含参不等式恒成立问题

专题课含参不等式恒成立问题

－－参数取值范围求解策略

知识梳理:“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。

另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

(一)、判别式法：

●若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。 【类型1】:一般地，对于二次函数),0()(2

R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 (1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨

⎧<∆>⇔00a ; (2）0)(

⎩⎨⎧<∆<⇔a

【类型2】：设)0()(2

≠++=a c bx ax x f （1）当0a >时，

()0[,]f x x αβ>∈在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-

⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0

)(2020)(2βββαααf a

b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈

⎨

⎧<<⇔0)(0

)(βαf f

（2）当0x x f 在上恒成立⎩⎨

⎧>>⇔0

)(0

)(βαf f

],[0)(βα∈-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-

⇔0

)(2020)(2βββαααf a b

a

b f a b 或或

例1．已知函数2

lg[(1)(1)1]y a x a x =-+-+的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

例2．一元二次不等式2

20x bx ++<在[]1,2上恒成立，求实数b 的取值范围。[答案3b <-]

(二)、最值法：

●将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：

(1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ ( 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔

例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(2

3

2

-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。答案),45[+∞

例4．函数),1[,2)(2+∞∈++=

x x

a

x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。答案:3->a

(三)、分离变量法：(参变分离法)

●若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

(1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔ (2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔ 实际上，上题就可利用此法解决。

略解：022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立，只要x x a 22

-->在),1[+∞∈x 时恒成立。而易求得二次函数x x x h 2)(2

--=在),1[+∞上的最大值为3-，所以3->a 。 例5．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

[答案:)0,(-∞]

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。

●处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例6、若不等式)1(122

->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：

0)12()1(2<---x x m ，；

令)12()1()(2

---=x x m m f ， 则22≤≤-m 时，0)(

所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0

)12()1(20

)12()1(22

2

x x x x ，

所以x 的范围是)2

3

1,271(++-∈x 。

练习：对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2

>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。

分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2

>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。

解：令44)2()(2

+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。 当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意。 当2≠x 时，应有⎩⎨

⎧>->0

)1(0

)1(f f 解之得31>

故x 的取值范围为),3()1,(+∞-∞ 。

反思：对于一次函数(),[,],(0)f x kx b x m n k =+∈≠有：

()0

()0,

()0f m f x f n >⎧>⇔⎨>⎩

恒成立 ()0()0()0

f m f x f n <⎧<⇔⎨

<⎩恒成立