随机抽样与抽样分布
抽样与抽样分布
抽样与抽样分布在统计学中，抽样是一种常用的数据收集方法，通过从总体中选择一部分样本来进行研究和分析。
抽样的目的是通过样本来推断总体的特征和性质。
在进行抽样时，我们需要了解抽样的方法和抽样分布的概念。
一、抽样方法1. 无偏抽样无偏抽样是指所有样本有相同被选中的机会。
这样可以确保样本的代表性，从而减小样本估计值和总体真值之间的误差。
常见的无偏抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。
2. 有偏抽样有偏抽样是指样本的选择并不具有相等的机会。
这样可能导致样本的代表性不足，从而产生较大的估计误差。
有时，有偏抽样也可以用于特定的研究目的，但需要明确地说明和分析偏差带来的影响。
二、抽样分布1. 抽样分布的概念抽样分布是指统计量在各个可能样本上的取值分布。
统计量可以是样本均值、样本方差等。
抽样分布的性质对于进行统计推断和假设检验非常重要。
2. 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布在中心极限定理的条件下近似服从正态分布。
中心极限定理指出，当样本容量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的抽样分布都会接近正态分布。
3. 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布在满足一些条件的情况下也近似服从正态分布。
这些条件包括样本容量足够大、总体比例接近0.5以及样本与总体之间的独立性等。
4. 样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布不服从正态分布。
通常情况下，样本方差的抽样分布呈右偏态，即偏度大于0。
为了得到样本方差的抽样分布，可以使用抽样分布的近似分布，如卡方分布。
三、应用案例抽样与抽样分布的方法和理论在实际统计学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用案例：1. 调查研究在进行调查研究时，我们经常需要从总体中选择一部分样本进行问卷调查或面访。
通过利用抽样与抽样分布的方法，我们可以将样本的调查结果推广到总体中，从而得到总体的特征和性质。
2. 假设检验假设检验是统计学中常用的推断方法之一。
通过比较样本统计量与假设的总体参数值，我们可以判断假设的合理性。
统计学之抽样与抽样分布
的抽样分布
统计推断的过程
• 总体均值
m=?
• 从总体中抽取 • 样本容量为 n 的样本
• 用 作为m 的点估计
• 计算样本平均值
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本平均值 的概率分 布
的期望值
E( ) = = 总体平均值
的抽样分布
的标准差
•
有限总体
无限总体
• 当 n/N < .05时，可以将一个有限总体看作是无限
统计学之抽样与抽样分 布
2020年4月29日星期三
Chapter 7
抽样和抽样分布
本章主要内容
简单随机抽样 点估计 抽样分布 样本平均值 的抽样分布 样本比例 的抽样分布 抽样方法
•n = 100
•n = 30
统计推断
统计推断的目的是利用样本的信息推断总体的信息 总体是指感兴趣的所有元素的集合 样本是总体的一个子集 通过样本统计量对总体参数进行估计 只要抽样方法恰当，通过样本统计量可以对总体参数 进行很好的估计
也就是说，样本平均值在总体平均值+/-10分范围内的 概率为0.5036
•面积 = 2(.2518) = .5036
• 的抽样分布
•980 •990•1000
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本比例 的概率分布 的期望值
p = 总体比例
的抽样分布
的标准差 有限总体
无限总体
• 也称为样本比例的标准误
总体
•
称为有限总体校正因子.
• 也称为样本均值的标准误
的抽样分布
中心极限定理：只要样本容量足够大 (n > 30)，不管总 体服从什么分布，样本平均值 都可以认为近似服从 正态分布。
统计学 第三章抽样与抽样分布
=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
从非正态总体中抽样
结论：
从非正态中体中抽样，所形成 的抽样分布最终也是趋近于正态分 布的。只是样本容量需要更大些。
总结：中心极限定理
设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽 取容量为n的样本，当n充分大时（超过30），样本 均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的
总体
样本
参数
统计量
总体与样本的指标表示法
总体参数
样本统计量
(Parameter) (Sample Statistic)
容量 平均数 比例 方差 标准差
N
n
X
x
p
2
s2
s
小练习
某药品制造商感兴趣的是用该公司开发的某 种新药能控制高血压人群血压的比例。进行了一 项包含5000个高血压病人个体的研究。他发现用 这种药后80%的个体，他们的高血压能够被控制。 假定这5000个个体在高血压人群中具有代表性的 话，回答下列问题： 1、总体是什么？ 2、样本是什么？ 3、识别所关心的参数 4、识别此统计量并给出它的值 5、我们知道这个参数的值么？
正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本 小样本 大样本 小样本
正态分布
正态分布
非正态分布
三 中心极限定理的应用
中心极限定理(Central Limit theorem) 不论总体服从何种分布，从中抽取
数理统计中的随机抽样和抽样分布——概率论知识要点
数理统计中的随机抽样和抽样分布——概率论知识要点概率论作为数理统计的基础，是研究随机现象及其规律的数学分支。
在数理统计中，随机抽样和抽样分布是非常重要的概念，本文将对这两个概念进行详细介绍和解释。
一、随机抽样随机抽样是指从总体中以随机的方式选择样本的过程。
在进行随机抽样时，每个个体被选中的概率应该是相等的，这样才能保证样本的代表性和可靠性。
随机抽样的方法有很多种，常用的包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样等。
1. 简单随机抽样简单随机抽样是最基本的抽样方法，它的特点是每个个体被选中的概率相等且相互独立。
简单随机抽样可以通过随机数表、随机数发生器等工具来实现。
在实际应用中，简单随机抽样常用于总体规模较小的情况。
2. 分层抽样分层抽样是将总体划分为若干个层次，然后从每个层次中随机选择样本。
这种抽样方法可以保证不同层次的个体在样本中的比例与总体中的比例相同，从而提高样本的代表性。
3. 系统抽样系统抽样是按照一定的规则从总体中选取样本的方法。
例如，可以按照一定的间隔从总体中选择样本，这个间隔称为抽样间隔。
系统抽样的优点是操作简便，但也存在可能引入系统误差的风险。
二、抽样分布抽样分布是指在随机抽样的基础上，通过大量重复抽样得到的统计量的分布情况。
在数理统计中，常用的抽样分布包括正态分布、t分布和F分布等。
1. 正态分布正态分布是一种重要的抽样分布，它具有对称、单峰和钟形曲线的特点。
在大样本情况下，根据中心极限定理，样本均值的分布接近于正态分布。
正态分布在数理统计中的应用非常广泛，例如用于估计总体均值和总体方差等。
2. t分布t分布是用于小样本情况下的抽样分布。
它相比于正态分布来说，具有更宽的尾部和更矮的峰值。
t分布的形状取决于自由度，自由度越大，t分布越接近于正态分布。
t分布在小样本情况下的参数估计和假设检验中经常被使用。
3. F分布F分布是用于比较两个样本方差是否显著不同的抽样分布。
F分布的形状取决于两个样本的自由度，它具有右偏和非对称的特点。
概率与统计中的随机抽样与抽样分布
概率与统计中的随机抽样与抽样分布概率与统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而随机抽样与抽样分布是其中关键的概念。
本文旨在探讨随机抽样和抽样分布在概率与统计中的作用和应用。
1. 随机抽样在概率与统计学中，随机抽样是一种方法，通过从总体中随机选择样本来推断总体的特征。
随机抽样的目的是保证样本具有代表性，从而使得样本能够准确地反映总体的特征。
在实践中，随机抽样通常通过随机数生成器来实现，确保每个个体都有相同的机会被选入样本。
2. 简单随机抽样简单随机抽样是随机抽样的一种基本方法。
在简单随机抽样中，每个个体被选入样本的概率是相等的，且个体的选择是相互独立的。
简单随机抽样可以有效减少个体的偏倚，使样本更具代表性。
3. 抽样分布抽样分布是指在随机抽样过程中，某一统计量的分布情况。
在概率与统计中，我们常常关注样本均值、样本方差等统计量的分布情况，从而推断总体的特征。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，抽样分布可以近似服从正态分布。
这一性质使得我们能够应用正态分布的性质进行统计推断。
4. 抽样分布的应用抽样分布在概率与统计中有广泛的应用。
通过对随机抽样得到的样本统计量进行分析，我们可以进行总体均值的估计、比较不同样本的差异、构建置信区间、进行假设检验等。
这些应用使得我们能够通过分析样本数据，推断总体的特征，做出科学决策。
总结：概率与统计中的随机抽样与抽样分布是统计学中的重要概念。
随机抽样保证样本具有代表性，而抽样分布则帮助我们推断总体的特征。
掌握随机抽样与抽样分布的原理和应用，对于数据分析和统计推断具有重要意义。
在实践中，我们需要注意样本的随机性和样本容量的大小，以保证抽样的准确性和结果的可靠性。
通过深入研究和应用随机抽样和抽样分布的理论，我们能够更好地理解和分析数据，为决策提供科学的依据。
统计学中抽样和抽样分布基础知识
样本均值的抽样分布
定义：样本均值的所有可能值的概率分布 样本均值的数学期望：对于简单随机样本时，样本均值的数学期望与总体均值相等 样本均值样本中具有感兴趣特征的个体个数/样本容量 样本比率的抽样分布：是样本比率的所有可能值的概率分布
样本比率的数学期望：样本比率的数学期望与总体比率相等 样本比率的标准差
有限总体：有限总体修正系数*无限总体样本比率的标准差 无限总体：根号下p(1-p)/n 样本比率的抽样分布的形态 当样本容量足够大，同时np≥5和n(1-p)大于等于5时，样本比率的抽样分布可以 用正态分布近似
统计学中抽样和抽样分布基础知识
抽样基本属于
抽样总体：抽取样本的总体 抽样框：用于抽选样本的个体清单 参数：总体的数字特征
抽样
从有限总体的抽样 建议采用概率抽样 简单随机样本：从容量为N的有限总体中抽取一个容量为n的样本，如果容量为n 的每一个可能的样本都以相等的概率被抽出，则称该样本为简单随机样本 无放回抽样和有放回抽样 无放回抽样：被抽取对象已经选入样本，不希望该对象被多次选入 有放回抽样：对已经出现过的随机数仍选入样本
点估计
样本统计量：为了估计总体参数，计算样本的特征 抽样总体和目标总体
目标总体是我们想要推断的总体 抽样总体是指实际抽取样本的总体 点估计的性质 无偏性：样本统计量是相应总体参数的无偏估计量 有效性：采用标准误差较小的点估计量，给出的估计值与总体参数更接近 一致性：大样本容量给出的点估计与总体均值更接近
其他抽样方法
分层随机抽样：总体中的个体首先被分成层，总体中的每一个体属于且仅属于某一 层，从每一层抽一个简单随机样本 整群抽样：总体中的个体首先被分成单个组，总体中的每一个个体属于且仅属于某 一群，有群为单位抽取一个简单随机样本 系统抽样：对容量很大的总体，第一个个体为随机抽样，总体个体排列时个体的随 机顺序 方便抽样：非概率抽样 判断抽样：对总体非常了解主观确定总体中认为最具代表性的个体组成样本
统计学第六章抽样和抽样分布
2021/3/4
统计学第六章抽样和抽样分布
4
一、总体与样本
▪ 把握两个问题： ▪ 1、总体和总体参数； ▪ 2、样本和样本统计量。
2021/3/4
统计学第六章抽样和抽样分布
5
1、总体与总体参数
（1）总体：指根据研究目的确定的所 要研究的同类事物的全体，是所要说 明其数量特征的研究对象。按所研究 标志性质不同，分为变量总体和属性 总体，分别研究总体的数量特征和品 质特征。 构成总体的个别事物（基本单元 ）就是总体单位，也称个体。总体单 位的总数称为总体容量，记作N。
缺点：受主观影响易产生倾向性误差； 不能计算、控制误差，无法说明调查结果 的可靠程度。
抽样一般都是指概率抽样。
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统计学第六章抽样和抽样分布
15
2、重复抽样和非重复抽样
（1）重复抽样：又称重置抽样，是指从总体 中抽出一个样本单位，记录其标志值后，又将 其放回总体中继续参加下一轮单位的抽取。特 点是：第一，n个单位的样本是由n次试验的结 果构成的。第二，每次试验是独立的，即其试 验的结果与前次、后次的结果无关。第三，每 次试验是在相同条件下进行的，每个单位在多 次试验中选中的机会(概率)是相同的。在重复 试验中，样本可能的个数是 N n ，N为总体单位 数，n为样本容量。
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统计学第六章抽样和抽样分布
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2、重复抽样和非重复抽样
（2）非重复抽样：又称为不重置抽样，即每次从
总体抽取一个单位，登记后不放回原总体，不参加下
一轮抽样。下一次继续从总体中余下的单位抽取样本
。特点是：第一，n个单位的样本由 n 次试验结果构成
统计学第六章抽样和抽样分 布
第六章 抽样与抽样分布
随机样本与抽样分布
随机样本与抽样分布一、引言随机样本和抽样分布是统计学中非常重要的概念，它们在统计推断和假设检验中起着核心作用。
本文将从理论和实践两个方面来探讨随机样本和抽样分布的相关知识，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
二、随机样本1. 随机样本的定义随机样本是指从总体中以随机的方式抽取出来的样本。
在实际调查和研究中，通常需要根据一定的规则和方法来获取样本，而随机样本则是保证了每个总体单位有相同被选入样本的机会，从而能够更好地代表总体特征。
2. 随机样本的特点随机样本具有以下特点： - 代表性：通过随机抽样得到的样本能够较好地代表总体特征。
- 可比性：不同的随机样本之间可以进行比较分析，结果具有一定的可靠性。
- 独立性：各个个体之间的选取是相互独立的，不会受到其他因素的影响。
三、抽样分布1. 抽样分布的概念抽样分布是指统计量由一个个样本算出来时所得到的概率分布。
在统计推断中，我们通常需要根据样本来对总体参数进行估计或进行假设检验，而抽样分布则是帮助我们推断出总体参数的分布情况。
2. 常见的抽样分布(1) 正态分布当总体服从正态分布时，根据中心极限定理可知，样本均值的抽样分布也会趋近于正态分布，而且当样本量大于30时，可以认为近似服从正态分布。
(2) t 分布在总体标准差未知且根据小样本得到的数据时，往往使用t分布来进行统计推断。
t分布相较于正态分布，在小样本情况下具有更大的尾部面积，更符合对总体参数进行估计时对抽样误差可能带来的影响。
(3) 卡方分布卡方分布是一种重要的统计分布，在统计学中有着广泛的应用。
在假设检验、方差分析等领域都有着重要作用。
四、随机样本与抽样分布在实际中的应用随机样本和抽样分布在现实生活和科学研究中都有着重要应用。
例如，在医学研究中，需要通过对患者进行随机抽样来获取数据，然后利用抽样分布的知识对药物疗效等进行评估；在市场调查中，通过对消费者群体进行随机抽样，并利用抽样分布进行数据处理和结果推断。
第三章抽样与抽样分布
1、抽样分布：
全部可能样本统计量的频率分布叫
做抽样分布。
2、样本均值的抽样分布：
全部可能样本的平均数的概率分
布。
3、样本成数（比例）的抽样分布：
全部可能样本的成数的概率分布。
抽样分布
(sampling distribution)
4、抽样分布的特征值
•统计量：即样本指标
x
xi
每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计 算出来的
当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到 每个样本单位被抽中的概率
3-9
抽样框与抽样单位
抽样框：为便于抽样工作的组织，在抽样前在可 能条件下编制的用来进行抽样的记录或表明总体所有 抽样单元的框架。抽样框可以是一份清单（名单抽样 框）、一张地图（区域抽样框），它是设计和实施随 即抽样所必备的基础条件。
合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比
2. 总体比率可表示为
N1 或
N
3. 样本比率可表示为
4. p n1 或 n
3-35
1 N0
N
1 p n0 n
样本比率(成数)的抽样分布的形成 抽样
比率 N1 / N
比率 p n1 / n
所有可能的样本的比率（ p1, p2 , pn ）所形成 的分布，称为样本比率（成数）的抽样分布。
n
ˆ P
ni
n
S
2
n
1 1
(
xi
x)2
3-21
样本均值的抽样分布
全部可能样本的平均数的概率分布
注意： • 1）在重复选取容量为n的样本时，由样
数理统计第3章 随机抽样与抽样分布
E ( X i ) = E ( X ) = µ , D( X i ) = D( X ) = σ 2 , i = 1,2,L , n
1 n 1 n 所以 E ( X ) = E ( ∑ X i ) = ∑ E ( X i ) = µ , n i =1 n i =1
1 1 . D ( X ) = D( ∑ X i ) = 2 ∑ D( X i ) = n n i =1 n i =1
11
它反映了总体 二、样本数字特征 均值的信息 它反映了总体 1 n 样本均值 X = ∑Xi 方差的信息 n i=1 1 n 1 n 2 2 2 2 样本方差 S = ∑( Xi − X) = n −1 ∑Xi − nX n −1 i=1 i =1
推导： 推导：
( Xi − X)2 = ∑( Xi2 − 2Xi X + X 2 ) ∑
因此, 应视为一组随机变量, 因此,抽样值 ( x1 , x2 ,L, xn ) 应视为一组随机变量,我们把 的一个样本 子样), 样本( ),其中 称为该样本的容量 容量。 它称为总体 X 的一个样本(或子样),其中 n 称为该样本的容量。
7
二、简单随机抽样
由于抽样的目的是为了对总体的分布进行统 计推断， 计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的 信息，必须考虑抽样方法 信息，必须考虑抽样方法. 最常用的一种抽样方法叫作“ 最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽 它要求抽取的样本满足下面两点: 样”，它要求抽取的样本满足下面两点: 1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体 代表性： 有相同的分布. 有相同的分布 2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量 独立性： 是相互独立的随机变量. 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本 简单随机样本， 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本， 今后如不加声明，均指简单随机样本。 今后如不加声明，均指简单随机样本。
概率与统计中的随机抽样与抽样分布知识点
概率与统计中的随机抽样与抽样分布知识点概率与统计是数学中重要的分支之一，它研究了随机事件和随机现象的规律。
在概率与统计的领域中，随机抽样与抽样分布是基础而重要的概念。
在本文中，我们将深入探讨随机抽样与抽样分布的相关知识点，包括其定义、性质以及在实际应用中的重要性。
1. 随机抽样的定义与性质随机抽样是指从整体中以一定的概率选择出一部分样本的过程，以便对整体的某些特征进行推断。
随机抽样应具备以下几个基本性质：a. 独立性：每个样本在抽取过程中的选中与否应该是彼此独立的，不受前一个样本的影响。
b. 随机性：每个样本在被选中的概率应该是相等且随机的，确保对整体进行推断时具有普遍性。
c. 大样本量：所抽取的样本数量足够大，可以保证对整体的推断具有较高的精确度。
2. 抽样分布的定义与性质抽样分布是指针对不同样本规模的抽样所得到的某个统计量的分布。
常见的抽样分布包括正态分布、t分布和F分布等。
a. 正态分布：当样本量趋于无穷大时，根据中心极限定理，样本均值的分布逼近于正态分布。
正态分布在统计分析中经常应用，具备对称性和稳定性等特点，受到广泛的关注和应用。
b. t分布：在样本量较小的情况下，当总体近似于正态分布时，使用t分布来进行推断更加准确。
t分布相较于正态分布而言，具有更宽的尾部，样本量较小时可提供更精确的结果。
c. F分布：F分布是一种比值分布，常用于方差分析以及回归分析等。
它是基于正态分布的样本方差比值构成的。
3. 随机抽样与抽样分布在实际应用中的重要性随机抽样与抽样分布在各个领域的实际应用中具有重要意义，例如：a. 市场调研：通过随机抽样方式，可以从总体中选取一部分样本进行调查和数据收集。
然后通过对样本数据的分析，可以推断总体市场的特征、趋势以及用户行为等。
b. 医学研究：在进行药物疗效试验时，需要通过随机抽样的方式从患者中选取一部分进行试验。
通过对试验结果的分析，可以推断药物的疗效以及副作用等情况。
抽样及抽样分布
抽样及抽样分布引言在统计学中，抽样是从总体中选择一局部个体进行研究的过程。
通过抽样可以获得总体的估计值，从而对总体进行推断。
抽样是统计学的根底，也是进行统计推断的前提。
本文将介绍抽样的根本概念和方法，以及抽样分布的概念和特性。
抽样方法进行抽样时，需要选择适宜的抽样方法。
常见的抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样和群组抽样等。
简单随机抽样简单随机抽样是最根本的抽样方法，每个个体被随机地选入样本，且每个个体被选入样本的概率相等。
这种方法可以确保样本具有代表性。
系统抽样系统抽样是按照一定的规那么从总体中选取样本，例如每隔一定间隔选取一个个体。
这种方法简单实用，但需要注意规那么的选择是否会引入偏差。
分层抽样分层抽样是将总体分成假设干层，然后从每层中随机选取个体组成样本。
这种方法可以保证每个层次都有足够的代表性。
群组抽样群组抽样是将总体划分为假设干群组，然后随机选取假设干群组作为样本。
这种方法适用于总体中包含多个群组，但群组内个体相似的情况。
抽样分布抽样分布是指抽样统计量的分布。
统计量可以是样本均值、样本方差、样本相关系数等。
样本均值的抽样分布假设总体服从正态分布，样本均值的抽样分布也会服从正态分布。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将变得更加接近正态分布。
样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布是以总体方差为参数的分布，通常服从卡方分布。
样本容量的大小将影响样本方差的抽样分布形状。
样本相关系数的抽样分布样本相关系数的抽样分布通常是以总体相关系数为参数的分布。
样本容量的增加会使样本相关系数的抽样分布趋向于正态分布。
抽样误差与置信区间抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
抽样误差的大小会受到样本容量和抽样方法的影响。
为了评估抽样结果的可靠性，可以构建置信区间。
置信区间是总体参数的一个区间估计，表示总体参数落在该区间的概率。
置信区间的宽度与置信水平、样本容量以及总体标准差等相关。
抽样与抽样分布
抽样与抽样分布抽样是统计学中一种重要的数据收集方法，通过从总体中选择一部分样本来代表整体，可以更方便、更经济地进行数据分析和推断。
而抽样分布则是与抽样密切相关的概念，指的是样本统计量的概率分布。
本文将从抽样的定义和目的、抽样方法和抽样分布的性质等方面进行探讨。
一、抽样的定义和目的抽样是统计学中利用一定的方法和技术从总体中选取一部分个体作为样本，以了解总体特征或者对总体进行推断的过程。
抽样的目的在于通过对样本的观测和研究来推断总体的特征，而无需对整个总体进行调查。
抽样可以减少调查或实验的成本、节约时间，并且在一定程度上能够保证结果的可靠性和精确度。
二、抽样方法1. 简单随机抽样：简单随机抽样是指从总体中随机选择样本，使每一个样本都有相同的概率被选中。
简单随机抽样通常需要使用随机数表、随机数发生器或者抽签等方法来实现。
2. 系统抽样：系统抽样是按照一定的规则和系统性地从总体中选择样本，例如每隔一个固定的间隔选取一个样本。
系统抽样的优点在于操作简单，但是如果总体中存在某种周期性或者规律性的分布，可能会导致抽样结果的偏差。
3. 整群抽样：整群抽样是将总体根据某些特征进行分类，然后从每个分类中随机选择一定数量的群体作为样本。
整群抽样适用于总体中存在明显的群体结构的情况，可以提高样本的代表性。
4. 分层抽样：分层抽样是按照某种特征将总体分为若干层，然后从每一层中随机选择一定数量的样本。
分层抽样可以更好地体现总体的结构和差异，提高样本的代表性和准确性。
三、抽样分布的性质抽样分布是样本统计量的概率分布，其具有以下几个重要性质：1. 无偏性：如果样本统计量的期望值等于总体参数的真值，那么称该统计量是无偏的。
即样本统计量是对总体参数的无偏估计。
无偏性是抽样分布的重要性质，保证了样本统计量的可靠性和准确性。
2. 一致性：当样本数量趋向无穷大时，样本统计量的值趋向于总体参数的真值。
即样本统计量在大样本情况下能够接近总体参数，具有一致性。
统计学之抽样与抽样分布
正确答案: d. n/N > 0.05
8. 从一个均匀分布的总体中抽取一个样本容量为45的样本， 从什么分布？
a. 指数分布 b. 正态分布 c. 均匀分布 d. 无法判断
正确答案: b. 正态分布
考察所有900个申请者
• 考试成绩
• 总体平均成绩
xi 990
900
• 总体标准差
(xi )2 80 900
考察所有900个申请者
• 无相同工作经验的申请者比例
• 总体比例
p 648 .72 900
使用随机数表随机选择30个申请者作为样本进行研 究,从书上随机数表第三列开始
统计学之抽样与抽样分 布
2021年7月19日星期一
Chapter 7
抽样和抽样分布
本章主要内容
简单随机抽样 点估计 抽样分布
样本平均值x 的抽样分布 样本比例 p 的抽样分布
抽样方法
n = 100
n = 30
统计推断
统计推断的目的是利用样本的信息推断总体的信息 总体是指感兴趣的所有元素的集合 样本是总体的一个子集 通过样本统计量对总体参数进行估计 只要抽样方法恰当，通过样本统计量可以对总体参 数进行很好的估计
点估计
• x 作为 的点估计值 x xi 29,910 997
30 30
• s 作为 的点估计值
s
(xi x )2 163,996 75.2
29
29
• p 作为p 的点估计值
p 20 30 .68
值得注意的是，不同的随机数会导致不同的抽样，也就会 数的不同的点估计值
抽样与抽样分布
N (1.0 2.5) 2 (4.0 2.5) 2 2 0.625 16 n
比较及结论：1. 样本均值的均值(数学期望) 等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n
样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析)
总体分布
.3 P(X)
抽样分布
.3 .2 .1 0
样本均值的抽样分布
(例题分析)
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。总 体的均值、方差及分布如下 总体分布
.3
均值和方差
x
i 1
N
i
.2 .1 0
1 2 3 4
N
N i 1
2.5
2
2 ( x ) i
抽样中的泰坦尼克事件
在1936年美国总统选举前一份颇有名气的 杂志的工作人员做了一次民意调查, 调查兰 顿(当时任堪萨斯州州长)和罗斯福(当时总 统)中谁将担任下一界总统, 为了了解公众意 向, 调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名 单给一大批人发了调查表, 通过分析回收的 调查表, 发现兰顿非常受欢迎,于是此杂志预 测兰顿将在选举中获胜.
系统抽样（systematic sampling）
将总体各单位按某种顺序排列，并按某种规则确 定一个随机起点，然后，每隔一定的间隔抽取一 个单位，直至抽取n个单位形成一个样本。
整群抽样（cluster sampling）
在总体中以群（或组）为单位，将简单或系统抽 样方式，抽取若干群（或）组，然后对所有抽中 的各群（或各组）中的全部单位一一进行调查。
1. t 分布是对称分布，均值为0。 2. 样本容量大于或等于30时， t 分布接近于标准正态分布，这时可 用标准正态分布来代替t 分布。 3. t 分布是一个分布族，不同自由度对应不同的 t 分布。 4. 与标准正态分布相比，t 分布的中心部分较低，两个尾部较高。 5. 变量t 的取值范围在 与 之间。
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样本
样本值
统计是从手中已有的资料—样本值，去推断 总体的情况—总体分布F(x)的性质.
样本是联系二者的桥梁
总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是 样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断 总体.
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§3.2 样本的数字特征
一、统计量
样本是总体的代表和反映，但我们在抽取样本后， 并不直接利用样本进行推断，而需要对样本进行一 番“加工”和“提炼”，把样本中所包含的关于我 们所关心的事物的信息集中起来，这便是针对不同 的问题构造样本的某个函数，称之为统计量。
n i1
(Xi
X )2
n
1
1
n i 1
X
2 i
nX
2
n
n
推导：
(Xi X )2
(
X
2 i
2Xi
X
X
2)
i 1
i 1
n
n
n
X
2 i
2X
Xi
X2
i 1
i 1
i 1
n
n
X
2 i
2X
nX
nX
2XBiblioteka 2 inX2
.
i 1
i 1
12
定理1 设总体 X 的均值和方差均存在, EX ,
DX 2 ,对样本( X1, X2 ,, Xn ) 及其样本均值 X 和样本
由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，
今后如不加声明，均指简单随机样本。
8
总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、 确定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量 身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是 样本. 我们只能观察到随机变量取的值而见不到 随机变量.
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总体（理论分布）
2
数理统计的方法及考虑的问题不同于一般的资料 条件，它更侧重于应用随机现象本身的规律性来考 虑资料的收集、整理和分析，从而找出相应的随机 变量的分布律或数字特征。从理论上讲，只要对随 机现象进行足够多次的观察，被研究的随机现象的 规律性一定能清楚地呈现出来，但实际上所允许的 观察永远只能是有限次的，有时甚至是少量的，因 此我们关心的问题是怎样有效地利用有限的资料， 尽可能作出精确而可靠的结论。
方差 S 2 , 有 E( X ) , D( X ) 2 ， E(S 2 ) 2 .
n 证 X1, X 2 ,, Xn 相互独立,且与总体 X 同分布,故有
E( X i ) E( X ) , D( X i ) D( X ) 2 , i 1,2,, n
所以
E( X )
E( 1 n
根据问题的不同要求以及对观察值所采取的不同 处理方法，就产生了数理统计的各个分支：参数估 计、假设检验、方差分析、回归分析等。本课程主 要介绍前两种方法，至于其它方法，由于教学时数 所限，不再讨论。
3
§3.1 随机抽样
一、总体与样本
在统计学中，我们将问题所涉及的研究对象的全体 称为总体(或母体), 而把组成总体的每个研究对象称为 个体。
第三章
1
从本章起，我们转入课程的第二部分—数理统计 学。数理统计学与概率论是两个有密切联系的姐妹 学科。大体上可以说，概率论是数理统计学的基础， 而数理统计学是概率论的重要应用.
数理统计学是一门关于数据资料的收集、整理、 分析和推断的科学。但人们常常将统计这一概念误 解为大量数据的收集以及对这些数据作一些简单的 运算(如求和、求平均值、求百分比等)，或用图表、 表格等形式把它们表示出来。其实这些工作仅仅是 统计学工作的非主要部分，统计学还包括怎样设计 试验、采集数据以及怎样对获得的数据进行分析、 推断等其它许多工作。
由于我们是利用抽样来对总体的分布进行推断,所以 抽样必须是随机的. 比如,要研究一大批灯泡的寿命,抽 样时就希望每个灯泡等可能地被抽到,只有这样才能 通过抽样比较客观地了解总体.
因此,抽样值( x1, x2 ,, xn ) 应视为一组随机变量,我们把 它称为总体 X 的一个样本(或子样),其中 n 称为该样本的容量。
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二、简单随机抽样
由于抽样的目的是为了对总体的分布进行统 计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的 信息，必须考虑抽样方法.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽 样”，它要求抽取的样本满足下面两点: 1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体 有相同的分布. 2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若 关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分别表 示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y) 或其联合分布函数F(x,y)来表示.
5
再举一个例子。设有一物体，它的重量未知，
要通过多次测量去估计它。那么在这个问题中总
体是什么呢？
有人可能回答，与研究的问题有关的对象就这
服从正态分布”是容易理解的。
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一般情况下,对总体的每一个个体都进行观察或试验 是不可能的,这是因为经济上、时间上不允许(如个体的 数量很大),或观察试验是带破坏性的(如灯泡的寿命、炮 弹的射程).因此,必须对总体进行抽样观察.
例如,对总体 X 进行了 n 次观察,得到一组数据( x1, x2 ,, xn ) .
严格地说，一个统计量就是样本 ( X1, X 2 ,, X n )
的一个函数，且要求它不包含总体的任何未知参数。因 此，统计量也是一个随机变量。
下面列出一些常用的统计量。
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二、样本数字特征
它反映了总体
样本均值
1n X n i1 X i
均值的信它息反映了总体 方差的信息
样本方差
S2
1 n1
例如，在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的 全体就组成了总体，而其中每只灯泡就是个体。
总体
…
研究某批灯泡的质量
个体
4
但是在统计学里，我们关心的不是个体的种种具体 特征,而仅仅是它的某一项(或某几项)数量指标X以及X 的分布情况.例如上述例子中的灯泡的寿命。
由于个体的抽取是随机的,所以总体X是一个随机变 量,我们要研究的就是X的分布或数字特征. 以后我们把 总体和数量指标X等同起来.
个物体，故这个物体，或其重量，就构成总体。
这个回答不对。
实际上，每一次测量所得结果是一个个体，而
总体是由“一切可能的测量值”组成。这只是一
个想象中存在的集合，因为不可能去进行无限次
测量。它的个体是通过试验“制造”出来的。
这种情况在实际应用中非常之多。给这种总体
同样可规定分布，例如上述例子中说“测量结果