分数阶时滞微分系统的解

1 Γ( m + 1 - α )
(t - θ ) ∫
0
t
m- α
f
( m+1)
( θ )d θ
为 α 阶 Cap uto 分 数 导 数 , 为 了 方 便 下 面 把
α (α ) D f ( t) 记为 f ( t) 。
本文考虑下面的系统 :
x
(α )
( t) = A x ( t) + B x ( t - 1) + f ( t) , t ≥0 ( 1)
On the solution of fractional order differential systems with delay
ZHAO Xiao2wen1 , ZHAN G Hai1 ,2 , J IAN G Wei1
(1. School of Mat hematical Sciences , Anhui Universit y , Hefei 230039 , China ; 2. Dept . of Mat hematics , Anqing Teachers College , An2 qing 246011 , China)
Abstract : This paper st udies f ractio nal order differential systems wit h delay. At fir st , t he solvabilit y of t he f ractio nal order differential systems wit h delay is analyzed. Then t he general solutio n of t he f rac2 tio nal order differential systems wit h delay is given by defining t he mat rix of t he basic solutio n and by Laplace t ransfo rmatio n. Key words :f ractio nal differential system ; delay ; general solutio n
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合肥工业大学学报 ( 自然科学版)
第 32 卷
1 系统 ( 1) 的可解性分析
看与系统 ( 1) 相应的分数阶常微分系统 :
x
(α )
2 系统 ( 1) 的通解
下面利用拉普拉斯变换给出系统 ( 1) 的通解 。
( 2)
( t) = A x ( t) + f ( t) , x ( 0 ) = b.
第 32 卷 第 9 期 2009 年 9 月
合肥 工 业 大 学 学 报
(自然科学版)
J OU RNAL O F H EFEI UN IV ERSIT Y O F TEC HNOLO GY
Vol . 32 No . 9 Sept . 2009
分数阶时滞微分系统的解
赵小文1 , 张 海1 ,2 , 蒋 威1
α D f ( t) =
科的发展 ,各个科学领域中出现的问题越来越多 地涉及分数微积分和分数微分方程 , 特别是 20 世纪 80 年代以后 ,分数阶微分方程有了长足的进 展[ 1 - 4 ] 。 然而在处理许多实际问题中 , 我们还必须考 虑时滞因素对系统的影响 , 有时时滞还对系统起 到关键的作用 [ 5 - 9 ] 。 对于分数阶时滞系统也有了 [ 10 ] 一些研究 ,而对分数阶时滞微分系统的研究要 比对整数阶时滞微分系统的研究要复杂得多 , 目 前对分数阶时滞微分系统的研究还比较有限 , 本 文主要研究了一类分数阶时滞微分系统的解 。 首先介绍几个定义 : ) , R) , t ≥ 定义 1 设 f ( t) ∈C ( [ 0 , + ∞ 0 ,对 + α Π ∈R , 称 :
( 1 ) L [ Iαx ( t) ] =λ- αL [ x ( t) ] ; ( 2 ) L [ Dαx ( t) ] =
α αλ λ L [ x ( t) ] - ∑
k=0 m k- 1
则系统 ( 2) 存在唯一解 , 且其唯一解可表示为 :
x ( t) = b +
A 其中 eα (t-θ )
( ( 2) eα eα ≠ eαA + C) t ,α≠ 1;
( 3)
α A(t-θ ) D α
e
= A eα
。
下面再来分析系统 ( 1) 的可解性 。 ) ) ,则 定理 1 设 φ( t) , f ( t) ∈C1 - α ( [ 0 , + ∞ 系统 ( 1) 的解存在唯一 。 证明 由分步法 , t ∈[ 0 , 1 ]时 , 系统 ( 1) 为 : (α ) φ( t - 1) + f ( t) , 0 < t ≤1 x ( t) = A x ( t) + B x ( 0) = φ( 0 ) 即为系统 ( 2) 的形式 , 由引理 1 可知系统 ( 1 ) 在 t ∈[ 0 , 1 ]上存在唯一解 , 且其解为 :
= { g ( t) ∈C ( ( a , b]) : ‖( t - a) 1 - g ( t) ‖ }) , C < ∞
α
( t) = A X ( t) + B X ( t - 1) In , t = 0 - 1 ≤t < 0 ( 3)
X ( t) =
0,
则称 X ( t) 为系统 ( 1 ) 对应的基础解 , 其中 I n 为 n 阶单位阵 。 由 Rieman2lio uville 分数积分和 Cap uto 分数 导数的定义及 Laplace 变换的定义 , 易得 : 引理 2 设 0 ≤m <α< m + 1 , 则
∫
0
A eα
t
( t- θ )
θ ) + Ab ] d θ, [f (
α (t -θ )k 。 Γ[ ( k + 1)α]
) α- 1 ∑A k = (t -θ
k=0 ) A(t-θ
∞
且函数 eα
具有下列性质 :
(t - θ ) ( k+1)α- 1 ‖A ‖ , t >θ ; Γ[ ( k + 1)α]
t > 0,
首先给出一个定义 : 定义 3 设 X ( t) ∈R n ×n , 且满足 :
X
(α )
的解 , 其中 A ∈R n ×n , x ( t) , f ( t) , b ∈R n , x (α) ( t) 表 示α阶 Cap uto 导数 ( 0 <α≤ 1) 。 对于系统 ( 2) , 文献 [ 3 ]中给出 : 引理 1 设 f ( t) ∈C1 - α ( [ a , b]) ( C1 - α ( [ a , b])
-λ AL [ x ( t) ] + e B L [ x ( t) ] + -λ t B φ( t - 1) e d t + L [ f ( t) ] 。
∫
N
t
eα
) A ( t- θ
θ - 1) + [BxN (
θ ) + A x N ( N) ] d θ, N ≤ t ≤N + 1 。 f( 如此一步一步分析下去 , 即知系统 ( 1 ) 在 [ 0 ,
α I f ( t) =
0 引 言
19 世纪以来 ,随着数学的广泛应用和交叉学
Γ(α )
1
(t - θ ) ∫
0
t
α -1
θ )d θ f(
为α阶 Rieman2lio uville 分数积分 。
) , R) , t ≥ 定义 2 设 f ( t) ∈Cm + 1 ( [ 0 , + ∞ 0, + α∈R ( 0 ≤m <α< m + 1) , 称 : 对Π
( 1 ) 在 [ N ,N + 1 ]上的解为 : x ( t) = x N ( 1) +
) = 其中 , U (θ
0, 1,
ห้องสมุดไป่ตู้
θ> 1 θ≤ 0≤ 1。
证明 在 ( 1 ) 两边施行 Laplace 变换 , 并把 φ 代入得 :
α α -1 λ L [ x ( t) ] - λ φ( 0) =
) 上存在唯一解 。证毕 。 + ∞
∫
0
1
则
第9期
) L [ x ( t) ] = H (λ
赵小文 ,等 : 分数阶时滞微分系统的解
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f ractional differential equations wit h constant coefficient s [J ] . Applied Mat h and Co mp utation , 2007 , 187 ( 1 ) : 68 - 78. [4] Samko S G , Kilbas A A , Marichev O I. Fractinal integrals
x1 ( t) = φ( 0) +
Laplace 逆变换 。
证明 : ( 1 ) 类似定理 1 , 通过分步法知 , 系统 ( 3 ) 存 在唯一解 ;
( 2 ) 在系统 ( 3) 两边施行 Laplace 变换 , 可得 : ) L [ X ( t) ] =λ H (λ
α- 1
X ( 0) =λ
- 1
收稿日期 :2008209219 ; 修改日期 :2008212229 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (10771001) ; 教育部科学技术研究重点基金资助项目 (205068) ; 安徽省教育厅自然科学基金 资助项目 ( KJ 2008B152) 和安徽大学创新团队基金资助项目 . 作者简介 : 赵小文 (1983 - ) ,男 ,安徽广德人 ,安徽大学硕士生 ; 蒋 威 (1959 - ) ,男 ,安徽五河人 ,安徽大学教授 ,博士生导师 .