指数函数多项式展开及其应用

学号：0907410028

本科毕业论文（设计）

( 2013届)

指数函数的多项式展开及其应用

院系数学系

专业数学与应用数学姓名许月

指导教师齐继兵

职称讲师

等级

摘要

指数函数是基本的初等函数，它的性质及其多项式逼近形式应用非常广泛.本文将主要围绕指数函数的多项式展开式进行研究，首先论述了指数函数的泰勒展开式的概念，给

出了泰勒公式的一种证明，利用MATLAB做出了指数函数与其不同多项式逼近函数的图像，

并进行了误差分析和比较.简要介绍了自然指数函数展开式的两种多重分割法的概念及性

质.接着又讨论了指数函数的泰勒展开式在求解非线性发展方程，求解极限，近似估值以

及在不等式证明当中的应用.这些应用反映了利用指数函数展开式及相关性质在解决一些

问题中的技巧和方法，有助于进一步深入理解指数函数及其多项式展开在解决实际问题中

的重要作用.

关键词：指数函数初等函数多项式泰勒展开

装

订

线

ABSTRACT

Exponential function is the basic elementary function, it has a very wide range of properties

and its application form of polynomial approximation. This paper will mainly focus on the

exponential polynomial expansion is studies, firstly discusses the concept of Taylor expansion of

exponential function, one can prove the Taylor formula, using MATLAB to make the exponential

function with different images of the polynomial approximation function, and the error analysis

and comparison. Nature of exponential function expansion is briefly introduced the concept of

two multiple segmentation and nature, and then discussed the Taylor expansion of exponential

function in solving nonlinear evolution equations, the solving limit, approximate valuation as

well as the application in the middle of the inequality proof. These applications reflects the use

of exponential function expansion and related properties in the methods and skills in solving

some problems, will help to further understand exponential and polynomial expansion’s

important role in solving practical problems[10].

Key words:exponential function elementary function polynomial Taylor expansion

装

订

线

目录

摘要...................................................... I ABSTRACT ................................................... II 1引言 (1)

2指数函数的多项式展开 (1)

2.1函数多项式展开的概念 (1)

2.2泰勒展开式的证明 (1)

2.3指数函数多项式逼近图 (2)

2.4自然指数函数展开式的多重分割法 (6)

3指数函数多项式展开的应用 (8)

3.1应用指数函数展开法求解非线性发展方程 (8)

3.2利用指数函数展开法求极限 (11)

3.3利用指数函数展开式进行近似计算 (12)

3.4利用泰勒公式证明不等式 (13)

4结束语 (14)

参考文献 (14)

1 引言

指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是学习对数函数的基础，在生活及生产实际中有着广泛的应用.多项式理论在代数中也占有十分重要的地位，且在数学的各门学科中都有着广泛的运用.关于多项式的定义，在1981年12月第一版统编六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册中说“一个多项式的元和系数都在实数集上取值时，这个多项式就叫做实数集R 上的多项式”，这个说法前一句讲的是多项式函数，而后一句却有问题，1983年11月第一版统编6年制重点中学高中数学课本《代数》第三册把这段话删去了，改为“以x 为元的一元n 次多项式的一般形式可以写成1110n n n n a x a x a x a --++

++这里n 是确定的自然数，0n a ≠”[1].

2 指数函数的多项式展开

多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学方面问题的有力杠杆.

2.1 函数多项式展开的概念

定义[2] 指数函数的多项式展开即泰勒展开，对于一般的函数()f x ，假设它在一点0x 存在直到n 阶的导数，且多项式()n T x 由这些导数构成，即

()()()()()()()()()'''2

00000001!2!

!

n n

n f x f x f x T x f x x x x x x x n =+-+-+

+-

该式称为函数()f x 在该点处的泰勒公式. 指数函数在点0x 处的泰勒展开式为

()()()()()()(

)

()

()

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x

n f x f x a f x f x f x x x x x x x T x o x x n ==+-+-+

+

-+

=+-

这里()(

)

0n

o x x -称为佩亚诺型余项.

2.2 泰勒展开式的证明

泰勒公式的证明方法有许多种，本文利用最基本的方法给出泰勒公式的证明.

定理[2] 若函数()x f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()()

n

n x x o x T x f 0-+=，即

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