自动控制原理稳态误差
自动控制原理--控制系统的稳态误差
二、给定作用下的稳态误差
设系统开环传递函数为：
其中K为开环增益，v为系统中含有的积分环节数 对应于v=0,1,2的系统分别称为0型，Ⅰ型和Ⅱ型系统。
稳态误差的定义
• 误差定义为输入量与反馈量的差值
• 稳态误差为误差的稳态值 • 如果需要可以将误差转换成输出量的量纲
• 稳态误差不仅与其传递函数有关，而且与输入 信号的形式和大小有关。其终值为：
稳态误差计算
误差的定义：
E(s) R(s) B(s)
lim ess ()
( L1[ E ( s )])
（1）系统是稳定的； （2）所求信号的终值要存在。
例27 已知系统如图3-36所示。当输入信号 rt ，1干t扰信 号 n时t，求1t系 统的总的稳态误差。
Ns
Rs
Es
K1
K2 s
Y s
Bs
图3-36 例3-15系统结构图
解：⑴对于本例，只要参数 K1, K均2大于零，则系统一定是稳 定的。
⑵在r t 信1t号 作用下（此时令 n）t 0
s0
s0
1 s K1K2
K2 s K1K2
1 s
1 K1
由以上的分析和例题看出，稳态误差不仅与系统本身
的结构和参数有关，而且与外作用有关。利用拉氏变换
的终值定理求得的稳态误差值或者是零，或者是常数，
或者是无穷大，反映不出它随时间的变化过程。另外，
对于有些输入信号，例如正弦函数，是不能应用终值定
最后由终值定理求得稳态误差 ess
ess
自动控制原理(3-4)
式中Φn(s)——系统的扰动误差传递函数。
Φn
(s)
=
1+
Gc
Go (s) (s)Go (s)H
(s)
=
Go (s) 1+ G(s)
五、给定稳态误差终值的计算
Er
(s)
1
1 G(
s)
R(s)
esr
lim e(t)
t
lim
s0
sEr
(s)
lim s s0 1 G(s)
R(s)
esr为给定稳态误差的终值；G(s)为开环传递函数。
Er
(
s)
1
1 G(s)
R(s)
e
(s)R(s)
假定输入信号r(t)是任意分段连续函数，则可以利用
卷积公式计算给定误差：
式中
t
er (t) 0e (t) r(t ) d
er
(t)
1
2
j
c j
E c j r
(
s)
e
st
ds
e
(t)
1
2
j
c j
3.对于给定输入为抛物线函数时
r(t) Rt 2 2
R R(s) s3
则
esr
lim
s0
1
s G(s)
R(s)
lim
s0
s2
R s2G(s)
R Ka
式中
Ka
lim s2 G(s) s0
Ka为加速度误差系数，或称抛物线误差常数。
自动控制原理稳态误差分析
烟台南山学院课程实验报告课程名称自动控制原理班级电气工程1204实验日期2014.12.14姓名张莹学号201202014015实验成绩实验名称实验二稳态误差分析实验目的及要求目的：1. 学习Matlab仿真软件的使用。
2. 用Matlab对于0型、Ⅰ型、Ⅱ型单位负反馈系统，求出当给定信号分别为单位脉冲、单位阶跃和单位斜坡时系统响应及稳态误差。
要求：1.编写实验程序。
2.用Matlab仿真实验结果。
3.写出实验报告实验环境Matlab仿真软件实验内容1、单位脉冲响应及稳态误差程序代码及仿真结果如下：>> t=0:0.1:15;[num1,den1]=cloop([1],[1 1]); [num2,den2]=cloop([1],[1 1 0]); [num3,den3]=cloop([4 1],[1 1 0 0]); y1=impulse(num1,den1,t);y2=impulse(num2,den2,t);y3=impulse(num3,den3,t);>> subplot(311);plot(t,y1);>> subplot(312);plot(t,y2);>> subplot(313);plot(t,y3);>> er1=0-y1(length(t));>> er2=0-y2(length(t));>> er3=0-y3(length(t));05101500.51051015-0.50.51051015-10122、单位阶跃响应及稳态误差程序代码及仿真结果如下：>> t=0:0.1:20;[num1,den1]=cloop([1],[1 1]);[num2,den2]=cloop([1],[1 1 0]);[num3,den3]=cloop([4 1],[1 1 0 0]);y1=impulse(num1,den1,t);y2=impulse(num2,den2,t);y3=impulse(num3,den3,t);subplot(311);plot(t,y1);subplot(312);plot(t,y2);subplot(313);plot(t,y3);er1=1-y1(length(t));er2=1-y2(length(t));er3=1-y3(length(t));0246810121416182000.5102468101214161820-0.50.5102468101214161820-10123、单位斜坡响应及稳态误差程序代码及仿真结果如下：>> t=0:0.1:20;>> t1=0:0.1:100;>> [num1,den1]=cloop([1],[1 1]);[num2,den2]=cloop([1],[1 1 0]);[num3,den3]=cloop([4 1],[1 1 0 0]);>> y1=step(num1,[den1 0],t1);y2=step(num2,[den2 0],t);y3=step(num3,[den3 0],t);>> subplot(311);plot(t1,y1,t1,t1);subplot(312);plot(t,y2,t,t);subplot(313);plot(t,y3,t,t);>> er1=t1(length(t1))-y1(length(t1));er2=t(length(t))-y2(length(t));er3=t(length(t))-y3(length(t));0102030405060708090100501000246810121416182010200246810121416182001020总结一般，能正常工作的自动控制系统应该是稳定的并具有较好的平稳性，同时，还应根据实际工程的需要，使系统的响应速度和稳态控制精度满足一定的要求。
自动控制原理课件6第六节稳态误差分析
2021
不能满足 ess 0.1 的要求
7
给定输入时的稳态误差
三、给定输入作用下系统的误差分析
这时，不考虑扰动的影响。
可以写出随动系统的误差 ：
R(s)
E(s)
E(s) 1 R(s) 1 R(s)
1 G1G2H
1 Gk
-
H
G2 G1
essr
lim
t
e(t)
lim
s0
sE ( s)
lim sR(s) s0 1 Gk (s)
8
给定输入时的稳态误差
m1
m2
Gk (s)
K s
i1 n1
(is 1) ( k s2 2 k k s 1)
k 1 n2
(Tjs 1) (Tl s2 2 lTl s 1)
K s
G0 (s)
j 1
l 1
式中： K 开环放大系数； 积分环节的个数；
G0 (s) 开环传递函数去掉积分和比例环节；
C(s)
解: (1)只有稳定的系统计算稳态误差才有意义；所以先判稳
系统特征方程为 Tms3 s2 K1Km s K1Km 0
由劳斯判据知稳定的条件为： Tm
2
2
(2) 求稳态误差 ess 0 0 K1Km K1Km
Thursday, April 22, 2021
16
扰动输入作用下的稳态误差
当 当 当
0,1时，Ka
lim
s0
s
(1,2)
KG0
(s)
2时，Ka 3时，Ka
lim
s0
lim
s0
KG0 (s) K ,
K s
G0
(s)
自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析—5稳态误差
2020年9月6日6时59分
2
一、稳态误差的定义
系统的误差e(t)一般定义为输出量的希望值与 实际值之差。系统误差的定义有两种形式： （1）系统误差（从输出端定义） (s) Cr (s) C(s)
Cr(s)为系统输出量的希望值，其定义为E(s)=0时系 统的输出，C(s)为输出量的实际值。
（2）作用误差（从输入端定义）E(s) R(s) B(s) 作用误差就是给定输入R(s)与主反馈信号B(s)之差。
§ 3-6 控制系统的稳态误差
系统的稳态分量反映系统跟踪输入信号的准 确度或抑制扰动信号的能力，用稳态误差描述。在 系统的分析、设计中，稳态误差是一项重要的性能 指标，它与系统本身的结构、参数及外作用的形式 有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种 传动机械的间隙、摩擦等因素有关。
本章只讨论由于系统结构、参数及外作用等因 素所引起的稳态误差。 ➢ 给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差） ➢ 扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差）
式中
1 er (s) 1 G(s)H (s)
称为给定输入作用下系统的误差传递函数。
应用拉氏变换的终值定理可以方便地求出系 统的稳态误差。
2020年9月6日6时59分
9
ess
lim
t
e(t)
lim
s0
sE(s)
lim
s0
s
1
1 G(s)H(s)
R(s)
1
lim s
R(s)
s0 1 G开 (s)
稳态误差可表示为ess1 1 Kp因此，在单位阶跃输入下，给定稳态误差取决于
系统的稳态位置误差系数。
2020年9月6日6时59分
12
对于0型系统，v=0
自动控制原理（北航）电子教案扰动下对稳态误差及减小稳态误差的措施（第10讲）
第10讲3.6 线性系统的稳态误差计算3.6.1 稳态误差的定义3.6.2 系统类型3.6.3 扰动作用下的稳态误差以上讨论了系统在参考输入作用下的稳态误差。
事实上，控制系统除了受到参考输入的作用外，还会受到来自系统内部和外部各种扰动的影响。
例如负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。
这种误差称为扰动稳态误差，它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。
对于扰动稳态误差的计算，可以采用上述对参考输入的方法。
但是，由于参考输入和扰动输入作用于系统的不同位置，因而系统就有可能会产生在某种形式的参考输入下，其稳态误差为零；而在同一形式的扰动作用下，系统的稳态误差未必为零。
因此，就有必要研究由扰动作用引起的稳态误差和系统结构的关系。
考虑图3-23的系统，图中)(s R 为系统的参考输入，)(s N 为系统的扰动作用。
为了计算由扰动引起的系统稳态误差，假设R(s)=0，则输出对扰动的传递函数为 （控制对象控制器）图3-23 控制系统N(s)C(s))()()(1)()()()(212s H s G s G s G s N s C s M N +== (3-71))()()(21s G s G s G = 由扰动产生的输出为)()()()(1)()()()(212s N s H s G s G s G s N s M s C N n +==(3-72)系统的理想输出为零，故该非单位反馈系统响应扰动的输出端误差信号为)()()()(1)()(0)(212s N s H s G s G s G s C s E n n +-=-=(3-73) 根据终值定理和式(3-73)求得在扰动作用下的稳态误差为)()()()(1)()(lim 2120s N s H s G s G s sG s sE e n s ssn +-==→ (3-74) 若令图3-23中的21)()(,)()(222111ννs s W K s G s s W K s G == (3-75)为讨论方便起见假设1)(=s H 则系统的开环传递函数为νs s W K s W K s G s G s G )()()()()(221121==(3-76)1)0()0(,2121==+=W W ννν。
《自动控制原理》第三第讲
误差系数 Kp Kv Ka
单位阶跃 输入
r(t) = u(t)
单位速度 输入
r(t) = t
单位加速 度输入
r(t) = 1 t 2 2
0
K0 0
1 1+K
I
∞ K0
0
II
∞ ∞K
0
∞
∞
1
∞
K
1
0
K
1. 稳态误差与输入信号有关；与开环增益有关；与积分环节的个 数有关。
2. 减小或消除稳态误差的方法： a、增加开环放大系数K； b、提高系统的型号数;
R(s)
E(s) -
G1 ( s)
+ G2 (s) C(s)
H (s) (b)
通常，给定输入作用产生的误差为系统的给定误差
(E=R-HC)，扰动作用产生的误差为扰动误差。认为扰动输入时 系统的理想输出为零，故从输出端的误差信号为：
En
= C理想
− C实际
=
−C实际
=
−Cn
= − G2 1+ G1G2 H
=
lim sv+1R(s)
s→0
lim sv + K
s→0
由上式可见, ess 与系统的型号v﹑开环增益K及输入信号
的形式及大小有关，由于工程实际上的输入信号多为阶跃信号
﹑斜坡信号(即等速度信号) ﹑抛物线信号(即等加速度信号) 或者为这三种信号的组合, 所以下面只讨论这三种信号作用 下的稳态误差问题.
Ka
m
G(s)H (s)
=
K sv
∏ (τ is +1)
i =1
n−v
∏ (Tjs +1)
《自动控制原理》第三章 35 稳态误差计算
两种定义的联系： E ' ( s ) E ( s ) H (s)
H ( s ) 1时， E ( s ) E ' ( s )
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
3
1. 误差与稳态误差的定义…
e(t ) L1[ E (s)] L1[e (s) R (s)] L1[ R (s) ] 1 G(s)H (s)
3-6 线性系统的稳态误差计算 （Steady-state error）
稳定性 系统性能 动态性能
稳态性能 稳态误差
稳态性能
原理性误差 结构性误差 (附加稳态误差）
系统结构 输入类型、形式 摩擦，间隙 死区等非线性
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
1
3-6 线性系统稳态误差计算
本节内容：
N(s)
C(s)
G2 (s)
H (s)
输出端误差定义
E'n
(s)
Cn(s)
G2(s)
1G1(s)G2(s)H(s)
N(s)
输入端误差定义
En(s)
Cn(s)H(s)
G2(s)H(S) 1G1(s)G2(s)H(s)
ets (t ) ess (t ) 稳态误差
ess ( )
Lim
s0
sE (s)
Lim
s0
1
sR (s) G(s)H
(s)
ess():终值误差 条件s： E(s)在右半平面及析 虚（ 轴原 上点 解除外）
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
4
1. 误差与稳态误差的定义…
例1
R(s) E(S)
误差与稳态误差的定义 系统的类型 输入作用下稳态误差计算 扰动作用下稳态误差 减小或消除稳态误差的措施
自动控制原理3.6 线性系统的稳态误差
系统稳态误差是系统的稳态性能指标，是系统控 制精度的一种度量，它是控制系统设计中的一项重要 技术指标。 一、误差与稳态误差：
1、误差：被控量的希望值 c0(t )和实际值 c(t )之差：
(t) c0(t) c(t)
2、稳态误差：当 t 时系统误差的极限值：
二、给定输入下的稳态误差与静态误差系数：
1、阶跃
输
入下的esr与静
态位置误
差系数K
：
p
r(t) A 1(t)，R(s) A
s
esr
令K
p
lim sE(s)
s0
lim
s0
Gk
(s
lim
s0
)
1
s A
A
Gk s
esr
1
lim
As0
Gk
1 Kp
(
s)
0型：K p
ess
lim (t)
t
§3---6 稳态误差的分析计算
稳态误差的分析计算（续）
▲稳态误差是指在稳定条件下，加入输入信号后经 过足够长的时间，其瞬时响应已衰减到微不足道时， 稳态响应的期望值与实际值之差。因此，只有稳定 的系统讨论稳态误差才有意义。
●单位反馈系统的r(t)即为要求值：r(t) c0(t)
lim
s0
K
G0(s)
K
esr
A 1 K
1型：K p
lim
s0
K s
G0(s)
esr 0
1型以上：同1型一样ess 0
《自动控制原理》稳定性和稳态误差
7-5 离散系统的稳定性和稳定误差 回顾：线性连续系统 稳定性和稳态误差问题：线性离散系统 稳定性和稳态误差 ？分析：sT e z =，首先研究s 平面与z 平面的关系。
一．s 域到z 域的映射s 域到z 域的关系： sT e z = S → Zs 域中的任意点可表示为ωσj s +=，映射到z 域则为 T j T T j e e e z ωσωσ==+)(ωσj s += ━━━━━━━━→ T e z σ=，T z ω=∠ (7—84)问题：s 平面上的点、线、面 如何映射到 z 平面？(1) s 平面上虚轴的映射虚轴：0=σ，ω=∞-→0→∞分析：0=σ时，1==T e z σ，ω=∞-→0→∞时，T z ω=∠==∞-→0→∞ 以原点为圆心的单位圆,经沿着单位圆转过无穷多圈分析：T 采样周期，单位[sec], 采样频率,单位[1/sec] f s =1/T采样角频率 s ω，单位[rad/sec] , T s /2πω=ω=2/s ω-→0→2/s ω时，T z ω=∠=π-→0→π 正好逆时针转一圈ω=2/s ω→s ω→2/3s ω时，T z ω=∠=π→π2→π3 又逆时针转一圈由图可见：可以把s平面划分为无穷多条平行于实轴的周期带，其中从-ωs/2到ωs/2的周期带称为主要带，其余的周期带叫做次要带。
(2) 等σ线映射s 平面上的等σ垂线，映射到z 平面上是以Te z σ=为半径的圆 s 平面上的虚轴映射为z 平面上的单位圆左半s 平面上的等σ线映射为z 平面上的同心圆，在单位圆内 右半s平面上的等σ线映射为z 平面上的同心圆，在单位圆外(3) 等ω线映射在特定采样周期T 情况下，由式(7-84)可知，s 平面的等ω水平线，映射到z 平面上的轨迹，是一簇从原点出发的映射，其相角T z ω=∠从正实轴计量，如图7-36所示。
由图可见，s 平面上2/s ωω=水平线，在z 平面上正好为负实轴。
自动控制原理稳态误差
自动控制原理稳态误差稳态误差是自动控制系统中一个非常重要的概念，它直接关系到系统的稳定性和准确性。
在控制系统中，我们经常会遇到一些误差，这些误差可能会影响系统的性能和稳定性。
因此，了解稳态误差的概念和计算方法对于控制系统的设计和分析都非常重要。
首先，我们来看一下稳态误差的定义。
稳态误差是指系统在稳定工作状态下，输出信号与期望值之间的差异。
换句话说，当输入信号保持不变时，系统输出与期望输出之间的偏差就是稳态误差。
稳态误差通常用于衡量系统的准确性和稳定性，它是评价控制系统性能的重要指标之一。
接下来，我们来看一下稳态误差的分类。
在自动控制系统中，稳态误差可以分为四种类型，静态误差、动态误差、稳态误差和瞬态误差。
静态误差是指系统在稳定工作状态下，输出信号与期望值之间的偏差；动态误差是指系统在工作过程中，输出信号与期望值之间的波动；稳态误差是指系统在长时间工作后，输出信号与期望值之间的偏差；瞬态误差是指系统在瞬时工作过程中，输出信号与期望值之间的偏差。
这四种误差类型各有特点，对于控制系统的设计和分析都有着重要的意义。
然后，我们来看一下稳态误差的计算方法。
在实际工程中，我们通常会用一些指标来衡量系统的稳态误差，比如静态误差增益、动态误差增益、稳态误差增益和瞬态误差增益等。
这些增益值可以帮助我们更好地了解系统的稳定性和准确性，从而指导控制系统的设计和分析工作。
最后，我们来看一下如何通过调节控制系统的参数来减小稳态误差。
在实际工程中，我们通常会通过调节控制系统的参数来改善系统的稳定性和准确性。
比如，可以通过增加控制器增益、改变控制器结构、优化控制器参数等方法来减小系统的稳态误差。
通过这些方法，我们可以更好地提高控制系统的性能和稳定性，从而更好地满足工程实际应用的需求。
总之，稳态误差是自动控制系统中一个非常重要的概念，它直接关系到系统的稳定性和准确性。
了解稳态误差的概念和计算方法对于控制系统的设计和分析都非常重要。
自动控制原理 第七章 稳态误差
ess=
V
lim s
s→0
k sν
kv
·
r(t)=At2/2 R(s)=A/s3
ess=
A
lim s2·
s→0
k sν
ka
取不同的ν 稳态误差
静态误差系数
R·1(t V·t At2/2 R·1(t V·t At2/2
)R 0型 1+ k
)
∞∞ k
00
Ⅰ型 0
V
k
∞
∞
k0
Ⅱ型 0
0
A
k
∞
∞k
r(t)=R·1(t)
典型输入下的稳态误差与静态误差系数
R(s) E(s) G(s)H(s) C(s)
E(s)=R(s
1
)
1+G(s)H(s)
若系统稳定,
则可用终值定理求ess
R(s)
ess=
lim
s→0
s
1+
k sν
G0H0
r(t)=R·1(t) R(s)=R/s
R
ess=
1+
lim k s→0 sν
kp
r(t)=V·t R(s)=V/s2
N(s )
R(s) E(s )
k1 T1s+1
k2
C(s
s(T2s+1) )
令R(s)=0,En(s) = -C(s) =
s
(T1s+1)+ k1Gn(s) (T1s+1)(T2s+1) + k1k2
N(s)
令分子=0，得Gn(s) = - (T1s+1)/k1
2 按扰动的稳t态从补0→偿∞全过设程系统这稳就定是，按N(扰s)=动1/的s ,全则补偿
《自动控制原理》第三章-3-5-稳态误差计算
伺服电动机
R(s)
E(s)
1
C(s)
-
s(s 1)
K 1, 1
r(t) 1(t),k p , ess 0
r(t) t, kv 1, ess 1
r(t)
1 2
t2, ka
0, ess
位置随动系统
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
14
4.扰动作用下稳态误差
R(s)
-
E(s)
R(s) E(s) 20
s4
N (s)
+
2
C(s)
s(s 2)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
28
3-20
R
-
K1
U
K2 S(T1S 1)
C
G(s)
K1K 2
B
s(T1s 1)(T2s 1)
1 T2S 1
(s)
C(s) R(s)
T1T2 s 3
K1K2 (T2s 1) (T1 T2 )s2 s
1
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
7
3.输入作用下稳态误差计算
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t) R 1(t), R(s) R s
ess
Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
1
R LimG(s)H (s)
Lim s R
s0
K Lim s
27
参考答案: Kp= ,kv=5,ka=0,essr=0.4，essn=-0.2
四、控制系统如图, r(t) 1 2t, n(t) 1(t), 试计算
自动控制原理稳态误差知识点总结
自动控制原理稳态误差知识点总结自动控制系统是现代工程领域广泛应用的一种技术手段，稳态误差是自动控制系统中常见的问题之一。
本文将对自动控制原理中稳态误差的知识点进行总结，并以简明扼要的方式进行介绍。
1. 稳态误差的定义稳态误差是指系统在稳定状态下输出与期望输出之间的差值。
也就是说，当输入信号经过一段时间后，系统输出的值与期望输出值之间可能存在一定的偏差。
2. 稳态误差的分类稳态误差可以分为零稳态误差和非零稳态误差两种类型。
2.1 零稳态误差当输入信号为恒定值时，系统输出达到稳定状态后仍存在一定的误差，这种误差称为零稳态误差。
零稳态误差可以进一步分为四种类型：常数型、比例型、积分型和比例积分型。
2.1.1 常数型误差常数型误差是指系统输出与期望输出之间存在一个常数的差值。
通常情况下，常数型误差发生在开环控制系统中，无法通过反馈调节来消除。
2.1.2 比例型误差比例型误差是指系统输出与期望输出的差值与系统输出的值成比例关系。
比例型误差通常发生在比例控制系统中，可以通过调节比例增益来减小误差。
2.1.3 积分型误差积分型误差是指系统输出与期望输出的差值与时间的积分关系。
积分型误差通常发生在积分控制系统中，可以通过增加积分时间常数来减小误差。
2.1.4 比例积分型误差比例积分型误差是指系统输出与期望输出的差值与时间的积分关系，并且与系统输出的值成比例关系。
比例积分型误差通常发生在比例积分控制系统中，可以通过调节比例增益和积分时间常数来减小误差。
2.2 非零稳态误差非零稳态误差是指系统输出与期望输出之间的差值在稳定状态下不为零。
非零稳态误差通常出现在闭环控制系统中，主要原因是系统的特性引起的。
3. 稳态误差的影响因素稳态误差的大小和减小程度受多个因素的影响，包括输入信号的特性、系统的传递函数、控制器的参数等。
3.1 输入信号的特性输入信号的特性对稳态误差有直接影响。
例如，当输入信号是阶跃信号时，可能会引起常数型误差；当输入信号是斜坡信号时，可能会引起比例型误差。
自动控制原理：3-3 控制系统的稳态误差
ans=
2.0000
-2.0000
-0.0000+1.0000i
-0.0000-1.0000i -0.5000+0.8660i -0.5000-0.8660i
由于有1个正实部根的特征根， 所以，系统不稳定。
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 14
3.4.2 MATLAB求控制系统的单位阶跃响应
有差系统 无差系统
准确跟踪 系统
§3-3 控制系统的稳态误差
2.单位斜坡输入 xr (t) t
Xr
(s)
1 s2
e lim s0
sE
(s)
lim
s0
s 1
Xr (s)
WK s
lim
s0
1
s WK
s
1 s2
1
lim
s0
sWK
s
若令
Kv
lim
s0
sWK
s
则 e 1
Kv
速度 误差系数
0型系统 Ⅰ型系统 Ⅱ型以上系统
当输入r(t) 为单位加速度信号时，为使系统的 静态误差为零，试确定前馈环节的参数a 和b 。
lim
s0
sN1X r s
sN K
稳态误差取决于Kk与N，而N越高稳态精度（准 确性）越高，稳定性越差。
二、典型输入情况下系统的给定稳态误差及误差系数
1.单位阶跃输入
xr
t
1 0
t0 t0
1 X r (s) s
§3-3 控制系统的稳态误差
e
lim
s0
sE
(s)
lim
s0
s 1
Xr (s)
WK s
自动控制原理稳态误差
自动控制原理稳态误差相关的基本原理引言自动控制原理是研究如何通过对被控对象进行测量和调节，使其输出达到期望值的一门学科。
在实际应用中，我们往往希望被控对象能够快速、准确地达到期望值，并且能够稳定在该期望值附近。
然而，由于各种因素的影响，被控对象在实际操作中往往会存在一定的误差。
稳态误差就是描述系统输出与期望值之间的偏差。
稳态误差的定义稳态误差是指系统在长时间运行后，输出与期望值之间的持续偏差。
通常使用误差函数来描述稳态误差，常见的有积分误差、百分比偏差等。
稳态误差分类根据系统输入信号和输出响应之间的关系，稳态误差可以分为以下几种类型：阶跃输入信号下的稳态误差当输入信号为阶跃函数时，系统响应过程中存在一个阶段性变化。
根据输出与期望值之间的偏差大小和持续时间的不同，可以将阶跃输入信号下的稳态误差分为零稳态误差、常数稳态误差和无限稳态误差三种情况。
零稳态误差当系统输出在长时间运行后与期望值完全一致时，称系统具有零稳态误差。
这意味着系统能够快速、准确地响应输入信号，并最终达到期望值。
常数稳态误差当系统输出在长时间运行后与期望值存在一个固定的偏差时，称系统具有常数稳态误差。
虽然系统能够达到期望值附近，但始终存在一个固定的偏差。
无限稳态误差当系统输出在长时间运行后与期望值之间的偏差持续增大，并且无法消除时，称系统具有无限稳态误差。
这种情况下，系统无法达到期望值。
正弦输入信号下的稳态误差当输入信号为正弦函数时，系统响应过程中存在周期性变化。
对于正弦输入信号下的稳态误差，我们通常关注其幅频特性和相频特性。
幅频特性描述了输出信号的幅值与输入信号频率之间的关系。
对于稳定系统，幅频特性通常是一个函数，它可以用来衡量系统对不同频率的正弦输入信号的响应能力。
当幅频特性在某个频率处衰减到0时，称该频率为系统的截止频率。
相频特性相频特性描述了输出信号与输入信号相位之间的关系。
对于稳定系统，相频特性通常是一个函数，它可以用来衡量系统对不同相位的正弦输入信号的响应能力。
自动控制原理稳态误差
自动控制原理稳态误差
在自动控制原理中，稳态误差是指系统在达到稳态时，输出值与期望值之间的差异。
稳态误差的大小和系统的控制算法有关，常用的控制算法包括比例控制、积分控制和微分控制。
比例控制是最简单的控制算法，通过调整比例增益来控制系统的输出。
然而，比例控制往往会产生稳态误差。
当比例增益增大时，稳态误差会减小，但系统的稳定性可能会受到影响。
当比例增益调整得过大时，系统可能会变得不稳定。
为了降低稳态误差，可以采用积分控制。
积分控制通过对误差进行积分来调整系统的输出。
积分控制可以消除稳态误差，但会引入超调现象，导致系统的动态响应变差。
为了解决超调问题，可以采用微分控制。
微分控制通过对误差进行微分来调整系统的输出。
微分控制可以提高系统的响应速度，但可能导致系统的稳态误差增加。
为了综合利用比例控制、积分控制和微分控制的优势，可以采用PID控制。
PID控制是一种常用的自动控制算法，通过对误差进行比例、积分和微分操作来调整系统的输出。
PID控制可
以同时减小稳态误差和超调现象，提高系统的稳定性和响应速度。
综上所述，稳态误差是自动控制系统中常见的问题，可以通过调整控制算法的参数来减小稳态误差。
但需要根据具体的系统要求和性能指标来选择合适的控制算法和参数。
自动控制原理3-2
根据稳态误差计算式：
S • R(S) ess=Lim e(t)= Lim[S • E(S)]= Lim s0 1 + G(S) t s 0 1 • S
s 0
针对输入信号r(t)=1(t), R(S)=1/S S ess=Lim s 0 1 + G(S) 1 = 1 + G(0)
静态位置误差系数Kp=Lim G(S) = G(0)
E(S)=R(S) – B(S) = R(S)
• R(S)
1 = • R(S) 1 + G(S) 1 E(S) e(S) = = 1 + G(S) R(S)
R(S)
E(S)
G(S)
C(S)
B(S) –
1 E(S) 误差传递函数e(S) = = 1 + G(S) R(S)
e(S)取决于系统结构、参数。
j=1
1 ess = 1+k
对于Ⅰ型系统， Kp=， ess =0 对于Ⅱ型II型以上系统，Kp=， ess =0 静态误差系数Kp定量描述了:
控制系统跟踪单位阶跃函数形式输入信号的能力。
例：位置随动系统
R(S) E(S) –
5
1 S(S+1)
C(S)
求：系统输入单位阶跃信号时稳态性能指标ess 解：对于单位反馈系统， 5 1 Gk(S) =G(S) = 5• = S(S+1) S(S+1) 得：系统型号为I型 开环增益K=5
当>2时，系统是Ⅱ型以上系统。 以开环传递函数在S平面原点上极点数目分类优点：
根据已知的输入信号形式，可迅速判断系统是否存在 稳态误差以及误差的大小。
2. 静态误差系数 (1) r(t)=1(t)作用下的稳态误差ess
西工大、西交大自动控制原理 第六节 线性系统的稳态误差计算11-12
G2 s Cs
e
s
BERsss
1
1
GH1 ssG2
s
H
s
ef
s
Es F s
1
G2 sH s G1sG2 sH
s
1. 误差与稳态误差
稳态误差的计算
第六节 线性系统的稳态误差计算
Es Er s E f s e sRs ef sF s
1
G1
s
1
G2
s
H
s
Rs
1
G2 sH s G1sG2 sH
；e() R / K
▪ 对Ⅲ型以上系统v 3 ，K a ；e() 0
第六节 线性系统的稳态误差计算
2.用静态误差系数法求稳态误差
系 静态误差 阶跃输入 斜坡输入
统 系数 型 别
R 1t Rt
位置误差 速度误差
K
p
Kv
Ka
ess
R
(1 K p )
ess
R Kv
0K 00 R
1 K
Ⅰ K0 0
2.用静态误差系数法求稳态误差
静态加速度误差系数 K a
定义： Ka
lim
s0
s
2GK
s
lim
s0
s
2Gk
0
s
lim
s0
K sv2
e R R
lim
s0
K s 2
Ka
“加速度误差”
▪ ▪ ▪
对0型系统 对Ⅰ型系统 对Ⅱ型系统
v0
v 1 v2
，，K, KKaaa
0
0 K
；e() ；e()
第六节 线性系统的稳态误差计算
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§3.6.4
动态误差系数法(3)
(2)动态误差系数的计算方法 — ①系数比较法 ②长除法 例1 两系统如图示,要求在4分钟内误差不超过6m,应选用哪个系统?
已知：r(t ) 2t t 2 4
解 ①. r(t) 2 t 2
r(t) 1 2
r(t) 0
s s2 (1 s s2 )[C0 C1s C2s2 ]
令s) s a,代入系统特征方程,若对 s) 稳定,则全部极点 s a 之左
(2)当 x2 时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
当 x2 时，进行平移变换：s s 1
D(s)
s3
s
2s012
s2
100 s
100K
0
D(s ) (s 1)3 40 (s 1)2 100(s 1) 100K 0
ess1
lim s s0 s(Ts 1) K
s
0
r(t) A t
s(Ts 1) A A
e ss 2
lim
s0
s
s(Ts 1)
K
s2
K
r(t) A t2 2
s(Ts 1) A
e ss 3
lim
s0
s
s(Ts 1)
K
s3
影响 ess 的因素：
系统自身的结构参数 外作用的类型（控制量，扰动量及作用点） 外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度等）
解 依题意有
G(s)
K s 1 s 3 12
9K (s 1)
s 32
D(s) s 32 9K s 1 s2 9K 6s 91 K 0
9K 6 0
1
K
0
2 K 1 3
系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系
例2 系统结构图如右，
(1)确定使系统稳定的参数(K,x 的范围;
G2 S C s
C(s) 1 G1(s)Gn (s)G2 (s) D(s)
1 G1(s)G2 (s) 1 Gn (s) G1(s) n (s) 0
课程小结
§3.6.1 误差与稳态误差
误差定义: (1)按输入端定义误差；(2)按输出端定义误差
稳态误差： (1)静态误差；
(2)动态误差
§3.6.2 计算稳态误差的一般方法
lsim0 G0(s) 1
E(s)
1
1
e(s)
R(s)
1 G1(s)H (s)
1
K sv
G0 (s)
1
ess
lim s
s0
e (s)
R(s)
lim s
s0
R(s) 1
K sv
G0 (s)
§3.6.3
静态误差系数法（2）
r(t) A1(t)
1
1
ess
lim s
s0
e (s)
R(s)
lim s
(s) K * (s z1 )( s z2 ) (s zm ) C1 C2 Cn
(s 1 )( s 2 ) (s n ) s 1 s 2
s n
k(t) C1e1t C2e2t Cnent
闭环零点影响系数Ci ，只会改变动态性能。
闭环极点决定稳定性，也决定模态，同时影响稳定性和动态性能。
K
1 s2
Kn K
ess
essr
essn
1 Kn K
§3.6.2
计算稳态误差的一般方法 (2)
例 2 系统结构图如图所示，求 r(t)分别为A·1(t), At, At2/2时系统的稳态误差。
解． e (s)
E(s) R( s )
s(Ts 1) s(Ts 1) K
s(Ts 1) A
r(t) A1(t)
（1）判定系统的稳定性 （2）求误差传递函数 （3）用终值定理求稳态误差
§3.6.3 静态误差系数法
（1）静态误差系数: Kp, Kv, Ka （2）计算误差方法
1）系统稳定 （3）适用条件 2）按输入端定义误差
3）r(t)作用,且r(t)无其他前馈通道
§3.6.4 干扰作用引起的稳态误差分析
自动控制原理
通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误 差的系统称为无差系统； 而把有原理性稳态误差的系统称为有差系统。
§3.6
线性系统的稳态误差(2)
§3.6.1 误差与稳态误差
按输入端定义的误差 E(s) R(s) H(s)C(s)
按输出端定义的误差
E(s) R(s) C(s) H(s)
稳态误差
静态误差：ess
s0
R(s) 1 G1(s)H (s)
lim s
s0
R( s) 1
K sv
G0 ( s)
essp
lim s
s0
e (s)
R(s)
lim s
s0
A
1
s 1 G1(s)H (s)
K
A 1 lim
s0
K sv
A 1 Kp
Kp
lim
s0
G1
(
s
)
H
(
s
)
lim
s0
sv
r(t) A t
A
1
A
essv
lim s
lim
s0
K sK 2
lim
s0
sv2
A
Ka
§3.6.3
静态误差系数法（3）
§3.6.3
静态误差系数法（4）
例 3 系统结构图如图所示，已知输入 r(t ) 2t 4t 2 , 求系统的稳态误差。
解．
G(s)
K1(Ts 1) s2(s a)
K
K1
a
v 2
(s)
s2(s
K1 a) K1(Ts
1 按给定输入补偿的复合控制
Gb S
Rs Es
G1 S
G2 S C s
E(s) 1 G2 (s)Gb (s) R(s) 1 G1(s)G2 (s) 1
Gb (s) G2 (s) E(s) 0
§3.6.6
改善系统稳态精度的方法(2)
2 按扰动补偿的复合控制
Gn S
Ds
Rs
Es
G1 S
§3.6.5
扰动作用下的稳态误差
Rs Es
K1
Bs
Ds
K2
K3
Cs
s
Ts 1
K3
essn
lim
s0
sg 1
Ts 1 K1K2 K3
g1 s
0
s(Ts 1)
Rs Es
Ds
K1
K2 s
Bs
K3
Cs
Ts 1
K3
essn
lim
s0
s(Ts 1) sg
1 K1K2 K3
g1 s
1 K1
s(Ts 1)
§3.6.2
计算稳态误差的一般方法 (1)
例１ 系统结构图如图所示，已知 r(t)=n(t)=t，求系统的稳态误差。
解．
e(s)
E(s) R(s) 1
1 K
s(Ts 1) s(Ts 1) K
s(Ts 1)
D(s) Ts2 s K 0
s(Ts 1) 1 1
essr
lim
s0
规律无法表达。
用动态误差系数法可以研究动态误差 es (t )
(误差中的稳态分量）随时间的变换规律。
§3.6.4
动态误差系数法(2)
(1) 动态误差系数法解决问题的思路
Φe(s)
E(s) R( s )
Φe (0)
1 1!
Φe
(0)s
1 2!
Φe(0)
s
2
1 i!
Φ(ei
)
(0)s
i
Ci
1 i!
s 3 3s)7 s 2 23 s (100K 61) 0
s3
1
23
s2
37 100K 61
s1
912 100K 37
0
K 9.12
s 0 100K 61
K 0.61
§3.5
线性系统的稳定性分析
问题讨论：
(1) 系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型，形式无关。 (2) 闭环稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。
本次课程作业(12) 3 — 22, 23, 25 3 — 26（选做）
e1(s)
E(s) R( s )
1
1 1
s(s 1) s2 s 1
s(s 1)
C0 C1s C2s2
s s3
es1(t ) C0r C1r C2r 2 t
2
C0 C1s C2s2 C3s3 C0s C1s2 C2s3 C0s2 C1s3
C0 (C 0C1 )s (C 0C1 C2 )s2
(2)当x2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
解.
(1)
G(s)
s
(s2
Ka
20xs
100)
K Ka 100
D(s) s3 20x s2 100 s 100K 0
s3
1
100
s2
20x
100K
s1 2000x 100K 0
20x
s0
100K
x0 K 20x
K0
判断系统的相对稳定性
Φ(ei) (0)
i 0, 1, 2,
C0 C1s C2s2 Ci si
i0
E(s) Φe (s).R(s)
C0 R(s) C1sR(s) C2s2 R(s) Ci si R(s)