人教新课标版数学-高中数学直线与圆锥曲线的位置关系(一)学案
高考数学第二轮复习 第19讲 直线与圆锥曲线的位置关系(一)导学案
第19讲 直线与圆锥曲线的位置关系(1)一、复习目标1、能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程(组)的问题；2、会利用韦达定理等处理诸如弦中点、弦长等问题；3、能够运用数形结合的思想方法分析、判断，能综合运用函数、不等式的知识解决相关问题.二、基础回顾1、直线l 被圆044222=++-+y x y x 截得的线段长为２，将直线l 沿向量)4,3(-=平移后被该圆截得的线段的长仍为２，则直线l 的方程为（ ）A 0234=++y xB 0543=++y xC 0234=-+y xD 0543=-+y x2、若直线y x t =+与椭圆2214x y +=相交于A,B 两点，当t 变化时，||AB 的最大值是（ ）A 2B 5C D3、若双曲线221x y -=的右支上一点(,)P a b 到直线y x =的距离为，则______.a b += 4、椭圆221ax by +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，C 为AB 的中点，若AB O =为坐标原点，OC 斜率为2，则,a b 的值分别为_____________. 三、例题探究 例1、12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左、右焦点，过1F 作倾斜角3π的直线与椭圆交于,P Q 两点，求PQ F 2∆的面积.例2、对于椭圆2219y x +=，是否存在存直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点,M N ，且线段MN 恰好被直线12x +0=平分，若存在，求出l 的倾斜角的范围，若不存在，请说明理由.例3、已知Ｏ为坐标原点，)0,8(),0,4(=-=，动点P 10=+，（１）求PB PA ⋅的最小值。
（２）若)0,1(Q ，试问动点P 的轨迹上是否存在N M ,两点，满足QM NQ 34=，若存在，求出N M ,两点的坐标；若不存在，请说明理由。
〔备用题〕、已知椭圆的一个顶点是)1,0(-A ，焦点在x 轴上，其右焦点到直线022=+-y x 的距离为３，试问是否存在一条斜率为)0(≠k k ，且在y 轴上的截距为２的直线l ，使l 与已知椭圆交于不同的两点N M ,，设MN 的中点为P ，且有直线AP 到直线l 的角的正切为k2。
第53课时—直线与圆锥曲线的位置关系(1)(学案).doc
高三数学第一轮复习讲义（53） 2004.11.7直线与圆锥的位置关系（1）一．复习目标： 1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．二．知识要点：1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：直线l ：(,)0f x y =和曲线:(,)0C g x y =的公共点坐标是方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的解，l 和C 的公共点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l 和C 的交点问题转化为方程组的解问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式∆，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便．2．弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．三．课前预习：1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ． 3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有 （ ）()A 312x x x =+ ()B 12132x x x x x x =+ ()C 3120x x x ++= ()D 1213230x x x x x x ++= 4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则nm 的值为 （ ） ()A 22 ()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 （ ）()A 1 条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条四．例题分析：例1．过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 的斜率．例2．直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ，（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．例3．已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线22:1C x y -=相交于,A B 两点，若T 是AB 的中点，求直线l 的方程．五．课后作业： 班级 学号 姓名1．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为 （ ）()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++= 2．斜率为3的直线交椭圆221259x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（ ）()A 325y x = ()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是 （ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点的坐标为 ．5．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 ．6．已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点,F Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||MQ QF =，求直线l 的斜率．7．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay -=的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a 的取值范围．8．已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．是否存在实数k ，使,A B 两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 值，若不存在，说明理由． 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
直线与圆锥曲线(1)学案
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0.①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>.
即k的取值范围为∪.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
解(1)设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)，由＋y2＝1，解得x1,2＝±2，
所以S＝b|x1－x2|＝2b≤b2＋1－b2＝1.
当且仅当b＝时，S取到最大值1.
(2)由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
Δ＝16(4k2－b2＋1)．①
|AB|＝|x1－x2|＝·＝2.②
∴b∈(－∞，－2－)∪(2，＋∞)．
变式迁移3在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
变式迁移1已知抛物线C的方程为x2＝y，过A(0，－1)，B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.∪
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
变式迁移1D[直线AB的方程为y＝x－1(t＝0时不合题意，舍去)，与抛物线方程x2＝y联立得x2－x＋＝0，由于直线AB与抛物线C没有公共点，所以Δ＝－2<0，解得t>或t<－.]
解由(x≤－1)
得(k2－1)x2＋2kx＋2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 直线与圆锥曲线的位置关系教案 新人教A版选修1-1
3．应用
求m的取值范围．
解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．
由一名同学板练．解答为：
由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．
又∵直线与椭圆总有公共点，
即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，
3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围．板书设计直线与圆锥曲 Nhomakorabea的位置关系
1.点与曲线的关系及判定。例1例2
2.直线与圆锥曲线的关系及判定。
教学反思
圆锥曲线的题目运算量比较大，学生在运算时，容易出现这样那样的错误，教师在巡视时，给予必要的指导.
教学重、
难点
重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．
难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．
教学
准备
多媒体课件
教学过程
(一)问题提出
1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？
引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．
(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？
练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．
由教师引导方法，学生板练完成．
(三)课时小结
本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．
高三《直线与圆锥曲线的位置关系》学案
高三《直线与圆锥曲线的位置关系》学案高三《直线与圆锥曲线的位置关系》学案教学目标：1、知识教学点：使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．2、能力训练点：通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．3、学科渗透点：通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力教学重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．)教学难点：恰当选用几何法或者联立消元解决位置相关问题．教学过程：一、情境导入：判断几何图形位置关系的常用方法有哪些？各有什么利弊？二、小组合作：1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋B＋＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线的方程F(x，)＝0，消去(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量)的一元方程．即F(x，)＝0Ax＋B＋＝0，消去，得ax2＋bx＋＝0(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．三、班内交流：（2）问题：当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．[小题体验]1．(教材习题改编)直线＝x－＋1与椭圆9x2＋42＝1的位置关系为()A．相交B．相切．相离D．不确定解析：选A直线＝x－＋1＝(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的() A．充分不必要条B．必要不充分条．充要条D．既不充分也不必要条解析：选A直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点故选A教学设计--直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．四、点拨精讲[题组练透]1．双曲线：a2x2－b22＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为，则直线l与双曲线的左，右两支都相交的充要条是() A．＞－ab B．＜ab．＞ab或＜－ab D．－ab＜＜ab解析：选D由双曲线渐近线的几何意义知－ab＜＜ab 2．(2016·兰州检测)若直线x＋n＝4和圆：x2＋2＝4没有交点，则过点(，n)的直线与椭圆9x2＋42＝1的交点个数为()A．至多一个B．2．1 D．0解析：选B∵直线x＋n＝4和圆：x2＋2＝4没有交点，∴2＋n24＞2，∴2＋n2＜4∴92＋4n2＜92＋44－2＝1－362＜1，∴点(，n)在椭圆9x2＋42＝1的内部，∴过点(，n)的直线与椭圆9x2＋42＝1的交点有2个．3．(易错题)若直线＝x＋2与双曲线x2－2＝6的右支交于不同的两点，则的取值范围是()A．1 B．31．，01 D．，－11解析：选D由x2－2＝6＝x＋2，得(1－2)x2－4x－10＝0设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，1)，B(x2，2)，则＞0，－10解得－31＜＜－1即的取值范围是，－11[谨记通法]直线与圆锥曲线位置关系的2种判定方法及2个关注点(1)判定方法①代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，的方程组，消去(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．②几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．如“题组练透”第1题．(2)关注点①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．五、巩固练习：(教材习题改编)已知抛物线方程为2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为则＝________时，直线l与抛物线有且只有一个公共点．答案：－1或21或0教学设计--直线与圆锥曲线的位置关系2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．六、堂小结请学生谈一谈本节的收获有哪些。
人教版高中数学教案-直线与圆锥曲线的位置关系
直線與圓錐曲線的位置關係 課前預習學案 一、預習目標1．掌握直線與圓錐曲線的位置關係的判定方法，能夠把研究直線與圓錐曲線的位置關系的問題轉化為研究方程組的解的問題；2. 會利用直線與圓錐曲線的方程所組成的方程組消去一個變數，將交點問題問題轉化為一元二次方程根的問題，結合根與係數關係及判別式解決問題． 二、預習內容1．直線與圓錐曲線的位置關係的判定方法：； 2、弦的中點或中點弦的問題，除利用韋達定理外，也可以運用“差分法”（也叫“點差法”）．3、弦長公式 ；4、焦點弦長： ；1．直線y x b =+與抛物線22y x =，當b ∈ 時，有且只有一個公共點；當b ∈ 時，有兩個不同的公共點；當b ∈ 時，無公共點．2．若直線1y kx =+和橢圓22125x y m+=恒有公共點，則實數m 的取值範圍為 ． 3．抛物線2y ax =與直線y kx b =+(0)k ≠交於,A B 兩點，且此兩點的橫坐標分別為1x ，2x ，直線與x 軸的交點的橫坐標是3x ，則恒有（ ）()A 312x x x =+()B 121323x x x x x x =+()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++=4．橢圓122=+ny mx 與直線1=+y x 交於,M N 兩點，MN 的中點為P ，且OP 的斜率為22，則nm的值為（ ） ()A 22()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知雙曲線22:14y C x -= ，過點(1,1)P 作直線l ，使l 與C 有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線l 共有（ ）()A 1 條 ()B 2條 ()C 3條 ()D 4條6．設直線21y x =-交曲線C 於1122(,),(,)A x y B x y 兩點，（1）若12||2x x -=，則||AB = ．（2）12||2y y -=，則||AB = ． 7．斜率為1的直線經過抛物線24y x =的焦點，與抛物線相交於,A B 兩點，則||AB = ．8．過雙曲線2212y x -=的右焦點作直線l ，交雙曲線於,A B 兩點，若||4AB =，則這樣的直線l 有（ ）()A 1條 ()B 2條 ()C 3條 ()D 4條9．已知橢圓2224x y +=，則以(1,1)為中點的弦的長度是（ ）()A 32 ()B 23 ()C 303 ()D 36210．中心在原點，焦點在x 軸上的橢圓的左焦點為F ，離心率為13e =，過F 作直線l 交橢圓於,A B 兩點，已知線段AB 的中點到橢圓左準線的距離是6，則||AB = ． 三、提出疑惑同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中 疑惑點 疑惑內容課內預習學案 一、學習目標1、使學生掌握點、直線與圓錐曲線的位置及其判定，重點掌握直線與圓錐曲線相交的有關問題．2、通過對點、直線與圓錐曲線的位置關係的研究，培養學生綜合運用直線、圓錐曲線的各方面知識的能力．3、通過點與圓錐曲線的位置及其判定，滲透歸納、推理、判斷等方面的能力．二、學習過程1．點P(x0，y0)和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關係？它們的條件是什麼？2．直線l：Ax+By+C=0和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關係？3．點M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關係的焦點為F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦點為F，一定點為P(x0，y0)，M點到抛物線的準線的距離為d，則有：4．直線l∶Ax＋Bx＋C=0與圓錐曲線C∶f(x，y)＝0的位置關係：直線與圓錐曲線的位置關係可分為：相交、相切、相離．對於抛物線來說，平行於對稱軸的直線與抛物線相交於一點，但並不是相切；對於雙曲線來說，平行於漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但並不相切．這三種位置關係的判定條件可引導學生歸納為：注意：直線與抛物線、雙曲線有一個公共點是直線與抛物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件． 5．例題例1．過點(1,6)--的直線l 與抛物線24y x =交於,A B 兩點，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 的斜率．例2．直線:1l y kx =+與雙曲線22:21C x y -=的右支交於不同的兩點,A B ， （I ）求實數k 的取值範圍；（II ）是否存在實數k ，使得以線段AB 為直徑的圓經過雙曲線C 的右焦點F ？若存在，求出k 的值；若不存在，說明理由．例3．已知直線l 和圓M ：2220x y x ++=相切於點T ，且與雙曲線22:1C x y -=相交於,A B 兩點，若T 是AB 的中點，求直線l 的方程．例4．如圖，過抛物線22(0)y px p =>上一定點000(,)(0)P x y y >，作兩條直線分別交抛物線於1122(,),(,)A x y B x y ，（1）求該抛物線上縱坐標為2p的點到其焦點F 的距離；（2）當PA 與PB 的斜率存在且傾斜角互補時，求12y y y +的值，並證明直線AB 的斜率是非零常數． 例5．橢圓的中心是原點O ，它的短軸長為22，相應於焦點)0)(0,(>c c F 的準線l 與x 軸相交於點A ，||2||FA OF =，過點A 的直線與橢圓相交於,P Q 兩點．（I ）求橢圓的方程及離心率；（II ）若,0.=OQ OP 求直線PQ 的方程；（III ）設)1(>=λλAQ AP ，過點P 且平行於準線l 的直線與橢圓相交於另一點M ，證明FQ FM λ-=． 課後練習與提高1．以點(1,1)-為中點的抛物線28y x =的弦所在的直線方程為（ ）()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率為3的直線交橢圓221259x y +=於,A B 兩點，則線段AB 的中點M 的座標滿足方程（ ）()A 325y x =()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．過點(0,1)與抛物線22(0)y px p =>只有一個公共點的直線的條數是（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．過雙曲線22221x y a b -=的右焦點2F 作垂直於實軸的弦PQ ，1F 是左焦點，若0190PFQ ∠=，則雙曲線的離心率是（ ） ()A 2 ()B 12 ()C 22 ()D 325．過抛物線2(0)y ax a =>的焦點F 作一直線交抛物線於,P Q 兩點，若線段PF 與FQ 的長分別是,p q ，則11p q+等於（ ） ()A 2a ()B 12a ()C 4a ()D 4a6．直線y x m =+與橢圓2214x y +=交於A 、B 兩點，則||AB 的最大值是（ ） ()A 2 ()B 55 ()C 105 ()D 81057．已知雙曲線2290x y kx y -+--=與直線1y kx =+的兩個交點關於y 軸對稱，則這兩個交點的座標為 ．8.與直線042=+-y x 的平行的抛物線2x y =的切線方程是 ．9.已知橢圓的中心在原點，離心率為12，一個焦點是(,0)F m -（m 是大於0的常數）． （Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設Q 是橢圓上的一點，且過點,F Q 的直線l 與y 軸交於點M ，若||2||MQ QF =，求直線l 的斜率．10．一個正三角形的三個頂點都在雙曲線221x ay -=的右支上，其中一個頂點是雙曲線的右頂點，求實數a 的取值範圍．11．已知直線1y kx =+與雙曲線2231x y -=相交於,A B 兩點．是否存在實數k ，使,A B兩點關於直線20x y -=對稱？若存在，求出k 值，若不存在，說明理由．點、直線與圓錐曲線的位置關係一、教學目標(一)知識教學點使學生掌握點、直線與圓錐曲線的位置及其判定，重點掌握直線與圓錐曲線相交的有關問題．(二)能力訓練點通過對點、直線與圓錐曲線的位置關係的研究，培養學生綜合運用直線、圓錐曲線的各方面知識的能力．(三)學科滲透點通過點與圓錐曲線的位置及其判定，滲透歸納、推理、判斷等方面的能力．二、教材分析1．重點：直線與圓錐曲線的相交的有關問題．(解決辦法：先引導學生歸納出直線與圓錐曲線的位置關係，再加以應用．)2．難點：圓錐曲線上存在關於直線對稱的兩點，求參數的取值範圍．(解決辦法：利用判別式法和內點法進行講解．)3．疑點：直線與圓錐曲線位置關係的判定方法中△=0不是相切的充要條件．(解決辦法：用圖形向學生講清楚這一點．)三、活動設計四、教學過程(一)問題提出1．點P(x0，y0)和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關係？它們的條件是什麼？引導學生回答，點P與圓錐曲線C的位置關係有：點P在曲線C上、點P在曲線C 內部(含焦點區域)、點P在曲線的外部(不含焦點的區域)．那麼這三種位置關係的條件是什麼呢？這是我們要分析的問題之一．2．直線l：Ax+By+C=0和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關係？引導學生類比直線與圓的位置關係回答．直線l與圓錐曲線C的位置關係可分為：相交、相切、相離．那麼這三種位置關係的條件是什麼呢？這是我們要分析的問題之二．(二)講授新課1．點M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關係的焦點為F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦點為F，一定點為P(x0，y0)，M點到抛物線的準線的距離為d，則有：(由教師引導學生完成，填好小黑板)上述結論可以利用定比分點公式，建立兩點間的關係進行證明．2．直線l∶Ax＋Bx＋C=0與圓錐曲線C∶f(x，y)＝0的位置關係：直線與圓錐曲線的位置關係可分為：相交、相切、相離．對於抛物線來說，平行於對稱軸的直線與抛物線相交於一點，但並不是相切；對於雙曲線來說，平行於漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但並不相切．這三種位置關係的判定條件可引導學生歸納為：注意：直線與抛物線、雙曲線有一個公共點是直線與抛物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件．3．應用求m的取值範圍．解法一：考慮到直線與橢圓總有公共點，由直線與圓錐曲線的位置關係的充要條件可求．由一名同學演板．解答為：由橢圓方程及橢圓的焦點在x軸上，知：0＜m＜5．又∵直線與橢圓總有公共點，即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，亦即5k2≥1-m對一切實數k成立．∴1-m≤0，即m≥1．故m的取值範圍為m∈(1，5)．解法二：由於直線過定點(0，1)，而直線與橢圓總有公共點，所以定點(0，1)必在橢圓內部或邊界上，由點與橢圓的位置關係的充要條件易求．另解：由橢圓方程及橢圓的焦點在x軸上知：0＜m＜5．又∵直線與橢圓總有公共點．∴直線所經過的定點(0，1)必在橢圓內部或邊界上．故m的取值範圍為m∈(1，5)，小結：解法一由直線與圓錐曲線的位置關係的充要條件求，思路易得，但計算量大；解法二由點與圓錐曲線的位置關係的充要條件求，思路靈活，且簡捷．稱，求m的取值範圍．解法一：利用判別式法．並整理得：∵直線l′與橢圓C相交於兩點，解法二：利用內點法．設兩對稱點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中點為M(x0，y0)，∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)小結：本例中的判別式法和內點法，是解決圓錐曲線上存在兩點關於直線的對稱的一般方法，類似可解抛物線、雙曲線中的對稱問題．練習1：(1)直線過點A(0，1)且與抛物線y2=x只有一個公共點，這樣的直線有幾條？(2)過點P(2，0)的直線l與雙曲線x2-y2=1只有一個公共點，這樣的直線有幾條？由學生練習後口答：(1)3條，兩條切線和一條平行於x軸的直線；(2)2條，注意到平行於漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，故這樣的直線也只有2條．2=4關於直線y=x-3對稱的曲線C′的方程．練習2：求曲線C∶x2+4y由教師引導方法，學生演板完成．解答為：設(x′，y′)是曲線C上任意一點，且設它關於直線y=x-3的對稱點為(x，y)．又(x′，y′)為曲線C上的點，∴(y+3)2+4(x-3)2=4．∴曲線C的方程為：4(x-3)2+(y+3)2=4．(三)小結本課主要研究了點、直線與圓錐曲線的三種位置關係及重要條件．五、佈置作業的值．2．k取何值時，直線y＝kx與雙曲線4x2-y2=16相交、相切、相離？3．已知抛物線x=y2+2y上存在關於直線y=x+m對稱的相異兩點，求m的取值範圍．作業答案：1．由弦長公式易求得：k=-4當4-k2=0，k=±2，y=±2x為雙曲線的漸近線，直線與雙曲線相離當4-k2≠0時，△=4(4-k2)×(-6)(1)當△＞0，即-2＜k＜2時，直線與雙曲線有兩個交點(2)當△＜0，即k＜-2或k＞2時，直線與雙曲線無交點(3)當△=0，即k=±2時，為漸近線，與雙曲線不相切故當-2＜k＜2時，直線與雙曲線相交當k≤-2或k≥2時，直線與雙曲線相離六、板書設計。
高三《直线与圆锥曲线的位置关系》学案
高三《直线与圆锥曲线的位置关系》学案教学目标：1、知识教学点：使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．2、能力训练点：通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．3、学科渗透点：通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力教学重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．)教学难点：恰当选用几何法或者联立消元解决位置相关问题．教学过程：一、情境导入：判断几何图形位置关系的常用方法有哪些？各有什么利弊？二、小组合作：1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即F(x，y)＝0Ax＋By＋C＝0，消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0?直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切；Δ<0?直线与圆锥曲线C相离．三、班内交流：（2）问题：当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．[小题体验]1．(教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆9x2＋4y2＝1的位置关系为( ) A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选A 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点.故选A.教学设计--直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．四、点拨精讲[题组练透]1．双曲线C：a2x2－b2y2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是( )A．k＞－ab B．k＜abC．k＞ab或k＜－ab D．－ab＜k＜ab解析：选D 由双曲线渐近线的几何意义知－ab＜k＜ab.2．(2016·兰州检测)若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆9x2＋4y2＝1的交点个数为( )A．至多一个B．2C．1 D．0解析：选B ∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴m2＋n24＞2，∴m2＋n2＜4.∴9m2＋4n2＜9m2＋44－m2＝1－365m2＜1，∴点(m，n)在椭圆9x2＋4y2＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆9x2＋4y2＝1的交点有2个．3．(易错题)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A．15 B．315C．，015 D．，－115解析：选D 由x2－y2＝6y＝kx＋2，得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＞0，－10解得－315＜k＜－1.即k的取值范围是，－115.[谨记通法]直线与圆锥曲线位置关系的2种判定方法及2个关注点(1)判定方法①代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．②几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．如“题组练透”第1题．(2)关注点①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．五、巩固练习：(教材习题改编)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k.则k＝________时，直线l与抛物线有且只有一个公共点．答案：－1或21或0教学设计--直线与圆锥曲线的位置关系2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．六、课堂小结请学生谈一谈本节课的收获有哪些。
直线与圆锥曲线的位置关系(第1课时)教学设计
直线与圆锥曲线的位置关系（第1课时）教学设计灵山中学张小强【教材分析】本节课是高三复习专题《直线与圆锥曲线的位置关系》的第一课时．圆锥曲线是解析几何的核心内容，在整章的复习中，主要以课本知识系统为线索，全面、深刻地复习基础知识、基本技能和其中蕴涵的基本的数学思想方法．本章内容主要突出了解析几何中的数形结合思想，方程思想，函数思想，对应和运动变化思想等数学思想及定义法，待定系数法，参数法等常用的基本方法．其中，直线与圆锥曲线的位置关系是考查的重点内容之一，主要涉及的问题有直线与圆锥曲线的位置关系的判断，求相交弦长，焦点弦长及中点弦等问题，主要考查数形结合，等价转化，函数与方程等数学思想．【学情分析】《直线与圆锥曲线的位置关系》共2课时．学生在高二解析几何的学习中已经基本掌握了圆锥曲线的定义、方程、性质以及直线与圆的位置关系等，具备了一定的知识基础和分析问题、解决问题的能力．第1课时通过对方程组解的讨论，巩固用代数的方法来研究直线与圆锥曲线公共点的问题，掌握直线与圆锥曲线之间的位置关系的判断，进一步领会用代数方法研究几何问题的数学本质．同时，借助几何画板，运用运动变化的观念，让学生在直接观察、运动变化的过程中实现自主探究，数形结合，以形助数．第2课时，要求能够正确熟练地解决直线和圆锥曲线位置关系的一些问题．【教学目标】知识与技能：了解直线与圆锥曲线的位置关系，能利用对方程组解的的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系过程与方法：在探究过程中,运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题,进一步提高学生解决问题的能力【教学重点】重点：用代数的方法（对方程组解的讨论）来研究直线与圆锥曲线的公共点问题难点：对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探究【教学仪器】电脑，投影仪【教学过程与操作设计】【情景一】问题1：直线与圆位置关系有相离，相切，相交三种．如果把圆换成一般的圆锥曲线，又有怎样的位置关系呢？【设计意图】与直线和圆的位置关系进行类比，引起学生认知上的冲突．【情景二】（幻灯片：讨论题组1）1．若直线l 过点（0，1），则它与椭圆12422=+y x 的位置关系是___________． 2．过点（0，1）且与抛物线x y 42=仅有一个公共点的直线方程为_______________．3．过点（0，1），斜率为5的直线与双曲线122=-my x 只有一个公共点，则=m ______． 问题2：浏览之后想一想，你打算用什么方法来解决这几个问题呢？【设计意图】复习巩固直线与圆锥曲线位置关系判断的两种方法，几何法和代数法。
圆锥曲线与直线(一)
《圆锥曲线与直线》学案（一）学习目标：1．能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为方程组解的问题；2．能够使用数形结合的方法，迅速判断某些直线与圆锥曲线的公共点个数.1．回忆在直线和圆的位置关系中，怎样判断有几个公共点．２．你能否用作图的方法粗略地探究直线与椭圆、双曲线有几种位置关系，分别有几个公共点，３．怎样能准确地判断我们的探究结果是否准确？４．你能同样画出直线与双曲线的各种位置关系吗？分别有几个公共点？并试着举出实例证明自己的观点。
问题探究：以上各种情况中的公共点能否说成是交点，为什么？课堂训练：1．判断直线01=+-y x 与椭圆1162522=+y x 、双曲线122=-y x 、抛物线x y 42=公共点的个数，并说出位置关系。
2．过点P(1,1)与双曲线116922=-y x 只有一个交点的直线共有几条？<变式>：若将点P(1,1)改为（1）A(3,4) （2）B(3,0) （3）C(4,0) （4）D(0,0). 3．3.（04全国）设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是4．（04全国）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有 条5．过点)2,0(M 与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线的方程是6．直线1-=kx y 与双曲线122=-y x 只有一个公共点，则k 的取值是7．直线1+=kx y 与椭圆13422=+y x 的交点个数是 ><变式：若直线1+=kx y 与椭圆12522=+my x 恒有公共点，则m 的范围是8．直线3-=x y 与曲线1492=-x x y 的交点个数为 ><变式：若方程24x -=2+kx 恰好有两个实数根，则实数k 的取值范围是9．已知双曲线以两条坐标轴为对称轴,且与x 2+y 2=17圆相交于A(4,-1),若圆在点A 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求双曲线的方程．10．已知抛物线)0(22>=p px y ，过动点)0,(a M ，且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点，p AB 2≤，（1） 求a 的取值范围。
学案1：§2.8 第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系~§2.8 第2课时 直线与圆锥曲线位置关系的综
§2.8第1课时直线与圆锥曲线的位置关系~§2.8第2课时直线与圆锥曲线位置关系的综合问题学习目标核心素养1．通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．(重点)2．会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．(重点、难点)通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，求相关弦长、定点、定值、最值、范围等，提升逻辑推理、数学运算素养．【情境导学】情境引入激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器．目前我国的高能激光武器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球为焦点的椭圆形轨道上运行的低空卫星)，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题．新知初探1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0．方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离思考：直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？2．弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝＝＝＝．初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面上到定点A(1,0)和到定直线l：x＋2y＋3＝0的距离相等的点的轨迹为抛物线．()(2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2条．()(3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件．()2．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于()A．15B．13C．215 D．2133．直线y＝x＋1与椭圆x2＋y22＝1的位置关系为．4．直线y ＝13⎝⎛⎭⎫x －72与双曲线x 29－y 2＝1交点个数为 个．5．过椭圆x 213＋y 212＝1的右焦点与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．【合作探究】[探究问题]直线与圆锥曲线相交时，能用两点间距离公式求弦长吗？【例1】 对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．[母题探究]1．(变条件，变设问)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，且过点(6，1)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围．2．(改变条件)已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x ．问：k 为何值时，直线l 与抛物线C 有两个交点，一个交点，无交点？[规律方法]直线与圆锥曲线位置关系的判断方法提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．类型二弦长问题及中点弦问题【例2】椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．[思路探究]本题有两种解法．一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”．二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含a，b的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解．[规律方法]直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线适合题意.[跟进训练]1．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|．【例3】 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为32，其中一条渐近线的方程为x －2y ＝0．以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A ，B 两点． (1)求椭圆E 的方程；(2)若点P 为椭圆E 的左顶点，PG →＝2GO →，求|GA →|2＋|GB →|2的取值范围．[规律方法]1．求参数范围的方法据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． 2．求最值问题的方法 (1)几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决． (2)代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等． [跟进训练]2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，C 过点M ⎝⎛⎭⎫1，－32，离心率e ＝12．(1)求椭圆C 的方程；(2)若PQ 为椭圆C 过F 1的弦，R 为PF 2的中点，O 为坐标原点，求△RF 1F 2、△OF 1Q 面积之和的最大值．【课堂小结】1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和曲线有一个公共点并不一定相切．2．与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系．3．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．【学以致用】1．椭圆x225＋y24＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为()A．10B．12C．16 D．182．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是() A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝03．已知双曲线C ：x 2－y 24＝1，过点P (1,2)的直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条4．若直线x －y ＝2与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是 ． 5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423．求直线l 的方程．【参考答案】【情境导学】新知初探1．直线与圆锥曲线的位置关系思考：[提示] 不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交． 2．弦长公式 1＋k 2|x 1－x 2| (1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]1＋1k 2|y 1－y 2|⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]初试身手1．[答案] (1)√ (2)√ (3)× [提示] (1)√ (2)√ (3)× 必要不充分条件．2．A [令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y 2＝12x得4x 2－8x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，∴|AB |＝(1＋22)(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝15．]3．相交 [联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 2＋y 22＝1消去y 得3x 2＋2x －1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0∴直线与椭圆相交．]4．1 [直线与渐近线平行因此只有一个交点．]5．241313 [椭圆的右焦点为(1,0)，把x ＝1代入x 213＋y 212＝1中得：y 2＝12213，∴y ＝±121313，∴|AB |＝241313．] 【合作探究】[探究问题][提示] 可以．当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法． 【例1】[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，①x 24＋y 2＝1，②得x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0．③此方程的实数根的个数由根的判别式Δ决定， Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5＜m ＜5时，Δ＞0，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标， 此时直线与椭圆相交．当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0， 方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切． 当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0， 方程③没有实数根，直线与椭圆相离． [母题探究]1．[解] (1)由e ＝233可得c 2a 2＝43，所以a 2＝3b 2，故双曲线方程可化为x 23b 2－y 2b2＝1，将点P (6，1)代入双曲线C 的方程，可解得b 2＝1． 所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1．(2)联立直线与双曲线方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 2－3y 2－3＝0⇒(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝72k 2－4(1－3k 2)×(－9)＞0，1－3k 2≠0.解得－1＜k ＜1且k ≠±33． 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫－33，33∪⎝⎛⎭⎫33，1．2．[解] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x .消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 记Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝16(1－k 2)， (1)若直线与抛物线有两个交点，则k 2≠0且Δ＞0，即k 2≠0，且16(1－k 2)＞0， 解得k ∈(－1,0)∪(0,1)．所以当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，直线l 和抛物线C 有两个交点． (2)若直线与抛物线有一个交点，则k 2＝0或k 2≠0时，Δ＝0．解得k ＝0或k ＝±1． 所以当k ＝0或k ＝±1时，直线l 和抛物线C 有一个交点． (3)若直线与抛物线无交点，则k 2≠0且Δ＜0．解得k ＞1或k ＜－1．所以当k ＞1或k ＜－1时，直线l 和抛物线C 无交点．【例2】[解] 法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差， 得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0． 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a ．∵|AB |＝2|x 2－x 1|＝22，即(x 2－x 1)2＝4，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 又∵(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 2－x 1)2＝4，∴⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4．将b ＝2a 代入，解得a ＝13，b ＝23，∴所求椭圆的方程是x 23＋23y 2＝1．法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)a ＋b ． ∵|AB |＝22，∴a ＋b －ab a ＋b＝1．① 设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b． ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22， 代入①，解得a ＝13，b ＝23， ∴所求椭圆的方程是x 23＋23y 2＝1． [跟进训练]1．[解] 法一：设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2．两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3， ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22，∴|P 1P 2|＝1＋19·22－4×(－22)＝22303． 法二：由题意设所求方程为y －1＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝kx －4k ＋1，得ky 2－6y －24k ＋6＝0． 设弦的两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝6k ，y 1y 2＝6－24k k， ∵P 1P 2的中点为(4,1)，∴6k＝2，∴k ＝3， ∴所求直线方程为y －1＝3(x －4)．由y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22，得|P 1P 2|【例3】[解] (1)由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为32，得c ＝322， ∴a 2＋b 2＝92． ①由题意知b a ＝22， ② 由①②解得a 2＝3，b 2＝32， ∴椭圆E 的方程为x 23＋23y 2＝1． (2)由(1)知P (－3，0)．设G (x 0，y 0)，由PG →＝2GO →， 得(x 0＋3，y 0)＝2(－x 0，－y 0)．即⎩⎨⎧ x 0＋3＝－2x 0，y 0＝－2y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－33，y 0＝0，∴G ⎝⎛⎭⎫－33，0． 设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，|GA →|2＋|GB →|2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋332＋y 21＋⎝⎛⎭⎫x 1－332＋y 21 ＝2x 21＋2y 21＋23＝2x 21＋3－x 21＋23＝x 21＋113． 又∵x 1∈[－3，3]，∴x 21∈[0,3]，∴113≤x 21＋113≤203， ∴|GA →|2＋|GB →|2的取值范围是⎣⎡⎦⎤113，203．[跟进训练]2．[解] (1)由e ＝c a ＝12，设a ＝2t ，c ＝t ，t ＞0， 可得b ＝3t ，椭圆方程为x 24t 2＋y 23t2＝1， 代入M ，可得14t 2＋34t2＝1，可得t ＝1， 则a ＝2，b ＝3，c ＝1， 可得椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)由O ，R 分别为F 1F 2，PF 2的中点，可得△RF 1F 2的面积为△PF 1F 2的面积的一半，即为△PF 1O 的面积，△RF 1F 2、△OF 1Q 面积之和设为S ，则S ＝S △PQO ，当直线PQ 的斜率不存在时，其方程为x ＝－1，此时S △PQO ＝12×1×⎣⎡⎦⎤32－⎝⎛⎭⎫－32＝32， 当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为：y ＝k (x ＋1)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，显然直线PQ 不与x 轴重合，即k ≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)3x 2＋4y 2＝12， 消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝144(k 2＋1)＞0，故x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， 故|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(1＋k 2)3＋4k 2， 点O 到直线PQ 的距离d ＝|k |1＋k 2， S ＝12|PQ |d ＝6k 2(k 2＋1)(3＋4k 2)2，令u ＝3＋4k 2∈(3，＋∞)， 故S ＝6u －34·u ＋14u 2＝32－3u 2－2u ＋1＝32－3⎝⎛⎭⎫1u ＋132＋43∈⎝⎛⎭⎫0，32， 故S 的最大值为32． 【学以致用】1．B [∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ，∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12．]2．C [设弦两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2．∵A 、B 在抛物线上，∴y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－4， ∴直线AB 方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0．]3．B [因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，点P 在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P 且与双曲线相切的切线只有一条．过点P 平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．]4．(4,2) [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与抛物线得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，y 2＝4x . 整理得x 2－8x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－4＝4，所以中点坐标为(4,2)．]5．[解] 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， ∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0． 由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， ∴(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫－4k 1＋2k 22＝329， 化简得：k 4＋k 2－2＝0，∴k 2＝1，∴k ＝±1．∴所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1．。
【公开课教案】《直线与圆锥曲线的位置关系1》教案
直线与圆锥曲线的位置关系1一、教学目标1、熟练的掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，会求直线与圆锥曲线相交时的弦长、定值、范围等问题。
2、体会方程的数学思想、转化的数学思想及点差法、判别式法等数学思想方法应用。
二、知识要点分析1、直线与圆锥曲线的位置关系的判断，（直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离）设直线L 的方程是：0=++C By Ax ，圆锥曲线的方程是0),(=y x f ，则由⎩⎨⎧==++0)y ,x (f 0C By Ax 消去）或消去y x (,得：02=++c bx ax )0(≠a …………（*） 设方程（*）的判别式ac b 42-=∆ 交点个数问题①当a ＝0或a ≠0，∆＝0时，曲线和直线只有一个交点； ②当a ≠0，∆＞0时，曲线和直线有两个交点； ③当a ≠0，∆＜0时，曲线和直线没有交点。
2、直线L 与圆锥曲线相交时的弦长。
设直线L 与圆锥曲线交于),(),,(2211y x Q y x P ，直线L 的斜率为k ，则2122122124)(1||1||x x x x k x x k PQ -+⋅+=-+==||11212y y k -+=2122124)(11y y y y k-+⋅+3、设A （11y ,x ），B （x 2，y 2）是椭圆12222=+b y a x 上不同的两点，且21x x ≠，0x x 21≠+，M （x 0，y 0）为AB 的中点，则两式相减可得2221212121ab x x y y x x y y -=++⋅--，22OMAB ab k k -=⋅。
这种方法叫点差法，最后需要检验直线与曲线是否相交。
【典型例题】例1、已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线x y 42=只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【尝试解答】 直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，即y ＝kx ＋2k ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(4k 2＋2k －4)x ＋(2k ＋1)2＝0，(*)当k ＝0时，方程(*)为－4x ＋1＝0，即x ＝14，此时直线l 和抛物线只有一个交点，当k ≠0时，Δ＝(4k 2＋2k －4)2－4k 2(2k ＋1)2＝－32k 2－16k ＋16，由Δ＝0，即－32k 2－16k ＋16＝0，得 2k 2＋k －1＝0， 解得k ＝－1或k ＝12，∴当k ＝－1或k ＝12时，方程(*)有两个相等的实根，当－1＜k ＜12且k ≠0时，方程(*)有两个不等的实根，当k ＜－1或k ＞12时，方程(*)没有实根．综上知 ，当k ＝0或k ＝－1，或k ＝12时，直线与抛物线只有一个公共点，当－1＜k ＜12且k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点，当k ＜－1或k ＞12时，直线与抛物线没有公共点．,例2、过椭圆2222=+y x 的一个焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，求△AOB 的面积的最大值(O 为原点)．解：不妨设AB 过焦点(0,1)， 当AB 斜率不存在时显然不合题意．设AB 的方程为y －1＝kx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x 2＋y 2＝2得(2＋k 2)x 2＋2kx －1＝0，所以x 1＋x 2＝－2k 2＋k 2，x 1x 2＝－12＋k 2， 所以|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝221＋k 22＋k 2.又设点O 到直线AB 的距离为d ，则d ＝11＋k 2， 所以S △AOB ＝12|AB |·d＝2·1＋k 22＋k 2＝2·1＋k 21＋k 2＋1＝21＋k 2＋11＋k 2≤22，所以S △AOB 的最大值为22.例3. 已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2) 过点B(1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1、Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)即设)1,2(A 的中点弦两端点为),(),,(222111y x P y x P ，则有关系2,42121=+=+y y x x ．又据对称性知21x x ≠，所以2121x x y y --是中点弦21P P 所在直线的斜率，由1P 、2P 在双曲线上，则有关系22,2222222121=-=-y x y x ．两式相减是：0))(())((221212121=-+--+y y y y x x x x∴0)(2)(422121=---⋅y y x x ∴42121=--xx y y所求中点弦所在直线为)2(41-=-x y ，即074=--y x ．(2)可假定直线l 存在，而求出l 的方程为)1(21-=-x y ，即012=--y x方法同(1)，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=--=-0122222y x y x ，消去y ,得03422=+-x x然而方程的判别式08324)4(2<-=⋅⋅--=∆，无实根，因此直线l 与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l 不存在．四．课堂巩固1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ．3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有 （ ）()A 312x x x =+ ()B 121323x x x x x x =+ ()C 3120x x x ++= ()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则nm的值为 （）()A 22()B 322()C 229()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 （ ）()A 1 条()B 2条 ()C 3条()D 4条。
高三数学第一轮复习 第53课时—直线与圆锥曲线的位置关系(1)学案
高三数学第一轮复习讲义（53）直线与圆锥的位置关系（1）一．复习目标：1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．二．知识要点：1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：直线l ：(,)0f x y =和曲线:(,)0C g x y =的公共点坐标是方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的解，l 和C 的公共点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l 和C 的交点问题转化为方程组的解问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式∆，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便．2．弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．三．课前预习：1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ．3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有（） ()A 312x x x =+ ()B 121323x x x x x x =+ ()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则n m 的值为 （ ）()A 22()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 （ ）()A 1 条()B 2条 ()C 3条()D 4条 四．例题分析： 例1．过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 的斜率．例2．直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ，（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．例3．已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线22:1C x y -=相交于,A B 两点，若T 是AB 的中点，求直线l 的方程．五．课后作业： 班级 学号 姓名1．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为 （ ）()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率为3的直线交椭圆221259x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（ ）()A 325y x = ()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点的坐标为 ．5．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 ．6．已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点,F Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||MQ QF = ，求直线l 的斜率．7．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay -=的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a 的取值范围．8．已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．是否存在实数k ，使,A B 两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．。
直线与圆锥曲线的位置关系(1)(教学设计)——高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
一、教材内容及其解析1.内容类比直线与圆的关系，探究直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线的弦长问题，与双曲线有关的中点弦问题，与抛物线有关的最值问题.2.内容解析直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线知识应用的重点内容，本节课是学生在学习了直线与圆的位置关系，圆锥曲线的方程和简单的几何性质的基础上，进一步研究直线与圆锥曲线的位置关系，让学生感悟数形结合及方程思想的运用.学生可以类比直线与圆的三种位置关系的探究过程，学习从代数的角度归纳直线与圆锥曲线位置关系.弦长公式的推导使用了两点间距离公式，从公式本身可以发现弦长与交点的确定坐标无关，因此可以大大简化计算.中点弦问题考查的内容较为综合，点差法是学生需重点掌握的方法.与弦长有关的问题，从不同的角度体现了根的判别式、根与系数关系、点差法等知识在判断位置关系中的作用.坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁，集中地体现了数形结合的数学思想，这种思想贯穿了整个“圆锥曲线的方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法.通过本节的学习，学生可以巩固前面所学的圆锥曲线的性质以及直线的基本知识，从而培养逻辑思维能力、运算能力、分析和解决问题的能力等.知识的上下位关系：双曲线和抛物线由于图形不是封闭的，学生容易完全借鉴直线与圆的位置关系，认为有一个交点就是相切.直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系对交点个数的影响，学生容易讨论不完全或斜率范围取错.中点弦问题中，学生在已知信息中只能发现中点坐标与斜率的一部分关系，难以建立它们之间的联系.3.问题解决策略通过改变直线斜率，直观感受它对直线与双曲线位置关系的影响；中点弦的问题中，设置层层递进的问题串，带领学生挖掘题目中的隐含信息，发现交点、中点、斜率彼此之间的关系. 4.教学难点点差法求中点弦问题，体会直线斜率和中点坐标的内在联系. 四、教学支持条件分析使用GGB 软件作图，展示直线斜率对交点个数的影响 五、课堂活动设计 【本课时教学流程图】【一】复习回顾【引言】前面我们学习了直线的方程、圆的方程，并且探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，那么判断直线与圆的位置关系的方法有什么？ 【教师引导，学生回忆】生：几何法，利用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系.生：代数法，将直线方程与圆方程联立，通过判别式化为方程组的解的问题. 生：利用几何性质，当直线过定点，定点在圆的内部，此时直线与圆一定相交. 请你回忆并补充下表： 位置关系公共点个数图形判断方法（几何）判断方法（代数）相交 2d r < 0∆>类比直线与圆的位置关系从数和形的角度探究直线与双曲线的位置关系 探究求弦长的两种方法探究中点弦问题，体会“点差法”探究抛物线的最值问题相切1d r =0∆=相离d r >0∆<师：在初中，我们判断直线与圆的位置关系是看公共点的个数，这种判定是直观地定性描述，当直线与圆无限接近时，从图形上我们无法判断，因此我们无法做到严格地定量刻画.现在我们应用了方程思想和数形结合的思想通过判别式的情况来判断直线与圆的位置关系，它们是否可以推广应用到直线与圆锥曲线的位置关系中，我们继续来研究下面的例题.直线与圆锥曲线也有相应的位置关系，是不是一样可以从数和形的角度来判断呢？来看下面的例题.【二】例题导学任务一：探究直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 判断双曲线22136x y -=与过其右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线的位置关系.问题1：如何判断二者的位置关系，说说你的想法. 师：如果此时直线的斜率是2，你有什么发现？ 生：直线与双曲线只有一个交点.师：前面我们知道了，与双曲线渐近线平行的直线和双曲线只交与一点.若此时直线的倾斜角变为30︒，斜率为33，你能从图形上说说这一变化吗？ 生：直线倾斜角变小，又经过右焦点，所以与双曲线左右两支各交于1点.追问1：当直线仍过右焦点，请你结合图像，讨论直线斜率与交点个数的关系？（GGB 演示） ① 2个交点：当b b k k aa<->或时，与右支双曲线有2交点；当b b k aa -<<时，与两支各有1交点；设计意图：复习判断直线与圆的位置关系的方法，再一次明确位置关系可以从几何和代数两个角度判断，提出直线与圆锥曲线位置关系的判定问题.当二次项系数为0时，此时bk a=±.追问2：这时直线的斜率会对位置关系产生什么影响？生：直线斜率与双曲线渐近线的斜率相等，因此直线与双曲线只有一个公共点.师：需要注意，直线与圆，直线与椭圆只有一个公共点时是相切的位置关系.当直线与双曲线渐近线平行时，有一个公共点，此时我们叫做直线与双曲线相交.追问3：你能说说判断直线与圆锥曲线的位置关系一般方法吗？需要特别注意什么？师生共同总结：判断位置关系，既可以从代数角度：联立方程组→判断Δ与0的关系→公共点的个数→直线与圆锥曲线的位置关系.特别需要注意，当二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.还可以数形结合，当直线过定点时，根据定点位置和直线斜率和双曲线渐近线斜率的大小关系确定其位置关系.课下思考题：探究直线y kx m =+与抛物线22y px =的位置关系. 当直线和圆锥曲线相交于两点时，就有了弦，那么如何来求弦长呢？ 任务二：探究弦长公式, 体会“设而不求”【例2】 如图，过双曲线22136x y -=的右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线,A B 两点，求AB .问题3：当直线与双曲线相交时，如何求两点间的弦长？ 【教师引导学生思考、交流，学生动手实践】生：直接求出交点坐标，利用两点间距离公式进行求解.方法一：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -， 因为直线AB 的倾斜角是30︒，且直线经过右焦点2F ，所以直线AB 的方程为3(3)3y x =- 由223(3)3136y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y ，得256270x x +-=. 解方程，得1293,,5x x =-=将12,x x 的值分别带入直线方程，得122323,,5y y =-=- 于是,A B 两点的坐标分别为923(3,23),(,),55---所以22222121923163||()()(3)(23).555AB x x y y =-+-=--+-+=(3,1)A-当3k=-4故所求直线方程为师：（若学生没想到，教师适当引导）③弦解法二（点差法）：设1122(,),(,)M x y N x y ，,M N 均在双曲线上，221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减，得2222212121212121,44()x x y y x x y y x x y y --+=-∴=-+， A MN 点平分，12123=6,4x x y y k ∴++∴=-，=-2， 31(3),3450.4y x x y +=--+-=即经验证，该直线MN 存在.故所求直线方程为31(3),3450.4y x x y +=--+-=即师：我们又一次发现，虽然设了交点坐标，但并没有解出它们，而是在它们与我们需要的直线斜率之间搭了一个桥梁，“设而不求”解决中点弦问题.像这样设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点带入圆锥曲线方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量，我们称这种代点作差的方法为“点差法”.存在中点弦的区域：事实上，如图，双曲线和渐近线将平面直角坐标系分成如下3个区域，若点M 在区域①内，不存在以该点为中点的弦；若点M 在区域②或③，存在以该点为中点的弦.因此对本题而言，如图，当3x =时，渐近线上32y =-，双曲线上52y =-，因此点(3,1)M -在双曲线右设计意图：本题主要考查了直线与双曲线的综合问题，解题的关键是充分运用数形结合、方程和转化的数学思想来解决较为复杂的综合问题.，在学生相互交流讨论，师生的互动交流中，感受点差法“设而不求”的巧妙，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来相互转化，体会数学的严谨性，使学生综合问题的解决能力得到训练.支内部，存在以M 为中点的弦.思考题.已知双曲线2212yx -=过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点， P 能否是线段AB 的中点？为什么？解: 假设存在过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点. 设过(1,1)P 的直线方程为1(1)y k x -=-，A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，①，② ①-②得12121212()()()()02y y y y x x x x +-+--=.由P 为AB 的中点，则12122,()2,x x y y +=+=则12122y y x x -=-， 即直线AB 的方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，代入双曲线2212y x -=，可得22430,x x -+=检验判别式16240∆=-<，方程无解.故不存在过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.拓展：（1）证明在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率20020(0)b x k y a y =-≠,22OP b k k a⨯=-（P 不是坐标原点）.（2）证明在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率20020(0)b x k y a y =≠.设计意图：点差法来解决中点弦问题时计算量较少，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，因此需要用判别式加以检验.⊥是否成立，并说明理由OA OB已知抛物线22=y x6。
人教版高中数学选修2-1第二章直线和圆锥曲线位置关系导学案
直线和圆锥曲线的地点关系【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解观点，达成导学纲要；2．小组合作，着手实践。
【学习目标】1．理解直线与圆锥曲线的地点关系；2．掌握直线与圆锥曲线关系中的几何性质和办理方法；【要点】直线与圆锥曲线的地点关系【难点】掌握直线与圆锥曲线关系中的几何性质和办理方法一、知识梳理1．直线与三种圆锥曲线的地点关系状况：2．解答直线与圆锥曲线订交问题的一般步骤：设线、设点，联立、消元，韦达、代入、化简。
第一步：议论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b（或斜率不为零时，设x=my+a ）；第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x 1,y1)B(x 2,y2);第三步：联立方程组yf (x kx,y) b，消去y 得对于x 的一元二次方程；第四步：由鉴别式和韦达定理列出直线与曲线订交知足的条件二次系数不为零0 ，x1x1xx22第五步：把所要解决的问题转变为x1+x2 、x1x2 ，而后辈入、化简。
3．弦中点问题的特别解法----- 点差法：即若已知弦AB 的中点为M(x o,y o)，先设两个交点为A(x 1,y1)，B(x2,y2);分别代入圆锥曲线的方程，得 f (x ,y ) 0,f (x ,y) 01 ，两式相减、分解因式，1 2 2再将x1 x 2 2x o ,y1 y2 2y o 代入此中，即可求出直线的斜率。
2 2 24.弦长公式: |AB | 1 k | x x | (1 k )[( x x ) 4x1x2 ]1 2 1 2( k 为弦AB 所在直线的斜率)5．向量知识在解决圆锥曲线问题中应用二、典型例题1．教材80 页5 题变式：（1）如有两个公共点呢？（2）若直线与双曲线的左支有两个公共点呢？（3）如有一个公共点呢？2．教材80 页8 题3.教材80 页9 题三、拓展研究2 2x y1.已知双曲线 C : 1(a 0,b 0) 的离心率为，右准线方程32 2a b为 3 。
直线与圆锥曲线的位置关系一教案 新课标 人教版
直线与圆锥曲线的位置关系一教案一、要点·疑点·考点1.直线和圆锥曲线的位置关系及判断、运用设直线l的方程为：Ax+By+C=0圆锥曲线方程为：f(x，y)=0由(,)0f x yAx By C=⎧⎨++=⎩消元（x或y）若消去y后得ax2+bx+c=0，若f(x，y)=0表示椭圆，则a≠0，为此有(1)若a=0，当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合.当圆锥曲线是抛物线时直线l与抛物线对称轴平行或重合.(2)若a≠0，设Δ=b2-4ac①Δ＞0时，直线与圆锥曲线相交于不同两点②Δ=0时，直线与圆锥曲线相切于一点③Δ＜0时，直线与圆锥曲线没有公共点2.能运用数形结合的方法，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系二、课前热身1.直线y=kx-k+1与椭圆22194x y+=的位置关系为 ( A )(A) 相交 (B) 相切 (C) 相离 (D) 不确定2.已知双曲线方程2214yx-=，过P(1，1)点的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为 ( A )(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线条数是（ D ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)34.双曲线x2－y2=1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是：（ B ）A、(－∞，0) B、(－∞，0)∪(1，+∞)C 、 (1，+∞)D 、(－∞，－1)∪(1，+∞)5.若直线y =kx +1与曲线x则k 的取值范围是( B ) A ．―2<k<2 B ．―2<k<―1 C ．1<k<2 D ．k<―2或k>2三、能力·思维·方法1. 直线y-ax-1=0与双曲线3x 2-y 2=1交于A 、B 两点.(1)当a 为何值时，A 、B 在双曲线的同一支上?(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点?【解】（1）设1122(,),(,)A x y B x y ,联立方程组2222221221(3)2203148(3)0203(y ax y a x ax x y a a x x a a A B =+⎧---=⎨-=⎩⎧∆-->⎪⎨⋅=>⎪-⎩⇒∈⋃消得＝由时，、在同一支上（2）依题意，1212,0OA OB x x y y ⊥∴⋅+⋅= 212121212(1)(1)()12y y ax ax a x x a x x =++=⋅+++=-Q222023a a ∴-=⇒=±- 2.已知双曲线1222=-y x 与点P （1，2），过点P 作直线L 与双曲线交于A 、B 两点，P 为AB 的中点。
直线与圆锥曲线的位置关系(1) 教学设计-人教B版高中数学选择性必修第一册
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（1）本节课选自《2019人教B 版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习直线与圆锥曲线的位置关系本节课是学生在学习了直线与圆的位置关系的基础上，研究直线与圆锥曲线的位置关系，进一步让学生感悟数形结合及方程思想的运用。
本节内容也是高考的重点与热点内容。
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学.重点：直线与圆锥曲线的三种位置关系难点：会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题多媒体有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案:C3.已知点P (k ,1),椭圆x 29+y 24=1,点P 在椭圆外,则实数k 的取值范围为 .解析:依题意得,k 29+14<>1,解得k<-3√32或k>3√32,故实数k 取值范围为(-∞,-3√32)∪(3√32,+∞).答案:(-∞,-3√32)∪(3√32,+∞)4.已知直线l :x-y+m=0与双曲线x 2-y 22=1交于不同的两点A ,B ,若线段AB 的中点在圆x 2+y 2=5上,则m 的值是 .解析:设线段AB 的中点为M (x 0,y 0),由{x -y +m =0,x 2-y 22=1,得x 2-2mx-m 2-2=0,∴x 0=m ,∴y 0=x 0+m=2m ,∵点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=5上,∴m 2+(2m )2=5,∴m=±1,检验可知判别式Δ>0.故m=±1. 答案:±15.抛物线x 2=-y 上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值为 .解析:设直线4x+3y+c=0与抛物线相切,由{4x +3y +c =0,x 2=-y ,得3x 2-4x-c=0,由Δ=16+12c=0,得c=-43,所以两平行线的距离为|-8+43|√16+9=43.答案:436.如图,椭圆x 216+y 27=1的左、右焦点为F 1,F 2,一条直线l 经过F 1且与椭圆相交于A ,B 两点.(1)求△ABF 2的周长;(2)若l 的倾斜角是45°,求△ABF 2的面积.五、课时练从学生的认知基础看，学生已学过椭圆及其几何性质，对椭圆性质比较熟悉，对直线与圆位置关系也比较熟悉，并且对图像也有所了解，但还不能做到熟练综合运用椭圆的方程性质解决相关问题,特别对含参数的性质研究还是力不从心的。
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高中数学直线与圆锥曲线的位置关系（一）学案
【学习目标】
掌握直线与椭圆、抛物线的位置关系.2.了解圆锥曲线的简单应用.3.理解数形结合的思想.
【重点难点】掌握直线与椭圆、抛物线的位置关系、圆锥曲线的简单应用．
【知识梳理】
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx ＋c ＝0(或ay2＋by ＋c ＝0)．
(1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有
①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线________；
②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线________；
③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线________．
(2)当a ＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线E 相交，且只有一个交点．
①若E 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是________； ②若E 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是________． 中华资源库2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝______________=_ ________________.
【自我检测】
1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点( )
(2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点
( )
(3)若抛物线上存在关于直线l 对称的两点，则l 与抛物线有两个交点 ( )
(4)过抛物线y2＝2px (p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p( )
2．(人教B 版教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x29＋y24
＝1的位置关系为( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
3．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．
4．过椭圆x2a2＋y2b2
＝1(a ＞b ＞0)的左顶点且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．
5．已知抛物线C ：y2＝4x ，过点P(－1,0)的直线l 与抛物线C 相切于点Q ，则点Q 到准线的距离为________．
【合作探究】考向1 直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C1：x2a2＋y2b2
＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l 同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x 相切，求直线l 的方程．
考向2 弦长、弦中点问题
【例2】已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为22
.直线y ＝k(x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当△AMN 的面积为103
时，求直线MN 的方程．
变式训练2 椭圆ax2＋by2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，O 为坐标原点，OC 的斜率为
22
，则椭圆的方程________________．
考向3 圆锥曲线中最值(取值范围)问题
【达标检测】
1．双曲线C ：x2a2－y2b2
＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( )
A ．k ＞－b a
B ．k ＜b a
C ．k ＞b a 或k ＜－b a
D ．－b a ＜k ＜b a
2．设双曲线x2a2－y2b2
＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )
A.54 B ．5 C.52 D. 5 3．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2
＝1(a>b>0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，|AF|＝6，则椭圆C 的离心率e ＝________.
4．已知椭圆E ：x2a2＋y2b2
＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．
图8－9－3
5．已知抛物线C 的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN|的最小值．。