第4章 剪力图和弯矩图

求解步骤
• 截开:在欲求内力截面处,用一假想截面将 构件一分为二 • 代替:弃去任一部分,并将弃去部分对保留 部分的作用以相应内力代替(即显示内力) • 平衡:根据保留部分的平衡条件,确定截面 内力值
5.3 杆件的内力计算
一、轴向拉(压)杆件横截面上的内力 用截面法求图m-m 截面上的内力 取左段为研究对象：
N=Σ P
例题2
二、受扭杆件横截面上的内力
Mt （＋） Mt （－）
Mt （＋）
Mt （－）
例 3 图 （ a） 所 示 的 传 动 轴 的 转 速 n=300r/min， 主 动 轮 A 的 功 率 NA = 4 0 0 kW，3 个 从 动 轮 输 出 功 率 分 别 为 NB=120kW, NC =120kW, ND=160kW， 试 求指 定 截面 的扭 矩。已知：m=9550N/n (N•m）
解：由
mA ＝
9550
m = 9550
NA n
N n
,得 kN•m
= 12 .73
m B = m C 9550 N B = 3 .82 kN•m ＝
n
m D = m A - m B + m C = 5.09 kN•m
由（b） m x = 0
M t1 + mB = 0
解得 M t 1 = - m B = - 3.82 kN m 由（c） m x = 0 M t 2 + m B + m C = 0 解得
4.2 杆件的受力与变形形式
（1） 基本构件
• 纵向尺寸（长度）远大于横向（横截面） 的尺寸，这类构件成为杆或杆件。
工程常见构件
（2）变形形式
二、
工 程 实 例
大 型 桥 梁
桥面结构
大 型 桥 梁
缆索与立柱
力学模型
P
轴向拉伸，对应的作用力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的作用力称为压力。
T = m
三、梁横截面上的内力
求简支梁横截面m-m上的内力 （1）求支座反力RA、RB， （2）用截面法沿截面m-m假想 地将梁一分为二 （3）取左半部分为研究对象。 如图b （4）由平衡条件可知，梁弯曲 时横截面上一般存在两种内力 •切于该横截面的合力Q＿剪力 •位于荷载平面内的内力偶M＿ 弯矩。
材料力学主要研究内容 • 研究变形体受力后发生的变形 • 研究由于变形而产生的附加内力 • 研究由此产生的失效及控制失效的准则 • 导出工程静力学设计的基本方法
课程回顾
静力学基本概念
静力学:是研究物体的平衡问题的科学。 主要讨论作用在物体上的力系的简化和平 衡两大问题。 平衡:在工程上是指物体相对于地球保持 静止或匀速直线运动状态，它是物体机械 运动的一种特殊形式。 研究对象只限于刚体,又称为刚体静力学。 忽略了物体的变形。
• 认为材料的力学性质是各向同性的，材 料沿不同方向具有相同的力学性质 • 各方向力学性质不同的材料称为各向异 性材料。
均匀连续性假设
• 认为物体的材料结构是密实的，物体内 材料是无空隙的连续分布。 • 认为材料的力学性质是均匀的，从物体 上任取或大或小一部分，材料的力学性 质均相同。
小变形假定
τ
(直角改变量 )
β

问题：“正应变是单位长度的线变形量”？

正应变与切应变
线变形与剪切变形，这两种变形程度的度量 分别称为： • 正应变( Normal Strain )，用 表示 • 切应变(Shearing Strain),用g 表示
一般情形下，应力与相应内力分量关 系如下：
y
s dA =FN
由(d)
Y = 0
O2
RC - Q2 - RB = 0
M 2 + RB 2.5a - a - RC 0.5a = 0
Q2 = P
由
m
=0
M 2 = - RB 2.5a - a + m A + RC 0.5a = -0.5 Pa
3、结论
任一截面上的剪力的数值等于对应截面一侧所有外力在垂直 于梁轴线方向上的投影的代数和，且当外力对截面形心之矩为 顺时针转向时外力的投影取正，反之取负。
应力
应力—分布内力在一点的集度
F1 F2
F3
Fn
应力就是单位面积上的内力
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀 分布，集度的定义不仅准确而且重要，因 为“破坏”或“失效”往往从内力集度最 大处开始。
P1
y
ΔFQy
DFR
ΔA ΔFN x
ΔFQz
P2 z
D FN s = lim DA 0 DA
M t 2 = - m B - m C = - 7.64 kN m
由（d） m x = 0 M t 3 - m A + m B + m C = 0
解得 M t 3 = m A - m B - m C = 5.09 kN m
结论
• 任一截面上的扭矩值等于对应截面一侧 所有外力偶矩的代数和，且外力偶矩应 用右手螺旋定则背离该截面时为正，反 之为负。
稳定性
构件或零部件在某些受力形式（例如 轴向压力）下其平衡形式不会发生突 然转变的能力
屋盖荷载
水平荷载
梁
楼盖荷载
柱
抵抗力
抵抗力
平面刚架(梁柱刚性连接—单榀框架）
金茂大厦
高 层 建 筑
楼 高 420.5m 共 88 层
高层建筑
浦东开发区
高层建筑
浦江两岸
4.4 关于材料的基本假定
各向同性假设
于2-2截面处将杆截开，取右段为分离体，设轴力为正 值。则
∑X = 0 ，
-N2 + 20 - 20 = 0
20kN C D
N2
20kN
1-1截面
N1 D
N3 30kN B
20kN
3-3截面
20kN 20kN C D
结论
• 任一截面上的轴力的数值等于对应截面 一侧所有外力的代数和，且当外力的方 向使截面受拉时为正，受压时为负。
DFQ t = lim D A 0 D A
应变
思考
• 一橡胶绑带，拉伸程度如何衡量？？ • = ∆ L / L 单位长度的伸长量
将弹性体看成许多微单元体所组成，则 弹性体整体的变形可以看成所有微元体 累加的结果。
σx dx
σx
σx u dx
σx u +du
du x = dx
τ
α
g =a +b
B
- RC a - P 2a - + m A = 0
RC = 3 P
Y = 0
RC - RB - P = 0
RB = 2 P
Y = 0
- Q1 - RB = 0
Q1 = -2 P
m
O1
m A = 0
M 1 = - RB 1.3a - a + m A = 0.4 Pa

平面弯曲
• 工程中常见梁的横截面多有一根对称轴， 各截面对称轴形成一个纵向对称面，梁的 轴线也在该平面内弯成一条曲线，这样的 弯曲称为平面弯曲 • 平面弯曲是最简单的弯曲变形 • 本章重点介绍单跨静定梁的平面弯曲内力
单跨静定梁三种基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
5.2 内力
基本概念
• 由外力作用而引起的受力构件内部质点之间相 互作用力的改变量成为附加内力，简称内力。 • 工程力学所研究的内力是由外力引起的，显然 内力总是与变形同时产生。 • 构件中的内力随着变形的增加而增大，但对于 确定的材料，内力的增加有一定的限度，超过 这一限度，构件将发生破坏。
Q =
P
任一截面上弯矩的数值等于对应截面一侧所有外力对该截面形 心的矩的代数和，若取左侧，则当外力对截面形心之矩为顺时 针转向时取正，反之取负；若取右侧，则当外力对截面形心之 矩为逆时针转向时取正，反之取负。
M =
m
5.4 内力方程和内力图
描述内力沿杆长度方向变化规律的坐标x 的函数，称为内力方程 内力图
因此，内力与构件的强度和刚度都有密切 的联系。在研究构件的强度、刚度等问题 时，必须知道构件在外力作用下某截面上 的内力值。
截面法
1．定义：确定构件任意截面上内力值的基本方法是截面法 2．截面上的内力是连续分布的。用位于该截面形心处的合力 （主矢和主矩）来代替。 表示：用六个内力分量Nx、Qy、Qz和Mx、My、Mz如图b所 示。 3．平衡：截开后的保留部分应保持平衡状态.由此,根据空间力 系的六个平衡方程: ∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑Fz=0 ∑Mx=0 ∑My=0 ∑Mz=0 既可求出Nx、Qy、Qz和Mx、My、Mz等各内力分量
• 为了形象直观的反映内力沿杆长度方向的 变化规律，以平行于杆轴线的坐标x表示横 截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标表示 内力的大小，选取适当的比例尺，便可作 出对应的内力图。
x x A
τxy dA
M σx y FN x
(s dA)z =M
x A x
y
τxz
(s dA) y = -M
A
z
z
本堂总结
• 材料力学任务：研究构件强度、刚度、 稳定性以及材料的力学性能 • 变形固体的基本假设：均匀连续性假设, 各向同性假设, 小变形假设 • 研究对象：杆件（构件长度相对于其另 外二个横向尺寸大很多的构件） • 构件的基本变形：拉伸或压缩、剪切与 挤压、扭转、弯曲
拉 压
弯
剪 （扭）
一、轴向拉伸与压缩
基本概念
• 受力：杆件受到与杆件轴线重合的外力的 作用。 • 变形：杆沿轴线方向的伸长或缩短。 • 产生轴向拉伸与压缩变形的杆件称为拉压 杆。如图所示屋架中的弦杆、牵引桥的拉索和桥塔、