(新课改省份专用版)高考数学一轮复习2.4指数与指数函数学案

( ) 1．函数
y＝
1 2
1－x
的单调递增区间为________．
答案：(－∞，＋∞)
2．若－1<x<0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则 a，b，c 的大小关系是________．
解析：因为－1<x<0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x<1,2－x>1,0.2x>1，又因为 0.5x<0.2x，所
考法一 与指数函数有关的图象辨析
[全析考法]
[例 1] (2019·河北武邑中学调研)函数 y＝e－|x－1|的大致图象是( )
[解析] 因为－|x－1|≤0，所以 0<e－|x－1|≤e0，即 0<y＝e－|x－1|≤1，故选 B. [答案] B 考法二 指数函数图象的应用 一些指数方程、不等式问题，往往利用相应指数型函数的图象数形结合求解． [例 2] (2019·西安八校联考)设函数 f(x)＝Error!则满足 f(x)＋f(x－1)>1 的 x 的取值范围是________． [解析] 画出函数 f(x)的大致图象如图所示，易知函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 又 x>x－1，且 x－(x－1)＝1，f(0)＝1， 所以要使 f(x)＋f(x－1)>1 成立， 结合函数 f(x)的图象知只需 x－1>－1， 解得 x>0.故所求 x 的取值范围是(0，＋∞)． [答案] (0，＋∞)
以 b<a<c.
答案：b<a<c
3．函数 y＝3x2－2x 的值域为________．
解析：设 u＝x2－2x，则 y＝3u，u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以 y＝3u≥3－1＝1，所以函数 y＝3x2 3
[ ) －2x 的值域是 13，＋∞ .
[ ) 答案： 13，＋∞
考法一 比较指数式大小或解不等式
故选 C.
3.[考法二]若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是________． 解析：曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共
点，则 b 应满足的条件是 b∈[－1,1]．
答案：[－1,1]
突破点三 指数函数的性质及应用
1．化简∓a·b－1∓·a·b(a>0，b>0)的结果是( ) 6 a·b5
A．a
B．ab
C．a2b
D.1a
解析：选
D 原式＝abaabb＝a
-1 -1 -1 326
·b
1 2
+
1 -5 36
＝1a.
2．(2019·江西百校联盟联考)已知 14a＝7b＝4c＝2，则1a－1b＋1c＝________.
解析：
a2 ＝ a·3 a2
aa2·a＝
a2a＝aa2＝a2·a
-5 6
＝a
2- 5 6
＝a
7 6
.
7
答案：a 6
3．若 ∓2a－1∓2＝3 ∓1－2a∓3，则实数 a 的取值范围为________．
解析： ∓2a－1∓2＝|2a－1|，3 ∓1－2a∓3＝1－2a. 因为|2a－1|＝1－2a.
故 2a－1≤0，所以 a≤12.
[全析考法]
( ) ( ) [例 1] (1)已知 f(x)＝2x－2－x，a＝ 7 9
-1 4
，b＝
9
7
1 5
，c＝log279，则
f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )
A．f(b)<f(a)<f(c)
B．f(c)<f(b)<f(a)
C．f(c)<f(a)<f(b)
D．f(b)<f(c)<f(a)
[集训冲关] 1.[考法一]函数 f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
解析：选 A 由 f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于 y 轴对称，排除 B、D.又 e|x|≥1，所以 f(x)的值域为
(－∞，0]，排除 C.
2.[考法二]函数 y＝ax－b(a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则 ab 的取值范围为( )
解析：由 y＝2x 的图象向左平移 1 个单位可得 y＝2x＋1 的图象．答案：①
( ) 3．已知函数
y＝
1 2a－4
x
的图象与指数函数
y＝ax
的图象关于
y
轴对称，则实数
a
的值是________．
解析：由两函数的图象关于 y 轴对称，可知2a1－4与 a 互为倒数，即2aa－4＝1，解得 a＝4.
答案：4
(1)4 ∓－a∓4＝－a.( )
2
1
(2)(－a) 4 ＝(－a) 2 ＝ －a.( )
(3)(n a)n＝a.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
二、填空题
[基本能力]
( ) 1．计算：π0＋2－2× 214
1
2 ＝________.
答案：181
2．设 a>0，将 a2 表示成分数指数幂的形式，其结果是________． a·3 a2
( ] 答案： －∞，12
指数幂的运算规律
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
[基本能力]
(1)y＝2x－1 是指数函数．( )
(2)y＝ax＋1 的图象恒过定点(－1,1)．( )
(3)要得到 y＝3x＋2 的图象只需将 y＝3x 的图象向左平移 2 个单位即可．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题 1．函数 y＝ax－3＋3(a>0，且 a≠1)的图象过定点________． 解析：因为指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数 y＝ax－3＋3 中，令 x－3＝ 0，得 x＝3，此时 y＝1＋3＝4，即函数 y＝ax－3＋3 的图象过定点(3,4)． 答案：(3,4) 2．函数 y＝2x＋1 的图象是________(填序号)．
(3)1
的代换，如
1＝a－1a,1＝a
-1 2
a
1 2
等；
1
11
1
11
11
1
1
2
(4) 乘法公式的常见变形，如(a 2 ＋b 2 )(a 2 －b 2 )＝a－b，(a 2 ±b 2 )2＝a±2a 2 b 2 ＋b，(a 3 ±b 3 )(a 3 ∓a
11
2
3 b 3 ＋b 3 )＝a±b.
[针对训练]
负分数指数幂：a－
m n
＝1a＝n
1am(a＞0，m，n∈N*，且
n＞1)
0 的正分数指数幂等于_0_，0 的负分数指数幂无意义
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
有理数指数幂的性质
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
x>0，所以原式＝(2x
1 4
)2－(3
3 2
)2－4x
-1 2
·x＋4x
-
1 2
·x
1 2
＝4x
1´2 4
－3
3×2 2
－4x
-
1+1 2
＋4x
-1+ 2
1 2
＝4x
1
1
2 －33－4x 2 ＋4x0＝－27＋4＝－23.
答案：－23
突破点二 指数函数的图象及应用
1．指数函数的图象 函数
[基本知识]
A．(1，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(0,1)
D．无法确定
解析：选 C 因为函数 y＝ax－b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数 y＝ax－b 单调递减且其图象
与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上．令 x＝0，则 y＝a0－b＝1－b，由题意得Error!解得Error!故 ab∈(0,1)，
所以 0≤a<1.
故 a 的取值范围是(－3,1)．
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
有关指数不等关系的常见题型及求解思路
(1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或 1,0 等中间量进行比较．
[方法技巧] 有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称 变换而得到．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
1
1
1
解析：由题设可得 2 a ＝14,2 b ＝7,2 c ＝4，
则
2
1 a
-
1 b
＝174＝2，
∴2
1 a
-
1 b
+
1 c
＝2×4＝23，
∴1a－1b＋1c＝3. 答案：3
3．若
x>0，则(2x
1 4
＋3
3 2
)(2x
1 4
－3
3 2
)－4x
-1 2
1
(x－x 2 )＝________.
解析：因为
指数函数的性质
函数
性质
定义域 值域
[基本知识]
y＝ax(a>0，且 a≠1)
0<a<1
a>1
R
(0，＋∞)
单调性
在 R 上是减函数
在 R 上是增函数
当 x＝0 时，y＝1
函数值变化规律
当 x<0 时，y>1；
当 x<0 时，0<y<1；
当 x>0 时，0<y<1
当 x>0 时，y>1
[提醒] 应用指数函数性质时应ຫໍສະໝຸດ Baidu意的两点
[典例] (1) a3 (a>0)的值是( ) a·5 a4
A．1
B．a
1
C．a 5
17
D．a 10
( ) ( ) (2)
2
3 5
0＋2－2·
2
1 4
-
1 2
－(0.01)0.5＝________.
[解析] (1)
a3 a·5
a4＝aa·3a＝a
3-1 -4 25
＝a
17 10
.故选
(1)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意分 a>1 与 0<a<1 两种情况来
研究．
(2)对可化为 a2x＋b·ax＋c＝0 或 a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注
意换元后“新元”的取值范围．
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
3．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系 为 c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
1 5
＝
b>0，
c＝
log279<0，
则
a>b>c，所以 f(c)<f(b)<f(a)．
( ) ( ) ( ) ( ) (2)当 a<0 时，不等式 f(a)<1 可化为 1 a－7<1，即 1 a<8，即 1 a< 1 －3，
2
2
22
因为 0<12<1，所以 a>－3，此时－3<a<0；
当 a≥0 时，不等式 f(a)<1 可化为 a<1，
第四节 指数与指数函数
突破点一 指数幂的运算
1．根式
[基本知识]
(1)根式的概念
若 xn＝a，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n＞1 且 n∈N*.式子n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做
被开方数．
(2)a 的 n 次方根的表示
xn＝a⇒Error!
2．有理数指数幂
幂的有关概念
m
正分数指数幂：a n ＝n am(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)
[基本能力]
(1)指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)，当 x>0 时，y>1.( )
(2)若指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)在[1,2]上的最大值为 2，则 a 为 2.( ) (3)若 am>an(a>0，且 a≠1)，则 m>n.( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
二、填空题
D.
( ) ( ) (2)原式＝1＋1× 4
1
2－
1
1 2
＝1＋1×2－
1
＝1＋1－
1
＝16.
49
100
4 3 10
6 10 15
[答案] (1)D (2)1165 [方法技巧]
化简指数幂常用的技巧
( ) ( ) (1)
b a
－p＝
a b
p(ab≠0)；
n
1
(2)a＝(a)m，a m ＝(a m )n(式子有意义)；
(2)设函数 f(x)＝Error!若 f(a)<1，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B．(1，＋∞)
C．(－3,1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
( ) ( ) ( ) [解析] (1)易知 f(x)＝2x－2－x 在 R 上为增函数，又 a＝
7 9
-1 4
＝
9 7
1 4
>
9
7
0<a<1
y＝ax(a>0，且 a≠1) a>1
图象
图象特征
在 x 轴上方，过定点(0,1) 当 x 逐渐增大时，图象逐渐下降 当 x 逐渐增大时，图象逐渐上升
2.画指数函数图象的三个关键点
( ) 画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)， －1，1a .