一次函数新讲义1
一次函数第一讲
一次函数：第一讲、函数及其图象知识点1：理解函数的概念，认识函数关系在一个变化过程中，有两个变量（如x 、y ），对于自变量（x ）的每一个确定值，函数（y ）都有唯一确定的值与它对应，这时，y 就是x 的函数。
如何判断函数关系：第一：是不是一个变化过程？ 第二：是不是有两个变量？第三：自变量每取一个值函数有几个值与它对应？例1．下面的表分别给出了变量x 与y 之间的对应关系，判断y 是x 的函数吗？知识点2：认识函数关系式中的常量、自变量与函数常量：在变化过程中，始终保持不变的量； 变量：在变化过程中，可以取不同数值的量；通常在表达时，等式左边的是函数，等式右边的是自变量。
例2．指出下列函数中的自变量、函数和常量： （1）x y 2-=； （2）613-=x y ；（3）2732+-=x x y ； （4）qp 51=． 知识点3：自变量的取值范围一般来说，用解析法表示的函数，自变量的取值范围就是使代数式有意义的范围。
（1）分母不为零；（2）被开方数必须是非负数。
例3．求下列函数中自变量x 的取值范围：（1）x y 5-=；（2）132+=x y ；（3）xy -=21；（4）12+=x y ．知识点4：函数值的讨论函数值随着自变量取值的变化而变化；反之，函数的取值也决定着自变量的取值。
（1）自变量的每一个值对应着唯一一个函数值； （2）函数的每一个值对应着相应的自变量值。
难点：当给出一个量的取值范围，求另一个量的取值时，要结合不等式（或不等式组）加以讨论。
例4．写出下列函数中自变量的取值范围，并分别求出当自变量取2时函数的值：（1）5312+=x y ；（2）1035-=t y ；（3）1-+=x x y ．例5．按要求填空：（1）在y=5x-3中，当x 满足 时，y ≤2。
（2）在y=2-x 中，若3≤x ≤6，则y 的取值为 。
知识点5：实际问题中函数关系式的列法及自变量取值范围的限制（一）函数式的列法：关键是要弄清各数量之间的关系（二）实际问题的自变量取值范围：不但要使得出的函数式有意义，还必须考虑到使实际问题有意义。
《一次函数》课件
REPORTING
经济问题中的一次函数
总结词：经济模型
详细描述：一次函数在经济领域中常被用作简化经济模型，例如，消费和收入之 间的关系、生产成本和产量之间的关系等。通过一次函数，可以更直观地理解经 济现象和预测未来的经济趋势。
物理问题中的一次函数
总结词：物理定律
详细描述：在物理学中，许多定律和公式都可以用一次函数来表示，例如，重力与距离的关系、电流与电压的关系等。通过 一次函数，可以更准确地描述物理现象和预测实验结果。
2023
《一次函数最新》 ppt课件
REPORTING
2023
目录
• 一次函数简介 • 一次函数的表达式 • 一次函数的应用 • 一次函数的解析方法 • 一次函数的实际案例
2023
PART 01
一次函数简介
REPORTING
一次函数的定义
一次函数是形如y=kx+b的函 数，其中k和b是常数，k≠0。
一次函数在数学问题中的应用
线性规划
利用一次函数解决资源分 配问题，实现资源利用的 最大化。
代数方程求解
通过一次函数表示代数方 程，简化方程求解过程。
几何图形面积计算
利用一次函数计算几何图 形的面积，如三角形、矩 形等。
一次函数与其他数学知识的结合
与二次函数的结合
利用一次函数和二次函数的性质 ，解决更复杂的数学问题。
一次函数是线性函数的一种， 它的图像是一条直线。
一次函数在平面坐标系中表示 为一条直线，该直线经过点 (0,b)和斜率为k。
一次函数的图像
一次函数的图像是一 条直线，其斜率为k ，截距为b。
通过代入不同的x值 ，可以求出对应的y 值，从而得到函数的 图像。
一次函数第一课时ppt课件
直线y=kx经过 的象限
性质
一、三象限
二、四象限
y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
图象必经过的点 图象必经过（0，0）和（1，k）这两个点
某登山队大本营所在地的气温为50C， 海拔每升高1km气温下降6 0C，登山 队员由大本营向上登高 x km时，他 们所在的位置的气温是 y 0 C，试用 解析式表示 y 与 x的关系。
4.如果长方形的周长是30cm，长是xcm，宽是ycm. (1)写出y与x之间的函数解析式，它是一次函数吗？ (2)若长是宽的2倍，求长方形的面积.
解：(1)y=15-x (0<x<15)，是一次函数. (2)由题意可得x=2（15-x）. 解得x=10，所以y=15-x=5. ∴长方形的面积为10×5=50(cm2).
（2）一种计算成年人标准体重G（单位：kg） 的方法是，以cm为单位量出身高值 h ，再减常数 105，所得差是G 的值； G=h-105
（3）某城市的市内电话的月收费额 y（单位： 元）包括月租费22元和拨打电话 x min 的计时费 （按0.1元/min收取）；
y=0.1x+22
（4）把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少
形式：y=kx+b（k≠0） 特别地，当b=0时， y=kx(k≠0)是正比例函数
一次函数的简单应用
• 感悟：
时间是一个“常量”，但对于勤奋 者来说，却是一个“变量”.
你的收获与平时的付出是成正比 的，一份耕耘、一份收获，相信自 己，只要付出，你一定会有收获！
4
2
2
∴h是x的一次函数，且 k 3 ,b 0.
2
（2）当h= 3 时，求x的值. （3）求△ABC的面积S与x的函数解析式.S
初中数学一次函数讲义(1)
这次课的主要内容是—— 一次函数首先我们对函数的一些基本特征和性质做简单的复习。
1、 什么是函数：一般的在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。
2、 函数的三种表示方式：图像法、图表法、解析式法。
3、 (0,)y kx b k b =+≠一次函数的表达式为：为任意实数。
4、 0b =当的时候，函数y=kx,为正比例函数。
可见正比例函数是特殊的一次函数。
5、 一次函数的图像：当0x =的时候，图像与y 轴的交点为b 当0y =的时候，图像与x 轴的交点为b k-作图的时候我们只要找到在x 轴和y 轴分别的对应点，将这两个点相连我们就可以画出函数的图像来。
正比例函数的图像：经过原点。
作图的时候我们只要令1x =，得出对应的y k =，用这点与原点相连我们就可以得到对应的正比例函数图象了。
6、 一次函数的性质当0k >时，y 随x 的增大而增大；当0k <时，y 随x 的增大而减小。
当0b >时，函数的图像与y 轴交与正半轴；当0b <时，函数的图像与y 轴交于负半轴。
当0k >且0b >时，函数的图像过一、二、三象限； 当0k >且0b <时，函数的图像过一、三、四象限； 当0k <且0b >时，函数的图像过一、二、四象限； 当0k <且0b <时，函数的图像过二、三、四象限。
7、 正比例函数的性质当0k >时，y 随x 的增大而增大，且图像过一、三象限；（此时函数的图像是过原点且向右上方倾斜的）当0k <时，y 随x 的增大而减小，且图像过二、四象限。
（此时函数的图像是过原点且向左上方倾斜的） 特殊的情况下：当1k =时，函数平分一三象限，这条直线上的任何一点的横坐标都等于它的纵坐标；当1k =-时，函数平分二四象限，这条直线上的任何一点的横坐标都等于它的纵坐标的相反数。
2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第1讲 一次函数的概念及图像解析版
第1讲 一次函数的概念及图像模块一：一次函数的概念 知识精讲1、 一次函数的概念（1） 一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数；（2） 一次函数y kx b =+的定义域是一切实数；（3） 当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠）这时，y 是x 的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；（4） 一般地，我们把函数y c =（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问 题确定．例题解析例1.下列函数中，哪些是一次函数? （1）232y x =-；（2）12y x -=；（3）(5)(0)y m x m =-≠； （4）1(0)y ax a a =+≠ ； （5）(0)ky kx k x =+≠；（6）(3)(3)y k x k =-+≠-．【难度】★【答案】（2）、（3）、（4）、（6）．【解析】判断是否是一次函数，要整理成(0)y kx b k =+≠的形式，一次函数有x 要是一次，0k ≠且是整式几个注意点．（1）是二次函数，（5）是分式． 【总结】考查一次函数的基本概念，会判断两个量是否是一次函数关，一般要把关系式整理成概念的标准形式，找出对应k b ，．例2.（1）已知函数2(2)1y k x =-+是一次函数，则k 的取值范围是_________； （2）当m =________时，函数215(4)my x m -=+-是一次函数，且不是正比例函数．【难度】★【答案】（1）k ≠；（2）4m =-．【解析】（1）一次函数(0)y kx b k =+≠，所以k ≠；（2）一次函数(0)y kx b k =+≠其中，x 要是一次，所以4m =±，又因为是一次函数，不是正比例函数，所以4m -（）不能为0， 所以4m =-．【总结】考查一次函数的基本概念中对于自变量一次的理解．例3.已知一个一次函数，当自变量2x =-时，函数值为1y =-；当2x =时，11y =．求这个函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】35y x =+．【解析】设一次函数解析式为(0)y kx b k =+≠，将()()21211-，-，，两点代入解二元一次方程组， 解得：35k b ==，，所以这个函数的解析式为：35y x =+．【总结】考察两点代入法求一次函数解析式，即两点代入转而解二元一次方程组． 例4.已知一次函数()23317kk y k x -+=-+是一次函数，求实数k 的值．【难度】★★ 【答案】2k =．【解析】由一次函数的概念可知：10k -≠，且2331k k --=，解得：1k =或2k =，又因为1k ≠，所以2k =．【总结】考察一次函数的基本概念，对于自变量一次的及自变量系数不为零同时要满足的理解．例5．（2020·上海市格致初级中学）如图，正方形ABCD 的顶点A 、B 落在x 轴正半轴上，点C 落在正比例函数y ＝kx （k ＞0）上，点D 落在直线y ＝2x 上，且点D 的横坐标为a ． （1）直接写出A 、B 、C 、D 各点的坐标（用含a 的代数式表示）； （2）求出k 的值；（3）将直线OC 绕点O 旋转，旋转后的直线将正方形ABCD 的面积分成1：3两个部分，求旋转后得到的新直线解析式．【答案】（1）点A 、B 、C 、D 的坐标分别为（a ，0）、（3a ，0）、（3a ，2a ）、（a ，2a ）；（2）k＝23；（3）y ＝（3x ． 【分析】（1）点D 的横坐标为a ，则点D(a ，2a)，则AB ＝AD ＝2a ，进而 求解； （2）将C 点坐标代入y=kx 即可求得k ；（3）根据题干，可求得直线OF 的的解析式为m y x a ，当y=2a 时，可求出点E( 22a m，2a)，由S △DEF ＝14S正方形ABCD ，可列方程进而求出m ．【详解】解：（1）点D 的横坐标为a ，则点D （a ，2a ），则AB ＝AD ＝2a ，则点A 、B 、C 的坐标分别为（a ，0）、（3a ，0）、（3a ，2a ）， 故点A 、B 、C 、D 的坐标分别为（a ，0）、（3a ，0）、（3a ，2a ）、（a ，2a ）； （2）将点C 的坐标代入y ＝kx 得，2a ＝3ak ，解得k ＝23； （3）设AF ＝m ，则点F （a ，m ），设直线OC 旋转后交AD 于点F ，交CD 于点E ，则直线OF 的表达式为m y x a =，当y ＝2a 时，y ＝2mx a a=， 解得x=22a m ，故点E （22a m，2a ），由题意得：S △DEF ＝14S 正方形ABCD ＝()22124a a ⨯=，即()22112222a DE DF a a m a m ⎛⎫⨯⨯=⨯--=⎪⎝⎭，解得：m ＝3a ，则函数的表达式为y ＝mx a＝（3x ． 【点睛】本题考查一次函数的性质、正方形的性质、面积的计算等，掌握一次函数的性质是解题关键．模块二：一次函数的图像 知识精讲1、 一次函数的图像：一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线． 2、 一次函数的截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距， 一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标是(0)b ，，直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ．3、 一次函数图像的平移：一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到．当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 个单位． （函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”） 4、 直线位置关系：如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行．反过来，如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠．例题解析例1.若一次函数2(3)(9)y a x a =-+-函数图像过原点，求a 的值，并在坐标系中画出函数的图像． 【难度】★ 【答案】6y x =．【解析】一次函数2(3)(9)y a x a =-+-的图像过原点，即通过（0，0）点，且30a -≠．把这点坐标代入解析式求解可得3a =-，所以解析式是6y x =．【总结】一次函数的解析式与图像的关系，解析式中k 不为0的前提条件，以及图像过原点的在解析式中的含义．例2.若一次函数y kx b =+，当x =2时，y =-1，且函数图像的截距为-3，求函数的解析式． 【难度】★ 【答案】3y x =-．【解析】截距是-3，则3b =-，又因为过（2，-1）点，代入求解，得解析式为3y x =-． 【总结】考查一次函数截距的意义，和待定系数法求一次函数解析式的方法．例3.若一次函数y =-x +b 的图像的截距是-4，求将这个一次函数向左平移2个单位后的函数解析式． 【难度】★【答案】6y x =--．【解析】截距是-4，则4b =-，则解析式是-4y x =-，则平移后的解析式为：246y x x =-+-=--．【总结】考察一次函数截距的意义，及函数图像平移与解析式变化的关系，即“上加下减，左加右减”．例4.将直线y =+1向右平移1个单位，相当于将直线y =+1向上平移了多少个单位?【难度】★★个．【解析】一次函数1y =+右移一个单位，解析式变为1)11y x =-+=+，则相当于1y =+【总结】考察一次函数图像平移与函数解析式变化的关系，即“上加下减，左加右减”． 例5.已知一次函数的图像平行于直线y =23x ，且当3x =-时，函数y 的值是1，求这个函数解析式．【难度】★★【答案】233y x =+．【解析】设这个一次函数解析式为y kx b =+，由题易知23k =，把点（-3，1）代入，可得3b =．所以这个一次函数解析式为233y x =+． 【总结】考察两条直线平行与一次函数解析式的关系，即两条直线平行，k 相等． 例6.若直线2(3)(21)y m x m =-++与直线23y x =-+平行，求m 的值．【难度】★★ 【答案】1m =-．【解析】因为两条直线平行，所以可知k 相等且b 不相等，即232m -=-，解得：1m =±； 因为b 不相等，所以1m =-．【总结】考察两条直线平行与一次函数解析式的关系，两条直线平行，即无交点，而重合是两条直线有无数个交点，所以两条直线平行的含义是k 相等且b 不相等． 例7.根据下列条件，求解相应的直线表达式．（1）直线经过（3，2）以及（1，1）； （2）直线经过（7，0）以及截距是14；（3）直线经过(30)-，以及截距是【难度】★★【答案】（1）1122y x =+；（2）214y x =-+；（3）y =． 【解析】（1）设直线的解析式为y kx b =+，把（3，2）和（1，1）代入，可得：12k =，12b =，所以直线的解析式为1122y x =+； （2）设直线的解析式为y kx b =+，截距是14，则14b =，再把（7，0）代入，可得2k =-． 所以直线的解析式为214y x =-+；（3）设直线的解析式为y kx b =+，截距是b =-3，0）代入，可得23k =-，所以直线的解析式为y =．【总结】考察两点代入法求解一次函数解析式的方法及截距的含义，两点代入法求解一次函数的解析式可转化为求解二元一次方程，从而求出对应的k b 和．例8.直线2(13)(22)y k x k =-+-与已知直线21y x =-+平行，且不经过第三象限，求k 的值．【难度】★★ 【答案】1k =．【解析】两条直线平行，则可知k 相等，即2132k -=-，可得：1k =或1k =-，则截距为220k -=或224k -=-．又因为图像不经过第三象限，所以舍去224k -=-，即舍去1k =-，所以1k =．【总结】考察一次函数的的基本概念以及k b 和的符号与图像所过象限的关系． 例9.设点P (3，m )，Q (n ，2)都在函数y =x +b 的图象上，求m +n 的值． 【难度】★★ 【答案】5．【解析】把点P (3，m )，Q (n ，2)代入解析式y =x +b 中，可得3,2b m n b +=+=，两式子相减，得32n m -=-，整理得5m n +=．【总结】考察一次函数的应用，一次函数图像上的点的坐标都满足函数解析式．例10.设一次函数y kx b =+的图像过点P （3，2），它与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，且OA +BO =12时，求一次函数的解析式． 【难度】★★【答案】28y x =-+或133y x =-+．【解析】由题易知，A 点坐标为0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B 点坐标为()0b ，，且A 、B 两点都在x 轴、y 轴的正 半轴上，所以()12bb k+-=，又点P （3，2）在此函数图像上，代入可得32k b +=，两个式子联立求解，可得：23720k k ++=，解得：2k =-或13-，对应的8b =或3．所以该一次函数的解析式为28y x =-+或133y x =-+．【总结】本题主要考查一次函数与两坐标轴的交点问题，注意分类讨论． 例11.已知一次函数21544m y x +=-与233my x =-+的图像在第四象限内交于一点，求整数m 的值．【难度】★★★ 【答案】-1，0，1．【解析】将两个解析式联立求解可得：237m x +=，27m y -=，所以交点坐标为2m 3m-277+⎛⎫⎪⎝⎭，，因为交点在第四象限内，所以2320077m m +-><，，解不等式得：322m -<<， 所以整数m 的值为-1，0，1．【总结】考查对两个一次函数的交点坐标问题，并且注意每个象限内的点的横纵坐标的符号特征．例12.已知两个一次函数144b y x =--和212y x a a =+；（1）a 、b 为何值时，两函数的图像重合?（2）a 、b 满足什么关系时，两函数的图像相互平行?（3）a 、b 取何值时，两函数图像交于x 轴上同一点，并求这一点的坐标． 【难度】★★★【答案】（1）182a b =-=，；（2）4ab =-且12a ≠-；（3）8b =，0a ≠，坐标为（-2，0）．【解析】（1）由题可知，两个一次函数的比例系数和常数项都相等，即1244b a a -=-=，，解得：182a b =-=，；（2）两个一次函数的图像平行，则比例系数相等，常数不相等，所以14b a-=， 即4ab =-，且12a ≠-；（3）两个一次函数的图像交于x 轴上一点，即两个一次函数与x 轴的交点重合，先分别求出与x 轴的交点，令10y =，得116x b =-，同理可得22x =-，由题可知12x x =，162b-=-， 即8b =，交点坐标为（-2，0）．【总结】主要考查两个一次函数图像的平行、重合的关系与区别以及两条直线交点的含义． 例13.（1）一次函数3y x b =+的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求b 的值；（2）一次函数y kx b =+的图像与两坐标围成的三角形的面积是10，求一次函数的解析式． 【难度】★★★【答案】（1）b =±（2）14y x =或14y x =-． 【解析】（1）一次函数(0)y kx b k =+≠与两轴围成的三角形面积公式是22b s k =，所以24823b =⨯，解得：b =±（2）同理可知，2102b b k =，14k =±，所以一次函数的解析式为14y x =或 14y x =-+．【总结】一次函数与两轴围成的面积公式22b s k=，注意双解的情况．例14.（1）求直线14222y x y x =-=+和与y 轴所围成的三角形的面积； （2）求直线24y x =-与直线31y x =-+与x 轴所围成的三角形的面积． 【难度】★★★【答案】（1）12；（2）53．【解析】（1）联立14222y x y x =-=+和，解得交点坐标为（-4，-6），又因为两条直线与y 轴的交点坐标分别为（0，-4）和（0，2），所以这两条直线与y 轴围成的三角形面积为()1244122⨯--⨯-=⎡⎤⎣⎦； （2）联立2431y x y x =-=-+与，解得交点坐标为（1，-2），又因为两条直线与x 轴的交点坐标分别为（2，0）和103（，），所以这两条直线与x 轴围成的面积为115(2)2233⨯-⨯-=．【总结】考查一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积的综合应用．例15.如图，已知由x 轴、一次函数4(0)y kx k =+<的图像及分别过点C （1，0）、D （4，0） 两点作平行于y 轴的两条直线所围成的图形ABDC 的面积为7，试求这个一次函数的解析式．【难度】★★★【答案】243y x =-+．【解析】由题易知A 的坐标为（1,4k +），B 的坐标为（4，44k +）所围成的梯形ABCD 的面积为11(444)(41)22AC BD CD k k ⨯+⨯=⨯+++⨯-（）=7，解得：23k =-，所以一次函数的解析式是243y x =-+．【总结】考查一次函数与面积的综合应用．模块三：一次函数的性质 知识精讲1、 一次函数的增减性：一般地，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）具有以下性质： 当0k >时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，图像为上升； 当0k <时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，图像为下降． 2、一次函数图像的位置情况：直线y kx b =+（0k ≠，0b ≠）过(0,)b 且与直线y kx =平行，由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得） 当0k >，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、三象限； 当0k >，且0b <时，直线y kx b =+经过一、三、四象限； 当0k <，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、四象限； 当0k <，且0b <时，直线y kx b =+经过二、三、四象限．例题解析例1.如果一次函数y =kx +b 的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ）A ． 0k >，0b >B ．0k >，b <0C ．0k <，b >0D ．0k <，0b < 【难度】★【答案】B【解析】一次函数y kx b =+的图像经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，通过画图可知 00k b ><，．所以答案选B ．【总结】考察一次函数的基本概念以及k 、b 的符号对一次函数图像所过象限的决定作用． 例2.一次函数y =－2x +3的图象不经过的象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【难度】★【答案】C ．【解析】一次函数23y x =-+中，00k b <>，，通过画图，可知该一次函数的图像不经过第三象限，答案选C【总结】考察一次函数的基本概念k 、b 的符号对一次函数图像所过象限的决定作用． 例3.根据下列条件填空：（1）已知函数245(1)(3)m m y m x m -+=-+-，当m 等于______时，它是一次函数，此时它的图象经过__________象限，y 随x 的增大而_____________；（2）如果一次函数2y x =和y x k =+的图象的交点在第一象限，则k 的取值范围是_________；（3）已知关于x 的一次函数(27)2y a x a =-+-的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，则a 的取值范围是________________．【难度】★★【答案】（1）2m =；一、三、四；增大；（2）0k >；（3）722a <<． 【解析】(1)由题可知，要是一次函数则要满足210451m m m -≠-+=，且，解得：2m =．此时函数解析式为1y x =-，它的图像经过第一、三、四象限，且y 随x 的增大而增大；（2）联立2y x =与y x k =+，可得交点坐标为()2k k ，，因为交点在第一象限，则020k k >>且，所以k 的取值范围是0k >．（3）由题易知，一次函数与y 轴的交点坐标为()02a -，，且20a ->，又y 随x 的增大而减小，所以27a -0<，从而可得722a <<． 【总结】考查一次函数的基本概念及k 、b 对一次函数图像所过象限及变化趋势的影响． 例4.设b a >，将一次函数y bx a =+与y ax b =+的图像画在同一平面直角坐标系内，则有一组a ，b 取值，使得下列四幅图中的一个为正确的是（ ）AB C D【难度】★★【答案】D 【解析】A 选项中，由图像可知0b >，且图像过一、二、三象限，可知0a >，而另一条直线的解析式为y bx a =+与y 轴的交点为()0a ，在x 轴下方，则0a <与上面那条直线0a >矛盾，所以A 错误；B 选项中，两条直线与y 轴的交点坐标都在x 轴上方，可知00a b >>，， 且b a <，这与题目中的b a >矛盾，所以B 错误；C 选项中，由题易知，上面那条直线解析 式为y ax b =+，下面那条直线解析式为y bx a =+，且00a b <>，．与x 轴交点都为（2，0）， 分别代入可得2020b a a b +=+=，，解得：00a b ==，，与已知不符，所以错误；D 选项中，由图可知00a b <>，，而两条直线有一条是y 随x 的增大而减小即作为k ，a b ， 中有一个小于0，正好相符，且满足题目中的条件，故选项D 正确．【总结】本题主要考查一次函数的性质及k 、b 对一次函数图像所过象限的影响．例5.若k 、b 是一元二次方程20x px q +-=的两个实根（0kb ≠），在一次函数y kx b =+中，y 随x 的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（）A 、第一、二、四象限B 、第一、二、三象限C 、第二、三、四象限D 、第一、三、四象限【难度】★★【答案】A【解析】由题易知0k b q •=-<，又在一次函数y kx b =+中，y 随x 的增大而减小，可知0k <，所以0b >，所以一次函数的图像经过第一、二、四象限．故选A【总结】一次函数的基本概念，k ，b 对一次函数图像所过象限及变化趋势的影响． 例6.已知0abc ≠，而且a b b c c a p c a b +++===，那么直线y px p =+一定经过（ ） A 、第一、二象限； B 、第二、三象限； C 、第三、四象限； D 、第一、四象限【难度】★★★【答案】B【解析】由题可得a b pc b c pa c a pb +=+=+=，，三式相加得()()2a b c p a b c ++=++， ()()20a b c p a b c ++-++=，()()20a b c p ++-=，可得20p a b c =++=或， 当0a b c a b c ++=+=-时，，b 1a c p c c+-===-，所以2p =或-1． 当2p =时，22y x =+经过第一、二、三象限，当1p =-时，1y x =--，图像经过第二、三、四象限．两种情况下，图像第一定经过第二、三象限．故选B【总结】考察一次函数的图像特征及k 、b 对一次函数图像所过象限的影响．例7.在式子()y kx b k b =+，为常数中，3119x y -≤≤≤≤当时，，kb 求的值． 【难度】★★★【答案】14或-6．【解析】由题可知存在如下几种种情况，（1）当0k >时，3119x y x y =-===，或，，则319k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：27k b =⎧⎨=⎩，则14kb =； （2）当03911k x y x y <=-===时，，或，，则391k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：23k b =-⎧⎨=⎩，则6kb =-； （3）当0k =时，y b =，是个常值函数，不随x 的变化而变化，与题目不符．【总结】本题主要考查一次函数的性质的运用，注意分类讨论．例8.已知一次函数1121y x k =+-中y 随x 的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三 角形的面积不超过32，反比例函数23k y x-=的图像在第二、四象限，求满足以上条件的k 的整数值．【难度】★★★【答案】整数值为1或2． 【解析】一次函数1121y x k =+-中y 随x 的增大而增大，可知1021k >-，它的图像与两坐标轴构的直角三角形面积不超过32，可知21312221k ≤-；又反比例函数23k y x -=的图像在第二、四象限，可知230k -<，解不等式可得：223k <≤，故整数解为1或者2． 【总结】考查一次函数与反比例函数的性质及一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积问题．例9.如图，已知函数1y x =+的图象与y 轴交于点A ，一次函数y kx b =+的图象经过点B （0，1-），并且与x 轴以及1y x =+的图象分别交于点C 、D ；（1）若点D 的横坐标为1，求四边形AOCD 的面积（即图中阴影部分的面积）；（2）在第（1）小题的条件下，在y 轴上是否存在这样的点P ，使得以点P 、B 、D 为顶点的三角形是等腰三角形；如果存在，求出点P 坐标；如果不存在，说明理由；（3）若一次函数y kx b =+的图象与函数1y x =+的图象的交点D 始终在第一象限，则系数k 的取值范围是________（请直接写出结果）．【难度】★★★【答案】(1)56；（2）((0101--，，，，（0，5），108⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（3）1k >． 【解析】（1）由题易知A 的坐标为（0，1），点D 的横坐标为1，代入1y x =+，得112y =+=，即D (1，2)；因为点B 的坐标为（0，-1），且y kx b =+经过点D 和点B ，代入得：201k b b +=⎧⎨+=-⎩，解得：13b k =-⎧⎨=⎩， 则一次函数的解析式为31y x =-，继而可求出点C 的坐标为（13，0）． 故阴影部分的面积为：1122ABD OBC x S S S AB D OB OC ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯阴=()111511112236⨯--⨯-⨯⨯=⎡⎤⎣⎦．（2）假设P 点的坐标为0m （，），则BD = 分三类情况讨论：①当BD BP =时，以点B 为圆心，BD 为半径画圆，与y 轴的交点即为所求P 点．所以P 的坐标为((0101-+-，或者，；②当DB DP =时，以点D 为圆心，BD 为半径画圆，与y 轴的交点即为所求P 点，所以点P 的坐标为（0，5）；③当PB PD =时，点P 即为线段BD 的中垂线与y 轴的交点，则()1m --解得：23m =，即P 的坐标203⎛⎫ ⎪⎝⎭，，综上，点P 的坐标为((0101--，或者，或（0，5）或203⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（3）因为点B 的坐标为（0，-1），可知y kx b =+中的1b =，可得1y kx =-． 联立11y x y kx =+=-，，可得交点D 坐标为2111k k k +⎛⎫ ⎪--⎝⎭，，因为点D 在第一象限内， 所以210011k k k +>>--且，解不等式组，得1k >． 【总结】本题综合性较强，主要考查一次函数的形式与面积的综合应用．例10．（2018·上海崇明区·八年级期中）已知：如图，在直角坐标平面中，点A 在x 轴的负半轴上，直线y kx =+经过点A ，与y 轴相交于点M ，点B 是点A 关于原点的对称点，过点B 的直线BC x ⊥轴，交直线y kx =+C ，如果60MAO ∠=︒．（1）求直线AC 的表达式；（2）如果点D 在直线AC 上，且ABD ∆是等腰三角形，请求出点D 的坐标．【答案】（1）y =+（2）(或(2,-．【分析】（1）先求出点M 的坐标，从而可得OM 的长，再根据直角三角形的性质可得OA 的长，从而可得点A 的坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）先根据对称性得出点B 的坐标，再根据两点之间的距离公式可得,,AB BD AD 的长，然后根据等腰三角形的定义分三种情况建立等式求解即可．【详解】（1）对于y kx =+，当0x =时，y =M 的坐标为( 3OM ∴=，设OA a =，∵60CAB ∠=︒。
一次函数讲义1(精)
一次函数复习课1【知识点总结】一、函数1.变量的定义：在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。
变量还分为自变量和因变量。
2.常量的定义：在某一变化过程中，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量。
3.函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x•的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，y的值称为函数值．4.函数的三种表示法：（1）表达式法（解析式法）；（2）列表法；（3）图象法．用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）。
由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。
把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。
5.求函数的自变量取值范围的方法．（1）要使函数的表达式有意义：○1整式（多项式和单项式）时为全体实数；○2分式时，让分母≠0；○3含二次根号时，让被开方数≠0 。
（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。
注意可能含有隐含非负或大于0的条件。
6.求函数值方法：把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值．7.描点法画函数图象的一般步骤如下：Step1：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；Step2：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；Step3：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）．8.判断y是不是x的函数的题型○1给出解析式让你判断：可给x值来求y的值，若y的值唯一确定，则y是x的函数；否则不是。
○2给出图像让你判断：过x轴做垂线，垂线与图像交点多余一个（≥2）时，y不是x的函数；否则y是x的函数。
二、正比例函数1.正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，•其中k叫做比例系数。
一次函数一讲义.doc
教学目标1.知识与技能领会一次函数的概念，会从实际问题中建立一次函数的模型.2.过程与方法经历探索一次函数的过程，感受一次函数的解析式的特征.3.情感、态度与价值观培养如形结合的数学思想，体会一次函数在实际半活中的应用价值. 重.难点与关键1.重点：一次函数的概念.2.难点：从实际生活中建立一次函数的模型.3.关键：把握好实际问题中的两个变量之间的相等关系，建立模型. 教学方法采用“情境——探究”的方法，让学生在实际问题中感悟一次函数的概念. 教学过程一、创设情境，揭示课题问题思索1：某登山队大本营所在地的气温为5°C,海拔每升高lkm,气温下降6°C,登山队员由大本营向上登高xkni时，他们所在位置的气温是y°C,试用解析式表示y与x的关系.【思路点拨】y随x变化的规律是，从大本营向上当海拔加xkm时，气温从5°C 减少6x°C,因此y与x的函数关系为y=5-6x （或y二-6x+5）,当登山队员由大本营向上登高0. 5km时，他们所在位置的气温就是x=0. 5时函数y二-6x+5的值，即y二2 （°C）・【学生活动】合作探究，寻找解题途径，踊跃发言，发表各自看法.问题思索2：下列问题中变量间的对应关系可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？（1）有人发现，在20~30°C时蟋蟀每分鸣叫次数C与温度t （单位:°C）有关，即C 的值约是t的7倍与35的差；（C=7t-35）（2）一种计算成年人标准体重G （单位：千克）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105,所得差是G的值；（G二h-105）（3）某城市市内电话的月收费额y （单位：元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费按0. 01元/分收取；（y二0. 01x+22）（4）把一个长10cm,宽5cm的长方形的长减少x,宽不变，长方形的面积y （单位：cm2）随x的值而变化.（y二-5x+50）【教师活动】提出问题，引导学生思考.【学生活动】独立思考，列出函数关系式，并进行比较，得到这一类型函数的共同特征：这些函数的形式都是自变量x的k （常数）倍与一个常数的和.【形成概念】一般地，形如y二kx+b （k, b是常数，kHO）的函数，叫做一次函数，当b二0时，y=kx+b即y=kx,所以说止比例函数是一种特殊的一次函数.二、随堂练习，巩固深化课本P11. 4第练习1, 2, 3题.三、课堂总结，发展潜能1.y二kx+b （k, b是常数，kHO）是一次函数.2.一次函数包含了正比例函数，即正比例函数是一次函数在b二0时的特例.四.布置作业，专题突破选用课时作业设计.课本练习14. 2. 2 一次函数（2）教学目标1.知识与技能会画出一次函数的图象，并了解一次函数的性质.2.过程与方法经历探索一次函数图象的过程，发展抽象的数学思维. 3•情感、态度与价值观培养学生良好的数学思维和与人合作交流的学习习惯，体会函数的应用价值.重、难点与关键1.重点：通过图象理解一次函数的性质.2.难点：对一次函数增减性的认识.3.关键：充分利用数与形结合的思想，认清一次函数的内在本质. 教学方法采用“问题解决”的方法，让学生通过例题，领会一次函数的内涵.教学过程一、范例点击，实践操作【例2】画出函数y二-6x, y=-6x+5, y二-6x-5的图象（在同一坐标系内）.【问题牵引】1 •请你比较上面三个函数的图象的相同点与不同点，填出你的观察结果：这三个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度一致;函数y=-6x的图象经过（0, 0）；函数y二-6x+5的图象与y轴交于点（0, 5）；函数y二-6x-5的图象与y轴交点是（0, -5）,它们分别是由直线y二-6x分别平移而得到；比较三个函数解析式，试解释这是为什么？2.猜想：联系上面例2,考虑一次函数y二kx+b的图象是什么形状，它与直线y二kx有什么关系？【学生活动】观察所画的三个函数图象，得出上述问题1, 2的结论，并归纳出平移法则如下：一次函数y二kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y二kx+b,它可以看作由直线y 二kx平移| b |个单位长度而得到（当b〉0时，向上平移；当b〈0时，向下平移）.【例3】iffij岀函数y=2x-l,当y二-0. 5x+l的图象.合作学习, 操作观察【学生活动】动手操作，画出例3所要求的函数图象.【问题探究】画出函数y=x+l, y二-x+l, y二2x+l, y=-2x+l的图象，由它们联想：一次函数解析式y二kx+b （k, b是常数，kHO）中，k的止负对函数图象有什么影响？【规则】当k>0时，直线y二kx+b由左至右上升；当k<0时，直线y二kx+b由左至右下降.由此得出：一次函数y二kx+b （k, b是常数，kHO）具有的性质.【性质】当k〉0时，y随x的增大而增大.当k〈0时，y随x的增大而减小.三、随堂练习，巩固深化课本P117练习.四、课堂总结, 发展潜能1.一次函数y二kx+b图象的画法：在y轴上取（0, b）在x轴上取点（--,0）,k过这两点的直线即所求图象.2.一次函数y二kx+b的性质.（由学生自行归纳）五、布置作业，专题突破课本P120习题14. 2第4、5题.。
一次函数讲义(一)
一次函数（一）一、知识点：1、变量：在一个变化过程中，可以发生变化的量。
常量：在一个变化过程中，始终不变的量。
2． 函数的概念一般地，在一个 过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于 的 _____________________________，那么我们就说x 是自变量，y 是 ． *判断A 是否为B 的函数，只要看B 取值确定的时候，A 是否有唯一确定的值与之对应3．定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4．函数的三种表示方法（1）用数学式子表示函数关系的方法叫做 ；（2）通过列出自变量的值与对应的函数的表格来表示函数关系的方法叫做 ； （3）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的 作为点的 ，在平面直角坐标系内 ，由这些点 ，叫做这个函数的图象．这种表示函数关系的方法叫做 ． 二、例题讲解： 例1 .如果代数式aba 1+有意义．那么直角坐标系中点A(a 、b)的位置在( )．(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 例2、函数1-=x y 中，自变量x 的取值范围是___________________；例3、长方形的周长为20cm ，它的长为a cm ，宽为b cm. （1）上述的哪些是常量？哪些是变量？ （2）写出a 与b 满足的关系式；（3）试求宽b 的值分别为2，3.5时，相应的长a 是多少？ （4）宽为多少时，长为8cm ？例4、画出函数3+-=x y 的图象例5、小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）.（1）图象表示了哪两个变量的关系？（2）10时和13时，他分别离家多远？（3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（4）11时到12时他行驶了多少千米？（5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？ （6）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？例6、下列四个图象中，不表示某一函数图象的是( )．例7、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，•两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，图（1）、图（2）分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了________千克．”(1) (2)例8、水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．下列论断：①0点到1点，打开两个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和—个出水口；③3点到4点，关门两个进水口，打开出水口；④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④例9、小明根据邻居家的故事写了一道小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y•表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x 表示父亲离家的时间，•那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）则y 关于x 的函数图象是( )．例11、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x ，两车之间的距离为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系． 根据图象进行以下探究：（1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2）请解释图中点B 的实际意义；作业：1．下列图形中的曲线不表示y 是x 的函数的是（ ）y yOBx2．5月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除3次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都．描述上述过程的大致图象是（ ）3．小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，为了不迟到他加快了速度，以每分45米的速度行走完剩下的路程，那么小亮行走过的路程S （米）与他行走的时间t （分）之间的函数关系用图象表示正确的是（ ）．4．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是（ ） A ．37.2分钟 B ．48分钟 C ．30分钟 D ．33分钟5．（10山东潍坊市）某蓄水池的横断面示意图如右图所示, 分深水区和浅水区,如果这个注满水的蓄水池以固定的流量 把水全部放出,下面的图像能大致表示水的深度h和放水时间 t 之间的关系的是（ ）6.如图，三个大小相同的正方形拼成六边形ABCDEF ，一动点P 从点A 出发沿着A →B →C →D →E 方向匀速运动，最后到 达点E .运动过程中PEF 的面积（s）随时间（t ）变化的图 象大致是（ ）t Ｂ． C ． D ． Ahoo B oC D A BC DEFP .·。
讲义一次函数1
龙文教育学科教师辅导讲义教师： 学生： 时间：课 题 一次函数教学目标理解并掌握一次函数的概念.图像和性质理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系 能解决关于一次函数相关知识的应用重点、难点一次函数的概念.图像和性质 一次函数相关知识的应用考点及考试要求一次函数的概念.图像和性质一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系 关于一次函数相关知识的应用教学内容考点1 一次函数的概念1. 一次函数的定义：若两个变量x 、y 之间的关系式可以表示成y=kx+b(k ≠0)的形式，则称y 是x 的一次函数．2. 正比例函数的定义：一次函数y=kx+b(k ≠0)，当①b=0时，y 是x 的正比例函数，其解析式为y=kx(k≠0).注意：正比例函数是一次函数的特殊情况，一次函数包括正比例函数．也就是说：如果一个函数是正比例函数，那一定是一次函数．但是，一个函数是一次函数，不一定是正比例函数． 〖例题选讲〗1、下列函数中：① 7y x =-；②7y x=-；③27y x =；④71y x =+；⑤431x y +=；⑥1y ax =+（a 是常数）；是一次函数的有 ．2、函数298y m x x =-+表示一次函数，则m 满足的条件是 ．3、函数()23221ay a x a -=+++表示一次函数，那么它的解析式是 ．4、若()()1mf x m x m =-+是关于x 的一次函数，求m 的值及()f x 的解析式． 5、已知()()()F x f xg x =+，()2f x x =-+，()2g x x=；那么()2F= ；如()6F a =，那么a= 【二】一次函数的图像与性质：1、 一次函数的图像是 ．2、 截距与斜率：直线y kx b =+（k ≠0）y xyx 0yx① 与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距． ② 由于k 的值的不同，直线相对于x 轴正方向的倾斜程度也不同，常数k 称为直线的斜率． 3、 两条直线的平行：① 如果直线y = k 1x + b 1（k 1≠0）与直线y = k 2x + b 2（k 2≠0）平行，那么k 1 = k 1、b 1≠ b 2． ② 如果k 1 = k 1、b 1≠ b 2，那么直线y = k 1x + b 1（k 1≠0）与直线y = k 2x + b 2（k 2≠0）平行．③ 直线y kx b =+（k ≠0，b ＞0）可以看成是由直线y kx =向上平移b 个单位得到． 4、一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象及性质k 0、b 0； k 0、b 0； k 0、b 0； y 随x 增大而 ； y 随x 增大而 ； y 随x 增大而 ； 图象过__________象限 图象过__________象限 图象过__________象限k 0、b 0； k 0、b 0； k 0、b 0； y 随x 增大而 ； y 随x 增大而 ； y 随x 增大而 ． 图象过__________象限 图象过__________象限 图象过__________象限 〖例题选讲〗1、函数()2y m x =-，函数值y 的值随自变量x 的增大而减小，则m ．2、直线23y x =+与x 轴的交点坐标是 ；截距是 ．3、直线34y x =-+经过第 象限；y 随x 的增大而 ； 它与x 轴的交点是 ；与y 轴的交点是 ．4、把直线34y x =--向 平移 个单位，得到直线32y x =-+．5、已知直线y kx b =+平行于直线13y x =，且过点（3，0），则这条直线的解析式是 ． 6、把直线142y x =-向左平移2个单位，得到直线 ．7、已知一次函数31y x m =+-的图像不经过第二象限，那么m 的取值范围是_________． 8、下列各函数中，y 随x 增大而增大的是（ ）（A ）2y x=； （B ）2y x=-； （C ）23y x =-； （D ）32y x =-+考点3 一次函数解析式的求法 待定系数法考点4 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系 1. 一次函数与一元一次方程直线y=kx+b(k ≠0)与x 轴交点的横坐标就是一元一次方程⑤kx+b=0的解． 求直线y=kx+b(k ≠0)与x 轴的交点，可令y=0得方程kx+b=0，解方程得x=kb -,kb -是直线y=kx+b(k≠0)与x 轴交点的横坐标．反之，由函数的图象也能求出对应的一元一次方程的解． 2. 一次函数与一元一次不等式使一次函数y=kx+b(k ≠０）的函数值y 大于0的自变量的所有值，就是一元一次不等式⑨kx+b>0的解集，同样使一次函数y=kx+b(k ≠0)的函数值y 小于0的自变量的所有值，就是一元一次不等式⑯kx+b<0的解集． 经典例题1、若正比例函数的图象经过点（-1,2），则这个图象必经过点 （ ）A.(1,2)B.(-1，-2)C.(2，-1)D.(1，-2) 2、已知函数122y x =+，当x 时，它的图像在x 轴上方．3、如图，直线的解析式是 ；截距是 ；② 点P 的坐标是 ；③ 该直线上所有位于点P 朝上一侧的点的横坐标的取值范围是 ；这些点的纵坐标的取值范围是 ；④ 如果该直线的表达式是y kx b =+，那么关于x 的不等式0kx b +>的解集是 ；kx b +<的解集是 ；方程0kx b +=的解是 ．4、已知函数43y x =-；① 当5x >-时，求函数值y 的取值范围；② 当5y >-时，求自变量x 的取值范围； ③ 当27y <<时，求自变量x 的取值范围；④ 当12x <≤时，求函数值y 的取值范围．5、已知一次函数y kx b =+，当自变量11x -≤≤的范围内取值时，函数值的取值范围是39y ≤≤；求这个一次函数的解析式． 二、课堂练习1. 一次函数)3(2--=x y 的截距是________2. 一次函数(1)5y k x b =-++的图像过一、二、四象限，则k ________,b________．3. 已知12(2)2k y k k x k -=-+＋是一次函数，则k= ．-1P2y x44. 对于一次函数32--=x y ，当x _______时，图象在x 轴下方.5. 一次函数2y x b =+与两坐标轴围成三角形的面积为4,则b=________________6. 已知直线y kx b =+经过点A(-2,0),与y 轴交于点B,且A O B S ∆=4,则这条直线的函数表达式为7. 已知一次函数()31f x x =+，若()5f a =-，则a = ．8. 函数2(5)y x =+的图象是由2y x =向______平移______个单位而得到． 9. 如果直线y kx b =-+，y 随x 的增大而减小，则不等式0kx b+>的解集 ．10. 一慢车和一快车沿相同路线从A 地到相距120千米的B 地，所行地路程 与时间的函数图像如图所示.试根据图像，回答下列问题:⑴慢车比快车早出发 小时，快车比慢车少用 小时到达B 地； ⑵快车用 小时追上慢车；此时相距A 地 千米.11. 一次函数(1)2y k x k =-+-(2k ≠)的图像不可能同时经过的象限是（ ） (A)一、二、三 (B)二、三、四 (C) 一、三、四 (D) 一、二、四 12. 下列说法正确的是（ ）(A) 一次函数的截距一定是正的 (B)一次函数y kx b =+的增减性只与k 有关 (C)直线11y k x b =+与22y k x b =+平行的条件是12k k = (D)直线y kx b =+与双曲线k y x=一定有交点13. 在直线1122y x =+且到x 轴或y 轴距离为1的点有 ( )个（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 414. 已知直线1l ：x y 2=与直线2l ：b x y +-=2交于点)4,(m P ．(1)求直线2l 的解析式； (2)求直线21,l l 与x 轴所围成的图形面积．15. 已知直线1l ：132y x =-+，直线2l ：y kx b =+与y 轴的交点为P ，且点P 关于x 轴的对称点Q 恰好是直线1l 与y 轴的交点，当直线2l 又经过点(-2, 5)时，求直线2l 的解析式．考点 一次函数的应用1、如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。
一次函数教学讲义
一次函数的图像及其性质（1）◆ 【考点梳理】◆【要点1】---函数定义及自变量的取值范围：函数的概念----在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 的值，相应地就确定了唯一一个y 值，那么我们称 是 的函数。
其中 是自变量， 是因变量。
（1）、函数的三种表示方法：①、图象法；②、列表法；③、解析法； （2）、确定自变量的取值范围：◆【要点2】---函数图像及其画法：（点与坐标的关系）（1）、函数图象上任意点P （x ，y ）中的x ，y意一对x ，y （2）描点法作函数图象的步骤：①、列表 ◆【要点3】---一次函数的图像及其性质1、形如y kx b =+（0,k k b ≠、为常数）的函数。
当0b =时，函数(0)y kx k =≠叫正比例函数。
2、|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓） 。
3、由于|k|决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的．4、注意：判断一次函数的要点：A BC D2、一次函数的图像性质： 特例：(0)y kx k =≠的图像是经过坐标原点的一条直线 ◆【要点4】----待定系数法确定一次函数解析式：两点确定一条直线，设直线解析式：y kx b =+，代点的坐标求系数k 、b 。
◆【方法聚焦∙典例解析】◆【考点题型1】---函数定义及函数图像 【例1】下列各图中，是函数图象的是（ ）【例2】（13天津—改编）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：①、小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x 分，离出发地的距离为y 千米；②、有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒桶中的水，设时间为x 分，桶内的水量为y 升；③、长方形ABCD 中，4AB =，3BC =，动点P 从点B 出发，依次沿边BC 、CD 、DA 匀速运动至点A 停止，设点P 的运动路程为x ，当点P 与点A 、B 不重合时，ABP y S ∆=；当P 与点A 、B 重合时，0y =．其中符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（ ）、0 B 、1 C 、2 D 、3【例3】求下列函数中自变量x 的取值范围； （1）31-=x y （2）43-=x y （3）xx y 1+= （4）2r s π=（r 为圆的半径）【例4】若点A （1-m ，3）在函数22-=x y 的图像上，则m = ；◆点拨：1、注意理解函数定义中，x 2、自变量的取值范围：（1）解析式为整式---一切实数；（2）解析式为分式---分母不为0；（3）解析式含二次根式---被开方数非负；（4）实际问题---实际问题有意义。
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（一）变量和函数 1. 函数的概念一般地，在一个 过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于 的 ，那么我们就说x 是自变量，y 是 ． 2. 函数的三种表示方法（1）用数学式子表示函数关系的方法叫做 ；（2）通过列出自变量的值与对应的函数的表格来表示函数关系的方法叫做 ；（3）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的 作为点的 ，在平面直角坐标系内 ，由这些点 ，叫做这个函数的图象．这种表示函数关系的方法叫做 ． 3. 判定一次函数的方法：1) 从表达式角度考虑：有三条件：自变量x 为一次；因变量为一次，系数k ≠0.例1 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y 的值； （3）当y=4时，求x 的值．[分析] 由y-3与x 成正比例，则可设y-3=kx ，由x=2，y=7，可求出k ，则可以写出关系式．解：（1）由于y-3与x 成正比例，所以设y-3=kx ．把x=2，y=7代入y-3=kx 中，得7-3＝2k ， ∴k ＝2． ∴y 与x 之间的函数关系式为y-3=2x ，即y=2x+3．（2）当x=4时，y=2×4+3=11． （3）当y ＝4时，4=2x+3，∴x=21. 引申：+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 . 【注意】 y 与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.2) 从表格角度考虑：任从表格中组成二点的坐标，其纵坐标之差与横坐标差的比值不变。
3) 从图像角度考虑： 判断所形成的图像是否为直线。
4. 确定一次函数的方法（一般要备两条件），确定一次函数就是求k ，b（1）由于正比例函数y=kx （k ≠0）中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对x ，y 的值或一个点）就可求得k 的值．（2）由于一次函数y=kx+b （k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x ，y 的值． 一般从以下角度考虑求k 和b ：1) 从表达式：已知两点坐标时可先设出所求表达式y=kx+b 再找两点的坐标分别代入表达式中，列出方程（或方程（1（2（3解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k ∴此函数的关系式为y=3534-x ．（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．2) 从表格：将表格取两个值，组成具有有序的实数对，化为两个点的坐标，代入解方程组例：版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时投入的成本与印数间的相应数据如下：印数x （册） 5000 8000 10000 15000 …… 成本y （元） 28500360004100053500……（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入y （元）是印数x （册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的x 取值范围）。
（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？例：发现课桌椅可以根据人的身长调节高度.他测量了一套课桌椅上的四个档次的高度,得到如下数据:请你和同学一起讨论,研究y 和x 可能满足什么函数关系例.（2009年广东省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板， 则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）．分析：直接观察第n 个图形中需要黑色瓷砖的块数有一定的难度，若把上面图案的顺序编号为1、2、3……，它们所对应的白色纸片的块数分别是4、7、10……，于是得到有序实数对（1，4）（2，7）（3，10）……，用函数思想就可简洁的求出规律式. 解：设所求的黑色瓷砖的块数y 与序号n 之间的关系式为：y=kn+b ，把（1，4）（2，7）代入关系式，解得：⎩⎨⎧==1b 3k ，于是得到第n 个图形中需要黑色瓷砖的块数为31n +.3) 从图象：在直线上找两个点，将其两点的坐标代入函数解析式中。
例：机动车出发前油箱内有油42升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升。
油箱中余油量Q （升）与行驶时间t （时）之间的函数关系如图所示，根据下图回答问题： （1）机动车行驶 小时后加油； （2）中途加油 升； （3）写出直线CD 的关系式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 114236302418 12Q （升）O A B C xy012345BAC1.42.43.44.4例：直线ＡＢＣ为甲地向乙地打长途电话所需付的话费ｙ（元）与通话时间x （分钟）之间的函数关系的图象，当x ≥3时，该图象的解析式为 ；从图象可知，通话2分钟需付电话费为 元；通话7分钟需付电话费 元.例：小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作： 请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量筒中水面升高_______cm ；（2）求放入小球后量筒中水面的高度y （cm ）与小球个数x （个）•之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 例: 已知一个一次函数的图象经过点（-2，5）并且与y 轴相交于点P ，直线y ＝321+-x 与y 轴交于点Q ，点Q 与点P 关于x 轴对称,求这个一次函数表达式。
5. 函数的性质： 1) 自变量的取值范围：2) 属性：由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-k b ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.3) K 值和b 的理解：从表达式角度理解：k 为自变量每变化一个单位值时所对应的函数的变化值x y∆∆；b 为当自变量取零时相应的函数值。
例：自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费。
写出该单位水费y （元）与每月用水量x （吨）之间的函数关系式。
从表格角度理解：任从表格中组成二点的坐标，其纵坐标之差与横坐标点的比值即为k 值，b 为表格中自变量x为0时，对应的y 值。
从图像角度理解：K 值为图像与x 正半轴夹角的正切值，即自变量每变化一个单位值时所对应的函数的变化值x y∆∆，b 值为图像与y 轴交点的纵坐标值。
例：某轮船公司规定乘客随身携带的行李若超过一定的质量，需要购买行李票，已知行李票价y（元）是行李质量x （千克）的 一次函数，它的图象如下图所示：求y 与x 的函数关系式，并指出x 的取值范围。
4) k 的正负决定直线的倾斜方向：● 两直线k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．|k|=x y∆∆● 增减性：当k>0时，y 随x 值的增加而增加，当k<0时，y 随x 值的增加而减小，● |k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；增加的快慢由两点的纵坐标之差和横坐标之差的比值来决定，即由k 值的大小决定。
t （时）610 xy60 80(-2,5) y Q P y ＝321+-x y =kx +bx例：是某人骑自行车的行驶路程s (千米)与行驶时间t (时)的函数图象，下列说法不正确的( )A.从0时到3时，行驶了30千米B.从1时到2时匀速前进C.从1时到2时在原地不动D.从0时到1时与从2时到3时的行驶速度相同例：已知一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交于点A （-6，0），与y 轴交于点B•，•若△AOB 的面积是12，且y 随x 的增大而减小，你能确定这个一次函数的关系式吗？例：某加油站五月份营销一种油品的销售利润y （万元）与销售量x （万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题： （1）求销售量x 为多少时，销售利润为4万元； （2）分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）解答:（1）由图象可知，当销售利润为4万元，销售量4÷(5－4)=4(万升)，即x =4（万升）;（2）点A 的坐标为(4,4)，从13日到15日利润为5.5－4=1.5(万元)， 所以销售量为1.5÷(5.5－4)=1(万升)，所以点B 的坐标为(5,5.5)设线段AB 所对应的函数关系式为y=kx ＋b ，，则⎩⎨⎧4=4k ＋b 5.5=5k ＋b ，解得⎩⎨⎧k=1.5b=－2,∴线段AB 所对应的函数关系式为y=1.5x －2(4≤x ≤5),从15日到31日共销售5万升，利润为1×1.5＋4×(5.5－4.5)=5.5(万元) ∴本月销售该油品的利润为5.5＋5.5=11(万元)，所以点C 的坐标为(10,11).设线段BC 所对应的函数关系式为y=mx ＋n ，则⎩⎨⎧5.5=5m ＋n 11=10m ＋n ，解得⎩⎨⎧m=1.1n=0∴线段BC 所对应的函数关系式为y=1.1x(5≤x ≤10);（3）线段AB.点评：由“截止到13日调价时的销售利润为4万元”不难求出此时的销售量x=4(万升)，这样点A 的坐标就知道了；第二问求线段AB 、BC 的函数关系式，关键就是求出点B 、C 坐标：根据图象及已知条件“截止至15日进油时的销售利润为5.5万元”和“截止到13日调价时的销售利润为4万元”可知，13日到15日的销售利润（即AB 段的销售利润）为1.5(万元)，而此时的油品售价已调整为5.5元/升，成本还是4元/升,故得销售量为1.5÷(5.5－4)=1(万升)，于是得点B(5,5.5)，这里需要学生具有一定的读图能力；求点C 的纵坐标就是要知道该月销售10(万升)油时共获得多少销售利润？——这是本题的难点，又是最大“亮点”！因为已知前5(万升)油的销售利润是5.5(万元)，根据点B 的横坐标以及15日的进油信息，只需转化为求15日——31日销售的5（万1日： 有库存6万升，成本价 4元/升，售价5元/升． 13日：售价调整为5.5元/升．15日：进油4万升，成本价 4.5元/升． 31日：本月共销售10万升． 五月份销售记录 万升）升）油获得多少销售利润的问题.这里特别注意的是15日——31日销售的5(万升)油中， 1(万升)油是库存下来的，其成本是4元/升，而4(万升) 进油的成本是4.5元/升，两者的成本不一样，所以求销售利润时应分别算,此处也是众多考生失分的最多地方！第三问只需读懂题意，观察OA 、AB 、BC 三条线段的倾斜程度，倾斜角度越大，利润率越大，故得线段AB 的利润率最大. 延伸拓展事实上，本题还可以直接用列代数式的方法求线段AB 、BC 的函数关系式： 线段AB 表示的是13日调价后——15日的销售利润，故只需在4万元销售利润的基础上，再加上销售(x －4)(万升)油的利润即可.∴线段AB 所对应的函数关系式为y=1×4＋(5.5－4)×(x －4)， 即y=1.5x －2(4≤x ≤5).把y=5.5代入y=1.5x －2，得x=5，所以点B 的坐标为(5,5.5).∵截止到15日进油时的库存量为6－5=1(万升)，其成本价是4元/升，此时又进油4万升，成本价是4.5元/升，∴这5升油中每升油的平均成本价为1×4＋4×4.55=4.4(元)，因为线段BC 表示的是15日——31日的销售5(万升)油的利润，因此只要在5.5万元的销售利润基础上，再加上销售(x －5)(万升)油的利润.∴线段BC 所对应的函数关系式为y=5.5＋(5.5－4.4)(x －5) (5≤x ≤10). 即y=1.1x(5≤x ≤10).因此解答本题，只需读懂图表中的两个关键信息和一个注意点：一是13日售价调整，二是15日进油时还余库存油1(万升)，一个注意点就是后面销售的5(万升)油的平均成本价应为4.4元/升，而不是4.5元/升，也不是4元/升.明白以上几点后，可根据图象直接列出函数关系式了. 5) b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置：①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上； ②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．例：一次函数y=mx+│m+1│的图象与y 轴交于（0，3），且y 随x•值的增大而增大，则m 的值为（ ） A ．2 B ．-4 C ．-2或-4 D ．2或-4例．已知一次函数y=mx-（m-2）过原点，则m 的值为（ ）A ．m>2 B ．m<2 C ．m=2 D ．不能确定6) 位置：直线与象限、坐标轴的关系：当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。