中科院数学与系统科学研究院2006年-高等代数试题解答

中科院数学与系统科学研究院2006年-高等代数试 题解答 广西大学数信学院动力系统方向 王磊杰 作答 (仅供参考)
第一题：已知为实数，求的行列式的值. 将记作，按第一行展开得.解方程得解 =，=.所以，进一步有： 逐步递推有： 显然，. 所以当和不相等时，即时，=，注意到和，计算得：=. 当和相等时，利用逐步递推得： = = ……………………….. = = 所以：= 第二题： . 令分块矩阵，其中为矩阵.将看成行列式，则最后一行对应的代数余 子式为.因为行列式某一行元素与另外一行元素的对应代数余子式的乘 积的和等于零，所以 即： 其中，所以是已给方程组的解. 若的秩为，则方程组的解空间的维数是1，是解空间的基，所以任 意解都是的倍数. 第三题： 令则，所以，的特征值为和. 解方程组，得特解.解方程组，得特 解.令 ，且由行变换可知：.所以 = =，.即 注:，.这个极限分为依模收敛和依幅角收敛，详见复变函数 第四题：
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令，则，恰为将的每个元素向它的正上方移动次所得矩阵，利用二项 式定理得：.所以的第一行元素之和为：. 第五题： 显然，其中 =，将其按第一行展开得：，所以 当是偶数时，||=0, 不可逆，线性相关； 当是奇数时，||=2，可逆，线性无关. 第六题： 显然是二次型对应的对称矩阵，且正交矩阵将化为对角形式，即，即， 所以它们的迹相等，所以，而且它们的行列式也相等(因为正交),所以， 所以.令，解方程组得相应的单位向量解： ，， 所以 第七题： 由已知可得 ，所以的特征值只可能是1，或2，或3. 另外有以下事 实： 若是正交矩阵，是单位向量，则是单位向量(因为)；若是单位向量， 则的解向量是单位向量，（因为是单位向量）.对称，所以存在正交矩 阵使 其中为的特征值且. 所以，当时， , 令，则 ，且当=时，等号成立.即 第八题： 首先给出以下事实： 若是方阵，且存在正整数使得，则对任意正整数，有 .因为，所以和的解空间的维数相同，显然的解就是的解，所以它们的 解空间相同.考虑和 .设是的解，则是的解，所以是的解， 即是的解，显然的解就是的解，所以 的解空间和 的解空间相同，所 以，归纳的有： 现在考虑本题，因为是给定的幂零阵，不妨设，但，则由上面的论 证可知，所以.取为(分块对角矩阵),其中，易知，但且，但，. 设可逆矩阵使化为Jordan标准型：，其中为Jordan块(形如上面的),的 对角元全是0,且的阶小于等于.令 = 则易知的对角线上的Jordan块个数越多，的秩就越小，的秩就越小.
令2006=，其中.当不为0时，此时可令 . 其中为Jordan标准型，且 则，其中表示不小于的最小整数. 若等于0，令 ，其中 此时 所以，所以的非零独立解个数的最大值和最小值分别为和 说明：其中表示不小于的最小整数，和通常的定义不同，这里是为了形 式上的统一. 第九题： 设是有限维向量空间上的线性变换，且是上的恒等变换，这里是某个正 整数.设.证明是的一个子空间，并且其维数等于线性变换的迹. 设是m维的线性空间，取定的基，设对应的m阶矩阵为，则. 考虑，则的(形式)导数与互素，所以无重根，进一步有：的最小多项 式无重根，所以可对角化.存在可逆矩阵使， 其中为的特征根，他们有可能相同，. 所以 = 令 当时，由及等比公式知：=0. 所以 当1不是的特征值时，是零空间，它的维数是0，此时的对角元全是0， 迹是0,所以的迹是0，即的迹是0，命题成立. 若1是的t重特征值，此时的对角元当中有t个值是，其余全是0, 的迹是t, 所以的迹是t，即的迹是t，此时是1的特征子空间，维数是t，命题成立.