河北南宫一中2015届高三数学二轮复习 7-6 空间向量及运算学案

第6讲 空间向量及运算

1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．

3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

1种必会方法——利用向量法求解立体几何问题

用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：①适当的选取基底{a ，b ，c }；②用a ，b ，c 表示相关向量；③通过运算完成证明或计算问题． 2个问题——点共线和点共面问题

(1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A 、 B 、C 三个点共线，即证明AB →

与AC →

共线．

(2)点共面问题：点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明P 、A 、B 、C 四点共面，只要能证明PA →

＝xPB →

＋yPC →

，或对空间任一点O ，有OA →

＝OP →

＋xPB →

＋yPC →

或OP →

＝xOA →

＋yOB →

＋zOC →

(x ＋y ＋z ＝1)即可．

3个注意——空间向量应用中的注意事项

(1)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．

(2)进行向量的加法运算时，若用三角形法则，必须使两向量首尾相接；若用平行四边形法则，必须使两向量共起点．进行向量减法时，必须使两向量共起点．

(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算相似，只是多出一个坐标，与平面向量的坐标运算作一些对比，可以比较容易地掌握空间向量的坐标运算问题.

考点1 空间向量的有关定理 1.共线向量定理

对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使 . 2．共面向量定理

如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，

y )，使 .

3．空间向量基本定理

如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得 .其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个

推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ，使OP →

＝

[判一判] 判断下列说法是否正确(请在括号内填“√”或“× ”)．

(1)已知A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则AB →＋BC →

＋CD →＋DA →

＝0.( ) (2)若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行．( )

(3)若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面．( ) (4)若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面．( )

(5)已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋

y b ＋z c .( )

[填一填] 如图所示，已知空间四边形ABCD ，F 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若EF →

＝λ(AB →＋DC →

)，

则λ＝____.

考点2 数量积及坐标运算 1.两个向量的数量积 ①a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．

②a ⊥b ⇔ (a ，b 为非零向量)． ③|a |2

＝ ，|a |＝x 2

＋y 2

＋z 2

. 2．空间向量的坐标运算

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)．则 ①|a |＝a 2

1＋a 2

2＋a 2

3.

②a ＋b ＝ ③a －b ＝ ④λa ＝ ⑤a ·b ＝ ⑥设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则

AB →＝OB →－OA →

＝

⑦cos 〈a ，b 〉＝ .

[填一填] (1)已知向量a ＝(8，1

2x ，x )，b ＝(x,1,2)，其中x >0.若a ∥b ，则x 的值为 .

(2)已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是 . (3)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的锐角二面角为 . 考向一 空间向量的线性运算 例1 [2013·长春月考]

如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→

＝a ，AB →＝b ，AD →

＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1

的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：

(1)AP →； (2)A 1N →； (3)MP →＋NC 1→

.

[奇思妙想] 本例中，若O 为底面ABCD 对角线AC 与BD 的交点，试用a ，b ，c 表示向量C 1O →

. 用已知向量表示某一向量的方法

用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来．

[学以致用]

1. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，G 为△A 1BD 的重心，设AB →

＝a ，AD →

＝b ，AA 1→

＝c ，试用a ，b, c 表示AC 1→

，AG →

.

考向二 共线、共面向量定理的应用

例2 [2014·抚州月考]如图在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，E 、F 、G 分别是

A 1D 1、D 1D 、D 1C 1的中点．

(1)试用向量AB →，AD →

，AA 1→

表示AG →

； (2)用向量方法证明平面EFG ∥平面AB 1C . 证明三点共线和空间四点共面的方法比较

2. 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为BC 边上的中点，求证：A 1B ∥平面AC 1D .