13能被25整除的数
能被特殊数整除的特征
能被特殊数整除的特征1、能被2整除的数的特征。
如果一个数能被2整除，那么这个数末尾上的数为偶数，“0”、“2”、“4”、“6”、“8”。
2、能被3整除的数的特征。
如果一个数能被3整除，那么这个数所有数位上数字的和是3的倍数。
例如：225能被3整除，因为2+2+5=9,9是3的倍数，所以225能被3整除。
3、能被4整除的数的特征。
如果一个数的末尾两位能被4整除，这个数就能被4整除。
例如：15692512能不能被4整除呢？因为15692512的末尾两位12，能被4整除，所以15692512能被4整除。
4、能被5整除的数的特征。
若一个数的末尾是0或5则这个数能被5整除。
5、能被7整除的数的特征。
方法一：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否是7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否是7 的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，以此类推。
方法二：如果一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差，是7的倍数，那么这个数就能被7整除。
例如：280678末三位数是678，末三位以前数字所组成的数是280,679-280=399,399能被7整除，因此280679也能被7整除。
方法三：首位缩小法，减少7的倍数。
例如，判断452669能不能被7整除，452669-420000=32669，只要32669能被7整除即可。
可对32669继续，32669-28000=4669,4669-4200=469,469-420=49,49当然被7整除所以452669能被7整除。
整除的性质
数的整除判定性质表数的整除性质1.如果数a能被b整除，数b能被c整除，则a能被c整除。
（72能被9整除，9能被3整除，则72能被3整除。
）2.如果数a能被c整除，数b能被c整除，则a+b、a-b均能被c整除。
（56能被8整除，16能被8整除，则56+16=72能被8整除。
）3.如果数a能被c整除，m为任意整数，则a*m能被c整除。
（39能被13整除，所以39*15能被13整除。
）4.如果数a能被b整除，同时能被c整除，且b和c互质，则数a能被b*c整除。
（162能被2整除，也能被9整除（1+6+2=9），且2和9互为质数，所以162能被2*9=18整除。
）最大公约数与最小公倍数最大公约数：如果c是a的约数，c也是b的约数，那么我们称c是a、b的公约数。
一般来说，公约数不止一个，我们把其中最大的一个称作最大公约数。
互质：如果两个数的最大公约数为1，则称这两个数互质。
最小公倍数：如果c是a的倍数，c也是b的倍数，那么我们称c为a和b的公倍数。
两个数的公倍数有很多，我们把最小的那个称为这两个数的最小公倍数。
练习题1. 判断123456789这九位数能否被11整除？判断13574是否是11的倍数？判断1059282是否是7的倍数？判断3546725能否被13整除？2.已知451993x y 。
求所有满足条件的六位数1993x y 。
3.李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元。
已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？4.已知整数12345a a a a a 能被11整除。
求所有满足这个条件的整数。
5.把三位数3ab 接连重复地写下去，共写1993个3ab ，所得的数19933333abab abab 个恰是91的倍数。
试求ab =？6.在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除,且使这个数值尽可能的小。
7.求能被26整除的六位数1991x y 。
x y，求满足条件的五位数。
13的整除判定法则
7、11、13的整除判定法则华图教育邹维丽在公务员考试数学运算这部分中，不少题目通过适当运用数的整除性质就可快速选出答案，这就要求考生对数的整除判断法则要熟练掌握。
下面我们先给出一些特殊数的整除判定基本法则：一、能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或 5）整除的数，末位数字能被2（或 5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；一个数被2（或5）除得的余数，就是其末位数字被2（或5）除得的余数一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数二、能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。
一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。
三、能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。
能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。
四、能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。
能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。
五、能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。
从上述表述中，我们发现7、11、13有一个相同的整除判断法则，就是判断其末三位与剩下的数之差，那么，为什么7、11、13有相同的整除判断法则呢？事实上，这一规律源自经典分解1001=7×11×13。
下面我们利用1001=7×11×13来证明能被7整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7整除。
设abcd为超过三位的数，其中b, c, d分别为百位数、十位数、个位数，则1000=+，abcd a bcd为了凑出1001，我们将1000a写成1001a a-，于是我们有=+=-+=+-abcd a bcd a a bcd a bcd a100010011001()因为1001能被7整除，所以，若bcd a-能被7 整除，则上式右边能被7整除，因此左边也能被7整除，即abcd能被7整除；若bcd a-不能被7 整除，则上式右边不能被7整除，因此左边也不能被7整除，即abcd不能被7整除。
小学数论解析
第一讲：数的整除【知识准备】根据整除的性质，能被2、3、5、4、8、9、11、25、125以及能够被7、11、13同时整除的数的特征综合思考。
知识点：（1）个位是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；个位数字是0或者5的数都是5的倍数。
（2）个位数字的和是3或者9的倍数的数字，都能被3或9整除。
（3）一个数末两位数字能被4或25的倍数，这样的数能够被4或25整除。
（4）一个数字末三位数是8或者125的倍数，这样的数字能够被8或125整除。
（5）一个数字的偶数位上数字之和与奇数位上数字之和的差（大减小）能被11整除，这样的数字就能被11整除。
（6）对于一个位数较多的数字，将这个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为一个数字，如果这两个数之差是7、11、13的倍数，这个数就能被7、11、13整除。
例1：能被2、3、5同时整除的最小的三位数是多少？最大的三位数呢？分析：要想保证能被2、5同时整除，这个数字个位必须是0，要想最小百位只能选择1，还要能被3整除，十位数字最小填2，所以最小的三位数是120.最大的三位数百位9、个位0，十位最大选择9，所以是990.练习：（1）、最高位数字是1，并且能被2、3、5同时整除的最小四位数是多少？（2）□1375在方框中填入一个数字，使得这个四位数能被5和11同时整除？（3）在算式□+91=○中，□盖住的是一个能被9整除的两位数，○盖住的是7的倍数，那么□盖住的数字是多少？例2：已知六位数□2008□能被55整除，这个六位数是多少？分析：能被55整除就是说这个数字必须是5的倍数，又是11的倍数。
按照能被5整除的数的特征，个位可以是0或者5.如果个位是是0，那么奇数位上的数字和2，偶数位上的数字和只有是13，所以最高位上的数字是5，所以这个六位数可以是520080.如果个位选择0，那么奇数位上数字之和是7，偶数为上的数字和只有18，实现不了，所以答案是唯一的。
探索练习：1.已知六位数A3826B6能被72整除，这个六位数是多少？2.把789这个三位数连续写多少次，所组成的数字能被9整除？3.一张纸上有一个没有重复数字的五位数3□6□5，已知这个数字能被75整除，那么满足条件的五位数可能是多少？例题3：一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于2000，那么这两个质数的和是多少？分析：设两个质数分别是x和y则:3x+2y=2000,因为和2000是偶数，2y也是偶数，所以3 x 也是偶数，那么x只能是质数2，代入上面的式子得出y等于997，所以这两个质数的和是2+997=999.练习：1）a、b、c、d、e、f六个连续质数从大到小排列，它们的和是一个奇数，那么c是多少？2）一个质数的7倍加上另一个质数的2倍和是100，这两个质数的和是多少？3)一个数字的20倍减去1后能被153整除，这样的自然数中最小是多少？数的整除练习：1）能同时被2、3、5整除的最小的自然数是（）,最大的两位数是( )。
能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、17、19、25、125整除的数的特征
【数学】能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、17、19、25、125整除的数的特征能被2整除的数的特征:个位上是偶数，能被3或9整除的数的特征:所有位数的和是3或9的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍感）能被4或25整除的数的特征：如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．能被5整除的数的特征：个位上的数为0或5，能被6整除的数的特征：既能被2整除也能被3整除能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
这种方法叫“割减法”．此法还可简化为：从一个数减去7的10倍、20倍、30倍、……到余下一个100以内的数为止，如果余数能被7整除，那么，这个数就能被7整除．能被8或125整除的数的特征：如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个数就一定能被8或125整除．例如： 9864＝9×1000+86472375＝72×1000+375由于8与125相乘的积是1000，1000能被8或125整除，那么，1000的倍数也必然能被8或125整除．因此，如果一个数末三位数能被8或125整除，这个数就一定能被8或125整除．9864的末三位数是864，864能被8整除，9864就一定能被8整除．72375的末三位数是375，375能被125整除，72375就一定能被125整除。
数的整除特征
数的整除特征一、整除特征------尾数分析法1、尾数分析法判断整除性（1）一个数的末一位能被2或者说整除，这个数就能被2或5整除。
（2）一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。
（3）一个数的末三位数能被8或者125整除，这个数就能被8或是25整除。
2、被25或125整除的数的特点（1）被25整除的数必须是以25、75、00结尾的数（2）被125整除的数必须是以125、250、375、500、625、750、875、000结尾的数。
二、整除特征-----数位和分析法1、数位和分析法判断整除性（1）一个数各个数位上的数字和能被3整除，这个数能被3整除。
（2）一个数各个数位上的数字和能被9整除，这个数就能被9整除.2、数位和分析法原理数位和分析法同样是根据位值原理推导出来的，举例：1234=1×1000+2×100+3×10+4×1=1×（999+1）+2×（99+1）+3（9+1）+4×1=1×999+2×99+3×9+（1+2+3+4）其中999、99、9都能被3或9整除，所以只需要看1234的各位数字和1+2+3+4能否被3或9整除即可，用这种方法同样能求出1234除以3或9的余数。
3、弃9法“弃九法”也叫做弃九验算法，利用这种方法可以验算加、减、乘计算的结果是否错误，把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去9得0），这个数就叫做原来数的弃九数。
三、整除特征---数位差分析法1、 11的整除特征：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、 7、11、13的整除特征如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11、或者3整除，那么这个数能被7、11、或者3整除。
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整数的整除特征
整数的整除特征1. 尾系的整除特征12、5：末一位能被2、5整除：个位是0、2、4、6、8的数能被2整除；个位是0和5的数能被5整除;24、25：末两位能被4、25整除：如1764、123456能被4整除；17850、能被25整除;38、125：末三位能被8、125整除：如1760、123456能被8整除；27750、能被125整除;推而广之,末n位能被2n、5n整除;2. 和系的整除特征：从末位右→首位左13、9：一位一截,各位的数字和能被3或9整除：如8649→8＋6＋4＋9＝27,能被3或9整除；还可以采用更方便的弃39法,如1,3、6、9、1＋2、4＋5、8＋7都是3的倍数可以弃去,和是0,所以1可以被3整除;采用弃9法,弃去1＋8、2＋7、3＋6、4＋5、9,和是0,所以1可以被9整除;211、33、99：两位一截,数段和能被11、33、99整除：如260535→26＋5＋35＝66,66÷11＝6,66÷33＝2,66÷99＝0 ┅ 99,所以260535能被11和33整除,但不能被99整除；3. 差系的整除特征：从末位右→首位左111：奇偶位差法：一位一截,奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除;如110220→奇数段0＋2＋1＝3,偶数段2＋0＋1＝3,3－3＝0,0能被11整除,所以110220能被11整除;27、11、13：三位一截,这个的位上的与位上的数字之和的差能被7、11、13整除：如1121876→1┆121┆876,奇数段的和是876＋1＝877,偶数段是121,它们的差是877－121＝756,用这个差除以7、11、13：756÷7=108,756÷11=68....8,756÷13=58...2,所以1121876能被7整除,1121876除以11余8,1121876除以13余2;是11的;注意：如果出现不够减的情况,则奇数位加上7、11、13或它们的倍数后再减;如654333→654┆333,差654－333＝321不够减,333可以加上11的30倍再减,333＋330－654＝9,即余数是9;如果用奇偶位差法,奇数位的和是3＋3＋5＝11,偶数位的和是6＋4＋3＝13,11减13不够减,这时奇数位的和加上11再减偶数位的和：11＋11－13＝9,即余数是9;。
(1)数的整除
(1)数的整除数的整除（一）【知识精读】如果整数a除以整数b(b≠0)税金的商a/b就是整数,那么叫作a被b相乘.0能够被所有非零的整数相乘.一些数的整除特征除数2或54或253或9117,11,13能被整除的数的特征末位数能被2或5整除末两位数能被4或25整除各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)8或125末三位数能被8或125整除能被7整除的数的特征：①抹去个位数②乘以原个位数的2倍③其差能被7相乘。
如1001100－2＝98（能被7整除）又例如7007700－14＝686，68－12＝56（能够被7相乘）能够被11相乘的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001100－1＝99（能11整除）又例如102851028－5＝1023102－3＝99（能够11相乘）【分类解析】基准1未知两个三位数328和2x9的和仍就是三位数5y7且能够被9相乘。
求x,y求解：x,y都就是0至9的整数，∵5y7能够被9相乘，∴y=6.∵328＋2x9＝567，∴x=3例2己知五位数1234x能被12整除，求x求解：∵五位数能够被12相乘，必然同时能够被3和4相乘，当1＋2＋3＋4＋x能够被3相乘时，x=2，5，8当末两位4x能够被4相乘时，x＝0，4，8∴x＝8基准3头序被11相乘且各位字都不相同的最轻五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，无法被11相乘，只调整末位数仍没用调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
【空战演示】1分解质因数：（写成质因数为底的幂的b乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥102962若四位数987a能够被3相乘，那么a=_______________3若五位数12x34能够被11相乘，那么x＝__________-4当m=_________时，35m5能够被25相乘5当n=__________时，9610n能够被7相乘6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能够被4相乘的最小四位数就是____________，能够被8相乘的最轻四位数就是_________88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1至100这100个自然数中，能够同时被2和3相乘的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
最新能被1—31整除的数的特征资料
能被1—31整除的数的特征能被质数整除的数的特征（1—31）7－2 11－1 13＋4 17－5 19＋2 23＋7 29＋3 31－3能被2整除：偶数。
能被3整除：各个数位的和，是3的倍数。
能被5整除：个位为0或5。
能被7整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数减去个位数的2倍，差是7的倍数。
例如，6139是否7的倍数？613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数。
方法2（能被7、11、13整除相同）：末三位数与非末三位数的差，是7的倍数。
例如，6139是否7的倍数？139－6＝133，所以6139是7的倍数。
能被11整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数减去个位数，差是11的倍数。
方法2（能被7、11、13整除相同）：末三位数与非末三位数的差，是11的倍数。
方法3：奇数位的和减去偶数位的和，差是11的倍数。
能被13整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的4倍，和是13的倍数。
方法2（能被7、11、13整除相同）：末三位数与非末三位数的差，是13的倍数。
能被17整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数减去个位数的5倍，差是17的倍数。
方法2（能被17、19整除类似）：末三位数与3倍的非末三位数的差，是17的倍数。
能被19整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的2倍，和是19的倍数。
方法2（能被17、19整除类似）：末三位数与7倍的非末三位数的差，是19的倍数。
能被23整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的7倍，和是23的倍数。
方法2（能被23、29整除相同）：末四位数与5倍的非末四位数的差，是23的倍数。
能被29整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的3倍，和是29的倍数。
方法2（能被23、29整除相同）：末四位数与5倍的非末四位数的差，是29的倍数。
能被4、6、7、8、11、13整除的数的特征
能被4、6、7、8、11、13整除的数的特征一、被4或25整除的数的特征如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．二、被6整除的数的特征三、能被6整除的数的特征末尾是0、2、4、6、8且各位上数字的和能被3整除能被6整除的数的特征既要符合能被2整除的数的特征，又要符合能被3整除的数的特征三、被7整除的数的特征方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。
此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。
如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．方法3、首位缩小法，在首位或前几位，减于7的倍数。
能被1—31整除的数的特征
能被1—31整除的数的特征能被质数整除的数的特征（1—31）7－2 11－1 13＋4 17－5 19＋2 23＋7 29＋3 31－3能被2整除：偶数。
能被3整除：各个数位的和，是3的倍数。
能被5整除：个位为0或5。
能被7整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数减去个位数的2倍，差是7的倍数。
例如，6139是否7的倍数？613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数。
方法2（能被7、11、13整除相同）：末三位数与非末三位数的差，是7的倍数。
例如，6139是否7的倍数？139－6＝133，所以6139是7的倍数。
能被11整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数减去个位数，差是11的倍数。
方法2（能被7、11、13整除相同）：末三位数与非末三位数的差，是11的倍数。
方法3：奇数位的和减去偶数位的和，差是11的倍数。
能被13整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的4倍，和是13的倍数。
方法2（能被7、11、13整除相同）：末三位数与非末三位数的差，是13的倍数。
能被17整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数减去个位数的5倍，差是17的倍数。
方法2（能被17、19整除类似）：末三位数与3倍的非末三位数的差，是17的倍数。
能被19整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的2倍，和是19的倍数。
方法2（能被17、19整除类似）：末三位数与7倍的非末三位数的差，是19的倍数。
能被23整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的7倍，和是23的倍数。
方法2（能被23、29整除相同）：末四位数与5倍的非末四位数的差，是23的倍数。
能被29整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的3倍，和是29的倍数。
方法2（能被23、29整除相同）：末四位数与5倍的非末四位数的差，是29的倍数。
第18讲能被25整除的数的特征(教师版)
第18讲能被25整除的数的特征(教师版)同学们都知道，自然数又称为非负整数。
同学们还知道，两个整数相加，和仍是整数；两个整数相乘，乘积也是整数；两个整数相减，当被减数不小于减数时，差还是整数。
两个整数相除时，情况就不那么简单了。
如果被除数除以除数，商是整数，我们就说这个被除数能被这个除数整除；否则，就是不能整除。
例如，84能被2，3，4整除，因为84÷2=42，84÷3=28，84÷4=21，42，28，21都是整数。
而84不能被5整除，因为84÷5=16……4，有余数4。
也不能被13整除，因为84÷13=6……6，有余数6。
因为0除以任何正整数，商都是0，所以0能被任何正整数整除。
这一讲的内容是能被2和5整除的数的特征，也就是讨论什么样的数能被2或5整除。
1.能被2整除的数的特征因为任何整数乘以2，所得乘数的个位数只有0，2，4，6，8五种情况，所以，能被2整除的数的个位数一定是0，2，4，6或8。
也就是说，凡是个位数是0，2，4，6，8的整数一定能被2整除，凡是个位数是1，3，5，7，9的整数一定不能被2整除。
例如，38，172，960等都能被2整除，67，881，235等都不能被2整除。
能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。
0，2，4，6，8，10，12，14，…就是全体偶数。
1，3，5，7，9，11，13，15，…就是全体奇数。
偶数和奇数有如下运算性质：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，偶数±奇数=奇数，奇数±偶数=奇数，偶数某偶数=偶数，偶数某奇数=偶数，奇数某奇数=奇数。
例1：在1～199中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？分析与解：由于1，2，3，4，…，197，198，199是奇、偶数交替排列的，从小到大两两配对：(1，2)，(3，4)，…，(197，198)，还剩一个199。
整除
一些数整除的特征：1）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（2）若一个整数的数字和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除。
(3) 若一个整数的末尾两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。
（4）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
5）一个数末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小），能被7,11,13整除，这个数就能被7,11,13整除。
（6）若一个整数的未尾三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。
（7）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
其实能被9整除的数除了上述的特征外，还有一个更推广的形式，那就是：一个数随意断位，所形成的各个数相加能被9整除，则这个数能被9整除。
例1：1234567891011121314…………200820092010这个数除以9的余数是多少？：此题如果利用特征2（若一个整数的数字和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除。
）,那么我们需要先算出这串数的数字之和才能判断。
难度应该说是不小的。
现在我们用推广形式试一下。
随意断位，我们可以这样断1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …………2008 2009 2010现在就可以用从1到2010的和来判断除以9余数为多少：1+2010）×2010÷2＝2011×1005≡4×6≡6（mod 9）因此此题除以9的余数是6.例2：自然数1，2，3…依次写下去组成一个数12345678910111213…。
如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，问这个自然数是多少？解：72＝8×9,且（8,9）＝1因此可以用8和9共同的特征来判断先考虑9的特征，我们还是用推广的方式来断位相加。
假设写到的自然数是N。
断位如下：1 2 3 ……9 10 11 12 ……N相加和为：（1+N）×N÷2则和能被9整除。
能被某数整除的数的特征
能被某数整除的数的特征1.能被2（4、8）或5（25、125）整除的数的特征:未位上的数字所表示的数能被2或5整除，这个数的末位数能被2或5整除。
（未位数是0、2、4、6、8的数能被2整除；未位数是0、5的数能被5整除）未两位数字所表示的数能被4或25整除，这个数能被4或25整除；未两位数能被25整除是00、25、50、75。
未三位数字所表示的数能被8或125整除，这个数能被8或125整除；2.能被3或9整除的数的特征：这个数的各个数位上的数字之和能被3或9整除，这个数能被3或9整除。
3.能被7、11、13整除的数的特征：这个数的末三位上的数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数能被7、11、13整除。
例如：701239末三位：239 末三位之前的数为701701-239=462 462÷7=66 701239能被7整除462÷11=42 701239能被11整除462÷13=35……7 701239不能被13整除例如：642213末三位：213 末三位之前的数为642642-213=429 429÷7=61……2 701239不能被7整除429÷11=39 701239能被11整除429÷13=33 701239能被13整除例如：642213末三位：213 末三位之前的数为642642-213=429 429÷7=61……2 701239不能被7整除429÷11=39 701239能被11整除429÷13=33 701239能被13整除例如：694378906末三位：906 末三位之前的数为694378694378-906=693472太大了，不能直接看出被7、11、13整除，继续运用此方法检查：末三位：472 末三位之前的数为693693-472=221 221÷7=31……4 694378906不能被13整除221÷11=20……1 694378906不能被11整除221÷13=33 694378906能被13整除个位数字以前的数字按顺序组成的数字与个位数字的2倍之差（大减小）能被7整除，则这个数能被7整除。
整除数的性质和规律
整除数的性质和规律一、整除性质1：如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；2：如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；3：如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c整除；4：如果数a能同时被数b、c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；5：如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。
二、整除规律⑴、能被1整除的数：任何数都能被1整除。
⑵、能被2整除的数：末位是0,2,4,6或8的数,都能被2整除。
⑶、能被5整除的数一个整数的末位是0或5,则这个整数能被5整除个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除，而且还能被10整除。
⑷、能被3或9整除的数：一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。
例如：判断3576，2549能不能被3整除3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数）∴3576能被3整除。
2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数）∴2549不能被3整除。
检验：2549÷3=849 (2)又如：判4212、5282能不能被9整除4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍数）∴4212能被9整除。
5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数）∴5282不能被9整除。
用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。
如：判断7485能不能被9整除7+4+8+5=24→2+4=6各位数字继续相加从结果看出：把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485这个数不能被9整除。
最后得出的6，就是7485除以9的余数。
即：7485÷9=831 (6)能被9整除的数，一定能被3整除。
能被3整除的数，却不一定能被9整除。
⑸、能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。
①.首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。
能被4、7、8、11、13整除的数的特征及习题
能被4、7、8、11、13整除的数的特征及其它一、被4或25整除的数的特征如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．二、被7整除的数的特征方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。
此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。
如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．方法3、首位缩小法，在首位或前几位，减于7的倍数。
数的整除的特征归类
数的整除的特征归类--蒋睿宇学习资料在小学阶段，数的整除的特征无非就是以下几种形式：第一类：看被整除的这个数的末一位。
（也就是这个数的个位）。
这主要是，判断能否被2和5 整除的数的特征。
其特征是：（1）能被2整除的数，个位上的数字一定是0、2、4、6、8。
例如：12、24、36、28、50（2）能被5整除的数，个位上的数字一定是0和5。
例如：20、45第二类：看被整除的这个数的末两位。
（也就是这个数的个位和十位）这是判断能否被4和25整除的数的特征。
其特征是：末两位数能被4和25整除的数，一定能被4和25整除。
例如：1320÷4=440 （20÷4=5） 750÷25=30（50÷25=2）第三类：看被整除的这个数的末三位。
（也就是这个数的个位和十位以及百位）这是判断能否被8和125整除的数的特征。
例如：789160÷8=98645（160÷8=20）456375÷125=3651（375÷125=3）第四类：看被整除的数的末三位数字，组成的数与末三位数前面的数字组成的数之间的差，（大数减小数）能否被7、11、13整除，它们之间的差能被7、11、13整除，则这个数就能被7、11、13整除。
例如：789803（803-789=14,14÷7=2）584628（628-584=44,44÷11=4）26299（299-26=273,273÷13=21）第五类：看被整除的这个数的各个数位上的数字相加的和能否被3和9整除，如果它们相加的和能被3和9整除，则这个数就能被3和9整除。
这是判断能否被3和9整除的数的特征。
例如：12345678（1+2+3+4+5+6+7+8=36,36÷3=12,36÷9=4）。
3、4、5、6、7、8、9、11、12、13的整除特征
整除特征能被2整除的数个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除能被6整除的数各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数一个整数的末3位若能被8整除，则该数一定能被8整除。
能被9整除的数各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除的数奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！能被12整除的数若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除能被13整除的数若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
能被17整除的数若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
数论综合(一)
谈到数论，顾名思义是和数有关的理论，具体地说是和整数有关的理论，小学奥数中的数论问题包括：整数的整除性，同余，奇数与偶数，质数与合数，约数与倍数，整数的分解与分拆等。
作为一个理论性比较强的专题，数论在各种考试中都会占很大的比重，而且数论还和数字谜，不定方程等内容有着密切的联系，其重要性是不言而喻的。
对整数a和b（b不为0），如果存在一个整数q，使a＝b×q，则a能被b整除，也可以说b整除a，否则就说a不能被b整除。
例如：72＝8×9，所以72能被8（或9）整除。
整除有许多性质，下面列出最常用的几个：1. 如果b整除a，则b整除a的倍数；2. 如果b整除a与c，则b整除（a c）；3. 如果b整除a，a又整除c，则b一定能整除c；4. 如果a整除c，b也整除c，并且a与b互质，则ab整除c。
在整除问题中，能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、25等数整除的数有如下特征：1. 能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数必能被2整除；2. 能被5整除的数的特征：个位是0或5；3. 能被3（或9）整除的数的特征：各数位上的数字之和能被3（或9）整除；4. 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除；5. 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除；6. 能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（以大减小）是11的倍数；7. 能被7（11或13）整除的数的特征：这个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除例1. 一个五位数382□□，如果它是3和5的倍数，则□□里最大可以填几？【分析与解】这个五位数382□□能被5整除，则它的个位数字是0或5；又因五位数382□□能被3整除，那么3＋8＋2＋□＋□的和能被3整除，即13＋□＋□的和能被3整除。
（1）当这个五位数为382□0时，各位数字之和13＋□能被3整除，□里可填2、5、8；（2）当这个五位数为382□5时，各位数字之和18＋□能被3整除，□里可填0、3、6、9。
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1. 整数、自然数
正整数
整数
0 负整数
自然数
复习
2. 因数、倍数
整数a能被整数b整除 a就叫做b的倍数 b就叫做a的因数（或约数）
一个整数的最小因数是 1 ，最大因数是它本身 一个整数的最小倍数是它本身，最大倍数是 无
引入
2.生活中我们接触到的许多事物都 是成对出现的，如一双鞋子、一双 筷子….
探究新知
（二）奇数和偶数的意义
2. 偶数：能被2整除的整数叫做偶数，
奇数：不能被2整除的整数叫做奇数.
3. 正整数按照能否被2整除分类：
正整数
奇数 偶数
4.问题：
（1）奇数的个位上的数有什么特点呢？
奇数的个位上的数是奇数.
（2）在连续的正整数中（除了1外），与奇数 相邻的两个数是奇数还是偶数？与偶数相邻的 两个数呢？
n
当n为偶数时，能被2整除的数有 2 个；
当n为奇数时，能被2整除的数有
n
2
1
个.
运用新知
4. 523至少加上 1 才能被2整除， 至少加上 2 才能被5整除.
运用新知
5. 用5，6，8三个数字组成一个三位数，
6. (1)使它是2的倍数，那么这个三位数是多少？ 要使这个三位数是2的倍数，它的个位上 可以是6或8， 另两个数分别可以是十位上或百位上 的数，所以有四种情况.
如果小明的家中有3人用餐，
那么要拿出 6 根筷子； 如果小明家来了客人，那么拿出的筷子的 根数一定是 2 的倍数，
探究新知
（一）
1
22436 Nhomakorabea4
8
5
2×
6
10 12
7
14
8
16
9
18
…
…
k
2k
观察2的倍数你发现了什么？
结论 个位上是0，2，4，6，8的整数都能被2整除.
※2k（k为正整数）表示能被2整除的数.
思考：能同时被2和5整除的数有什么特征呢？
个位上是0的整数都能同时被2和5整除.
运用新知
3. 在1到20的自然数中，能被2整除的数
有 10 个，能被5整除的数有 4 个.
想一想：在1到2010的自然数中，能被2整除 的数有多少个？能被5整除的数又有多少个？
小结： 1005个
402个
在1到n的自然数中，
586、856、568、658
运用新知
1. 下列数中，哪些数是奇数？哪些数是偶数？ 19，32，87，10，11，153，66，445
奇数：19，87，11，153，445. 偶数：32，10，66.
运用新知
2. 在下列数中， 18，27，30，44，60，102，417，375， （1）找出能被2整除的数 18，30，44，60，102 （2）找出能被5整除的数 30，60，375 （3）哪些数既能被2整除又能被5整除？30，60
与奇数相邻的两个数是偶数， 与偶数相邻的两个数是奇数. ※ 与2k相邻的两个数是 2k-1 和 2k+1
探究新知
（三）
1
5
2
10
3
15
4
20
5×
5 6
25 30
7
35
8
40
9
45
…
…
k
5k
观察5的倍数你发现了什么？
结论 个位上是0、5的整数都能被5整除. ※5k（k为正整数）表示能被5整除的数.