线性代数 二次型 课件资料讲解
合集下载
线性代数ppt 第五章 二次型
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n , a nn
x =
x1 x2 , xn
则 二 次 型 可 记 作 f = xT Ax, 其 中 A为 对 称 矩 阵 .
(3)
此时A 此时A称为二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵A 的矩阵, 称为对称矩阵A 对应的二次型. 对应的二次型. 对矩阵A的秩叫做二次型 的秩 二次型f的秩 二次型 的秩. f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2 )=3x +3x +2x
k1 0 TAP = P … 0
0 k2 … 0
… … … …
0 0 … kn
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
三. 矩阵的合同 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 记为: A B. 可逆矩阵 使得P 矩阵P 记为: 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. An与Bn合同(congruent): 合同(congruent):
(1) 反身性: A A; 反身性: A; (2) 对称性: A B B A; 对称性: (3) 传递性: A B, B C A C. 传递性:
定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同. 定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
作业 P151 1. (B) 1(1), (3); 2
本章主要内容 (1) 二次型矩阵表示 (2) 标准二次型,规范二次型 标准二次型, 二次型 (3) 将二次型化为标准形 (4)二次型的正定型的判定—主要是利用顺序 (4)二次型的正定型的判定 主要是利用顺序 二次型的正定型的判定— 主子式判定 主子式判定 作业: 作业: P152 7(1); 20(1)
线性代数居余马第6章二次型.ppt
f (α ) x T Ax 可以看成向量 α 的坐标 x1 , x2 ,, xn 的二次齐次函数。
如果n维向量在两组基B1={1,2,,n}和 B2 ={1,2,,n} 下的坐标向量分别 x=(x1, x2,, xn)T 和 y=(y1, y2,, yn)T 又 (1, 2,, n)=(1, 2,, n) C 则 x=C y f() = x TA x = yT(C TA C)y , B = C TA C 故 f() 在基B1和B2 下对应的矩阵分别是A和 B = C TA C 。 yT(CTA C)y 是 y1,y2,,yn 的一个二次型。
1
1
1,
1
2
1,
1
1 3 10
三个特征值决定二次曲面的类型。
*例 2
将一般二次曲面方程
(1)
x2 2 y 2 10z 2 28xy 8 yz 20xz 26x 32y 28z 38 0
化为标准方程（只含平方项和常数项）。
解 将(1)式中二次项部分
1=1时，有线性无关的特征向量x1 =(2, 1, 0)T, x2 =(2, 0, 1)T。
用Schmidt正交化方法(正交化，单位化) 得
γ1
5 5
2,
1, 0 , γ 2
T
5 15
2,
4, 5
T
2=10 时，得
取正交矩阵
2 5 5 T 1 γ 3 3 1, 2, 2 T γ1 , γ 2 , γ 3 5 5 0 则T1AT = diag(1, 1, 10) x TA x = yT(CTAC)y = y12+ y22 +10y32
x T Ax x 2 2 y 2 10z 2 28xy 8 yz 20xz
《线性代数》课件-第5章二次型
1
得
:
1
11,
单位化得: P1
1 3
111.
101 ,
1 1 1
1 0 1
对
2 =
0,
由A
1 1
3 1
1 1
r
0 0
1 0
0 0
,
得
:
2
101,
单位化得:
P2
1 2
101.
对
3
=
4, 由A
4E
3 1 1
1 1 1
113
1
r
0 0
0 1 0
012 ,
得
:3
1 2 1
,
单位化得
3. 定理5.1 可逆线性变换不改变二次型的秩.
说明: 二次型 f =xTAx 经可逆变换 x=Cy 后, 其秩不变, 但 f 的矩阵由 A 变为 B = CTAC.
§5.2 化二次型为标准形
一、用正交变换化二次型为标准形 二、拉格朗日配方法
一、用正交变换化二次型为标准形
对于二次型, 我们讨论的主要问题是: 寻求可逆的线性变换, 将二次型化为标准形.
4 2 1
A的特征值为: 1 4, 2 3 5.
对 1= 4,
由A
4E
5 2 4
2 8 2
4 2 5
1 r 0
0
0 1 0
1 1
,
2 0
2
得
: 1
1 ,
2
单位化得:
P1
1
3
2 1
.
2
对 2 = 3= 5,
由A
5E
4 2
2 1
4 2
1
线性代数二次型及其标准形PPT课件
第19页/共50页
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
P1
1 3
1 2
2
P2
1 3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
2 2 1
取正交矩阵
P P1
则得所欲求的正交变换
P2
P3
1 3
1 2
2 1
2 2
即
x1 x2 x3
1 3
2 1 2
2 2 1
第3页/共50页
例如： f ( x, y) x2 4xy 5 y2
f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz
都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1x2 x2 x3 x2 x4
f (x, y) x2 y2 5 不是二次型。
f (x, y) 2x2 y2 2x
第4页/共50页
取 aij a ji 则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a21 x2 x1 a22 x22
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在
中取1,值的1,标0准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
称为二次型的规范形。
(注：这里规范形要求系数为1的项
排
在前面，其次排系数为-1的第项10。页/)共50页
目的： 对给定的二次型
n
f x1, x2 ,, xn aij xi x j (1)
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
P1
1 3
1 2
2
P2
1 3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
2 2 1
取正交矩阵
P P1
则得所欲求的正交变换
P2
P3
1 3
1 2
2 1
2 2
即
x1 x2 x3
1 3
2 1 2
2 2 1
第3页/共50页
例如： f ( x, y) x2 4xy 5 y2
f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz
都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1x2 x2 x3 x2 x4
f (x, y) x2 y2 5 不是二次型。
f (x, y) 2x2 y2 2x
第4页/共50页
取 aij a ji 则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a21 x2 x1 a22 x22
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在
中取1,值的1,标0准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
称为二次型的规范形。
(注：这里规范形要求系数为1的项
排
在前面，其次排系数为-1的第项10。页/)共50页
目的： 对给定的二次型
n
f x1, x2 ,, xn aij xi x j (1)
线性代数第5章课件：二次型
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例3 求一个正交变换x Py,把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
化为标准形.
解
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
k 1,2,,n且k i, j
xk yk 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
例1 化二次型
0 0 1
例2 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成 标 准 形, 并 求 所 用 的 变 换 矩 阵.
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
第5章 二次型
5.1 二次型的概念 5.2 化二次型为标准形 5.3 正定二次型
5.1 二次型的概念
一、二次型的定义
定义1 含有n个变量x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
线性代数 第五章二次型PPT课件
an1
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
线性代数—二次型(课件)
称 为 由 变 量 x 1 , x 2 , , x n 到 y 1 , y 2 , , y n 的 一 个 线 性 变 换 。
记
x 1
X
x2
,
x n
y 1
Y
y2
,
y n
c11
C
c21
cn1
c12 c22
cn2
c1n
c2n
,
cnn
则上述线性变换可以写成矩阵形式： XCY. 11
的矩阵A和二次型的秩，其 中 a 1,a 2,a 3不 全 为 零 。
解 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) ( a 1 x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 ) 2
a1 2
a1
x1
( x1 , x2 , x3 ) a2 (x1, x2, x3)a2(a1,a2,a3)x2,
a3
x1 c11y1 c12y2 c1n yn x2 c2 1y1 c22y2 c2n yn , xn cn1 y1 cn2 y2 cnnxn
C 称为该线性变换的矩阵。
XCY.
若 C 0 ， 则 此 线 性 变 换 称 为 可 逆 线 性 变 换 。
如果C 为正交矩阵，则此线性变换称为正交变换。
a 2x 2 2 2 2 a 2x 3 2 x 3 2 a 2 n x 2 x n
称为一个(n元)二次型.
ann xn2
本书只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。
3
f(x1,x2,,xn) a 1 x 1 2 1 2 a 1 x 1 2 x 2 2 a 1 x 1 3 x 3 2 a 1 n x 1 x n
6
f(x1,x2, ,xn)XTA,X
线性代数课件456二次型与标准形xg
2
解之 x1 2x2 2x3 其基础解系 1 1
0
先将1,2 正交化。
2
2 0
1
1 1,
2
2
2 , 1,
1 1
1
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
1 5
2
单位化
p1
1
2 1 ,
5 0
2
p2
1 35
4, 5
24
当 1 7 时解 7E AX 0
为标准形, 并求出所作的可逆线性变换.
解 x1 y1 y2
令
x2 y1 y2
x3
y3
f (x1, x2, x3) 2 y12 2 y22 4 y1y3 4 y2 y3
2( y12 2y1y3 y32 ) 2y22 4y2 y3 2y32
2( y1 y3)2 2( y2 y3)2
2 1
0 2
0 2 0
(2) 求出A 的全部特征值及其对应的标准正交的
特征向量。
2 2 0
E A 2 1 2 2 1 4
0 2
1 2 2 1 3 4
17
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
1
P1
3
1 2
2
1
P2
3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
为 x1, x2,, xn 的标准二次型（二次型的标准形）
可见 f 为对角形。
注：由（1）可见，每一项中变量的方次之和均为2。
如：
f
x12
x1x2
3x2 3
第5章(二次型)线性代数及其应用.ppt
a11x12 a12x1x2 a13x1x3 a1n x1xn a21x2 x1 a22x22 a23x2 x3 a2n x2 xn a31x3 x1 a32x3 x2 a33x32 a3n x3 xn an1xn x1 an2 xn x2 an3 xn x3 ann xn2
x1 c11 y1 c12 y2
x
2
c21 y1
c22 y2
c1n yn , c2n yn , 即 x cy
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由x1, x2, , xn到y1, y2, , yn的线性变换 .
若C可逆，称之为可逆线性变换； 若C是正交矩阵，称之为正交线性变换.
x2 ,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
1
0
1 2 3
0 3 2
x1 x2 x3
1
2
1 0 0 x1
(2)
f
(
x1
,
x2
,
x3
)
x1
,
x2
,
x3
0
1
0
x2
0 0 4 x3
问题： 如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线
f x12 3 x32 2x1 x2 4x1 x3 2x2 x3 ( x12 2x1 x2 4x1 x3 ) 3x32 2x2 x3 ( x1 x2 2x3 )2 x22 2x2 x3 7 x32
x1 c11 y1 c12 y2
x
2
c21 y1
c22 y2
c1n yn , c2n yn , 即 x cy
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由x1, x2, , xn到y1, y2, , yn的线性变换 .
若C可逆，称之为可逆线性变换； 若C是正交矩阵，称之为正交线性变换.
x2 ,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
1
0
1 2 3
0 3 2
x1 x2 x3
1
2
1 0 0 x1
(2)
f
(
x1
,
x2
,
x3
)
x1
,
x2
,
x3
0
1
0
x2
0 0 4 x3
问题： 如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线
f x12 3 x32 2x1 x2 4x1 x3 2x2 x3 ( x12 2x1 x2 4x1 x3 ) 3x32 2x2 x3 ( x1 x2 2x3 )2 x22 2x2 x3 7 x32
线性代数 正定二次型ppt课件
2. 若A, B均为n阶正定矩阵,则A B也是 正定矩阵.
性质： （Байду номын сангаас） 设λ０ 是Ａ的特征值， ｇ（ｘ）为任一多项式， 则ｇ（λ０） 是ｇ（Ａ）的特征值。（用定义证）
（２） 若Ａ可逆，则Ａ的的特征值均非零。
且若λ０ 是Ａ的特征值，则
１ λ０
为Ａ－１ 的特征值。
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
定理2之证明 设可逆变换x Cy使 n f x f Cy ki yi2.
充分性
i 1
设 k i 0 i 1,,n. 任给 x 0,
则 y C -1 x 0, 故
是否正定.
解 用特征值判别法.
二次型的矩阵为
2 A 0
0 2 4 0 ,
2 0 5
令 I A 0 1 1, 2 4, 3 6.
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x2 6 y2 4 z2 4xy 4xz
f
x
n
ki
y
2 i
0.
必要性
i 1
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量)时,
f Ces ks 0.
显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾.
故 ki 0i 1,,n.
P
1
P
n
n t
所以A的特征值为1 t，2 t，n t，当t充分大时，
它们全大于零，所以tI A是正定矩阵。
四、小结
性质： （Байду номын сангаас） 设λ０ 是Ａ的特征值， ｇ（ｘ）为任一多项式， 则ｇ（λ０） 是ｇ（Ａ）的特征值。（用定义证）
（２） 若Ａ可逆，则Ａ的的特征值均非零。
且若λ０ 是Ａ的特征值，则
１ λ０
为Ａ－１ 的特征值。
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
定理2之证明 设可逆变换x Cy使 n f x f Cy ki yi2.
充分性
i 1
设 k i 0 i 1,,n. 任给 x 0,
则 y C -1 x 0, 故
是否正定.
解 用特征值判别法.
二次型的矩阵为
2 A 0
0 2 4 0 ,
2 0 5
令 I A 0 1 1, 2 4, 3 6.
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x2 6 y2 4 z2 4xy 4xz
f
x
n
ki
y
2 i
0.
必要性
i 1
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量)时,
f Ces ks 0.
显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾.
故 ki 0i 1,,n.
P
1
P
n
n t
所以A的特征值为1 t，2 t，n t，当t充分大时，
它们全大于零，所以tI A是正定矩阵。
四、小结
线性代数课件：第六章实二次型
线性代数课件第六章实二次型
目录 Contents
• 实二次型的定义与性质 • 实二次型的标准型 • 实二次型的正定性 • 实二次型与矩阵的关系 • 实二次型的几何意义
01
实二次型的定义与性质
定义
实二次型
对于一个实数域上的线性空间V，如果存在一个由V上的线性函数f组成的双线 性函数Q，使得对于V中的任意元素x和y，有Q(x,y)=f(x)*f(y)，则称Q为V上的 一个实二次型。
实二次型的正定性的应用
判断矩阵的正定性
通过判断矩阵对应的二次型是否正定，可以确定矩阵的正定性。
判断向量组的线性无关性
如果一个向量组在正定二次型下线性无关，则该向量组一定是线性 无关的。
优化问题
在优化问题中，正定二次型常常被用作目标函数的约束条件，以保 证优化问题的解是唯一的。
04
实二次型与矩阵的关系
实二次型的性质
实二次型的矩阵表示
实二次型可以表示为一个矩阵和向量 的乘积，其中矩阵是二次型中各项系 数的矩阵，向量是变量构成的向量。
实二次型具有对称性，即对于任意两 个变量x和y，x和y的系数相等。
实二次型的标准型转换
线性变换
通过线性变换可以将实二次型转 换为标准型。线性变换是通过一 个可逆矩阵左乘原二次型矩阵得
二次型的矩阵表示
对于任意向量x=[x1,x2,...,xn]^T，如果将f(x)表示为矩阵A与向量x的乘积形式 f(x)=Ax，那么二次型Q(x,y)可以表示为Q(x,y)=x^TAy。
性质
实对称性
实二次型总是实对称的，即对于 任意向量x和y，有Q(x,y)=Q(y,x)
。
正定性
如果对于所有的非零向量x，都有 Q(x,x)>0，则称实二次型为正定的 。
目录 Contents
• 实二次型的定义与性质 • 实二次型的标准型 • 实二次型的正定性 • 实二次型与矩阵的关系 • 实二次型的几何意义
01
实二次型的定义与性质
定义
实二次型
对于一个实数域上的线性空间V，如果存在一个由V上的线性函数f组成的双线 性函数Q，使得对于V中的任意元素x和y，有Q(x,y)=f(x)*f(y)，则称Q为V上的 一个实二次型。
实二次型的正定性的应用
判断矩阵的正定性
通过判断矩阵对应的二次型是否正定，可以确定矩阵的正定性。
判断向量组的线性无关性
如果一个向量组在正定二次型下线性无关，则该向量组一定是线性 无关的。
优化问题
在优化问题中，正定二次型常常被用作目标函数的约束条件，以保 证优化问题的解是唯一的。
04
实二次型与矩阵的关系
实二次型的性质
实二次型的矩阵表示
实二次型可以表示为一个矩阵和向量 的乘积，其中矩阵是二次型中各项系 数的矩阵，向量是变量构成的向量。
实二次型具有对称性，即对于任意两 个变量x和y，x和y的系数相等。
实二次型的标准型转换
线性变换
通过线性变换可以将实二次型转 换为标准型。线性变换是通过一 个可逆矩阵左乘原二次型矩阵得
二次型的矩阵表示
对于任意向量x=[x1,x2,...,xn]^T，如果将f(x)表示为矩阵A与向量x的乘积形式 f(x)=Ax，那么二次型Q(x,y)可以表示为Q(x,y)=x^TAy。
性质
实对称性
实二次型总是实对称的，即对于 任意向量x和y，有Q(x,y)=Q(y,x)
。
正定性
如果对于所有的非零向量x，都有 Q(x,x)>0，则称实二次型为正定的 。
线性代数二次型讲义
AQ ( A1, A2 ,, An ) (11, 22 ,, nn )
1 2 QA. (1 , 2 ,, n ) n
§1、二次型及其标准形 一、二次型的矩阵表示
定义
二次齐次多项式 f (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz 称为实二次型. 其中aij 为实常数.
取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 ,
从而, 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a13xz = a13xz + a31zx , 2a23yz = a23yz + a32zy .
f = a11x2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y2 + a23yz + a31zx + a32zy + a33z2 = x (a11x + a12y + a13z) + y (a21x + a22y + a23z) + z (a31x + a32y + a33z)
定理
设 是欧氏空间 Rn 上的线性变换，则下列四 个条件等价(互为充分必要条件) . (1) 为正交变换 . (2) 把 Rn 的标准正交基变为标准正交基 .
(3) || ()|| = ||||, Rn ( 保持向量长度不变 ) .
(4) ( (X ), (Y )) = ( X, Y ) ( 保内积不变 ) . 第七章 二次型与二次曲面
方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于 研究这个二次曲线的几何性质, 通过基变换(坐标变换), 把 方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程 a'x'2+c'y'2=f 在二次曲面的研究中也有类似的问题. (2)
1 2 QA. (1 , 2 ,, n ) n
§1、二次型及其标准形 一、二次型的矩阵表示
定义
二次齐次多项式 f (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz 称为实二次型. 其中aij 为实常数.
取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 ,
从而, 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a13xz = a13xz + a31zx , 2a23yz = a23yz + a32zy .
f = a11x2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y2 + a23yz + a31zx + a32zy + a33z2 = x (a11x + a12y + a13z) + y (a21x + a22y + a23z) + z (a31x + a32y + a33z)
定理
设 是欧氏空间 Rn 上的线性变换，则下列四 个条件等价(互为充分必要条件) . (1) 为正交变换 . (2) 把 Rn 的标准正交基变为标准正交基 .
(3) || ()|| = ||||, Rn ( 保持向量长度不变 ) .
(4) ( (X ), (Y )) = ( X, Y ) ( 保内积不变 ) . 第七章 二次型与二次曲面
方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于 研究这个二次曲线的几何性质, 通过基变换(坐标变换), 把 方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程 a'x'2+c'y'2=f 在二次曲面的研究中也有类似的问题. (2)
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y T Q T Q y T y y y ,y y 2
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1.将二次型表成 f 矩 xTA阵 ,x求 形出 A;式
2 .求 A 的 出所 有 1,2, 特 ,n ; 征值
3.求出对应征 于向 特 1,2量 征 ,,n值 ;
4 .将特 1,征 2, ,n 向 正量 ,交 单,化 位 得化 1,2, ,n ,记 C 1,2, ,n;
都为二次型；而
f x 1 ,x 2 ,x 3 x 1 2 4 x 2 2 4 x 3 2
为二次型的标准形.
取ajiaij,
f a 1 x 1 2 1 a 1 x 1 x 2 2 a 1 n x 1 x n a 2 x 2 x 1 1 a 2 x 2 2 2 a 2 n x 2 x n
由于对任意的实 阵A对 ,总称 有矩 正交P矩 , 阵
P P 使 1AP,即 TAP.因此把这个结论
用于二次 ,即型 有
n
定理1 任给二 f次ai型 jxixj aijaji,总有
i,j1
正交x变 P,换 y 使f化为标准形
f 1 y 1 2 2 y 2 2 n y n 2 ,
五 、 小 结 、 思 考 题
一、二次型及其标准形的概念
定 1含 义 n 个 有x 变 1 ,x 2, 量 ,x n 的二次
fx 1 ,x 2 , ,x n a 1x 1 1 2 a 2x 2 2 2 a nx n n 2
2 a 1x 2 1 x 2 2 a 1x 3 1 x 3 2 a n 1 ,n x n 1 x n 称为二次型.
实对称 A叫 矩 做 阵 二 f的 次 矩 ;型 阵 f叫做实对称 A的 矩二 阵次 ; 型
实对称A的 矩秩 阵叫做f二 的次 秩 . 型
例１ 写出二次型 fx122x223x324x1x26x2x3
的矩 . 阵
解 a 1 1 1 ,a 2 2 2 ,a 3 3 3 , a12a212, a13a310, a23 a32 3.
二次型
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向的量概念 二、特征值与特征向的量求法 三、特征值与特征向的量性质
四 、 小 结 、 思 考 题
特征值问题与二次型
第六章 二次型及其标准形
一、二次型及其标准的形概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为的 标正 准交 形变换法
a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a n x n 2 n
n
aij xi xj .
i, j1
二、二次型的表示方法
2．用矩阵表示
f a 1 x 1 2 1 a 1 x 1 x 2 2 a 1 n x 1 x n a 2 x 2 x 1 1 a 2 x 2 2 2 a 2 n x 2 x n a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a n x n 2 n
f x1,x2,x31 1 5x2
0 2 0x3
的矩阵 A.
解 由于二次型的矩
2 1
0
2
1 3 2 1
52 2
1 0
2 5
2
0
2
2
1
1
2
1 1 72
1 2
7
2
0
四、化二次型为标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
5.作正交 xC 变 ,则 y换 f得 的标准形
f 1y1 2nyn 2.
例4 将二次型
其 1 ,2 , 中 ,n 是 f 的 A a 矩 i的 j . 阵 特
说明
1、f xTAx经过正交变换准 化形 成的 系数一A 定 的是 特征 . 值
2、对正交 x变 Q而 y换言，正交变换 持向量的长度在 不 x变 Q时 y，， 即必有
x2 y2 事实上，
x 2 x ,x Q ,Q y ( y Q ) T ( Q y ) y
当 ai是 j 复 ,f称 数 复为 二时 次型 ; 当 ai是 j 实 ,f称 数 实为 二时 次型 . 说明 本书只考虑实二次 型
只含有平方项的二次型 f k 1 y 1 2 k 2 y 2 2 k n y n 2
称为二次型的标准形． 例如
f x 1 , x 2 , x 3 2 x 1 2 4 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 3 f x 1 , x 2 , x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3
设有可逆 线性变换
x1 c11y1 c12y2 c1nyn, x2 c21y1c22y2 c2nyn,
xn cn1y1 cn2y2 cnnyn
c 若记C 矩 (阵 ),则上述可逆线性变换记可作 ij xCy
将其f代 xTA 入 ,有 x
f xTAxCyTACyy TC T Ay C .
y C kk k T T A C y 1 y 1 2 2 y 2 2 L n y n 2
a11 a12 a1nx1
x1,x2,,xna21
a22
a2nx2
an1 an2 annxn
则二次f型 xT可 A,其 x记 A 中 为 作实对 . 称
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
定0理 任给可 C ,令 B 逆 C TA 矩 ,如 CA 阵 为 果对
矩,则 阵 B 也为对 ,且 rB 称 rA 矩 . 阵
定义2 对 n 阶方 A 和 B ,若 针存 n 阶在 满 P , 秩 使成立 BPTAP则A 称 与 B合同.
于是，化二次型 形为 的标 问准 题就转变
使实对称矩阵对 合角 同矩 于阵 实.的问题
1 2 0 A2 2 3.
0 3 3
例2 试写出二次型 f ( x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) 3 x 1 2 2 x 2 2 4 x 1 x 3
的矩阵 A. 解 依题意，该二次型的阵矩应为
3 0 2 0
A
0
2
0
0
2 0 0 0
0 0 0 0
例3 试写出二次型
2 3 1x1
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1.将二次型表成 f 矩 xTA阵 ,x求 形出 A;式
2 .求 A 的 出所 有 1,2, 特 ,n ; 征值
3.求出对应征 于向 特 1,2量 征 ,,n值 ;
4 .将特 1,征 2, ,n 向 正量 ,交 单,化 位 得化 1,2, ,n ,记 C 1,2, ,n;
都为二次型；而
f x 1 ,x 2 ,x 3 x 1 2 4 x 2 2 4 x 3 2
为二次型的标准形.
取ajiaij,
f a 1 x 1 2 1 a 1 x 1 x 2 2 a 1 n x 1 x n a 2 x 2 x 1 1 a 2 x 2 2 2 a 2 n x 2 x n
由于对任意的实 阵A对 ,总称 有矩 正交P矩 , 阵
P P 使 1AP,即 TAP.因此把这个结论
用于二次 ,即型 有
n
定理1 任给二 f次ai型 jxixj aijaji,总有
i,j1
正交x变 P,换 y 使f化为标准形
f 1 y 1 2 2 y 2 2 n y n 2 ,
五 、 小 结 、 思 考 题
一、二次型及其标准形的概念
定 1含 义 n 个 有x 变 1 ,x 2, 量 ,x n 的二次
fx 1 ,x 2 , ,x n a 1x 1 1 2 a 2x 2 2 2 a nx n n 2
2 a 1x 2 1 x 2 2 a 1x 3 1 x 3 2 a n 1 ,n x n 1 x n 称为二次型.
实对称 A叫 矩 做 阵 二 f的 次 矩 ;型 阵 f叫做实对称 A的 矩二 阵次 ; 型
实对称A的 矩秩 阵叫做f二 的次 秩 . 型
例１ 写出二次型 fx122x223x324x1x26x2x3
的矩 . 阵
解 a 1 1 1 ,a 2 2 2 ,a 3 3 3 , a12a212, a13a310, a23 a32 3.
二次型
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向的量概念 二、特征值与特征向的量求法 三、特征值与特征向的量性质
四 、 小 结 、 思 考 题
特征值问题与二次型
第六章 二次型及其标准形
一、二次型及其标准的形概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为的 标正 准交 形变换法
a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a n x n 2 n
n
aij xi xj .
i, j1
二、二次型的表示方法
2．用矩阵表示
f a 1 x 1 2 1 a 1 x 1 x 2 2 a 1 n x 1 x n a 2 x 2 x 1 1 a 2 x 2 2 2 a 2 n x 2 x n a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a n x n 2 n
f x1,x2,x31 1 5x2
0 2 0x3
的矩阵 A.
解 由于二次型的矩
2 1
0
2
1 3 2 1
52 2
1 0
2 5
2
0
2
2
1
1
2
1 1 72
1 2
7
2
0
四、化二次型为标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
5.作正交 xC 变 ,则 y换 f得 的标准形
f 1y1 2nyn 2.
例4 将二次型
其 1 ,2 , 中 ,n 是 f 的 A a 矩 i的 j . 阵 特
说明
1、f xTAx经过正交变换准 化形 成的 系数一A 定 的是 特征 . 值
2、对正交 x变 Q而 y换言，正交变换 持向量的长度在 不 x变 Q时 y，， 即必有
x2 y2 事实上，
x 2 x ,x Q ,Q y ( y Q ) T ( Q y ) y
当 ai是 j 复 ,f称 数 复为 二时 次型 ; 当 ai是 j 实 ,f称 数 实为 二时 次型 . 说明 本书只考虑实二次 型
只含有平方项的二次型 f k 1 y 1 2 k 2 y 2 2 k n y n 2
称为二次型的标准形． 例如
f x 1 , x 2 , x 3 2 x 1 2 4 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 3 f x 1 , x 2 , x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3
设有可逆 线性变换
x1 c11y1 c12y2 c1nyn, x2 c21y1c22y2 c2nyn,
xn cn1y1 cn2y2 cnnyn
c 若记C 矩 (阵 ),则上述可逆线性变换记可作 ij xCy
将其f代 xTA 入 ,有 x
f xTAxCyTACyy TC T Ay C .
y C kk k T T A C y 1 y 1 2 2 y 2 2 L n y n 2
a11 a12 a1nx1
x1,x2,,xna21
a22
a2nx2
an1 an2 annxn
则二次f型 xT可 A,其 x记 A 中 为 作实对 . 称
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
定0理 任给可 C ,令 B 逆 C TA 矩 ,如 CA 阵 为 果对
矩,则 阵 B 也为对 ,且 rB 称 rA 矩 . 阵
定义2 对 n 阶方 A 和 B ,若 针存 n 阶在 满 P , 秩 使成立 BPTAP则A 称 与 B合同.
于是，化二次型 形为 的标 问准 题就转变
使实对称矩阵对 合角 同矩 于阵 实.的问题
1 2 0 A2 2 3.
0 3 3
例2 试写出二次型 f ( x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) 3 x 1 2 2 x 2 2 4 x 1 x 3
的矩阵 A. 解 依题意，该二次型的阵矩应为
3 0 2 0
A
0
2
0
0
2 0 0 0
0 0 0 0
例3 试写出二次型
2 3 1x1