第三章差分方程模型

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数学建模中的差分方程模型

数学建模中的差分方程模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并寻求与之相连的数学方法的学科，不仅仅在理论研究上有很大的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。

在各种数学模型中，差分方程模型也是一种很重要的模型。

本文将结合实例，介绍差分方程模型的定义、建立、求解以及应用。

差分方程模型定义差分方程模型是一种通过离散化的方法，将连续时间问题转化为离散时间问题，来描述变量随时间的变化规律的数学模型。

这种数学模型以时间为自变量，以某个状态量为因变量，由一定的关系式组成。

例如：y(n+1)=ay(n)+b，式子中y(n)代表第n时刻系统状态，y(n+1)代表第n+1时刻系统状态，a和b为常数。

差分方程模型建立建立差分方程模型的关键是将实际问题中的连续变化离散化。

一般情况下，对于所建立的模型，首先要确定它的思路和范围，然后根据实际情况，确定差分方程的形式。

此外，还需要进行参数的估计和参数变化的分析，以及对模型精确性的验证。

以物理学中的简谐振动为例，建立一个差分方程模型描述其运动，即一个质点在回复力作用下以简谐运动形式振动。

设t为时间，y为质点的位移，v为质点的速度，a为质点的加速度，则有：$$y=n\Delta y \\v=\dfrac{y(n+1)-y(n-1)}{2\Delta t} \\a=\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2}$$其中n为时间步长，$\Delta t$为时间间隔。

我们利用受力平衡的原理，即简谐振动中的$F=-ky$得到：$$\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2} = -\dfrac{k}{m}y(n)$$将$\alpha=\dfrac{k}{m}$带入上式得到：$$y(n+1)-2(1+\alpha)y(n)+y(n-1) = 0$$此时，我们便成功地建立了描述简谐振动的差分方程模型。

差分方程模型求解对差分方程模型求解通常有两种方法：一种是使用递推公式进行求解，另一个方法是使用其它数学方法，如拉普拉斯变换或离散傅立叶变换等。

差分方程模型的基本概念

预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对未来的经济趋势进行预测，帮助决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同经济政策的实施效果，为政策制定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
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确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济活动的周期性变化，如经济增长、通货膨胀、就业率等的时间序列数据。

(完整版)差分方程模型(讲义)

差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。

1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。

2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。

3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。

4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。

2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。

2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。

3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。

4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。

随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。

在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。

有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。

例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。

这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。

二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。

有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。

但是，往往都需要用计算机求数值解。

这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。

第三章差分方程方式

第三章差分方程方式差分方程的平稳点及其稳固性设有未知序列{}n x ，称0),,,;(1=++k n n n x x x n F为k 阶差分方程。

假设有)(n x x n =，知足0))(,),1(),(;(=++k n x n x n x n F那么称)(n x x n =是差分方程的解，包括k 个任意常数的解称为的通解，110,,,-k x x x 为已知时，称其为的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确信后的解称为的特解。

形如)()()(11n f x n a x n a x n k k n k n =+++-++的差分方程，称为k 阶线性差分方程。

)(n a i 为已知系数，且0)(≠n a k 。

假设差分方程中的0)(=n f ，那么称差分方程为k 阶齐次线性差分方程，不然称为k 阶非齐次线性差分方程。

假设有常数α是差分方程的解，即0),,,;(=ααα n F ，那么称α是差分方程的平稳点，又对差分方程的任意由初始条件确信的解)(n x x n =，都有)(∞→→n x n α，那么称那个平稳点α是稳固的。

若110,,,-k x x x 已知，那么形如),,,;(11-+++=k n n n k n x x x n g x 的差分方程的解能够在运算机上实现。

下面给出理论上需要的一些特殊差分方程的解。

一阶常系数线性差分方程b x x n n =++α1，（其中b ,α为常数，且0,1-≠α）的通解为)1()(++-=a b C x n n α易知)1(+αb 是方程的平稳点，由式知，当且仅当1<α时，)1(+αb 是稳固的平稳点。

二阶常系数线性差分方程r bx x x n n n =++++12α，其中r b a ,,为常数，当0=r 时，它有一特解0*=x ；当0≠r ，且01≠++b a 时，它有一特解)1(*++=b a r x 。

不管是哪一种情形，*x 是方程的平稳点。

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单利和复利两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.75%, 到期后本息(本金加利息)：10000(1+0.04755)=12375元.
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则自动转存, 5年后本息：10000 (1+0.03)5=11593元.
3. 差分方程模型
• 差分方程的基本类型及求解 3.1 贷款购房 3.2 管住嘴迈开腿 3.3 物价的波动 3.4 动物的繁殖与收获 3.5 中国人口增长预测——全国大学生
数学建模竞赛2007年A 题
差分方程的基本类型及求解
xk~未知变量x在时段k的数值(k=0,1,2, …)
1. 一阶线性常系数差分方程 xk 1 axk b, x0已知，k 0,1,2,
• 由x0, x1按照方程递推地计算x2, x3,…
•
求解公式
xk
c11k
c2k2
b 1 a1 a2
,
k 0,1,2,
1, 2～特征根 2 a1 a2 0 ~ 特征方程
c1, c2 ～常数, பைடு நூலகம்始值x0, x1代入求解公式确定.
1, 2<1
k→∞,
xk

x
1
b a1 a2
~稳定平衡点
3. 线性常系数差分方程组
x1(k), x2(k),, xn(k) ~n个未知变量在时段k的数值
x1(k 1) a11x1(k) a12x2 (k) a1n xn (k) b1 x2 (k 1) a21x1(k) a22x2 (k) a2n xn (k) b2 xn (k 1) an1x1(k) an2x2 (k) ann xn (k) bn

差分方程模型ppt课件

依此类推，可得一系列的点
P1( x1, y1 ), P2 ( x2 , y1), P3 ( x2 , y2 ), P4 ( x3, y2 ),
图上的箭头表示求出 Pk 的次序，由图知
lim
k
Pk
(
x,
y)
P0
(
x0
,
y0
)
即市场经济趋于稳定。
14
并不是所有的需求g 函数和供应函数都趋于稳定，若给定
其中含的最yt高阶差分的阶数称为该差分方程的阶数。
差分方程也t 可以写成不显含差分的形式，例如二阶差分
方程
2 yt yt yt可以0 写成
yt2 yt1 yt 0
2
满足一阶差分方程的序列 yt 称为差分方程的解，若解中含有独立的常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。
(3) 下一时段的商品数量由上一时段的商品价格决定，
xk 1 g( yk )
称为供应函数，由于价格越高可导致产量越大，所以可以假设供应函数是一个单调递增的函数。
12
3、模型求解
在同一坐标系中同时做出供应函数和需求函数的图形，设两条曲线相交于 P0 (x0, y0 ) 则 P0为平衡点。因为此时
t3
最小。根据这一方程可以迭代求解以后各年第一季度销售
23
量的预测值 y6 21, y7 19,。第7年销售量预测值居然小于第 6年的，稍作分析，不难看出，如分别对第一季度建立差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程，为此，将季度编号为 t 1,2, 20，令 yt a1 yt4 a2 yt8 a3，利用全体数据来拟合求拟合得到最好的系数。即求 a1, a2 , a3使得

差分方程模型

洛阳理工学院数学建模竞赛培训教案
差分方程模型
周家全
对连续型变化的问题而言, 常常可建立微分方程模型. 而对离散状态转移的问题, 则可建立差分方程模型. 差分方程与常微分方程有很多类似的性质和结论．首先引入差分的概念．
1 差分定义及其性质
定义设函数 y = y(x) 在等距节点 xi = x0 + ih ( i = 0,1, , n)
对于一般的差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = f 来讲, 其平衡点的稳定性问题可以同样给出. 二阶方程的上述结果可以推
广到 n 阶线性差分方程, 即稳定平衡点的条件是特征根： n
次代数方程的根 λi (i = 1, 2, , n) 均有| λi |< 1.
4 经济学中的蛛网模型
1. 提出问题在自由竞争的社会中, 很多领域会出现循环波动的现象. 在经济领域中, 可以从自由集市上某种商品的价格变化看到如下现象：在某一时期, 商品的上市量大于需求, 引起价格下跌, 生产者觉得该商品无利可图, 转而经营其它商品；一
解
Δf (0) = f (0.5) − f (0) = 0.75 ,
-2-
洛阳理工学院数学建模竞赛培训教案
Δf (0.5) = f (1) − f (0.5) = 1.25
周家全
Δ2 f (0)= Δ(Δf (0)) = Δf (0.5) − Δf (0) = 1.25 − 0.75 = 0.5
计算较多点的差分可按差分表进行, 容易看出表中每一个需要计算的差分值分别等于其左侧的数减去左上侧的数．每个点 xi 处的各阶差分位于与主对角线平行的斜线上．
(I) 先求解对应的特征方程
a0λn + a1λn−1 + + a0 = 0

差分方程模型PPT课件

回到全国竞赛题。这里提出了新的问题： (1)潜伏期病人如何描述？ (2)死亡病人在模型中的描述。 (3)需要考虑人口的迁移影响，如何描述？ (4)如何控制疾病的蔓延？
问题的图示
b O
a
d
d
利用简单的几何关系即得到 yk1 f ( yk ), y1 b
例2：按年龄分组的种群增长模型。
问题考虑两个要点：增长和人口分布人口分布：对于连续问题，可以利用分布函数和密度函数描绘。
我们也可以利用离散的方法描述人口分布。把t时
刻人口从小到大分为n组，第k 组人数xk(t)，则离散人口分布可以利用向量
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
附录1 《国家人口发展战略研究报告》附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明
差分方程建模：设第k天病人所占比例为i(k)，健康人数量为s(k)，则第k天病人数量变化为
Ni(k 1) Ni(k) s(k)Ni(k) Ni(k)
第k天健康人数量变化为
Ns(k 1) Ns(k) s(k)Ni(k)
把两个式子化简即得到差分方程组。
差分方程和微分方程的建模过程没有差异，差别在于：变化率和的意义不同。
一阶线性差分方程组的稳定性：设一阶线性差分方程组的解为{Xk}, 而受扰动解为 {Yk}。记扰动误差为
k X k Yk 则扰动误差满足
k1 A k
对任意初始扰动0，k0的充分必要条件为
( A) 1
这就是差分方程的稳定性条件。

差分方程模型与生长率模型

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第三章差分方程模型

例每月存入3000元，存期５年（年利率3.5%）累计存入金额180,000元
零存整取
计算器
到期本息总额196,012.50元
勤俭节约、科学理财
单利和复利
按单利计算的业务——零存整取
a~每月存入金额, r ~月利率, n ~ 存期(月) xk ~存入k个月后的本息 x1=a+ar xk= xk-1+a+akr, k＝2,3,…, n xn= na+ar(1+2+…+n)
xk 2 a1xk 1 a2 xk b, x0 , x1已知，k 0,1,2,
• 由x0, x1按照方程递推地计算x2, x3,…
•
k k 求解公式 xk c11 c22
b , k 0,1,2, 1 a1 a2
1, 2～特征根
2 a1 a2 0 ~ 特征方程
=1/8000(kg/kcal)
~代谢系数(因人而异).
w(k 1) w(k ) c(k ) w(k ), k 1,2,
由和吸收热量 c(k)决定体重w(k)的变化规律.
减肥计划的提出
某人身高1.70m, 体重100kg, BMI高达34.6. 目前每周吸收20000kcal热量,体重长期未变.
建立等额本息还款方式的数学模型, 并作数值计算．
等额本息还款模型 x0 ~贷款总额 r ~月利率 n ~贷款期限(月)
xk ~第k月还款后尚欠金额
a~每月还款金额
本月欠额=上月欠额的本息还款金额 xk= xk-1(1+r)a, k＝1,2,…, n
k=n递推至k=１
n ( 1 r ) 1 n n n1 x ( 1 r ) a xn= x0(1+r) a[1+(1+r)+…+(1+r) ] 0 r

差分方程

第八讲差分方程模型一、差分方程介绍规定t 只取非负整数。

记为变量在t 点的取值，则称t y y t t t y y y −=Δ+1为的一阶向前差分，简称差分，称Δ为的二阶差分。

类似地，可以定义的阶差分。

t y t t t t t y t t y y y y y y +−=Δ−Δ=ΔΔ=+++12122)(t y t y n t ny Δ由及的差分给出的方程称为的差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。

差分方程也可以写成不显含差分的形式。

例如，二阶差分方程也可改写成t y t 、t y t y t y 02=+Δ+Δt t t y y y 012=+−++t t t y y y 。

满足一差分方程的序列称为差分方程的解。

类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。

若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

t y 称如下形式的差分方程)(110t b y a y a y a t n t n t n =+++−++L （1）为阶常系数线性差分方程，其中是常数，n n a a a ,,,10L 00≠a 。

其对应的齐次方程为0110=+++−++t n t n t n y a y a y a L （2）容易证明，若序列与均为（2）的解，则也是方程（2）的解，其中为任意常数。

若是方程（2）的解，是方程（1）的解，则也是方程（1）的解。

)1(t y )2(t y )2(2)1(1t tt y c y c y +=21,c c )1(t y )2(t y )2()1(t t t y y y +=方程（1）可用如下的代数方法求其通解：（I ）先求解对应的特征方程（3）00110=+++−a a a n nL λλ（II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。

（i ）若特征方程（3）有n 个互不相同的实根n λλ,,1L ，则齐次方程（2）的通解为t n n t c c λλ++L 11 （为任意常数）n c c ,,1L （ii ）若λ是特征方程（3）的重根，通解中对应于k λ的项为t k k tc c λ)(11−++L ，),,1(k i c i L =为任意常数。

差分方程模型

函数 y = f ( x )的二阶差分为函数 y的一阶差分的差分 , 即 ∆ 2 y x = ∆ (∆ y x ) = ∆ ( y x + 1 − y x ) = ( y x + 2 − y x +1 ) − ( y x +1 − y x ) = y x + 2 − 2 y x +1 + y x
= ∆∆[3 x ( 2 ) + 6 x (1) + x ( 0 ) ]
= ∆[3∆x + 6∆x + ∆1]
( 2) (1)
= 6∆x (1) + 6∆x ( 0 ) = 6.
例6 设y = e 2 x，求 ∆2 y x . 解
∆y x = y x + 1 − y x
=e2( x +1) Nhomakorabea=e
2
2x
yx+n + a1( x) yx+n−1 +⋯+ an−1( x) yx+1 + an ( x) yx = f ( x) (2)
f ( x) ≠ 0
1.n阶齐次线性差分方程解的结构阶齐次线性差分方程解的结构
yx+n + a1( x) yx+n−1 +⋯+ an−1( x) yx+1 + an ( x) yx = 0
方程中未知数下标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶 .
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的由差分的定义及性质可知，不同定义形式之间可以相互转换。不同定义形式之间可以相互转换。是三阶差分方程；如y x + 5 − 4 y x + 3 + 3 y x + 2 − 2 = 0是三阶差分方程；

第1讲：差分方程模型

• 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态
特征
• 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段
在研究实际问题时, 在研究实际问题时, 我们常常不能直接得出变量之间的关系, 之间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系这就是微分方程. 式,这就是微分方程. 在现实社会中,又有许多变量是离散变化的, 在现实社会中,又有许多变量是离散变化的,如人口数、生产周期与商品价格等, 口数、生产周期与商品价格等, 而且离散的运算具有可操作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁. 可操作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁. 不管是微分方程还是差分方程模型，不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解), ),既到其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解),既使得到其解析解,尚有未知参数需要估计( 使得到其解析解,尚有未知参数需要估计(这时可利用参数估计方法). 参数估计方法). 而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要，而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论. 因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.
若有常数a是差分方程的解若有常数是差分方程(1)的解即是差分方程的解, F (n; a, a, … , a ) = 0, 则称 a是差分方程的平衡点. 是差分方程(1)的平衡点是差分方程又对差分方程(1)的任意由初始条件确定的解又对差分方程的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有都有 →∞), xn→a (n→∞ →∞ 则称这个平衡点a是稳定的则称这个平衡点是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中 b为常数且a ≠-1, 0)的通解为其中a, 为常数, 其中为常数的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点由上式知当且仅当是其平衡点, 易知是其平衡点由上式知, |a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点是稳定的平衡点. ＜时是稳定的平衡点

第三章_差分方程模型

第三章差分方程模型§1、差分方程设有未知序列{}k y ，称0),,,;(1=++n k k k y y y k F （1）为n 阶差分方程。

若有)(k y y k =，满足0))(,),1(),(;(=++n k y k y k y k F则称)(k y y k =是差分方程（1）的解，包含n 个任意常数的解称为（1）的通解，当110,,,-n y y y 为已知时，称其为（1）的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为（1）的特解。

[例1] 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时即第三月开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。

设第k 月末共有k y 对兔子，试建立关于k y 的差分方程。

[解] 因为第2+k 月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以有⎩⎨⎧==+=++1,01012y y y y y k k k 这是著名的裴波那契数列。

[例2] 汉诺塔问题将k 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩A 上，大的在下，小的在上。

现将此k 个盘移到空桩B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上，移动过程中桩A 也可利用。

设移动k 个盘的次数为k y ，试建立k y 的差分方程。

[解] 先将桩A 上的k 个大小不同的圆盘按题设要求移到C 上，这需要移动k y 次，再将A 上的最大盘移到B 上，这需要移动一次，最后将C 上的k 个盘按要求移到B 上，这又需要移动k y 次。

所以，差分方程为⎩⎨⎧=+=+01201y y y k k§2、差分方程的解法一.常系数线性齐次差分方程形如 0110=+++-++k n n k n k y a y a y a ——（1）其中n a a a ,,,10 为常数，且0,00≠≠n a a ，称为n 阶常系数齐次线性差分方程。

差分方程模型的基本概念

整理课件
6
3.1.3 二阶差分方程
定义数列{xk } (k 0,1, 2,) 的二阶差分为：
2 xk xk1 xk xk2 2xk1 xk
2 xk 刻画了一阶差分数列{xk } 从第 k 时段到第 k+1 时段的在单位时段内的改变量，显然二阶差分也构成
一个数列{2xk } (k 0,1, 2,) . 二阶差分方程就是形如
按照系统在平衡点附近的状态的变化趋势，又把平衡点区分成渐进稳定的（asymptotic stable）和非渐进稳定的两类：如果系统在平衡点的附近的状态将趋向该平衡点，该平衡点为渐进稳定的（简称为稳定），否则为非渐进稳定的（简称为不稳定）.
平衡点及渐进稳定性能够描述动态模型的长期变化之后的结局.
xk f (xk ), k 0,1, 2, 的方程，其中 f 是与 k 无关的一元函数.
Hale Waihona Puke (3.1.1)整理课件
5
3.1.2 一阶差分方程
(3.1.1)式也就是数列递推关系
xk1 F (xk ), k 0,1, 2,
(3.1.2)
其中 F(x) x f (x) . (3.1.2)式也称为一阶差分方程.
(3.1.6)
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3.1.4 平衡点和渐近稳定性
平衡点的渐进稳定性的定义：如果在使问题有意
义的定义域 D 内，存在平衡点 x x 的邻域 U，对于
所有的初始值
x0
U
，虽然
x0
x
，但是
lim
k
xk
x
，
那么就称平衡点 x x 是渐进稳定的（简称为稳定）.
对于渐进稳定的平衡点 x x ，如果邻域 U 只能

数学建模方法之差分方程模型

数学建模方法之差分方程模型差分方程模型是数学建模中常用的一种方法，它基于差分方程来描述问题，并用差分方程来求解问题。

所谓差分方程，是指用差分代替微分的方程，它是一种离散的模型。

在实际问题中，很多情况下，并不能直接通过微分方程来描述问题，而差分方程模型则可以通过离散化的方法来近似地描述问题。

差分方程模型的优点之一是可以适用于离散化的数据，对于实际问题的离散化模型建立是非常有帮助的。

差分方程模型的另一个优点是可以通过数值方法来求解，不需要进行繁琐的解析推导，因此适用于复杂问题的求解。

差分方程模型的基本形式为：yn+1 = fn(yn, yn-1, ..., yn-k)其中，yn表示第n个时刻的解，fn是一个给定的函数，表示通过前k个时刻的解来计算第n+1个时刻的解。

这个方程是离散的，通过已知的初始条件来逐步递推获得结果。

差分方程模型的适用范围非常广泛，可以用于描述和预测各种动态过程。

例如，差分方程模型可以用来描述人口增长模型、生态系统模型、传染病模型等等。

在这些例子中，差分方程模型可以通过已知的数据和初始条件来预测未来的发展趋势。

差分方程模型的建立步骤主要包括以下几个方面：1.确定问题的描述和目标：明确问题的背景和目标，确定需要建立差分方程模型的原因和用途。

2.确定模型的变量和参数：根据实际问题，确定需要用到的变量和参数。

3.确定差分方程的形式和函数：根据问题的特点和要求，选择合适的差分方程形式和函数。

这部分需要结合实际问题和数学方法来确定。

4.确定初始条件和边界条件：确定差分方程模型的初始条件和边界条件。

这部分是求解差分方程的前提条件。

5.差分方程的求解和分析：通过数值方法求解差分方程，得到数值解，并对结果进行分析和解释。