吨肥料，请解答下列问题：（1）根据题意，填写下列表格：城、乡/吨数C DA x400﹣xB340﹣x x﹣40（2）设总运费为W（元），求出W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）求怎样调运可使总运费最少？最少为多少元？【解题思路】（1）根据题意，可以将表格补充完整；（2）根据题意和（1）中表格的数据，可以写出W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）根据（2）中函数关系式和一次函数的性质，可以得到怎样调运可使总运费最少，最少为多少元．【解答过程】解：（1）根据题意，表格填写如下：城、乡/吨数C DA x400﹣xB340﹣x x﹣40故答案为：400﹣x；340﹣x；x﹣40；（2）由题意可得，W＝20x+25（400﹣x）+15（340﹣x）+24（x﹣40）＝4x+14140，∵340﹣x≥0且x﹣40≥0，∴40≤x≤340，即W（元）与x（吨）的函数关系式是W＝4x+14140（40≤x≤340）；（3）∵y＝4x+14140，k＝4＞0，∴y随x的增大而增大，∵40≤x≤340，∴当x＝40时，y取得最小值，此时y＝14300，400﹣x＝360，340﹣x＝300，x﹣40＝0，答：从A城运往C乡40吨，运往D乡360吨；从B城运往C乡300吨，运往D乡0吨，此时总运费最少，总运费最小值是14300元．【变式2-1】（2021•寻乌县模拟）疫情期间，甲、乙两个仓库要向M，N两地运送防疫物资，已知甲仓库可调出50吨防疫物资，乙仓库可调出40吨防疫物资，M地需35吨防疫物资，N地需55吨防疫物资，两仓库到M，N两地的路程和运费如下表：路程/千米运送1千米所需运费/（元/吨）甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库M地20151212N地2520108（1）设从甲仓库运往M地防疫物资x吨，两仓库运往M，N两地的总费用为y元，求y关于x的函数关系式．（2）如何调运才能使总运费最少？总运费最少是多少？【解题思路】（1）设甲仓库运往M地的防疫物资为x吨，甲仓库运往N地的防疫物资为（50﹣x）吨，乙仓库运往M地的防疫物资为（35﹣x）吨，乙仓库运往N地的防疫物资为（5+x）吨，根据题意列出函数解析式，并求出自变量的取值范围；（2）根据一次函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最小值．【解答过程】解：设甲仓库运往M地的防疫物资为x吨，甲仓库运往N地的防疫物资为（50﹣x）吨，乙仓库运往M地的防疫物资为（35﹣x）吨，乙仓库运往N地的防疫物资为（5+x）吨，根据题意得：y＝12×20x+10×25（50﹣x）+12×15×（35﹣x）+8×20（5+x）＝﹣30x+19600，∵x≥0，50﹣x≥0，35﹣x≥0，∴0≤x≤35，∴y关于x的函数关系式为y＝﹣30x+19600（0≤x≤35）；（2）∵y＝﹣30x+19600，﹣30＜0，∴y随x的增大而减小，∵0≤x≤35，∴当x＝35时，总运费最少，即从甲仓库运往M地35吨，甲仓库运往N地：50﹣35＝15（吨），乙仓库运往M地：55﹣15＝40（吨），乙仓库运往N地：40﹣40＝0（吨），∴总运费最少为：﹣30×35+19600＝18550（元）．∴从甲仓库运往M地35吨，运往N地15吨；从乙仓库运往N地40吨时总运费最少，总运费最少是18550元．【变式2-2】（2021春•满洲里市期末）已知A地有蔬菜200t，B地有蔬菜300t，现决定将这些蔬菜全部调运给C，D两地，C，D两地分别需要调运蔬菜240t和260t．其中从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C地的蔬菜为x吨．设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案．【解题思路】根据从B地运往C地的蔬菜为x吨，可以用含x的式子表示出运往各地的吨数，然后即可写出w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质和x的取值范围，即可得到总运费最小的调运方案，【解答过程】解：设从B地运往C地的蔬菜为x吨，则从B地运往D地的蔬菜为（300﹣x）吨，从A 地运往C地的蔬菜为（240﹣x）吨，从A地运往D地的蔬菜为（x﹣40）吨．w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+15x+18（300﹣x）＝2x+9200，由题意得，240−≥0−40≥0≥0300−≥0，解得40≤x≤240，∵w＝2x+9200，k＝2＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝40时，总运费w有最小值9280元，240﹣x＝200，x﹣40＝0，300﹣x＝260，答：w与x之间的函数关系式是w＝2x+9200，总运费最小的调运方案是从A地运往C地200吨，B地运往C地40吨，B地运往D地260吨．【变式2-3】（2021春•昆明期末）某市A、B两个仓库分别有救灾物资200吨和300吨，2021年5月18日起云南大理州漾濞县已连续发生多次地震，最高震级为5月21日发生的6.4级地震，为援助灾区，现需将这些物资全部运往甲，乙两个受灾村．已知甲村需救灾物资240吨，乙村需救灾物资260吨，从A仓库运往甲，乙两村的费用分别为每吨20元和每吨25元，从B仓库运往甲，乙两村的费用分别为每吨15元和24元．设A仓库运往甲村救灾物资x吨，请解答下列问题：（1）根据题意，填写下表格：仓库甲村乙村A x①B②③①＝200﹣x；②＝240﹣x；③＝x+60．（2）设总运费为W（元），求出W（元）与x（吨）的函数关系式．（3）求怎么调运可使总运费最少？最少运费为多少元？【解题思路】（1）根据题意用含x的代数式表示即可；（2）根据题意直接列式：y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（x+60）化简即可；（3）由（2）中的一次函数可知，y随x的减小而减小，要使总运费最低，x必须取最小值，计算各个运货数量设计方案即可．【解答过程】解：（1）∵A、B两个仓库分别有救灾物资200吨和300吨，甲村需救灾物资240吨，乙村需救灾物资260吨，∴设A仓库运往甲村救灾物资x吨，则运往乙村（200﹣x）吨，B仓库运往甲村（240﹣x）吨，运往乙村[300﹣（240﹣x）]＝（x+60）吨，∴①＝200﹣x，②＝240﹣x，③＝x+60．故答案为：200﹣x，240﹣x，x+60．（2）W＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（x+60）＝4x+10040（0≤x≤200）．（3）∵一次函数W＝4x+10040，k＝4＞0，∴y随x的减小而减小，∴要使总运费最低，x必须取最小值．∴当x＝6时，总运费最少是10040元．调运方案为：从A村运往乙库200吨，从B村运往甲库240吨，运往乙库60吨．【题型3一次函数的应用（利润最大化）】【例3】（2021•镇雄县二模）2020年6月1日上午，国务院总理在山东烟台考察时表示，地摊经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．“地摊经济”成为了社会关注的热门话题．小明从市场得知如表信息：甲商品乙商品进价（元/件）355售价（元/件）458小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）小明用不超过2000元资金一次性购进甲，乙两种商品，求x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于632.5元，请说明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大．【解题思路】（1）由y＝甲商品利润+乙商品利润，可得解析式；（2）由用不超过2000元资金一次性购进甲，乙两种商品，列出不等式组，即可求解；（3）由获得的利润不少于632.5元，列出不等式可求x的范围，由一次函数的性质可求解．【解答过程】解：（1）由题意可得：y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300；（2）由题意可得：35x+5（100﹣x）≤2000，∴x≤50，又∵x≥0，∴0≤x≤50，且x为整数；（3）由题意可得：（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）≥632.5，∴x≥47.5，∴47.5≤x≤50，又∵x为整数，∴x＝48，49，50，∴进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进50件，乙商品进50件；∵y＝7x+300，∴y随x的增大而增大，∴当x＝50时，有最大利润．∴当甲商品进50件，乙商品进50件，利润有最大值．【变式3-1】（2021•青白江区模拟）在近期“抗疫”期间，某药店销售A，B两种型号的口罩，已知销售80只A型和45只B型的利润为21元，销售40只A型和60只B型的利润为18元．（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；（2）该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不少于A型口罩的进货量且不超过它的3倍，则该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润y最大？【解题思路】（1）设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b元，根据“销售80只A型和45只B型的利润为21元，销售40只A型和60只B型的利润为180元”列方程组解答即可；（2）根据题意即可得出y关于x的函数关系式；根据题意列不等式得出x的取值范围，再结合y关于x 的函数关系式解答即可．【解答过程】解：（1）设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b元，根据题意得：80+45=2140+60=18，解得=0.15=0.2，答：每只A型口罩销售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元；（2）根据题意得，y＝0.15x+0.2（2000﹣x），即y＝﹣0.05x+400；根据题意得，2000−≥2000−≤3，解得500≤x≤1000，∴y＝﹣0.05x+400（500≤x≤1000），∵﹣0.05＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x＝500时，y取最大值，则2000﹣x＝1500，即药店购进A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大．【变式3-2】（2021春•连山区期末）由于新能源汽车越来越受到消费者的青睐，某经销商决定分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车的每辆的进价相同）．第一次用270万元购进甲型号汽车30辆和乙型号汽车20辆；第二次用128万元购进甲型号汽车14辆和乙型号汽车10辆．（1）求甲、乙两种型号汽车每辆的进价；（2）经销商分别以每辆甲型号汽车8.8万元，每辆乙型号汽车4.2万元的价格销售后，根据销售情况，决定再次购进甲、乙两种型号的汽车共100辆，且乙型号汽车的数量不少于甲型号汽车数量的3倍，设再次购进甲型汽车a辆，这100辆汽车的总销售利润为W万元．①求W关于a的函数关系式；并写出自变量的取值范围；②若每辆汽车的售价和进价均不变，该如何购进这两种汽车，才能使销售利润最大？最大利润是多少？【解题思路】（1）设甲种型号汽车的进价为a万元、乙种型号汽车的进价为b万元，根据“第一次用270万元购进甲型号汽车30辆和乙型号汽车20辆；第二次用128万元购进甲型号汽车14辆和乙型号汽车10辆”得到相应的二元一次方程组，解方程组即可得到甲、乙两种型号汽车每辆的进价；（2）①根据题意可以得到利润与购买甲种型号汽车数量的函数关系；②根据乙型号汽车的数量不少于甲型号汽车数量的3倍，可以得到购买甲种型号汽车数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到最大利润和此时的购买方案．【解答过程】解：（1）设甲种型号汽车的进价为a万元、乙种型号汽车的进价为b万元，30+20=27014+10=128，解得：=7=3，答：甲、乙两种型号汽车每辆的进价分别为7万元、3万元；（2）①由题意得：购进乙型号的汽车（100﹣a）辆，则W＝（8.8﹣7）a+（4.2﹣3）×（100﹣a）＝0.6a+120，乙型号汽车的数量不少于甲型号汽车数量的3倍，∴100﹣a≥3a，且a≥0，解得，0≤a≤25，∴W关于a的函数关系式为W＝0.6a+120（0≤a≤25）；②W＝0.6a+120，∵0.6＞0，∴W随着a的增大而增大，∵0≤a≤25，∴当a＝25时，W取得最大值，此时W＝0.6×25+120＝135（万元），100﹣25＝75（辆），答：获利最大的购买方案是购进甲型汽车25辆，乙型汽车75辆，最大利润是135万元．【变式3-3】（2021•鹿邑县一模）草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季．某水果店以2850元购进两种不同品种的盒装草莓．若按标价出售可获毛利润1500元（毛利润＝售价﹣进价），这两种盒装草莓的进价、标价如表所示：价格/品种A品种B品种进价（元/盒）4560标价（元/盒）7090（1）求这两个品种的草莓各购进多少盒；（2）该店计划下周购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进草莓全部销售完毕（损耗忽略不计）．因B品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A 品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒．如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少？【解题思路】（1）根据某水果店以2850元购进两种不同品种的盒装草莓，按标价出售可获毛利润1500元和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据题意，可以写出毛利润和购买A种草莓数量的函数关系式，然后根据水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒，可以得到相应的不等式，求出A种草莓数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少．【解答过程】解：（1）设A品种的草莓购进x盒，B品种的草莓购进y盒，由题意可得，45+60=2850(70−45)+(90−60)=1500，解得=30=25，答：A品种的草莓购进30盒，B品种的草莓购进25盒；（2）设A品种的草莓购进a盒，则B品种的草莓购进（100﹣a）盒，毛利润为w元，由题意可得，w＝（70﹣45）a+（90﹣60）×（100﹣a）＝﹣5a+3000，∵k＝﹣5＜0，∴w随a的增大而减小，∵水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒，∴≥20100−≥2，解得20≤a≤3313，∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝﹣5×20+3000＝2900，100﹣a＝80，答：当A品种的草莓购进20盒，B品种的草莓购进80盒时，才能使毛利润最大，最大毛利润是2900元．【题型4一次函数的应用（费用最低）】【例4】（2021春•广安期末）为积极响应垃圾分类的号召，某街道决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱．已知购买3个垃圾箱和2个温馨提示牌需要280元，购买2个垃圾箱和3个温馨提示牌需要270元．（1）每个垃圾箱和每个温馨提示牌各多少元？（2）若购买垃圾箱和温馨提示牌共100个（两种都买），且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌个数的3倍，请写出总费用w（元）与垃圾箱个数m（个）之间的函数关系式，并说明当购买垃圾箱和温馨提示牌各多少个时，总费用最低，最低费用为多少元？【解题思路】（1）根据购买3个垃圾箱和2个温馨提示牌需要280元，购买2个垃圾箱和3个温馨提示牌需要270元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据题意，可以写出w与m的函数关系式，然后根据垃圾箱的个数不少于温馨提示牌个数的3倍，即可得到m的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到当购买垃圾箱和温馨提示牌各多少个时，总费用最低，最低费用为多少元．【解答过程】解：（1）设每个垃圾箱和每个温馨提示牌分别为x元、y元，由题意可得，3+2=2802+3=270，解得=60=50，答：每个垃圾箱和每个温馨提示牌分别为60元、50元；（2）设购买垃圾箱m个，则购买温馨提示牌（100﹣m）个，w＝60m+50（100﹣m）＝10m+5000，∵垃圾箱的个数不少于温馨提示牌个数的3倍，∴m≥3（100﹣m），解得m≥75，∴当m＝75时，w取得最小值，此时w＝5750，100﹣m＝25，答：总费用w（元）与垃圾箱个数m（个）之间的函数关系式是w＝10m+5000，当购买垃圾箱和温馨提示牌分别为75个、25个时，总费用最低，最低费用为5750元．【变式4-1】（2021春•环江县期末）某县园林局打算购买三角梅、水仙装点城区道路，负责人小李去花卉基地调查发现：购买1盆三角梅和2盆水仙需要14元，购买2盆三角梅和1盆水仙需要13元．（1）求三角梅、水仙的单价各是多少元？（2）购买三角梅、水仙共10000盆，且购买的三角梅不少于3000盆，但不多于5000盆．①设购买的三角梅种花a盆，总费用为W元，求W与a的关系式；②当总费用最少时，应选择哪一种购买方案？最少费用为多少元？【解题思路】（1）根据购买1盆三角梅和2盆水仙需要14元，购买2盆三角梅和1盆水仙需要13元，可以列出相应的二元一次方程组，解方程组即可得到三角梅、水仙的单价各为多少元；（2）①根据题意，可以写出W与m的关系式；②根据①中的函数关系式和一次函数的性质，即可得到使总花费最少的够花方案，并求出最少费用．【解答过程】解：（1）设三角梅、水仙的单价分别为x元、y元，根据题意得+2=142+=13，解得=4=5，答：三角梅、水仙的的单价分别为4元、5元；（2）①由题意可得，W＝4a+5（10000﹣a），即W与a的关系式是W＝﹣a+50000（3000≤a≤5000）；②∵W＝﹣a+50000，∴W随a的增大而减小，∵3000≤a≤5000，∴当a＝5000时，W取得最小值，此时W＝45000，10000﹣a＝1000﹣5000＝5000，答：当购买三角梅、水仙各5000盆时，总花费最少，最少费用为45000元．【变式4-2】（2021•三水区校级二模）截至2021年4月10日，全国累计报告接种新冠疫苗16447.1万剂次，接种总剂次数为全球第二．某社区有80000人每人准备接种两剂次相同厂家生产的新冠疫苗并被分配到A、B两个接种点，A接种点有5个接种窗口，B接种点有4个接种窗口．每个接种窗口每天的接种量相同，并且在独立完成20000人的两剂次新冠疫苗接种时，A接种点比B接种点少用5天．（1）求A、B两个接种点每天接种量；（2）设A接种点工作x天，B接种点工作y天，刚好完成该社区80000人的新冠疫苗接种任务，求y关于x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若A接种点每天耗费6.5万元，B接种点每天耗费为4万元，且A、B两个接种点的工作总天数不超过85天，则如何安排A、B两个接种点工作的天数，使总耗费最低？并求出最低费用．【解题思路】（1）设A接种点每天接种量为5x剂次，B接种点每天接种量为4x剂次，由题意：在独立完成20000人的两剂次新冠疫苗接种时，A接种点比B接种点少用5天．列出分式方程，解方程即可；（2）结合（1）的结论即可得出y关于x的函数关系式；（3）根据“A、B两个接种点的工作总天数不超过85天”可得x+y≤85，再把（2）的结论代入可得关于x的不等式，解不等式求出x的取值范围；设总耗费为w万元，由题意求出w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．【解答过程】解：（1）设A接种点每天接种量为5x剂次，B接种点每天接种量为4x剂次，由题意得：20000×24−20000×25=5，解得：x＝400，经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意，则4x＝1600，5x＝2000，答：设A接种点每天接种量为2000剂次，B接种点每天接种量为1600剂次；（2）由（1）得2000x+1600y＝80000×2，∴y=−54+100；（3）由题意，得x+y≤85，即x+（−54+100）≤85，解得x≥60，设总耗费为w万元，则w＝6.5x+4（−54+100）＝1.5x+400．∵1.5＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝60时，w取值最小，最小值为：1.5×60+400＝490（万元），∴y=−54+100=25，答：安排A接种点工作60天，B种接种点工作25天，使总耗费最低，最低费用为490万元．【变式4-3】（2021春•大同期末）在新冠疫情防控期间，某校新购进A、B两种型号的电子体温测量仪共20台，其中A型仪器的数量不少于B型仪器的23，已知A、B两种测温仪的价格如表所示，请问购买A、B两种测温仪各多少台时，可使所购仪器的总费用最少？最少需多少元？型号A B价格800元/台600元/台【解题思路】根据题意和表格中的数据，可以写出费用与A种型号测温仪台数的函数关系式，然后根据某校新购进A、B两种型号的电子体温测量仪共20台，A型仪器的数量不少于B型仪器的23，可以得到A 种型号台数的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到购买A、B两种测温仪各多少台时，可使所购仪器的总费用最少，最少需多少元．【解答过程】解：设购买A种型号的测温仪x台，则购买B种型号的测温仪（20﹣x）台，所需费用为w 元，由题意可得，w＝800x+600（20﹣x）＝200x+12000，∴w随x的增大而增大，∵某校新购进A、B两种型号的电子体温测量仪共20台，A型仪器的数量不少于B型仪器的23，∴23（20﹣x）≤x≤20，解得8≤x≤20，∴当x＝8时，w取得最小值，此时w＝200×8+12000＝13600，20﹣x＝12，答：购买A、B两种测温仪分别为8台、12台时，可使所购仪器的总费用最少，最少需13600元．【题型5一次函数的应用（工程问题）】【例5】（2021•汇川区三模）为了主题为“醉美遵义，酒都仁怀”第十三届遵义文化旅游产业发展大会召开，仁怀某社区计划对面积为2000m2的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2.5倍，并且在独立完成面积为500m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积．（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y与x的函数解析式．（3）若甲队每天绿化费用是1.5万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，且甲乙两队施工的总天数不超过19天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．【解题思路】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，则乙甲队每天能完成绿化面积2.5xm2，根据在独立完成面积为500m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天，列方程求解；（2）根据（1）的结论即可求出y与x的函数解析式．（3）根据甲乙两队施工的总天数不超过19天，得到x的取值范围，设施工总费用为w元，根据题意得出w与x的函数关系式，根据一次函数的性质，即可解答．【解答过程】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，则乙甲队每天能完成绿化面积2.5xm2，根据题意得：500−5002.5=6，解得x＝50，经检验，x＝50是原方程的解并满足题意，则甲工程队每天能完成绿化的面积是：50×2.5＝125（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是125m2、50m2；（2）根据题意，得：125x+50y＝2000，整理得：y＝40﹣2.5x，∴y与x的函数解析式为：y＝40﹣2.5x；（3）∵甲乙两队施工的总天数不超过19天，。
专题01 选择压轴题之函数图象问题(举一反三)(解析版)
【方法点拨】此类试题在考查时通常会给出2个及以上含相同字母系数的函数表达，但这些系数在不同的函数表达式中代表的意义不同.1.若题目中已经明确其中一个函数的图象, 则结合该函数表达式，判断出各相关系数的符号，再去判断其他函数的大致图象即可；2.若题目中没有明确任意一个函数的图象，则可分情况分析判断，若推出的结果与假设条件矛盾，则该项假设不成立.【例1】（2020•福田区一模）如图，是函数y＝ax2+bx+c的图象，则函数y＝ax+c，y=b2−4acx，在同一直角坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a＜0，c＜0，b2﹣4ac＞0，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象交y轴的负半轴，∴c＜0，∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴一次函数y＝ax+c，图象经过第二、三、四象限，反比例函数y=b2−4acx的图象分布在第一、三象限，故选：A．【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．【变式1-1】（2020•昌图县校级一模）函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【解答】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=−−22a＞0，故选项正确；D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的对称轴x=−−22a＜0，故选项错误．故选：C．【点评】应该熟记一次函数y＝ax+a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．【变式1-2】（2021•历下区一模）函数y=kx和y＝﹣kx+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】分k＞0和k＜0两种情况确定正确的选项即可．【解答】解：当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y随着x的增大而减小，B选项符合，A、C选项错误；当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于负半轴，y随着x的增大而增大，D错误；故选：B．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种情况确定答案，难度不大．【变式1-3】（2021•朔城区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣2b（a≠0）与反比例函数y=cx（c≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先根据二次函数的图象开口向上可知a＞0，对称轴在y轴的左侧可知b＞0，再由函数图象交y 轴的负半轴可知c＜0，然后根据一次函数的性质和反比例函数的性质即可得出正确答案．【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的左侧，函数图象交于y轴的负半轴∴a＞0，b＞0，c＜0，∴反比例函数y=cx的图象必在二、四象限；一次函数y＝ax﹣2b一定经过一三四象限，∵对称轴为直线x＝﹣1，且与x轴的交点为（﹣3，0），∴另一个交点为（1，0），∴−b2a=−1，∴b＝2a，把（﹣3，0）代入y＝ax2+2ax+c得，9a﹣6a+c＝0，∴c＝﹣3a，方程ax﹣2b=cx整理得ax2﹣2bx﹣c＝0，即ax2﹣4a+3a＝0，∴x2﹣4x+3＝0，∵（﹣4）2﹣4×3＝4＞0，∴一次函数y＝ax﹣2b（a≠0）与反比例函数y=cx（c≠0）的图象有两个交点，故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．【方法点拨】动态问题中分析判断函数图象：1.函数解析式法：分析运动过程,确定各个变化区间，用含未知数的式子表示出线段长或者面积，根据函数的性质和自变量的取值范围进行分析；2.特殊范围或特殊值法：观察选项中各个函数图象，根据运动的性质，在同一取值范围内,对函数图象的走势和变化快慢进行对比和分析，必要时可将特殊点坐标代入求值，可快速进行判断.【例2】（2021•淮南一模）如图，▱ABCD中，AB＝20cm，BC＝30cm，∠A＝60°，点P从点A出发，以10cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D作匀速运动，同时，点Q从点A出发，以6cm/s的速度沿A﹣D作匀速运动，直到两点都到达终点为止．设点P的运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），则S关于t的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】①当0≤t≤2，即当点P在AB边上时，可根据S=12AQ•AP×sin∠A写出S关于t的函数关系式，从而排除选项A和D；②当0≤t≤5，即当点P在AB边上或当点P在BC线段上，点Q在AD线段上运动时，选项B和C图象相同；③当5＜t≤7，即当点P在CD边上，点Q到达点D时，过点P作PH⊥AD于点H，可由S=12AQ•PD×sin∠PDH，写出S关于t的函数关系式，从而排除选项B，则问题得解．【解答】解：①当0≤t≤2，即当点P在AB边上时，AP＝10tcm，AQ＝6tcm，∴S=12AQ•AP×sin∠A=12×6t×10t×sin60°＝30t2×√32＝15√3t2，∴此时抛物线为开口向上的抛物线，故排除A和D；②当0≤t≤5，即当点P在AB边上或当点P在BC线段上，点Q在AD线段上运动时，选项B和C图象相同；③当5＜t≤7，即当点P在CD边上，点Q到达点D时，过点P作PH⊥AD于点H，如图所示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，∴∠PDH＝∠A＝60°，∴S=12AQ•PD×sin∠PDH=12×30×（20×2+30﹣t）×sin60°＝15×（70﹣t）×√3 2=−15√32t+525√3，∴当5＜t≤7时，S为t的一次函数，图象为直线，∴只有C符合题意．故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合、分段讨论是解题的关键．【变式2-1】（2020•孝感）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝4，BC＝6，∠BAD＝30°．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH ⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】分别求出点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动时的函数表达式，进而求解．【解答】解：①当点P在AB上运动时，y=12AH×PH=12×AP sin A×AP cos A=12×x2×√34=√38x2，图象为二次函数；②当点P在BC上运动时，如下图，由①知，BH′＝AB sin A＝4×12=2，同理AH′＝2√3，则y=12×AH×PH=12（2√3+x﹣4）×2＝2√3−4+x，为一次函数；③当点P在CD上运动时，同理可得：y=12×（2√3+6）×（4+6+2﹣x）＝（3+√3）（12﹣x），为一次函数；故选：D．【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．【变式2-2】（2020•安徽）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．【解答】解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GH=√32EJ=√32x，∴y=12EJ•GH=√34x2．当x＝2时，y=√3，且抛物线的开口向上．如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．y=12FJ•GH=√34（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A．【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．【变式2-3】（2020•吉州区一模）如图，直线y＝﹣2x+8交x轴、y轴于A、B两点，点P为线段AB上的点，过点P作PE⊥x轴于点E，作PF⊥y轴于点F，PF＝2，将线段AB沿y轴负方向向下移动a个单位，线段AB扫过矩形PEOF的面积为z，则图中描述z与a的函数图象可能是（）A．B．C．D．【分析】求得直线y＝﹣2x+8与坐标轴的交点，求得当0＜a≤4时的函数解析式，排除选项A和D；再根据z随a的增大而增大，排除B，可得答案为C．【解答】解：∵直线y＝﹣2x+8交x轴、y轴于A、B两点，∴A（0，8），B（4，0），∵PF＝2，∴P（2，4），∴PE＝4，线段AB沿y轴负方向向下移动a个单位，当0＜a≤4时，AG＝PN＝a，FG＝4﹣a，∵∠BAO＝∠MGF，∴tan∠MGF＝tan∠BAO=48=12，∴MF=12FG=12×（4﹣a），∴MP＝2−12×（4﹣a）=12a，∴z=12PM×PN=14a2，∴当0＜a≤4时，z为开口向上的二次函数，∴排除A，D选项；∵当0＜a≤8时，z随a的增大而增大，∴B不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练掌握变化的临界点是解题的关键．【方法点拨】实际问题中的函数图象题的解题技巧:1.关注特殊点：(1)起点:确定初始状态;(2)交点:此时纵坐标相等;(3)转折点:图象在该点前后状态改变.2.分析图象变化趋势: 图象上升, y值增大; 图象下降,y值减小;图象为一段与x轴平行的线段,y值不变.还可根据y值变化的急缓程度分析运动过程.【例3】（2020•连云港）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a＝340；④快车先到达目的地．其中正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．①④【分析】根据题意可知两车出发2小时后相遇，据此可知他们的速度和为180（km/h），相遇后慢车停留了0.5h，快车停留了1.6h，此时两车距离为88km，据此可得慢车的速度为80km/h，进而得出快车的速度为100km/h，根据“路程和＝速度和×时间”即可求出a的值，从而判断出谁先到达目的地．【解答】解：根据题意可知，两车的速度和为：360÷2＝180（km/h），相遇后慢车停留了0.5h，快车停留了1.6h，此时两车距离为88km，故①结论错误；慢车的速度为：88÷（3.6﹣2.5）＝80（km/h），则快车的速度为100km/h，所以快车速度比慢车速度多20km/h；故②结论正确；88+180×（5﹣3.6）＝340（km），所以图中a＝340，故③结论正确；快车到达终点的时间为360÷100+1.6＝5.2小时，慢车到达终点的时间为360÷80+0.5＝5小时，因为5.2＞5，所以慢车先到达目的地，故④结论错误．所以正确的是②③．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的应用，行程问题中数量关系的运用，函数图象的意义的运用，解答时读懂函数图象，从图象中获取有用信息是解题的关键．【变式3-1】（2020•潜江校级模拟）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟；③乙用12分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得：甲步行速度=2404=60（米/分）；故①结论正确；设乙的速度为：x米/分，由题意可得：16×60＝（16﹣4）x，解得x＝80∴乙的速度为80米/分；∴乙走完全程的时间=240080=30（分），故②结论正确；由图可得，乙追上甲的时间为：16﹣4＝12（分）；故③结论正确；乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360（米），故④结论错误；故正确的结论有①②③共3个．故选：C．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式3-2】（2020•黄冈模拟）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离y（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点B 的坐标为（334，75）；④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时． 其中正确的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①③【分析】要解答本题需要熟悉一次函数的图象特征，再根据一次函数的性质和图象结合实际问题对每一项进行分析即可得出答案．【解答】解：①设快递车从甲地到乙地的速度为x 千米/时，则 3（x ﹣60）＝120， x ＝100． 故①正确；②因为120千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲、乙两地之间的距离， 故②错误；③因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟， 所以图中点B 的横坐标为3+34=334，纵坐标为120﹣60×34=75， 故③正确；④设快递车从乙地返回时的速度为y 千米/时，则返回时与货车共同行驶的时间为（414−334）小时，此时两车还相距75千米，由题意，得 （y +60）（414−334）＝75，y ＝90， 故④正确．其中正确的是：①③④故选：C ．【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题，关键是根据一次函数的性质和图象结合实际问题判断出每一结论是否正确．【变式3-3】（2020•界首市一模）小带和小路两个人开车从A 城出发匀速行驶至B 城．在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开A 城的距离y （千米）与行驶的时间t （小时）之间的函数关系如图所示．有下列结论；①A 、B 两城相距300千米；②小路的车比小带的车晚出发1小时，却早到1小时； ③小路的车出发后2.5小时追上小带的车；④当小带和小路的车相距50千米时，t =54或t =154． 其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①②D ．②③④【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得小带、小路两车离开A 城的距离y 与时间t 的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t ，可判断④，可得出答案．【解答】解：由图象可知A 、B 两城市之间的距离为300km ，小带行驶的时间为5小时，而小路是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比早小带到1小时， ∴①②都正确；设小带车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y 小带＝kt ， 把（5，300）代入可求得k ＝60， ∴y 小带＝60t ，设小路车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y 小路＝mt +n ， 把（1，0）和（4，300）代入可得 {m +n =04m +n =300，解得：{m =100n =−100，∴y 小路＝100t ﹣100，令y 小带＝y 小路，可得：60t ＝100t ﹣100， 解得：t ＝2.5，即小带、小路两直线的交点横坐标为t ＝2.5，此时小路出发时间为1.5小时，即小路车出发1.5小时后追上小带车， ∴③不正确；令|y 小带﹣y 小路|＝50，可得|60t ﹣100t +100|＝50，即|100﹣40t |＝50， 当100﹣40t ＝50时，可解得t =54， 当100﹣40t ＝﹣50时，可解得t =154， 又当t =56时，y 小带＝50，此时小路还没出发， 当t =256时，小路到达B 城，y 小带＝250； 综上可知当t 的值为 54或154或56或256时，两车相距50千米，∴④不正确； 故选：C ．【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t 是甲车所用的时间．【方法点拨】解决此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【例4】（2021•海安市模拟）如图1，在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，点P 是对角线BD 上一动点，设PD 的长度为x ，PE 与PC 的长度和为y ，图2是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点，则a +b 的值为（ ）A ．7√3B ．2√3+4C ．143√3D ．223√3【分析】由A 、C 关于BD 对称，推出P A ＝PC ，推出PC +PE ＝P A +PE ，推出当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，推出BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，分别求出PE +PC 的最小值，PD 的长即可解决问题．【解答】解：∵在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点， ∴易证AE ⊥BC ， ∵A 、C 关于BD 对称， ∴P A ＝PC ， ∴PC +PE ＝P A +PE ，∴当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，即AE 的长． 观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6， ∴BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4， ∴在Rt △AEB 中，AE ＝2√3， ∴PC +PE 的最小值为2√3， ∴点H 的纵坐标a ＝2√3， ∵BC ∥AD ， ∴AD BE=PD PB=2，∵BD ＝4√3，∴PD =23×4√3=8√33， ∴点H 的横坐标b =8√33， ∴a +b ＝2√3+8√33=14√33；故选：C ．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式4-1】（2020•巩义市二模）如图1，在矩形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 方向运动，当点M 到达点C 时停止运动，过点M 作MN ⊥AM 交CD 于点N ，设点M 的运动路程为x ，CN ＝y ，图2表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，则函数图象中a 的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15 【分析】证明∠MAB ＝∠NMC ，则tan ∠MAB ＝tan ∠NMC ，即BM AB=CN CM，得到y =−16（x ﹣6）（x ﹣m﹣6），进而求解．【解答】解：由图2知：CD ＝6，设BC ＝m ，MB ＝x ﹣6，NC ＝y ， 则CM ＝BC ﹣BM ＝m +6﹣x ， 如图所示，当点M 在BC 上时，∵MN ⊥AM ，则∠MAB ＝∠NMC ， tan ∠MAB ＝tan ∠NMC ，即BM AB=CN CM，即x−66=y m+6−x ，解得y =−16（x ﹣6）（x ﹣m ﹣6）， 则函数的对称轴为x =12（6+m +6）＝6+12m ，∵−16＜0，故y有最大值，当x＝6+12m时，y取得最大值，则y=−16（x﹣6）（x﹣m﹣6）=−16×12m×（−12m）=83，解得m＝±8（舍去负值），故BC＝8，则a＝BC+CD＝8+6＝14，故选：C．【点评】本题考查的是动点的图象问题，涉及到一次函数、二次函数、解直角三角形等知识，从图2中，确定AB+BC＝a是本题解题的关键．【变式4-3】（2020•西华县二模）如图①，在等边三角形ABC中，点P为边BC上的任意一点，且∠APD ＝60°，PD交AC于点D，设线段PB的长度为x，CD的长度为y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（）A．4B．4√3C．8√3D．16√3【分析】由等边三角形的性质可得AB＝BC，∠B＝∠C＝60°，结合∠APD＝60°，由“一线三等角“推得∠BAP＝∠CPD，从而可判定△BAP∽△CPD，从而可得比例式，将其写成y关于x的二次函数形式，根据二次函数的性质可得CD的最大值，进而得出∠APB＝∠PDC＝90°，从而求得等边三角形的边长，再利用三角函数求得其高，最后根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠C＝60°，又∵∠APD＝60°，∴∠BAP+∠BP A＝60°，∠CPD+∠BP A＝60°，∴∠BAP＝∠CPD，∴△BAP∽△CPD，∴AB：PC＝BP：CD，设AB＝BC＝a，∵线段PB 的长度为x ，CD 的长度为y ， ∴a ：（a ﹣x ）＝x ：y ， ∴y =−1a x 2+x ，∴当x =−b2a =a2时，y 取得最大值1，即P 为BC 中点时，CD 的最大值为1， ∴此时∠APB ＝∠PDC ＝90°， ∴∠CPD ＝90°﹣60°＝30°， ∴PC ＝BP ＝2， ∴AB ＝BC ＝4，∴AP ＝4×sin60°＝2√3，∴等边三角形ABC 的面积为：4×2√3÷2＝4√3． 故选：B ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练掌握等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点是解题的关键．【变式4-4】（2020•济阳区模拟）如图1，△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm /s 的速度沿折线A →C →B 运动，点Q 从点A 出发以vcm /s 的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x （s ），△APQ 的面积为y （cm 2），y 关于x 的函数图象由C 1，C 2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v ＝1；②sin B =13；③图象C 2段的函数表达式为y =−13x 2+103x ；④△APQ 面积的最大值为8，其中正确有（ ）A ．①②B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【分析】根据图象确定点Q 的速度，AB 长，再由锐角三角函数用∠B 的正弦值和x 表示y 将（4，43）代入问题可解．【解答】解：①当点P 在AC 上运动时，y =12AP •AQ •sin A =12×2x •vx ×12=12vx 2，当x＝1，y=12时，得v＝1，故此选项正确；②由图象可知，AB＝5，AC+CB＝10，当P在BC上时y=12•x•（10﹣2x）•sin B，当x＝4，y=43时，代入解得sin B=13，故此选项正确；③∵sin B=13，∴当P在BC上时y=12•x（10﹣2x）×13=−13x2+53x，∴图象C2段的函数表达式为y=−13x2+53x，故此选项不正确；④∵y=−13x2+53x，∴当x=−b2a=52时，y最大=2512，故此选项不正确；故选：A．【点评】本题时动点问题的函数图象探究题，考查了分段表示函数关系式，应用了锐角三角函数，解答关键是理解图象反映出来的数学关系．21。
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【思路分析】由已知中二次函数 f（x）＝x2+ax+b，A＝{x|f（x）＝2x}＝{22}，可得方程（x）＝x2+ax+b ＝2x 有两个相等的实根 22，由韦达定理求出 a，b 的值得答案． 【答案】解：∵二次函数 f（x）＝x2+ax+b，A＝{x|f（x）＝2x}＝{22}， 故方程（x）＝x2+ax+b＝2x 有两个相等的实根 22， 即方程 x2+（a﹣2）x+b＝0 有两个相等的实根 22， 即 22+22＝﹣（a﹣2）且 22×22＝b， 解得：a＝﹣42，b＝484， 故 f（x）＝x2﹣42x+484． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是答案的关键， 是基础题． 【考点 4 求函数解析式—换元法】
【练 4.2】已知函数 f (x) 满足关系式 f (x 2) 2x 5 ，求 f (x) 的解析式； 【思路分析】将 f（x+2）＝2x+5 中的 x+2 看作整体，解得 x，代入其解析式，则解得 f（x）． 【答案】解：令 t＝x+2， ∴x＝t﹣2 ∴f（t）＝2t+1 令 x＝t ∴f（x）＝2x+1 【点睛】本题主要考查用换元法求函数解析式，要注意等价转化，即要注意换元前后的取值范围．
【点睛】本题考查了二次函数图象的画法和识别，属于基础题．
【考点 3 求函数解析式—待定系数法】 【练 3】设二次函数 f (x) 满足 f (0) 1，且 f (x 1) f (x) 4x ，求 f (x) 的解析式．
【思路分析】用待定系数法设出 f（x）＝ax2+bx+c＝0（a≠0），再通过已知条件列方程可解得； 【答案】解 设所求二次函数为 f（x）＝ax2+bx+c＝0（a≠0）， ∵f（0）＝1，∴c＝1，则 f（x）＝ax2+bx+1＝0，（a≠0）， 又∵f（x+1）﹣f（x）＝4x， ∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）＝4x，
【练 4.3】已知 f（ ）＝2x，求 f（x）的解析式；
【思路分析】令 t，然后，用 t 表示 x，利用换元法求解其解析式；
【答案】解：令 t，
∴x ，
∴f（t）＝2 ，
∴f（x）＝2 ；
【点睛】本题重点考查了换元法求解函数的解析式， 【考点 5 求函数解析式—代入法】 【练 5】已知 f（x）＝3x2+1，g（x）＝2x﹣1，求 f[g（x）]和 g[f（x）]的解析式．
；
【点睛】考查换元求函数解析式的方法．
【练 4.1】已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f (x) 的解析式 【思路分析】令 1＝t，则 t+1，x＝（t+1）2，（t≥﹣1），代入函数的表达式求出即可； 【答案】解：令 1＝t，则 t+1，x＝（t+1）2，（t≥﹣1）， ∴由 f（ 1）＝x+2 ， 得：f（t）＝（t+1）2+2（t+1）＝t2+4t+3，（t≥﹣1）， ∴f（x）＝x2+4x+3，（x≥﹣1）． 【点睛】本题考查的是函数的解析式求法，用待定系数法求解，本题难度不大，属于基础题．
（2）y＝|﹣x2+2x+3|，如图所示，值域为[0，+∞）， （3）y＝|x﹣2|﹣|x﹣1|，如图所示，值域为[﹣1，1]
（4）y＝﹣x2+2|x|+3，如图所示，值域为（﹣∞，4] （5）y＝|x﹣2|+|x﹣1|，如图所示，值域为[1，+∞）
【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查学生的作图能力，考查学生的计算能力，正确作出函数的图 象是关键． 【练 2.2】作出下列函数的图象并写出它们的值域． （1）y＝|x﹣1|+|x+1|； （2）y＝x，x∈z 且|x|≤2． 【思路分析】（1）运用分段函数化简函数 y，即可得到所求图象和值域； （2）求得整点坐标，即可得到所求图象和值域． 【答案】解：（1）y＝|x﹣1|+|x+1|
x
1
2
3
4
5
y
5
10
15
20
25
（2）图象法
（3）解析法：y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}． 【点睛】本题考查函数的三种表示方法，列表法，图象法以及解析法，比较基础． 【练 1.1】已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 123 f(x) 2 1 1
x 123 g(x) 3 2 1 则 f(g(1))的值为______；当 g(f(x))＝2 时，x＝______. 【思路分析】根据表格先求出 g（1）＝3，再求出 f（3）＝1，即 f[g（1）]的值；由 g（x）＝2 求出 x ＝2，即 f（x）＝2，再求出 x 的值． 【答案】解：由题意得，g（1）＝3，则 f[g（1）]＝f（3）＝1 ∵g[f（x）]＝2，即 f（x）＝2，∴x＝1． 故答案为：1，1． 【点睛】本题是根据表格求函数值或自变量的值，看清楚函数关系和自变量对照表格求出． 【练 1.2】在函数 y＝|x|(x∈[－1，1])的图象上有一点 P(t，|t|)，此函数与 x 轴、直线 x＝－1 及 x＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为 S，则 S 与 t 的函数关系图可表示为( )
（1）比较 f（0）、f（1）、f（3）的大小； （2）若 x1＜x2＜1，比较 f（x1）与 f（x2）的大小； （3）求函数 f（x）的值域． 【思路分析】先画出函数的图象，由图象即可得到相应的答案． 【答案】解：图象如图所示： （1）由图象可得 f（1）＞f（0）＞f（3）， （2）x1＜x2＜1，函数在（﹣∞，1）上为增函数， ∴f（x1）＜f（x2）， （3）由函数图象可得函数的值域为（﹣∞，4]．
【思路分析】分别把 g（x）和 f（x）整体代入到 f（x）和 g（x）的解析式化简可得． 【答案】解：∵f（x）＝3x2+1，g（x）＝2x﹣1， ∴f[g（x）]＝3（2x﹣1）2+1＝12x2﹣12x+4； ∴g[f（x）]＝2（3x2+1）﹣1＝6x2+1 【点睛】本题考查复合函数的解析式，属基础题． 【练 5.1】已知函数 f（x）＝2x+1，g（x）＝3x2﹣5 （1）求 f（1），g（2）的值 （2）求 g（a+1）的表达式 （3）求 f（g（x））的表达式． 【思路分析】（1）根据函数 f（x）、g（x）的对应法则，分别将 x＝1、x＝2 代入，即可求出 f（1）， g（2）的值； （2）根据 g（x）的对应法则，用 a+1 代替 x，化简即可得出 g（a+1）的表达式； （3）先在 f（x）表达式中用 g（x）代替 x，得 f（g（x））＝2g（x）+1，再将 g（x）表达式代入即可 得到所求． 【答案】解：根据题意，得 （1）f（1）＝2×1+1＝3，g（2）＝3×22﹣5＝7； （2）g（a+1）＝3（a+1）2﹣5＝3a2+6a﹣2； （3）f（g（x））＝2g（x）+1＝2[3x2﹣5]+1＝6x2﹣9． 【点睛】本题给出函数 f（x）、g（x）的表达式，求 f（g（x）的表达式．着重考查了函数的定义和解 析式的求法等知识，属于基础题．
u
f（1）＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 【考点 2 描点法作函数图象】 【练 2】作出下列函数的图象并写出定义域、值域．
（1）y＝2x； （2）y＝（x﹣2）2+1；
（3）y ；
（4）y＝2x+1，x∈Z 且|x|＜2． 【思路分析】分别根据函数的单调性进行求解即可． 【答案】解：（1）y＝2x 的定义域（﹣∞，+∞），值域（﹣∞，+∞）； （2）函数 y＝（x﹣2）2+1≥1；定义域为（﹣∞，+∞），值域[1，+∞）． （3）y 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）； （4）y＝2x+1，x∈Z 且|x|＜2．的定义域为{﹣1，0，1}，此时 y＝﹣1，1，3，即值域为{﹣1，1，3}， 对应的图象为：
【练 4】设函数 f (x) 满足 f (2x 3) x2 x 1 ，求 f (x) 的解析式；
【思路分析】可设 2x﹣3＝t，从而求得
，代入 f（2x﹣3）＝x2+x﹣1 并整理可】解：设 2x﹣3＝t，则 x ，带入 f（2x﹣3）＝x2+x﹣1 得：
；
∴
【点睛】本题主要考查函数定义域和值域的求解，比较基础． 【练 2.1】画下列函数图象并求值域．
（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）y＝|﹣x2+2x+3|； （3）y＝|x﹣2|﹣|x﹣1|； （4）y＝﹣x2+2|x|+3； （5）y＝|x﹣2|+|x﹣1|． 【思路分析】利用绝对值的几何意义，画出图象并求值域． 【答案】解：（1）y＝﹣x2+2x+3，如图所示，值域为（﹣∞，4]
1.2.2 函数的表示法重难点题型【举一反三系列】
知识链接
举一反三 【考点 1 函数的三种表示方法】
【练 1】某种笔记本的单价是 5 元，买 x(x 1,2,3,4,5) 本笔记本需要 y 元，试用三种方法表
示函数 y f (x) . 【思路分析】利用函数的三种表示方法，即可将 y 表示成 x 的函数． 【答案】解：（1）列表法：