第六章杆件应力

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第六章杆系结构

第六章杆件系统结构有限元法杆件系统是由几何特征为长度比横梁面的两个尺寸大很多的杆件连接而成的结构体系。

起重机械和运输机械的动臂、汽车的车架、钢结构等，都是由金属的杆件组成的。

杆件系统的有限元法在机械、建筑、航空、造船等各个工程领域得到了广泛的应用。

若杆件之间由铰相连，并且外载荷都作用在铰节点上，则该体系称为桁架。

有限元中将桁架的单元称为杆单元，即桁架是由仅承受轴向拉压的杆单元的集合。

如果杆件之间是由刚性连接，则该体系是刚架，刚架的单元称为梁单元。

梁单元可以承受轴力、弯矩、剪力及扭矩的作用。

第一节等截面梁单元平面刚架结构——所有杆件的轴线以及所有外力作用线都位于同一平面内，并且各杆件都能在此平面内产生平面弯曲，从而结构的各个节点位移都将发生在这个平面内。

一、结构离散化原则：杆件的交叉点、边界点、集中力作用点、位移约束点、分布力突变的位置都要布置成节点，而不同横截面的分界面和不同材料的分界面都要成为单元的分界面。

平面桁架对于桁架结构，因每个杆件都是一个二力杆，故每个杆件可设置成一个单元。

平面桁架结构每个节点有2个自由度，分别是u 和v ，每个单元有4个自由度。

最大半带宽B=(2+1)×2=6。

一维单元和二维单元的混合应用：左边部分是平面问题的二维板件结构（黑线部分），右面框架部分是一维杆件结构（红线部分）。

xy采用平面4节点四边形单元模拟二维板件，用平面杆单元单元模拟一维杆件结构。

离散化后，共有37个节点，32个单元，其中4节点四边形单元16个，杆单元单元16个。

因为平面4节点四边形单元和平面杆单元单元每个节点都有2个自由度，4节点四边形单元的刚度矩阵是8×8，平面杆单元的刚度矩阵是4×4。

整体刚度矩阵刚[]k 的维数是227474n n ⨯=⨯。

其中部分总刚子块为[](1)(2)(3)(4)777777777722k k k k k ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(4)(6)(19)11,1111,1111,1111,1122k k k k ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦最大半带宽B=［(8-2) +1］×2=14。

建筑力学大纲知识点第六章杆件的应力与强度计算

第6章杆件的应力与强度计算6.1 轴向拉压杆的应力与强度计算6.1.1 应力的概念为了分析内力在截面上的分布情况，从而对杆件的强度进行计算，必须引入应力的概念。

图6-1（a ）所示的受力体代表任一受力构件。

pc)F图6-1由于截面上内力的分布一般不是均匀的，所以平均应力m p 与所取小面积A ∆的大小有关。

令A ∆趋于零，取极限0limA Fp A∆→∆=∆ (b)6.1.2轴向拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的内力为轴力N F ，与轴力N F 对应的应力为正应力σ。

NF Aσ=(6-1) 式（6-1）就是轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。

6.1.3轴向拉压杆的强度条件 1.强度条件材料所能承受的应力值有限，它所能承受的最大应力称为该材料的极限应力，用u σ表示。

材料在拉压时的极限应力由试验确定。

为了使材料具有一定的安全储备，将极限应力除以大于1的系数n ，作为材料允许承受的最大应力值，称为材料的许用应力，以符号[]σ表示，即u []nσσ=(6-2)式中n 称为安全系数。

为了确保拉压杆不致因强度不足而破坏，应使其最大工作应力max σ不超过材料的许用应力，即Nmax F Aσ=≤[]σ (6-3) 2.强度条件的三方面应用(1) 强度校核：杆件的最大工作应力不应超过许用应力，即Nmax F Aσ=≤[]σ (2) 选择截面尺寸：由强度条件式（6-3），可得A ≥N[]F σ 式中A 为实际选用的横截面积，(3) 确定许用荷载：由强度条件可知，杆件允许承受的最大轴力N []F 的范围为N F ≤[]A σ6.2材料在轴向拉压时的力学性质在计算拉压杆的强度与变形时，要涉及材料的极限应力u σ和弹性模量E 等，这些反映材料在受力过程中所表现出的有关性质，统称为材料的力学性质。

6.2.1低碳钢在拉伸时的力学性质1．拉伸图与应力-应变曲线将试件装入试验机的夹头后启动机器，使试件受到从零开始缓慢增加的拉力F 作用，试件在标距l 长度内产生相应的变形l ∆。

第六章杆单元的有限变形理论及算法(徐春晖、李明瑞)

端的外力P平衡。可以把等式左边的SA0项称之为杆的Kirchhoff内力NK，有NK = S
A0。于是可得到杆的Cauchy内力Nσ与杆的Kirchhoff内力NK的转换关系，以及与
外力的平衡关系：
Nσ = NK( Lt/L0) = NK(1+ u, x)= P 。
(6.3)
再利用本构关系 S = E ε，可以得到简单拉伸时的有限变形理论解为：
及 P = NΣU −3 = eU −3 = 1 (1 − U −2 )U −3 。显然，选
E1A0 E1A0
2
取不同的应变度量，结果会有很大的不同。这是因为我们在选取 Lagrange 应变ε
的同时又假设了其共轭应力 PK2 应力 S 与ε之间满足线性本构关系 S=Eε。
类似，在选用 Almansi 应变 e 为应变度量时，也假定了线性本构关系 Σ = E1e 。
第六章杆单元的有限变形理论及有限元算法
§1 杆的简单拉伸
取杆单元的应变为 Lagrange 应变，即
ε = u, x + (u, x)2/2 = (Lt2 – L02)/(2L02)。
(6.1)
其中，L0为杆的原长，Lt为变形后杆的现长。
取计算应力为与 Lagrange 应变共轭的第二 Piola-Kirchhoff 应力（PK2），S。并设
2 L2t
2 L2t 2
1
的例 3 ，可知其共轭的应力为 Σ = TU 2 = SU 4 = σU 2J = σU 3 At 。所以令 A0
P=σ At ; NΣ = Σ A0 则有 NΣU −3 = P 。如果假设有本构关系 Σ = E1e 。类似于（6.3），
（6.4）我们有 NΣ = Σ A0;

建筑力学第六章

拉伸时为正；拉伸时为正；压缩为负
4
实验证明：实验证明：
EA称为杆的称为杆的拉压刚度 △l ∝Fl/A 拉压刚度 FN l ∆l = EA
σ = E ⋅ε
称为虎克定律称为虎克定律
比例系数E称为材料的弹性模量。比例系数E称为材料的弹性模量。虎克定律表明：虎克定律表明：当杆内的应力不超过材料的某一极限值，则正应力和正应变成线性正比关系。一极限值，则正应力和正应变成线性正比关系。
（2）计算许可轴力查型钢表：查型钢表：A1
11
= 10.86cm 2 × 2 = 21.7cm 2 2 2 A2 = 12.74cm × 2 = 25.48cm
由强度计算公式：由强度计算公式：
[ FP ] = A[σ ]
σ max =
2 2
FN ,max A
≤ [σ ]
[ FNAB ] = 21.7 ×10 mm ×120MPa == 260kN [ FNAC ] = 25.48×102 mm2 ×120MPa = 306kN
π 2 FN , AC d A= ≥ [σ t ] 4
d≥
15
4 ⋅ FN, AC π [σ t ]
4 × 90 ×103 N = = 26.8 mm π ×160MPa
d = 26mm
连接件的强度计算
连接构件用的螺栓、销钉、连接构件用的螺栓、销钉、焊接等这些连接件，不仅受剪切作用，而且同时这些连接件，不仅受剪切作用，还伴随着挤压作用。还伴随着挤压作用。
轴向拉( 轴向拉(压)时横截面上的应力一、应力的概念
内力在一点处的集度称为应力，反应了内力在一点处的集度称为应力，应力内力在截面上的分布情况。内力在截面上的分布情况。

工程力学中的杆件和梁的应力分析

工程力学中的杆件和梁的应力分析工程力学是工程学科的重要分支之一，它研究物体在受力作用下的力学性质。

在工程实践中，杆件和梁是常见的结构构件，其应力分析是工程设计和计算的基础。

本文将从杆件和梁的应力分析角度探讨工程力学中的相关知识。

一、杆件的应力分析杆件是一种细长的结构构件，承受轴向力的作用。

在杆件的静力学中，应力是一个重要参数，用于描述杆件内部受力的强度和稳定性。

杆件的应力可以分为正应力和切应力。

1. 正应力正应力是指垂直于杆件截面的作用力在该截面上的单位面积，通常用σ表示。

正应力的计算可以使用公式：σ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。

正应力可以分为拉应力和压应力两种情况。

当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向一致时，称为拉应力。

拉应力是正值，表示杆件受拉的状态。

当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向相反时，称为压应力。

压应力是负值，表示杆件受压的状态。

2. 切应力切应力是指杆件截面上作用力的切向力与该截面上的单位面积之比，通常用τ表示。

切应力的计算可以使用公式：τ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。

切应力主要存在于杆件的连接部分，例如螺纹连接、焊接连接等。

切应力会引起杆件的剪切变形和破坏，需要在设计过程中加以考虑。

二、梁的应力分析梁是一种用于承受弯曲力的结构构件，具有横截面的特点。

在梁的应力分析中，主要考虑的是弯矩和截面弯曲应力。

1. 弯矩弯矩是指作用在梁上的力对其产生的弯曲效应。

在工程实践中，梁通常是直线形状，因此弯矩在横截面上呈现出分布的特点。

弯矩可以通过力学平衡和弹性力学原理进行计算。

弯矩的大小与力的大小和作用点的位置有关，计算公式为：M = F * d其中，M为弯矩，F为作用力的大小，d为作用点到梁的某一端的距离。

2. 截面弯曲应力截面弯曲应力是指由于弯曲效应，在梁的横截面上产生的应力。

截面弯曲应力的大小与弯矩和横截面的几何形状有关，计算可以使用弯曲应力公式进行。

第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计

B
D C
FP
图所示连接螺栓，内径d1＝15.3mm，被连接部分的总长度l＝ 54mm ，拧紧时螺栓 AB 段的 Δl=0.04mm ，钢的弹性模量 E=200GPa，泊松比μ=0.3。试求螺栓横截面上的正应力及螺栓的横向变形。
工程力学第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计
式中负号表示：纵向伸长时横向缩短；纵向缩短时则横向伸长。
【例题6-1】如图所示之变截面直杆，已知：ADEB段杆的横截面面积 AAB=10·102mm2，BC段杆的横截面面积ABC=5*102mm2； FP=60KN；铜的弹性模量EC=100MPa，钢的弹性量 EC=210MPa ；各段长度如图，单位为mm。试求：
FP
FP
l l1 杆件的伸长量： l l1 l
工程力学第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计
实验表明：对于由结构钢等材料制成的拉杆，当横截面上的σ≤σp时，不仅变形是弹性的，且存在
l Pl A
引入比例常数E，得到
l Pl FNl EA EA
胡克定律
E：弹性模量，材料拉伸或压缩时抵抗弹性变形的能力，实验测定
其值为Fmax。取AC为研究对象，在不计杆件自重及连接处的摩擦时
，受力分析如图所示。
根据平衡方程
ΣMC=0， Fmax sin AC W AC 0
解得
Fmax
W
s in
由三角形ABC求出
sin BC 0.8 0.388
AB 0.82 1.92
故有
Fmax
Байду номын сангаас
W
sin
15 0.388
38.7 kN
的最大载荷？ B

杆件横截面上的应力课件

分类
根据作用力的方向与截面法线的关系，应力可分为正应力与剪应力。正应力是指垂直于截面的力，剪应力是指与截面相切的力。
杆件横截面上的应力分布
均匀分布
在均匀受力的杆件横截面上，应力分布是均匀的。
不均匀分布
在非均匀受力的杆件横截面上，应力分布是不均匀的，可能存在应力集中现象。
应力对杆件性能的影响
当杆件横截面上的拉压应力达到最大拉压应力值时，杆件发生拉压破坏。
最大弯曲应力准则
当杆件横截面上的弯曲应力达到最大弯曲应力值时，杆件发生弯曲破坏。
校核方法与步骤
静力校核
根据杆件承受的静力荷载，计算出杆件横截面上的应力和应变，并与许用应力和安全系数进行比
较，判断是否满足强度要求。
动力校核
根据杆件承受的动力荷载，计算出杆件横截面上的应力和应变，并与许用应力和安全系数进行比
扭转变形引起的应力分析
扭转变形
当杆件受到垂直于其轴线的扭矩作用时，会在其横截面上产生扭转变形。扭转变形的大小与扭矩和横截面面积有关，计算公式为θ=T/GIP，其中T为扭矩， GIP为截面对主轴z的抗扭截面模量。
VS
扭转变形引起的切应力
在扭转变形过程中，除了扭转变形外，还会在横截面上产生扭转变形引起的切应力。扭转变形引起的切应力的大小与扭矩和杆件截面的转动惯量有关，计算公式为 τ=T/It，其中It为截面对主轴t的抗扭截面模量。
计算分析
根据建立的模型，进行计算和分析，得出杆件横截面上的应力分布和大小。
结果评估
将计算结果与设计规范和标准进行对比，评估结构的应力和
安全性能。
案例分析结论与建议
结论
通过对实际工程中的杆件横截面应力问题进行案例分析，可以得出杆件横截面上的应力分布和大小，评估结构的应力和安全性能。

第6章：杆件横截面上的应力分析ppt课件

➢假设与推理
平面假设：圆轴扭转变形前为平面的横截面，变形后仍为大小相同的平面，其半径仍保持为直线；且相邻两横截面之间的距离不变。
扭转圆轴横截面上无正应力，只存在切应力。
受扭圆轴横截面上切应力的计算公式
1. 变形几何关系
变形前
变形后
g
dj
dx
g()dxdj g () dj
dx
g (ρ)
其中 d j 表示扭转角沿轴线长
且仍垂直于杆件的轴线。
横截面上各点处仅有正应力s，
F
FN
并沿截面均匀分布。
s
拉（压）杆横截面上正应力的计算公式
设横截面的面积为A，由静力学关系：
s•AFN
s FN A
（此即为拉(压)杆横截面上正应力的计算公式）
其中：σ 为拉（压）杆横截面上的正应力（符号规定：拉为正、压为负）；
FN为杆件横截面上的轴力；
t为横截面上的扭矩为横截面的极惯性矩为所求切应力点到圆心的距离公式的适用条件线弹性范围随着电能应用的不断拓展以电能为介质的各种电气设备广泛进入企业社会和家庭生活中与此同时使用电气所带来的不安全事故也不断发生第六章杆件横截面上的应力分析受扭圆轴横截面上的最大切应力对某一横截面而言t为常数也是常数因此横截面上的切应力是的线性函数圆心处maxmax随着电能应用的不断拓展以电能为介质的各种电气设备广泛进入企业社会和家庭生活中与此同时使用电气所带来的不安全事故也不断发生第六章杆件横截面上的应力分析受扭圆轴横截面上切应力的分布规律max随着电能应用的不断拓展以电能为介质的各种电气设备广泛进入企业社会和家庭生活中与此同时使用电气所带来的不安全事故也不断发生第六章杆件横截面上的应力分析截面极惯性矩和抗扭截面系数1实心圆轴随着电能应用的不断拓展以电能为介质的各种电气设备广泛进入企业社会和家庭生活中与此同时使用电气所带来的不安全事故也不断发生2空心圆轴3232dd第六章杆件横截面上的应力分析随着电能应用的不断拓展以电能为介质的各种电气设备广泛进入企业社会和家庭生活中与此同时使用电气所带来的不安全事故也不断发生3薄壁圆筒横截面上的切应力认为均匀分布

第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计

第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计工程力学学习指导第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.1 学习要求与学习目标1. 知道并且能够记住杆件拉伸或压缩时：1) 横截面上的轴力与轴力图；2) 横截面上的正应力；3) 斜截面上的应力；4) 伸长与缩短变形。

2. 掌握并能正确应用拉伸和压缩时杆件横截面上正应力的计算公式。

3. 掌握并能正确应用拉伸和压缩时杆件的变形计算公式。

4. 正确理解并掌握拉伸和压缩时，杆件的强度设计准则，正确应用强度设计准则解决三类强度设计问题。

5. 正确理解拉伸与压缩超静定问题的概念，会应用平衡、变形协调和物性关系求解简单的超静定问题。

6.2理论要点6.2.1拉伸与压缩杆件的应力与变形1. 应力计算当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴力一个内力分量——轴力F N。

与轴力相对应，杆件横截面上将只有正应力。

在很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上的应力为均匀分布，如图6-3所示。

这时横截面上的正应力为AF N =σ 式中，F N 为横截面上的轴力，由截面法求得；A 为横截面面积。

2. 变形计算(1) 绝对变形弹性模量设一长度为l 、横截面面积为A 的等截面直杆，承受轴向载荷后，其长度变为l 十Δl ，其中Δl 为杆的伸长量(图6-1a)。

试验结果表明：如果所施加的载荷使杆件的变形处于弹性范围内，杆的伸长量Δl 与杆所承受的轴向载荷成正比，如图6-1b 所示。

写成关系式为EAl F l N Δ±= 这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的胡克定律。

其中，F N 为杆横截面上的轴力，当杆件只在两端承受轴向载荷F P 作用时，F N ＝F P ；E 为杆材料的弹性模量，它与正应力具有相同的单位；EA 称为杆件的拉伸（或压缩）刚度;式中“＋”号表示伸长变形；“-”号表示缩短变形。

当拉、压杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后按上式分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量(或缩短量)，即()∑=i ii i EA l F l N Δ (2) 相对变形正应变对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量 Δl/l 表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变，即El EA lF l l x x σε==N Δ＝需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆件各处均匀变形的情形。

《工程力学》第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计

【例题4】螺纹内径d=15mm的螺栓，紧固时所承受的预紧力为 F=20kN。若已知螺栓的σ=150MPa，试校核螺栓的强度是否安全。
解：（1）确定螺栓所受轴力 N=F=20kN
（2）计算螺栓横截面上的正应力
N A
=
F πd 2
=
20 103 π 152
113.18MPa
4
4
（3）应用强度条件进行校核
2/55
6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的应用非常广泛。
紧固螺栓
斜拉桥钢缆
螺栓及活塞杆
3/55
6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形
➢应力计算 ➢变形计算
➢举例 ➢超静定问题
4/55
6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形——应力计算 ➢当外力沿杆件轴线作用时，其横截面上只有轴力，及相对应的正应力； ➢根据均匀性假定，杆件横截面上的应力均匀分布。
=lAD lDE lEB lBC
i
= N lAD AD ＋ N lDE DE ＋ N lEB EB ＋ N lBC BC
Ec AAD Ec ADE Es AEB Es ABC
=- 120103 1000 100103 10102
- 60103 1000 100103 10102
-
60103 1000 210103 10102
10/55
6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形——变形计算
3、横向变形
➢实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变x与横向应变y 之间存在下列关系：
y x
为材料的另一个弹性常数，称为泊松比，为无量纲量。
11/55
6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形——变形计算

材料力学应力状态

2
y
2
x
y
2 xy
J12 4
J2
R2
sin
2 0
xy
R
c os 2 0
(
x
R
y
)
/
2
x
y
2
R cos(2
20 )
R sin(2 20 )
x
2
y
2
2
R2
x
2
y
2
2 xy
6.2 平面应力状态
H ( , )
B
O
yx
y E
2
R
2
C 2 0
( x y ) / 2 x
y
y yx n
40
30 z
( MPa )
80
x
z 30MPa (主应力) x 80MPa y 40MPa
(1)求主应力
xy 40MPa
~m ~m
ax in
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
104.72 15.28
(MPa)
1 104 .72MPa 2 15.28MPa 3 30MPa
3
2
-30 O 15.28
( 3 1)( 3 2 )
2 n
(
n
2
2
3
)
2
2
3
(
n
2
2
3
)
2
2
3
0
n
2
2
3
2
2 n
2
2
3
2
O
c1
3 2
c2 c3

第六章：梁弯曲时的内力和应力

FS FS (x) M M (x)
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标，按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图第二节：弯曲时的内力计算第三节：剪力图和弯矩图第四节：弯曲时的正应力第五节：正应力强度计算第六节：弯曲切应力第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和垂直于梁轴线方向的 FAy 。

杆件的应力

9
N σ = A
式中，为轴力，为杆的横截面面积。式中，N 为轴力，A 为杆的横截面面积。σ 的符号与正应力 N 的符号相同当轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号，称为拉应力。轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号，称为拉应力），正应力也为正号
当轴力为负号时（压缩），正应力也为负号，称为压应力。轴力为负号时（压缩），正应力也为负号，称为压应力），正应力也为负号
γ ρ dx = ρ dϕ ⇒ γ ρ
dϕ =ρ dx
26
2. 物理关系根据剪切胡克定律
τ ρ = Gγ ρ
切应力方向垂直于半径
dϕ = Gρ dx
27
3.静力学关系 3.静力学关系
τ ρ dA
ρ
o
∫ ρ ⋅τ ρ dA = T
A
dA
dϕ ∫ ρ ⋅G ρ dx dA = T A
dϕ 2 G ∫ ρ dA = T dx A
τ max τ max
30
抗扭截面模量 W p
I p = ∫ ρ dA =
2 A
πd
4
32
Wp =
Ip
ρ max
Ip π d3 = = d 16 2
31
对于空心圆，外径为D，内径为d
I p = ∫ ρ dA =
2 A
π D (1 − α )
4 4
32
Wp =
Ip
ρ max
3 Ip πD 4 = = (1 − α ) D 16 2
21
三、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系从三方面考虑：从三方面考虑：物理关系静力学关系
22
1.变形几何关系变形几何关系
观察到下列现象: 观察到下列现象: (1)各圆周线的形状、 (1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距各圆周线的形状离没有变化 (2)纵向线仍为直线但都倾斜了同一角度γ (2)纵向线仍为直线, 但都倾斜了同一角度γ 纵向线仍为直线, （3）表面方格变为平行四边形。表面方格变为平行四边形。

工程力学第6节应力集中的概念

式中max 为最大拉应力， a 为假设应力均匀分布时
该截面上的名义应力。
注意
应力集中系数值取决于截面的几何形状与尺寸，
截面尺寸改变越急剧，应力集中的程度就越严重。因此，在杆件上应尽量避免带尖角、槽或小孔，在阶梯轴肩处，过渡圆弧的半径以尽可能大些为好。
塑性材料对应力集中不敏感，实际工程计算中可按应力均匀分布计算。
应力集中：工程中常在一些构件上钻孔、开槽（如退刀槽、键槽等）及车削螺纹等，有些则需要制成阶梯轴。研究表明，在杆件截面突变处附近的小范围内，应力的数值急剧增大，而离开这个区域稍远处，应力就大为降低。并趋于均匀分布，这种现象称为应力集中。
应力集中的程度用理论应力集中系数表示：

maቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ a
脆性材料因无屈服阶段，当应力集中处的最大应力
max达到强度极限b时，该处首先产生裂纹。因此
对应力集中十分敏感，必须考虑应力集中的影响。
对于各种典型的应力集中情形，如洗槽、钻孔和螺
纹等，的数值可查有关的机械设计手册。
对于灰铸铁，其内部的不均匀性和缺陷往往是产生应力集中的主要因素，而构件外形改变所引起的应力集中是次要因素，可以不考虑应力集中的影响。

第六章杆的强度计算

zP
i
2 y
z
yP iz2
y

令 = 0，中性轴上点的坐标为y0和z0，有
1
zP
i
2 y
z0
yP iz2
y0
0
end
1
zP
i
2 y
z0
yP iz2
y0
0
此时的中性轴为一不通过形心的直线，其在y,z轴上的截距分别为
ay

iz2 yP
az

iy2 zP
中性轴和力的作用点必分居截面形心的两侧， D1 处压应力最大
end
例6-2 铸铁托架，其尺寸如图。今已知其形心坐标 yC = 52mm，惯性矩
Iz=7.63710mm.设铸铁的许用应力[ ]+ =40MPa, [ ]- =120MPa，试按m-m
处的截面尺寸确定其所能承受的最大载荷P 。
解：由于[ ]+ ≠[ ]- ，故应分别计算
截面的抗拉和抗压截面系数。
end
工程实际中，通常均采用假定计算法，即： ①一方面对联接件的受力和应力分布进行某些简化和作出假定，
从而计算出各部分的名义应力； ②另一方面又对同类联接件进行破坏试验并用同样的计算方法由
破坏载荷确定出材料的名义极限应力； ③再根据实践的经验，针对各种具体情况规定适当的安全系数以
得到材料的许用应力。
z0 I y
变形平面和荷载平面就不重合
end
最大正应力在距离中性轴最远处
D2
max

P
L
c
osj
Iz
y1

s in j
Iy

工程力学第六章杆件的应力

5
B A su
A s B
平均线应变：
e u
s
线应变:
e lim u
s0 s
6
dy
dx
角应变 g
7
练习
8
一拉压胡克定律
实验表明，在比例极限范围内，正应力与正应变成正比，即
引入比例系数E，则
胡克定律比例系数E称为弹性模量
9
二剪切胡克定律
g
在纯剪状态下，单元体相对两侧面将发生微小的相对错动，原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量g。
所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有剪应力
44
弯曲切应力：梁弯曲时横截面上的切应力弯曲正应力：梁弯曲时横截面上的正应力基本变形：拉压；扭转；弯曲组合变形：
对称弯曲：梁至少有一个纵向对称面，且外力作用在对称面内，此时变形对称于纵向对称面，在这种情况下的变形形式称为对称弯曲。
45
§11 -2 对称弯曲正应力
• 梁的平面假设：
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。
47
• 单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。
由平面假设得到的推论：
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。
中性层与横截面的交线称为中性轴
48
中性层
中性轴
中性层
49
二弯曲正应力一般公式 • 变形几何关系 • 从三方面考虑：• 物理关系 • 静力学关系
1 变形几何关系
中性轴

第六章杆件应力

第六章杆系结构

建筑力学大纲 知识点第六章 杆件的应力与强度计算

第六章杆单元的有限变形理论及算法(徐春晖、李明瑞)

建筑力学 第六章

工程力学中的杆件和梁的应力分析

第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计

杆件横截面上的应力课件

第6章：杆件横截面上的应力分析ppt课件

第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计

《工程力学》第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计

材料力学应力状态

第六章：梁弯曲时的内力和应力

杆件的应力

工程力学第6节 应力集中的概念

第六章 杆的强度计算

工程力学第六章杆件的应力

建筑力学大纲知识点第六章杆件的应力与强度计算

建筑力学第六章

第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计

第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计

《工程力学》第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计

工程力学第6节应力集中的概念

第六章杆的强度计算