人教新课标版数学高一-必修2 直线与平面平行的性质

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高中数学直线、平面平行的判定及其性质教案新人教版必修2

§2.2 直线、平面平行的判定及其性质§2.2.1 直线与平面平行的判定一、教材分析空间里直线与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，而且是学习平面与平面平行的基础.空间中直线与平面平行的定义是以否定形式给出的用起来不方便，要求学生在回忆直线与平面平行的定义的基础上探究直线与平面平行的判定定理.本节重点是直线与平面平行的判定定理的应用.二、教学目标1．知识与技能（1）理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；2．过程与方法学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.3．情感、态度与价值观（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想.三、教学重点与难点如何判定直线与平面平行.四、课时安排1课时五、教学设计（一）复习复习直线与平面平行的定义：如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.（二）导入新课思路1.(情境导入)将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面的位置关系吗？图1（三）推进新课、新知探究、提出问题①回忆空间直线与平面的位置关系.②若平面外一条直线平行平面内一条直线，探究平面外的直线与平面的位置关系.③用三种语言描述直线与平面平行的判定定理.④试证明直线与平面平行的判定定理.活动：问题①引导学生回忆直线与平面的位置关系.问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题③引导学生进行语言转换.问题④引导学生用反证法证明.讨论结果：①直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.②直线a在平面α外，是不是能够断定a∥α呢？不能！直线a在平面α外包含两种情形：一是a与α相交，二是a与α平行，因此，由直线a在平面α外，不能断定a∥α.若平面外一条直线平行平面内一条直线，那么平面外的直线与平面的位置关系可能相交吗？既然不可能相交，则该直线与平面平行.③直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.符号语言为：.图形语言为：如图2.图2④证明：∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为β.∴a⊂β，b⊂β.∵a⊄α，a⊂β，∴α和β是两个不同平面.∵b⊂α且b⊂β，∴α∩β=b.假设a与α有公共点P,则P∈α∩β=b，即点P是a与b的公共点，这与已知a∥b矛盾.∴假设错误.故a∥α.（四）应用示例思路1例1 求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.求证：EF∥面BCD.活动：先让学生思考或讨论，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.证明：如图3,连接BD,图3EF∥面BCD.所以,EF∥面BCD.变式训练如图4,在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.图4画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在面PBC内作MF∥BC交PB于F，连接EF，则平面MNEF为所求，其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线.证明：如图5,图5.所以,BC∥平面MNEF.点评：“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行. 例2 如图6，已知AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 的中点.图6求证：AC∥平面EFG ，BD∥平面EFG.证明：连接AC 、BD 、EF 、FG 、EG.在△ABC 中，∵E、F 分别是AB 、BC 的中点,∴AC∥EF.又EF ⊂面EFG ，AC ⊄面EFG,∴AC∥面EFG.同理可证BD∥面EFG.变式训练已知M 、N 分别是△ADB 和△ADC 的重心，A 点不在平面α内，B 、D 、C 在平面α内，求证：MN∥α. 证明：如图7,连接AM 、AN 并延长分别交BD 、CD 于P 、Q ，连接PQ.图7∵M、N 分别是△ADB、△ADC 的重心， ∴NQAN MP AM ==2.∴MN∥PQ. 又PQ ⊂α，MN ⊄α,∴MN∥α.点评：利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.思路2例题设P 、Q 是边长为a 的正方体AC 1的面AA 1D 1D 、面A 1B 1C 1D 1的中心,如图8,（1）证明P Q∥平面AA 1B 1B ；（2）求线段PQ 的长.图8(1)证法一：取AA 1,A 1B 1的中点M,N,连接MN,NQ,MP, ∵MP∥AD,MP=AD 21,NQ∥A 1D 1,NQ=1121D A , ∴MP∥ND 且MP=ND.∴四边形PQNM 为平行四边形.∴PQ∥MN.∵MN ⊂面AA 1B 1B,PQ ⊄面AA 1B 1B,∴PQ∥面AA 1B 1B.证法二：连接AD 1,AB 1,在△AB 1D 1中,显然P,Q 分别是AD 1,D 1B 1的中点,∴PQ∥AB 1,且PQ=121AB . ∵PQ ⊄面AA 1B 1B,AB 1⊂面AA 1B 1B,∴PQ∥面AA 1B 1B.(2)解:方法一:PQ=MN=a N A M A 222121=+. 方法二：PQ=a AB 22211=. 变式训练如图9，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，F 在BD 上，且B 1E=BF.图9求证：EF∥平面BB 1C 1C.证明：连接AF 并延长交BC 于M ，连接B 1M.∵AD∥BC,∴△AFD∽△MFB. ∴BFDF FM AF =. 又∵BD=B 1A ，B 1E=BF,∴DF=AE. ∴BFDF FM AF =. ∴EF∥B 1M ，B 1M ⊂平面BB 1C 1C. ∴EF∥平面BB 1C 1C.（五）知能训练已知四棱锥P —ABCD 的底面为平行四边形,M 为PC 的中点,求证:PA∥平面MBD.证明：如图10,连接AC 、BD 交于O 点,连接MO,图10∵O 为AC 的中点,M 为PC 的中点,∴MO 为△PAC 的中位线.∴PA∥MO.∵PA ⊄平面MBD,MO ⊂平面MBD,∴PA∥平面MBD.（六）拓展提升如图11，已知平行四边形ABCD 和平行四边形ACEF 所在的平面相交于AC,M 是线段EF 的中点.图11求证:AM∥平面BDE.证明：设AC∩BD=O ，连接OE ，∵O、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是平行四边形，∴四边形AOEM 是平行四边形.∴AM∥OE.∵OE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM∥平面BDE.（七）课堂小结知识总结：利用线面平行的判定定理证明线面平行.方法总结：利用平面几何中的平行线截比例线段定理，三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.（八）作业课本习题2.2 A组3、4.§2.2.3 直线与平面平行的性质一、教材分析上节课已学习了直线与平面平行的判定定理,这节课将通过例题让学生体会应用线面平行的性质定理的难度，进而明确告诉学生：线面平行的性质定理是高考考查的重点，也是最难应用的两个定理之一.本节重点是直线与平面平行的性质定理的应用.二、教学目标1．知识与技能掌握直线与平面平行的性质定理及其应用.2．过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型性质及其应用.3．情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力.（2）进一步体会类比的作用.（3）进一步渗透等价转化的思想.三、教学重点与难点教学重点：直线与平面平行的性质定理.教学难点：直线与平面平行的性质定理的应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）复习回忆直线与平面平行的判定定理：（1）文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（2）符号语言为：（3）图形语言为：如图1.图1（二）导入新课思路1.(情境导入)教室内日光灯管所在的直线与地面平行，是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的直线平行？思路2.(事例导入)观察长方体（图2），可以发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面平行，你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B 平行吗？图2（三）推进新课、新知探究、提出问题①回忆空间两直线的位置关系.②若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系.③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.④试证明直线与平面平行的性质定理.⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？⑥总结应用线面平行性质定理的要诀.活动:问题①引导学生回忆两直线的位置关系.问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题③引导学生进行语言转换.问题④引导学生用排除法.问题⑤引导学生找出应用的难点.问题⑥鼓励学生总结，教师归纳.讨论结果：①空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面.②若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交（可用反证法证明）,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面.怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.这个定理用符号语言可表示为：这个定理用图形语言可表示为：如图3.图3④已知a∥α，a β，α∩β=b.求证：a∥b.证明：⑤应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面.⑥应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.（四）应用示例思路1例1 如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.图4(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与面AC是什么位置关系？活动:先让学生思考、讨论再回答，然后教师加以引导.分析：经过木料表面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理4、公理2作出.解：（1）如图5，在平面A′C′内，过点P作直线EF,使EF∥B′C′，图5并分别交棱A′B′、C′D′于点E、F.连接BE、CF.则EF、BE、CF就是应画的线.(2)因为棱BC平行于面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′.由（1）知，EF∥B′C′，所以EF∥BC.因此BE 、CF 显然都与平面AC 相交.变式训练如图6，a∥α,A 是α另一侧的点，B 、C 、D ∈a ，线段AB 、AC 、AD 交α于E 、F 、G 点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.图6解：A ∉a ，∴A、a 确定一个平面，设为β.∵B∈a ，∴B∈β.又A ∈β，∴AB ⊂β.同理AC ⊂β，AD ⊂β.∵点A 与直线a 在α的异侧,∴β与α相交.∴面ABD 与面α相交，交线为EG.∵BD∥α，BD ⊂面BAD ，面BAD∩α=EG,∴BD∥EG.∴△AEG∽△ABD. ∴ACAF BD EG =.(相似三角形对应线段成比例) ∴EG=920495=⨯=∙BD AC AF . 点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要过已知点，这个平面是确定的.例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图7.图7已知直线a,b,平面α,且a∥b,a∥α,a,b 都在平面α外.求证：b∥α.证明：过a 作平面β,使它与平面α相交,交线为c.∵a∥α,a ⊂β,α∩β=c,∴a∥c.∵a∥b,∴b∥c.∵c ⊂α,b ⊄α,∴b∥α.变式训练如图8,E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，平面α过EH 分别交BC 、CD 于F 、G.求证：EH∥FG.图8证明：连接EH.∵E、H 分别是AB 、AD 的中点,∴EH∥BD.又BD ⊂面BCD ，EH ⊄面BCD,∴EH∥面BCD.又EH ⊂α、α∩面BCD=FG,∴EH∥FG.点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行.思路2例 1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.如图9.图9已知a∥b,a ⊂α，b ⊂β，α∩β=c.求证：c∥a∥b.证明：变式训练求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.图10已知：如图10,a∥α,a∥β,α∩β=b ，求证：a∥b.证明：如图10，过a 作平面γ、δ，使得γ∩α=c ，δ∩β=d ，那么有点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.例2 如图11，平行四边形EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，求证：BD∥面EFGH ，AC∥面EFGH.图11证明：∵EFGH 是平行四边形变式训练如图12，平面EFGH 分别平行于CD 、AB ，E 、F 、G 、H 分别在BD 、BC 、AC 、AD 上，且CD=a ，AB=b ，CD⊥AB.图12（1）求证：EFGH 是矩形；（2）设DE=m,EB=n,求矩形EFGH 的面积.(1)证明：∵CD∥平面EFGH ，而平面EFGH∩平面BCD=EF,∴CD∥EF.同理HG∥CD,∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四边形EFGH 为平行四边形.由CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF 为CD 和AB 所成的角.又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴四边形EFGH 为矩形.（2）解：由（1）可知在△BCD 中EF∥CD，DE=m ，EB=n, ∴DB BE CD EF =.又CD=a,∴EF=a nm n +. 由HE∥AB,∴DBDE AB HE =. 又∵AB=b,∴HE=b n m m +. 又∵四边形EFGH 为矩形,∴S 矩形EFGH =HE·EF=ab n m mn a n m n b n m m 2)(+=+∙+. 点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用.（五）知能训练求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.已知：a 、b 是异面直线.求证：过b 有且只有一个平面与a 平行.证明：(1)存在性.如图13，图13在直线b 上任取一点A ，显然A ∉a.过A 与a 作平面β,在平面β内过点A 作直线a′∥a,则a′与b 是相交直线，它们确定一个平面，设为α,∵b ⊂α，a 与b 异面，∴a ⊄α.又∵a∥a′，a′⊂α，∴a∥α.∴过b 有一个平面α与a 平行.(2)唯一性.假设平面γ是过b 且与a 平行的另一个平面,则b ⊂γ.∵A∈b ，∴A∈γ.又∵A∈β，∴γ与β相交，设交线为a″，则A ∈a″.∵a∥γ，a ⊂β，γ∩β=a″,∴a∥a″.又a∥a′，∴a′∥a″.这与a′∩a″=A 矛盾.∴假设错误，故过b 且与a 平行的平面只有一个.综上所述，过b 有且只有一个平面与a 平行.变式训练已知：a∥α，A ∈α，A ∈b ，且b∥a.求证：b ⊂α.证明：假设b ⊄α，如图14，图14设经过点A 和直线a 的平面为β，α∩β=b′, ∵a∥α，∴a∥b′(线面平行则线线平行). 又∵a∥b，∴b∥b′,这与b∩b′=A 矛盾.∴假设错误.故b ⊂α.（六）拓展提升已知：a,b 为异面直线,a ⊂α,b ⊂β,a∥β,b∥α,求证:α∥β.证明：如图15，在b 上任取一点P ，由点P 和直线a 确定的平面γ与平面β交于直线c ，则c 与b 相交于点P.图15变式训练已知AB 、CD 为异面线段，E 、F 分别为AC 、BD 中点，过E 、F 作平面α∥AB.（1）求证：CD∥α;（2）若AB=4，EF=5，CD=2，求AB 与CD 所成角的大小.（1）证明：如图16，连接AD交α于G，连接GF,图16∵AB∥α，面ADB∩α=GF AB∥GF.又∵F为BD中点,∴G为AD中点.又∵AC、AD相交，确定的平面ACD∩α=EG,E为AC中点，G为AD中点,∴EG∥CD.（2）解：由（1）证明可知：∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1,EF=5.在△EGF中，由勾股定理,得∠EGF=90°,即AB与CD所成角的大小为90°.（七）课堂小结知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行.方法总结:应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面,是最难应用的定理之一;应让学生熟记:“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行”.（八）作业课本习题2.2 A组5、6.§2.2.2 平面与平面平行的判定§2.2.4 平面与平面平行的性质一、教材分析空间中平面与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法；面面平行的性质定理又给出了由面面平行转化为线线平行的方法，所以本节在立体几何中占有重要地位.本节重点是平面与平面平行的判定定理及其性质定理的应用.二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握平面与平面平行的判定定理；（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用（3）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；2、过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解及其应用3、情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；（2）进一步体会类比的作用；（3）进一步渗透等价转化的思想。

人教新课标版数学高一-人教必修2直线与平面平行的性质

课时提升卷(十一)直线与平面平行的性质（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.已知直线m∥直线n,直线m∥平面α,过m的平面β与α相交于直线a,则n与a的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.以上均有可能2.(2013·长白山高一检测)设a,b是两条直线,α,β是两个平面,若a∥α,a β,α∩β=b,则α内与b相交的直线与a的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.平行或异面3.若l∥α,A∈α,则下列说法正确的是( )A.过A在平面α内可作无数条直线与l平行B.过A在平面α内仅可作一条直线与l平行C.过A在平面α内可作两条直线与l平行D.过A在平面α内可作与l平行的直线的条数与A的位置有关4.如图,四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则( )A.MN∥PDB.MN∥PAC.MN∥ADD.以上均有可能5.(2013·深圳高一检测)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D为AC的中点,点D1是A1C1上的一点,若BC1∥平面AB1D1,则等于( )A. B.1 C.2 D.3二、填空题(每小题8分,共24分)6.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点B,D,A1,且α与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与B1D1的位置关系是.7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是平面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一点,且PQ∥平面AB1,则线段PQ长为.8.长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,其侧面展开图是边长为8的正方形.E, F分别是侧棱AA1,CC1上的动点,AE+CF=8.P在棱AA1上,且AP=2,若EF∥平面PBD,则CF= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图,在△ABC所在平面外有一点P,D,E分别是PB与AB上的点,过D,E作平面平行于BC,试画出这个平面与其他各面的交线,并说明画法的依据.10.如图所示,四边形ABCD是矩形,P∉平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于E,交DP于F.求证:四边形BCFE是梯形.11.(能力挑战题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2,若MB∥平面AEF,试判断点M在何位置.答案解析1.【解析】选A.因为直线m∥平面α,m⊂β,α∩β=a,所以m∥a,又m∥n,所以n∥a.2.【解析】选C.因为a∥α,a⊂β,α∩β=b,所以a∥b.又因为a与α无公共点,所以α内与b相交的直线与a异面.3.【解析】选B.直线l与点A只能确定惟一的一个平面,此平面与平面α的交线与l平行.4.【解析】选B.因为MN∥平面PAD,平面PAC∩平面PAD=PA, MN⊂平面PAC,所以MN∥PA.5.【解析】选B.连接A1B交AB1于O,则O为A1B的中点,因为BC1∥平面AB1D1,BC1⊂平面A1BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=OD1,所以BC1∥OD1,所以D1为A1C1的中点,即=1.6. 【解析】因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以BD∥B1D1.又BD⊄平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以BD∥平面A1B1C1D1,又BD⊂平面α,平面α∩平面A1B1C1D1=l,所以BD∥l,所以l∥B1D1.答案:平行7. 【解析】连接AB1,AD1,因为点P是平面AA1D1D的中心,所以点P是AD1的中点,因为PQ∥平面AB1,PQ⊂平面AB1D1,平面AB1D1∩平面AB1=AB1,所以PQ∥AB1,所以PQ=AB1=.答案:8.【解题指南】设AC与BD的交点为O,由EF∥平面PBD得EF∥PO,再由题意构造中位线得QC∥PO,证出EFCQ为平行四边形再由题意求CF.【解析】连接AC交BD于O,连接PO.因为EF∥平面PBD,EF⊂平面EACF,平面EACF∩平面PBD=PO,所以EF∥PO,在PA1上截取PQ=AP=2,连接QC,则QC∥PO,所以EF∥QC,所以EFCQ为平行四边形,则CF=EQ,又因为AE+CF=8,AE+A1E=8,所以A1E=CF=EQ=A1Q=2,从而CF=2.答案:29.【解析】记过D,E所作平面为α,因为BC∥α,且BC⊂平面PBC,BC⊂平面ABC,所以平面α与平面PBC和平面ABC的交线都与BC平行.据此作平面α如下:连接DE,过点D作DG∥BC交PC于点G,过点E作EF∥BC交AC于点F,连接GF,平面DEFG即为平面α.(如图)10.【证明】因为四边形ABCD是矩形,所以AD∥BC.又BC⊂平面BCFE,所以AD∥平面BCFE.又因为AD⊂平面PAD,平面PAD∩平面BCFE=EF,所以AD∥EF,且AD ≠EF,所以EF∥BC且EF≠BC,所以四边形BCFE是梯形.11.【解析】若MB∥平面AEF,过F,B,M作平面FBMN交AE于N,连接MN,NF.因为BF∥平面AA1C1C,BF⊂平面FBMN,平面FBMN∩平面AA1C1C=MN,所以BF∥MN.又MB∥平面AEF,MB⊂平面FBMN,平面FBMN∩平面AEF=FN, 所以MB∥FN,所以BFNM是平行四边形,所以MN∥BF,MN=BF=1.而EC∥FB,EC=2FB=2,所以MN∥EC,MN=EC=1,故MN是△ACE的中位线.所以M是AC的中点时,MB∥平面AEF.【拓展提升】立体几何中“思维定式”的应用解答立体几何问题通常有比较固定的方法.举例如下:(1)作辅助线时,有“中点”考虑中位线,等腰三角形的性质.(2)证明线面平行,通常用判定定理,也就是证明平面外的直线与平面内的一条直线平行.(3)证明面面平行,通常用其判定定理,也就是证明一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行.(4)题目条件中有线面平行时,一定要想到线面平行的性质定理,也就是见到“线面平行”就要考虑过已知直线找(或作)出平面与已知平面相交,得到交线与已知直线平行.。

高一数学2.2.2直线与平面平行的性质

个平面平行，那么在什么条件
师：投影问题，学生回答 . 生：当平面内的直线与这条直线共面时两条直线平行 .
下，平面内的直线与这条直线
师：为什么？
平行？
生：由条件知两条直线没
2．例 1 如图 a∥ a ，有公共点，如果它们共面，那
= b. 求证： a∥b.
么它们一定平行 .
师投影例 1 并读题，学生
∴ AB
同理 AC , AD
∵点 A 与直线 a 在的异侧 ∴ 与相交，
∴面 ABD 与面相交，交线为 EG ∵ BD∥ ， BD 面 BAD ，面 BAD
=EG
∴ BD∥ EG， ∴△ AEG∽△ ABD . ∴ EG AF (相似三角形对应线段成比例 ) BD AC
∴ EG
AF BD
5
20
一平面与相交 c，则 a 与交线 c 平行，又 a∥ b ∴b∥ c
师表扬，并共同完成板书过程
能力，转化化归能力及书写表达能力 .
因为 a∥ b，所以 b∥ c 又因为 c , b ，所以
b∥ . 1．如图，正方体的棱长是
a， C，D 分别是两条棱的中点 .
学生独立完成 1．答案：（ 1）如图， CD ∥ EF， EF ∥ AB， CD ∥AB. 又 CD ≠ AB，所
第二课时直线与平面平行的性质
讲练结合
教学过程
教学内容 1．直线与平面平行的判定定理
师生互动投影幻灯片，师生共同复习，并讨论思考题 .
新课导入
2．直线与平面的位置关系 3．思考：如果直线和平面平行、那么这条直线与这个平面内的直线是有什么位置关系？
直线与平面平行的性质 1．思考题：一条直线与一

人教版高中数学必修2《直线与平面平行》PPT课件

D′
P
F α
E B′
C′ C
AC外，所以EF//平面AC．
A
B
显然， BE，CF都与平面AC相交．
例题如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，
M，N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．
（1）求证：l//BC；（2）MN与平面APD是否平行？试证明你的结论．
Pl N
D
C
又 MN平面PAD，AE平面PAD， D
C
∴ MN//平面PAD．
A
M
B
1.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，
（1）与AB平行的平面是
；
D′
（2）与AA′平行的平面是（3）与AD平行的平面是
； A′ ．
线线平行
线面平行
D
在长方体中找到与已知直线 A 平行的直线有哪些？
C′ B′
C B
1.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，
解析：“×”
b Pa
α
3.判断下列命题，正确的打“√”，错误的打“×”．
（4）如果直线a，b和平面α满足a//b，a//α， b ，那么， b//α．
解析：“√”
b
a
α
3.判断下列命题，正确的打“√”，错误的打“×”．
（1）如果直线a//b，那么a平行于经过b的任何平面．（2）如果直线a和平面α满足a//α，那么a与α内的任
请同学们考虑用图形语言和符号语言如何
表示定理？
βa
α
b
它可以用符号表示：
a//，a ，
= b a//b
直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，这也给出了一种作平行线的方法．

人教新课标A版高一数学《必修2》2.2.3直线与平面平行的性质

直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行, 那么经过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.
课堂探究
探究点2 直线与平面平行的判定定理的应用
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A1C1.
（1）要经过面A1C1内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线？ D1 （2）所画的线和面AC是什么位置关系？ F A1 P 解（1）在面A1C内,过点P画直线EF, 使EF//B1C1,EF交棱A1B1、C1D1于点E、F, 连接BE、CF，则EF、BE、CF就是应画的线. A B
b

b

a
答：经过直线a的平面β，与平面α的交线b与直线a平行.
课堂探究符号表示：
探究点1 直线与平面平行的判定定理

a b
证明因为a//α，所以直线a与平面α没有公共点.
又因为α∩β=b，所以b α 且b β.
所以直线 a 与直线 b 没有公共点. 又因为a β且b β，所以a//b.
第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.3直线与平面平行的性质
2.2.3 直线与平面平行的性质
1、理解并掌握直线与平面平行的性质定
理，进一步培养观察、发现的能力和空间
想象能力；
2、通过观察图形，借助已有知识，掌握
利用直线与平面平行的性质定理证线线平
行；
3、了解空间与平面互相转换的数学思想.
复习回顾 1.直线与平面平行的判定：
直线与平面、平面与平面平行的判定方法

（由线线平行证线面平行）
2.两个平面平
行的判定：

（由线面平行证面面平行）

人教课标版高中数学必修2知识归纳：直线、平面平行的判定及其性质

2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1.判定定理的符号表示为：.
2.证明线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定.
2.2.2 平面与平面平行的判定
1.面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：
.
2.垂直于同一条直线的两个平面平行.
3.平面α上有不在同一直线上的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系是平行或相交.
2.2.3 直线与平面平行的性质
1.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
即：.
2.直线和平面平行的判定定理及性质定理在解题时往往交替使用．证线面平行往往转化为证线线平行，而证线线平行又将转化为证线面平行．循环往复直至证得结论为止.
2.2.4 平面与平面平行的性质
1.面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.用符号语言表示为：.
2. 其它性质：
①；
②；
③夹在平行平面间的平行线段相等.。

【人教版】高中数学必修二：《直线与平面平行的性质》ppt课件

线面平行的性质定理
线面平行线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
思考：
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条
直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
a
a
b
b
α
α
（2）已知直线 a∥平面α，如何在平面α 内找出和直线 a 平行的一条直线？
求证：a∥b．
证明：（反证法）．假设直线a不平行于直线b．
o
∴ 直线a与直线b相交，假设交点为O，则a∩b＝O．
∴a∩α＝O，这与“a∥α”矛盾．
∴a∥b．
线面平行的性质定理
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
l ∥α
l
α∩β= m
线面平行
l ∥m
β
l
m
α
线线平行
练习：
如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（ D ） A 只和这个平面内一条直线平行； B 只和这个平面内两条相交直线不相交； C 和这个平面内的任意直线都平行； D 和这个平面内的任意直线都不相交。
例题1 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。
a b
c
例题分析
例题2 有一块木料，棱BC平行于面A1C1 要经
过面A1C1内一点P和棱BC锯开木料，应该怎样画线？这线与平面AC有怎样的关系？
D1
E
C1
P
A1
F
B1
D
ห้องสมุดไป่ตู้
C
B A
小结
线面平行的判定定理
线线平行线面平行如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。

高中数学人教必修二直线与平面_平面与平面平行的性质定理

(4)平面外的两平行线同平行于同一个平面.
例已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面 , 求证另一条也平行于这个平面.
已知a // , a // b, b , 求证 : b // .
证明:过直线a作平面，使得 a // a
c.

a // c b // c c b b // a // b c
证明 : 直线a与直线b没有公共点. 又 a ,b a // b.
back
练习
1.已知直线AB平行于平面α ，经过AB的两个平面和平面α相交于直线a，b. 求证：a ∥ b. A B
β
A
B
α
a
b
α
C
D
2.如图，已知AB ∥平面α ，AC ∥ BD，且AC、BD与α分别相交于点C，D. 求证：AC=BD. 证明:∵AC ∥ BD ∴AC与BD确定一个平面β ,与平面α相交于CD. 又∵AB ∥平面α ，∴AB ∥ CD 又由AC ∥ BD，得 ABDC是平行四边形. ∴AC=BD
精讲精练P27 例3+ P28 5/9/10
E B
H D G F C
练习
3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，N是PB 的中点，E为AD的中点. 过A，D，N三点的平面与PC交于M点. P 求证:EN//DM.
MN//BC，又
E为AD中点，四边形ABCD为平行四边形 1 DE//BC且DE= BC.即有DE//MN且DE=MN. 2 故四边形DENM为平行四边形. EN//DM
我们发现: 面DBB1D1 面ABCD=DB 面DBB1D1 面ＡＢＣＤ１１１１=D1B1

人教课标版高中数学必修2教学课件1-直线与平面平行的判定

三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，且到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍.这一结论叫做三角形的重心定理．
在四面体ABCD中，M,N分别是△ACD、 △BCD的重心，在四面体的四个面中，与MN平行的是哪几个面？
在长方体ABCD-A'B'C'D'中
与AB平行的平面是_面__A__'B_'_C_'_D_'_，__面__C_C__'D__'D___ 与AA'平行的平面是_面__D__D_'_C_'_C_，__面__B_B__'C__'C___ 与AD平行的平面是_面__A__'D__'B__'C__'，__面__B_B__'C__'C___
从直线与直线平行直线与平面平行。
求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是 AB,AD的中点
求证：EF//平面BCD 证明：连接BD 因为AE=EB，AF=FD，所以EF// BD 因为EF 平面BCD， BD平面BCD 由直线与平面平行的判定定理得： EF//平面BCD
(1)已知直线 l1 , l2 ,平面α, l1 // l2 , l1 //α那么l2与平面α的关系是（ l2//α或l2α ）
(2)以下说法中，正确的个数是（ A）（其中a，b表示直线，α表示平面） ①若a//b，bα，则a//α ②若a//α，b//α，则a//b ③若a//b，b//α，则a//α ④若a//α，bα，则a//b A：0个 B：1个 C：2个 D：3个
将课本的一般紧靠桌面，并绕AB转动，观察AB 所在直线与CD所在直线有什么样的位置关系？CD所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？

高中数学人必修二课件直线与平面平行的性质

如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的所有直线都平行。
如果一条直线与一个平面内的所有直线都平行，那么这条直线与这个平面平行。
如果两个平面内的所有直线都平行，那么这两个平面平行。
直线与平面平行的性质应用
03
直线与平面平行性质定理的应用场景
判断直线与平面是否平行
计算直线与平面的夹角
解决立体几何中的问题，如求二面角、线面角等
注意事项：在使用直线与平面平行性质定理时，需要注意以下几点：首先，要确保所使用的直线与平面平行的性质是正确的；其次，要注意在解题过程中不要遗漏任何重要的信息；最后，要注意在解题过程中不要犯逻辑错误。
直线与平面平行性质定理在日常生活中的应用
建筑设计：利用直线与平面平行的性质进行空间布局和设计
交通规划：利用直线与平面平行的性质进行道路和桥梁设计
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线与平面垂直的性质：直线与平面垂直，则直线上的所有点都与平面上的所有点垂直。
直线与平面平行的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都平行，那么这条直线与这个平面平行。
THANK YOU
20XX

平行线的性质：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都平行，那么这条直线与这个平面平行。
平行线的性质：如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直。
直线与平面平行的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条平行直线都平行，那么这条直线和这个平面平行。
利用直线与平面平行的性质，证明直线与平面内的任意一条直线垂直

人教版必修二高一数学：直线、平面平行的判定及其性质

人教版必修二高一数学：直线、平面平行的判定及其性质一、直线与平面平行的判定定理语言文字_______一条直线与此平面内的一条直线________，则该直线与此平面平行图形语言符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α作用证明直线与平面______________二、平面与平面平行的判定定理语言文字一个平面内的两条________直线与另一个平面________，则这两个平面平行图形语言符号语言a⊂β，b⊂β，__________，a∥α，b∥α⇒α∥β作用证明两个平面__________1．要证明两平面平行，需要在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面，注意“相交”二字不能丢．2．可以通过证明线线平行来证明面面平行．三、直线与平面平行的性质定理（1）自然语言：一条直线与一个平面______________，则过这条直线的任一平面与此平面的______________与该直线平行．（2）图形语言：如图．（3）符号语言：,,a a b a b αβαβ⊂=⇒∥∥．（4）直线与平面平行的性质定理的作用①作为证明线线平行的依据．当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行．②作为画一条直线与已知直线平行的依据．如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线．四、平面与平面平行的性质定理（1）自然语言：如果______________同时和第三个平面______________，那么它们的交线平行．（2）图形语言：如图．（3）符号语言：,,.∥∥a b a b αβαγβγ==⇒1．已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线． 2．应用该定理证明线线平行．五、两个平面平行的其他性质（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．（2）夹在两个平行平面间的平行线段相等．（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．答案一、平面外平行平行二、相交平行a b P平行三、（1）平行交线四、（1）两个平行平面相交帮—重点1．直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定；2．掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行；3．掌握平面与平面平行的性质定理，并会应用性质定理解决问题．帮—难点1．线面平行、面面平行的综合应用；2．掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系的相互转化．帮—易错1．忽略线面平行、面面平行的判定定理使用的前提条件；2．忽略定理的必备条件致误．1．直线与平面平行的判定应用判定定理证明线面平行的步骤：上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．1）如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP的图形序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①连接AC ，AC ∥MN ，BC ∥PN 可得出面ACB ∥面MPN .∴AB ∥面MPN ；④AB ∥PN ，∴AB ∥面PMN ；②③中，AB 与面PMN 不平行．2）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点D 是AB 的中点. 求证：1BC ∥平面1CA D ．【答案】证明详见解析．【解析】如图所示，连接1AC ，交1A C 于点O ，连接OD ，则O 是1AC 的中点． ∵点D 是AB 的中点， ∴1∥OD BC ．又∵OD ⊂平面1CA D ，1BC ⊄平面1CA D ， ∴1BC ∥平面1CA D ．3）如图所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 为BE 的中点，求证：DF ∥平面ABC .【证明】如图所示，取AB 的中点G ，连接FG ，CG ，∵F ，G 分别是BE ，AB 的中点，∴FG ∥AE ，FG ＝12AE .又∵AE ＝2a ，CD ＝a ，∴CD ＝12AE .又AE ∥CD ，∴CD ∥FG ，CD ＝FG ，∴四边形CDFG 为平行四边形，∴F ∥CG .又CG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC . 2．平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定方法有如下三种：（1）根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难．（2）根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．（3）根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，有以下结论：①m ，n 相交且都在平面α，β外，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β，则α∥β；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β. 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】设m ∩n ＝P ，则直线m ，n 确定一个平面，设为γ，由面面平行的判定定理知，α∥γ，β∥γ，因此，α∥β，即命题①正确；如图，在长方体中，直线EF 平行于平面ADD 1A 1和平面A 1B 1C 1D 1，即满足命题②的条件，但平面A 1B 1C 1D 1与平面ADD 1A 1不平行，因此命题②不正确；图中，EF ∥平面ADD 1A 1，BC ∥平面A 1B 1C 1D 1，EF ∥BC ，但平面ADD 1A 1与平面A 1B 1C 1D 1不平行，所以命题③也不正确．2）如图，在长方体ABCD A B C D -''''中，,,,E F E F ''分别是,,,AB CD A B C D ''''的中点．求证：平面A EFD ''∥平面BCF E ''．【答案】证明详见解析．【解析】∵E E '，分别是AB A B ''，的中点，∴=A E BE ''∥．∴四边形A EBE ''为平行四边形， ∴A E BE ''∥．∵A E '⊄平面BCF E ''，BE '⊂平面BCF E ''，∴A E '∥平面BCF E ''．同理，A D ''∥平面BCF E ''．又A EA D A '''='，∴平面A EFD ''∥平面BCF E ''．利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤：第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论． 3．线面平行、面面平行的综合应用在立体几何中，常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的．在解决问题的过程中，要灵活运用平行关系的判定定理．一般地，证明线面平行可以转化为证明线线平行；证明面面平行可以转化为证明线面平行；证明线线平行可以利用线面平行或面面平行的性质定理来实现．1）如果AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．AC 在此平面内D ．平行或相交【答案】 A【解析】把这三条线段放在正方体内如图，显然AC ∥EF ，AC ⊄平面EFG .EF ⊂平面EFG ，故AC ∥平面EFG .故选A.2）如图所示，在四棱锥C ABED -中，四边形ABED 是正方形，点,G F 分别是线段,EC BD 的中点.（1）求证：∥平面GF ABC ；（2）线段BC 上是否存在一点H ，使得平面∥GFH 平面ACD ，若存在，请找出点H 并证明；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）由四边形ABED 为正方形可知，连接AE 必与BD 相交于中点F ，故∥GF AC . ∵GF ⊄平面ABC ，∴∥GF 平面ABC .（2）线段BC 上存在一点H 满足题意，且点H 是BC 的中点. 理由如下：由点,G H 分别为,CE CB 中点可得：∥∥GH EB AD .∵GH ⊄平面ACD ，∴∥GH 平面ACD .由（1）可知，∥GF 平面ACD ，且GF GH G =，.故平面∥GFH 平面ACD .本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行，着重考查了推理与论证能力． 4．直线与平面平行的性质定理的应用应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行．还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面．1）若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（）A．直线a上的点到平面α的距离相等B．直线a平行于平面α内的所有直线C．平面α内有无数条直线与直线a平行D．平面α内存在无数条直线与直线a成90°角【答案】B【分析】直线a与平面α内的所有直线平行或异面．【解答】解：由直线a平行于平面α，知：在A中，直线a上的点到平面α的距离相等，故A正确；在B中，直线a与平面α内的所有直线平行或异面，故B错误；在C中，平面α内有无数条直线与直线a平行，故C正确；在D中，平面α内存在无数条直线与直线a成90°角，故D正确．故选：B．2）已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【答案】B【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在C中，n∥α或n ⊂α；在D中，n与α相交、平行或n⊂α．【解析】由m，n表示两条不同的直线，α表示平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理得m∥n，故B正确；在C中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；在D中，若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故D错误．故选：B．3）在如图所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．【答案】是【解析】因为侧面AA 1B 1B 是平行四边形，所以AB ∥A 1B 1，因为AB ⊄平面A 1B 1C 1，A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AB ∥平面A 1B 1C 1，同理可证：BC ∥平面A 1B 1C 1.又因为AB ∩BC ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ∥平面A 1B 1C 1.4）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC =2FB =2，若∥MB 平面AEF ，试判断点M 的位置．【答案】M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF ．【解析】如图，过F ，B ，M 作平面FBMN ，交AE 于N ．因为∥BF 平面11AAC C ，BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN 平面11AAC C MN =，所以∥BF MN ．又∥MB 平面AEF ，MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN 平面AEF FN =，所以∥MB FN ，所以四边形BFNM 是平行四边形，所以MN =BF =1．又EC ∥FB ，EC =2FB =2，所以MN ∥EC ，MN =12EC ，故MN 是△ACE 的中位线．所以M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF ． 5．平面与平面平行的性质定理的应用利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤：（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；（2）判定这两个平面平行；（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；（4）由定理得出结论．1）设平面α∥平面β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当点A 、B 分别在平面α，β内运动时，动点C ( )A ．不共面B ．当且仅当点A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当点A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．无论点A ，B 如何移动都共面【答案】 D【解析】无论点A 、B 如何移动，其中点C 到α、β的距离始终相等，故点C 在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．2）下列命题中不正确的是( )A ．两个平面α∥β，一条直线a 平行于平面α，则a 一定平行于平面βB ．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC ．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D ．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【答案】 A【解析】选项A 中直线a 可能与β平行，也可能在β内，故选项A 不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C 正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B ，D 也正确，故选A.3）设α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，则CS 的长是________．【答案】272或16【解析】有两种情况，当点S 在α，β面同侧时，如图(a )所示，∵α∥β，平面SBD ∩α＝AC ，平面SBD ∩β＝BD ，∴AC ∥BD ，AS BS ＝CSDS ，且AS AB ＝CS CD， ∴CS ＝AS ·CD AB ＝8×349－8＝272.同理，当点S 在α，β两平面之间，如图(b )所示，可证得AC ∥DB 及SA SB ＝CSDS ，∴CS CD －CS ＝89. ∴9CS ＝8CD －8CS ，∴CS ＝8CD 17＝8×3417＝16.4）已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a 与这三个平面依次交于点A 、B 、C ，直线b 与这三个平面依次交于点E 、F 、G ．求证：AB EFBC FG=．【答案】证明详见解析．【解析】如图，连接AG 交β于H ，连接BH 、FH 、AE 、CG ．∵∥βγ，平面ACG ∩β＝BH ，平面ACG CG γ=，∴BH ∥CG ．同理AE ∥HF ， ∴AB AH EF BC HG FG ==，即AB EFBC FG=． ①当a 与b 共面时，有AE ∥BF ∥CG ．上述证明过程也是正确的，只是此时B 、H 、F 三点共线． ②连接CE ，可同理证明．③当a 与b 异面时，可过A （或B 、C ）作b 的平行线或过E （或F 、G ）作a 的平行线，再利用面面平行的性质定理可证得结论．以上思路都遵循同一个原则，即“化异为共”．6．忽略定理使用的前提条件致错如果两条平行直线a，b中的a∥α，那么b∥α．这个命题正确吗？为什么？【错解】这个命题正确．∵a∥α，∴在平面α内一定存在一条直线c，使a∥c．又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α．【错因分析】忽略了b⊂α这种情况，从而导致错误，本题条件中的直线b与平面α有两种位置关系：b∥α和b⊂α．【正解】这个命题不正确．若b⊄α，∵a∥α，∴在平面α内必存在一条直线c，使a∥c．又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α．若b⊂α，则不满足题意．综上所述，b与α的位置关系是b∥α或b⊂α．【易错警示】错误的原因是利用线面平行的判定定理时，忽略了定理使用的前提条件必须是平面外的一条直线与平面内的一条直线平行．7．对平面与平面平行的性质定理理解不正确，忽略“第三个平面”这一条件如图，α∥β，AB，CD是夹在平面α和平面β间的两条线段，则AC所在的直线与BD所在的直线平行，这个说法正确吗？【错解】这个说法正确．【错因分析】忽略了AB，CD可能异面的情况．当AB，CD异面时，AC与BD不平行．【思路分析】AB，CD共面时，AC∥BD；AB，CD异面时，AC∥β，但AC与BD不平行．同理BD∥α，但BD与AC不平行．【正解】这个说法错误．【易错警示】使用定理证明或判断线线平行和线面平行时，一定要注意定理成立的条件，缺一不可．1.能保证直线a与平面α平行的条件是（）A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b【答案】D【解答】在A中，b⊂α，a∥b，则直线a与平面α平行或a⊂α，故A错误；在B中，b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥c，则直线a与平面α平行或a⊂α，故B错误；在C 中，b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD，则直线a与平面α平行、相交或a⊂α，故C错误；在D中，a⊄α，b⊂α，a∥b，由此利用线面平行的判定定理得直线a与平面α平行．故选：D．在A中，直线a与平面α平行或a⊂α；在B中，直线a与平面α平行或a⊂α；在C中，直线a与平面α平行、相交或a⊂α；在D中，利用线面平行的判定定理得直线a与平面α平行．2．在正方体ABCD–A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱共有（）A．2条B．3条C．4条D．6条【答案】A【解析】如图所示，正方体ABCD–A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱是BB1和DD1，共有2条．故选A．3.下列条件中，能判断平面α与平面β平行的是（）A．α内有无穷多条直线都与β平行B．α与β同时平行于同一条直线C．α与β同时要垂直于同一条直线D．α与β同时垂直于同一个平面【答案】C【解析】对于A，若α内有无穷多条平行的直线与β平行，则不能说明α平行β；对于B，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交；对于C，垂直于同一条直线的两平面平行；对于D，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直．综上，选项C正确．故选：C．4．若平面α∥平面β，则（） A ．平面α内任一条直线与平面β平行B ．平面α内任一条直线与平面β内任一条直线平行C ．平面α内存在一条直线与平面β不平行D ．平面α内一条直线与平面β内一条直线有可能相交【答案】A【解析】根据平面与平面平行的性质可知，若a ⊂平面α，平面∥α平面β，则∥a 平面β.故选A. 5．已知a ，b 为不同的直线，α、β、γ为不同的平面.在下列命题中，正确的是（） A ．若直线//a 平面α，直线//a 平面β，则∥αβ B ．若平面α内有无穷多条直线都与平面β平行，则∥αβ C ．若直线a α⊂，直线b β⊂，且∥a β，∥b α，则∥αβ D ．若平面∥α平面γ，平面∥β平面γ，则∥αβ 【答案】D【解析】若∥a α且∥a β，则α和β平行或相交，A 错误；若平面α内的无数条相互平行的直线均平行于平面β，则α和β可能相交，B 错误；若∥a b ，此时直线a α⊂，直线b β⊂，且∥a β，∥b α，则α和β可能相交，C 错误；由平面平行的性质可知，平行于同一平面的两平面互相平行，D 正确.本题正确选项为D.本题考查空间中的平行关系，涉及线线关系、线面关系、面面关系.求解时，根据空间中平行关系的判定和性质依次判断各个选项即可得到结果.6．设α、β是两个平面，a 、b 是两条直线，下列推理正确的是（）A ．∥∥∥a b a b ⎫⇒⎬⎭ααB ．∥∥a a a b b ⊂⎫⎪⇒⎬⎪=⎭αβαβC ．∥∥a b a b ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭αβαβD ．∥∥a b a b ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭αβαβ 【答案】 B【解析】对于A ，也可能a α⊂，故A 错误，对于B ，根据线面平行的性质定理可知B 正确；对于C ，由α，β平行可知a ，b 没有公共点，故a ，b 平行或异面，故C 错误；对于D ，若α，β相交，a ，b 均与交线平行，显然结论不成立，故D 错误．故选B ．本题考查线线、线面、面面位置关系的判定及性质，属于基础题.求解时，根据空间线面位置关系的定义、判定定理和性质进行判断．7．如图，在平行六面体ABCD −1111A B C D 中，点,,M P Q 分别为棱,,AB CD BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出下列说法：①1A M ∥1D P ； ②1A M ∥1B Q ； ③1A M ∥平面11DCC D ； ④1A M ∥平面11D PQB .则以上正确说法的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】连接PM ，因为M 、P 分别为AB 、CD 的中点，故PM 平行且等于AD .由题意知AD 平行且等于11A D ，故PM 平行且等于11A D ，所以四边形11PMA D 为平行四边形，所以1A M ∥1D P ，故①正确. 显然1A M 与1B Q 为异面直线.故②错误.由①知1A M ∥1D P .由于1D P 在平面11DCC D 内，又在平面11D PQB 内，且1A M 不在平面11DCC D 内，又不在平面11D PQB 内.故1A M ∥平面11DCC D ，1A M ∥平面11D PQB ，故③④均正确. 所以正确说法的个数为3，故选C.本题主要考查线面平行的判断.其中通过证明平行四边形得到线线平行是解题的关键.8．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，过BD 1的平面，分别与AA 1，CC 1交于M ，N ，则四边形BND 1M 的形状为________．【答案】平行四边形【解析】由题意知，平面A1B∥平面C1D，∴MB∥D1N，同理，D1M∥BN. ∴四边形BND1M是平行四边形．9．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面的位置关系为________.【答案】平行或相交【解析】三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行；当三条平行线段不共面时，两平面一定平行. 故填平行或相交.10．三棱锥S−AB C中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，则EG与平面SBC的关系为________.【答案】平行【解析】连接AG并延长交BC于点M，连接SM，则AG=2GM，又AE=2ES，所以EG∥SM，又EG⊄平面SBC，所以EG∥平面SB C.故填平行.11.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个结论中，正确结论的序号是________．【答案】①②③④【解析】展开图可以折成如图①所示的正方体．图①在正方体中，连接AN ，如图②所示，图②∵AB ∥MN ，且AB ＝MN ，∴四边形ABMN 是平行四边形．∴BM ∥AN ，∴BM ∥平面DE ，同理可证CN ∥平面AF ，∴①②正确；如图③所示，图③可以证明BM ∥平面AFN ，BD ∥平面AFN ，则平面BDM ∥平面AFN ，同理可证平面BDE ∥平面NCF ，所以③④正确．12．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，∥AB DC .设E 是DC 的中点，求证：1∥D E 平面1A BD .【答案】见解析. 【解析】连接BE .∵E 是DC 的中点，22DC AD AB ==，AD DC ⊥，∴四边形DABE 为正方形， ∴11BE AD A D ==，且11∥∥BE AD A D ，∴四边形11A D EB 为平行四边形，∴11∥D E A B ， ∵1D E ⊄平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，∴1∥D E 平面1A BD .本题主要考查线面平行的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；②利用面面平行的性质，即两面平行，在其中一平面内的直线平行于另一面.13．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 上一点，且1∥A B 平面1AC D ，1D 是11B C 的中点.求证：平面11A BD ∥平面1AC D . 【答案】见解析.【解析】连接1A C 交1AC 于点E ，连接ED ， ∵四边形11A ACC 是平行四边形，∴E 是1A C 的中点，1A B ∥平面1AC D ，平面1A BC 平面1AC D DE =，∴根据线面平行的性质定理，可得1ED A B ∥，E 是1A C 的中点，D ∴是BC 的中点，又1D 是11B C 的中点，11BD C D ∴∥且11BD C D =，∴四边形11C D BD 为平行四边形，11C D BD ∴∥，1BD ∴∥平面1AC D ，又11A BBD B =，∴平面11A BD ∥平面1AC D .本题主要考查了线面平行的性质定理的应用，以及面面平行的判定与证明，其中解答中把握几何体的结构特征，熟练应用线面平行的性质定理和面面平行的判定定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．求解时，连接1A C 交1AC 于点E ，连接ED ，利用线面平行的性质定理，证得1ED A B ∥，又由四边形11C D BD 为平行四边形，得11C D BD ∥，证得1BD ∥平面1AC D ，利用面面平行的判定定理，可得平面11A BD ∥平面1AC D .14．已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：（1）1∥C O 平面11AB D ；（2）平面11∥AB D 平面1C BD . 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）连接11A C 交11B D 于点1O ，连接1AO ，1111ABCD A B C D -是正方体，∴四边形11A ACC 是平行四边形，11∥A C AC ∴且11A C AC =，又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，11∥O C AO ∴且11O C AO =，∴四边形11AOC O 是平行四边形，11,∥C O AO ∴又1AO ⊂平面11AB D ，1C O ⊄平面11AB D ，1∥C O ∴面11AB D .（2）1111ABCD A B C D -是正方体，1111,∥∥AB DC AD BC ∴，∴1∥AB 平面1,C BD 1∥AD 平面1C BD ，又11,AB AD A =1AD ⊂平面111,AB D AB ⊂平面11AB D ，∴平面11∥AB D 平面1C BD .本题主要考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面平行的证明，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.15.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线A 1O ，下列说法正确的是（） A ．A 1O ∥D 1C B ．A 1O ⊥BC C ．A 1O ∥平面B 1CD 1 D ．A 1O ⊥平面AB 1D 1【答案】C【解析】∵在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，∴A 1D ∥B 1C ，OD ∥B 1D 1， ∵A 1D ∩DO ＝D ，B 1D 1∩B 1C ＝B 1，∴平面A 1DO ∥平面B 1CD 1， ∵A 1O ⊂平面A 1DO ，∴A 1O ∥平面B 1CD 1．故选：C ．推导出A 1D ∥B 1C ，OD ∥B 1D 1，从而平面A 1DO ∥平面B 1CD 1，由此能得到A 1O ∥平面B 1CD 1．16.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于B ，易知AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；对于C ，易知AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；对于D ，易知AB ∥NQ ，则直线AB ∥平面MNQ ．故排除B ，C ，D ，选A ．本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．17．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A ．若m ⊂α，∥n β，m ，n 是异面直线，则α，β相交B ．若m ⊥α，m ⊥β，∥n α，则∥n βC ．若m ⊂α，∥n α，m ，n 共面于β，则∥m nD ．若m ⊥α，n ⊥β，α，β不平行，则m ，n 为异面直线【答案】C【解析】正方体1111ABCD A B C D -中，取，m n 分别为棱11，BC C D ，平面α为平面，ABCD β为与平面1111A B C D 平行的平面，满足选项A 中的条件，但是∥αβ，选项A 错误；取，m n 分别为棱1，BB BC ，平面，αβ为1111，A B C D ABCD ，满足选项B 中的条件，但是n ⊂β，选项B 错误；取，m n 分别为棱1，AB AA ，平面，αβ分别为平面111111，BCC B A B C D ，满足选项D 中的条件，但是m n A =，选项D 错误.本题选择C 选项.18．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G ，P ，Q 分别为棱AB ，11C D ，11D A ，1D D ，1C C 的中点.则下列叙述中正确的是（）A ．直线∥BQ 平面EFGB ．直线1∥A B 平面EFGC ．平面∥APC 平面EFGD ．平面1∥A BQ 平面EFG【答案】B【解析】过点,,E F G 的截面如图所示（,H I 分别为1,AA BC 的中点）1∥A B HE ，1A B ⊄平面EFG ，HE ⊂平面EFG ，1∥A B ∴平面EFG .本题正确选项为B.本题考查了直线与平面、平面与平面平行的判定，关键在于能够准确地找到截面，从而判断出结果.求解时，将平面EFG 扩展，可作出过,,E F G 的正方体的截面，易证得1∥A B 平面EFG .19.如图所示的四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号为（）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．②④【答案】C【解析】正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，在图①中，∵BC ∥PN ，AC ∥PM ，AC ∩BC ＝C ，PN ∩PM ＝P ，∴平面ABC ∥平面PMN ， ∵AB ⊂平面ABC ，∴AB ∥平面MNP ，故①能得出AB ∥平面MNP ；在图②中，∵AC ∥MN ，BC ∥PN ，AC ∩BC ＝C ，MN ∩PN ＝N ，∴平面ABC ∥平面PMN ，∵AB ⊂平面ABC ，∴AB ∥平面MNP ，故②能得出AB ∥平面MNP ；在图③中，BC ∥MN ，AC ∥PN ，BC ∩AC ＝C ，MN ∩PN ＝N ，∴平面ABC ∥平面PMN ，∵AB ⊂平面ABC ，∴AB ∥平面MNP ，故③能得出AB ∥平面MNP ；在图④中，AB ∩PB ＝B ，PB ⊂平面PMN ，∴AB ∩平面PMN ＝B ，故④不能得出AB ∥平面MNP ．故选：C ．在图①中，由BC ∥PN ，AC ∥PM ，推导出AB ∥平面MNP ；在图②中，由AC ∥MN ，BC ∥PN ，推导出AB ∥平面MNP ；在图③中，由BC ∥MN ，AC ∥PN ，推导出AB ∥平面MNP ；在图④中，AB ∩平面PMN ＝B ．20．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G H ，，则HG 与AB 的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A 【解析】,E F 分别是11,AA BB 的中点，∥EF AB ∴.又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，AB ∴∥平面EFGH . 又AB平面ABCD ，平面ABCD平面EFGH GH =，AB GH ∴∥.本题考查线面平行的判定和性质，属于简单题.求解时，由EF AB ∥得到∥AB 平面EFGH ，从而得到AB GH ∥.21．正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在A 1B 1上，且B 1E =1，记图中阴影平面为平面α，平面α∥平面BC 1E ，若平面α∩平面AA 1B 1B =A 1F ，则AF 的长为（）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】A【解析】因为平面α∥平面BC 1E ，平面α∩平面AA 1B 1B =A 1F ，平面BC 1E ∩平面AA 1B 1B =BE ，所以A 1F ∥BE .又A 1E ∥BF ，所以四边形A 1EBF 是平行四边形，所以A 1E =BF =2，所以AF =1.故选A.本题考查平面与平面平行的性质定理.属于中档题.平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行;平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线互相平行.特别提醒：线线平行、面面平行有传递性，而线面平行没有传递性. 22．如图（1）所示，已知正方形ABCD 中，E F ，分别是AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，如图（2）所示，则BF 与平面ADE 的位置关系是________.【答案】平行【解析】∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴EB ＝FD ．又∵EB ∥FD ，。

人教课标版高中数学必修2《直线与平面平行的性质》名师课件

直线与平面平行的图形语言为：
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（ 5 ）观察长方体（如图），可以发现长方体 ABCD— A′B′C′D′ 中，线段 A′B 所在的直线与长方体 ABCD— A′B′C′D′ 的侧面 C′D′DC 所在平面平行，你能在侧面 C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B平行吗？答案：连接CD′即可.
我们可以概括出这样一个定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.此即直线与平面平行的性质定理.
知识回顾与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 直线与平面平行的符号语言为： a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
证明因为α∩β＝b，所以b⊂α. 又因为a∥α，所以a与b无公共点. 又因为a⊂β，b⊂β，所以a∥b.
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
探究三直线与平面平行的判定定理的应用 ●活动①牛刀小试，体会方法例 1 如图 ,E 、 H 分别是空间四边形 ABCD的边AB、AD的中点，平面α过 EH 分别交 BC 、 CD 于 F 、 G. 求证： EH∥FG. 证明：∵E、H分别是AB、AD的中点,∴EH∥BD. 又BD⊂面BCD，EH 面BCD,∴EH∥面BCD. 又EH⊂α、α∩面BCD＝FG, ∴EH∥FG.
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
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知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究一结合问题，概括出直线与平面平行的性质定理活动① 归纳提炼定理（1）如果直线和平面平行，那么这条直线与这个平面内的所有直线的位置关系是怎样的？答案：平行或者异面. （2）如果直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？

人教版高中数学必修二《直线与平面平行的性质》ppt

线 a 平行，若没有与 b 重合的，则与直线 a 平行的直线有 0 条．
明目标、知重点
填要点、记疑点
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探要点、究所然
当堂测、查疑缺
当堂测、查疑缺
请选择
1234
2.2.3
3．已知直线 a∥平面 α，直线 b∥平面 α，则直线 a，b 的位置关系是：①平行； ②垂直不相交；③垂直相交；④不垂直不相交．其中可能成立的有________．
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探究点一：直线与平面平行的性质定理
2.2.3
例 1 如图，a∥α，a⊂β，α∩β＝b.求证：a∥b. 证明因为 α∩β＝b，所以 b⊂α. 又因为 a∥α，所以 a 与 b 无公共点．又因为 a⊂β，b⊂β，所以 a∥b. 反思与感悟用线面平行的性质定理可以判定两直线是否平行，同时也提供了一种作平行线的方法．
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探究点二：线面平行的性质定理的应用
2.2.3
跟踪训练 3 如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，H 分别为棱 A1B1，D1C1 上的点，且 EH∥A1D1，过 EH 的平面与棱 BB1，CC1 相交，交点分别为 F，G，求证：FG∥平面 ADD1A1. 证明因为 EH∥A1D1，A1D1∥B1C1， EH⊄平面 BCC1B1，B1C1⊂平面 BCC1B1，所以 EH∥平面 BCC1B1.
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当堂测、查疑缺
明目标、知重点
2.2.3

高一数学必修2第二单元知识点：直线、平面平行的判定及其性质

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人教新课标版数学高一必修2课件直线与平面平行的性质

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若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝__2__.
解析由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF. 因为a∥平面α，a⊂平面β，所以EF∥a. 所以BECF＝AACF . 所以 EF＝AFA×CBC＝35× ＋43＝32 .
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解析答案
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4.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC 外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明. 解析直线l∥平面PAC，证明如下：因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC. 又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC. 而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l. 因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC.
反思与感悟
解析答案
探究点2 线面平行的性质与判定的综合应用例2 已知，a∥α，且a∥β，α∩β＝l，求证：a∥l. 证明如图，过a作平面γ交α于b. 因为a∥α，所以a∥b. 过a作平面ε交平面β于c. 因为a∥β，所以a∥c，所以b∥c. 又b⊄β且c⊂β，所以b∥β. 又平面α过b交β于l，所以b∥l. 因为a∥b，所以a∥l.
解析答案
当堂测试
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1.已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是( B )
A.相交
B.平行
C.异面
D.相交或异面
解析由直线与平面平行的性质定理知l∥m.
解析答案
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2.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平
行的直线有( C )

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课堂10分钟达标练
1.下列判断正确的是 ( )
A.a∥α,b⊂α,则a∥b
B.a∩α=P,b⊂α,则a与b不平行
C.a⊄α,则a∥α
D.a∥α,b∥α,则a∥b
【解析】选B.对于A,直线a,b可能平行也可能异面;a∩α=P,b⊂α,则a与b相交或异面,故不平行,B正确;对于C,直线a可能和平面α相交;对于D,直线a,b不一定平行.
2.如图过正方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′作一平面交平面CDD′C′于EE′,则BB′与EE′的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
【解析】选A.因为BB′∥平面CDD′C′,BB′⊂平面BB′E′E,
平面BB′E′E∩平面CDD′C′=EE′,
所以BB′∥EE′.
3.已知直线m∥平面α,则下列命题中正确的是( )
A.α内所有直线都与直线m异面
B.α内所有直线都与直线m平行
C.α内有且只有一条直线与直线m平行
D.α内有无数条直线与直线m垂直
【解析】选D.A、如图,直线m∥平面α,存在n⊂α,n∥l,从而n∥m,A 错;B、如图,直线m∥平面α,存在n⊂α,n与l相交,从而m,n异面,m,n 不平行,B错; C、如图,α内凡是与l平行的直线n,e…均与m平行,C 错;D、如图,α内凡是与l垂直的直线a,b…均与m垂直,D对.
4.如图,△ABC的边BC∥α,AB∩α=M,AC∩α=N,则MN与BC的位置关系是________.
【解析】因为BC∥α,平面ABC∩α=MN,所以MN∥BC.
答案:平行
5.如图三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且=,求
证:EF∥BC.
【证明】因为=,所以EF∥平面ABC,又EF⊂平面SBC,平面SBC∩平面ABC=BC,所以EF∥BC.
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