第一章 行列式同步测试卷B卷解析

第一章 行列式同步测试B 卷解析

一、选择题

(1)A (2)D (3)D (4)D (5)A (6)B

(1)解:因为排列是9级排列，所以可供,,i j k 选择的元素只有4，5，8，不妨令4,5,8i j k ===，

则(214365897)5τ=（奇数）.由对换改变排列的奇偶性知，当5,4,8i j k ===；

8,5,4i j k ===；4,8,5i j k ===时该排列为偶排列，对比各选项，故应选（A ）.

（2）解：343423

23

1

11111442

2222211223

33333443

3

4

4

4

4

14142323000000000

000000

0000

()().

c c r r c c r r a b a b a b b a a b a b a b a b a b b a b a b a b a b a b a b a a a b b a a b b ↔↔↔↔=

=

=

⋅=--

故应选（D ）.

（3）解：根据行列式的定义，行列式的每一项是取自不同行和不同列的元素之积，所以四

次项只能是对角线上的四个元素乘积，符号为正，所以系数为6-，令0x =.此时行列式的值即为常数项的值为6-.

（4）解：对于本题宜用排除法，举反倒，选项A ，取行列式

31

323,131

2

,1

11111111

0,n n n n n n n nn

a a a a A a a a a --==

故A 不是充分条件. 对于选项B ，取行列式1111

11

0,11

1

n B =

= 故B 不是充分条件. 对于选项C ，取3阶行列式3123

=4

56=0579

C （第3行是前两行之各和），故C 不是充分条件.因此，A 、B 、C 均应排除，选D.事实上，设n

D 的第i 行是一个非零行，即至少有一

个0(1).ij a j n ≠≤≤n D 按照第i 行展开，有21

1

=

0.n n

n ij

ij

ij

j j D a A a

===>∑∑故应选D.

（5）解：21

1

23

12312311

22

331

2

31231

2

31

2

31

2

3

222=2222 6.r r a a a a a a a a a b a b a b a b b b b b b c c c c c c c c c +---== 所以，1

23

1

231

2

3

3.a a a b b b c c c =故应选A. （6）解：由行列式的性质，对行列式()f x 第一行分别乘以-2，-3，-4加到第二、三、四行

上去，得21232123

21232123

()==

31+1431+1481+195005

x x x x x x x x f x x x x --------，根据行列式定义，()f x 为一元二次多项式，所以，()=0f x 的根的个数为2.故应选B.

二、填空题（7-12小题，每题3分，共18分）

(7)(1)

2

n n k --(8)0 (9)0 (10)2或3或6(11)-28 (12)6x

（7）解：在n 个元素12,,,n i i i 中，任选两个元素,,s t i i 那么s i 与t i 必然在排列12n i i i 和排

列121n n i i i i - 中的一个排列中构成一个逆序数，于是12121()()n n n i i i i i i i ττ-+

2(1)

.2

n n n C -==

因为12(),n i i i k τ= 所以121(1)().2n n n n i i i i k τ--=- （8）解：300

=0

(1)0.00

T

a b

a

b

D a

c a c D b

c

b c --=---=---又由T D D =，所以0.D =故应填0.

（9）解：由根与系数的关系知0.a b c ++=则

12

13

111

=

=()0.r r r r a b c

a b c a b c a b c c a b c a b a b c c a b b c a

b

c

a

b c a

++++++++++=

（10）解：

13

31

(1)3

112

022

0015

1=15

115

21

1

3

1

13

1

1

4

r r c c λλλ

λλλλλλλ+-+-------=------- 5

2

(2)

(2)(3)(6)14

λλλλλλ-=-=---- 所以=2λ或=3λ或=6λ.

（11）解：利用余子式定义直接计算过于烦琐，注意到行列式

4142434441414242434344444141424243434444(1)(1)(1)(1)()().

D a M a M a M a M a M a M a M a M ++++=-+-+-+-=-++-+

若令414243441,1,1,1a a a a =-==-=，则第四行各元素的余子式之和就等于行列

式之值，即414243443040222

2

+++=

28,07001111

M M M M =----故应填-28. （12）解：由行列式定义可知()f x 为x 的三次多项式，()f x 可表示为

()=(1)(1)(f x x x x x ϕ+-+其中

()x ϕ为一个一次多项式. 则3

()().f x x x x ϕ=-+于是

2

()31(),df x x x dx ϕ'=-+其中()x ϕ'为常数.所以22()6.d f x x dx

=故填6x . 三、解答题

（13）解：依次将第n 行减去第1n -行，第1n -行减去第2n -行，…，第二行减去第一行，

再将各列加到第一列，有

(1)123232111

+1

011+1

1

1

+1101+111+1

1

1

+1

1

1n n n n

n n n n n n +--=

----

1

111

111

(1)(1)==11111122

111111

c n n n n n n n n n -+--+++-+--+-+-

按各列加到展开第一列