指数函数多项式展开及其应用
常用函数公式运用
常用函数公式运用介绍常用函数公式及其运用是一个很广泛的话题。
由于篇幅有限，我将介绍一些常见的函数公式及其在数学、物理、工程和经济等领域的应用。
1.三角函数公式：- sin²x + cos²x = 1：这个简单的三角恒等式是很多三角函数相关公式的基础。
它在几何学、物理学和工程学中经常被用来证明三角形的恒等关系，以及计算角度间的关系。
- 三角函数的和差化积公式：例如sin(x+x) = sin x cos x +cos x sin x，这个公式在解决角度和方向问题时非常有用。
2.指数函数公式：-指数函数的性质e^(x+x)=e^x*e^x：这个公式在解决复利问题和连续增长模型时非常有用。
它被广泛应用于经济学中的复利计算和人口增长模型中。
- 牛顿冷却定律：温度变化率与温度差成正比，即dT/dt = -k(T-T_a)，其中k为比例常数，T为物体温度，T_a为环境温度。
这个公式描述了物体的温度随时间的变化，从而可以用来研究随时间变化的物理系统。
3.对数函数公式：- 对数函数的性质log(x * x) = log x + log x：这个公式在解决乘法问题时非常有用。
它在经济学、物理学和计算机科学中的各种模型中经常被应用。
-高斯分布公式：x=x^−((x−x)^2/2x^2)/(x√(2x))，其中x 为均值，x为标准差。
这个公式描述了一种常见的概率分布模型，广泛应用于统计学、金融学和工程学中。
4.多项式函数公式：-迪利克雷公式：x(x)=∑(x，x)x(x)=x，其中x(x)表示正整数x的因数个数，x(x)表示小于或等于x且与x互质的数的个数。
这个公式在数论中有重要的应用。
-贝塞尔函数公式：贝塞尔函数是一类特殊函数，用来解决边界值问题。
它们在物理学和工程学中广泛应用于波动现象、傅里叶分析和信号处理等领域。
5.微积分公式：-牛顿-莱布尼茨公式：∫(x,x)x'(x)xx=x(x)−x(x)，其中x'(x)表示函数x(x)的导数。
x的n次方用勒让德多项式展开_补充说明
x的n次方用勒让德多项式展开补充说明引言部分：1.1 概述：本文将讨论在数学中基于勒让德多项式的展开定理，研究如何使用勒让德多项式对$x$的$n$次方进行展开。
勒让德多项式是一类经典的特殊函数，具有广泛的应用。
通过对$x$的$n$次方展开为勒让德多项式，可以得到一种形式紧凑且逼近精确度较高的表达方式。
1.2 文章结构：本文共包含五个部分。
首先，在引言部分我们将概述文章内容，并介绍各个章节的组织与结构。
其次，在第二节中，我们将简要介绍勒让德多项式及其在数学中的应用。
随后，第三节将详细阐述使用数值计算与逼近求解方法来展开$x$的$n$次方为勒让德多项式的步骤和原理。
接着，在第四节中探索了该定理在物理学领域中的具体应用案例，并介绍了其他相关数学拓展研究方向以及利用其他多项式对$x^n$进行展开与比较。
最后，在第五节中我们将总结本文内容，并对勒让德多项式展开定理的意义和应用进行总结，并展望未来研究方向。
1.3 目的：本文旨在深入探讨勒让德多项式在数学及物理学中的应用，以及如何使用勒让德多项式将$x$的$n$次方进行展开。
通过详细的步骤说明和示例分析，读者将能够更好地理解该展开定理，并了解其实际应用领域。
此外，本文还将对未来相关研究方向进行探讨和展望。
2. x的n次方用勒让德多项式展开2.1 勒让德多项式简介勒让德多项式是以法国数学家勒让德命名的一类特殊函数，通常用P_n(x)表示。
它们是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，并且具有许多重要的性质和应用。
勒让德多项式是使用递推关系进行计算的，其形式为：P_0(x) = 1P_1(x) = x(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)2.2 勒让德多项式在数学中的应用勒让德多项式在物理学、工程学和应用数学等领域都有广泛的应用。
它们可以被用来解决微分方程、求解特定问题以及进行函数逼近等工作。
例如，在量子力学中，勒让德多项式描述了角动量和能量本征态；在流体力学中，它们用于描述球面对称流场；在信号处理中，它们可用于信号分析和滤波等。
基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
它们在数学和实际问题中具有广泛的应用，因此掌握基本初等函数的性质和特点对于学习和理解数学非常重要。
下面将对基本初等函数的知识点进行总结。
一、多项式函数多项式函数是由常数乘以各个整数幂的变量构成的函数。
它的一般形式为：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x+a_0$$其中，$a_n, a_{n-1},\dots,a_1,a_0$为常数，$n$为正整数，$a_n \neq 0$。
多项式函数的特点包括：定义域为实数集，值域为实数集，可导且导函数为次数比原来次数低一的多项式函数。
二、指数函数指数函数的一般形式为：$$f(x) = a^x$$其中，$a$为正实数且不等于1。
指数函数的特点包括：定义域为实数集，值域为正实数集，可导且导函数为$a^x\ln a$。
三、对数函数对数函数的一般形式为：$$f(x) = \log_a x$$其中，$a$为正实数且不等于1，$x$为正实数。
对数函数的特点包括：定义域为正实数集，值域为实数集，可导且导函数为$\frac{1}{x\ln a}$。
四、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的一般形式为：$$\sin x, \cos x, \tan x$$其中，$x$为实数。
三角函数的特点包括：定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]，具有周期性，可导且导函数是相关三角函数的倍数。
五、反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
它们的一般形式为：$$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$$其中，$x$在相应的定义域内。
反三角函数的特点包括：定义域为闭区间[-1, 1]，值域为实数集，可导且导函数是相关函数的倒数。
基本初等函数的性质还包括：1. 奇偶性对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数；如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数。
多项式展开式公式
多项式展开式公式多项式展开式可以用于求解多种数学问题，包括代数问题、几何问题和物理问题。
在代数中，多项式展开式可以用于解决方程、求多项式的根等问题。
在几何中，多项式展开式可以用于计算多边形的面积和体积，以及解决平面上的几何问题。
在物理中，多项式展开式可以用于计算物体的运动、力学系统的能量等。
1.二项式展开式：对于形如(a+b)^n的二项式，展开式可以由二项式定理给出：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n-1)*a^1*b^(n-1)+C(n,n)*a^0*b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
2.平方差展开式：对于形如(a-b)^2的平方差，展开式可以由平方差公式给出：(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^23.平方和展开式：对于形如(a+b)^2的平方和，展开式可以由平方和公式给出：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^24.立方差展开式：对于形如(a-b)^3的立方差，展开式可以由立方差公式给出：(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^35.立方和展开式：对于形如(a+b)^3的立方和，展开式可以由立方和公式给出：(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^36.二次多项式展开式：对于形如(ax+b)^2的二次多项式，展开式可以由二次多项式展开公式给出：(ax+b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^27.三次多项式展开式：对于形如(ax+b)^3的三次多项式，展开式可以由三次多项式展开公式给出：(ax+b)^3 = a^3x^3 + 3a^2bx^2 + 3ab^2x + b^3这些公式是多项式展开的基础，可以根据需求进行扩展和组合。
在实际应用中，我们可以使用这些展开式公式来计算多项式表达式的值、求解方程、进行因式分解等。
高中数学指数函数的变形与应用实例
高中数学指数函数的变形与应用实例一、指数函数的基本形式与性质指数函数是高中数学中重要的函数之一，它的基本形式为y=a^x，其中a是一个正实数且不等于1。
指数函数的图像特点是通过点(0,1)，且随着x的增大，y值呈指数增长或指数衰减。
指数函数的性质有以下几个方面：1. 当a>1时，指数函数是递增函数；当0<a<1时，指数函数是递减函数。
2. 当x为自然数时，指数函数的值为a的x次幂。
3. 当x为负数时，指数函数的值为a的-x次幂的倒数。
4. 当x为0时，指数函数的值为1。
5. 当x为正无穷大时，指数函数的值趋近于正无穷大；当x为负无穷大时，指数函数的值趋近于0。
二、指数函数的变形与应用实例1. 指数函数的平移变形平移变形是指在函数的基本形式上，通过改变参数来改变函数的图像位置。
对于指数函数y=a^x，平移变形可以表示为y=a^(x-h)+k，其中(h,k)为平移的距离。
例如，考虑指数函数y=2^x，我们可以通过平移变形来得到新的函数图像。
若将函数向右平移2个单位，则变为y=2^(x-2)，图像向右平移了2个单位。
若将函数向上平移3个单位，则变为y=2^x+3，图像向上平移了3个单位。
这种变形的考点在于理解平移对函数图像的影响，以及如何通过改变参数来实现平移。
2. 指数函数的缩放变形缩放变形是指在函数的基本形式上，通过改变参数来改变函数图像的形状和大小。
对于指数函数y=a^x，缩放变形可以表示为y=b*a^x，其中b为缩放因子。
例如，考虑指数函数y=2^x，我们可以通过缩放变形来得到新的函数图像。
若将函数整体放大2倍，则变为y=2*2^x，图像的纵坐标值都变为原来的2倍。
若将函数整体缩小一半，则变为y=0.5*2^x，图像的纵坐标值都变为原来的一半。
这种变形的考点在于理解缩放对函数图像的影响，以及如何通过改变参数来实现缩放。
3. 指数函数的复合变形复合变形是指在函数的基本形式上，通过对函数进行复合运算来得到新的函数。
常见函数泰勒公式展开式大全
常见函数泰勒公式展开式大全常见函数的泰勒公式展开式大全在数学中，泰勒公式是将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的方法，它是微积分中的重要工具之一。
泰勒公式的展开可以帮助我们近似计算函数在某一点的值，进而研究函数的性质和行为。
下面是一些常见函数的泰勒公式展开式大全。
1.指数函数的泰勒公式展开式指数函数的泰勒公式展开式是：$$e^x = 1 + x + %frac{x^2}{2!} + %frac{x^3}{3!}+ %frac{x^4}{4!} + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于任意实数$x$都成立。
2.三角函数的泰勒公式展开式正弦函数的泰勒公式展开式是：$$%sin(x) = x - %frac{x^3}{3!} + %frac{x^5}{5!} -%frac{x^7}{7!} + Íots$$余弦函数的泰勒公式展开式是：$$%cos(x) = 1 - %frac{x^2}{2!} + %frac{x^4}{4!} -%frac{x^6}{6!} + Íots$$这两个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于任意实数$x$都成立。
3.对数函数的泰勒公式展开式自然对数函数的泰勒公式展开式是：$$%ln(1+x) = x - %frac{x^2}{2} + %frac{x^3}{3} -%frac{x^4}{4} + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于$-1<x%leq 1$都成立。
4.幂函数的泰勒公式展开式幂函数的泰勒公式展开式是：$$(1+x)^a = 1 + ax + %frac{a(a-1)}{2!}x^2 + %frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于任意实数$a$和$-1<x%leq 1$都成立。
5.反正弦函数的泰勒公式展开式反正弦函数的泰勒公式展开式是：$$%arcsin(x) = x + %frac{x^3}{3}+ %frac{1}{2}Íot%frac{3}{4}Íot%frac{x^5}{5}+ %frac{1Íot3}{2Íot4}Íot%frac{3Íot5}{4Íot6}Íot%frac{x^7}{7} + Íots$$这个展开式在$x=-1$到$x=1$之间是收敛的，并且对于任意实数$x$都成立。
二常用函数的麦克劳林公式解读
二常用函数的麦克劳林公式解读麦克劳林公式是一种用于近似计算函数的方法，它基于泰勒级数展开的思想。
泰勒级数展开是一种将函数表示为无穷级数的方法，可以将一个光滑函数在其中一点附近用多项式逼近。
麦克劳林公式是泰勒级数展开的一种特殊情况，即在函数的其中一点展开，将该点作为展开式的中心。
麦克劳林公式的一般形式为：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)(x-a)^2}{2!} +\frac{f'''(a)(x-a)^3}{3!} + \cdots + \frac{f^n(a)(x-a)^n}{n!} + R_n(x)\]其中，\(f(x)\)是要近似计算的函数，\(a\)是展开的中心点，\(f'(a)\)是函数在\(a\)点的一阶导数，\(f''(a)\)是函数在\(a\)点的二阶导数，以此类推，\(f^n(a)\)是函数在\(a\)点的\(n\)阶导数，\(R_n(x)\)是剩余项，表示展开式与原函数之间的差距。
麦克劳林公式的本质是将函数在其中一点附近进行多项式逼近。
当展开到一定阶数时，多项式逼近足够接近原函数，可以用于近似计算。
麦克劳林公式的应用非常广泛，下面介绍一些常用函数的麦克劳林公式展开。
1.指数函数的麦克劳林公式展开指数函数\(e^x\)在\(x=0\)附近的麦克劳林公式展开为：\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + R_n(x)\]这个展开式中，每一项的系数都是1，而且剩余项\(R_n(x)\)是\(x\)的高阶无穷小，所以在\(x\)趋近于0时，剩余项的影响越来越小，可以忽略不计。
因此，当需要计算\(e^x\)的近似值时，可以使用该展开式，截取适当的项数进行计算。
2.正弦函数和余弦函数的麦克劳林公式展开正弦函数\(sin(x)\)在\(x=0\)附近的麦克劳林公式展开为：\[sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} +R_n(x)\]余弦函数\(cos(x)\)在\(x=0\)附近的麦克劳林公式展开为：\[cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + R_n(x)\]这两个展开式中，每一项的系数都是特定的模式，而且剩余项\(R_n(x)\)是\(x\)的高阶无穷小，所以在\(x\)趋近于0时，剩余项的影响越来越小，可以忽略不计。
常见函数的泰勒展开式
常见函数的泰勒展开式泰勒展开式是一种将函数表示为无穷级数的方法，通过这种展开式可以在某一点附近用多项式近似表示函数的值。
在数学和物理的各个领域中，泰勒展开式常被用于分析函数的性质和计算函数的值。
本文将介绍几种常见函数的泰勒展开式，并探讨其应用。
一、指数函数的泰勒展开式指数函数的泰勒展开式在数学和物理中广泛应用。
对于指数函数e^x，在x=0的附近进行泰勒展开得到：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...其中，x^n/n!表示x的n次幂除以n的阶乘。
这个展开式在x趋近于0时收敛到e^x，而对于其他x值，则通过不断递增幂次的加法运算来逼近e^x。
二、三角函数的泰勒展开式三角函数在物理、工程和数学中经常出现，其泰勒展开式用于计算和研究各种波动现象。
例如，正弦函数sin(x)的泰勒展开式为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...而余弦函数cos(x)的泰勒展开式为：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...这些展开式可以用于计算任意角度的正弦和余弦值，通过不断递增幂次的加减运算来逼近精确值。
三、自然对数函数的泰勒展开式自然对数函数ln(x)也有其泰勒展开式。
对于x>0的情况，ln(x)的泰勒展开式为：ln(x) = (x-1) - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 - (x-1)^4/4 + ...这个展开式可以用于近似计算ln(x)的值，通过不断递增幂次的加减运算来逼近精确值。
四、常见函数的应用示例泰勒展开式在实际问题中有广泛的应用。
以物理学中的简谐振动为例，假设振动的位移与时间的关系为sin(t)，根据泰勒展开式，我们可以将其展开为：sin(t) = t - t^3/3! + t^5/5! - t^7/7! + ...通过截断到一定的项数，我们可以使用泰勒展开式来计算各个时间点上的振幅，从而研究振动的特性。
多项展开式公式
多项式展开式公式的应用及推导多项式展开式公式是高中数学的一个重要知识点，也是许多数学领域的基础。
本文详细介绍了多项式展开式公式的定义、应用和推导过程。
一、多项式展开式公式的定义多项式展开式公式是指将一个多项式拆分成一系列单项式的加减式。
其中，单项式是指只含一个变量的项，例如x、y、z等。
二、多项式展开式公式的应用1. 多项式展开式公式在因式分解方程中的应用在因式分解方程中，多项式展开式公式可用于将一个多项式分解成多个单项式的乘积形式，从而使得求解方程更加便捷。
例如：(x+y)^2=x^2+2xy+y^2(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^32. 多项式展开式公式在概率统计中的应用在概率统计中，多项式展开式公式可用于求解二项式分布、泊松分布等概率分布的期望和方差。
例如：二项式分布的期望是np，方差是np(1-p)，其中p为概率，n为实验次数。
三、多项式展开式公式的推导过程1. 二次多项式展开式公式的推导对于一个二次多项式(x+y)^2，我们可以将其展开为：(x+y)^2=x·x+x·y+y·x+y·y化简后得到：(x+y)^2=x^2+2xy+y^22. 三次多项式展开式公式的推导对于一个三次多项式(x+y)^3，我们可以将其展开为：(x+y)^3=x·x·x+x·x·y+x·y·x+x·y·y+y·x·x+y·x·y+y ·y·x+y·y·y化简后得到：(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3以上就是多项式展开式公式的应用和推导过程，希望对大家学习高中数学有所帮助。
多项式展开 (2)
多项式展开本文将介绍多项式展开的概念和相关知识。
多项式展开是一种在数学和计算机科学中经常用到的运算方法，它能将一个多项式表达式展开为一系列的项的和。
1. 多项式的定义首先，我们需要了解多项式的基本概念。
一个多项式是由若干个单项式相加或相减而得到的表达式。
每一个单项式由一个系数乘以一个或多个变量的非负整数次幂的乘积组成。
例如，以下是一个多项式的示例：3x^2 + 4xy - 2y^3在上面的示例中，3x^2，4xy和-2y^3都是单项式。
3、4和-2是它们各自的系数，x和y是变量，2、1和3是它们各自的次幂。
2. 多项式的展开多项式展开是将一个多项式表达式展开为一系列的项的和的过程。
展开后的结果通常是所有项按照幂次从高到低排列，并且相同幂次的项已经进行了合并。
例如，将以下多项式展开：(2x + 3)^3我们可以使用二项式定理来进行展开：(2x + 3)^3 = C(3, 0) * (2x)^3 * 3^0 + C(3, 1) * (2x)^2 * 3^1 + C(3, 2) * (2x)^1 * 3^2 + C(3, 3) * (2x)^0 * 3^3其中，C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
在上述展开式中，我们对2x和3分别应用了乘方运算，并在每一项中选择了合适的系数。
经过计算和化简，以上多项式展开后的结果为：8x^3 + 36x^2 + 54x + 27因此，(2x + 3)^3的展开结果为8x^3 + 36x^2 + 54x + 27。
3. 多项式展开的应用多项式展开在数学和计算机科学中有广泛的应用。
它可以用于求解各种问题，例如：•代数表达式的化简：通过展开一个复杂的多项式表达式，可以将其化简为简单的形式，以便进行进一步的计算或推导。
•数值计算：多项式展开可以用于计算多项式的值。
通过将变量的值代入展开后的多项式中，可以得到对应的数值结果。
•解方程：多项式展开可以用于解方程。
通过对方程两边进行展开，并比较各项的系数，可以求解出方程中的未知数。
指数函数多项式展开及其应用讲解
本科毕业论文（设计）( 2013届)指数函数的多项式展开及其应用院 系 数学系 专 业 数学与应用数学 姓 名 许月 指导教师 齐继兵 职 称 讲师 等 级摘要指数函数是基本的初等函数，它的性质及其多项式逼近形式应用非常广泛.本文将主要围绕指数函数的多项式展开式进行研究，首先论述了指数函数的泰勒展开式的概念，给出了泰勒公式的一种证明，利用MATLAB做出了指数函数与其不同多项式逼近函数的图像，并进行了误差分析和比较.简要介绍了自然指数函数展开式的两种多重分割法的概念及性质.接着又讨论了指数函数的泰勒展开式在求解非线性发展方程，求解极限，近似估值以及在不等式证明当中的应用.这些应用反映了利用指数函数展开式及相关性质在解决一些问题中的技巧和方法，有助于进一步深入理解指数函数及其多项式展开在解决实际问题中的重要作用.关键词：指数函数初等函数多项式泰勒展开装订线ABSTRACTExponential function is the basic elementary function, it has a very wide range of propertiesand its application form of polynomial approximation. This paper will mainly focus on theexponential polynomial expansion is studies, firstly discusses the concept of Taylor expansion ofexponential function, one can prove the Taylor formula, using MATLAB to make the exponentialfunction with different images of the polynomial approximation function, and the error analysisand comparison. Nature of exponential function expansion is briefly introduced the concept oftwo multiple segmentation and nature, and then discussed the Taylor expansion of exponentialfunction in solving nonlinear evolution equations, the solving limit, approximate valuation aswell as the application in the middle of the inequality proof. These applications reflects the useof exponential function expansion and related properties in the methods and skills in solvingsome problems, will help to further understand exponential and polynomial expansion’simportant role in solving practical problems[10].Key words:exponential function elementary function polynomial Taylor expansion装订线目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1引言 (1)2指数函数的多项式展开 (1)2.1函数多项式展开的概念 (1)2.2泰勒展开式的证明 (1)2.3指数函数多项式逼近图 (2)2.4自然指数函数展开式的多重分割法 (6)3指数函数多项式展开的应用 (8)3.1应用指数函数展开法求解非线性发展方程 (8)3.2利用指数函数展开法求极限 (11)3.3利用指数函数展开式进行近似计算 (12)3.4利用泰勒公式证明不等式 (13)4结束语 (14)参考文献 (14)1 引言指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是学习对数函数的基础，在生活及生产实际中有着广泛的应用.多项式理论在代数中也占有十分重要的地位，且在数学的各门学科中都有着广泛的运用.关于多项式的定义，在1981年12月第一版统编六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册中说“一个多项式的元和系数都在实数集上取值时，这个多项式就叫做实数集R 上的多项式”，这个说法前一句讲的是多项式函数，而后一句却有问题，1983年11月第一版统编6年制重点中学高中数学课本《代数》第三册把这段话删去了，改为“以x 为元的一元n 次多项式的一般形式可以写成1110n n n n a x a x a x a --++++这里n 是确定的自然数，0n a ≠”[1].2 指数函数的多项式展开多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学方面问题的有力杠杆.2.1 函数多项式展开的概念定义[2] 指数函数的多项式展开即泰勒展开，对于一般的函数()f x ，假设它在一点0x 存在直到n 阶的导数，且多项式()n T x 由这些导数构成，即()()()()()()()()()'''200000001!2!!n nn f x f x f x T x f x x x x x x x n =+-+-++-该式称为函数()f x 在该点处的泰勒公式. 指数函数在点0x 处的泰勒展开式为()()()()()()()()()()()()'''2000000002!!n nnxn f x f x a f x f x f x x x x x x x T x o x x n ==+-+-++-+=+-这里()()0no x x -称为佩亚诺型余项.2.2 泰勒展开式的证明泰勒公式的证明方法有许多种，本文利用最基本的方法给出泰勒公式的证明.定理[2] 若函数()x f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()()nn x x o x T x f 0-+=，即()()()()()()()()()()()'''2000000002!!n nnf x f x f x f x f x x x x x x x o x x n =+-+-++-+- 装 订 线证明:不妨设()()()n n R x f x T x =-，()()0nn Q x x x =- 则只要证明()()0lim 0n x x nR x Q x →= 又知()()()()()'''00000n n n n n R x R x R x R x =====且()()()()()1'''00000n n n n n Q x Q x Q x Q x -=====，()()0!n nQ x n =因为()()0n f x 存在，所以在点0x 的某邻域()0U x 内f 存在1n -阶导函数()()1n f x -.于是，当().0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1n -次，得到()()()()()()()()()()()()()()()()()0000111'000'10lim lim lim lim 12n n n n n n n n x x x x x x x x n nnR x R x R x f x f x f x x x Q x Q x n n x x Q x ----→→→→---====--()()()()()()0110001lim 0!n n n x x f x f x f x n x x --→⎡⎤-=-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2.3 指数函数多项式逼近图2.3.1 指数函数x y e =的多项式逼近根据2.1可以写出指数函数x y e =的泰勒展开式为2312!3!!nx x x y x n =++++++，现在我们利用数学作图工具MATLAB 做出指数函数xy e =与其泰勒展开式中n 分别取3、4、5时得到的不同的指数函数多项式逼近函数的图像.这里为了更加清晰明了的做出误差比较与分析，则会做出三张图片，分别为指数函数x y e =与3n =时得到的多项式逼近函数2312!3!x x y x =+++在同一坐标系下的函数图像比较、指数函数xy e =与4n =时得到的多项式逼近函数23412!3!4!x x x y x =++++在同一坐标系下的函数图像比较、指数函数xy e =与5n =时得到的逼近函数234512!3!4!5!x x x x y x =+++++在同一坐标系下的函数图像比较，最后将根据图象分析指数函数与其逼近函数之间的关系并做出误差分析，得出结论[3].【例1】利用MATLAB 在同一坐标系中做出函数xy e =、2312!3!x x y x =+++、23412!3!4!x x x y x =++++、234512!3!4!5!x x x x y x =+++++的图像并做比较.解：a 、xy e =与2312!3!x x y x =+++图像的比较b 、xy e =与23412!3!4!x x x y x =++++图像的比较x y e =x y e =c 、xy e =与234512!3!4!5!x x x x y x =+++++的图像比较根据上述例题我们可以看出原指数函数x y e =与其不同程度的多项式逼近函数均有着某种程度的逼近，且当n 的取值不同时原指数函数与其多项式逼近函数的逼近程度也不同.对比图像我们可以看出在指数函数的泰勒展开式中随着n 取值的增大，原指数函数与其逼近函数的图像越接近误差越小. 2.3.2 指数函数x y e -=的多项式逼近同样根据 2.1的多项式展开概念，可得出指数函数x y e -=的泰勒展开式为()23112!3!!nnx x x y x n =-+-++-+.依旧利用数学作图工具MATLAB 做出指数函数x y e -=与其泰勒展开式中n 分别取3、4、5时的多项式逼近函数的函数图.同理为了更加清晰的比较不同指数函数与它们各自的多项式逼近函数的逼近趋势是否一致，仍旧作出三张图片，分别为指数函数x y e -=与3n =时的多项式逼近函数231112!3!y x x x =-+-在同一坐标系下的函数图像、指数函数x y e -=与4n =时的多项式逼近函数23411112!3!4!y x x x x =-+-+在同一坐标系下的函数图像、指数函数x y e -=与5n =时的多项式逼近函数2345111112!3!4!5!y x x x xx =-+-+-在同一坐标系下的函数图像，做出图像并分析图像，得出结论[3]. x y e =【例2】 利用MATLAB 在同一坐标系中做出函数x y e -=、231112!3!y x x x =-+- 23411112!3!4!y x x x x =-+-+、2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-的图像并做比较. 解：a 、x y e -=与231112!3!y x x x =-+-的图像比较b 、x y e -=与23411112!3!4!y x x x x =-+-+的图像比较c 、x y e -=与2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-的图像比较xy e -=xy e -=23411112!3!4!y x x x x =-+-+ 231112!3!y x x x =-+-由例题的三张图片，三个不同程度的同一指数函数的泰勒展开式的函数图像分别与原指数函数的图像比较我们可以看出原指数函数与其多项式逼近函数也有着某种程度的逼近，而且同样的随着在泰勒展开式中n 取值的不同逼近程度也不同，随着n 取值的增大，原指数函数与其逼近函数图像越接近，即误差越小.由2.3.1与2.3.2中的两个例题我们可以看出原指数函数与其不同程度的多项式逼近函数有着某种程度的逼近，且随着泰勒展开式中n 取值的增大，原函数与其对应的多项式逼近函数图像越接近，即两个函数在同一点下的函数值越接近，误差越小.再两个例题进行比较可以看出上述得出的结论并不只针对某一个指数函数，它对于任何指数函数均成立，可以普遍的应用于指数函数与其多项式逼近函数的误差分析中[4].2.4 自然指数函数展开式的多重分割法2.4.1 自然指数函数展开式的多重分割法——广义双曲函数定义1 [5]形如()()()211!2!!m m nm x x x S x m m nm =+++++()()()()121121!121!1!m m nm x x x x S x m m nm +++=++++++++()()()()()()11121311!21!31!11!n m m m m m x x x x S x m m m n m +----=+++++---+-⎡⎤⎣⎦其中,3x R m ∈≥均为广义双曲线 定义1'[5] 广义双曲函数组()()()12,,,m S x S x S x 的等价条件为()()()()()()1211,,,m m m dS x dS x dS x S x S x S x dx dxdx-=== xy e -=2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-以及()()()()12301,0000m S S S S =====广义双曲函数的性质1、2m >时，广义双曲函数组()()()12,,,m S x S x S x 构成的m 阶循环行列式()()()()()()()()()()12112311m m m m S x S x S x S x S x S x D x S x S x S x -==2、2m >时，广义双曲函数的和较恒等式()()()()()()()11122m m S x y S x S y S x S y S x S y +=+++()()()()()()()221123m S x y S x S y S x S y S x S y +=+++()()()()()()()1121m m m m S x y S x S y S x S y S x S y-+=+++2.4.2 自然指数函数展开式的多重分割法——广义三角函数定义2[6] 形如()()()()2111!2!!m mnmnx x x T x m m nm =-+-+-+()()()()()1212111!1!21!1!m m nm nx x x x T x m m nm +++=-+-+-++++()()()()()()()111213111!21!31!11!n m m m m nm x x x x T x m m m n m +----=-+-+-+---+-⎡⎤⎣⎦其中,3x R m ∈≥均为广义三角函数. 定义'2[6] 广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 满足下列常微分方程组()()()()()()1211,,,m m m dT x dT x dT x T x T x T x dt dtdt-=== 以及初值条件()()()()12301,0000m T T T T =====广义三角函数的性质1、2m >时，广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 构成的m 阶反循环行列式()()()()()()()()()1221311---1m m m T x T x T x T x T x T x T x T x T x -=2、2m >时，广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 的和角恒等式()()()()()()()()()1112132m m mT x y T x T y T x T y T x T Y T x T y-+=----()()()()()()()()()2211233m m T x y T x T y T x Ty T x T Y T x T y +=+--- ()()()()()()()()()33122134m T x y T x T y T x T y T x T y T x T y +=++--()()()()()()()()()112231m m m m m T x y T x T y T x T y T x T y T x T y --+=++++3 指数函数多项式展开的应用3.1 应用指数函数展开法求解非线性发展方程在大学课本中我们学习了非线性方程，即因变量与自变量之间的关系不是线性的方程，同样也学习了数学的重要分支之一的微分方程，我们将含自变量、未知数和未知数微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程.本文将呈现的非线性发展方程，即为费线性且依赖与时间的方程，一般为微分方程.给定非线性方程(),,,,,0t x xx tx F u u u u u =，（1） 为了求（1）行波解，令()(),u x t ϕθ=，kx vt θ=+， （2） 这里,k v 是非零的待定参数，（2）式带入方程（1）进行化简得到()ϕθ对应的常微分方程 ()''2''',,,,,0G u vu ku k u kvu =. （3）根据指数函数法，假设方程有如下解的形式:()qi p q ii pp q r r s j r s jj sa e a e a eb eb eb e θθθθθθφθ-=----=-++==++∑∑ （4）这里,i j a b 是待定常数,,,p q s r 均为待定正常数.通过平衡方程式（3）最高导数项与最高非线性项找出r 和p 的关系.同理通过平衡方程式最低导数项和最低非线性项找出q 和s 的关系，进一步找出方程的新解[3]，利用此方法可以求解BBM 方程[7].BBM 方程有如下的基本形式：60t x x xxt u u uu u +-+= （5）利用变换()(),,u x t kx vt f q q ==+使方程（1）式变为：()''2'''60k v k k v f f f f ++-=. （6）利用假设条件求出：()7'''182r p r c e c e qq f ++=+， （7）()()262'333844r p r p r r c e c e c e c e qqq q f f ++++==++， （8）其中()1,2,3,4k c k =，平衡子式得：762r p r p rp +=+?. （9）同理()7'''586s q s c e c e qq f 轾-+臌-++=++， （10）()()262'773888s q s q s s c e c e c e c e qqqqf f 轾轾-+-+臌臌--++==++， （11）通过平衡子式()()762s q s q sq -+=-+?.情形1 取1,1r p s q ====，从而方程（4）式变为：()101101a e a a e b e b b eq qq qf q ----++=++， （12） 将（12）式代入方程（6）中，利用Maple 计算得到：330i i i C C e q =-=å， （13）这里()4101C b e b b eqq --=++，令0,33,i C ii R =-＃?，进而可得()()()22201011015,,,2466b v k k v b k v k v b k v k v a a a kb kk-----+--+++===-20001111,,,,4b v v b b b b b b ---====代入（12）式，可得()()()2220011120011524664b v k k v b k v k v b k v k v e e kb kkb e b b e b qqqqf --------+++--+-+=++. （14）(i) 令20114b b b --=截得012b b -=?，从而得到两个孤立波解：()22,363cosh 1k k v kvk kx vt f --=?轾+?臌. （15） (ii) 令1k K i =，2v K i =，这里1K ，2K 为待定常数，i 为虚数，从而得到两个周期解：()21212124,511263cos 1K K K K K K K K x K t f ++=-?轾+?臌. （16） 当111011000111,0,0,,,,a b a a b a a v v b b b b b --======= 从而有161a b f =为常数解. 情形2 取2r p ==，2s q ==，为方便起见令110b b -==，从而方程（4）变为()222101222202a e a e a a e a e b e b b e q q q qq q f q ------++++=++. （17）将（17）式代入方程（6）式中利用Maple 计算，有770i i i C C e q =-=å， （18）这里()422202C b e b b e q q --=++，令0,77,i C ii R =-＃?，从而得到()()()222202022024420,,,2466b v k k v b k v k v b k v k v a a a kb kk-----+--+++===-2000222112,,,,0,04b v v b b b b b a a b -----======，代入（17）式，可得()()()222220022272220022420466244b k k v b k k v b k k v e e kkkb b e b b e b q qqqf --------++---+=++ （19）(iii) 令20224b b b --=解得022b b -=?从而得到两个孤立波解：()28,946cosh 1k k v kvk kx vt f --=?轾+?臌. （20） (iv) 令1k K i =，2v K i =，这里1K ，2K 为待定常数，i 为虚数，从而得到两个周期解： ()212121210,111126cos 1K K K K K K K K x K t f ++=-轾+?臌. （21）利用指数函数展开法求解非线性发展方程式在Maple 软件运算功能的帮助下，运用指数函数法成功得到了非线性方程的精确解，其中包括孤立波解与周期解.从而可以看出使用指数函数法求解非线性方程除了过程简单外，结果也比较准确.该方法具有普遍性，此方法还可以求解更加复杂类型的非线性发展方程.3.2 利用指数函数展开法求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用罗比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用罗比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展开成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限[8].【例3】 求极限2242412!4!limx x x x e x -→-+-.分析：该题为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将22x e-用其多项式展开式代替,则可化简被求方程式. 解：由222242()21()22!x x x eo x --=-++得 ()22224242422111242422!x x x x x x x e o x -⎛⎫- ⎪⎝⎭-+-=-+-+-+ 于是()()222242424442444000211112422!824limlim lim 8x x x x x x x x x x xo x o x e xx x -→→→⎛⎫- ⎪⎝⎭-+-+-++-+-===由题目我们可以看出，它其实也可以用罗比达法则，但是使用罗比达法则我们必须求导4次，为了简化解题过程，本题选择了泰勒展开法，而带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单.【例4】 求极限01sin 2lim sin cos x x xe x xx x x ®----.分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , x e 分别用泰勒展开式代替,则可化简被求方程式.解：()()()2331sin 1122!3!2xx x x xe x x x o x x x o x ---=++++---+()336x o x =+()()()323323sin cos 162!3x x x x x x x o x x o x o x ⎛⎫-=-+--+=+ ⎪⎝⎭于是3333()1sin 162lim sin cos 2()3xx x xo x x x x x x x o x e →0+---==-+ 本题的极限式为分式，也可利用罗比达法则，但那样将会使解题过程复杂化，解题的过程中也很容易出错.为了简化求极限过程本题选择了泰勒展开法，将cos x ，sin x ，x e 分别泰勒展开为带有佩亚诺型余项的泰勒公式，且保持分子与分母同阶，这样只需简单的几步就求出了极限值.3.3 利用指数函数展开式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x x n ≈++++，其误差是余项()n R x .必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x 不能远离0x ，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果[8].【例5】 求21x e dx -⎰的近似值,精确到510-.分析：因为2x e -的原函数不存在（即不能用初等函数表达）,现用泰勒展开式的方法求21x edx -⎰的近似值.解：将2x e-进行泰勒展开得24221(1)2!!nx nx x ex n -=-+++-+，逐项积分得242111112000001(1)2!n x nx x e dx dx x dx dx dx n -=-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰！111111(1)32!52n 1n n =-+⋅-+-⋅++！11111111310422161329936075600=-+-+-+-+ 上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项()n R x 的估计式知71||0.00001575600R ≤< 所以2111111110.7468363104221613299360x e dx -≈-+-+-+≈⎰ 对与类似的定积分求近似值，由于被积函数的原函数不存在无法完成积分过程，则求不出积分值，此时利用泰勒展开法将被积函数化成多项式函数，将其多项式逼近函数带入积分得出原函数的近似值，这样既简化了求解过程又得出的结果. 【例6】 用x e 的10次泰勒多项式求e 的近似值，并估计误差.分析：为求e 得近似值先求()x f x e =得10次泰勒展开式，求e 得近似值即求()1f 得近似值，利用()f x 的麦克劳林展开得到()f x 的近似计算式，然后取1x =求出()1f 的近似值，即e 的近似值.解：在x e 的泰勒公式中取1,10x n ==,则有111112!3!10!e ≈+++++2.718281801=由于e 的精确度值e 2.718281801=，可以看出这么算得的结果是比较准确的.关于计算的误差，则有如下的估计11813()6.81011!11!x e d x ξ==<≈⨯ 求解e 为底的指数函数或三角函数在某点的近似值时，利用泰勒展开法求出其原函数的近似式进而求出其在改点出的近似值，该方法简捷明了具有一定的普遍性，可广泛运用与其它的解题过程中.3.4 利用泰勒公式证明不等式关于不等式的证明，我们已经学习了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法，但对于一些特殊的不等式证明可能使用上述证明方法并不能很好的运用，此时不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往能够使证明过程更加方便简捷[9]. 【例7】当0x ≥时，证明2311126x e x x x ≥+++. 证明：取()2311126x f x e x x x =----，00x =，则()()()()''''''00,00,00,1x f f f f x e ====-带入泰勒公式，其中3n =，得()310003!x e f x x θ-=+++，其中01θ<<故当0x ≥时，2311126x e x x x ≥+++4 结束语通过大学对数学分析的学习，我们了解了指数函数的多项式展开即泰勒展开，并且我们可以了解到泰勒展开对多种函数均成立，且可应用于多种解题过程中.而本文则主要围绕指数函数的多项式展开及其应用，即应用指数函数展开法求解非线性发展方程、利用指数函数展开法求极限、利用指数函数展开式进行近似计算、利用指数函数证明不等式.并简要介绍了自然指数函数展开式的多重分割法——广义双曲函数、自然指数函数展开式的多重分割法——广义三角函数的概念及性质.这肯定不会是指数函数的多项式展开的全部应用，它肯定还有其他方面的应用，这还有待于我们进一步探索研究.经过几个月的学习和工作，我终于完成了本篇论文.从开始拿到论文题目到系统的实现，再到论文文章的完成，每走一步对我来说都是新的尝试与挑战，这也是我在大学期间独立完成的最大的项目.虽然我的论文作品并不够成熟，还有很多不足之处，但我可以自豪的说，这里面的每一个文字都是我仔细推敲后得到的.这次做论文的经历也会使我终身受益，我感受到做论文是非常需要用心去做的一件事情，是真正的自己学习的过程和研究的过程，没有学习就不可能有研究的能力，没有自己的研究，就不会有所突破，那也就不叫论文了.所以希望这次的经历能够在以后的学习中激励我继续进步.最后，我要特别感谢齐老师，是他在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励，使我能够顺利完成毕业设计，在此表示衷心的感激.参考文献[1] 曾德备．关于多项式的定义[J]．玉溪师专学报, 1988,02:9-17. [2] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社出版社，2009.[3] 欧阳明松，徐连民.基于MATLAB 的实验数据拟合[J].南昌工程学院学报，2010,08:24-28. [4] 张和平,王凯．Taylor 多项式逼近函数的计算机模拟[J].高等数学研究,2011,07:113-115. [5] 耿济．自然指数函数展开式的多重分割法（一）—广义双曲函数[J]．海南大学学报自然科学版，1994,12：:23-290.[6] 耿济．自然指数函数展开式的多重分割法（二）—广义三角函数[J]．海南大学学报自然科学版,1995,06:95-104.[7] 杨昆望．应用指数函数展开法求解非线性发展方程[J]．纯粹数学与应用学,2012,02:85-91. [8] 陈传章, 金福林.《数学分析》[M].北京：高等教育出版社,1986.[9] 王福利．关于指数函数的本性特征[J]．佳木斯教育学院学报,1991,01:58-60. [10] Abolowitz MJ, Clarkson PA.Soliton Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering[M].Cambridge: University Press, 1989.装 订 线。
多项式函数的性质与应用
计算机科学：多项式函数在计算机 科学中用于实现各种算法和数据结 构，例如在排序、搜索和图算法中。
数学教育：多项式函数是数学教育 中的重要内容之一，对于培养学生 的数学思维和解决问题的能力具有 重要意义。
人工智能与机 器学习：多项 式函数在模型 训练和优化中 的重要应用
0 1
信号处理与通 信：多项式函 数在调制解调、 滤波器设计等 方面的应用
连续性：多项式函数在其定义域内是连续的。 可导性：多项式函数在其定义域内的任意点都可导。 积分性质：多项式函数的积分具有特定的性质和公式。 导数性质：多项式函数的导数具有特定的性质和公式。
多项式函数在 解代数方程中 的应用
多项式函数在 不等式求解中 的应用
多项式函数在 因式分解中的 应用
多项式函数在 代数运算中的 应用
系数：多项式函数中各项的 系数称为多项式的系数
代数表示法：将多项式函数表示 为代数形式，例如f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ... + c
表格表示法：将多项式函数的系 数和指数以表格形式表示，方便 查阅和比较
图表示法：将多项式函数化趋势
微积分：多项式 函数在微积分中 有着广泛的应用， 如求导数、积分
等
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计算曲线的长度
计算面积和体积
解决极值问题
求解微分方程
线性方程求解：多项式函数在数学和物理领域中常用于求解线性方程。 近似计算：多项式函数可以用于近似计算复杂的数学函数，提高计算效率。 插值法：多项式函数在插值法中有着广泛的应用，可以用于数据拟合和预测。 信号处理：多项式函数在信号处理领域中常用于滤波、频谱分析和图像处理等。
常见函数的泰勒级数展开
常见函数的泰勒级数展开泰勒级数展开是一种用多项式的形式近似表示函数的方法。
通过将函数在某个点处展开成幂级数，我们可以用一系列无穷多的项来逼近函数的真实值，从而简化复杂的计算。
在数学和物理学中，泰勒级数展开被广泛应用于函数的近似计算和数值分析。
1. 泰勒级数展开的基本原理泰勒级数展开基于函数在某个点的无限次可导性质。
给定一个函数f(x)，如果f(x)在x=a处具有n阶导数，那么泰勒级数展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示二阶导数，以此类推。
2. 常见函数的泰勒级数展开2.1 正弦函数(sin(x))正弦函数在0处的泰勒级数展开为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...2.2 余弦函数(cos(x))余弦函数在0处的泰勒级数展开为：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...2.3 指数函数(e^x)指数函数在0处的泰勒级数展开为：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...2.4 对数函数(ln(1+x))对数函数在x=0处的泰勒级数展开为：ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...3. 泰勒级数展开的应用泰勒级数展开在数学和物理学各个领域都有广泛的应用。
它可以用于解析几何、微积分、常微分方程等许多数学问题的求解。
在物理学中，泰勒级数展开可以用于近似计算物理量和解析物理问题，例如近似计算函数的极限、求解微分方程等。
4. 注意事项在使用泰勒级数展开时，需要注意以下几点：4.1 展开点的选取：展开点的选取会影响泰勒级数的收敛性和逼近效果。
渐近方法—函数的展开
渐近方法—函数的展开
1.引言
渐近方法是分析数学中一种重要的方法，用来研究函数的极限特性以及它的极限行为。
渐近方法把一个函数展开成一系列有限的项，每一项上的指数小于给定的数。
这种展开可以帮助我们解决无限次操作的问题：比如，分数指数函数的极限、积分的收敛性、积分的复杂操作的计算等等。
2.渐近方法
渐近方法，又称函数展开，是一种计算极限值的方法。
它的基本思想是将函数展开成一系列多项式的形式，每一项的指数小于给定的数，这样可以把求函数极限变成求有限项的和的极限。
渐近方法用来求函数的极限，已经得到了广泛的应用。
可以用渐近方法来求解积分函数的极限，也可以用它来求解分数指数函数的极限，以及其他复杂的函数极限。
渐近方法也可以用来计算复杂的积分，因为它可以把无限次积分展开成有限项的形式，就可以用简单的操作来计算出结果。
3.渐近展开的应用
渐近展开的应用非常广泛，它把复杂的函数拆分成多个多项式，这样就可以显著的缩短计算过程，从而加快计算速度。
渐近展开也用于估计函数的局部性质，用来解决复杂的微积分问题，比如积分的收敛性、函数极限的计算、分数指数函数的极限等等。
指数函数的计算和应用
指数函数的计算和应用指数函数是数学中广泛应用的一种函数形式，它在各个领域具有重要的应用价值。
本文将从指数函数的定义、计算方法以及实际应用等方面进行探讨。
一、指数函数的定义指数函数是以指数为自变量的函数，通常形式为f(x) = a^x, 其中a为常数，且a>0且a ≠ 1。
指数函数中，底数a决定了函数的特性。
当0<a<1时，函数递减，而当a>1时，函数递增。
二、指数函数的计算方法指数函数的计算可以利用幂函数的性质和指数的运算规则进行简化。
1. 同底数指数相乘：a^m * a^n = a^(m+n)2. 同底数指数相除：a^m / a^n = a^(m-n)3. 乘方的乘法规则：(a^m)^n = a^(m*n)4. 乘方的除法规则：a^m / b^m = (a/b)^m5. 零指数：a^0 = 1 (a ≠0)6. 负指数：a^(-m) = 1/(a^m)以上规则可以帮助我们在计算指数函数时快速简化问题，提高计算效率。
三、指数函数的应用指数函数在实际生活和科学研究中有广泛的应用，下面介绍其中几个重要的应用领域。
1. 经济学中的复利计算指数函数在经济学中的复利计算中有重要的应用。
复利指的是利息再投资，并按照一定的周期计算新的利息。
指数函数可以用来计算复利的本金和收益，是金融投资和银行业务中常用的数学工具。
2. 生态学中的物种增长模型指数函数在生态学中用于描述物种的增长模型，例如杰出生态学家托马斯·罗伯特·梅尔滕斯提出的梅尔滕斯模型。
该模型描述了生物种群在无限制的环境中，即资源充足、无天敌或疾病的情况下，呈指数增长。
3. 物理学中的放射性衰变指数函数在物理学中描述放射性衰变过程。
放射性物质的衰变速率与其剩余物质的量成正比，因此可以使用指数函数来描述其衰变规律。
这对于放射性元素的安全管理和对于地质年代测定有重要意义。
4. 统计学中的指数分布指数函数在统计学中的指数分布是一种常用的概率分布模型。
指数函数公式 典型应用
指数函数公式典型应用1. 指数函数的定义指数函数是一类常见的数学函数，其形式为：$$f(x) = a^x$$其中，$a$ 为常数，$a>0$，且$a\neq1$。
指数函数的定义域为所有实数，值域为正实数。
2. 典型应用指数函数在许多实际问题中有着广泛的应用，下面列举几个典型的应用。
2.1. 人口增长模型指数函数可以用来描述人口的增长模型。
假设一个地区的人口每年增长 $r$ 倍，那么可以将人口数量 $P$ 表示为时间 $t$ 的函数：$$P(t) = P_0 \cdot (1+r)^t$$其中，$P_0$ 为初始人口数量，$r$ 为增长率，$t$ 为时间。
这个模型可以帮助我们预测未来的人口数量。
2.2. 账户余额增长模型指数函数也可以用来描述账户的余额增长模型。
假设一个账户的余额每年增长 $r$ 倍，那么可以将账户余额 $B$ 表示为时间$t$ 的函数：$$B(t) = B_0 \cdot (1+r)^t$$其中，$B_0$ 为初始账户余额，$r$ 为增长率，$t$ 为时间。
这个模型可以帮助我们计算未来的账户余额。
2.3. 热传导模型指数函数还可以用来描述热传导模型。
假设一个物体的温度$T$ 随时间 $t$ 的变化满足指数函数关系：$$T(t) = T_0 \cdot e^{-kt}$$其中，$T_0$ 为初始温度，$k$ 为比例常数，$t$ 为时间。
这个模型可以帮助我们预测物体温度随时间变化的情况。
3. 总结指数函数在人口增长、账户余额增长和热传导等领域都有广泛的应用。
通过理解指数函数的定义及其典型应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。
多项式函数在高等数学中的应用
多项式函数在高等数学中的应用多项式函数是高等数学中的一种基本数学函数，广泛应用于各个领域。
在本文中，我们将探讨多项式函数在高等数学中的应用，包括代数、微积分和线性代数领域。
代数领域在代数学中，多项式函数可以表示为一个变量的幂次和系数的多项式，如下所示：$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$其中，$a_{n}$,$a_{n-1}$,......,$a_{0}$为常数，$n$为多项式的次数，是非负整数。
多项式函数在代数学中广泛应用，可以用来解方程。
对于一个一元$n$次方程，可以表示为：$P(x)= a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0} = 0$通过求解多项式函数$P(x)$的根，即可得到方程的解。
除此之外，多项式函数的剩余定理和因式定理等定理，也是代数学中的重要内容，被广泛用于多项式函数的求解中。
微积分领域在微积分中，多项式函数是一个重要的函数族，可以用于函数的近似和函数的求导。
通过求导，我们可以计算多项式函数的最大值和最小值等信息，从而更好地了解多项式函数的性质。
在微积分中，我们经常使用拉格朗日插值多项式，求解函数的近似值。
在拉格朗日插值多项式中，我们通过已知的函数值和对应的自变量值，构造出多项式函数，从而近似出函数的曲线。
在导数的计算中，多项式函数是计算中最简单的函数之一。
由于多项式函数有较简单的表达式，我们可以很容易地求出导数和高阶导数。
例如，对于一元$n$次多项式函数$P(x)$，它的$k$阶导数可以表示为：$P^{(k)}(x) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)a_{n}x^{n-k} + ... + k!a_{k} $（$k >= 1$）同时，导数和高阶导数的计算，也是微积分中的一项基本技能。
线性代数领域在线性代数中，多项式函数也被广泛应用，例如，多项式函数可以表示为矩阵和向量的和。
指数函数多项式展开及其应用
学号：0907410028本科毕业论文（设计）( 2013届)指数函数的多项式展开及其应用院系数学系专业数学与应用数学姓名许月指导教师齐继兵职称讲师等级摘要指数函数是基本的初等函数，它的性质及其多项式逼近形式应用非常广泛.本文将主要围绕指数函数的多项式展开式进行研究，首先论述了指数函数的泰勒展开式的概念，给出了泰勒公式的一种证明，利用MATLAB做出了指数函数与其不同多项式逼近函数的图像，并进行了误差分析和比较.简要介绍了自然指数函数展开式的两种多重分割法的概念及性质.接着又讨论了指数函数的泰勒展开式在求解非线性发展方程，求解极限，近似估值以及在不等式证明当中的应用.这些应用反映了利用指数函数展开式及相关性质在解决一些问题中的技巧和方法，有助于进一步深入理解指数函数及其多项式展开在解决实际问题中的重要作用.关键词：指数函数初等函数多项式泰勒展开装订线ABSTRACTExponential function is the basic elementary function, it has a very wide range of propertiesand its application form of polynomial approximation. This paper will mainly focus on theexponential polynomial expansion is studies, firstly discusses the concept of Taylor expansion ofexponential function, one can prove the Taylor formula, using MATLAB to make the exponentialfunction with different images of the polynomial approximation function, and the error analysisand comparison. Nature of exponential function expansion is briefly introduced the concept oftwo multiple segmentation and nature, and then discussed the Taylor expansion of exponentialfunction in solving nonlinear evolution equations, the solving limit, approximate valuation aswell as the application in the middle of the inequality proof. These applications reflects the useof exponential function expansion and related properties in the methods and skills in solvingsome problems, will help to further understand exponential and polynomial expansion’simportant role in solving practical problems[10].Key words:exponential function elementary function polynomial Taylor expansion装订线目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1引言 (1)2指数函数的多项式展开 (1)2.1函数多项式展开的概念 (1)2.2泰勒展开式的证明 (1)2.3指数函数多项式逼近图 (2)2.4自然指数函数展开式的多重分割法 (6)3指数函数多项式展开的应用 (8)3.1应用指数函数展开法求解非线性发展方程 (8)3.2利用指数函数展开法求极限 (11)3.3利用指数函数展开式进行近似计算 (12)3.4利用泰勒公式证明不等式 (13)4结束语 (14)参考文献 (14)1 引言指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是学习对数函数的基础，在生活及生产实际中有着广泛的应用.多项式理论在代数中也占有十分重要的地位，且在数学的各门学科中都有着广泛的运用.关于多项式的定义，在1981年12月第一版统编六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册中说“一个多项式的元和系数都在实数集上取值时，这个多项式就叫做实数集R 上的多项式”，这个说法前一句讲的是多项式函数，而后一句却有问题，1983年11月第一版统编6年制重点中学高中数学课本《代数》第三册把这段话删去了，改为“以x 为元的一元n 次多项式的一般形式可以写成1110n n n n a x a x a x a --++++这里n 是确定的自然数，0n a ≠”[1].2 指数函数的多项式展开多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学方面问题的有力杠杆.2.1 函数多项式展开的概念定义[2] 指数函数的多项式展开即泰勒展开，对于一般的函数()f x ，假设它在一点0x 存在直到n 阶的导数，且多项式()n T x 由这些导数构成，即()()()()()()()()()'''200000001!2!!n nn f x f x f x T x f x x x x x x x n =+-+-++-该式称为函数()f x 在该点处的泰勒公式. 指数函数在点0x 处的泰勒展开式为()()()()()()()()()()()()'''2000000002!!n nnxn f x f x a f x f x f x x x x x x x T x o x x n ==+-+-++-+=+-这里()()0no x x -称为佩亚诺型余项.2.2 泰勒展开式的证明泰勒公式的证明方法有许多种，本文利用最基本的方法给出泰勒公式的证明.定理[2] 若函数()x f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()()nn x x o x T x f 0-+=，即()()()()()()()()()()()'''2000000002!!n nnf x f x f x f x f x x x x x x x o x x n =+-+-++-+- 装 订 线证明:不妨设()()()n n R x f x T x =-，()()0nn Q x x x =- 则只要证明()()0lim 0n x x nR x Q x →= 又知()()()()()'''00000n n n n n R x R x R x R x =====且()()()()()1'''00000n n n n n Q x Q x Q x Q x -=====，()()0!n nQ x n =因为()()0n f x 存在，所以在点0x 的某邻域()0U x 内f 存在1n -阶导函数()()1n f x -.于是，当().0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1n -次，得到()()()()()()()()()()()()()()()()()0000111'000'10lim lim lim lim 12n n n n n n n n x x x x x x x x n nnR x R x R x f x f x f x x x Q x Q x n n x x Q x ----→→→→---====--()()()()()()0110001lim 0!n n n x x f x f x f x n x x --→⎡⎤-=-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2.3 指数函数多项式逼近图2.3.1 指数函数x y e =的多项式逼近根据2.1可以写出指数函数x y e =的泰勒展开式为2312!3!!n x x x yxn ，现在我们利用数学作图工具MATLAB 做出指数函数xy e =与其泰勒展开式中n 分别取3、4、5时得到的不同的指数函数多项式逼近函数的图像.这里为了更加清晰明了的做出误差比较与分析，则会做出三张图片，分别为指数函数x y e =与3n时得到的多项式逼近函数2312!3!x x y x =+++在同一坐标系下的函数图像比较、指数函数xy e =与4n时得到的多项式逼近函数23412!3!4!x x x y x =++++在同一坐标系下的函数图像比较、指数函数xy e =与5n时得到的逼近函数234512!3!4!5!x x x x y x =+++++在同一坐标系下的函数图像比较，最后将根据图象分析指数函数与其逼近函数之间的关系并做出误差分析，得出结论[3].【例1】利用MATLAB 在同一坐标系中做出函数xy e =、2312!3!x x y x =+++、23412!3!4!x x x y x =++++、234512!3!4!5!x x x x y x =+++++的图像并做比较.解：a 、xy e =与2312!3!x x y x =+++图像的比较b 、xy e =与23412!3!4!x x x y x =++++图像的比较x ye23412!3!4!x x x y x =++++x ye2312!3!x x y x =+++c 、xy e =与234512!3!4!5!x x x x y x =+++++的图像比较根据上述例题我们可以看出原指数函数x y e =与其不同程度的多项式逼近函数均有着某种程度的逼近，且当n 的取值不同时原指数函数与其多项式逼近函数的逼近程度也不同.对比图像我们可以看出在指数函数的泰勒展开式中随着n 取值的增大，原指数函数与其逼近函数的图像越接近误差越小. 2.3.2 指数函数x y e -=的多项式逼近同样根据 2.1的多项式展开概念，可得出指数函数x y e -=的泰勒展开式为23112!3!!n nx x x yxn .依旧利用数学作图工具MATLAB 做出指数函数x y e -=与其泰勒展开式中n 分别取3、4、5时的多项式逼近函数的函数图.同理为了更加清晰的比较不同指数函数与它们各自的多项式逼近函数的逼近趋势是否一致，仍旧作出三张图片，分别为指数函数x y e -=与3n 时的多项式逼近函数231112!3!y x x x =-+-在同一坐标系下的函数图像、指数函数x y e -=与4n时的多项式逼近函数23411112!3!4!y x x x x =-+-+在同一坐标系下的函数图像、指数函数x y e -=与5n 时的多项式逼近函数2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-在同一坐标系下的函数图像，做出图像并分析图像，得出结论[3]. 234512!3!4!5!x x x x y x =+++++x ye【例2】 利用MATLAB 在同一坐标系中做出函数x y e -=、231112!3!y x x x =-+- 23411112!3!4!y x x x x =-+-+、2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-的图像并做比较. 解：a 、x y e -=与231112!3!y x x x =-+-的图像比较b 、x y e -=与23411112!3!4!y x x x x =-+-+的图像比较c 、x y e -=与2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-的图像比较xy e -=xy e -=23411112!3!4!y x x x x =-+-+231112!3!y x x x =-+-由例题的三张图片，三个不同程度的同一指数函数的泰勒展开式的函数图像分别与原指数函数的图像比较我们可以看出原指数函数与其多项式逼近函数也有着某种程度的逼近，而且同样的随着在泰勒展开式中n 取值的不同逼近程度也不同，随着n 取值的增大，原指数函数与其逼近函数图像越接近，即误差越小.由2.3.1与2.3.2中的两个例题我们可以看出原指数函数与其不同程度的多项式逼近函数有着某种程度的逼近，且随着泰勒展开式中n 取值的增大，原函数与其对应的多项式逼近函数图像越接近，即两个函数在同一点下的函数值越接近，误差越小.再两个例题进行比较可以看出上述得出的结论并不只针对某一个指数函数，它对于任何指数函数均成立，可以普遍的应用于指数函数与其多项式逼近函数的误差分析中[4].2.4 自然指数函数展开式的多重分割法2.4.1 自然指数函数展开式的多重分割法——广义双曲函数定义1 [5]形如()()()211!2!!m m nm x x x S x m m nm =+++++()()()()121121!121!1!m m nm x x x x S x m m nm +++=++++++++()()()()()()11121311!21!31!11!n m m m m m x x x x S x m m m n m +----=+++++---+-⎡⎤⎣⎦其中,3x R m ∈≥均为广义双曲线 定义1'[5] 广义双曲函数组()()()12,,,m S x S x S x 的等价条件为()()()()()()1211,,,m m m dS x dS x dS x S x S x S x dx dxdx-=== xy e -=2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-以及()()()()12301,0000m S S S S =====广义双曲函数的性质1、2m >时，广义双曲函数组()()()12,,,m S x S x S x 构成的m 阶循环行列式()()()()()()()()()()12112311m m m m S x S x S x S x S x S x D x S x S x S x -==2、2m >时，广义双曲函数的和较恒等式()()()()()()()11122m m S x y S x S y S x S y S x S y +=+++()()()()()()()221123m S x y S x S y S x S y S x S y +=+++()()()()()()()1121m m m m S x y S x S y S x S y S x S y -+=+++2.4.2 自然指数函数展开式的多重分割法——广义三角函数定义2[6] 形如()()()()2111!2!!m mnmnx x x T x m m nm =-+-+-+()()()()()1212111!1!21!1!m m nm nx x x x T x m mnm +++=-+-+-++++()()()()()()()111213111!21!31!11!n m m m m nm x x x x T x m m m n m +----=-+-+-+---+-⎡⎤⎣⎦其中,3x R m ∈≥均为广义三角函数. 定义'2[6] 广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 满足下列常微分方程组()()()()()()1211,,,m m m dT x dT x dT x T x T x T x dt dtdt-=== 以及初值条件()()()()12301,0000m T T T T =====广义三角函数的性质1、2m >时，广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 构成的m 阶反循环行列式()()()()()()()()()1221311---1m m m T x T x T x T x T x T x T x T x T x -=2、2m >时，广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 的和角恒等式()()()()()()()()()1112132m m m T x y T x T y T x T y T x T Y T x T y -+=----()()()()()()()()()2211233m m T x y T x T y T x T y T x T Y T x T y +=+--- ()()()()()()()()()33122134m T x y T x T y T x T y T x T y T x T y +=++--()()()()()()()()()112231m m m m m T x y T x T y T x T y T x T y T x T y --+=++++3 指数函数多项式展开的应用3.1 应用指数函数展开法求解非线性发展方程在大学课本中我们学习了非线性方程，即因变量与自变量之间的关系不是线性的方程，同样也学习了数学的重要分支之一的微分方程，我们将含自变量、未知数和未知数微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程.本文将呈现的非线性发展方程，即为费线性且依赖与时间的方程，一般为微分方程.给定非线性方程(),,,,,0t x xx tx F u u u u u =，（1） 为了求（1）行波解，令()(),u x t ϕθ=，kx vt θ=+， （2） 这里,k v 是非零的待定参数，（2）式带入方程（1）进行化简得到()ϕθ对应的常微分方程 ()''2''',,,,,0G u vu ku k u kvu =. （3）根据指数函数法，假设方程有如下解的形式:()qi p q ii pp q r r s j r s jj sa e a e a eb eb eb e θθθθθθφθ-=----=-++==++∑∑ （4）这里,i j a b 是待定常数,,,p q s r 均为待定正常数.通过平衡方程式（3）最高导数项与最高非线性项找出r 和p 的关系.同理通过平衡方程式最低导数项和最低非线性项找出q 和s 的关系，进一步找出方程的新解[3]，利用此方法可以求解BBM 方程[7].BBM 方程有如下的基本形式：60txxxxtu u uu u （5）利用变换,,u x tkx vt使方程（1）式变为：''2'''60kv kk v. （6）利用假设条件求出：7'''182r prc e c e ， （7）262'333844r pr prrc e c e c e c e ， （8）其中1,2,3,4k c k ，平衡子式得：762rprpr p . （9）同理7'''586s q s c e c e， （10）262'773888s q s q ssc ec e c e c e， （11）通过平衡子式762s qs q s q .情形1 取1,1rps q，从而方程（4）式变为：101101a ea a eb eb b e， （12）将（12）式代入方程（6）中，利用Maple 计算得到：330ii iCC e ， （13） 这里4101Cb e b b e，令0,33,iC i iR ，进而可得2220101115,,,2466b v kk vbk v k vb kv k va aa kbkk20001111,,,,4b vv b b b b b b代入（12）式，可得2220011120011524664b v kk vb k vk vbk v k veekbkkb e b b eb . （14）(i) 令20114b b b 截得012b b ，从而得到两个孤立波解：22,363cosh 1k k vkvkkx vt. （15）(ii) 令1kK i ，2v K i ，这里1K ，2K 为待定常数，i 为虚数，从而得到两个周期解：21212124,511263cos 1K K K K K K K K x K t. （16）当111011000111,0,0,,,,a b a a baa v vb b b b b从而有161a b 为常数解. 情形2 取2r p ，2s q，为方便起见令110b b，从而方程（4）变为222101222202a e a e a a e a eb e b b e. （17）将（17）式代入方程（6）式中利用Maple 计算，有 770i i iCC e ， （18） 这里422202Cb eb b e ，令0,77,iC i iR ，从而得到22220202224420,,,2466b v kk vbk v k vb kv k va aa kbkk2000222112,,,,0,04b vv b b bb b a ab ，代入（17）式，可得222220022272220022420466244bk k vb k kvb k kvee kkkbb e b b eb （19）(iii) 令20224b b b 解得022b b 从而得到两个孤立波解：28,946cosh 1k k vkv kkx vt. （20）(iv) 令1kK i ，2vK i ，这里1K ，2K 为待定常数，i 为虚数，从而得到两个周期解：212121210,111126cos 1K K K K K K K K x K t. （21）利用指数函数展开法求解非线性发展方程式在Maple 软件运算功能的帮助下，运用指数函数法成功得到了非线性方程的精确解，其中包括孤立波解与周期解.从而可以看出使用指数函数法求解非线性方程除了过程简单外，结果也比较准确.该方法具有普遍性，此方法还可以求解更加复杂类型的非线性发展方程.3.2 利用指数函数展开法求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用罗比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用罗比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展开成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限[8].【例3】 求极限2242412!4!limx x x x e x -→-+-.分析：该题为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将22x e-用其多项式展开式代替,则可化简被求方程式. 解：由222242()21()22!x x x eo x --=-++得 ()22224242422111242422!x x x x x x x e o x -⎛⎫- ⎪⎝⎭-+-=-+-+-+ 于是()()222242424442444000211112422!824limlim lim 8x x x x x x x x x x xo x o x e xx x -→→→⎛⎫- ⎪⎝⎭-+-+-++-+-===由题目我们可以看出，它其实也可以用罗比达法则，但是使用罗比达法则我们必须求导4次，为了简化解题过程，本题选择了泰勒展开法，而带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单.【例4】 求极限01sin 2lim sin cos x x xe x xx x x .分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , x e 分别用泰勒展开式代替,则可化简被求方程式.解：()()()2331sin 1122!3!2xx x x xe x x x o x x x o x ---=++++---+()336x o x =+()()()323323sin cos 162!3x x x x x x x o x x o x o x ⎛⎫-=-+--+=+ ⎪⎝⎭于是3333()1sin 162lim sin cos 2()3xx x xo x x x x x x x o x e →0+---==-+ 本题的极限式为分式，也可利用罗比达法则，但那样将会使解题过程复杂化，解题的过程中也很容易出错.为了简化求极限过程本题选择了泰勒展开法，将cos x ，sin x ，x e 分别泰勒展开为带有佩亚诺型余项的泰勒公式，且保持分子与分母同阶，这样只需简单的几步就求出了极限值.3.3 利用指数函数展开式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x x n ≈++++，其误差是余项()n R x .必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x 不能远离0x ，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果[8].【例5】 求21x e dx -⎰的近似值,精确到510-.分析：因为2x e -的原函数不存在（即不能用初等函数表达）,现用泰勒展开式的方法求21x edx -⎰的近似值.解：将2x e-进行泰勒展开得24221(1)2!!nx nx x ex n -=-+++-+，逐项积分得242111112000001(1)2!n x nx x e dx dx x dx dx dx n -=-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰！111111(1)32!52n 1n n =-+⋅-+-⋅++！11111111310422161329936075600=-+-+-+-+ 上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项()n R x 的估计式知71||0.00001575600R ≤< 所以2111111110.7468363104221613299360x e dx -≈-+-+-+≈⎰ 对与类似的定积分求近似值，由于被积函数的原函数不存在无法完成积分过程，则求不出积分值，此时利用泰勒展开法将被积函数化成多项式函数，将其多项式逼近函数带入积分得出原函数的近似值，这样既简化了求解过程又得出的结果. 【例6】 用x e 的10次泰勒多项式求e 的近似值，并估计误差. 分析：为求e 得近似值先求x f xe 得10次泰勒展开式，求e 得近似值即求1f 得近似值，利用f x 的麦克劳林展开得到f x 的近似计算式，然后取1x 求出1f 的近似值，即e 的近似值.解：在x e 的泰勒公式中取1,10x n ==,则有111112!3!10!e ≈+++++2.718281801=由于e 的精确度值e 2.718281801=，可以看出这么算得的结果是比较准确的.关于计算的误差，则有如下的估计11813()6.81011!11!x e d x ξ==<≈⨯ 求解e 为底的指数函数或三角函数在某点的近似值时，利用泰勒展开法求出其原函数的近似式进而求出其在改点出的近似值，该方法简捷明了具有一定的普遍性，可广泛运用与其它的解题过程中.3.4 利用泰勒公式证明不等式关于不等式的证明，我们已经学习了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法，但对于一些特殊的不等式证明可能使用上述证明方法并不能很好的运用，此时不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往能够使证明过程更加方便简捷[9]. 【例7】当0x ≥时，证明2311126x e x x x ≥+++. 证明：取()2311126x f x e x x x =----，00x =，则()()()()''''''00,00,00,1x f f f f x e ====-带入泰勒公式，其中3n =，得()310003!x e f x x θ-=+++，其中01θ<<故当0x ≥时，2311126x e x x x ≥+++4 结束语通过大学对数学分析的学习，我们了解了指数函数的多项式展开即泰勒展开，并且我们可以了解到泰勒展开对多种函数均成立，且可应用于多种解题过程中.而本文则主要围绕指数函数的多项式展开及其应用，即应用指数函数展开法求解非线性发展方程、利用指数函数展开法求极限、利用指数函数展开式进行近似计算、利用指数函数证明不等式.并简要介绍了自然指数函数展开式的多重分割法——广义双曲函数、自然指数函数展开式的多重分割法——广义三角函数的概念及性质.这肯定不会是指数函数的多项式展开的全部应用，它肯定还有其他方面的应用，这还有待于我们进一步探索研究.经过几个月的学习和工作，我终于完成了本篇论文.从开始拿到论文题目到系统的实现，再到论文文章的完成，每走一步对我来说都是新的尝试与挑战，这也是我在大学期间独立完成的最大的项目.虽然我的论文作品并不够成熟，还有很多不足之处，但我可以自豪的说，这里面的每一个文字都是我仔细推敲后得到的.这次做论文的经历也会使我终身受益，我感受到做论文是非常需要用心去做的一件事情，是真正的自己学习的过程和研究的过程，没有学习就不可能有研究的能力，没有自己的研究，就不会有所突破，那也就不叫论文了.所以希望这次的经历能够在以后的学习中激励我继续进步.最后，我要特别感谢齐老师，是他在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励，使我能够顺利完成毕业设计，在此表示衷心的感激.参考文献[1] 曾德备．关于多项式的定义[J]．玉溪师专学报, 1988,02:9-17. [2] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社出版社，2009.[3] 欧阳明松，徐连民.基于MATLAB 的实验数据拟合[J].南昌工程学院学报，2010,08:24-28. [4] 张和平,王凯．Taylor 多项式逼近函数的计算机模拟[J].高等数学研究,2011,07:113-115. [5] 耿济．自然指数函数展开式的多重分割法（一）—广义双曲函数[J]．海南大学学报自然科学版，1994,12：:23-290.[6] 耿济．自然指数函数展开式的多重分割法（二）—广义三角函数[J]．海南大学学报自然科学版,1995,06:95-104.[7] 杨昆望．应用指数函数展开法求解非线性发展方程[J]．纯粹数学与应用学,2012,02:85-91. [8] 陈传章, 金福林.《数学分析》[M].北京：高等教育出版社,1986.[9] 王福利．关于指数函数的本性特征[J]．佳木斯教育学院学报,1991,01:58-60. [10] Abolowitz MJ, Clarkson PA.Soliton Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering[M].Cambridge: University Press, 1989.装 订 线。
指数函数的多项式展开
指数函数的多项式展开指数函数的多项式展开指数函数的泰勒级数展开指数函数e^x的泰勒级数展开在x=0处可以表示为：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...这个级数展开式可以写成更一般的形式：e^x = Σ(n=0, ∞) x^n/n!对于任意实数a>0，一般形式的指数函数a^x也可以通过e^x的展开式来表示：a^x = e^(x ln a) = 1 + x ln a + (x ln a)^2/2! + (x ln a)^3/3! + ...指数函数多项式展开的特点与应用收敛性指数函数的泰勒级数在整个复平面上都是绝对收敛的，这意味着无论x取何值，级数都能收敛到e^x的值。
这种全局收敛性使得指数函数的多项式展开在数学分析中具有重要的应用价值。
特别是在数值计算中，收敛性保证了我们可以通过有限项的多项式来近似计算指数函数的值，而不必担心收敛问题。
此外，指数函数的收敛性也在复分析中扮演着关键角色。
由于其在复平面上的全局收敛性，指数函数的泰勒级数展开为解析函数理论提供了一个经典的例子。
这种性质不仅在理论上具有重要意义，也在实际应用中为我们提供了可靠的计算工具。
近似计算指数函数的多项式展开在近似计算中具有广泛的应用。
通过截取泰勒级数的有限项，我们可以在计算机中高效地近似计算e^x的值。
这种方法在计算资源有限的情况下尤为有用，因为它允许我们在保证一定精度的前提下，减少计算量。
在工程和科学计算中，指数函数的近似计算常用于模拟和仿真。
例如，在数值模拟中，指数函数的近似值可以用于计算复杂系统的动态行为。
此外，在金融工程中，指数函数的近似计算被用于期权定价模型中，以提高计算效率。
物理应用在物理学中，指数函数及其展开式有着广泛的应用。
例如，在放射性衰变、热力学冷却定律等物理模型中，指数函数经常被用来描述动态过程。
泰勒级数展开为这些物理模型提供了精确的数学描述和计算方法。
指数函数的级数展开
指数函数的级数展开指数函数是高中数学中比较重要的一个函数类型，其形式一般为 $f(x)=a^x$，其中 $a>0$ 且 $a \neq 1$。
指数函数有很多重要的性质，比如在 $a>1$ 的情况下随着 $x$ 的增大指数函数增长得很快，而在 $0<a<1$ 的情况下则逐渐减小。
在这篇文章中，我们将探讨一种叫做级数展开的方法，该方法可以将指数函数用一组无穷级数的形式表示出来，进一步深入理解指数函数的性质。
一、幂级数在介绍级数展开之前，我们需要先了解一下幂级数。
幂级数是指一种形式为：$$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n $$的无穷级数，其中 $a_n$ 是一组确定的实数或复数系数。
当$x$ 取某一个特定的值时，该级数可以收敛成一个数或函数，否则则发散。
幂级数可以看做是一种函数的无限项多项式展开式，用它可以方便地表达很多函数。
二、级数展开考虑指数函数$f(x)=a^x$，设$x$ 为实数，$a>0$，$a \neq 1$。
我们可以将函数 $f(x)$ 展开成以 $x$ 为变量的幂级数的形式。
对于指数函数 $a^x$，$a$ 是一个常数，而 $x$ 是变量，如果取$0<a<1$，则指数函数在 $x$ 增大时逐渐减小；如果取 $a>1$，则指数函数在 $x$ 增大时增长得很快。
现在我们来讨论 $a>1$ 的情况。
为了将 $a^x$ 展开成幂级数的形式，我们先来研究一下$a^x$ 的导数。
对于 $a^x$，根据链式法则可知：$$\frac{d(a^x)}{dx}=a^x \ln a $$上式表明 $a^x$ 的导数要乘上 $\ln a$。
接下来我们考虑写出$a^x$ 各阶导数的表达式：$$ \begin{aligned}\frac{d^2(a^x)}{dx^2}&=\frac{d}{dx}\left(\frac{d(a^x)}{dx}\right)=\ frac{d}{dx}(a^x \ln a)\\&=a^x(\ln a)^2 \end{aligned}$$$$ \begin{aligned}\frac{d^3(a^x)}{dx^3}&=\frac{d}{dx}\left(\frac{d^2(a^x)}{dx^2}\rig ht)=\frac{d}{dx}(a^x(\ln a)^2)\\&=a^x(\ln a)^3 \end{aligned}$$$$ \begin{aligned}\frac{d^4(a^x)}{dx^4}&=\frac{d}{dx}\left(\frac{d^3(a^x)}{dx^3}\rig ht)=\frac{d}{dx}(a^x(\ln a)^3)\\&=a^x(\ln a)^4 \end{aligned}$$我们可以发现，$n$ 阶导数形式都是 $a^x$ 与 $\ln ^n a$ 的乘积。
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学号：0907410028本科毕业论文（设计）( 2013届)指数函数的多项式展开及其应用院系数学系专业数学与应用数学姓名许月指导教师齐继兵职称讲师等级摘要指数函数是基本的初等函数，它的性质及其多项式逼近形式应用非常广泛.本文将主要围绕指数函数的多项式展开式进行研究，首先论述了指数函数的泰勒展开式的概念，给出了泰勒公式的一种证明，利用MATLAB做出了指数函数与其不同多项式逼近函数的图像，并进行了误差分析和比较.简要介绍了自然指数函数展开式的两种多重分割法的概念及性质.接着又讨论了指数函数的泰勒展开式在求解非线性发展方程，求解极限，近似估值以及在不等式证明当中的应用.这些应用反映了利用指数函数展开式及相关性质在解决一些问题中的技巧和方法，有助于进一步深入理解指数函数及其多项式展开在解决实际问题中的重要作用.关键词：指数函数初等函数多项式泰勒展开装订线ABSTRACTExponential function is the basic elementary function, it has a very wide range of propertiesand its application form of polynomial approximation. This paper will mainly focus on theexponential polynomial expansion is studies, firstly discusses the concept of Taylor expansion ofexponential function, one can prove the Taylor formula, using MATLAB to make the exponentialfunction with different images of the polynomial approximation function, and the error analysisand comparison. Nature of exponential function expansion is briefly introduced the concept oftwo multiple segmentation and nature, and then discussed the Taylor expansion of exponentialfunction in solving nonlinear evolution equations, the solving limit, approximate valuation aswell as the application in the middle of the inequality proof. These applications reflects the useof exponential function expansion and related properties in the methods and skills in solvingsome problems, will help to further understand exponential and polynomial expansion’simportant role in solving practical problems[10].Key words:exponential function elementary function polynomial Taylor expansion装订线目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1引言 (1)2指数函数的多项式展开 (1)2.1函数多项式展开的概念 (1)2.2泰勒展开式的证明 (1)2.3指数函数多项式逼近图 (2)2.4自然指数函数展开式的多重分割法 (6)3指数函数多项式展开的应用 (8)3.1应用指数函数展开法求解非线性发展方程 (8)3.2利用指数函数展开法求极限 (11)3.3利用指数函数展开式进行近似计算 (12)3.4利用泰勒公式证明不等式 (13)4结束语 (14)参考文献 (14)1 引言指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是学习对数函数的基础，在生活及生产实际中有着广泛的应用.多项式理论在代数中也占有十分重要的地位，且在数学的各门学科中都有着广泛的运用.关于多项式的定义，在1981年12月第一版统编六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册中说“一个多项式的元和系数都在实数集上取值时，这个多项式就叫做实数集R 上的多项式”，这个说法前一句讲的是多项式函数，而后一句却有问题，1983年11月第一版统编6年制重点中学高中数学课本《代数》第三册把这段话删去了，改为“以x 为元的一元n 次多项式的一般形式可以写成1110n n n n a x a x a x a --++++这里n 是确定的自然数，0n a ≠”[1].2 指数函数的多项式展开多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学方面问题的有力杠杆.2.1 函数多项式展开的概念定义[2] 指数函数的多项式展开即泰勒展开，对于一般的函数()f x ，假设它在一点0x 存在直到n 阶的导数，且多项式()n T x 由这些导数构成，即()()()()()()()()()'''200000001!2!!n nn f x f x f x T x f x x x x x x x n =+-+-++-该式称为函数()f x 在该点处的泰勒公式. 指数函数在点0x 处的泰勒展开式为()()()()()()()()()()()()'''2000000002!!n nnxn f x f x a f x f x f x x x x x x x T x o x x n ==+-+-++-+=+-这里()()0no x x -称为佩亚诺型余项.2.2 泰勒展开式的证明泰勒公式的证明方法有许多种，本文利用最基本的方法给出泰勒公式的证明.定理[2] 若函数()x f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()()nn x x o x T x f 0-+=，即()()()()()()()()()()()'''2000000002!!n nnf x f x f x f x f x x x x x x x o x x n =+-+-++-+- 装 订 线证明:不妨设()()()n n R x f x T x =-，()()0nn Q x x x =- 则只要证明()()0lim 0n x x nR x Q x →= 又知()()()()()'''00000n n n n n R x R x R x R x =====且()()()()()1'''00000n n n n n Q x Q x Q x Q x -=====，()()0!n nQ x n =因为()()0n f x 存在，所以在点0x 的某邻域()0U x 内f 存在1n -阶导函数()()1n f x -.于是，当().0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1n -次，得到()()()()()()()()()()()()()()()()()0000111'000'10lim lim lim lim 12n n n n n n n n x x x x x x x x n nnR x R x R x f x f x f x x x Q x Q x n n x x Q x ----→→→→---====--()()()()()()0110001lim 0!n n n x x f x f x f x n x x --→⎡⎤-=-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2.3 指数函数多项式逼近图2.3.1 指数函数x y e =的多项式逼近根据2.1可以写出指数函数x y e =的泰勒展开式为2312!3!!n x x x yxn ，现在我们利用数学作图工具MATLAB 做出指数函数xy e =与其泰勒展开式中n 分别取3、4、5时得到的不同的指数函数多项式逼近函数的图像.这里为了更加清晰明了的做出误差比较与分析，则会做出三张图片，分别为指数函数x y e =与3n时得到的多项式逼近函数2312!3!x x y x =+++在同一坐标系下的函数图像比较、指数函数xy e =与4n时得到的多项式逼近函数23412!3!4!x x x y x =++++在同一坐标系下的函数图像比较、指数函数xy e =与5n时得到的逼近函数234512!3!4!5!x x x x y x =+++++在同一坐标系下的函数图像比较，最后将根据图象分析指数函数与其逼近函数之间的关系并做出误差分析，得出结论[3].【例1】利用MATLAB 在同一坐标系中做出函数xy e =、2312!3!x x y x =+++、23412!3!4!x x x y x =++++、234512!3!4!5!x x x x y x =+++++的图像并做比较.解：a 、xy e =与2312!3!x x y x =+++图像的比较b 、xy e =与23412!3!4!x x x y x =++++图像的比较x ye23412!3!4!x x x y x =++++x ye2312!3!x x y x =+++c 、xy e =与234512!3!4!5!x x x x y x =+++++的图像比较根据上述例题我们可以看出原指数函数x y e =与其不同程度的多项式逼近函数均有着某种程度的逼近，且当n 的取值不同时原指数函数与其多项式逼近函数的逼近程度也不同.对比图像我们可以看出在指数函数的泰勒展开式中随着n 取值的增大，原指数函数与其逼近函数的图像越接近误差越小. 2.3.2 指数函数x y e -=的多项式逼近同样根据 2.1的多项式展开概念，可得出指数函数x y e -=的泰勒展开式为23112!3!!n nx x x yxn .依旧利用数学作图工具MATLAB 做出指数函数x y e -=与其泰勒展开式中n 分别取3、4、5时的多项式逼近函数的函数图.同理为了更加清晰的比较不同指数函数与它们各自的多项式逼近函数的逼近趋势是否一致，仍旧作出三张图片，分别为指数函数x y e -=与3n 时的多项式逼近函数231112!3!y x x x =-+-在同一坐标系下的函数图像、指数函数x y e -=与4n时的多项式逼近函数23411112!3!4!y x x x x =-+-+在同一坐标系下的函数图像、指数函数x y e -=与5n 时的多项式逼近函数2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-在同一坐标系下的函数图像，做出图像并分析图像，得出结论[3]. 234512!3!4!5!x x x x y x =+++++x ye【例2】 利用MATLAB 在同一坐标系中做出函数x y e -=、231112!3!y x x x =-+- 23411112!3!4!y x x x x =-+-+、2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-的图像并做比较. 解：a 、x y e -=与231112!3!y x x x =-+-的图像比较b 、x y e -=与23411112!3!4!y x x x x =-+-+的图像比较c 、x y e -=与2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-的图像比较xy e -=xy e -=23411112!3!4!y x x x x =-+-+231112!3!y x x x =-+-由例题的三张图片，三个不同程度的同一指数函数的泰勒展开式的函数图像分别与原指数函数的图像比较我们可以看出原指数函数与其多项式逼近函数也有着某种程度的逼近，而且同样的随着在泰勒展开式中n 取值的不同逼近程度也不同，随着n 取值的增大，原指数函数与其逼近函数图像越接近，即误差越小.由2.3.1与2.3.2中的两个例题我们可以看出原指数函数与其不同程度的多项式逼近函数有着某种程度的逼近，且随着泰勒展开式中n 取值的增大，原函数与其对应的多项式逼近函数图像越接近，即两个函数在同一点下的函数值越接近，误差越小.再两个例题进行比较可以看出上述得出的结论并不只针对某一个指数函数，它对于任何指数函数均成立，可以普遍的应用于指数函数与其多项式逼近函数的误差分析中[4].2.4 自然指数函数展开式的多重分割法2.4.1 自然指数函数展开式的多重分割法——广义双曲函数定义1 [5]形如()()()211!2!!m m nm x x x S x m m nm =+++++()()()()121121!121!1!m m nm x x x x S x m m nm +++=++++++++()()()()()()11121311!21!31!11!n m m m m m x x x x S x m m m n m +----=+++++---+-⎡⎤⎣⎦其中,3x R m ∈≥均为广义双曲线 定义1'[5] 广义双曲函数组()()()12,,,m S x S x S x 的等价条件为()()()()()()1211,,,m m m dS x dS x dS x S x S x S x dx dxdx-=== xy e -=2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-以及()()()()12301,0000m S S S S =====广义双曲函数的性质1、2m >时，广义双曲函数组()()()12,,,m S x S x S x 构成的m 阶循环行列式()()()()()()()()()()12112311m m m m S x S x S x S x S x S x D x S x S x S x -==2、2m >时，广义双曲函数的和较恒等式()()()()()()()11122m m S x y S x S y S x S y S x S y +=+++()()()()()()()221123m S x y S x S y S x S y S x S y +=+++()()()()()()()1121m m m m S x y S x S y S x S y S x S y -+=+++2.4.2 自然指数函数展开式的多重分割法——广义三角函数定义2[6] 形如()()()()2111!2!!m mnmnx x x T x m m nm =-+-+-+()()()()()1212111!1!21!1!m m nm nx x x x T x m mnm +++=-+-+-++++()()()()()()()111213111!21!31!11!n m m m m nm x x x x T x m m m n m +----=-+-+-+---+-⎡⎤⎣⎦其中,3x R m ∈≥均为广义三角函数. 定义'2[6] 广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 满足下列常微分方程组()()()()()()1211,,,m m m dT x dT x dT x T x T x T x dt dtdt-=== 以及初值条件()()()()12301,0000m T T T T =====广义三角函数的性质1、2m >时，广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 构成的m 阶反循环行列式()()()()()()()()()1221311---1m m m T x T x T x T x T x T x T x T x T x -=2、2m >时，广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 的和角恒等式()()()()()()()()()1112132m m m T x y T x T y T x T y T x T Y T x T y -+=----()()()()()()()()()2211233m m T x y T x T y T x T y T x T Y T x T y +=+--- ()()()()()()()()()33122134m T x y T x T y T x T y T x T y T x T y +=++--()()()()()()()()()112231m m m m m T x y T x T y T x T y T x T y T x T y --+=++++3 指数函数多项式展开的应用3.1 应用指数函数展开法求解非线性发展方程在大学课本中我们学习了非线性方程，即因变量与自变量之间的关系不是线性的方程，同样也学习了数学的重要分支之一的微分方程，我们将含自变量、未知数和未知数微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程.本文将呈现的非线性发展方程，即为费线性且依赖与时间的方程，一般为微分方程.给定非线性方程(),,,,,0t x xx tx F u u u u u =，（1） 为了求（1）行波解，令()(),u x t ϕθ=，kx vt θ=+， （2） 这里,k v 是非零的待定参数，（2）式带入方程（1）进行化简得到()ϕθ对应的常微分方程 ()''2''',,,,,0G u vu ku k u kvu =. （3）根据指数函数法，假设方程有如下解的形式:()qi p q ii pp q r r s j r s jj sa e a e a eb eb eb e θθθθθθφθ-=----=-++==++∑∑ （4）这里,i j a b 是待定常数,,,p q s r 均为待定正常数.通过平衡方程式（3）最高导数项与最高非线性项找出r 和p 的关系.同理通过平衡方程式最低导数项和最低非线性项找出q 和s 的关系，进一步找出方程的新解[3]，利用此方法可以求解BBM 方程[7].BBM 方程有如下的基本形式：60txxxxtu u uu u （5）利用变换,,u x tkx vt使方程（1）式变为：''2'''60kv kk v. （6）利用假设条件求出：7'''182r prc e c e ， （7）262'333844r pr prrc e c e c e c e ， （8）其中1,2,3,4k c k ，平衡子式得：762rprpr p . （9）同理7'''586s q s c e c e， （10）262'773888s q s q ssc ec e c e c e， （11）通过平衡子式762s qs q s q .情形1 取1,1rps q，从而方程（4）式变为：101101a ea a eb eb b e， （12）将（12）式代入方程（6）中，利用Maple 计算得到：330ii iCC e ， （13） 这里4101Cb e b b e，令0,33,iC i iR ，进而可得2220101115,,,2466b v kk vbk v k vb kv k va aa kbkk20001111,,,,4b vv b b b b b b代入（12）式，可得2220011120011524664b v kk vb k vk vbk v k veekbkkb e b b eb . （14）(i) 令20114b b b 截得012b b ，从而得到两个孤立波解：22,363cosh 1k k vkvkkx vt. （15）(ii) 令1kK i ，2v K i ，这里1K ，2K 为待定常数，i 为虚数，从而得到两个周期解：21212124,511263cos 1K K K K K K K K x K t. （16）当111011000111,0,0,,,,a b a a baa v vb b b b b从而有161a b 为常数解. 情形2 取2r p ，2s q，为方便起见令110b b，从而方程（4）变为222101222202a e a e a a e a eb e b b e. （17）将（17）式代入方程（6）式中利用Maple 计算，有 770i i iCC e ， （18） 这里422202Cb eb b e ，令0,77,iC i iR ，从而得到22220202224420,,,2466b v kk vbk v k vb kv k va aa kbkk2000222112,,,,0,04b vv b b bb b a ab ，代入（17）式，可得222220022272220022420466244bk k vb k kvb k kvee kkkbb e b b eb （19）(iii) 令20224b b b 解得022b b 从而得到两个孤立波解：28,946cosh 1k k vkv kkx vt. （20）(iv) 令1kK i ，2vK i ，这里1K ，2K 为待定常数，i 为虚数，从而得到两个周期解：212121210,111126cos 1K K K K K K K K x K t. （21）利用指数函数展开法求解非线性发展方程式在Maple 软件运算功能的帮助下，运用指数函数法成功得到了非线性方程的精确解，其中包括孤立波解与周期解.从而可以看出使用指数函数法求解非线性方程除了过程简单外，结果也比较准确.该方法具有普遍性，此方法还可以求解更加复杂类型的非线性发展方程.3.2 利用指数函数展开法求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用罗比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用罗比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展开成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限[8].【例3】 求极限2242412!4!limx x x x e x -→-+-.分析：该题为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将22x e-用其多项式展开式代替,则可化简被求方程式. 解：由222242()21()22!x x x eo x --=-++得 ()22224242422111242422!x x x x x x x e o x -⎛⎫- ⎪⎝⎭-+-=-+-+-+ 于是()()222242424442444000211112422!824limlim lim 8x x x x x x x x x x xo x o x e xx x -→→→⎛⎫- ⎪⎝⎭-+-+-++-+-===由题目我们可以看出，它其实也可以用罗比达法则，但是使用罗比达法则我们必须求导4次，为了简化解题过程，本题选择了泰勒展开法，而带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单.【例4】 求极限01sin 2lim sin cos x x xe x xx x x .分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , x e 分别用泰勒展开式代替,则可化简被求方程式.解：()()()2331sin 1122!3!2xx x x xe x x x o x x x o x ---=++++---+()336x o x =+()()()323323sin cos 162!3x x x x x x x o x x o x o x ⎛⎫-=-+--+=+ ⎪⎝⎭于是3333()1sin 162lim sin cos 2()3xx x xo x x x x x x x o x e →0+---==-+ 本题的极限式为分式，也可利用罗比达法则，但那样将会使解题过程复杂化，解题的过程中也很容易出错.为了简化求极限过程本题选择了泰勒展开法，将cos x ，sin x ，x e 分别泰勒展开为带有佩亚诺型余项的泰勒公式，且保持分子与分母同阶，这样只需简单的几步就求出了极限值.3.3 利用指数函数展开式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x x n ≈++++，其误差是余项()n R x .必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x 不能远离0x ，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果[8].【例5】 求21x e dx -⎰的近似值,精确到510-.分析：因为2x e -的原函数不存在（即不能用初等函数表达）,现用泰勒展开式的方法求21x edx -⎰的近似值.解：将2x e-进行泰勒展开得24221(1)2!!nx nx x ex n -=-+++-+，逐项积分得242111112000001(1)2!n x nx x e dx dx x dx dx dx n -=-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰！111111(1)32!52n 1n n =-+⋅-+-⋅++！11111111310422161329936075600=-+-+-+-+ 上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项()n R x 的估计式知71||0.00001575600R ≤< 所以2111111110.7468363104221613299360x e dx -≈-+-+-+≈⎰ 对与类似的定积分求近似值，由于被积函数的原函数不存在无法完成积分过程，则求不出积分值，此时利用泰勒展开法将被积函数化成多项式函数，将其多项式逼近函数带入积分得出原函数的近似值，这样既简化了求解过程又得出的结果. 【例6】 用x e 的10次泰勒多项式求e 的近似值，并估计误差. 分析：为求e 得近似值先求x f xe 得10次泰勒展开式，求e 得近似值即求1f 得近似值，利用f x 的麦克劳林展开得到f x 的近似计算式，然后取1x 求出1f 的近似值，即e 的近似值.解：在x e 的泰勒公式中取1,10x n ==,则有111112!3!10!e ≈+++++2.718281801=由于e 的精确度值e 2.718281801=，可以看出这么算得的结果是比较准确的.关于计算的误差，则有如下的估计11813()6.81011!11!x e d x ξ==<≈⨯ 求解e 为底的指数函数或三角函数在某点的近似值时，利用泰勒展开法求出其原函数的近似式进而求出其在改点出的近似值，该方法简捷明了具有一定的普遍性，可广泛运用与其它的解题过程中.3.4 利用泰勒公式证明不等式关于不等式的证明，我们已经学习了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法，但对于一些特殊的不等式证明可能使用上述证明方法并不能很好的运用，此时不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往能够使证明过程更加方便简捷[9]. 【例7】当0x ≥时，证明2311126x e x x x ≥+++. 证明：取()2311126x f x e x x x =----，00x =，则()()()()''''''00,00,00,1x f f f f x e ====-带入泰勒公式，其中3n =，得()310003!x e f x x θ-=+++，其中01θ<<故当0x ≥时，2311126x e x x x ≥+++4 结束语通过大学对数学分析的学习，我们了解了指数函数的多项式展开即泰勒展开，并且我们可以了解到泰勒展开对多种函数均成立，且可应用于多种解题过程中.而本文则主要围绕指数函数的多项式展开及其应用，即应用指数函数展开法求解非线性发展方程、利用指数函数展开法求极限、利用指数函数展开式进行近似计算、利用指数函数证明不等式.并简要介绍了自然指数函数展开式的多重分割法——广义双曲函数、自然指数函数展开式的多重分割法——广义三角函数的概念及性质.这肯定不会是指数函数的多项式展开的全部应用，它肯定还有其他方面的应用，这还有待于我们进一步探索研究.经过几个月的学习和工作，我终于完成了本篇论文.从开始拿到论文题目到系统的实现，再到论文文章的完成，每走一步对我来说都是新的尝试与挑战，这也是我在大学期间独立完成的最大的项目.虽然我的论文作品并不够成熟，还有很多不足之处，但我可以自豪的说，这里面的每一个文字都是我仔细推敲后得到的.这次做论文的经历也会使我终身受益，我感受到做论文是非常需要用心去做的一件事情，是真正的自己学习的过程和研究的过程，没有学习就不可能有研究的能力，没有自己的研究，就不会有所突破，那也就不叫论文了.所以希望这次的经历能够在以后的学习中激励我继续进步.最后，我要特别感谢齐老师，是他在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励，使我能够顺利完成毕业设计，在此表示衷心的感激.参考文献[1] 曾德备．关于多项式的定义[J]．玉溪师专学报, 1988,02:9-17. [2] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社出版社，2009.[3] 欧阳明松，徐连民.基于MATLAB 的实验数据拟合[J].南昌工程学院学报，2010,08:24-28. [4] 张和平,王凯．Taylor 多项式逼近函数的计算机模拟[J].高等数学研究,2011,07:113-115. [5] 耿济．自然指数函数展开式的多重分割法（一）—广义双曲函数[J]．海南大学学报自然科学版，1994,12：:23-290.[6] 耿济．自然指数函数展开式的多重分割法（二）—广义三角函数[J]．海南大学学报自然科学版,1995,06:95-104.[7] 杨昆望．应用指数函数展开法求解非线性发展方程[J]．纯粹数学与应用学,2012,02:85-91. [8] 陈传章, 金福林.《数学分析》[M].北京：高等教育出版社,1986.[9] 王福利．关于指数函数的本性特征[J]．佳木斯教育学院学报,1991,01:58-60. [10] Abolowitz MJ, Clarkson PA.Soliton Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering[M].Cambridge: University Press, 1989.装 订 线。