泊松过程及例子2

hn
=1,2,…,n有ti+hi＜ti+1,则在给定X(t)=n的条件下,有 P{t1≤W1≤t1+h1,…,tn≤Wn≤tn+hn|X(t)=n}
= h1e
h1
h2 e
h2
hn e e e t (t ) n / n!
( t h1 h2 hn )
全期望公式 刻,求E[D(t)]. N (t ) ( t k ) N (t ) ( t k ) 解: E[D(t)]=E[ k 1 Dk e ]=E[E[ k 1 Dk e |N(t)],
由于 E[k 1 Dk e
N (t )
( t k )
= E ( D1 )e E[k 1 e k | N (t ) n] . 由定理3.4知,在N(t)=n的条件下τk(k=1,2,…,n)是[0, t]上相互独立的均匀随机变量U(k),k=1,2,…,n的顺序 统计量,故 n n U U k E[k 1 e | N (t ) n] E[k 1 e ( k ) ] nE[e (1) ] = n 1 t ex dx n (et 1) t 0 t 所以 N (t ) E[ D(t ) | N (t )] (1 e t ) E ( D1 ) t 于是得 E ( D1 ) E[ D(t )] (1 e t )
s t
于是得分布函数 0, s 0,
t 及分布密度函数 1, s t; 1 f W1 | X ( t ) 1(s)= t ,0 s t , 0, 其它.
s FW1 | X ( t ) 1 (s)= ,0 s t ,
此结果可推广到一般的情况:
3．到达时间的条件分布
假设在[0,t]内事件A已经发生一次,如何确定这一事件 到达时间W1的分布呢? 由于泊松过程有平稳独立增量, 所以可以认为[0,t]内 长度相等的区间包含事件A的概率相同, 即该事件的到达 时间在[0,t]上服从均匀分布. 事实上,对s＜t有 P{W1 s, X (t ) 1} P{W1≤s|X(t)=1}=
例3.4 设在[0,t]内事件A已经发生n次且0＜s＜t,对于0 ＜k＜n,求P{X(s)=k|X(t)=n}. 解:利用条件概率和泊松分布得 P{X(s)=k|X(t)=n}= P{ X ( s) k , X (t ) n}
=
=
这是一个参数为n = 和s/t的二项分布.
. nk s ks C n 1 t t
2
y
D
y=x
o D:y＞x,x≥0
x
X1(t)与X2(t)的相互独立性:f(x,y)= f W (1) ( x ) · f W ( 2 ) ( y )
k
1
知
P{W
(1) k
.
W
( 2) 1
}

0


x
1e
1 x
1 (1 x) 2 y 2 e dydx (k 1)! 2 1
W k(1)的取值为x,W1( 2 ) 的取值为y,由泊松过程等待时 解: 设
fW ( 2 ) ( y ) 1 y 0, 0, P{Wk(1) W1( 2) } f ( x, y)dxdy, 以及
D
间的分布密度 (1 x) k 1 1e 1 x , x 0, fW ( 1 ) ( x ) (k 1)! k 0, x 0, 2 e y , y 0,
பைடு நூலகம்
= n! h h h n n 1 2
t
P{ti Wi ti hi , i 1, , n | X (t ) n} n! n h1h2 hn t
令hi→0,便得W1,…,Wn在已知X(t)=n的条件下的 n! 条件联合概率密度f(t1,…,tn)= t n , 0 t1 t2 t n t 0,
因此有
令h→0取极限,得 Pn (s ) =-λ(t+s)Pn(s)+λ(t+s)Pn-1(s).
o( h) Pn ( s h) Pn ( s) =-λ(t+s)Pn(s)+λ(t+s)Pn-1(s)+ h h
当n=1时,有 P1( s ) =-λ(t+s)P1(s)+λ(t+s)P0(s) =-λ(t+s)P1(s)+λ(t+s)e [ m X ( t s ) m X ( t )] . 前式是关于P1(s)的一阶线性微分方程, 利用初始条件 P1(0)=0,解得 [ m X ( t s ) m X ( t )] P1(s)=[mX(t+s)-mX(t)]e . 再运用归纳法,即可证得定理结论.
t n
| N (t ) n] E[k 1 Dk e (t k ) | N (t ) n]
n
补例：设顾客到某商场的过程是泊松过程,已知平 均每小时有30人到达,求所给事件的概率: 两个顾 客相继到达的时间间隔(1)超过2分钟;(2)短于4分 钟;(3)在1分到3分钟之间. 解:由题意,顾客到达数N(t)是强度为λ的泊松过程, 因而 顾客到达的时间间隔{Xn,n≥1}服从参数为λ的指 数分布: 30 x
k 1

k
例3.7 仪器受到震动而引起损伤,若震动是按强度为λ的 泊松过程发生,第k次震动引起的损伤为Dk,D1、D2 、… 是独立同分布的随机变量列且与{N(t),t≥0}独立. 其 中N(t)表示[0,t]时间段仪器受到震动次数. 假设仪器 受到震动而引起的损伤随时间按指数减小,即如果震动 的初始损伤为D,则震动之后经过时间t减小为De-αt(α ＞0).假设损伤是可叠加的,即在时刻t的损伤可表示为 N (t ) k) D(t)= k 1 Dk e (t ,其中τk为仪器受到第k次震动的时
k
P{ X (t ) n} P{ X ( s) k , X (t ) X ( s) n k} P{ X (t ) n} (s ) k ( t s ) [ (t s )] n k e t e k! (n k )! ( t ) n e t n!
定理3.4 设{X(t),t≥0}是泊松过程,已知在[0,t]内事件 A发生n次,则这n次到达时间W1＜W2＜…＜Wn与相应于n 个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相 同的分布. 证明: 令0≤t1＜t2＜…＜tn+1=t,且取hi充分小,使得对i
2， [0 = P{[t i , t i hi ]中有一事件(i 1， ，n)，，t ]的别处无事件} P{ X (t ) n}
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
第三节
非齐次泊松过程
非齐次泊松过程是推广的泊松过程,这种过程允许时刻 t的来到强度(或速率)是t的函数. 定义3.4 称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数 λ(t)的非齐次泊松过程,如果满足条件: (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立增量过程; (3) P{X(t+h)-X(t)=1}=λ(t)h+o(h), P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h). t 非齐次泊松过程的均值函数为mX(t)= 0 ( s)ds . 以下定理描述了非齐次泊松过程的概率分布:
P{ X (t ) 1} = P{ X ( s) 1, X (t ) X ( s) 0} P{ X (t ) 1} se s e (t s ) = P{ X ( s) 1}P{ X (t ) X ( s) 0} = = te t P{ X (t ) 1}
k
由定理3.3, (s) k 1 f Wk (s) = e s ,及定义 (k 1)! nk ( t s ) [ (t s )] P{X(t)-X(s)=n-k}= e
k 1
(n k )! n! s s (1 ) n k. 得 f Wk | X (t ) ( s | n) = (k 1)!(n k )! t k t
例3.5 设在[0,t]内事件A已经发生n次,求第k(k＜n)次事 件A发生的时间Wk的条件概率密度函数. 解:先求条件概率P{s＜Wk≤s+h|X(t)=n},然后关于s求导. 当h充分小时,有 P{s＜Wk≤s+h|X(t)=n} =P{s＜Wk≤s+h,X(t)-X(s+h)=n-k}/P{X(t)=n} =P{s＜Wk≤s+h,X(t)-X(s+h)=n-k}eλt(λt)-nn! =P{s＜Wk≤s+h}P{X(t)-X(s+h)=n-k}eλt(λt)-nn! 将上式两边除以h,并令h→0取极限,得 P{s Wk s h | X (t ) n} fWk | X (t ) ( s | n) lim h 0 h = f W (s) P{X(t)-X(s+h)=n-k}eλt(λt)-nn!
定理3.5 设{X(t),t≥0}是具有均值函数mX(t)= (s)ds 的 0 非齐次泊松过程,则有 P{X(t+s)-X(t)=n} [m X (t s) m X (t )] n [ mX (t s )mX (t )] = ,n≥0 e n! [m X (t )] n [ mX (t )] ,n≥0 . 或 P{X(t)=n}= e n! 证明:对固定t定义 Pn(s)=P{X(t+s)-X(t)=n} 则有 P0(s+h)=P{X(t+s+h)-X(t)=0} =P{在(t,t+s]中没事件,在(t+s,t+s+h]中没事件} =P{在(t,t+s]中没事件}P{在(t+s,t+s+h]中没事件} (由定义3.4的(2))
f X ( x) 30e x0
P( X 2 60) 30e30 x dx 0.368 故有(1) 2 60

（2）P( X 4 60)
4 60

30e30 x dx 0.865
3 60 1 60
P （3） (1 60 X 3 60)
30e30 x dx 0.384
t
=P0(s)[1-λ(t+s)h+o(h)] (由定理3.4的(3)) 于是,有 P0 ( s h) P0 ( s) o( h ) (t s) P0 ( s)
h h
令h→0取极限,得 或
P0( s) (t s) P0 ( s) . s ln P0 (s) (t u)du ,
0 [ m X ( t s ) m X ( t )]
或 P ( s) e . 同理 0 Pn(s+h)=P{X(t+s+h)-X(t)=n} =P{(t,t+s]中有n个事件,(t+s,t+s+h]中没事件} +P{(t,t+s]中有n-1个事件,(t+s,t+s+h]中有1个事件} +P{(t,t+s]中有n-2个事件,(t+s,t+s+h]中有2个事件} +…+P{(t,t+s]中没有事件,(t+s,t+s+h]中有n个事件} =Pn(s)[1-λ(t+s)h+o(h)]+Pn-1(s)[λ(t+s)h]+o(h)
条件概率密度 f Wk | X (t ) ( s | n)是一个Bata分布. 例3.6 设{X1(t),t≥0}和{X2(t),t≥0}是两个独立的泊 松过程, 它们在单位时间内平均出现的事件数,分别为 λ1和λ2.记W k(1)为过程X1(t)的第k次事件到达时间, 1( 2 ) W W k(1) ＜W1( 2 )},即 为过程X2(t)的第1次事件到达时间,求P{ 第一个泊松过程的第k次事件发生比第二个泊松过程的 第1次事件发生早的概率.