第三章差分方程模型

3. 差分方程模型
• 差分方程的基本类型及求解 3.1 贷款购房 3.2 管住嘴迈开腿 3.3 物价的波动 3.4 动物的繁殖与收获 3.5 中国人口增长预测——全国大学生
数学建模竞赛2007年A 题
差分方程的基本类型及求解
xk~未知变量x在时段k的数值(k=0,1,2, …) 1. 一阶线性常系数差分方程
x(k 1) Ax(k) b, k 0,1,2,
• 由x(0)按照方程递推地计算x(1), x(2), … • 求解公式
x(k ) Ak (x(0) (I A)1b) (I A)1b, k 1,2,
A的特征根 <1
k→∞, x(k ) x (I A)1b ~稳定平衡点
3. 差分方程模型
• 差分方程~若干离散点上未知变量数值的方程. • 描述离散时间段上客观对象的动态变化过程. • 现实世界中随时间连续变化的动态过程的近似.
例 湖泊污水浓度 受上游河流的流量、污水浓度等因素影响， 湖泊污水浓度随时间变化. 每周对湖泊和上游河流监测一次, 获取数据. 建立湖泊污水浓度以周为时段的差分方程模型.
• 由x0, x1按照方程递推地计算x2, x3,…
• 求解公式
xk
c11k
c2k2

b
,
1 a1 a2
k 0,1,2,
1, 2～特征根
2 a1 a2 0 ~ 特征方程
c1, c2 ～常数, 初始值x0, x1代入求解公式确定.
1, 2<1
k→∞,
xk ~第k月还款后尚欠金额
a~每月还款金额
本月欠额=上月欠额的本息还款金额
xk= xk-1(1+r)a, k＝1,2,…, n
k=n递推至k=１
xn= x0(1+r)na[1+(1+r)+…+(1+r)n-1]

x0 (1
r)n

a
(1
r)n r
1
贷款到期时xn=0
a

x0 r
(1 r)n (1 r)n 1
零存整取 计算器
累计存入金额180,000元 到期本息总额196,012.50元
勤俭节约、科学理财
单利和复利
按单利计算的业务——零存整取
a~每月存入金额, r ~月利率, n ~ 存期(月)
xk ~存入k个月后的本息
x1=a+ar
xk= xk-1+a+akr, k＝2,3,…, n
x2= x1+a+a2r
xk

x

1
b a1
a2
~稳定平衡点
3. 线性常系数差分方程组
x1(k), x2(k),, xn(k) ~n个未知变量在时段k的数值
x1(k 1) a11x1(k ) a12 x2 (k ) a1n xn (k ) b1 x2 (k 1) a21x1(k ) a22 x2 (k ) a2n xn (k ) b2 xn (k 1) an1x1(k ) an2 x2 (k ) ann xn (k ) bn
k=n递推至k=１
xn= na+ar(1+2+…+n)
a =3000, r =0.035/12, n =125 (月)
xn= 196,012.50
等额本息贷款和等额本金贷款
房贷计算器的选项 • 贷款类别：商业贷款, 公积金, 组合型 • 计算方法：根据贷款总额或面积、单价计算. • 按揭年数：可选１至30年. 选择20年.
例1 “房贷计算器”选择等额本息还款, 输入: 商业贷款总额100万元, 期
限20年, 年利率6.55%.
点击“开始计算”得: 还款总额
1796447.27元, 月均还款7485.2元.
建立等额本息还款方式的数学模型, 并作数值计算．
等额本息还款模型
x0 ~贷款总额
r ~月利率
n ~贷款期限(月)
x(k)=[x1(k), x2(k), ,xn(k)]T b=[b1, b2, ,bn]T
a11 A a21
an1
a12 a1n
a22

a2 n


an 2

ann
x(k 1) Ax(k) b, k 0,1,2,
3. 线性常系数差分方程组
xk 1 axk b, x0已知，k 0,1,2,
a,b~常数
• 由x0按照方程递推计算x1, x2, …
• 求解公式
xk
ak (x0
b ) b , 1 a 1 a
k 1,2,
a <1
k→∞,
xk
Байду номын сангаас
x
b 1 a
~稳定平衡点
2. 二阶线性常系数差分方程
xk 2 a1xk 1 a2 xk b, x0 , x1已知， k 0,1,2,
输入必要信息
轻击鼠标即得
单利和复利
两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.75%, 到期后本息(本金加利息)： 10000(1+0.04755)=12375元.
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则自动转存, 5年后本 息：10000 (1+0.03)5=11593元.
4. 简单的非线性差分方程
例 离散形式的阻滞增长模型
xk 1 xk
r(1
xk N
) xk
,
k 0,1,2,
r,N~已知常数
• 由初始值x0按照方程递推计算x1, x2, …
3.1 贷款购房
贷款购房需考虑的问题
网上的房贷计算器
买多大的房子
一共贷多少钱
每月还多少钱
贷款购房——最简单的差 分方程模型
单位本金、同一利率r、同一存期n计算单利和复利：
单利本息：1+nr
复利本息：(1+r)n 利滚利！
>1+nr
单利和复利
按单利计算的业务——零存整取
零存整取 ~ 每月固定存额，约定存款期限，到期一次支取本息的定 期储蓄.
方式：5元起存，多存不限，存期1年、3年、5年.
例 每月存入3000元，存期５年（年利率3.5%）
• 银行利率：基准利率、利率上限或下限. 选择商业 贷款的基准利率6.55%.
• 还款方式：等额本息还款或等额本金还款.
年利率不同
等额本息贷款和等额本金贷款
等额本息还款~每月归还本息(本金加利息)数额相同. 等额本金还款~每月归还本金数额相同, 加上所欠本金的利息.
所欠本金逐月减少 每月还款金额递减