线性代数 二次型 课件资料讲解
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f x1,x2,x31 1 5x2
0 2 0x3
的矩阵 A.
解 由于二次型的矩 实阵 对必 称是 矩阵，
而有
2
A
1
3
2 1
0
2
1 3 2 1
52 2
1 0
2 5
2
0
2
2
1
1
2
1 1 72
1 2
7
2
0
四、化二次型为标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
1 2 0 A2 2 3.
0 3 3
例2 试写出二次型 f ( x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) 3 x 1 2 2 x 2 2 4 x 1 x 3
的矩阵 A. 解 依题意，该二次型的阵矩应为
ຫໍສະໝຸດ Baidu
3 0 2 0
A
0
2
0
0
2 0 0 0
0 0 0 0
例3 试写出二次型
2 3 1x1
定0理 任给可 C ,令 B 逆 C TA 矩 ,如 CA 阵 为 果对
矩,则 阵 B 也为对 ,且 rB 称 rA 矩 . 阵
定义2 对 n 阶方 A 和 B ,若 针存 n 阶在 满 P , 秩 使成立 BPTAP则A 称 与 B合同.
于是，化二次型 形为 的标 问准 题就转变
使实对称矩阵对 合角 同矩 于阵 实.的问题
a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a n x n 2 n
n
aij xi xj .
i, j1
二、二次型的表示方法
2．用矩阵表示
f a 1 x 1 2 1 a 1 x 1 x 2 2 a 1 n x 1 x n a 2 x 2 x 1 1 a 2 x 2 2 2 a 2 n x 2 x n a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a n x n 2 n
a11 a12 a1nx1
x1,x2,,xna21
a22
a2nx2
an1 an2 annxn
则二次f型 xT可 A,其 x记 A 中 为 作实对 . 称
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
二次型
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向的量概念 二、特征值与特征向的量求法 三、特征值与特征向的量性质
四 、 小 结 、 思 考 题
特征值问题与二次型
第六章 二次型及其标准形
一、二次型及其标准的形概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为的 标正 准交 形变换法
y T Q T Q y T y y y ,y y 2
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1.将二次型表成 f 矩 xTA阵 ,x求 形出 A;式
2 .求 A 的 出所 有 1,2, 特 ,n ; 征值
3.求出对应征 于向 特 1,2量 征 ,,n值 ;
4 .将特 1,征 2, ,n 向 正量 ,交 单,化 位 得化 1,2, ,n ,记 C 1,2, ,n;
5.作正交 xC 变 ,则 y换 f得 的标准形
f 1y1 2nyn 2.
例4 将二次型
设有可逆 线性变换
x1 c11y1 c12y2 c1nyn, x2 c21y1c22y2 c2nyn,
xn cn1y1 cn2y2 cnnyn
c 若记C 矩 (阵 ),则上述可逆线性变换记可作 ij xCy
将其f代 xTA 入 ,有 x
f xTAxCyTACyy TC T Ay C .
y C kk k T T A C y 1 y 1 2 2 y 2 2 L n y n 2
都为二次型；而
f x 1 ,x 2 ,x 3 x 1 2 4 x 2 2 4 x 3 2
为二次型的标准形.
取ajiaij,
f a 1 x 1 2 1 a 1 x 1 x 2 2 a 1 n x 1 x n a 2 x 2 x 1 1 a 2 x 2 2 2 a 2 n x 2 x n
实对称 A叫 矩 做 阵 二 f的 次 矩 ;型 阵 f叫做实对称 A的 矩二 阵次 ; 型
实对称A的 矩秩 阵叫做f二 的次 秩 . 型
例１ 写出二次型 fx122x223x324x1x26x2x3
的矩 . 阵
解 a 1 1 1 ,a 2 2 2 ,a 3 3 3 , a12a212, a13a310, a23 a32 3.
当 ai是 j 复 ,f称 数 复为 二时 次型 ; 当 ai是 j 实 ,f称 数 实为 二时 次型 . 说明 本书只考虑实二次 型
只含有平方项的二次型 f k 1 y 1 2 k 2 y 2 2 k n y n 2
称为二次型的标准形． 例如
f x 1 , x 2 , x 3 2 x 1 2 4 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 3 f x 1 , x 2 , x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3
五 、 小 结 、 思 考 题
一、二次型及其标准形的概念
定 1含 义 n 个 有x 变 1 ,x 2, 量 ,x n 的二次
fx 1 ,x 2 , ,x n a 1x 1 1 2 a 2x 2 2 2 a nx n n 2
2 a 1x 2 1 x 2 2 a 1x 3 1 x 3 2 a n 1 ,n x n 1 x n 称为二次型.
其 1 ,2 , 中 ,n 是 f 的 A a 矩 i的 j . 阵 特
说明
1、f xTAx经过正交变换准 化形 成的 系数一A 定 的是 特征 . 值
2、对正交 x变 Q而 y换言，正交变换 持向量的长度在 不 x变 Q时 y，， 即必有
x2 y2 事实上，
x 2 x ,x Q ,Q y ( y Q ) T ( Q y ) y
由于对任意的实 阵A对 ,总称 有矩 正交P矩 , 阵
P P 使 1AP,即 TAP.因此把这个结论
用于二次 ,即型 有
n
定理1 任给二 f次ai型 jxixj aijaji,总有
i,j1
正交x变 P,换 y 使f化为标准形
f 1 y 1 2 2 y 2 2 n y n 2 ,
0 2 0x3
的矩阵 A.
解 由于二次型的矩 实阵 对必 称是 矩阵，
而有
2
A
1
3
2 1
0
2
1 3 2 1
52 2
1 0
2 5
2
0
2
2
1
1
2
1 1 72
1 2
7
2
0
四、化二次型为标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
1 2 0 A2 2 3.
0 3 3
例2 试写出二次型 f ( x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) 3 x 1 2 2 x 2 2 4 x 1 x 3
的矩阵 A. 解 依题意，该二次型的阵矩应为
ຫໍສະໝຸດ Baidu
3 0 2 0
A
0
2
0
0
2 0 0 0
0 0 0 0
例3 试写出二次型
2 3 1x1
定0理 任给可 C ,令 B 逆 C TA 矩 ,如 CA 阵 为 果对
矩,则 阵 B 也为对 ,且 rB 称 rA 矩 . 阵
定义2 对 n 阶方 A 和 B ,若 针存 n 阶在 满 P , 秩 使成立 BPTAP则A 称 与 B合同.
于是，化二次型 形为 的标 问准 题就转变
使实对称矩阵对 合角 同矩 于阵 实.的问题
a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a n x n 2 n
n
aij xi xj .
i, j1
二、二次型的表示方法
2．用矩阵表示
f a 1 x 1 2 1 a 1 x 1 x 2 2 a 1 n x 1 x n a 2 x 2 x 1 1 a 2 x 2 2 2 a 2 n x 2 x n a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a n x n 2 n
a11 a12 a1nx1
x1,x2,,xna21
a22
a2nx2
an1 an2 annxn
则二次f型 xT可 A,其 x记 A 中 为 作实对 . 称
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
二次型
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向的量概念 二、特征值与特征向的量求法 三、特征值与特征向的量性质
四 、 小 结 、 思 考 题
特征值问题与二次型
第六章 二次型及其标准形
一、二次型及其标准的形概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为的 标正 准交 形变换法
y T Q T Q y T y y y ,y y 2
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1.将二次型表成 f 矩 xTA阵 ,x求 形出 A;式
2 .求 A 的 出所 有 1,2, 特 ,n ; 征值
3.求出对应征 于向 特 1,2量 征 ,,n值 ;
4 .将特 1,征 2, ,n 向 正量 ,交 单,化 位 得化 1,2, ,n ,记 C 1,2, ,n;
5.作正交 xC 变 ,则 y换 f得 的标准形
f 1y1 2nyn 2.
例4 将二次型
设有可逆 线性变换
x1 c11y1 c12y2 c1nyn, x2 c21y1c22y2 c2nyn,
xn cn1y1 cn2y2 cnnyn
c 若记C 矩 (阵 ),则上述可逆线性变换记可作 ij xCy
将其f代 xTA 入 ,有 x
f xTAxCyTACyy TC T Ay C .
y C kk k T T A C y 1 y 1 2 2 y 2 2 L n y n 2
都为二次型；而
f x 1 ,x 2 ,x 3 x 1 2 4 x 2 2 4 x 3 2
为二次型的标准形.
取ajiaij,
f a 1 x 1 2 1 a 1 x 1 x 2 2 a 1 n x 1 x n a 2 x 2 x 1 1 a 2 x 2 2 2 a 2 n x 2 x n
实对称 A叫 矩 做 阵 二 f的 次 矩 ;型 阵 f叫做实对称 A的 矩二 阵次 ; 型
实对称A的 矩秩 阵叫做f二 的次 秩 . 型
例１ 写出二次型 fx122x223x324x1x26x2x3
的矩 . 阵
解 a 1 1 1 ,a 2 2 2 ,a 3 3 3 , a12a212, a13a310, a23 a32 3.
当 ai是 j 复 ,f称 数 复为 二时 次型 ; 当 ai是 j 实 ,f称 数 实为 二时 次型 . 说明 本书只考虑实二次 型
只含有平方项的二次型 f k 1 y 1 2 k 2 y 2 2 k n y n 2
称为二次型的标准形． 例如
f x 1 , x 2 , x 3 2 x 1 2 4 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 3 f x 1 , x 2 , x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3
五 、 小 结 、 思 考 题
一、二次型及其标准形的概念
定 1含 义 n 个 有x 变 1 ,x 2, 量 ,x n 的二次
fx 1 ,x 2 , ,x n a 1x 1 1 2 a 2x 2 2 2 a nx n n 2
2 a 1x 2 1 x 2 2 a 1x 3 1 x 3 2 a n 1 ,n x n 1 x n 称为二次型.
其 1 ,2 , 中 ,n 是 f 的 A a 矩 i的 j . 阵 特
说明
1、f xTAx经过正交变换准 化形 成的 系数一A 定 的是 特征 . 值
2、对正交 x变 Q而 y换言，正交变换 持向量的长度在 不 x变 Q时 y，， 即必有
x2 y2 事实上，
x 2 x ,x Q ,Q y ( y Q ) T ( Q y ) y
由于对任意的实 阵A对 ,总称 有矩 正交P矩 , 阵
P P 使 1AP,即 TAP.因此把这个结论
用于二次 ,即型 有
n
定理1 任给二 f次ai型 jxixj aijaji,总有
i,j1
正交x变 P,换 y 使f化为标准形
f 1 y 1 2 2 y 2 2 n y n 2 ,